La gravedad de marea

y la curvatura del espacio-tiempo

Imagine que usted es un astronauta en el espacio exterior, por encima y muy por lejos del ecuador de la Tierra, y que está cayendo en caída libre hacia el mismo. Aunque, mientras usted cae, no sentirá su propio peso, de hecho sentirá algunos minúsculos efectos residuales de la gravedad. Dichos efectos se denominan «gravedad de marea», y pueden entenderse reflexionando sobre las fuerzas gravitatorias que usted siente, primero desde el punto de vista de alguien que le está observando desde la Tierra y luego desde su propio punto de vista.

Tal como se ve desde la Tierra (figura 2.3a), la atracción gravitatoria es ligeramente diferente sobre las diversas partes de su cuerpo. Puesto que sus pies están más cerca de la Tierra que su cabeza, la gravedad los atrae con más fuerza que a su cabeza, de modo que le estira a usted de pies a cabeza. Y puesto que la gravedad atrae siempre hacia el centro de la Tierra, una dirección que está inclinada ligeramente hacia la izquierda en su lado derecho y ligeramente hacia la derecha en su lado izquierdo, la atracción se dirige ligeramente hacía la izquierda en su lado derecho y ligeramente hacia la derecha en su lado izquierdo; es decir, comprime los lados de su cuerpo hacia adentro.

Desde su punto de vista (figura 2.3b), la gran fuerza de la gravedad hacia abajo ha desaparecido, se ha desvanecido. Usted se siente ingrávido. Sin embargo, la única componente de la gravedad que ha desaparecido es la que le atraía hacia abajo. La tensión entre la cabeza y los pies y la compresión lateral permanecen. Son producidas por las diferencias entre la gravedad en las partes externas de su cuerpo y la gravedad en el centro de su cuerpo, diferencias de las que usted no puede librarse en la caída libre.

La tensión vertical y la compresión lateral que usted siente a medida que cae, son denominadas gravedad de marea o fuerzas gravitatorias de marea, porque, cuando su fuente es la Luna en lugar de la Tierra y cuando es la Tierra la que las siente en lugar de usted, estas fuerzas producen las mareas oceánicas (véase el recuadro 2.5).

Al deducir su principio de equivalencia, Einstein ignoró las fuerzas gravitatorias de marea; consideró que no existían. (Recuérdese la esencia de su argumento: mientras cae en caída libre, usted «no sentirá su propio peso» y «le parecerá, en todos los aspectos, como si la gravedad hubiera desaparecido de su vecindad».) Einstein justificó el ignorar las fuerzas de marea imaginando que usted (y su sistema de referencia) son muy pequeños. Por ejemplo, si usted es del tamaño de una hormiga o más pequeño, entonces las partes de su cuerpo estarán todas muy próximas entre sí y, por consiguiente, la dirección y la fuerza de la atracción gravitatoria serán casi iguales en las partes externas de su cuerpo que en su centro; y la diferencia de la gravedad entre sus partes externas y su centro, que es la causante del tirón y la compresión de marea, será extremadamente pequeña. Por el contrario, si usted fuera un gigante de 5.000 kilómetros de altura, entonces la dirección y la fuerza de la atracción gravitatoria de la Tierra diferirían mucho entre las partes externas de su cuerpo y su centro; y consecuentemente, mientras usted cayera, experimentaría una tensión y una compresión de marea enormes.

Este razonamiento convenció a Einstein de que en un sistema de referencia en caída libre suficientemente pequeño (un sistema muy pequeño comparado con la distancia sobre la que varía apreciablemente la atracción gravitatoria) uno no sería capaz de detectar ninguna influencia de la gravedad de marea; es decir, los sistemas de referencia pequeños en caída libre en nuestro Universo dotado de gravedad son equivalentes a sistemas inerciales en un universo sin gravedad. Pero no es así para sistemas grandes. Y para Einstein, en 1911, las fuerzas de marea parecían ser una clave de la naturaleza última de la gravedad.

Era evidente la forma en que la ley gravitatoria de Newton explica las fuerzas de marea: estas fuerzas están producidas por una diferencia en la fuerza y dirección de la atracción de la gravedad de un lugar a otro. Pero la ley de Newton, con su fuerza gravitatoria que depende de la distancia, tenía que ser falsa; violaba el principio de relatividad («¿en qué sistema debía medirse la distancia?»). El desafío de Einstein consistía en formular una ley gravitatoria completamente nueva que fuera compatible con el principio de relatividad y a la vez explicara la gravedad de marea de forma nueva, sencilla e inevitable.

