16. Igualtat

En un despatx pobrament moblat, il·luminat amb la claror d’una espelma, Robert Recorde estava vinclat sobre un full ennegrit de xifres i lletres amb la ploma a la mà, a punt. Rumiava. Un cop presa la decisió, va sucar la ploma al tinter amb resolució i va traçar una ratlleta horitzontal. Just a sota, amb aplicació, va fer un segon traç, de la mateixa llargada, rigorosament paral·lel.

Va deixar la ploma, va agafar el full i el va aguantar amb el braç estirat. Amb els ulls mig aclucats, va examinar una bona estona el signe que acabava de fer. Va tornar a deixar el full, satisfet. Amb raó. Tenia al davant el signe que s’havia de convertir en el més famós de les matemàtiques, el signe igual. Dues ratlletes paral·leles idèntiques, separades per un coixinet prim d’aire:

=

Era el 1557 i ja feia una temporada que es plantejava la qüestió de crear un signe per substituir la paraula aequalis, igual, en l’escriptura de les equacions. ¿Com es podia representar aquesta noció tan familiar i d’altra banda tan complexa? Al cap d’un cert temps, quan el signe que havia inventat ja circulava pel món dels matemàtics, van preguntar a Recorde les raons que l’havien dut a triar aquest signe. «He triat un parell de paral·leles perquè són dues línies bessones, i no hi ha res més igual que dos bessons».

En Jonathan va mirar la Léa i la Léa va mirar en Jonathan. No pas com en un mirall. Un mirall només reflecteix una imatge… petrificada a còpia de ser idèntica a la persona de la qual és la imatge. En canvi cada fill Liard percebia en l’altre, justament, tot el que no era igual: les diferències ínfimes que parlaven més bé de la seva forma comuna! Les perseguien com els enamorats persegueixen els barbs al nas de la persona estimada. No eren iguals com dos llibres impresos, sinó com dues còpies fetes pel mateix escriba.

En resum, trobaven que eren iguals amb tan poca diferència que valia la pena ser dos.

No hi ha res més igual que dos bessons! En Jonathan i la Léa no van parpellejar en llegir la frase de Recorde, però per dintre bullien. ¿Què en sap, aquest anglès, de les bessonades? Dues ratletes, l’una sobre l’altra. ¿Qui va a sobre? ¿I qui va a sota? ¿Ella? ¿Jo? ¿Ell, jo?

Recorde era matemàtic, però també era metge. Tan cèlebre que es va convertir en el metge privat de la jove parella reial: Eduard VI i Maria Tudor.

—¿Aquest Eduard no és aquell a qui Cardano va fer l’horòscop? El que havia de viure tant de temps i que es va morir a setze anys? —va preguntar la Léa.

—Em sembla que sí —respongué en Jonathan.

—Sí que estava ben acompanyat, el desgraciat! Un metge matemàtic capaç de predir-li que es moriria de vell i un altre incapaç d’evitar-li la mort de jove —va dir la Léa.

—¿Recordes què havia dit Cardano? —continuà en Jonthan—: Eduard havia tingut raó morint-se quan es va morir! Una mica més d’hora o una mica més tard, la mort no hauria complert la regla. En fi, que abans d’hora, no és l’hora, i després de l’hora, ja no és hora. L’hora és l’hora! Si això no és una apologia de la igualtat… Ni més, ni menys! Igual!

—Justament, ¿el signe més i el signe menys, quan van aparèixer? —insistí la Lèa.

—No en ballem més que no en toquen! Encara no hem acabat amb Recorde. Escolta! «Poc temps després d’haver inventat el signe igual, Recorde va ser tancat a la presó de Londres perquè havia contret deutes. S’hi va morir al cap d’uns quants mesos».

—No pot ser! —La Léa se’l mirava, sorpresa, i després es va posar a riure—: L’home que va inventar el signe igual es va morir a la presó perquè havia gastat més peles de les que havia guanyat! Més, no igual.

—Tenia una paral·lela més llarga que l’altra!

—Duia una comptabilitat escalena!

Si poc temps abans algú els hagués dit que farien acudits amb les matemàtiques!…

A sobre el llit hi havia unes quantes obres procedents de la BDS: una Història dels signes i de les notacions matemàtiques i les obres de Cardano. Ben decidits a ensenyar al senyor Ruche de quin signe eren, Jonathan-i-Léa havien decidit ocupar-se de les fórmules de Cardano. Tal com les havia presentades el senyor Ruche, escrites amb totes les lletres, eren absolutament il·legibles. Pensaven fer-les canviar de look.

