Capítulo 8

Capítulo 8

Números mágicos

Cuando hablamos por primera vez de simetrías en el capítulo 2 vimos que las representaciones de un grupo llamado SU(3) gobiernan el comportamiento de las partículas elementales. El Programa Langlands también se centra en las representaciones de grupos, pero esta vez se trata del grupo Galois de simetrías de un cuerpo numérico del tipo que vimos en el capítulo precedente. Resulta que estas representaciones son el «código fuente» de un cuerpo numérico, y transportan toda la información necesaria acerca de los números.

La maravillosa idea de Langlands fue que podíamos extraer toda esa información de objetos de una naturaleza completamente diferente: las llamadas funciones automorfas, que proceden de otro campo de las matemáticas llamado análisis armónico. Las raíces del análisis armónico se hunden en el estudio de los armónicos, que son las ondas básicas de sonido cuyas frecuencias son múltiplos unas de otras. La idea es que una onda sonora es, en general, una superposición de armónicos, de la manera en que una sinfonía es la superposición de los armónicos correspondientes a las notas tocadas por varios instrumentos. Matemáticamente, esto significa expresar una función dada como una superposición de las funciones que describen armónicos, como las conocidas funciones trigonométricas de seno y coseno. Las funciones automorfas son versiones más sofisticadas de estos conocidos armónicos. Hay potentes medios de análisis para efectuar cálculos con estas funciones automorfas. Y la sorprendente idea de Langlands fue que podíamos emplear estas funciones para saber mucho acerca de cuestiones mucho más difíciles en teoría de números. De esta manera, hallamos una armonía oculta en los números.

He escrito en el prefacio que una de las principales funciones de las matemáticas es ordenar la información, o, en palabras del propio Langlands, «crear orden a partir del aparente caos».^[8.1] La idea de Langlands es tan poderosa precisamente porque ayuda a organizar datos aparentemente caóticos de teoría de números en patrones regulares llenos de simetría y armonía.

Si pensamos en los diferentes campos de las matemáticas como continentes, la teoría de números sería Norteamérica y el análisis armónico, Europa. A lo largo de los años, hemos ido tardando menos tiempo cada vez en viajar de un continente a otro. Se solía tardar varios días en barco; ahora son sólo unas horas en avión. Pero imagine que se inventara una nueva tecnología que permitiera transportarse instantáneamente desde cualquier lugar de Norteamérica a algún lugar de Europa. Eso sería el equivalente a las conexiones descubiertas por Langlands.

Voy ahora a describir una de esas impresionantes conexiones, estrechamente relacionada con el último teorema de Fermat, del que hablamos en el capítulo 6.

El último teorema de Fermat es engañosamente sencillo a la hora de presentarse. Dice que no hay números enteros x, y y z para resolver la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ

si n es mayor que 2.

Como ya he escrito, el matemático francés Pierre Fermat ya supuso esto hace más de trescientos cincuenta años, en 1637. Escribió al respecto en el margen de un libro que estaba leyendo, asegurando que había encontrado una prueba «realmente maravillosa» de esta afirmación, «pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla». Digamos que podría ser una prueba estilo Twitter del siglo XVII: «He hallado una maravillosa prueba para este problema, pero lamentablemente no la puedo poner aquí porque excede de los ciento cuarenta carac»… vaya, me quedé sin espacio.

Existen pocas dudas acerca de que Fermat estaba equivocado. Se tardó más de trescientos cincuenta años en hallar una auténtica demostración, y es increíblemente complicada. Hay dos pasos principales: en primer lugar, en 1986 Ken Ribet demostró que el último teorema de Fermat se podía obtener a partir de la llamada conjetura Shimura-Taniyama-Weil.

Quizá debería explicar aquí que una conjetura matemática es una afirmación que uno espera que sea cierta, pero para la que aún no existe una prueba. Una vez se encuentre una prueba, la conjetura pasa a ser un teorema.^[8.2]

Lo que Ken Ribet demostró fue que si existían números naturales x, y y z que resolvieran la ecuación de Fermat, empleando esos mismos números uno podía construir cierta ecuación cúbica, que cumple una propiedad que no sería posible debido a la conjetura Shimura-Taniyama-Weil (explicaré qué son esta ecuación y esta propiedad). Por tanto, si sabemos que la conjetura Shimura-Taniyama-Weil es cierta, esta ecuación no puede existir. Pero, por lo mismo, los números x, y y z para resolver la ecuación de Fermat tampoco pueden existir.^[8.3]

