Capítulo 7

Capítulo 7

Teoría de la Gran Unificación

La solución a mi primer problema fue, de alguna forma, mi iniciación en el templo de las matemáticas. De un modo un tanto casual, el siguiente proyecto matemático que realicé con Fuchs me llevó de pleno al Programa Langlands, una de las teorías matemáticas más profundas y fascinantes que han surgido en los últimos cincuenta años. Hablaré acerca de mi proyecto más tarde, pero mi objetivo, en este libro, es describir mucho más que mi experiencia personal. Es proporcionarle una idea de cómo son las matemáticas modernas, demostrarle que tratan, en realidad, de originalidad, imaginación, ideas innovadoras. Y el Programa Langlands es un gran ejemplo. Me gusta pensar en él como en una Teoría de la Gran Unificación de las matemáticas, porque descubre y saca a la luz misteriosos patrones compartidos por diferentes áreas de las matemáticas, y por tanto apunta a profundas e inesperadas conexiones entre ellos.

Las matemáticas constan de varios campos separados. A menudo parecen continentes diferentes, y es como si los matemáticos que trabajan en esas áreas hablaran idiomas distintos. Es por eso por lo que la idea de «unificación», de reunir las teorías procedentes de campos diversos y ver que forman parte de una narrativa única, es tan poderosa. Es como si uno se diera cuenta de repente que comprende otro idioma, que había estado intentando aprender desesperadamente y sin mucho éxito.

Es útil pensar en las matemáticas como en un gigantesco rompecabezas del que nadie sabe cómo será la imagen final. Resolver este rompecabezas es una tarea colectiva, de miles de personas. Trabajan en grupos: los de álgebra trabajan en su parte del puzle; los de teoría de números, los geómetras, etcétera. Cada grupo ha sido capaz de crear un pequeño «islote», un trozo de la gran composición, pero a lo largo de la mayor parte de la historia de las matemáticas ha sido difícil ver siquiera cómo unir esos islotes. Por ello, la mayor parte de gente trabaja intentando expandir esas islas del rompecabezas. Sin embargo, de vez en cuando alguien ve cómo interconectar las islas. Cuando eso ocurre, surgen importantes rasgos de la imagen general, y eso da nuevos significados a los campos individuales.

Eso es lo que hizo Robert Langlands, pero su intención era más ambiciosa que la de juntar tan sólo algunos islotes. En lugar de ello, el Programa Langlands, que comenzó en la década de 1960, se ha convertido en la búsqueda por hallar el mecanismo mediante el cual construir puentes entre esos islotes, por escasa relación que parezcan tener.

Hoy en día Langlands es profesor emérito de matemáticas en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, donde ocupa el despacho que antaño tuviera Albert Einstein. Hombre de sorprendentes talento y visión, nació en 1936 y se crio en una ciudad pequeña cerca de Vancouver. Sus padres tenían un molino. Una de las cosas más sorprendentes acerca de Langlands es su facilidad para los idiomas: habla inglés, francés, alemán, ruso y turco, pese a que no hablaba ninguno (excepto su inglés natal) antes de ingresar en la universidad.^[7.1]

Robert Langlands en su oficina de Princeton, en 1999.

Fotografía de Jeff Mozzochi.

En años recientes he tenido la oportunidad de colaborar de cerca con Langlands y nos hemos escrito a menudo en ruso. En algún momento me envió una lista de autores rusos a los que había leído en idioma original. La lista era tan larga que me dio la impresión de haber leído más de mi literatura natal, la rusa, que yo mismo. A menudo me pregunto si la infrecuente facilidad para los idiomas de Langlands tendrá algo que ver con su capacidad para unir diferentes culturas matemáticas.

El punto clave del Programa Langlands es el concepto de simetrías, con el que estamos ya familiarizados. Hemos hablado de simetrías en geometría: por ejemplo, cualquier rotación es simetría de una mesa redonda. Nuestro estudio de esas simetrías nos ha llevado a la noción de grupo. Luego hemos visto que los grupos aparecen, en las matemáticas, con varios aspectos: como grupos de rotaciones, grupos de trenzas, etcétera. También hemos visto que los grupos fueron fundamentales para clasificar las partículas elementales y para predecir la existencia de los quarks. Los grupos relevantes para el Programa Langlands aparecen en el estudio de los números.