El fet que abans del 1557 no hi hagués hagut signe igual els havia deixat glaçats. La Léa es va dir que l’endemà al matí, a classe, pensava tornar a fer la conya de la restauració amb el signe igual. «I si els dos falsos genis gosen dir una paraula contra les línies bessones, els estasso. Ambient assegurat a la classe C113!».

—S’ha de morir un paio a l’altre cap de món per saber d’on ve el signe igual. ¿Per què no ens expliquen mai aquestes coses a classe?

La Léa va fer un crit, semblava la Raquel a l’últim acte de Fedra:

—Jonathan! Hem estat a punt de morir idiotes!

—¿Morir-nos? —La va observar, desconfiat—. No tens pas intenció de… Ferrari va morir enverinat per la germana.

—O per l’amant de la germana.

—¿Tens un amant? —li va preguntar, desconfiat.

—Representàvem una tragèdia i ara t’enfonses en una comèdia de costums!

—Ets tu qui ha parlat d’amants. ¿En tens un?

—Faig com el Nofutur, només parlaré en presència del meu advocat. Som bessons, però tinc una vida privada. El psicòleg ho va dir: cadascun ha de tenir una vida privada.

—Però no va dir que no pogués ser la mateixa.

—Estàs sonat! No tinguis por, Jonathan Liard, no ets en Lodovico Ferrari. Recorda-ho: un noiet net i rosat, amb una veu suau, una cara alegre i un nassarró agradable. I d’una gran intel·ligència. Res a veure amb tu!

—Però… amb les disposicions d’un dimoni! —va rugir en Jonathan llançant-se-li a sobre.

Afortunadament, sota la seva habitació hi havia la d’en Max, que no es despertava per res.

—¿La saps aquesta història de signes? —va preguntar en Jonathan de cop i volta—. Un llac. Sobre l’aigua tranquil·la, una parella; de cignes. Ell va al davant, superior. Ella el segueix. Es gira… i li fa un petit «cigne».

—Deliciosa, Jonathan. Pots ser d’una delicadesa increïble, quan vols. En realitat no ets tan matusser. El que passa és que el físic no t’acompanya, ets massa fort.

L’hauria matada. En un to juganer va afegir:

—Som iguals… signe més o menys!

—Història dels signes i de les notacions matemàtiques —va dir en Jonathan recordant el títol del llibre.

Tornant amb els signes, li va explicar com havien nascut el + i el − en un tractat d’aritmètica comercial. Va ser el 1489, un home anomenat Widmann els feia servir per marcar les caixes de mercaderies.

Les caixes es deien lagels. Un cop plena, cada caixa havia de pesar 4 centner. Quan no aconseguien obtenir el pes exacte, ho havien d’indicar sobre la tapadora. Si una caixa pesava una mica menys de 4 centner, posem cinc lliures menys, traçaven una ratlla horitzontal i apuntaven: «4c - 5l». En el cas contrari, si la caixa pesava, posem, cinc lliures de més, partien la ratlla horitzontal amb una ratlleta vertical per indicar l’excedent: «4c + 5l». Els signes van passar de la fusta de les caixes als fulls de càlcul i del comerç van emigrar a l’àlgebra.

La Léa l’escoltava estirada sobre el llit amb els ulls tancats. Quan en Jonathan va haver acabat, la noia no es va poder estar d’observar que el menys havia precedit el més, que no era res més que un menys partit.

—Qui pot menys, pot més —va concloure en Jonathan, filòsof, mentre ensenyava a la Léa les reproduccions dels jeroglífics utilitzats pels egipcis per representar l’addició i la subtracció.

Es van mirar: segurament li agradaria, al senyor Ruche!

En Jonathan va continuar repassant la llista de signes. La creu de multiplicar, «×», inventada per l’anglès William Oughtred el 1631. Les dues «v» ajagudes, «<» i «>», d’inferior i superior, inventades poc temps abans per Thomas Harriot, un altre anglès. El símbol √ d’arrel quadrada, inventat per l’alemany Rudolff el 1525. El ³√ per a l’arrel cúbica; ⁴√ per a l’arrel quarta…

—¿I l’infinit?

—¿L’arrel d’infinit?

—No, el signe d’infinit.

En Jonathan va fullejar el llibre i va trobar la resposta: també era un anglès, John Wallis. Era aquest, el del «vuit» ajagut de l’infinit, «∞». Fixa’t, també era metge. El tercer!

En Jonathan va passar als exponents i va descriure amb pèls i senyals la manera com el francès Nicolas Chuquet operava des del segle XV a la Trilogia en la ciència dels nombres, el tractat d’àlgebra més antic escrit en francès, però a la Léa li era ben igual.