Detengámonos un minuto y repasemos la lógica de esta argumentación una vez más. A fin de demostrar el último teorema de Fermat, supongamos que es falso, es decir: que sí existen números x, y y z tales que satisfagan la ecuación de Fermat. Después asociamos estos números a una ecuación cúbica, que resulta poseer una propiedad indeseable. La conjetura Shimura-Taniyama-Weil nos dice que una ecuación así no puede existir. Pero, entonces, estos números x, y y z tampoco pueden existir. Así pues, no puede haber solución a la ecuación de Fermat. Por tanto, ¡el último teorema de Fermat es cierto! Esquemáticamente, el diagrama de flujo de esta argumentación es como sigue (abreviaremos el último teorema de Fermat como UTF y la conjetura Shimura-Taniyama-Weil como CSTW):

A este tipo de argumentación se le llama reducción al absurdo. Comenzamos por afirmar lo opuesto de lo que intentamos demostrar (en este caso, la afirmación es que existen números naturales x, y y z que resuelven la ecuación de Fermat, que es lo opuesto a lo que queremos probar). Si, mediante una cadena de implicaciones, llegamos a una afirmación que es demostrablemente falsa (en este caso, la existencia de una ecuación cúbica prohibida por la conjetura Shimura-Taniyama-Weil) podemos concluir que la afirmación por la que comenzamos es falsa. De aquí que la afirmación que queríamos demostrar (el último teorema de Fermat) es cierta.

Lo que queda, entonces, para establecer el último teorema de Fermat es demostrar que la conjetura Shimura-Taniyama-Weil es cierta. Una vez se comprendió esto (en 1986, tras la obra de Ribet) la búsqueda se desplazó hacia pruebas de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil.

A lo largo de los años se habían anunciado varias demostraciones, pero los análisis subsiguientes corroboraron que esas pruebas contenían errores o vacíos. En 1993 Andrew Wiles afirmó que había demostrado la conjetura, pero meses después se comprobó que había un lapsus en su demostración. Durante un tiempo pareció que esta prueba sería recordada como una más de las «no demostraciones» anteriores, en las que se hallaban lapsus que nunca se conseguían cerrar.

Afortunadamente, Wiles fue capaz de cerrar el hueco en menos de un año, con ayuda de otro matemático, Richard Taylor. Juntos, completaron la demostración.^[8.4] En una maravillosa película documental acerca del último teorema de Fermat, Wiles se emociona al recordar el momento, y nosotros sólo podemos imaginar lo terrible que debe haber sido la experiencia para él.

Así pues, la conjetura Shimura-Taniyama-Weil es un resultado clave a la hora de demostrar el último teorema de Fermat. También se le puede ver como un caso especial del Programa Langlands, y por tanto proporciona un ejemplo excelente de las inesperadas conexiones predichas por este.

La conjetura Shimura-Taniyama-Weil es una afirmación acerca de determinadas ecuaciones. De hecho, una gran parte de las matemáticas tiene que ver con resolver ecuaciones. Queremos saber si una ecuación dada tiene solución en un dominio determinado; si es así, ¿podemos hallar una? Si hay varias, ¿cuántas? ¿Por qué algunas ecuaciones tienen solución y otras no?

En el capítulo anterior hablamos de las ecuaciones polinómicas de una variable, como x² = 2. El último teorema de Fermat trata sobre una ecuación con tres variables: xⁿ + yⁿ = zⁿ. Y la conjetura Shimura-Taniyama-Weil trata de un tipo de ecuaciones algebraicas de dos variables, como esta:

y² + y = x³ − x².

La solución a este tipo de ecuaciones es un par de números x e y tales que el lado de la izquierda sea igual que el lado de la derecha.

Pero ¿qué tipo de números queremos que sean x e y? Existen varias opciones: una posibilidad es decir que x e y son números naturales o enteros. Otra posibilidad es decir números racionales. Podemos buscar soluciones en las que x e y sean números reales o incluso números complejos: hablaremos de esta opción más a fondo en el próximo capítulo.

Resulta que hay una opción más, menos obvia pero igualmente importante: considerar soluciones x e y «módulo N» para algún número natural determinado N. Es decir, buscamos números enteros x e y tales que el lado izquierdo sea igual al lado derecho añadiendo cualquier número divisible por N.

Por ejemplo, busquemos soluciones módulo N = 5. Hay una solución obvia: x = 0, y = 0. Y hay otras tres soluciones un poco menos obvias: x = 0, y = 4 es una solución módulo 5 porque en tal caso el lado izquierdo es 20 y el lado derecho, 0. La diferencia entre ambos lados es 20, que es divisible por 5: se trata de una solución módulo 5. Por la misma razón, x = 1, y = 0 y x = 1, y = 4 son también soluciones módulo 5.

