^[15.1] Una representación del grupo de Galois en un grupo H es una regla que asigna a cada elemento del grupo de Galois un elemento de H. Debería satisfacer la condición de que si a, b son dos elementos del grupo de Galois y f(a), f(b) son los elementos de H asignados a ellos, al producto ab en el grupo de Galois se le debería asignar el producto f(a) · f(b) en H. Un nombre más apropiado para esto es el de homomorfismo del grupo de Galois en H. <<

^[15.2] Para obtener un poco más de precisión al respecto, recordemos la noción de espacio vectorial n-dimensional de la nota 17 del capítulo 10. Como hablamos en el capítulo 2, una representación n-dimensional de un grupo dado es una regla que asigna una simetría S_g de un espacio vectorial n-dimensional a cada elemento g de este grupo. Esta regla ha de satisfacer la siguiente propiedad: para dos elementos cualesquiera del grupo, g y h, y su producto gh en el grupo, la simetría S_gh es igual a la composición de S_g y S_h. También se requiere que para todo elemento g tengamos S_g( + ) = S_g() + S_g() y S_g(k · ) = k · S_a() para todo vector , y un número k. A estas simetrías se les llama transformaciones lineales; véase nota 2 del capítulo 14.

Al grupo de todas las transformaciones lineales invertibles de un espacio vectorial n-dimensional se le denomina grupo lineal general. Se escribe como GL(n). Así, según la definición del párrafo anterior, la representación n-dimensional de un grupo dado Γ es igual que una representación de Γ en GL(n), o un homomorfismo de Γ en GL(n); véase nota 1.

Por ejemplo, en el capítulo 10 hablábamos de la representación tridimensional del grupo SO(3). Cada elemento del grupo SO(3) es una rotación de la esfera, a la que asignamos la correspondiente rotación del espacio vectorial tridimensional que contiene la esfera (resulta ser una transformación lineal). Esto nos proporciona una representación de SO(3) en GL(3), o, de modo equivalente, un homomorfismo de SO(3) en GL(3). De modo intuitivo, podemos pensar en la rotación como en «actuar» sobre el espacio tridimensional, rotando cada vector en este espacio hacia otro vector.

En un lado de la relación Langlands (también conocida como correspondencia Langlands) observamos representaciones n-dimensionales del grupo de Galois. En el otro lado tenemos funciones automorfas que se pueden emplear para construir las llamadas representaciones automorfas de otro grupo GL(n) de simetrías del espacio vectorial n-dimensional, aunque no sobre los números reales, sino sobre lo conocido como adeles. No intentaré explicar qué son estos, pero el siguiente diagrama muestra esquemáticamente cómo sería la relación Langlands:

Por ejemplo, dos representaciones bidimensionales del grupo de Galois están relacionadas con las representaciones automorfas del grupo GL(2), que se pueden construir a partir de las formas modulares de las que hablamos en el capítulo 9.

Se obtiene una generalización de esta relación sustituyendo el grupo GL(n) por un grupo de Lie más general. Entonces, en el lado derecho de la relación tenemos representaciones automorfas de G, en lugar de las de GL(n). En el lado izquierdo tenemos representaciones del grupo de Galois en el grupo dual Langlands ^LG, en lugar de en GL(n) (o, de modo equivalente, homomorfismos del grupo de Galois en ^LG). Para más detalles véase, por ejemplo, mi artículo Frenkel, Edward, «Lectures on the Langlands Program and conformal field theory», en Frontiers in Number Theory, Physics and Geometry II, Cartier, P. et al. (eds.), pp. 387-536, Springer-Verlag, Berlín/Nueva York 2007, disponible online en arxiv.org. <<

^[15.3] Véase el vídeo en www.youtube.com. <<

^[15.4] Esta danza se llama binasuan. Véase, por ejemplo, el vídeo www.youtube.com. <<