—¿Saps de què feia aquest Chuquet?

—De metge!

—El quart! Diuen que els matemàtics són poetes. Què va, metges! Es clar, restauracions, nombres trencats… Doncs Chuquet… per representar «2 elevat a la potència 4», simplement va esborrar «elevat a» i va pujar el 4: 2⁴.I quan el nombre estava al denominador, el va pujar al numerador i va posar un «-» davant de l’exponent. Molt astut.

Exponents negatius, mentre els altres matemàtics van trigar segles abans d’acceptar cap nombre negatiu! «I qui de 10 en resta menys 4, en queden 14. I quan algú diu menys 4 és com si una persona no tingués res i encara en degués 4. Quan diem 0, simplement volem dir res…». Un nombre negatiu és no tenir res i encara deure’n.

La Léa va interrompre el text de Chuquet:

—Jo també sé una història. És migdia. Una aranya es prepara per dinar a la teranyina. Tres mosques es posen a l’abast del fil. L’aranya se les mira, pensativa: «si ho he entès, “menys una mosca” és el que he d’afegir a les tres mosques per només fotre-me’n dues!».

—Els negatius són el que permet afegir i tenir-ne menys al final que al començament —va resumir en Jonathan tan filòsof com l’aranya—. Quan en tens «menys 3» és com si no tinguessis res i a més en deguessis 3!

—És exactament el que li va passar al pobre Recorde. Els negatius duen de dret a la presó! Si zero equival a res, un negatiu és un «menys que res».

—Doncs anava molt endavant aquest Nicolas Chuquet! Però no va, publicar la Trilogia. En aquell temps no la va llegir ningú. Resulta que aleshores no va tenir cap influència.

—¿I les lletres? Com més va més hem d’admetre que en Grosrouvre, no havent volgut publicar els seus resultats, no va ser cap cas aïllat —va rumiar la Léa en veu alta.

—Ah, no, oblida aquest home! Per una vegada que no en parlàvem.

—Senyor Déu meu, què he fet per tenir un germà així! Vull saber d’on surten les lletres de les fórmules!

—Això és un altre capítol.

Va tornar a fullejar el llibre. I al cap d’uns quants minuts:

—Aquí, l’heroi sembla que és un tal François Viète, anomenat «l’home de les lletres»! Abans d’ell, se substituïa alguna quantitat per lletres aquí o allà. Però només quantitats desconegudes. En canvi Viète va posar lletres a tot arreu, tant per representar quantitats desconegudes com conegudes. Únicament majúscules: les vocals A, O, I,… per a les desconegudes, i les consonants B, C, D… per a les conegudes. I ara el context històric: França es trobava sumida en les guerres de religions, assassinat del duc de Guisa, sant Bartomeu, Enric IV, etc. Un bon dia, els homes del rei van interceptar cartes xifrades que els espanyols enviaven als catòlics. Eren impossibles de desxifrar. Pel cap baix contenien cinc-cents caràcters diferents! Enric IV les va sotmetre a Viète.

»Van interceptar més cartes. Els espanyols van modificar el codi moltes vegades. Però Viète havia preparat un procediment que li permetia “seguir” les transformacions del codi. Les autoritats de Madrid, convençudes que sense l’ajut de la màgia no es podien desxifrar els missatges, van denunciar Viète a la Inquisició. Quina coincidència, això va passar pràcticament a la mateixa època que Cardano era empresonat pel mateix Sant Ofici. Diuen que hi ha gent que es menja els capellans, però en aquell temps més aviat eren els capellans que es menjaven els matemàtics!

»Saltem uns quants decennis —va prosseguir en Jonathan— i arribem a Descartes, que va substituir les majúscules per minúscules i va decidir que les primeres lletres de l’abecedari, a, b, c, … representessin les quantitats conegudes, i les últimes, z, y, x, … representessin les desconegudes. També li devem la notació actual dels exponents.

»Això pel que fa a les notacions de les equacions. Ho van fer passar tot al costat esquerre de l’equació. Conseqüència: a la dreta només hi va quedar el zero. Per això sempre són igual a zero! Eh, oh, que m’escoltes! No parlo pas perquè sí, floreta.

—Vet aquí per què totes són iguals a zero —va repetir mecànicament la Léa, que tenia treballs a mantenir els ulls oberts—. I no em diguis floreta! Si no et diré cor meu, com la bleda d’en Grosrouvre.