Ya habíamos hablado de este tipo de aritmética en el capítulo 2, cuando tratamos del grupo de rotaciones de una mesa. En aquella ocasión ya vimos que la suma de ángulos se realizaba «módulo 360». Eso significa que si el resultado de la suma de dos ángulos es superior a 360, le restamos 360 para llevarlo al rango de 0 a 360. Por ejemplo: una rotación de 450 grados es como una rotación de 90 grados, porque 450 − 360 = 90.

También hallamos esta aritmética cuando usamos un reloj. Si empezamos a trabajar a las 10 de la mañana y trabajamos 8 horas, ¿cuándo acabamos? Bueno, 10 + 8 = 18, de modo que lo natural sería decir que «acabamos a las 18 en punto». Esto sería perfectamente normal en Francia, donde se habla de las horas empleando de 0 a 24 (en realidad, no tan correcto, porque un día de trabajo en Francia suele estar limitado a siete horas). Pero en España se dice «salimos a las 6 de la tarde». ¿Cómo obtenemos 6 de 18? Pues le restamos 12: 18 − 12 = 6.

De modo que usamos la misma idea con las horas que con los ángulos. En el primer caso, hacemos sumas «módulo 360»; en el segundo, hacemos sumas «módulo 12».

Podemos hacer, de la misma manera, sumas en cualquier módulo de número natural N. Pensemos en el conjunto de todos los números naturales consecutivos entre 0 y N − 1:

{0, 1, 2, …, N − 2, N − 1}.

Si N = 12, se trata del conjunto de horas posibles. En general, el papel de 12 lo interpreta el número N, de modo que no es 12 quien nos lleva de regreso al 0, sino N.

Definimos la suma en el conjunto de estos números de la misma manera que con las horas. Dados dos números del conjunto, los sumamos, y si el resultado es mayor que N, le restamos N para obtener un número del conjunto. Esta operación convierte a este conjunto en un grupo. El elemento identidad es el número 0: al sumarlo a cualquier otro número, este no cambia. En efecto, tenemos que n + 0 = n. Y para cualquier número n de nuestro conjunto, su «inverso por la suma» es N − n, porque n + (N − n) = N, que es lo mismo que 0 según nuestras reglas.

Por ejemplo, tomemos N = 3. Tenemos el conjunto {0, 1, 2} y suma módulo 3. Tenemos, por ejemplo,

2 + 2 = 1 módulo 3

en este sistema, porque 2 + 2 = 4, pero dado que 4 = 3 + 1, módulo 3, el 4 es igual a 1 módulo 3.

De modo que si alguien le dice «dos más dos son cuatro» para indicar un hecho cierto, ahora puede usted responder (con una sonrisa condescendiente, si quiere): «Bueno, en realidad eso no siempre es verdad».

Y si le preguntan qué quiere decir, puede responder: «Si realizas una suma módulo 3, 2 más 2 es igual a 1».

Dados dos números cualesquiera del conjunto arriba visto, también podemos multiplicarlos. El resultado puede no estar entre 0 y N − 1, pero habrá un número único en este rango que diferirá del resultado de la multiplicación una cantidad que sea múltiplo de N. Sin embargo, en general, el conjunto {0 ,1, 2, …, N − 2, N − 1} no es un grupo con respecto a la multiplicación. Tiene el elemento identidad: el número 1. Pero no todos los elementos tienen inverso para la multiplicación módulo N. Esto ocurre si, y sólo si, N es un número primo, es decir, un número no divisible por ningún otro número aparte de 1 y de sí mismo.^[8.5]

Los primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13… Es tradición excluir el 1 de esta lista. Los números naturales pares, exceptuando el 2, no son primos, porque son divisibles por 2, y 9 no es primo, puesto que es divisible por 3. Hay, de hecho, infinitos números primos: no importa cuán grande es un número primo, habrá otro más grande.^[8.6] Los primos, por ser indivisibles, son las partículas elementales del mundo de los números naturales; todos los demás, en realidad, pueden escribirse como producto de números primos. Por ejemplo, 60 = 2 · 2 · 3 · 5.

Fijemos un número primo. Por costumbre lo llamaremos p. Luego consideremos el conjunto de números naturales consecutivos de 0 a p − 1, es decir:

{0, 1, 2, 3, 4, …, p − 2, p − 1}.

Y pensemos en dos operaciones con ellos: suma y multiplicación módulo p.