^[15.5] Para la construcción de este camino y la explicación de por qué si lo recorremos dos veces obtenemos un camino trivial, véase, por ejemplo, Kaufmann, Louis H., Knots and Physics, World Scientific, Nueva Jersey/Singapur, 2001³, pp. 419-420. <<

^[15.6] Dicho de otro modo, el grupo fundamental de SO(3) consiste en sólo dos elementos: uno es la identidad y el otro es el camino, cuyo cuadrado es la identidad. <<

^[15.7] El nombre matemático de este grupo es SU(2). Consiste en las transformaciones «unitarias especiales» del espacio vectorial complejo bidimensional. Este grupo es primo hermano del grupo SU(3) del que hablamos en el capítulo 2 en relación a los quarks, y que consiste en transformaciones unitarias especiales del espacio vectorial complejo tridimensional. <<

^[15.8] De un modo más preciso, la elevación del camino cerrado que hemos construido (correspondiente al primer giro del vaso) del grupo SO(3) a su doble recubrimiento, el grupo SU(2), será un camino que comienza y acaba en diferentes puntos de SU(2), puntos ambos que se proyectan sobre el mismo punto de SO(3), de modo que no se trata de un camino cerrado en SU(2). <<

^[15.9] En general, esta relación es más sutil, pero para simplificar, en este libro daremos por sentado que el dual del grupo dual es el propio grupo. <<

^[15.10] Un fibrado principal G (o G-fibrado) sobre una superficie de Riemann es una fibración sobre la superficie de Riemann tal que todas las fibras son copias de la «complexificación» del grupo G (se define sustituyendo, en la definición del grupo, números reales por números complejos). Los puntos del espacio de móduli (más correctamente llamadas pilas), del G-fibrado sobre X son la clase equivalente a los G-fibrados sobre X.

A fin de simplificar la explicación, en este libro no hacemos distinción entre un grupo de Lie y su complexificación. <<

^[15.11] En el grupo fundamental identificamos dos caminos cerrados cualesquiera que puedan deformarse hasta ser uno como el otro. Dado que cualquier camino cerrado en el plano que no rodee el punto extraído se puede contraer hasta un punto, los elementos no triviales del grupo fundamental son aquellos caminos cerrados que rodean este punto (los que no se pueden contraer, porque el punto que hemos retirado del plano constituye un obstáculo para hacerlo).

Es fácil darse cuenta de que dos caminos cerrados cualesquiera con el mismo índice pueden deformarse hasta ser uno como el otro. De modo que el grupo fundamental del plano sin un punto no es sino el grupo de los números enteros. Nótese en este debate las reminiscencias de lo que hablamos en el capítulo 5 sobre el grupo de trenzas con dos hebras, que también resultó ser el mismo que el grupo de números enteros. No se trata de una coincidencia, puesto que el espacio de pares de puntos distintos en el plano es topológicamente equivalente al plano con un punto retirado. <<

^[15.12] La razón por la que la monodromía toma valores en el grupo circular reside en la famosa fórmula de Euler:

En otras palabras, el número complejo está representado por el punto en la circunferencia unidad correspondiente al ángulo θ medido en radianes. Recordemos que 2π radianes equivalen a 360 grados (lo que corresponde a una rotación completa de la circunferencia). Por lo tanto, el ángulo θ medido en radianes es el ángulo 360·θ/2π grados. Un caso especial para esta fórmula, para θ = π, es

al que Richard Feynman llamó «una de las fórmulas más notables, casi asombrosas, de todas las matemáticas». Desempeñó un papel preeminente en la novela The Housekeeper and the Professor, de Ogawa, Yoko, Picador, Nueva York, 2009. [Hay trad. cast.: La fórmula preferida del profesor, Funambulista, Madrid, 2008, trad. de H. Jiménez Ferrer y L. González Sotos]. Otro caso especial, no menos importante, es = 1.