—I van obtenir aicsdosmésbeicsmésceigualazero! —va exclamar en Jonathan, orgullós d’haver arribat al cap.

—A la fi, reconec els signes! —va sospirar la Léa imperceptiblement—. Final de trajecte!

—Ara és l’hora de pencar —va remugar en Jonathan mentre agafava el llibre de Cardano.

La Léa ja no hi era. Dormia com un angelet. Condemnat de nit, en Jonathan es va posar a treballar tot sol, traduint en llenguatge d’estudiant d’avui dia les fórmules interminables de Cardano «manllevades a Tartaglia». Quan va haver acabat, va endreçar el paper, va apagar el llum, va obrir la lluerna de sobre el llit, en va apartar la capa de neu, va veure el cel negre i va tornar a tancar. La foscor va penetrar de cop a les golfes.

L’endemà al matí, en marxar cap a l’institut, va fer passar un paper per sota la porta de l’habitació-garatge.

El TBVB va obrir la carta enviada des de Tokyo. El seu acòlit li enviava la traducció de la llegenda que acompanyava la foto:

Un vell savi francès mesura l’altura de la piràmide del Louvre construïda per l’arquitecte Ieoh Ming Pei fent servir l’antic mètode de les ombres del matemàtic grec Tales.

—Què vol que en foti jo, d’aquesta llegenda! Tales, ¿qui és aquest?

Tanmateix va anar al Louvre i, tot i que va untar els vigilants i els guies, no va obtenir cap informació sobre el vell savi situat al centre de la foto. Ni sobre Tales.

El TBVB va fer una dotzena de fotocòpies de la foto del diari de Tokyo. Va col·locar un dels seus homes pels volts del moll de la Mégisserie, per si de cas el nen hi tornava.

Després de tres mitjanes ja havia covat una idea. Els nens van a l’escola. A França l’escola és obligatòria. Si es tractés de Calcuta o de Rio, o fins i tot de Nàpols, ja seria menys segur. ¿Quina edat devia tenir? No hi entenia gens, en criatures.

La Giulietta li va assegurar que tenia onze o dotze anys. Més aviat dotze que onze, o sigui que devia estar matriculat en una escola secundària, no pas en una de primària. Va telefonar al rectorat. «¿Quantes escoles secundàries hi ha? Déu meu! Multiplicat per la quantitat de primers i segons per establiment, quin munt!». El TBVB estava atordit, no podia pas vigilar la sortida de totes les escoles secundàries de París. La Giulietta, sempre tan caritativa, li va engegar:

—¿Qui sap si no va a una escola dels afores? Hi ha molts nanos dels afores que vénen als encants!

Sí, ¿com en podia estar segur? Trobar una criatura de dotze anys en una ciutat de deu milions d’habitants! Impossible! I a més, totes les criatures s’assemblen.

La Giulietta no opinava el mateix.

—T’asseguro que aquest és estrany —li va confiar—. Tenia alguna cosa, no sé què, alguna cosa extraordinària. Quan li parlaves, tenia una manera de mirar; et mirava amb… amb una atenció que…

—Potser et trobava bonica —va deixar anar el TBVB—. No és l’únic —va dir amb un somriure seductor.

La noia va fer un gest brusc amb la mà per dir-li que la començava a afartar. A continuació, com si parlés per a ella, va afegir:

—Em va fer molt bona impressió, aquest nen.

—Ei, ara no et tornis pedòfila!

—Que n’ets de burro!

Es va girar i es va allunyar decidida. Estava realment empipada.

—És veritat que és bonic, aquest nen. Em recorda un amic que no em van deixar estimar quan era petita. La mare em va dir: «Si el tornes a veure t’arrencaré els ulls».

—¿I no el vas tornar a veure?

—Devia estimar-me més els ulls que l’amic.

El TBVB no se n’havia sortit. Si la volia conquistar, havia d’aconseguir que l’admirés. Li pensava demostrar el que valia! Es va obligar a trobar una segona idea. I la va trobar. Cabia en una frase: foto per foto.

Tenia la foto del nen i el nen estava en una escola. ¿I què fan cada any a les escoles? Fan la foto de la classe. Trobaria el nen pels fotògrafs escolars! «Hi té alguna cosa, aquí dins, en Luigi!», es va dir acariciant-se el crani.

