21. Conjectures i Cia…
Una asserció d’una simplicitat absoluta, que un alumne mitjà d’institut pot entendre sense esforç. Una asserció que tothom considera certa, però que ningú no ha pogut demostrar. Exactament el que em calia! Quina batalla! El senyor Ruche tenia sota els ulls la carta d’en Grosrouvre. Es va precipitar cap als prestatges de la BDS. Secció 3.
Això és el que va llegir a la fitxa d’en Grosrouvre:
Conjectura de Goldbach
Un dia del 1742, el matemàtic Christian Goldbach va enviar una carta al seu col·lega Leonhard Euler en la qual va escriure aquesta frase: «Qualsevol nombre parell (llevat del 2) és la suma de dos nombres primers». Per exemple, 16 = 13 + 3 o 30 = 23 + 7.
Des de Gauss sabem que tots els nombres enters es poden descompondre d’una sola manera en un producte, no limitat, de nombres primers. Goldbach afirmava que també es podia descompondre com una suma, i com una suma limitada de nombres primers! Increïble!
Des d’aleshores han passat dos segles i mig; encara no sabem si aquesta afirmació, coneguda amb el nom de conjectura de Goldbach, és certa.
Passo a l’atac.
A continuació hi havia una nota. Estava escrita amb una tinta diferent, era evident que estava escrita més recentment.
N. B.: El rus I. M. Vinogràdow va demostrar que tot nombre enter senar superior a 314.348.907 és la suma de tres nombres primers. Últimament el xinès Xen Jingrun ha fet progressos molt grans en aquest tema.
Però la conjectura encara no està demostrada.
Vaig pel camí d’aconseguir-ho.
La continuació de la fitxa en substància deia això: Christian Goldbach va atreure l’atenció d’Euler cap als treballs de Fermat en teoria dels nombres. Euler, que immediatament es va apassionar per aquestes qüestions, va donar demostracions completes de diverses proposicions de Fermat, que confirmaven la visió clara, extraordinàriament clara, que tenia en aquest camp.
Euler, cada cop més apassionat per l’obra de Fermat, es va espavilar per poder disposar dels seus papers. Els va estudiar amb atenció. A mitja demostració de «cap triangle rectangle té per àrea un quadrat», va descobrir, també al marge de les Aritmètiques de Diofant, una demostració de la conjectura per a n = 4:
x4 + y4 = z4 no té solució en nombres enters.
A més va ser l’única vegada que Fermat va fa servir explícitament el descens infinit.
Amb aquest famós mètode, Euler va posar immediatament fil a l’agulla i es va entossudir a demostrar la conjectura per a n = 3, no pas fent servir nombres reals, sinó nombres complexos. El 4 d’agost de 1753, va anunciar que acabava de demostrar:
«En nombres enters, un cub no pot ser la suma de dos cubs».
Grosrouvre, a la seva fitxa, continuava:
Però la demostració d’Euler contenia un error! En canvi el mètode que havia fet servir era absolutament pertinent. Posteriorment es va utilitzar amb molt d’èxit.
L’epopeia de la conjectura començava.
El senyor Ruche es va cremar les celles estudiant seriosament les fitxes següents d’en Grosrouvre abans de convocar una «vetllada de conjectures».
Un vespre capital. Després de més de sis mesos, ara començaven a atacar seriosament la quarta pregunta: ¿en Grosrouvre havia resolt les conjectures que assegurava que havia resolt?
La importància de la sessió no va passar desapercebuda a ningú. Tothom hi era. Excepte el Nofutur. Però tots el tenien present. Encara que ningú ho deixava veure. El senyor Ruche va treure les municions; va llegir el títol de la fitxa d’en Grosrouvre:
Les diferents etapes consumides fins al dia d’avui en l’empresa de resoldre la conjectura de Fermat.
En Grosrouvre havia ratllat «res» i l’havia substituït per «diss». Dissoldre la conjectura!
Primer resultat. Només cal demostrar la conjectura per als n exponents primers. Això permet netejar el terreny i foragitar tots els nombres no primers.
Les generacions successives de matemàtics que ataquen una conjectura ho fan de manera gradual, la «roseguen». Com que d’entrada no aconsegueixen demostrar-la completament, en distingeixen casos particulars que en tot cas poden respondre. I d’una cosa en ve l’altra…
La posada en marxa va ser molt lenta. Va passar un segle. Continuaven rosegant. Legendre va demostrar la conjectura per a n = 5, un tal Lamé la va demostrar per a n = 7 i Lejeune Dirichlet la va demostrar per a n = 14.