Esto significa que la circunferencia unidad en el plano complejo con la coordenada t, sobre el que se define la solución para nuestra ecuación diferencial, consiste en todos los puntos de la forma t = , donde θ varía entre 0 y 2π. A medida que nos movemos a lo largo de la circunferencia unidad en el sentido contrario a las agujas del reloj, estamos evaluando nuestra solución x(t) = tⁿ en los puntos t = , permitiendo que el ángulo θ aumente desde 0 a 2π (en radianes). Hacer la circunferencia completa significaría hacer que θ fuera igual a 2π. Por lo tanto, para obtener el correspondiente valor a nuestra solución, deberemos sustituir t = en tⁿ. El resultado es . Pero el valor original de la solución se obtiene sustituyendo t = 1 en tⁿ, que es 1. Por lo tanto, hallamos que cuando recorremos el camino cerrado en dirección contraria a las manecillas del reloj a lo largo de la circunferencia unidad, nuestra solución se ve multiplicada por . Y esa es la monodromía a lo largo de este camino.

Esta monodromía es un número complejo que se puede representar mediante un punto en la circunferencia unidad en otro plano complejo. Ese punto corresponde al ángulo 2πn radianes, o 360n grados, que es lo que queríamos mostrar. En realidad, multiplicar cualquier número complejo z por equivale, geométricamente, a rotar el punto del plano correspondiente a z por 360n grados. Si n es un entero, entonces = 1, de modo que no se da monodromía, pero si n no es un entero, tenemos una monodromía no trivial.

Para evitar confusiones, quisiera subrayar que aquí tenemos dos planos complejos diferentes: uno es el plano complejo en el que se define nuestra solución: el «t-plano». El otro es el plano en el que representamos la monodromía. No tiene nada que ver con el t-plano.

Para recapitular: hemos interpretado la monodromía de la solución a lo largo de un camino cerrado con el índice +1 sobre el t-plano como un punto de otra circunferencia unidad. De modo similar, si el índice del camino es w, entonces la monodromía de este camino es , que equivale a la rotación de 2πnw radianes, o 360wn grados. Así pues, la monodromía da lugar a una representación del grupo fundamental del grupo circular. Bajo esta representación, el camino en el t-plano sin un punto, cuyo índice es w, va a la rotación por 360wn grados. <<

^[15.13] Nótese que es importante que hayamos eliminado un punto, el origen, del plano. De otra manera, todo camino en el plano se colapsaría y el grupo fundamental sería trivial. Luego no sería posible ninguna monodromía. Estamos obligados a eliminar este punto porque nuestra solución, tⁿ, no se define en el origen si n no es un número natural o 0 (en ese caso no hay monodromía). <<

^[15.14] Para ser más exactos, no todas las representaciones del grupo fundamental en ^LG se pueden obtener mediante opers, y en este diagrama nos restringimos a las que sí se puede. Para otras representaciones, el interrogante sigue abierto. <<

^[15.15] Frenkel, Edward, Langlands correspondence for loop groups, Cambridge University Press, Cambridge, 2007. Hay una versión online disponible en math.berkeley.edu. <<

^[16.1] Puede que se esté preguntando qué ocurrió entre 1991 y 2003. Bueno, mi principal objetivo en este libro es explicarle acerca de los diversos aspectos del Programa Langlands que encuentro más interesantes, y cómo se efectuaron los descubrimientos en esta área, en los que tuve la suerte de participar. No intento relatar la historia de mi vida hasta la fecha. Pero, por si tiene curiosidad, durante esos años trasladé a mi familia de Rusia a Estados Unidos, me mudé al Oeste, a Berkeley, California, me enamoré y luego me desenamoré, me casé y me divorcié, llevé un montón de estudiantes de doctorado, viajé y di conferencias por todo el mundo y publiqué un libro y decenas de artículos académicos. Proseguí intentando descubrir los misterios del Programa Langlands en diferentes dominios: desde la geometría hasta los sistemas integrables, de grupos cuánticos a la física cuántica. Le ahorraré los detalles de esta parte de mi vida para otro libro. <<