Desde mediados de 1911 a mediados de 1912, Einstein trató de explicar la gravedad de marea suponiendo que el tiempo está distorsionado pero el espacio es plano. Esta idea que sonaba tan radical era un resultado natural de la dilatación gravitatoria del tiempo: los diferentes ritmos de flujo del tiempo cerca del techo y del suelo de una habitación en la Tierra podían considerarse como una distorsión del tiempo. Quizá, especulaba Einstein, una pauta más complicada de distorsión del tiempo podría dar lugar a todos los efectos gravitatorios conocidos, desde la gravedad de marea a las órbitas elípticas de los planetas e incluso al desplazamiento anómalo del perihelio de Mercurio.

Después de trabajar durante doce meses con esta idea intrigante, Einstein la abandonó, y por una buena razón. El tiempo es relativo. Su tiempo es una mezcla de mi tiempo y mi espacio (si nos movemos uno con respecto al otro), y por consiguiente, si su tiempo está distorsionado pero su espacio es plano, entonces tanto mi tiempo como mi espacio deben estar distorsionados, como lo debe estar el tiempo y el espacio de cualquier otro. Usted y sólo usted tendrá un espacio plano, así que las leyes de la física deben estar discriminando su sistema de referencia como uno fundamentalmente diferente de todos los demás, en violación del principio de relatividad.

De todas formas, la distorsión del tiempo «olía bien» para Einstein, de modo que quizá, razonó él, el tiempo de todo el mundo está distorsionado e, inevitablemente con ello, el espacio de todo el mundo está distorsionado. Quizá estas distorsiones combinadas podrían explicar la gravedad de marea.

La idea de una distorsión de ambos, espacio y tiempo, era algo intimidatoria. Puesto que el Universo admite un número infinito de diferentes sistemas de referencia, cada uno de ellos moviéndose con una velocidad diferente, ¡tendría que haber una infinidad de tiempos distorsionados y una infinidad de espacios distorsionados! Afortunadamente, notó Einstein, Hermann Minkowski había proporcionado una herramienta poderosa para simplificar semejante complejidad: «en lo sucesivo, el espacio por sí mismo y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo un tipo de unión de ambos conservará una realidad independiente». Hay sólo un único y absoluto espacio-tiempo tetradimensional en nuestro Universo; y una distorsión del tiempo de cada uno y el espacio de cada uno debe manifestarse como una distorsión del simple, único y absoluto espacio-tiempo de Minkowski.

Esta fue la conclusión a la que fue llevado Einstein en el verano de 1912 (aunque él prefirió utilizar la palabra «curvatura» en lugar de «distorsión»). Después de cuatro años de ridiculizar la idea de Minkowski del espacio-tiempo absoluto, Einstein se había visto finalmente obligado a aceptarlo y distorsionarlo.

¿Qué significa que el espacio-tiempo esté curvado (o distorsionado)? Para mayor claridad, preguntemos primero qué significa que una superficie bidimensional esté curvada (o distorsionada). La figura 2.4 muestra una superficie plana v una superficie curvada. Sobre la superficie plana (una hoja de papel ordinaria) se han dibujado dos líneas absolutamente rectas. Las líneas comienzan juntas y paralelas. El antiguo matemático griego Euclides, quien creó la disciplina ahora conocida como «geometría euclidiana», utilizó como uno de sus postulados geométricos la exigencia de que dos líneas semejantes inicialmente paralelas nunca se cortan. Esta ausencia de corte es una prueba inequívoca para la planitud de la superficie en la que están dibujadas las líneas. Si el espacio es plano, entonces las líneas rectas inicialmente paralelas nunca se cortarán. Si encontramos alguna vez un par de líneas rectas inicialmente paralelas que se cruzan, entonces sabremos que el espacio no es plano.

La superficie curvada de la figura 2.4 es la superficie de un globo terráqueo. Localicemos en dicho globo la ciudad de Quito; está situada precisamente sobre el ecuador. Tracemos una línea recta desde Quito y dirigida hacia el norte. La línea viajará hacia el norte, manteniendo la longitud geográfica constante, hasta el Polo Norte.

