Apéndice 6
La hipótesis del continuo y el axioma de elección
Nota del Editor
Entre aquellos enunciados que son independientes (indecidibles) con respecto a la teoría ZF y tales que tomar partido por lo que hace a su verdad acarrea consecuencias importantes en matemáticas, podemos citar la hipótesis del continuo y el axioma de elección (abreviadamente: AC).
La hipótesis del continuo consiste en afirmar que el cardinal del continuo (el cardinal del conjunto de los números reales, o lo que es igual, el del conjunto integrado por todas las partes del conjunto de los números racionales) es el primer cardinal no numerable, que se nota ℵ1 (alef uno), utilizándose para el infinito numerable (el del conjunto de los números enteros, por ejemplo, o de los números racionales) la notación ℵ0. La hipótesis generalizada del continuo (abreviadamente: HGC) consiste en afirmar que 2ℵα = ℵα+1 para todo ordinal α (2ℵα equivale al conjunto de las partes de ℵα o al conjunto de las aplicaciones de ℵα en 2, considerando a este último como un conjunto cuyos únicos elementos son 0 y 1: el lector reconocerá aquí las funciones características…).
La hipótesis del continuo fue formulada por Cantor como un problema del que esperaba proporcionar una solución positiva. Por esto se empeñó en demostrarlo durante la última parte de su vida, pero sus esfuerzos fueron infructuosos. La obstinación de Cantor es fácil de comprender: la demostración del problema hubiera constituido, sin ningún género de duda, el más bello resultado de la teoría de conjuntos, y habría representado la culminación de sus trabajos sobre el tema.
Mucho más tarde, los lógicos explicaron por qué las tentativas de Cantor de resolver la hipótesis del continuo hubieron de resultar en balde; la hipótesis del continuo es independiente de la teoría ZF, al igual que lo es, por otra parte, el axioma de elección.
Un enunciado A es independiente (o indecible) con respecto a una teoría T si no es ni demostrable ni refutable en T. En términos generales, las demostraciones de independencia utilizan la siguiente propiedad lógica, susceptible de formularse de dos maneras equivalentes: sintácticamente, en términos de demostrabilidad, o semánticamente, en términos de realizabilidad o de modelos (véase el apéndice 1: «Tesis, deducción…»).
Sintácticamente, un enunciado A es demostrable a partir de una teoría T si y sólo si la teoría T+(no A), constituida por los axiomas de T y la negación de la fórmula A, es contradictoria. Semánticamente, un enunciado A es consecuencia lógica de una teoría T (es decir, que todo modelo que satisface a los axiomas de T satisface también a la fórmula A) si y sólo si la teoría T+(no A) no admite ningún modelo. La equivalencia entre las dos formulaciones, sintáctica y semántica, es una de las maneras de expresar el teorema de compleción de Gödel para las teorías de primer orden (véase el apéndice 1: «Tesis, deducción…»).
La mayoría de las demostraciones de independencia se hacen semánticamente, por el método de los modelos. Para demostrar que un enunciado A no es demostrable formalmente en la teoría T, basta con encontrar un modelo de la teoría T+(no A); y para demostrar que un enunciado A es independiente relativamente a la teoría T, basta con encontrar un modelo de T+A y, luego, un modelo de T+(no A). Sin embargo, el teorema de incompleción de Gödel (véase el apéndice 3: «Teoría, metateoría…») trae aparejado que no puedan crearse ex nihilo modelos de la teoría ZF que satisfagan eventualmente a otros enunciados. Hay que contentarse con exhibir modelos relativos (en semántica) o con demostrar la consistencia relativa (en sintaxis). En la práctica, para demostrar que un enunciado no A es irrefutable en la teoría ZF, se demuestra el enunciado siguiente: «Si la teoría ZF admite un modelo, entonces la teoría ZF+A admite también un modelo».
Entre 1938 y 1940, K. Gödel demostró que la hipótesis generalizada del continuo así como el axioma de elección eran consistentes relativamente a la teoría de conjuntos, digamos a ZF. En realidad, Gödel tomó en consideración otro sistema axiomático, hoy llamado sistema de von Neumann, Bernays y Gödel, abreviadamente NBG. Pero luego se demostró que las dos teorías ZF y NBG eran equiconsistentes: el resultado demostrado por Gödel para el sistema NBG vale también, por ello, para el sistema ZF. Dicho resultado quiere decir que, si ZF es consistente o, equivalentemente, si ZF admite un modelo, ZF+AC+HGC (es decir, la teoría de conjuntos que tiene como axiomas: 1.º los de la teoría ZF; 2.º el axioma de elección; 3.º la hipótesis generalizada del continuo) es asimismo consistente (también se dice coherente o no contradictoria en lugar de consistente). La demostración de Gödel consiste en construir, a partir de un modelo de ZF, un modelo llamado de conjuntos constructibles que verifica los axiomas de ZF+AC+HGC. De ahí resulta inmediatamente que la hipótesis del continuo y el axioma de elección son irrefutables en el sistema ZF.