El 1820, una dona jove, Sophie Germain, que havia publicat uns quants escrits amb el nom de «Monsieur Le Blanc», va ser la primera que va proporcionar un resultat general que no afectava un valor determinat de l’exponent, sinó tota una categoria de nombres primers d’una forma particular.
La Léa va fer un bot. Encara no havia paït l’assassinat d’Hipàtia. Una bona revenja contra els malparits i els fanàtics. Però la matemàtica s’havia hagut d’amagar sota la identitat d’un home! Així i tot era una bona revenja. I a més, tot i que no paren de retreure a les dones que només s’interessen pels seus petits assumptes particulars, una dona havia estat la primera a tractar el cas general.
El senyor Ruche, admirador constant de l’energia de la Léa, va prosseguir la lectura de la fitxa:
El primer de març de 1847, a l’Acadèmia de les Ciències hi va haver una sessió terrible. L’un darrere l’altre, dos homes es van posar drets: Gabriel Lamé i Augustin Cauchy, un dels grans matemàtics del segle XIX. Cadascun va presentar un sobre segellat que contenia la demostració completa de la conjectura de Fermat. Estupor entre l’assistència. ¿Quin de tos dos guanyaria i s’enduria la medalla d’or?
Va passar un mes. A la sessió següent, esperaven Lamé, esperaven Cauchy. Va ser Ernst Kummer, un matemàtic alemany, qui en una carta enviada a l’Acadèmia va demostrar que tant l’un com l’altre havien atribuït als nombres complexos una propietat dels nombres reals. Les demostracions de Cauchy i de Lamé eren errònies! Havien comès el mateix error que Euler el segle anterior.
Gairebé simultàniament, Kummer, basant-se en les propietats dels nombres que havia batejat amb el nom d’ideals, va demostrar la conjectura per a quasi tots els nombres primers inferiors a 100. Més tard, a la segona meitat del nostre segle, es va produir una acceleració brusca. Gràcies als ordinadors, es va demostrar la conjectura per a desenes de milers, i després centenars de milers, de nombres. Però no deixava de ser un nombre finit. Finalment, durant els anys 80, van arribar uns quants resultats importants.
En tres segles s’havia passat de 1 a 2, a 3, a 4, a 100, a molts, a una infinitat, a gairebé tots. Però la conjectura només estarà demostrada quan ho sigui per a TOTS!
L’ataco.
En Jonathan havia aconseguit esperar que el senyor Ruche acabés la lectura de la interminable fitxa.
—Només vull observar —va dir— que un dels matemàtics més grans del segle XIX, que es pensava que havia demostrat la conjectura de Fermat, es va equivocar.
Van observar que en Jonathan ho havia observat i el senyor Ruche va agafar la fitxa següent.
En un fitxa precedent vaig escriure que Euler havia fet demostracions completes de diverses proposicions de Fermat, confirmant que aquest tenia una visió clara del que era cert en el terreny de la teoria dels nombres. Efectivament. Excepte en una ocasió…
El 1640, Fermat va escriure al seu amic Frenicle: «Estic convençut que 2 elevat a (2n) + 1 sempre és un nombre primer. No en tinc la demostració exacta, però he exclòs una quantitat tan gran de divisors amb demostracions infal·libles, i tinc llums tan clares per establir el meu pensament, que em costaria desdir-me’n». Una mica més tard, per reblar el clau, va escriure a Pascal: «És una proposició de la veritat de la qual dono fe».
El 1732, Leonhard Euler va demostrar que el cinquè nombre de Fermat: 2 elevat a (25) + 1, és a dir, 232 + 1, que és igual a…
—Sort que tinc bona vista —es va felicitar el senyor Ruche.
… a 4.294.967.297 era divisible per 641. O sigui que no era primer. La segona conjectura de Fermat era falsa! O sigui que Fermat s’havia equivocat una vegada. ¿Per què no se’n podia equivocar dues? ¿Per què havia de ser exacta la primera conjectura?
—Només observo —va dir en Jonathan— que un dels matemàtics més grans del segle XVII, que es pensava que havia demostrat una proposició, es va equivocar.
Van observar que en Jonathan ho havia observat i el senyor Ruche va continuar la lectura:
Per això, menyspreant els innombrables intents de les dotzenes de matemàtics que abans que jo han intentat demostrar aquesta conjectura, convençuts que era certa, jo he començat intentant demostrar que era falsa. Hi he treballat durant molt de temps. Sense èxit. Però aquesta feina ha tingut l’avantatge immens d’establir dins meu el convenciment íntim que era certa, perquè he experimentat personalment en diversos punts precisos en què no podia no ser certa. Des d’aquest moment em vaig dedicar a demostrar-la.