Va obtenir la llista dels fotògrafs escolars i els va anar a veure. Tots desconfiaven. Començaven per negar-s’hi, amb l’excusa del secret professional. A més, es tractava de menors. Però el TBVB havia preparat un guió preciós que ràpidament els feia baixar la guàrdia. Era el corresponsal d’una gran publicació sobre animals del Japó. Assenyalava amb el dit el lloro sobre l’espatla del nen per confirmar el que deia. El nen de la foto sobre l’espatlla del qual hi havia el lloro acabava de guanyar el premi dels lectors del diari. El buscava per poder-li donar aquest premi. Una quantitat important, tot sigui dit.

—Naturalment, hi ha una recompensa proporcional per a qui permeti enxampar-lo… vull dir trobar-lo.

Només calia esperar.

En realitat també havia seguit una tercera pista: els encants. De cop i volta es va posar blanc. ¿I si el nen havia tornat a vendre el lloro a una d’aquelles bandes? Merda, merda. Seria una catàstrofe. L’amo es posaria furiós. El TBVB temia per sobre de tot les seves ires. Eren terribles. Quan n’hi queia una a sobre, perdia el món de vista. Se sentia tan desemparat que s’hauria amagat sota la taula. Com quan era petit, mort de por, i el pare li queia a sobre. No era creient, però va dirigir una oració urgent a la mare de Déu. «Feu que trobi aquesta merda de lloro». Estava ben segur que el trobaria. L’amo el felicitaria i el TBVA es moriria de gelosia i la Giulietta cauria. Es va posar vermell de satisfacció.

Una mica més tard, aquell mateix matí, el senyor Ruche va recollir el paper que en Jonathan havia deixat sota la porta de l’habitació-garatge. Enlluernat, va llegir això:

El senyor Ruche va decidir abrigar les seves, de cames, que no caminaven ni en el mateix sentit ni en l’invers. Va anar al petit moble cantoner embotit de sabates i va triar un parell de botines folrades de pell d’anyell. Es va fixar en la citació de Plató enganxada al moble: «No es pot entendre què és la ciència del calçat, si no s’entén què és la ciència», va pensar que per a ell valdria més invertir-ne els termes: «No es pot entendre què és la ciència, si no s’entén què és la ciència del calçat».

La continuació del missatge de Jonathan-i-Léa era més materialista…: «Ballant-ne més que no en toquen, tal com ens va dir, miri la pinta que tindrà la fórmula de Cardano poc temps després».

El senyor Ruche s’ho va mirar. Hm… ben bé la mena de fórmules que li feien posar els pèls de punta quan estudiava. Les que feien que considerés en Grosrouvre com un bàrbar que s’expressava en una llengua plena de brutalitat.

L’empenyien! Va sentir que ara no es podia aturar a mig camí. Encara no sabia què passava amb la resolució completa de l’equació de tercer grau. ¿Es podien solucionar per radicals? Sí o no!

¿El quid d’aquesta fórmula? Que tenia una pega. Tant si es presentava amb el vestit modern com si no, no ho resolia tot! El senyor Ruche va trigar a entendre-ho. La fórmula, de vegades prolífica, produïa més solucions de les que s’esperava; de vegades estèril, resultava impossible d’aplicar.

Un dia, un dels corresponsals de Tartaglia li va confessar que li costava creure que una equació de tercer grau pogués tenir dues solucions o potser més i tot. «Certament, es fa difícil de creure», li va respondre Tartaglia, «i segurament si l’experiència no en fos testimoni, gairebé no m’ho creuria».

O sigui que hi podia haver més d’una solució per a una equació de tercer grau! ¿Però quantes? ¿Dues, tres, més? En realitat, un cop més tot girava al voltant de les quantitats negatives.

Per als fills dels pàrquings del final del segle XX, els nombres negatius no representen cap problema. «-2» escrit al piu de l’ascensor és tan banal com el segon soterrani, el lloc on està aparcat el cotxe.

Sense ser tan modern en les relacions amb les quantitats negatives, Cardano va fer menys fàstics que els qui l’havien precedit per admetre’ls com a solucions. Per ell, literalment, eren arrels «menys pures», però arrels de totes maneres.

A la fórmula que li havia comunicat en Jonathan després de passar la nit en blanc, hi havia un tros problemàtic:

Si, per desgràcia, la quantitat sota l’arrel: (q/2)² + (p/3)³ era negativa, la fórmula es tornava impracticable! Perquè no es pot fer l’arrel quadrada d’una quantitat negativa. El senyor Ruche va intentar recordar per què. Al final va acabar reconstruint el raonament. S’ha de dir que, a mida que remenava les matemàtiques, a dins seu es produïa ben sola una gimnàstica que no li desagradava gens.

No hi ha arrel quadrada d’una quantitat negativa!