En 1963, P. J. Cohen demostró que la negación de la hipótesis generalizada del continuo así como la negación del axioma de elección eran consistentes relativamente a ZF; la demostración hace uso del método del forzamiento (en inglés: forcing),[77] que ha demostrado ser muy fecundo, aún más que el método de los conjuntos constructibles de Gödel, para resolver muchas otras cuestiones metamatemáticas, algunas de las cuales tienen consecuencias nada banales para las matemáticas cotidianas. Del resultado se desprende inmediatamente que ni la hipótesis del continuo ni el axioma de elección pueden demostrarse a partir del sistema ZF.
Así pues, la hipótesis del continuo y el axioma de elección son ejemplos (importantes) de enunciados indecidibles relativamente a la teoría ZF. Este fenómeno de independencia explica a posteriori que las investigaciones de Cantor y de sus sucesores para decidir la hipótesis del continuo no hayan llegado a ningún resultado. Otra situación parecida a ésta (véase el artículo de J. Dieudonné, págs. 186 a 189) es la de aquellos matemáticos que, a partir de Cardano, en el siglo XVI, buscaron en vano fórmulas que proporcionaran las soluciones por radicales de las ecuaciones de quinto grado; al crear la teoría de grupos, Lagrange y Galois demostraron por qué no existían tales soluciones.
Pero estos enunciados que son indecidibles relativamente a la teoría ZF, ¿son indecidibles en sí? Tal cuestión le parecerá ridícula al formalista y desprovista de sentido al constructivista (véase el texto de R. Apéry, págs. 222-225). Sin embargo, posee un sentido profundo para aquel matemático (y éste es el caso general) que piensa que la ciencia matemática no se reduce a un puro juego de manipulación de símbolos de acuerdo con determinadas reglas (véase el texto de R. Fraïssé, págs. 211 y sigs.), sino que existen entes matemáticos que están tras las teorías formales que los aprehenden. También Gödel (cf. «What is Cantor’s continuum problem?», 1947 y 1964) estaba persuadido de que un día se llegaría a decidir la hipótesis del continuo, una vez que se hubieran encontrado los buenos axiomas de la teoría de conjuntos. Sin embargo, es imposible resolver todas las cuestiones indecidibles dentro de un sistema único; en efecto, del teorema de incompleción de Gödel resulta que toda teoría axiomática de conjuntos, como toda teoría de primer orden más fuerte que la aritmética, comprende enunciados indecidibles y no es posible axiomatizar la teoría de conjuntos de manera que se la haga completa.
Al tener consecuencias decisivas en matemáticas, la independencia de enunciados crea una situación particular, que a un constructivista o a un platónico le resulta incómoda. En teoría, deja al matemático en completa libertad de tomar esos enunciados o sus negaciones como axiomas suplementarios, o bien, de rechazar a los unos y las otras. Esta última actitud, tanto en el caso del constructivista como del platónico, refleja una prudencia ontológica. Para el constructivista, admitir uno u otro de dichos enunciados contrarios vendría a ser lo mismo que hacer intervenir en matemáticas —¡actividad humana por excelencia!— un deus ex machina. Para el platónico, las consecuencias de esos enunciados —las matemáticas que reposan sobre tales enunciados—, son cosa de ciencia-ficción, puesto que aquéllos no poseen verdad ontológica intrínseca.
En la práctica, la riqueza de consecuencias guía y determina la elección de los matemáticos, y puede ser que el futuro les lleve a cambiar de actitud con respecto a las teorías conjuntistas. Entre los enunciados que ya poseen consecuencias interesantes sobre las matemáticas cotidianas y que son susceptibles de ser adoptados algún día como verdaderos axiomas de la teoría de conjuntos, hay que señalar el axioma de Solovay (véase a continuación el apéndice 7), los axiomas de determinación (en particular, el axioma de determinación proyectiva), los axiomas que postulan la existencia de cardinales muy grandes, la hipótesis ◊ («diamante») de Jensen, los enunciados «0 (0 sostenido) existe» y «x (x sostenido) existe» (siendo x un conjunto de enteros) y el axioma de Martin. Estos axiomas son verdaderamente hipotéticos: la mayoría de esos enunciados traen, en efecto, aparejada la consistencia de ZF. Así pues, es imposible demostrarlos en ZF en el caso de que sean verdaderos; pero si algunos de entre ellos son falsos, puede esperarse que un día se caiga en la cuenta de ello (¡antes del juicio final!) a fuerza de extraer consecuencias de los mismos (véase el artículo de R. Fraïssé, pág. 64).
El lector que desee conocer más sobre el tema puede consultar la obra colectiva, dirigida por J. Barwise, Handbook of mathematical Logic (Amsterdam, North-Holland, 1978), verdadera biblia de lo que se ha hecho en lógica matemática durante los últimos veinticinco años.