Física y matemáticas

Jean-Marc Lévy-Leblond

La existencia de una relación particular entre la física y las matemáticas goza de un reconocimiento universal. A través de la historia de la física abundan los testimonios explícitos en ese sentido, empezando por la célebre afirmación de Galileo: «La filosofía está escrita en ese inmenso libro siempre abierto ante nuestros ojos (quiero decir: el Universo), pero no se la puede comprender si no le aprende primeramente a conocer la lengua y los caracteres en que está escrito. Está escrito en lengua matemática y sus caracteres son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuya mediación es humanamente imposible comprender ni una palabra».

Tres siglos después, el astrofísico Jeans escribió: «El Gran Arquitecto parece ser matemático». Podría recopilarse una verdadera antología de citas de este estilo. Y cualquier capítulo de la física parece bueno como ejemplo para tales afirmaciones.

Así pues, parece estar claro que la física utiliza con éxito las matemáticas. Veremos no obstante que este enunciado, lejos de ser como aparenta una estricta constatación, está cargado de presupuestos, aunque resuma una visión inmediata de la situación. Pero lleva directamente a preguntarse por las causas de ese éxito. ¿Cómo puede ser que las matemáticas, reputadas en general como estudio de abstracciones puras, «funcionen» en física, considerada como la ciencia de lo concreto por excelencia? Los propios físicos dan fe a menudo, con una sorpresa ingenua o en términos de una confesión incómoda, de que esta adecuación plantea un problema: «Sin embargo, es […] notable que ninguna de las construcciones abstractas que la matemática realiza, teniendo exclusivamente como guía su necesidad de perfección lógica y de generalidad creciente, parezca que haya de permanecer sin utilidad para el físico. Por una singular armonía, las necesidades del pensamiento, preocupado por construir una representación adecuada de la realidad, parecen haber sido previstas y anticipadas por el análisis lógico y la estética abstracta del matemático» (P. Langevin). «La idea de que las matemáticas podían adaptarse, de algún modo, a los objetos de nuestra experiencia me parecía extraordinaria y apasionante» (W. Heisenberg).

1. Las matemáticas: ¿lenguaje de la física?

Las soluciones que se han alegado para el problema de las relaciones entre la física y las matemáticas son varias; pero, tanto si provienen de científicos como de filósofos, en su aplastante mayoría están basadas, sobre todo en la actualidad, en la idea de que las matemáticas constituyen el lenguaje de la física. Al texto de Galileo antes citado, se le pueden añadir dos citas: «Todas las leyes se extraen de la experiencia, pero, para enunciarlas, se precisa de una lengua especial; el lenguaje ordinario es demasiado pobre, y es además demasiado vago, para expresar relaciones tan delicadas, tan ricas y tan precisas. Ésta es, por consiguiente, una primera razón por la que el físico no puede prescindir de las matemáticas; éstas le proporcionan la única lengua en la que puede hablar» (H. Poincaré). «Las matemáticas constituyen por decirlo así el lenguaje por medio del cual puede plantearse y resolverse una pregunta» (W. Heisenberg).

Esta concepción de las matemáticas como lenguaje de la física puede, no obstante, interpretarse de varias maneras, según que dicho lenguaje se piense como el de la naturaleza, y que el individuo que la estudia deberá esforzarse por asimilar; o bien que se le conciba, a la inversa, como el lenguaje del individuo, al cual habrán de traducirse los hechos de la naturaleza para que resulten comprensibles. La primera posición parece ser la de Galileo, aunque resulte imprudente acudir demasiado al pasaje citado; también es la de Einstein: «De acuerdo con nuestra experiencia hasta el momento, tenemos derecho a estar convencidos de que la naturaleza es la realización del ideal de la simplicidad matemática. Estoy convencido de que la construcción puramente matemática nos permite encontrar esos conceptos, y los principios que los relacionan, que nos dan la clave para comprender los fenómenos naturales». El segundo punto de vista es el de Heisenberg: «Las fórmulas matemáticas ya no representan la naturaleza, sino el conocimiento que de ella poseemos». Sin embargo, es esencial subrayar que ambas actitudes, lejos de oponerse, no son sino los puntos extremos de un espectro continuo. En efecto, de lo que se trata es de encontrar un punto de equilibrio en el interior de una estructura que se apoya sobre los pares de nociones opuestas naturaleza-hombre, experiencia-teoría, concreto-tracto, hechos (científicos)-leyes (científicas). Según el peto que se asigne a uno u otro de los polos de dichos países se obtiene una infinidad de posiciones vinculadas a filosofías de tipo positivistas nominalista, convencionalista, pragmática, etc., pertenecientes todas ellas al espectro filosófico delimitado por el par empirismo-formalismo.