¿En qué sentido es recta esta línea? En dos sentidos. Uno de ellos es el que resulta tan importante para las líneas aéreas: se trata de un círculo máximo, y los círculos máximos del globo terráqueo son los caminos más cortos entre dos puntos y, por consiguiente, son los tipos de rutas que les gusta seguir a las líneas aéreas. Constrúyase cualquier otra línea que conecte Quito con el Polo Norte; necesariamente será más larga que el círculo máximo.

El segundo sentido de rectitud es el que usaremos más adelante cuando discutamos el espacio-tiempo: en regiones del globo suficientemente pequeñas situadas a lo largo de la ruta del círculo máximo, la curvatura del globo apenas puede ser notada. En una región semejante, el círculo máximo parece recto en el sentido normal de rectitud de la hoja plana de papel —el sentido de rectitud utilizado por los topógrafos profesionales que establecen los lindes de las propiedades utilizando teodolitos o rayos láser. El círculo máximo es recto, en el sentido de estos topógrafos, en todas y cada una de las regiones pequeñas a lo largo de su ruta.

Los matemáticos califican de geodésica a cualquier línea en una superficie curvada o distorsionada que es recta en estos dos sentidos: el sentido de «ruta más corta» de las líneas aéreas, y el sentido de los topógrafos.

Desplacémonos ahora sobre el globo unos pocos centímetros hacia el este a partir de Quito, y construyamos una nueva línea recta (círculo máximo; geodésica) que es exactamente paralela, en el ecuador, a la que pasa por Quito. Esta línea recta, corno la primera, pasará por el Polo Norte del globo. Es la curvatura de la superficie del globo la que obliga a que las dos líneas rectas, inicialmente paralelas, se corten en el Polo Norte.

Con esta comprensión de los efectos de curvatura en superficies bidimensionales podemos volver al espacio-tiempo tetradimensional y preguntarnos sobre su curvatura.

En un universo idealizado sin gravedad no existe distorsión del espacio ni distorsión del tiempo; el espacio-tiempo no tiene curvatura. En un universo semejante, según las leyes de la relatividad especial de Einstein, las partículas que se mueven libremente deben viajar a lo largo de líneas absolutamente rectas. Deben mantener una dirección constante y una velocidad constante, medidas en todos y cada uno de los sistemas de referencia inerciales. Este es un principio fundamental de la relatividad especial.

Ahora bien, el principio de equivalencia de Einstein garantiza que la gravedad no puede cambiar este principio fundamental del movimiento libre: cada vez que una partícula que se mueve libremente en nuestro Universo real dotado de gravedad entra y atraviesa un pequeño sistema de referencia inercial (en caída libre), la partícula debe moverse en línea recta a través de dicho sistema. El movimiento en línea recta a través de un pequeño sistema de referencia inercial es, sin embargo, el análogo obvio del comportamiento de la línea recta medido por topógrafos en una región pequeña de la superficie de la Tierra; y de la misma forma que tal comportamiento de la línea recta en regiones pequeñas de la Tierra implica que una línea es realmente una geodésica de la superficie de la Tierra, también el movimiento en línea recta de la partícula en una pequeña región del espacio-tiempo implica que la partícula se mueve a lo largo de una geodésica del espacio-tiempo. Y lo que es cierto para esta partícula debe ser cierto para todas las partículas: toda partícula que se mueve libremente (toda partícula sobre la que no actúan fuerzas, excepto la gravedad) viaja a lo largo de una geodésica del espacio-tiempo.

En cuanto Einstein advirtió esto, se le hizo obvio que la gravedad de marea es una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo.

Para comprender el porqué, imaginemos el siguiente experimento mental (mío, no de Einstein). Situémonos sobre una placa de hielo en el Polo Norte, sosteniendo dos bolas pequeñas, una en cada mano (figura 2.5). Arrojemos juntas las bolas al aire de tal manera que suban hacia arriba con trayectorias exactamente paralelas, y luego observemos cómo caen de nuevo hacia la Tierra. Ahora bien, en un experimento mental como éste, usted puede hacer cualquier cosa que desee con tal de que no viole las leyes de la física. Usted desea observar las trayectorias de las bolas cuando caen bajo la acción de la gravedad, no sólo sobre la superficie de la Tierra sino también bajo ella. Para este fin, usted puede suponer que las bolas están constituidas de un material que cae atravesando suelo y las rocas de la Tierra sin ser frenado en absoluto (los agujeros negros minúsculos tendrían esta propiedad), y puede suponer que usted y un amigo situado en el lado opuesto de la Tierra, que también observa, pueden seguir el movimiento de las bolas en el interior de la Tierra mediante «visión de rayos X».