Al començament del segle XIX, totes les qüestions que Fermat havia deixat obertes, totes les que havia suposat o aquelles per a les quals havia deixat una prova incompleta, havien estat resoltes. Menys una! Només quedava inviolada la conjectura del 1637 sobre la suma de potències. Es va decidir anomenar-la l’Últim Teorema de Fermat (UTF). Aquest nom contenia una bona dosi d’ironia, perquè justament no era cap teorema. Justament era aquest el problema. Teorema només ho podrà ser quan hagi estat demostrat… si és que algun dia ho és.
Com més es resistia el problema, més famós es feia. El 1816, l’Acadèmia de les Ciències va decidir crear un premi per recompensar la persona que aconseguís resoldre’l. Quaranta anys després, encara no estava resolt. L’Acadèmia va crear un segon premi, aquest cop acompanyat d’una medalla d’or i de l’agradable quantitat de tres mil francs. El premi fou concedit a Ernst Kummer.
El senyor Ruche no es va poder estar d’explicar la història del premiat.
—Contràriament a Galois, Abel i Gauss, de jove Kummer no s’havia dedicat a les matemàtiques. Mentre ell era petit, Europa estava assolada per les campanyes napoleòniques. Les tropes franceses van ocupar la ciutat on vivia i hi van dur una epidèmia de pesta o de tifus, no ho sé ben bé. El pare de Kummer era metge, va salvar dotzenes de malalts, però va acabar sucumbint a l’epidèmia. El petit Ernst va decidir que es faria militar per poder-se oposar a qualsevol altra invasió de la ciutat. Seguint les petjades de Tartaglia, de Galileu i de Newton, es va posar a estudiar les trajectòries de les bales de canó i es va convertir en un dels millors especialistes en balística de tot Europa.
—No falla —va comentar la Perrette—, per on passen les tropes franceses, neixen els balístics.
—Doncs deia —va continuar el senyor Ruche—, que Kummer va rebre el premi de l’Acadèmia, que era una misèria comparat amb el que havia creat un alemany riquíssim, Paul Wolfskehl, poc abans de la Primera Guerra Mundial. Aquest estava dotat amb una gran suma. Però duia una condició: la demostració de l’UTF s’havia d’efectuar abans del 13 de setembre del 2007.
—¿Per què aquesta data? —va preguntar la Perrette.
—¿13/9/2007? Tretze és primer i nou no ho és —va reflexionar en Jonathan en veu alta—. Però 2007… potser també és primer.
—Gens ni mica —el va tallar la Perrette—. Quan era petita em van ensenyar que si la suma de les xifres es pot dividir per 3 vol dir que el nombre també es pot dividir per 3. I set més dos més zero més zero fa nou. I nou és divisible per tres, per tant…
L’assistència estava bocabadada. Era la primera vegada que sentien la Perrette pronunciar aquesta expressió. La Perrette havia estat petita!
—¿Què passa? —va exclamar, davant d’aquella sorpresa que es pensava que anava per les capacitats calculatòries.
Però aleshores al darrere de tot es va alçar la veu d’en Max:
—Perquè serà l’any arrel cúbica de 8.092.772.751. Cal tenir en compte els decimals!
Assegut a terra, amb la calculadora a la mà, en Max se’ls mirava tranquil, amb l’agenda oberta al seu costat.
—¿Com ho saps? —va preguntar la Léa, gairebé agressivament.
—He buscat a l’agenda quin dia de l’any és el 13 de setembre. És el que fa 256. He dividit 256 per 365, fa 0,701369. Hi he afegit 2007, fa 2007,701369, i l’he multiplicat per ell mateix dos cops seguits per fer un cub. I us l’he donat en safata.
Immediatament la Perrette va pensar: «Tant de bo no m’agafi una tuberculosi a vint-i-set anys, com Abel!».
—Doncs encara no ho teniu, amics meus —va dir el senyor Ruche, intervenint ràpidament perquè sobretot no volia que en Max es pensés que acabava de fer una cosa gens ordinària per a un nen de la seva edat.
Aleshores el senyor Ruche va explicar la història del premi carregat d’or. El jove Paul W. era molt ric i molt desgraciat. Estimava una dona que no l’estimava.
—Igual que Galois! Que també estava enamorat d’una dona que no l’estimava —va recordar en Jonathan—. ¿Però què tenen per encapritxar-se amb dones que no els estimen?
—Gairebé sempre passa, ¿oi que sí, senyor Ruche? —va preguntar la Léa.
El senyor Ruche no va dir res.
—Jo —va afirmar en Jonathan gallejant—, una dona que no m’estimés no me l’estimaria. No m’agraden els qui no m’estimen.