Ahora bien, todas las respuestas que se basan en esta concepción —las matemáticas como lenguaje— yerran al tiro porque diparan por encima del blanco. La solución que proponen para el problema planteado inicialmente: «¿Por qué se aplican en física las matemáticas?», es una solución demasiado vaga, que explica de un modo excesivamente general la educación de las matemáticas al conocimiento científico y al estudio de la naturaleza en su conjunto. Aquí se percibe bien el enorme parecido de todas las posiciones filosóficas mencionadas. Todas ellas tienen en común una concepción general de «la» ciencia, de acuerdo con la cual ésta habría de hallar en las matemáticas un método universal de representación, apoyándose por lo demás en un método experimental igualmente universal (aunque no sea éste aquí el objeto de nuestras consideraciones). Por querer demostrar demasiado, no se explica nada. En consecuencia, más vale intentar comentar de nuevo cambiando la pregunta clásica; en lugar de preguntar «¿Por qué…?», primero nos preguntaremos: «¿Cómo se aplican las matemáticas a la física?», o mejor: «¿Cuál es la naturaleza de la relación entre las matemáticas y la física?».

2. La naturaleza de la relación entre las matemáticas y la física

Empecemos por la observación de que una fórmula tal como «las matemáticas se aplican a las demás ciencias» viene a ser lo mismo que tomar posición acerca del fondo de la cuestión, en cuanto que presenta la relación de las matemáticas a dichas ciencias como una relación de aplicación. De acuerdo con esto, se trataría de una relación instrumental, en la que las matemáticas intervendrían como un instrumento meramente técnico, en situación de exterioridad respecto al lugar de su intervención. Tal descripción parece justificada en el caso de la química, de la biología, de las ciencias de la Tierra, etc.; es decir, en general, de las «ciencias exactas» distintas de la física. En efecto, el papel de las matemáticas se reduce esencialmente al cálculo numérico, es decir, a la manipulación de lo cuantitativo. Puede tratarse de aplicaciones elementales, como en el caso del balance en reacciones químicas, o también, siguiendo con la química, el cálculo de valencias; o pueden ser aplicaciones más complejas, como la utilización de métodos estadísticos en genética. Pero, en cada caso, puede afirmarse que existe una separación suficientemente definida entre el arsenal conceptual propio de uno de esos dominios científicos y las técnicas matemáticas en él utilizadas. De modo más preciso, y limitándonos a tomar algunos ejemplos más o menos arbitrarios, conceptos fundamentales tales como los de cuerpo puro o cuerpo simple, de enlace químico, de estructura primaria, secundaria y terciaria de las proteínas, de actividad enzimática, de código genético en biología molecular, de sedimentación, de facies, de geosinclinal en geología, no tienen nada de matemático, ni en su definición ni en el modo como se los emplea.