Como hemos visto arriba, este conjunto es un grupo con respecto a la suma módulo p. Lo que es incluso más remarcable es que si quitamos el número 0 y consideramos el conjunto de números consecutivos entre 1 y p − 1, es decir {1, 2, …, p − 2, p − 1}, obtenemos un grupo con respecto a la multiplicación módulo p. El elemento 1 es el elemento identidad de la multiplicación (hasta aquí, claro) y puedo asegurar que todo número natural entre 1 y p − 1 tiene un inverso para la multiplicación.^[8.7]

Por ejemplo, si p = 5, tenemos que

2 · 3 = 1 módulo 5,

y que

4 · 4 = 1 módulo 5,

de modo que el inverso para la multiplicación de 2 módulo 5 es 3, y que 4 es su propio inverso para la multiplicación módulo 5. Resulta que esto es cierto en general.^[8.8]

En nuestra vida cotidiana, estamos acostumbrados a números que son enteros o fracciones. A veces empleamos números como . Pero ahora hemos descubierto un sistema numérico de una naturaleza completamente diferente: el conjunto finito de números {0, 1, 2, …, p − 1} en que p es un número primo, en el que tenemos las operaciones de suma y multiplicación módulo p. Se le llama cuerpo finito con p elementos. Estos cuerpos finitos forman un importante archipiélago en el mundo de los números; uno que, lamentablemente, a la mayoría de nosotros no se nos dice que existe.

Pese a que estos sistemas numéricos parecen bastante diferentes de los sistemas numéricos a los que estamos acostumbrados, como los números racionales, poseen las mismas propiedades destacadas: son cerrados para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.^[8.9] Por tanto, cualquier cosa que podamos hacer con los números racionales la podemos hacer con estos cuerpos finitos de apariencia más esotérica.

En realidad ya no son tan esotéricos, tras haberse hallado para ellos importantes aplicaciones, sobre todo en criptografía. Cuando hacemos una compra online, e introducimos nuestro número de tarjeta de crédito, este número se encripta usando la aritmética de módulos primos, todo dictado por ecuaciones como la que hemos visto arriba (véase la descripción del algoritmo de encriptación RSA en la nota 7 del capítulo 14).

Regresemos a la ecuación cúbica

y² + y = x³ − x²

que vimos antes. Busquemos soluciones para esta ecuación módulo p, para varios números primos p. Por ejemplo, ya hemos visto arriba que hay 4 soluciones módulo 5. Pero nótese que las soluciones módulo 5 no son necesariamente soluciones módulo otros números primos (por poner un par de ejemplos, p = 7 y p = 11). De modo que estas soluciones dependen del número primo p del módulo en que realizamos la operación aritmética.

La pregunta que vamos a hacer ahora es la siguiente: ¿de qué manera el número de soluciones de esta ecuación, módulo p, depende de p? Con números p pequeños, podemos contarlos de manera explícita (quizá con ayuda de un ordenador) y compilar una pequeña tabla.

Los matemáticos han sabido desde hace algún tiempo que el número de soluciones a una ecuación de este tipo módulo p es aproximadamente igual a p. Señalemos el «déficit», el número en que la cantidad real de soluciones difiere de la cantidad esperada de soluciones (es decir, p) como a_p. El número de soluciones de la ecuación arriba mencionada módulo p es p − a_p. Los números a_p pueden ser positivos o negativos para un p determinado.

Como ejemplo, vimos arriba que para p = 5 hay 4 soluciones. Dado que 4 = 5 − 1, tenemos que a₅ = 1.

Podemos hallar los números a_p para números primos pequeños con un ordenador. Parecen ser aleatorios. No parece haber ninguna fórmula natural o regla que nos ayude a computarlos. Peor aún: muy pronto la computación se vuelve terriblemente complicada.

Pero ¿qué pensaría si le dijera que hay, en realidad, una regla sencilla capaz de generar todos los números a_p de una sola tacada?

En caso de que se pregunte a qué me refiero por «una regla» para generar esos números, observemos una secuencia mucho más conocida, la serie de números de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Llamados así en honor a un matemático italiano que los expuso en su libro publicado en 1202^[*15] (en el contexto de un problema de apareamiento de conejos, ahí es nada) los números de Fibonacci están por todas partes en la naturaleza: desde la disposición de pétalos en las flores a los patrones de la superficie de una piña. También tienen múltiples aplicaciones, como los retrocesos de Fibonacci en los análisis técnicos de movimientos de la Bolsa.

Los números de Fibonacci se definen de la siguiente manera: los dos primeros son iguales a 1. A partir de ahí, cada número es igual a la suma de los dos números de Fibonacci anteriores. Por ejemplo, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, etcétera. Si indicamos el n-ésimo número de Fibonacci como F_n, tenemos que F₁ = 1, F₂ = 1 y que

F_n = F_n−1 + F_n−2,   n > 2.