De manera que quan (q/2)² + (p/3)³ és negatiu, la fórmula no es pot aplicar i per tant no hi ha arrels! Ara bé, en llegir De l’esfera i el cilindre, d’Arquimedes, potser en la traducció que n’havia fet Tartaglia, Cardano va descobrir que justament en aquest cas el siracusà mostrava que hi havia tres arrels.

Cardano va analitzar què passava, 1) La meva fórmula és correcta. 2) No és aplicable en un cas precís i això és una contradicció amb els resultats d’Arquimedes. 3) La impossibilitat de fer una arrel quadrada negativa és l’única responsable de la contradicció.

Per a Cardano la solució estava davant del nas. Un home que s’atreveix a fer l’horòscop de Jesucrist, ¿podia recular davant l’extracció de l’arrel quadrada d’un nombre negatiu?

Cardano es va atrevir. Va avisar els lectors: «Oblideu les tortures mentals que us podeu fer patir i introduïu aquestes quantitats a les equacions». Va introduir coses com ara «√-1». I va funcionar!

Solucionar més o menys què calia fer amb √2 havia costat una animalada. ¿Com se’n sortirien amb aquest √-1?

Els grecs havien admès l’existència de dimensions irracionals perquè s’imposaven. Però els havien negat l’estatus de nombre. Els àrabs, més generosos, els havien concedit el passaport numèric. Els irracionals, convertits en nombres (gairebé) com els altres, es podien proposar com a solucions de les equacions algèbriques. Però això no feia que disposessin d’una definició veritable. Aquesta era la situació al final del segle XVI.

Per a √-1 va començar un camí similar.

El primer relleu va ser Rafael Bombelli. Encara va tenir menys manies que Cardano per utilitzar aquests omni: «objectes matemàtics no identificats». Va decidir operar amb les arrels de les quantitats negatives i aplicar-los les mateixes regles que les que es feien servir per als nombres «normals». La seva Àlgebra, on presentava totes aquestes novetats, de seguida va eclipsar les obres de Tartaglia i de Cardano. Però el pobre Bombelli no va aprofitar la fama durant gaire temps: l’obra va aparèixer el mateix any que va morir, el 1572!

De passada, el senyor Ruche va observar que Bombelli havia indicat que el problema de la trisecció de l’angle es reduïa a la solució d’una equació de tercer grau. Això era nou, però no resolia la qüestió de com s’havia de construir amb regle i compàs. Però tanmateix aquesta informació tenia una importància extraordinària: el problema abandonava el camp purament geomètric on s’havia mantingut fins aleshores i aterrava en el camp de l’àlgebra!

Una altra cosa. Bombelli va inventar una notació capital, que en Jonathan i la Léa havien oblidat a la llista: els parèntesis. Els grans oblidats de les notacions matemàtiques.

Els parèntesis van per parelles. A l’esquerra, el d’obertura; a la dreta, el de tancament. Tenen un paper essencial: permetre l’escriptura de les expressions matemàtiques sense ambigüitat. El senyor Ruche va fer la prova amb dues divisions seguides: 2 dividit per 3 dividit per 5, ¿quant fa?

Escrit «2/3/5», és dubtós; el 5 divideix 2/3 o és 3/5 que divideix 2? ¿Com es pot saber? Sense parèntesis, impossible.

Amb els parèntesis, en canvi, es pot triar. O bé els posem al principi: «(2/3)/5», i fa 0,13333333333…

O bé, al final: «2/(3/5)», i fa 3,3333333333… No s’assemblen de res!

L’error de Cardano en un dels tercets de Tartaglia era això mateix! Al terzo cubo delle cose neto. Cardano havia entès el «terç del cub» i en realitat es tractava del «cub del terç»! Amb els parèntesis, no hi ha cap possibilitat d’error. Cardano no hauria pogut llegir (p³)/3 si Tartaglia hagués escrit (p/3)³.

El senyor Ruche va rumiar que caldria posar en marxa una subscripció per construir un monument que digués alguna cosa com ara:

Als parèntesis, les expressions matemàtiques, agraïdes.

Rafael Bombelli va inventar una altra parella en matemàtiques. Abans hi havia la parella +1, - 1, piú i meno. Bombelli en va afegir un altre, piú di meno: + √−1 i meno di meno: − √−1

A partir d’aquí l’àlgebra es convertia en vedat d’una partida amb quatre protagonistes. Va establir les regles d’aquest càlcul ampliat i va compondre una cançoneta per facilitar-ne la difusió:

I el resultat d’això és:

A partir d’ara caldria calcular amb aquests éssers nous! Que tothom s’estava bé prou de definir, de tan ficticis que se’ls veia. Pur material de càlcul, servien de simples intermediaris, destinats a desaparèixer al capdavall, sense deixar ni rastre del seu pas. Com jugar a fireta, vaja! Una mica com ara en l’art de la perspectiva, inventada justament a la mateixa zona uns quants decennis abans. Les rectes que havien servit per traçar una perspectiva s’esborraven amb cura i eren invisibles en el quadre definitiu.