Para explicar esto, primero tenemos que hablar de los números que nos encontramos en nuestra vida cotidiana. Todos nacemos un año determinado, vivimos en una casa con un número determinado de la calle, tenemos un número de teléfono, un número PIN para acceder a nuestra cuenta bancaria desde el cajero automático, etcétera. Todos estos números tienen algo en común: todos se pueden obtener sumando 1 a sí mismo un número determinado de veces: 1 + 1 es 2, 1 + 1 + 1 es 3, etcétera. A estos se les llama números naturales.

Tenemos también el número 0, así como los números negativos: −1, −2, −3… Como dijimos en el capítulo 5, a estos números los conocemos como «enteros». De modo que un número entero es un número natural, o el número 0, o el negativo de un número natural.

También nos encontramos con números un poco más generales. Un precio, en euros y céntimos, se suele representar así: 2,59€, lo que significa 2 euros y 59 céntimos. Es lo mismo que 2 más la fracción 59/100, o 59 veces 1/100. A los números de este tipo los llamamos racionales o fracciones.

Un buen ejemplo de número racional es un cuarto: matemáticamente se representa mediante la fracción 1/4. De modo más general, podemos formar la fracción m/n a partir de dos números enteros cualesquiera, m y n. Si m y n tienen un divisor común (por ejemplo, d) podemos decir que m = dm' y n = dn'. Podemos entonces suprimir d y escribir, en su lugar, m'/n' en lugar de m/n. Por ejemplo, 1/4 puede representarse como 25/100, y por eso en Estados Unidos se llama quarter («cuarto») a la moneda de 25 centavos.

La inmensa mayoría de los números que nos encontramos en la vida cotidiana son estos números racionales o fracciones. Pero hay otros números que no son racionales. Un ejemplo de ellos es la raíz cuadrada de 2, que escribimos de la siguiente manera: . Se trata del número que, elevado al cuadrado, da 2. Geométricamente, es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1.

Resulta que no podemos representarlo como m/n en que m y n son dos números naturales.^[7.2] Sin embargo, podemos aproximarlo mediante números racionales si escribimos los primeros dígitos de su forma decimal: 1,4142, luego 1,41421, después 1,414213, etcétera. Pero no importa cuántos dígitos añadamos, siempre será una aproximación: habrá más dígitos por poner. Ningún número decimal finito podrá jamás ser igual a .

Dado que es igual a la hipotenusa del triángulo rectángulo arriba indicado, sabemos que el número está allí, en algún lugar. Pero, sencillamente, no encaja con el sistema numérico de números racionales.

Hay muchos otros números como este, como o como la raíz cúbica de 2. Necesitamos desarrollar una manera sistemática de sumar estos números a los números racionales. Pensemos en los números racionales como en una taza de té. Podemos beberlo por sí solo, pero nuestra experiencia mejorará si le añadimos azúcar, leche, miel, especias… y estos son como los números , , etcétera.

Intentemos añadir a la mezcla . Será el equivalente a añadir un terrón de azúcar en nuestra taza de té. Así que dejemos caer en los números racionales y veamos qué tipo de sistema numérico obtenemos. Como queremos ser capaces de multiplicar los números de este nuevo sistema numérico, tendremos que incluir todos los números que sean productos de números racionales por . Estos tienen la forma . De modo que nuestro sistema numérico deberá incluir todas las fracciones (los números racionales) y todos los números con el formato . Pero queremos ser capaces también de sumarlos, de modo que tendremos que incluir las sumas

El grupo de números de esta forma ya es «autosuficiente» en el sentido en que podemos efectuar las operaciones habituales con él (sumar, restar, multiplicar, dividir) y el resultado será un número del mismo tipo.^[7.3] Es nuestra taza de té con el terrón de azúcar completamente mezclado.