En principio, esta regla nos permite hallar el n-ésimo número de Fibonacci para cualquier n. Pero para poder hacer esto, primero tenemos que hallar todos los números de Fibonacci F_i para i entre 1 y n − 1.

Sin embargo, resulta que estos números también pueden generarse de la manera siguiente. Considere la serie

q + q(q + q²) + q(q + q²)² + q(q + q²)³ + q(q + q²)⁴ + …

En palabras, estamos multiplicando una variable auxiliar q por la suma de todas las potencias de la expresión (q + q²). Si operamos los paréntesis obtenemos una serie infinita, cuyos primeros términos son

q + q² + 2q³ + 3q⁴ + 5q⁵ + 8q⁶ + 13q⁷ + …

Por ejemplo, calculemos el término con q³. Sólo puede darse en q, q(q + q²) y q(q + q²)². (De hecho, las demás expresiones que aparecen en la suma definida, como q(q + q²)³, contendrán tan sólo potencias de q mayores a 3). La primera de estas no contiene q³, y cada una de las otras dos contiene una vez q³. Su suma arroja 2q³. Obtenemos de manera similar otros términos de la serie.

Si analizamos los primeros términos de la serie, veremos que para n entre 1 y 7, el coeficiente que multiplica qⁿ es el n-ésimo número de Fibonacci F_n. Por ejemplo, tenemos el término 13q⁷ y F₇ = 13. Resulta que esto se cumple para todo n. Por ello, los matemáticos llaman a esta serie infinita la función generadora de los números de Fibonacci.

Esta notable función se puede emplear para proporcionar una fórmula eficaz para calcular el n-ésimo número de Fibonacci sin ninguna referencia de los números de Fibonacci precedentes.^[8.10] Pero incluso dejando de lado los aspectos computacionales podemos apreciar el valor añadido por esta función generadora: en lugar de proporcionar un procedimiento autorreferente, la función generadora contempla todos los números de Fibonacci a la vez.

Volvamos a los números a_p que cuentan las soluciones para la ecuación cúbica módulo números primos (p). Pensemos en estos números como en análogos de los números de Fibonacci (ignoremos el hecho de que los números a_p sólo tienen subíndice primo p, mientras que los de Fibonacci tienen cualquier número natural n).

Parece casi increíble que pueda haber una regla generadora de estos números. Y sin embargo, el matemático alemán Martin Eichler descubrió una en 1954.^[8.11] Piense en la siguiente función generadora:

q (1 − q)² (1 − q¹¹)² (1 − q²)² (1 − q²²)² (1 − q³)² (1 − q³³)² …

Puesta en palabras, es q veces el producto de los factores de la expresión (1 − q^a)² con a recorriendo la lista de números de las expresiones n y 11n, en que n = 1, 2, 3… Operemos los paréntesis usando las reglas estándar:

y luego multipliquemos todos los factores. Agrupando los términos, obtenemos una suma infinita que comienza así:

q − 2q² − q³ + 2q⁴ + q⁵ + 2q⁶ − 2q⁷ − 2q⁹ − 2q¹⁰ + q¹¹ − 2q¹² + 4q¹³ + …

y hacemos omisión de las potencias de q mayores que 13 por no ser necesario conocer más coeficientes para la comprensión de esta explicación. Aunque esta serie es infinita, los coeficientes están bien definidos porque están determinados por un número finito de factores del producto. Indiquemos el coeficiente de q^m como b_m. Así tenemos que b₁ = 1, b₂ = −2, b₃ = −1, b₄ = 2, b₅ = 1, etcétera. Es fácil calcularlos a mano o con un ordenador.

Una genialidad de Eichler fue que para todos los números primos p, el coeficiente b_p es igual a a_p. Dicho de otra manera, a₂ = b₂, a₃ = b₃, a₅ = b₅, a₇ = b₇, etcétera.

Comprobemos, por ejemplo, si esto es así para p = 5. En este caso, si miramos la función generadora vemos que el coeficiente para q⁵ es b₅ = 1. Por otra parte, ya hemos visto que nuestra ecuación cúbica tiene 4 soluciones módulo p = 5. Por lo tanto, a₅ = 5 − 4 = 1, de modo que, en efecto, a₅ = b₅.

Comenzamos con lo que parecía un problema de una complejidad infinita: contar las soluciones para la ecuación cúbica

y² + y = x³ − x² módulo p,

para todos los números primos p. Y sin embargo, toda la información necesaria para este problema se encuentra resumida en una sola línea:

q (1 − q)² (1 − q¹¹)² (1 − q²)² (1 − q²²)² (1 − q³)² (1 − q³³)²…

Esta línea es un código secreto que contiene toda la información acerca de la cantidad de soluciones para la ecuación cúbica módulo números primos.