En física, las cosas suceden de manera muy distinta; ahí, las matemáticas desempeñan un papel más profundo. Resultaría en efecto difícil encontrar un concepto físico que no esté indisolublemente asociado a uno o a varios conceptos matemáticos. ¿Cómo pensar, por ejemplo, de una manera eficaz el concepto de velocidad sin hacer intervenir el de derivada? ¿Cómo pensar «campo electromagnético» sin pensar «campo de vectores»? ¿Cómo pensar «principio de relatividad» sin pensar «teoría de grupos»? Así pues, la física interioriza las matemáticas. Diremos que éstas guardan con aquélla una relación de constitución. Bachelard expresó ya una idea próxima a ésta: «Las hipótesis de la física se formulan matemáticamente. En adelante, las hipótesis científicas resultan inseparables de su forma matemática: son, realmente, pensamientos matemáticos […]. Hay que romper con ese tópico tan del gusto de los filósofos escépticos, que sólo quieren considerar a las matemáticas como un lenguaje. Por el contrario, la matemática es un pensamiento, un pensamiento seguro de su lenguaje. El físico piensa la experiencia con este pensamiento matemático […]». Y, en otro lugar: «El matematismo tampoco es descriptivo, sino formador». Sin embargo, la discriminación pensamiento-lenguaje no está perfectamente clara; por otra parte, Bachelard habla de la «matematización progresiva, dinámica dominante de la historia de las ciencias» en general, entendiendo por tal, más allá de la física, una característica que más adelante mostraremos que es, por el contrario, específica de esta última. Pero precisemos primeramente qué se designa aquí por «relación de constitución». Por supuesto, un concepto físico no es lo mismo que los conceptos matemáticos que pone en juego, no se identifica con ellos ni se reduce a ellos; la física no se limita a la física matemática. Es importante que la distinción entre un concepto físico y su matematización no se conciba como una simple diferencia estática. Un concepto físico no es un concepto matemático más «otra cosa». El concepto matemático no es ni un esqueleto al que la física le presta la carne, ni una forma abstracta que la física se encargue de llenar de un contenido concreto: es esencial que la relación entre las matemáticas y la física se piense en términos dinámicos. Más que como relación de constitución, debería de pensársela como relación constituyente.

Por lo demás, una contraprueba convincente la proporcionan las múltiples tentativas, abortadas pero siempre repetidas, para «desmatematizar» la física. Cada vez que se atraviesa un nuevo umbral, hay nostálgicos que se alzan reclamando una física «más intuitiva», «menos matemática». Antes de que fueran dirigidas contra la mecánica cuántica y la relatividad, esas mismas críticas se habían dirigido ya, en su tiempo, contra la teoría electromagnética de Maxwell y contra la teoría de la gravitación de Newton (véase, por ejemplo, la teoría corpuscular de Lesage, que pretendía explicar la ley de Newton mediante un «mecanismo» simple). Según ellos, cada etapa de la física acentúa más y más el carácter matemático de sus leyes (como si una ecuación en derivadas parciales fuera más matemática que una ecuación diferencial, o como si un espacio de Hilbert lo fuera más que un espacio euclidiano de tres dimensiones…) y el carácter abstracto de sus conceptos. Los físicos ortodoxos aceptarán esta situación como una conquista extraordinaria o como un mal ineluctable: los heterodoxos, la rechazarán. Se plantea así la cuestión de saber qué es la física y, más precisamente, cómo se distingue de las demás ciencias. Más adelante veremos que la comprensión de la relación de estas últimas con las matemáticas permite, precisamente, responder a esta pregunta. Por el momento, hay que caracterizar todavía más finamente esta relación.