^[16.2] Véase www.darpa.mil. <<

^[16.3] Hardy, G. H., A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, Cambridge, 2009, p. 135. [Hay trad. cast.: Autojustificación de un matemático, Ariel, Barcelona, 1981, trad. de Domènec Bergadá]. <<

^[16.4] Testimonio ante el Congreso de R. R. Wilson, 17 de abril de 1969, citado en history.fnal.gov. <<

^[16.5] Las ecuaciones de Maxwell en el vacío tienen esta forma:

en las que señala el campo eléctrico y señala el campo magnético (para simplificar las fórmulas, escogemos un sistema de unidades en que la velocidad de la luz es igual a 1). Está claro que si transformamos

las ecuaciones del lado izquierdo se convertirán en las ecuaciones del lado derecho, y viceversa. Por lo tanto, las ecuaciones cambian individualmente, pero el sistema de ecuaciones no lo hace. <<

^[16.6] Véase la página de Flickr de Dayna Mason: http://www.flickr.com/ photos/daynoir <<

^[16.7] Este grupo gauge SU(3) no debería confundirse con el otro grupo SU(3) nombrado en el capítulo 2, y empleado por Gell-Mann y otros para clasificar partículas elementales (se llama «grupo de sabor»). El grupo de gauge SU(3) tiene que ver con una característica de los quarks llamada «color». Resulta que cada quark puede tener tres colores diferentes, y el grupo de gauge SU(3) es el responsable de cambiar estos colores. Por ello, la teoría de gauge que describe la interacción de quarks recibe el nombre de cromodinámica cuántica. David Gross, David Politzer y Frank Wilczek recibieron el premio Nobel por su sorprendente descubrimiento de la denominada libertad asintótica en la cromodinámica cuántica (y otras teorías de gauge no abelianas), que contribuyó a explicar el misterioso comportamiento de los quarks. <<

^[16.8] Zhang, D. Z., «C. N. Yang and contemporary mathematics», Mathematical Intelligencer, vol. 15, n.º 4, 1993, pp. 13-21. <<

^[16.9] Einstein, Albert, «Geometría y experiencia», discurso ante la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín, 27 de enero de 1921. Citado en Jeffrey, G., y W. Perrett, Geometry and Experience in Sidelights on Relativity, Methuen, York, 1923. <<

^[16.10] Wigner, Eugene, «The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences», Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 13, 1960, pp. 1-14. <<

^[16.11] Montonen. C., y D. Olive, «Magnetic monopoles as gauge particles?», Physics Letters B, vol. 72, 1977, pp. 117-120. <<

^[16.12] Goddard, P., Nuyts, J. y D. Olive, «Gauge theories and magnetic charge», Nuclear Physics B, vol. 125, 1977, pp. 1-28. <<

^[16.13] S_e es el conjunto de representaciones unidimensionales complejas del toro maximal de G, y S_m es el grupo fundamental del toro maximal de G. Si G es el grupo circular, su toro maximal es el propio grupo circular, y cada uno de estos dos conjuntos está en correspondencia uno a uno con el conjunto de enteros. <<

^[17.1] El espacio M(X, G) puede describirse de varias maneras; por ejemplo, como el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales en X, estudiado por primera vez por Hitchin (véase artículo en la nota 19 para más detalles). Una descripción que nos resultará útil en este capítulo es que M(X, G) es el espacio de móduli de representaciones del grupo fundamental de la superficie de Riemann S en la complexificación del grupo G (véase nota 10 del capítulo 15). Esto significa que se asigna tal representación a cada punto de M(X, G). <<

^[17.2] Véase el vídeo de la conferencia de Hitchin en el Instituto Fields: www.fields.utoronto.ca. <<

^[17.3] Me refiero aquí al reciente trabajo de Ngô Bao Châu acerca de la prueba del «lema fundamental» del Programa Langlands. Véase, por ejemplo, el artículo: Nadler, David, «The geometric nature of the fundamental lemma», Bulletin of American Mathematical Society, vol. 49, 2012, pp. 49-52. <<