Una analogía útil sería pensar en la ecuación cúbica como en un sofisticado organismo biológico, y en sus soluciones como en diferentes características del mismo. Sabemos que todas esas características están codificadas en su molécula ADN. De la misma manera, la complejidad de nuestra ecuación cúbica está codificada en una función generadora, que es como el ADN de la ecuación. Además, esta función viene definida por una sencilla regla.

Lo que resulta incluso más fascinante es que si q es un número cuyo valor absoluto es menos que 1, la suma infinita que hemos visto arriba tiende a un número bien definido. De modo que obtenemos una función en q, y esta función resulta tener una propiedad muy especial, similar a la periodicidad de las conocidas funciones trigonométricas, como seno y coseno.

La función seno sen(x) es periódica, con período 2π, es decir, sen(x + 2π) = sen(x). Pero también sen(x+4π) = sen(x), y de un modo más general, sen(x + 2πn) = sen(x) para cualquier entero n. Piense en ello de esta manera: todo entero n genera una simetría de la recta: todo punto x de la recta se desplaza a x + 2πn. Por tanto, el grupo de todos los enteros se entiende como un grupo de simetrías de la recta. La periodicidad de la función seno significa que esta función es invariante bajo este grupo.

De la misma manera, la función generadora Eichler de la variable q escrita anteriormente resulta ser invariante bajo un determinado grupo de simetrías. Aquí deberíamos considerar q no como un número real, sino más bien un número complejo (hablaremos de esto en el siguiente capítulo). Así podríamos ver q no como un punto en una recta, como en el caso de la función seno, sino como un punto dentro de un disco unidad en el plano complejo. La propiedad de simetría es similar: en este disco hay una serie de simetrías, y nuestra función es invariante bajo este grupo.^[8.12] A una función con este tipo de propiedad de invarianza se le llama forma modular.

Este grupo de simetrías del disco es muy rico. Para hacernos una idea de lo que es, veamos una ilustración en la que el disco está descompuesto en infinitos triángulos:^[8.13]

La acción de las simetrías en el disco intercambia los triángulos. En realidad, para dos triángulos cualesquiera del disco existe una simetría que los intercambia. Aunque las simetrías de este disco son bastante sofisticadas, esto es análogo a cómo, cuando el grupo de enteros actúa en la recta, sus simetrías se desplazan a lo largo de los intervalos [2πm, 2π(m + 1)]. La función seno es invariante bajo estas simetrías, mientras que la función generadora Eichler es invariante bajo las simetrías del disco.

Como mencioné al principio del capítulo, la función seno es el ejemplo más sencillo de un armónico (onda básica) empleado en análisis armónico de la recta. De igual manera, la función Eichler, junto con otras formas modulares, son los armónicos que aparecen en el análisis armónico del disco unidad.

La magnífica idea de Eichler fue que las cantidades aparentemente aleatorias de soluciones a una ecuación cúbica módulo números primos procedía de una sola función generadora, lo que obedece a una exquisita simetría, y revela un orden y una armonía ocultos en esos números. De igual manera, como por un encantamiento mágico, el Programa Langlands organiza información previamente inaccesible en patrones regulares, tejiendo un delicado tapiz de números, simetrías y ecuaciones.

Puede que se haya preguntado, cuando empecé a hablar de matemáticas al principio del libro, a qué me refería cuando decía que un resultado matemático podía ser «bello» o «elegante». Es esto. El hecho de que estas nociones tan abstractas estén unidas con una armonía tan refinada es completamente alucinante. Apunta a que hay algo poderoso y misterioso acechando bajo la superficie, como si alguien hubiera levantado el telón y tuviéramos destellos de una realidad que se nos había ocultado cuidadosamente. Estas son las maravillas de las matemáticas modernas, y del mundo moderno.

Uno podría también preguntarse si, además de poseer una belleza innata y de revelar un sorprendente vínculo entre áreas de las matemáticas aparentemente distantes, este resultado tiene aplicaciones prácticas. Es una pregunta justa. Por el momento, no conozco ninguna. Pero las ecuaciones cúbicas sobre cuerpos finitos de p elementos que hemos visto arriba (y que generan las llamadas curvas elípticas) se emplean ampliamente en criptografía.^[8.14] De modo que no me sorprendería que algún día resultados análogos a los de Eichler hallaran aplicaciones como poderosos y ubicuos algoritmos de encriptación.

La conjetura Shimura-Taniyama-Weil es una generalización del resultado de Eichler. Dice que para toda ecuación cúbica como la arriba descrita (sujeta a leves condiciones) las cantidades de soluciones módulo números primos son los coeficientes de una forma modular. Más aún: hay una correspondencia uno a uno entre las ecuaciones cúbicas y cierto tipo de formas modulares.