—No és tan senzill —va dir la Perrette.
—O sigui que no estimes cap dona! Ha, ha —li va engegar la Léa.
—¿Tu podries estimar algú que no t’estimés?
—La qüestió ni es planteja. Tots els homes es tornen bojos per mi!
—No és hora de sessions de psiquiatria, si us plau! —els va interrompre el senyor Ruche—. I tornem a… ¿quina era la xifra?
—Arrel cúbica de 8.092.772.751. Sense oblidar els decimals! —va recordar en Max.
—L’amor desgraciat de Galois va ser la causa del duel en el qual va trobar la mort. L’amor desgraciat de Paul W. el va dur a prendre una decisió terrible. Va decidir suïcidar-se.
»Va fixar la data i va triar l’hora: Paul W. s’havia de matar en acabar l’últim dia. Just abans de mitjanit s’havia d’engegar un tret al cap. Va arribar l’últim vespre. Paul W. era un home ordenat, va endreçar les seves coses, va arreglar tot el que havia d’arreglar. Després va redactar el testament. Quan va haver acabat, es va adonar que li quedaven un parell d’hores abans de mitjanit. Es va mirar una bona estona la pistola que descansava sobre el secreter i es va dirigir cap a la biblioteca. Paul W. era força bon matemàtic; va pensar que en aquest últim moment seria l’única lectura capaç de captivar-lo i alhora tranquil·litzar-lo. Va fullejar unes quantes obres i es va aturar en el text del seu compatriota Ernst Kummer relatiu a l’UTF, aquell on demostrava l’error de Cauchy i de Lamé. Paul W. va començar a llegir. De sobte el cor li va fer un salt… hi havia un error! Va clavar un cop d’ull al rellotge, encara tenia un moment. Prou per demostrar que Kummer s’havia equivocat. Si durant l’última hora de la seva vida era capaç de demostrar la presència d’un error en l’obra d’un matemàtic tan gran, quin final més bonic!
»Es va instal·lar a la taula del despatx i va posar mans a l’obra, refent el text de Kummer línia per línia. En arribar a l’última, es va haver de retre a l’evidència: el treball de Kummer era absolutament correcte. No hi havia cap error. Decebut i esgotat, Paul W. es va fregar els polsos i va alçar els ulls dels papers embrutats per la recerca. Ja clarejava. Havia passat la mitjanit. I estava viu!
»Va tancar el text de Kummer, va plegar els papers, va endreçar la pistola, va estripar el testament i va oblidar aquella dona. Els esdeveniments havien trobat la solució: la resurrecció per la demostració.
»Tenia un deute amb Fermat i el seu UT. Va decidir crear un premi per recompensar aquell que trobés la solució del problema que li havia salvat la vida. La data que Paul W. havia fixat per suïcidar-se era el 13 de setembre de 1907!
La Léa es va posar a cantar:
Plaisir d’amour ne dure qu’un moment
Chagrin d’amour dure toute la vie-iiiiiiiie!
Quedava una fitxa. Era molt recent. I començava d’una manera estranya:
Últim minut.
Conjectura d’Euler
Extrapolant la conjectura de Fermat: la suma de les potències n-èsimes de dos enters no pot ser la potència n-èsima d’un enter: xn + yn = zn, Euler havia plantejat una conjectura més modesta que no posava en joc tres nombres sinó quatre i que quedava restringida a la potència quatre:
«La suma de tres biquadrats no pot ser un biquadrat». Dit en termes actuals:
x4 + y4 + z4 = w4 no té solució en nombres enters.
La conjectura aguanta un segle, dos. Però el matemàtic Noam Elkies —som a l’any 1988— acaba de treure’s de la butxaca quatre nombres que contradiuen l’afirmació d’Euler. Ho he comprovat. 2.682.4404 + 15.365.6394 + 18.796.7604 = 20.615.6734.
La conjectura d’Euler és falsa!
La notícia va produir l’efecte d’una bomba i va electrificar l’assemblea, que, tot s’ha dir, començava a adormir-se.
—Només observo —va dir en Jonathan— que un dels matemàtics més grans del segle XVIII…
—Observa, observa! —van cridar tots els altres.
—… el prodigiós calculador de Basilea, l’home de les vuit pàgines de diccionari, dels setanta-cinc volums i les quatre mil cartes, l’home de memòria prodigiosa havia emès una conjectura falsa!
¿Què buscava en Grosrouvre insistint d’una manera tan visible sobre els errors comesos per tots aquells matemàtics il·lustres? L’error de Cauchy, el de Lamé, tots dos havien fet demostracions falses! L’error de Fermat, el d’Euler, ¿tots dos havien enunciat conjectures falses?