^[17.4] Recordemos que en el modelo sigma todo se calcula mediante la suma de las aplicaciones de una superficie de Riemann Σ a la variedad objetivo S. En teoría de cuerdas, efectuamos un paso más: además de sumar todos los mapas de una Σ fijada a S, como hacemos normalmente en el modelo sigma, le sumamos también todas las posibles superficies de Riemann Σ (la variedad objetivo S permanece fija todo el tiempo: es nuestro espacio-tiempo). En particular sumamos las superficies de Riemann de género arbitrario. <<

^[17.5] Para más información acerca de la teoría de supercuerdas, véase Greene, Brian, The Elegant Universe, Vintage Books, Nueva York, 2003, y The Fabric of the Cosmos: Space, Time and the Texture of Reality, Vintage Books, Nueva York, 2005. [Hay trad. cast., El universo elegante, Booket ciencia (Planeta), Barcelona, 2012, trad. de Mercedes García Garmilla. Y El tejido del cosmos, Planeta, Barcelona, 2010, trad. de Javier García Sanz]. <<

^[17.6] Para más información acerca de variedades Calabi-Yau y su papel en la teoría de supercuerdas, véase Yau, Shing-Tung, y Steve Nadis, The Shape of Inner Space, Basic Books, Nueva York, 2010, capítulo 6. <<

^[17.7] Un toro tiene también dos parámetros continuos: básicamente, los radios R₁ y R₂ de que hablamos en este capítulo, pero para el tema tratado en esta opcasión los ignoraremos. <<

^[17.8] Una solución que se ha debatido mucho últimamente es la idea de que cada una de estas variedades da lugar a su propio universo con sus propias leyes físicas. Esto va de la mano de una versión del principio antrópico: nuestro universo se selecciona entre ellas porque las leyes físicas que posee permiten que haya vida inteligente (de tal modo que la pregunta «¿por qué es así nuestro universo?» pueda responderse). Sin embrago, esta idea, denominada «paisaje de la teoría de cuerdas» o «multiverso», ha hallado mucho escepticismo con apoyo en criterios tanto científicos como filosóficos. <<

^[17.9] Muchas de las interesantes propiedades de las teorías cuánticas de campos en varias dimensiones se han descubierto o dilucidado al conectar estas teorías con la teoría de supercuerdas, empleando reducciones dimensionales o estudiando branas. En cierto sentido, la teoría de supercuerdas se ha empleado como fábrica para producir y analizar teorías cuánticas de campos (en su mayoría, supersimétricas). Por ejemplo, de esta manera se obtiene una bella interpretación de la dualidad electromagnética de las teorías de gauge supersimétricas tetradimensionales. De modo que, aunque aún no sabemos si la teoría de supercuerdas es capaz de describir la física de nuestro universo (e incluso pese a que todavía no comprendemos del todo qué es la teoría de supercuerdas), ya ha generado muchos valiosos descubrimientos en teoría cuántica de campos. También ha llevado a numerosos avances en matemáticas. <<

^[17.10] La dimensión del espacio de móduli de Hitchin M(X, G) es igual al producto de la dimensión del grupo G (que es la misma dimensión en ^LG) por (g − 1), donde g indica el género de la superficie de Riemann X. <<

^[17.11] Para más información acerca de las branas, véase Randall, Lisa, Warped Passages: Unraveling the Mysteries of the Universe’s Hidden Dimensions, Harper Perennial, Nueva York, 2006; especialmente el cap. IV. <<

^[17.12] De un modo más preciso, las A-branas en M(X, G) son objetos de una categoría, el concepto del que hablamos en el capítulo 14. Las B-branas en M(X, ^LG) son objetos de otra categoría. La afirmación de simetría especular homológica es que ambas categorías son recíprocamente equivalentes. <<