Aquest éssers, ¿s’han d’anomenar nombres? I si els anomenem nombres, ha de ser nombres impossibles. Més endavant, Descartes en va millorar l’estatus. Per indicar en quin ordre de realitat els situava, els va anomenar imaginaris! Encara més endavant, un cop ratificada la seva realitat, el matemàtic alemany Gauss només els va considerar nombres… complexos.

Per oposició, els nombres que s’havien utilitzat fins aleshores, positius i negatius, racionals i irracionals, van ser anomenats nombres reals.

Va caldre esperar Leonhard Euler, el 1777, perquè el sulfurós √-1 fos substituït pel símbol amb el qual el coneixem actualment. Va escriure

√-1 = i, d’imaginari!

El senyor Ruche va fer una ganyota. ¿Aquest Euler no era un dels matemàtics de la llista d’en Grosrouvre? Ho va comprovar. Euler venia just després de Fermat, que seguia immediatament Tartaglia. Era un terreny conegut.

El senyor Ruche va meditar una bona estona sobre el camí que havien fet aquests éssers matemàtics. D’impossibles a imaginaris, d’imaginaris a complexos. Quantes idees, quants sistemes polítics, quantes teories i procediments han seguit aquest camí abans de convertir-se en «realitat»! I de vegades una realitat ben banal!

¿Quina pinta tenien aquests nombres nous? Si volien merèixer el qualificatiu que duien, havien de ser… més complexos que els altres. Per fer un nombre complex calien dos nombres reals. Per exemple, amb la parella (2,3) es va construir el nombre complex:

2 + 3i

Amb la parella (2,0) es va construir el nombre complex 2 + 0i, és a dir 2, senzillament! Això implicava que un nombre real era un nombre complex particular. El cercle es tancava. En definitiva, el camí havia consistit a incloure els nombres reals en un conjunt més ampli. Havien engrandit l’univers on s’havia actuat fins aleshores, amb la finalitat de fer possible el que era impossible.

Una cosa preocupava el senyor Ruche. Comptat i debatut, ¿es podia extreure l’arrel quadrada d’un negatiu, sí o no? La resposta era clara. I doble.

No! No es podia trobar l’arrel quadrada d’un nombre negatiu dins del conjunt dels nombres reals. El que era impossible continuava essent impossible allà on era impossible!

Sí! Es podia trobar l’arrel quadrada d’un nombre negatiu en el conjunt dels nombres complexos.

En resum, ¿qui era i?

Els matemàtics proclamen: «és l’arrel imaginària de la unitat negativa»! Com que no pertany al conjunt dels nombres reals, la seva irrupció en l’univers de les matemàtiques no introdueix cap contradicció en aquest conjunt.

El senyor Ruche es va adonar que des que havia començat aquest periple, ja s’havia trobat unes quantes vegades davant de dos problemes d’ordre matemàtic i alhora filosòfic: la qüestió de l’existència i la de la impossibilitat.

Si ho hagués de resumir, diria: en determinats moments de la història, hi ha hagut matemàtics que s’han trobat confrontats a un problema que no aconseguien resoldre i s’han vist obligats a efectuar actes il·lícits. Ho han fet en el secret del despatx. Si volen anar més lluny, saben que han de deixar l’univers en què es movien fins aleshores. Com l’Alícia, han de travessar el mirall. Allà, lluny de les lleis que regeixen al món que han deixat, realitzen actes poc clars però eficaços que els permeten desbloquejar la situació. Després, tornen a aquest costat del mirall, envalentits per l’audàcia i enriquits pels coneixements nous, i, ells o els qui els succeeixen, engrandeixen l’univers matemàtic per tal de poder acollir aquests éssers nous engendrats a l’altra banda del mirall.

Sempre es pot anar a l’altra banda del mirall, als negatius, als irracionals, als imaginaris, etc., amb la condició de tornar amb les mans plenes de meravelles!