3. El polimorfismo matemático de la física

Conviene descartar explícitamente una interpretación más o menos platónica de la relación entre física y matemáticas que llevaría a concebir el trabajo del físico como un mero descifre que hiciera posible encontrar, bajo la complejidad de los fenómenos que constituyen los hechos físicos, «la armonía oculta de las cosas» (Poincaré), expresada por las relaciones matemáticas. De nuevo, hablar de relación de constitución no significa sobreentender que cada concepto físico posee una constitución matemática absoluta que sea su verdad profunda, su esencia definitiva. Para convencerse de ello y para llamar la atención sobre la naturaleza dinámica de esa relación, basta con darse cuenta de que las leyes y conceptos físicos poseen un carácter esencial que llamaremos su polimorfismo matemático. Designaremos de este modo la propiedad que tienen esas leyes y conceptos de poseer varias matematizaciones posibles. Así, el movimiento rectilíneo uniforme puede concebirse bien geométricamente: espacios iguales recorridos en tiempos iguales (Galileo), bien funcionalmente: dependencia lineal de la distancia cubierta con relación al tiempo, o bien, aun, analíticamente («diferencialmente», incluso): velocidad constante o aceleración nula. Un ejemplo menos burdo lo proporcionaría la dinámica del punto en un campo de fuerzas conservativo, que puede formularse mediante ecuaciones diferenciales (formulación newtoniana), o mediante ecuaciones en derivadas parciales (formulación hamiltoniana), o por medio de principios variacionales (formulación lagrangiana), etc. Naturalmente, las diversas formulaciones de una misma ley son rigurosamente equivalentes, en sentido matemático. No lo son en el sentido de la física, que establece distinciones claras entre ellas. Tales distinciones pueden estar basadas en la historia de un campo de estudio: la aparición de nuevas formulaciones corresponde, por lo general, a la necesidad de resolver nuevos problemas o a la evolución histórica de las propias matemáticas. La existencia de esas expresiones distintas de un «mismo» concepto o de una «misma» ley remite, así pues, muy directamente a su efectivo modo de producción. Su coexistencia en un momento dado traduce a veces la persistencia de vestigios arcaicos en un dominio en el que no se ha llevado a buen término una reestructuración epistemológica llegada a su madurez (éste es el caso, en la actualidad, de la mecánica cuántica). Más frecuentemente, dicha coexistencia corresponde a la existencia de situaciones diversas, tanto por su complejidad como por sus conexiones, en que una misma ley puede ponerse en juego de diferentes maneras que son más o menos eficaces según la formulación que se utilice. Por esto la física, a diferencia de las matemáticas (al menos, en su forma moderna), se presta difícilmente a la axiomatización. El físico vacilará siempre a la hora de establecer un orden jerárquico entre enunciados deducibles los unos de los otros. En física, los «principios» y las «leyes» disfrutan de una relativa movilidad, son intercambiables en un grado muy superior al de los axiomas y los teoremas de la matemática. La historia futura, más que la pasada, pone de manifiesto la importancia de estas observaciones. En general, quien opera la discriminación entre las diversas formulaciones equivalentes de una misma ley en una época determinada es la extensión de dicha ley a nuevos fenómenos, que limita unas formulaciones a un dominio en adelante circunscrito, mientras que abre a las otras un campo de acción más amplio. Así, volviendo al ejemplo antes citado, la mecánica relativista tolera mal la formulación newtoniana (basada esencialmente en la idea de acción instantánea a distancia), pero acepta una formulación lagrangiana todavía más «simple» que la teoría no relativista. Observemos, finalmente, que cada formulación acarrea con ella una ganga ideológica más o menos densa, la cual puede desempeñar un papel esencial en cuanto al crédito o descrédito del que dicha formulación pueda gozar entre los físicos, considerados colectiva o individualmente. Habría mucho que hablar, por ejemplo, sobre las implicaciones teleológicas que entrañan los principios variacionales, desde Maupertuis hasta el presente.