Resulta que este nuevo sistema numérico tiene una propiedad oculta que los números racionales no tenían. Esta propiedad será nuestra puerta al mágico mundo de los números. Resulta que este nuevo sistema numérico tiene simetrías.

Cuando digo «simetrías», en este caso, quiero decir una regla que asigna un nuevo número a cualquier número con el que comencemos. En otras palabras: una simetría dada transforma cada número en otro número del mismo sistema numérico. Diremos que una simetría es una regla por la que un número «va» a otro número. Esta regla debería ser compatible con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Aún no está claro por qué deberíamos preocuparnos por las simetrías de un sistema numérico. Por favor, tenga paciencia y en un momento verá por qué.

Nuestro sistema numérico posee la simetría identidad, es decir: la regla por la que todo número va a sí mismo. Es como la rotación de 0 grados de una mesa, en la que todos los puntos de la mesa van hacia sí mismos.

Resulta que nuestro sistema numérico tiene también una simetría no trivial. Para explicar en qué consiste eso, pensemos que es una solución de la ecuación x² = 2. En efecto, si sustituimos x por obtenemos una igualdad. Pero en realidad esta ecuación tiene dos soluciones. Una de ellas es y la otra es . Y, en realidad, añadimos ambas a los números racionales cuando construimos nuestro sistema numérico. Al intercambiar ambas soluciones, obtenemos una simetría en este sistema numérico.^[*14]

Para explicar esto más a fondo en términos de nuestra analogía de la taza de té, modifiquémosla un poco. Digamos que echamos en nuestra taza un terrón de azúcar blanco y uno de azúcar moreno y los mezclamos con el té. El primero es como y el segundo como . Obviamente, intercambiarlos no modificará el resultado de la taza de té. Por lo tanto, intercambiar y constituirá una simetría de nuestro sistema numérico.

En este intercambio, los números racionales no experimentan cambio.^[7.4] Por tanto, el número de la forma irá al número de la forma .

Dicho de otro modo, sencillamente cambiamos en cada número el símbolo que precede a y dejamos lo demás igual.^[7.5]

Como puede ver, nuestro sistema numérico es como una mariposa: los números son como las escamas de sus alas, y la simetría de estos números al intercambiar y es como la simetría de la mariposa con sus alas.

De un modo más general, podemos pensar en otras ecuaciones para la variable x, en lugar de x² = 2. Por ejemplo, la ecuación cúbica x³ − x + 1 = 0. Si las soluciones de una ecuación como esta no son números racionales (como es el caso de las ecuaciones arriba mencionadas) entonces podemos unirlas a los números racionales. También podemos unir, a los números racionales, las soluciones de varias de estas ecuaciones a la vez. De esta manera obtenemos muchos sistemas numéricos diferentes, o, como los matemáticos los denominan, cuerpos numéricos. La palabra «cuerpo» hace referencia a que este sistema numérico es cerrado con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división.

Al igual que el cuerpo numérico obtenido al añadir , los cuerpos numéricos poseen, en general, simetrías compatibles con estas operaciones. Las simetrías de un cuerpo numérico determinado se pueden aplicar una tras otra (compuestas entre sí) igual que las simetrías de un objeto geométrico. No es sorprendente, por tanto, que estas simetrías formen un grupo. A este grupo se le denomina grupo de Galois del cuerpo numérico,^[7.6] en honor al matemático francés Évariste Galois.

La de Galois es una de las historias más románticas y fascinantes acerca de matemáticos jamás ocurridas. Niño prodigio, Galois realizó descubrimientos impresionantes ya desde muy joven. Y a los veinte años murió en un duelo. Hay opiniones divergentes acerca de cuál fue la causa del duelo, que tuvo lugar el 31 de mayo de 1832: hay quien asegura que hubo una mujer de por medio y hay quien dice que Galois no era nada conciliador a la hora de expresar sus ideas políticas, y que habría conseguido hacer enfadar a mucha gente a lo largo de su breve vida.

