Les bases mathématiques de la mécanique bohmienne*
(*Librement adapté de Bohm Interpretation, Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Bohm_interpretation)
Dans l’équation de Schrödinger :
Où m est la masse de l’électron, h la constante de Planck divisée par 2ϖ, V l’opérateur de l’énergie potentielle et i un nombre imaginaire, la fonction d’onde Ψ(r, t) est une fonction complexe de la position r et du temps t. La densité de probabilité e(r, t) qui lui est liée est une fonction définie par :
Sans perte de généralité, nous pouvons exprimer la fonction d’onde Ψ en termes de densité de probabilité réelle e = |Ψ|2 et de fonction de phase de la variable réelle S, dépendant elles aussi de la position et du temps :
En agissant de la sorte, l’équation de Schrödinger se sépare en deux équations couplées :
où :
Si nous identifions le moment comme p = ∇S et l’énergie comme E = ∂S/∂t, alors E = -∂S/∂t n’est que l’équation de continuité pour la probabilité, avec :
L’équation (2) affirme que l’énergie totale est la somme de l’énergie potentielle, de l’énergie cinétique et d’un terme additionnel Q qu’on appelle potentiel quantique. On considère que la particule a une position bien définie, avec une distribution de probabilité e qui peut être calculée par la fonction d’onde Ψ. La fonction d’onde « guide » la particule au moyen du potentiel quantique Q. Une grande partie de ce formalisme a été élaboré par Louis de Broglie. Bohm, en réinterprétant les équations, l’appliqua du cas d’une particule simple à celui de nombreuses particules. On peut également élargir ce formalisme afin d’inclure le spin. L’élargissement du concept à des conditions relativistes n’a pour l’instant encore fourni aucun résultat.