4. La plurivalencia de las matemáticas en física

La ilusión de una armonía preestablecida entre conceptos físicos y conceptos matemáticos acaba por disiparse cuando se trata de la plurivalencia física de los objetos matemáticos, que hace juego con el polimorfismo matemático de las leyes físicas.^[10] Así, por ejemplo, las ecuaciones diferenciales lineales (con coeficientes constantes) de segundo orden rigen las vibraciones mecánicas, las oscilaciones eléctricas y muchos otros fenómenos. Así, también, la ecuación en derivadas parciales de Poisson gobierna tanto la electrostática como la teoría (estática) de la gravitación, la difusión del calor y la de los neutrones (en régimen estacionario), el equilibrio de una membrana elástica deformada, el flujo laminar de un fluido con dos dimensiones, etc. Feynman da su merecido a toda interpretación idealista de esas identidades formales: «Una observación más a fondo de la física de esos numerosos temas pone, de hecho, de manifiesto que las ecuaciones no son verdaderamente idénticas. La ecuación que se ha encontrado para la difusión de los neutrones es solamente una aproximación, que nada más es válida para distancias grandes frente al recorrido libre medio, miráramos las cosas más de cerca, veríamos que los neutrones individuales se desplazan en diferentes direcciones. […] La ecuación diferencial es una aproximación, porque hemos admitido que los neutrones estaban equirrepartidos en el espacio.

»¿Puede ser que aquí reside la clave del problema? ¿Que lo común a todos los fenómenos sea el espacio, el marco en que la física está situada? Mientras las cosas varíen en el espacio de manera razonablemente suave, lo importante serán las variaciones de las magnitudes con la posición en el espacio. Por ello obtenemos siempre una ecuación con un gradiente. Las derivadas deben aparecer en forma de un gradiente o de una divergencia: como las leyes de la física son independientes de la dirección, han de poderse expresar en forma vectorial. Las ecuaciones de la electrostática son las ecuaciones vectoriales más simples, que no contienen más que las derivadas de las magnitudes respecto a las coordenadas del espacio. Cualquier otro problema simple —o cualquier simplificación de un problema complicado— ha de parecerse a un problema de electrostática. Lo común a todos nuestros problemas es que hacen intervenir al espacio, y que hemos imitado lo que hace de él un fenómeno complicado mediante una ecuación diferencial sencilla».

Evidentemente, estas observaciones poseen un carácter general y valen para todas las situaciones de plurivalencia. Así pues, es a través de un proceso general de aproximación y de abstracción como diversos fenómenos físicos llevan a matemáticas análogas. Nótese que tales convergencias llevan, por otra parte, a la construcción de nuevos conceptos físicos comunes a dominios muy diversos. Así, los conceptos de resonancia, de impedancia, etc., desempeñan un papel fundamental en todos los fenómenos oscilatorios (eléctricos, mecánicos, acústicos, etc.) puesto que éstos están regidos por ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Conforme a la tesis antes enunciada, lo que fundamenta y constituye a los conceptos físicos en cuestión es, en verdad, esta maternatización específica.

Recíprocamente, este fenómeno de plurivalencia no deja tampoco de tener su efecto sobre las propias matemáticas. Por otra parte, la idea de una preexistencia de las estructuras matemáticas respecto de los conceptos físicos que permiten constituir, no sólo no está fundamentada ontológicamente, sino que tampoco tiene un fundamento histórico. Para darse cuenta de ello, no hay más que ver la emergencia simultánea y estrechamente interconectada del cálculo diferencial e integral.^[11] Habría que abrir aquí todo el capítulo de la relación inversa de la física con las matemáticas. Se descubriría entonces un doble movimiento contradictorio en el interior de las matemáticas, tendentes por una parte a convertirse en totalmente autónomas mediante la instalación de mecanismos propios de desarrollo, y persistiendo por otro lado en encontrar motivaciones y apoyos en la física. Esta tendencia contradictoria —independencia-interdependencia— sería particularmente interesante de estudiar en casos actuales: relación entre la teoría matemática de las representaciones de los grupos localmente compactos y la utilización de los principios de simetría en física cuántica; relación entre la teoría de las álgebras estrelladas y la teoría cuántica «axiomática» de los campos.

5. La física matemática

Intentaremos ahora precisar la naturaleza bastante particular de la «física matemática» como rama especializada de la física. Para empezar, distinguiremos entre la física teórica y la física matemática.