Fue literalmente en la víspera de su muerte cuando, escribiendo frenéticamente a medianoche, a la luz de las velas, completó su manuscrito, en el que esbozaba sus ideas acerca de las simetrías numéricas. Fue, básicamente, su carta de amor a la humanidad, en la que compartía con nosotros los fascinantes descubrimientos que había realizado. En efecto, los grupos de simetrías que Galois descubrió, y que ahora llevan su nombre, son las maravillas de nuestro mundo, como las pirámides de Egipto o los Jardines Colgantes de Babilonia. La diferencia es que no tenemos que viajar a otro continente, o hacia atrás en el tiempo, para hallarlos.

Galois, para ser sinceros, estaba muy adelantado a su época. Sus ideas eran tan radicales que la mayor parte de sus contemporáneos, al principio, no pudieron comprenderlas. La Academia Francesa de las Ciencias rechazó por dos veces sus artículos, y su obra tardó casi cincuenta años en ser publicada y apreciada por otros matemáticos. Sin embargo, hoy en día se le considera uno de los pilares de las matemáticas modernas.

Lo que Galois hizo fue llevar la idea de simetría, que comprendemos de manera intuitiva en la geometría, al escenario central de la teoría de números. Es más: demostró el impresionante poder de las simetrías.

Antes de Galois, los matemáticos se centraban en intentar descubrir fórmulas explícitas para las soluciones de ecuaciones como x² − 2yx³ − x + 1 = 0, las llamadas ecuaciones polinómicas. Lamentablemente, esto es lo que se nos sigue enseñando en el colegio, pese a que han transcurrido dos siglos desde la muerte de Galois. Por ejemplo, se nos pide que memoricemos una fórmula para las soluciones de una ecuación cuadrática general (es decir, de segundo grado)

ax² + bx+ c = 0

en función de sus coeficientes a, b y c. No escribiré esa fórmula aquí para no provocar recuerdos desagradables. Lo único que debemos recordar es que exige emplear raíces cuadradas.

De igual manera, hay una fórmula similar, aunque más complicada, para la ecuación cúbica (de tercer grado) general

ax³ + bx² + cx+ d = 0,

en función de sus coeficientes a, b, c, d, que implica raíces cúbicas.

La tarea de resolver una ecuación polinómica en términos de radicales (es decir, raíces cuadradas, cúbicas, etcétera) se va complicando a medida que sube el grado de la ecuación.

El matemático persa Al-Khwarizmi, en el siglo IX, conocía ya la fórmula general para las soluciones de las ecuaciones de segundo grado: la palabra «álgebra» procede de «al-yabr», palabra que aparece en el título de su libro. Las fórmulas para las soluciones de ecuaciones cúbicas y de cuarto grado se descubrieron en la primera mitad del siglo XVI. Como es lógico, el siguiente objetivo era la ecuación de quinto grado. Con anterioridad a Galois, muchos matemáticos habían buscado desesperadamente la fórmula para sus soluciones durante casi trescientos años, pero en vano. Pero Galois se dio cuenta de que habían estado buscando en el lugar erróneo. Lo que deberían haber hecho, dijo, era centrarse en el grupo de simetrías del cuerpo numérico obtenido al unir las soluciones de esta ecuación a los números racionales: lo que hoy en día llamamos el grupo de Galois.

Cómo describir el grupo de Galois resulta ser mucho más asequible que escribir una fórmula explícita para las soluciones. Se pueden decir cosas profundas acerca de este grupo incluso sin saber cuáles son las soluciones. Y de esto se puede inferir, incluso, importante información sobre estas soluciones. En realidad, Galois pudo demostrar que una fórmula para soluciones en términos de radicales (es decir, raíces cuadradas, cúbicas, etcétera) existe si y sólo si el correspondiente grupo de Galois tiene una estructura especialmente sencilla: es lo que hoy en día los matemáticos llaman un grupo resoluble. Para ecuaciones cuadráticas, cúbicas y de grado 4, los grupos de Galois son siempre resolubles. Es por eso por lo que las soluciones a ese tipo de ecuaciones se pueden escribir en términos de radicales. Pero Galois demostró que el grupo de simetrías de una ecuación típica de grado 5 (o de nivel superior) no es resoluble. Lo que implica que no hay fórmula para soluciones de esas ecuaciones en términos de radicales.^[7.7]