¿Qué quiere decir una correspondencia uno a uno? Supongamos que tengo cinco bolígrafos y cinco lápices. Podemos asignar un lápiz a cada bolígrafo de tal manera que cada lápiz esté emparejado tan sólo con un bolígrafo. A esto se le llama correspondencia uno a uno.

Hay muchas maneras de hacerlo. Pero supongamos que bajo nuestra correspondencia uno a uno, cada bolígrafo sea exactamente igual de largo que el lápiz que le hemos asignado. Diremos que la longitud es una «invariante» y que nuestra correspondencia conserva esta invariante. Si cada lápiz tiene una longitud diferente, la correspondencia uno a uno estará determinada de modo único por esta propiedad.

En el caso de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil, los objetos de un lado son ecuaciones cúbicas como la arriba descrita. Estos serán nuestros bolígrafos, y para cada uno de ellos, los números a_p serán las invariantes asociadas a ellos. Es como la longitud de un bolígrafo, sólo que ahora no hay sólo una invariante, sino muchas de ellas, etiquetadas por números primos p.

Los objetos del otro lado de la correspondencia son formas modulares. Serán nuestros lápices, y para cada uno de ellos, los coeficientes b_p serán las invariantes asociadas (como la longitud de los lápices).

La conjetura Shimura-Taniyama-Weil dice que hay una correspondencia uno a uno entre estos objetos, conservando estas invariantes:

Es decir: para toda ecuación cúbica existe una forma modular tal que a_p = b_p para todos los números primos p, y viceversa.^[8.15]

Ahora ya puedo explicar el vínculo entre la conjetura Shimura-Taniyama-Weil y el último teorema de Fermat: a partir de una solución de la ecuación de Fermat podemos construir una ecuación cúbica.^[8.16] Sin embargo, Ken Ribet demostró que la cantidad de soluciones de estas ecuaciones módulo números primos no pueden ser los coeficientes de una forma modular cuya existencia esté estipulada por la conjetura Shimura-Taniyama-Weil. Una vez se demuestra la conjetura, la conclusión es que esa ecuación cúbica no puede existir. Por tanto, no hay soluciones a la ecuación de Fermat.

La conjetura Shimura-Taniyama-Weil es un resultado fascinante porque las cantidades a_p proceden del estudio de soluciones de una ecuación módulo números primos (proceden del mundo de la teoría de números) y los números b_p son los coeficientes de una forma modular, procedente del mundo del análisis armónico. Estos dos mundos parecen encontrarse a años luz de distancia y, sin embargo, ¡resulta que describen la misma cosa!

La conjetura Shimura-Taniyama-Weil puede reformularse como un caso especial del Programa Langlands. Para hacerlo, sustituimos las ecuaciones cúbicas de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil por cierta representación bidimensional del grupo de Galois. Esta representación se obtiene de modo natural de la ecuación cúbica, y las cantidades a_p se pueden unir directamente a esta representación (en lugar de a la ecuación cúbica). Por tanto, la conjetura se puede expresar como la relación entre representaciones bidimensionales del grupo de Galois y formas modulares.

(Recordaré del capítulo 2 que la representación bidimensional de un grupo es una regla que asigna una simetría de un espacio bidimensional [es decir, un plano] a cada elemento de este grupo. En el capítulo 2, por ejemplo, hablamos de una representación bidimensional del grupo circular).

De manera incluso más general, las conjeturas del Programa Langlands relacionan, de maneras inesperadas y profundas, representaciones n-dimensionales del grupo de Galois (que generalizan las representaciones bidimensionales correspondientes a las ecuaciones cúbicas de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil) con las llamadas funciones automorfas (que generalizan las formas modulares en la conjetura Shimura-Taniyama-Weil):

Aunque hay pocas dudas sobre si estas conjeturas son ciertas, la mayoría siguen sin haberse demostrado a día de hoy, pese a los enormes esfuerzos de varias generaciones de matemáticos en los últimos cuarenta y cinco años.

Puede que se esté preguntando: ¿cómo se puede llegar a una conjetura así, en primer lugar?

Se trata de una pregunta acerca de la propia naturaleza de la inspiración matemática. La capacidad para ver patrones y conexiones que nadie ha visto antes no es algo fácil de conseguir. Suele ser el producto de meses, cuando no años, de duro trabajo. Poco a poco va surgiendo una corazonada para un nuevo fenómeno o teoría, y al principio ni uno mismo acaba de creérselo. Luego uno se pregunta: ¿y si esto es verdad? E intenta poner a prueba la idea mediante cálculos simples. A veces se trata de cálculos difíciles, y hay que navegar a través de montañas de fórmulas. La probabilidad de equivocarse es muy alta y, si al principio no funciona, intentas rehacerlo una y otra vez.