La física teórica pone al descubierto leyes y las aplica; crea y pone en práctica conceptos físicos bajo el control de la física experimental y en interacción con ella. Consta de distintos niveles, que pueden ir desde la interpretación de un cierto resultado experimental especializado mediante leyes físicas conocidas, hasta la búsqueda de nuevas leyes fundamentales. Es matemática en la medida en que las matemáticas desempeñan el papel constitutivo antes indicado.

En general, se designa por el nombre de física matemática una actividad mucho más especializada, que podría describirse como un trabajo de reestructuración y depuración de la física teórica. Las formulaciones de las teorías físicas, en el momento de su nacimiento, aparecen como edificios nuevos, ciertamente, pero recubiertos todavía de andamios y sembrados de ruinas procedentes de las antiguas construcciones a las que sustituyen. La labor de la física matemática podría describirse como la de retirar los andamios, recoger las ruinas y hacer patente a plena luz la estructura interna del edificio, la naturaleza y solidez de sus cimientos así como sus puntos débiles. Se trata, pues, de una actividad que tiene necesariamente como objeto teorías y conceptos ya creados y afianzados. Permite evaluar el grado exacto de correlación entre un cierto número de enunciados teóricos y estimar, en consecuencia, la rigidez o la flexibilidad relativas de un sistema teórico, frente a la necesidad o la eventualidad de una reestructuración. Daremos como ejemplo ciertos desarrollos de la teoría de la relatividad restringida. El núcleo de esta teoría, a saber la invariancia de las leyes físicas por el grupo de transformaciones de Lorentz, quedó establecido por Einstein a partir de la hipótesis de la constancia universal de la velocidad de la luz. No obstante, esta constancia es un resultado experimental susceptible siempre de ser de nuevo puesto en tela de juicio. ¿Echaría ello por tierra la propia teoría de la relatividad? Es labor del físico matemático establecer la naturaleza de la correlación entre dicha hipótesis y dicha teoría. Sabemos ahora que la teoría de la relatividad puede basarse en hipótesis mucho más generales, a partir de la existencia de un principio de relatividad abstracto y con la ayuda de la teoría de grupos. Hoy en día se considera, incluso, que la constancia de la velocidad de la luz es una consecuencia muy particular de la relatividad einsteniana, debida a la nulidad de masa del fotón.

Nos encontramos aquí de nuevo con la imposibilidad de axiomatizar la física de una manera única —siquiera en un momento dado—. Resulta en efecto esencial saber que una ley o una teoría física puede deducirse de varios surtidos de principio, más o menos generales, más o menos plausibles. Si la práctica invalida a la propia teoría, se sacará la conclusión de que al menos una hipótesis de cada surtido no es válida. A la inversa, cuando quede contradicha una hipótesis hay que abstenerse de llegar a la conclusión de que la teoría ha fracasado en su conjunto.^[12] Sin embargo, la física matemática es una actividad de físico y no de matemático, puesto que la naturaleza de las teorías que somete a investigación y el tipo de hipótesis alternativas que se ve llevada a formular, responden al desarrollo general de la física y toman necesariamente en cuenta, de cerca o de lejos, su práctica experimental: los límites con los que topó un matemático tan brillante como Poincaré en su actividad de físico, a propósito de la relatividad restringida, ilustran claramente estas observaciones.

Existen condiciones internas a la práctica científica, como la dificultad que entrañan ciertos problemas, además de condiciones externas, como la división social del trabajo científico, que pueden dar cuenta de la distinción entre «física teórica» y «física matemática». Esta última expresión, que se introdujo en el siglo pasado, en el apogeo de la física llamada clásica, cayó en desuso durante los años de desarrollo de la física llamada moderna; desde hace una treintena de años, ha adquirido una cierta extensión, debido tanto a las dificultades de crecimiento de determinadas ramas teóricas como al incremento de la especialización de los científicos.