No entraré en los detalles de su demostración, pero déjeme mostrarle un par de ejemplos de grupos de Galois para que sepa qué aspecto tienen. Ya hemos descrito el grupo de Galois en el caso de la ecuación x² = 2. Esta ecuación tiene dos soluciones, y , que adjuntamos a los números racionales. El grupo de Galois del cuerpo numérico resultante^[7.8] consiste, pues, en dos elementos: la identidad y el intercambio simétrico entre y .

Para nuestro ejemplo siguiente pensemos en la ecuación cúbica arriba descrita y supongamos que sus coeficientes son números racionales, pero sus tres soluciones son irracionales. Luego, construiremos un nuevo cuerpo numérico adjuntando esas soluciones a los números racionales. Es como añadir tres ingredientes distintos a nuestra taza de té: pongamos, por ejemplo, azúcar, unas gotas de leche y una cucharada de miel. Bajo cualquier simetría de este cuerpo numérico (la taza de té con estos ingredientes añadidos) la ecuación cúbica no cambiará porque sus coeficientes son números racionales, conservados por las simetrías. De aquí que cualquier solución de la ecuación cúbica (uno de los tres ingredientes) irá necesariamente a otra solución. Esta observación nos permite describir el grupo de Galois de las simetrías de este cuerpo numérico en términos de permutaciones de estas tres soluciones. Lo más importante es que obtenemos esta descripción sin escribir ninguna fórmula para las soluciones.^[7.9]

De manera similar, el grupo de Galois de simetrías del cuerpo numérico obtenido al unir todas las soluciones de una ecuación polinómica arbitraria a los números racionales puede también describirse en términos de permutaciones de estas soluciones (habrá n soluciones para una ecuación polinómica de grado n siempre que estas soluciones sean distintas y no racionales). De esta manera podemos inferir mucha información acerca de la ecuación sin expresar sus soluciones en términos de los coeficientes.^[7.10]

La obra de Galois es un gran ejemplo del poder de una comprensión matemática. Galois no resolvió el problema de hallar una fórmula para soluciones a ecuaciones polinómicas en el sentido en que se entendía. ¡Había puenteado el problema! Lo había reformulado, le había dado la vuelta y lo había mirado bajo una luz completamente diferente. Y su brillante percepción cambió para siempre la manera en que la gente piensa en los números y las ecuaciones.

Y entonces, ciento cincuenta años después, Langlands llevó esas ideas mucho más lejos. En 1967 llegó con revolucionarias ideas que enlazaban la teoría de grupos de Galois con otra área de las matemáticas llamada «análisis armónico». Estas dos áreas, que parecían estar a años luz de distancia, resultó que se relacionaban estrechamente. Langlands, que por entonces acababa de entrar en la treintena, resumió sus ideas en una carta al eminente matemático André Weil. Las copias circularon ampliamente entre los matemáticos de la época.^[7.11] La nota escrita en la introducción es famosa por su eufemismo:^[7.12]

Profesor Weil: en respuesta a su invitación a visitarle y charlar, he escrito la carta adjunta. Tras escribirla me he dado cuenta de que apenas hay en ella alguna frase de la que esté seguro. Si desea leerla a modo de pura especulación, estaré encantado; si no… seguro que tiene usted una papelera a mano.

Lo que seguía era el inicio de una teoría revolucionaria que cambiaría para siempre la manera en que pensábamos en las matemáticas. Así nació el Programa Langlands.

Varias generaciones de matemáticos han dedicado sus vidas a resolver los problemas avanzados por Langlands. ¿Qué es lo que les inspiró a ello? La respuesta está en el capítulo siguiente.