^[17.13] Kapustin, Anton, y Edward Witten, «Electric-magnetic duality and the geometric Langlands Program», Comunications in Number Theory and Physics, vol. 1, 2007, pp. 1-236. <<

^[17.14] Para más información acerca de la dualidad T, véase capítulo 7 del libro de Yau y Nadis referido en nota 6. <<

^[17.15] Para más información acerca de la conjetura SYZ, véase capítulo 7 del libro de Yau y Nadis referido en nota 6. <<

^[17.16] Para ser más exactos, toda fibra es el producto de n circunferencias, en que n es un número natural, de modo que es un análogo n-dimensional de un toro bidimensional. Nótese también que la dimensión de la base de la fibración Hitchin y la dimensión de cada fibra tórica serán siempre iguales entre sí. <<

^[17.17] En el capítulo 15 tratamos una construcción diferente en la que obteníamos los haces automorfos a partir de representaciones de álgebras Kac-Moody. Se cree que ambas construcciones están relacionadas, pero en el momento de escribir este libro esta relación es aún desconocida. <<

^[17.18] Frenkel, Edward, y Edward Witten, «Geometric endoscopy and mirror symmetry», Communications in Number Theory and Physics, vol. 2, 2008, pp. 113-283, disponible online en arxiv.org. <<

^[17.19] Frenkel, Edward, «Gauge theory and Langlands duality», Astérisque, vol. 332, 2010, pp. 369-403, disponible online en arxiv.org. <<

^[17.20] Thoreau, Henry David, A Week on the Concord and Merrimack Rivers, Penguin Classics, Londres/Nueva York, 1998, p. 291. <<

^[18.1] Snow, C. P., The Two Cultures, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [Existen varias traducciones al castellano, la más conocida, Las dos culturas y un segundo enfoque, Alianza, Madrid, 1977, trad. de Salustiano Masó]. <<

^[18.2] Farber, Thomas, y Edward Frenkel, The Two-Body Problem, Andrea Young Arts, 2012. Véase thetwobodyproblem.com para más detalles. <<

^[18.3] Harris, Michael, Further investigations of the mind-body problem, capítulo de un libro en preparación, disponible online en www.math.jussieu.fr. <<

^[18.4] Thoreau, Henry David, A Week on the Concord and Merrimack Rivers, Penguin Classics, Londres/Nueva York, 1998, p. 291. <<

^[18.5] Bell, E. T., Men of Mathematics, Touchstone Books, Nueva York 1986, p. 16. [Véase nota 8, capítulo 9 para traducciones en castellano]. <<

^[18.6] Langlands, Robert, «Is There Beauty in Mathematical Theories?», en Hössle, Vittorio (ed.), The Many Faces of Beauty, University of Notre Dame Press, Notre Dame (Indiana), 2013, disponible on-line en publications.ias.edu. <<

^[18.7] Manin, Yuri I., Mathematics as Metaphor: Selected Essays, American Mathematical Society, Washington D.C., 2007, p. 4. <<

^[18.8] Los filósofos han debatido sobre la ontología de las matemáticas durante siglos. El punto de vista que defiendo en este libro suele denominarse platonismo matemático. Nótese, sin embargo, que hay diferentes tipos de platonismos, y que hay también otras interpretaciones de las matemáticas. Véase, por ejemplo, Balaguer, Mark, «Mathematical Platonism», en Gols, Bonnie, y Roger Simons (eds.), Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy, Mathematics Association of America, Wasshington D.C., 2008, pp. 179-204, y las referencias que contiene. <<

^[18.9] Penrose, Roger, The Road to Reality, Vintage Books, Nueva York, 2004, p. 15. [Hay trad. cast.: El camino a la realidad: una guía completa de las leyes del universo, Debate, Barcelona, 2007, trad. de Javier García Sanz]. <<

^[18.10] Ibid., pp. 13-14. <<

^[18.11] Gödel, Kurt, Collected Works, vol. III, Oxford University Press, Londres, 1995, p. 320. [Hay trad. cast.: Obras completas, Alianza, Madrid, 2006, trad. y ed. de Jesús Mosterín]. <<