6. Las matemáticas y la especificidad de la física

La singularidad de la física en su relación con las matemáticas resulta, evidentemente, muy difícil de captar por parte de aquellas concepciones que hacen de las matemáticas un «lenguaje». En efecto, los defensores de estas concepciones se ven forzados a pensar este lenguaje como universal, es decir, como susceptible de aplicarse a todas las disciplinas científicas. Este punto de vista obliga, pues, a tratar a la física, donde, de manera empíricamente evidente, las matemáticas «funcionan mejor», como diferente de las otras ciencias sólo cuantitativamente. Esta diferencia puede pensarse históricamente, diciendo que la física está «más adelantada» que las demás ciencias y que ello explica su grado de matematización más avanzado.^[13] Un mejor control de las condiciones de experimentación, por ejemplo, daría cuenta de la posibilidad de medir, cuantitativamente, toda magnitud física. A su vez, esta mensurabilidad general sería la que permitiría la intervención de las matemáticas, «ciencia del número» por excelencia. Este punto de vista no solamente no explica por qué habría de tener la física este privilegio histórico, sino que además es completamente erróneo. Reducir las matemáticas a la manipulación de lo cuantitativo constituye un error del mismo tipo que el de considerarlas como un simple lenguaje. Incluso en las ramas de las matemáticas que intervienen con ocasión de cálculos numéricos corrientes, existen conceptos fundamentales, como los de derivada, o de límite, que no son numéricos. Nótese a fortiori el papel que desempeña en física la teoría de grupos, cuya relación con el aspecto cuantitativo de las medidas físicas es, como mínimo, lejana.

Podría sentirse entonces la tentación de localizar la singularidad de la física en el objeto de su práctica, más que en su situación histórica. Y es así como encontramos expresada la idea de que la física es «más fundamental» que las otras ciencias de la naturaleza. Puesto que acomete el estudio de las estructuras más profundas de la naturaleza, pondría de manifiesto sus leyes más generales, pensadas implícitamente como «más simples», en sentido ontologico, y por consiguiente más matematizables. En cualquier caso, llegamos a una estructura jerarquizada de las ciencias: ¿no se ha dicho que la física era la «reina de las ciencias»? La matematicidad adquiere entonces un carácter normativo y se convierte en criterio de cientificidad. Pero el propio desarrollo de las distintas disciplinas científicas contradice este punto de vista, tanto si se trata de la persistencia como disciplinas autónomas de ciencias tales como la química y la geología, como si se trata de la aparición de nuevas ciencias como la biología molecular. Estas ciencias disponen de sus propios conceptos, que no están matematizados, pero cuya coherencia mutua y la relación con las prácticas experimentales específicas de su dominio bastan para garantizar la cientificidad. De hecho, el conocimiento que la física proporciona de la estructura atómica y la posibilidad que aporta de edificar una teoría detallada de la valencia o de la reacción química, no convierten por ello a esos conceptos de la química en inútiles y caducos; muy al contrario, permiten profundizar en ellos, al menos en la medida en que muestran sus límites, y merced precisamente a ello. En otras palabras, cuando los progresos de una disciplina científica le dan acceso a un dominio que, hasta entonces, le estaba reservado a otra, no se trata en general de un simple desplazamiento de frontera. Lo que sucede, más bien, es que se instaura un estatuto de doble nacionalidad, con todas las ventajas e inconvenientes que ello puede suponer. Aquí, el verdadero problema sería el de la naturaleza de la relación entre dos ciencias: aplicación o constitución. Los casos de la física y de la química, de la química y de la biología, merecerían que se les prestara una gran atención.

Nos encontramos, en consecuencia, ante una doble dificultad: por una parte hay que explicar la singularidad de la física en su relación con las matemáticas; por otra parte, hay que especificar la distinción entre la física y las demás ciencias de la naturaleza. Ni los métodos experimentales de la física, ni su historia, ni su objeto permiten contestar a esas dos preguntas: toda «respuesta» a una de ellas refuerza el misterio de la otra.