Muy a menudo, al cabo del día (o del mes, o del año) te das cuenta de que tu idea inicial era errónea, y has de intentar alguna otra cosa. Esos son momentos de frustración y desespero. Sientes que has desperdiciado un montón de tiempo, sin nada que mostrar a cambio. Es difícil de digerir. Pero uno nunca puede rendirse. Regresas al escritorio, analizas más datos, aprendes de tus errores previos e intentas tener una idea mejor. Y de vez en cuando, de repente, la idea empieza a funcionar. Es como si hubiera pasado un día en el agua sin conseguir surfear y finalmente coges una ola: intentas subirte a ella y correrla durante el mayor tiempo posible. En momentos como este, tienes que dejar que tu imaginación vuele libre para que la ola te transporte tanto como sea posible. Incluso si la idea, al principio, suena a locura absoluta.

La afirmación de la conjetura Shimura-Taniyama-Weil, al principio, debió sonarles absurda a sus creadores. ¿Cómo no iba a ser así? Sí, la conjetura hundía sus raíces en resultados previos, como los de Eichler arriba mencionados (que serían generalizados, subsiguientemente, por Shimura), según los cuales para algunas ecuaciones cúbicas, las cantidades de soluciones módulo p se registraban en coeficientes de una forma modular. Pero la idea de que esto fuera cierto para todas las ecuaciones cúbicas tiene que haber sonado completamente descabellada en su momento. Era un acto de fe, un salto conceptual. El primero que lo dio fue el matemático japonés Yutaka Taniyama, en forma de una pregunta que realizó en el simposio internacional sobre teoría algebraica de números, en Tokio, en 1955.

Siempre me he preguntado cuánto le costó llegar a creer que no era una locura, sino algo real. ¿Y reunir el valor para decirlo públicamente?

Nunca lo sabremos. Lamentablemente, poco después de su gran descubrimiento, en noviembre de 1958, Taniyama se suicidó. Sólo tenía treinta y un años. Para añadir más tragedia, poco después, la mujer con la que tenía planeado casarse se quitó también la vida. Dejó la siguiente nota:^[8.17]

Nos prometimos mutuamente que, no importaba dónde fuéramos, nunca nos separaríamos. Ahora que él se ha ido, he de irme yo también, para reunirme con él.

Sería otro matemático japonés, el amigo y colega de Taniyama, Goro Shimura, quien precisaría la conjetura. Shimura ha trabajado casi toda su vida en la Universidad de Princeton, donde es actualmente profesor emérito. Ha aportado grandes contribuciones a las matemáticas, muchas de ellas pertenecientes al Programa Langlands, y varios de los conceptos fundamentales en esta área llevan su apellido (como las «relaciones de congruencia Eichler-Shimura» y las «variedades de Shimura»).

En su reflexivo ensayo acerca de Taniyama, Shimura hizo este llamativo comentario:^[8.18]

Aunque no era, en absoluto, un hombre chapucero, tenía la habilidad especial de cometer muchos errores, la mayoría en la dirección acertada. Le envidio por esto, y he intentado en vano imitarlo, pero me parece dificilísimo cometer los errores correctos.

En palabras de Shimura, Taniyama «no fue muy cuidadoso cuando expuso su problema» en el simposio de Tokio en septiembre de 1955.^[8.19] Había que realizar algunas correcciones. Y aun así, se trataba de una inspiración revolucionaria, que llevó a uno de los logros en matemáticas más importantes del siglo XX.

La tercera persona cuyo nombre va unido a la conjetura es André Weil, a quien he mencionado antes. Se trata de uno de los gigantes de las matemáticas del siglo XX. Famoso por su brillantez y por su temperamento, nació en Francia y fue a vivir a Estados Unidos durante la segunda guerra mundial. Tras ocupar puestos académicos en varias universidades, se estableció en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1958, y se quedó allí hasta su muerte en 1998, a los noventa y dos años de edad.

Weil es especialmente relevante para el Programa Langlands, y no sólo porque la famosa carta en que Robert Langlands formulara por primera vez sus ideas fuese dirigida a él, ni por la conjetura Taniyama-Shimura-Weil. El Programa Langlands se aprecia mejor si se le mira a través del prisma de la «imagen general» de las matemáticas que André Weil esbozó en una carta a su hermana. Hablaremos de ello en el próximo capítulo. Será nuestro trampolín para traer el Programa Langlands al reino de la geometría.