^[18.12] Ibid., p. 323. <<

^[18.13] Penrose, Roger, Shadows of the Mind, Oxford University Press, Londres, 1994, sección 8.47. [Hay trad. cast.: Las sombras de la mente: hacia una comprensión científica de la consciencia, Crítica, Barcelona, 1996, trad. de Javier García Sanz]. <<

^[18.14] En la histórica sentencia «Gottschalk vs. Benson», 409 U. S. 63 (1972) el Tribunal Supremo de Estados Unidos dictaminó (citando casos anteriores llevados a juicio): «una verdad científica, o la expresión matemática de la misma, no es un invento patentable… Un principio, en abstracto, es una verdad fundamental, una causa original, un motivo; estos no se pueden patentar, dado que nadie puede arrogarse la propiedad exclusiva de ninguno de ellos… Quien descubre un fenómeno de la naturaleza hasta entonces desconocido no tiene derecho a monopolio alguno del mismo que la ley reconozca». <<

^[18.15] Frenkel, Edward, Losev, Andrei, y Nikita Nekrasov, «Instantons beyond topological theory I», Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, vol. 10, pp. 463-565. Hay una nota a pie de página en el artículo que explica que la fórmula (5.7) interpretó el papel de «fórmula del amor» en Ritos de amor y matemáticas. <<

^[18.16] Consideramos el modelo mecánico cuántico supersimétrico sobre la esfera (aquí señalado como P¹, y la función de correlación entre dos observables, señalados como F y ω. Esta función de correlación se define en nuestra teoría como la integral que aparece en el lado izquierdo de la fórmula. Sin embargo, nuestra teoría predice una expresión diferente para ella: una suma de los «estados intermedios» que aparecen en el lado derecho. La coherencia de nuestra teoría exige que ambos lados sean iguales entre sí. Y, en efecto, lo son: es lo que dice nuestra fórmula). <<

^[18.17] Le Monde Magazine, 10 de abril de 2010, p. 64. <<

^[18.18] Spinney, Laura: «Erotic equations: Love meets mathematics on film», New Scientist, 13 de abril de 2010, disponible online en ritesofloveandmath.com. <<

^[118.19] Lehning, Hervé, «La dualité entre l’amour et les maths», Tangente Sup, vol. 55, mayo-junio de 2010, pp. 6-8, disponible online en ritesofloveandmath.com. <<

^[18.20] Empleamos el poema Para muchos, de Anna Ajmátova, la gran poetisa rusa de primera mitad del siglo XX. [Disponible en castellano en www.amediavoz.com en trad. de M.^a Teresa León]. <<

^[18.21] Farber, Norma, A Desperate Thing, The Plowshare Press Incorporated, 1973, p. 21. <<

^[18.22] Carta de Albert Einstein a Phyllis Wright, 24 de enero de 1936, citada en Isaacson, Walter, Einstein: His Life and Universe, Simon & Schuster, Nueva York, 2007, p. 388. [Hay trad. cast.: Einstein: su vida y su universo, DeBolsillo, Barcelona, 2012, trad. de Francisco José Ramos Mena]. <<

^[18.23] Brewster, David, Memoirs of the Life, Writings, and Discoveries os Sir Isaac Newton, vol. 2, Adamant Media Corporation, Bocton, Massachusetts, 2001 (reimpresión de la edición de 1855 de Thomas Constable & Co.), p. 407. <<

^[19.1] Frenkel, Edward, Langlands, Robert, y Ngô Bao Châu, «Formule des Traces et Fonctionalité: le Début d’un Programme», Annales des Sciences Mathématiques du Québec, n.º 34 (2010), pp. 199-243, disponible online en arxiv.org. Y Frenkel, Edward, «Langlands Program, trace formulas and their geometrization», Bulletin of AMS, vol. 50, 2013, pp. 1-55, disponible online en arxiv.org. <<