En oposición con las tentativas de solución arriba evocadas, la tesis que proponemos sublima simultáneamente ambas cuestiones: la determinación específica de la física la constituye su relación con las matemáticas. En otras palabras, si tal o tal cantón del continente de las ciencias de la naturaleza accede al reconocimiento que supone situarlo en el territorio de la física, ello es así merced a la naturaleza de su relación con las matemáticas, por el papel constitutivo que éstas desempeñan en él.

Daremos primeros algunas pruebas históricas. Cuando se opera, con Galileo, la ruptura epistemológica que funda a la física como ciencia en sentido estricto, Descartes hace el siguiente comentario: «En general, encuentro que Galileo filosofa mucho mejor que lo que es común, en cuanto que abandona tanto como le es posible los errores de la Escuela, y trata de examinar los temas físicos mediante razones matemáticas. En esto estoy enteramente de acuerdo con él y mantengo que no existe en absoluto ningún otro medio para encontrar la verdad». Añadamos, por otra parte, que de lo que se trata en el comentario de Descartes es del libro de Galileo al que éste menciona, por lo general, en su correspondencia como Tratado del movimiento, pero que se publicó con el título, debido sin duda al editor que quería llamar la atención sobre su novedad, de Discurso y demostraciones matemáticas pertenecientes a dos ciencias nuevas.

Siglo y medio más tarde, la electricidad y el magnetismo no ingresaron verdaderamente en la física más que con la ley de Coulomb, después de haber dependido previamente de concepciones esencialmente vitalistas que, no obstante, no impidieron importantes progresos experimentales (botella de Leyde, máquinas electrostáticas, pilas voltaicas). La novedad de este punto de vista la expresó Delambre en 1810 al declarar: «Todo lo que concierne a la luz, la gravedad, el movimiento y el choque de los cuerpos es, hoy, casi únicamente incumbencia de la geometría […]. Se ha intentado incluso someter al cálculo los fenómenos magnético y eléctrico». Añadamos un ejemplo más: la intervención de las matemáticas, subespecie de la teoría de grupos, que convirtió, a finales del siglo XIX, a la cristalografía en un dominio de la física.

Si se adopta un punto de vista analítico más que histórico, se constata que las disciplinas frontera, como la química física, la geofísica, la biofísica, etc., no pueden definirse por sus objetos (que son, evidentemente, los mismos que los de la química, de la geología, de la biología, en la medida en que éstos estén definidos), ni por sus métodos experimentales, que, por otra parte, evolucionan constante y rápidamente; sólo las define el tipo de conceptualización, constituida matemáticamente, que utilizan. El caso de la astrofísica merece ser mencionado aquí; permite prevenir contra una interpretación formalista de la tesis que hemos expuesto, que pensaría la determinación específica de la física por su relación con las matemáticas como enfeudación de la una a las otras, instituyendo una relación a fin de cuentas jerárquica. Ello representaría «olvidar» la existencia de prácticas experimentales de un tipo muy particular que separan a las ciencias experimentales, incluida la física, de las matemáticas. Efectivamente, la astronomía, mucho más vieja que la física, se consideraba como una disciplina matemática y siguió siendo considerada como tal hasta mucho después del nacimiento de la física. La fundación de la astrofísica (que se puede hacer remontar al final del siglo pasado) y la progresiva extinción, en su provecho, de la astronomía, son precisamente resultado de la importación de esas prácticas experimentales a un dominio ya constituido matemáticamente, proporcionándole por otra parte una extensión considerable.^[14] Este caso muestra que los desplazamientos de frontera no tienen necesariamente lugar en un sentido único a lo largo de la clasificación positivista de las ciencias. Como hemos tratado de poner de manifiesto en el caso de las matemáticas y la física, la propia idea de clasificación universal, de jerarquía, no sirve por lo general más que para enmascarar la necesidad de comprender simultáneamente la especificidad de las ciencias y sus relaciones mutuas a través de las prácticas que les son propias.

Bibliografía