Però no hi ha escriptura pura, és tan veritat per a la poesia i la literatura com per a les matemàtiques. Escriure l’«impossible» és atrevir-se a plantejar-se si existeix i autoritzar els intents de legitimar-lo. En matemàtiques, es fa elaborant una teoria en la qual aquesta escriptura insensata fins aleshores es posa a representar un objecte ben definit. Sempre es poden definir nous éssers. Amb una condició: que la seva existència sigui una coexistència. L’arribada d’éssers nous no ha de posar en perill l’existència dels que ja hi eren i tampoc no ha de contradir els resultats que ja s’havien establert.

En matemàtiques, les revolucions no es fan destruint els mons antics, que continuen conservant la legitimitat i la veritat. Es fan construint universos nous que o bé engloben els precedents, o bé se situen al costat. Els éssers nous no aniquilen mai els antics. Un bon exemple de convivència entre avantpassats i nouvinguts.

Quan el senyor Ruche va explicar a en Jonathan i la Léa tot el que havia après sobre els imaginaris, van reaccionar immediatament.

En Jonathan:

—És exactament el contrari del que ens havia explicat amb el regle i el compàs, on començaven amb una prohibició: «Si no és amb el regle i el compàs, no construiràs res!».

La Léa:

—En canvi amb els imaginaris no es pot dir que siguin gaire primmirats amb els mitjans que fan servir per resoldre el problema. Es «el fi justifica els mitjans»! Especialment perquè en arribar, els mitjans pffft! Correm un vel púdic sobre tot el que ha permès arribar al resultat i…

No va acabar la frase. La veu se li va fer més suau:

—Però el resultat se’n fot. No porta cap senyal de les condicions en què va néixer.

I per acabar, jovial:

—El que compta és tirar endavant!

El senyor Ruche va sacsejar sorollosament la cadira de rodes:

—¿I quan no tira què, eh?

La Léa se’l va mirar amb afecte:

—Quan no tira, senyor Ruche, s’ha de volar!

El Nofutur va batre les ales, va alçar el vol i es va posar a l’espatlla de la Léa. Encara no ho havia fet mai amb ningú que no fos en Max. La Léa es va emocionar.

L’endemà en Jonathan-i-Léa van agafar les regnes de l’assumpte. Com que el senyor Ruche no havia considerat adequat muntar una sessió sobre el tema, la van muntar ells. Estaven segurs de la presència dels uns: el senyor Ruche, en Max i la Perrette, de manera que van convocar els altres: l’Albert i en Habibi. Quant al Nofutur, ja era de la colla.

Ben agafat a la barra superior de la perxa, va començar amb un capgirell elegant efectuat a càmera lenta. Quan va ser cap per avall, va anunciar:

—Drama dels imaginaris!

Va canviar de marxa i, en una rotació accelerada, va acabar la volta de cop i es va trobar dret com una i sobre la barra. Amb el coll estirat, va fer tremolar la punta escarlata de les rèmiges i va declarar:

—Drama en i actes!

Amb la música dels remers del Volga, Jonathan-i-Léa van avançar panteixant, salmodiant uns «Ye li u HAN, ye li u HAN», que pretenien reflectir musicalment la condició miserable dels galiots que vogaven al fons del pallol. Quan el cor va callar, es van sentir amb l’ànima persa i, animats pel talent d’al-Jawam, es van atrevir amb uns quasi-rubaiyats que havien compost:

AI Nofutur li tocava l’última paraula. Va provar de fer la i unes quantes vegades, potser en homenatge a Tartaglia, el Quec. Però la i li sortia com un «ai». Va tenir treballs a pronunciar una i que no fos un crit. Després de les quartetes de Khayyam, els tercets de Tartaglia i els versos de Bombelli, ara arribaven els poemes de J-i-L Liard! Els Mil i un Fulls s’estava convertint en l’últim crit dels salons poètics.

En Habibi estava a la glòria, no havia entès gaire bé el text, però havia vibrat amb la música. La Perrette havia contemplat el drama dels imaginaris i del seu naixement problemàtic sense dir ni piu.

El sainet preparat per en Jonathan i la Léa havia impressionat el senyor Ruche, no tant per la qualitat artística com per l’acuïtat política. No sabia que en Jonathan i la Léa fossin tan sensibles a aquestes qüestions, de les quals no parlaven mai a casa.

Però a casa, ¿parlaven del que els coïa? Tot i que, aquests últims temps…

El senyor Ruche no havia estat mai militant, però tenia una fibra política; el compromís amb la Resistència l’havia impregnat d’un odi profund contra tots els terrors, tant si eren polítics, com ideològics, religiosos o econòmics. Era senzill, odiava l’opressió; tenia al cap una mena d’axioma implícit que naturalment el feia sentir al costat de l’oprimit i davant de l’opressor.