A medida que las bolas caen en el interior de la Tierra, la gravedad de marea de la Tierra hace que se vayan aproximando de la misma forma que comprimiría sus partes laterales si usted fuera un astronauta en caída (figura 2.3). La fuerza de la gravedad de marea es la precisa para hacer que ambas bolas caigan casi exactamente hacia el centro de la Tierra, y se golpeen allí.

Ahora viene la recompensa que se obtiene de este experimento mental: cada bola se mueve a lo largo de una línea exactamente recta (una geodésica) a través del espacio-tiempo. Inicialmente las dos líneas rectas eran paralelas. Más tarde se cortan (las bolas chocan). Este corte de líneas rectas inicialmente paralelas es señal de una curvatura del espacio-tiempo. Desde el punto de vista de Einstein, la curvatura del espacio-tiempo es la causa del corte, es decir, la causa de la colisión de las bolas, de la misma forma que la curvatura del globo era la causa del corte de las líneas rectas en la figura 2.4. Desde el punto de vista de Newton es la gravedad de marea la causa del corte.

De este modo, Einstein y Newton, con sus puntos de vista muy diferentes sobre la naturaleza del espacio y el tiempo, dan nombres muy diferentes al agente que causa el corte. Einstein lo llama curvatura del espacio-tiempo; Newton lo llama gravedad de marea. Pero hay sólo un agente en acción. Por lo tanto, la curvatura del espacio-tiempo y la gravedad de marea deben ser exactamente lo mismo, expresado en lenguajes diferentes.

Nuestras mentes humanas tienen grandes dificultades para visualizar superficies curvas con más de dos dimensiones; por lo tanto, es casi imposible visualizar la curvatura del espacio-tiempo tetradimensional. Sin embargo, podemos hacernos una ligera idea de él mirando varios trozos bidimensionales de espacio-tiempo. La figura 2.6 utiliza dos de estos fragmentos para explicar la forma en que la curvatura del espacio-tiempo crea la tensión y la compresión de marea que dan lugar a las mareas oceánicas.

La figura 2.6a representa un fragmento de espacio-tiempo en la vecindad de la Tierra, un fragmento que incluye el tiempo más el espacio a lo largo de la dirección que apunta hacia la Luna. La Luna curva este fragmento de espacio-tiempo, y la curvatura separa las dos geodésicas de la forma mostrada. En consecuencia, nosotros seres humanos vemos dos partículas moviéndose libremente que viajan a lo largo de geodésicas y que se separan a medida que viajan, e interpretamos esta separación como una fuerza gravitatoria de marea. Esta fuerza de marea tensional (curvatura espacio-temporal) afecta no sólo a las partículas que se mueven libremente sino también a los océanos de la Tierra; estira los océanos de la forma mostrada en el recuadro 2.5, produciendo abombamientos oceánicos en los lados de la Tierra más próximo y más alejado de la Luna. Los dos abombamientos están tratando de viajar a lo largo de geodésicas en el espacio-tiempo curvo (figura 2.6a), y por lo tanto están tratando de separarse; pero la gravedad de la Tierra (la curvatura espacio-temporal producida por la Tierra, no mostrada en el diagrama) está contrarrestando dicha separación, de modo que el océano simplemente se abomba.

La figura 2.6b es un fragmento diferente de espacio-tiempo próximo a la Tierra, un fragmento que incluye el tiempo más el espacio a lo largo de una dirección transversal a la dirección de la Luna. La Luna curva este fragmento de espacio-tiempo, y la curvatura comprime las geodésicas de la forma mostrada. En consecuencia, nosotros seres humanos vemos partículas moviéndose libremente que viajan a lo largo de geodésicas transversales a la dirección de la Luna y que se concentran debido a la curvatura (por la gravedad de marea de la Luna), y análogamente vemos que los océanos de la Tierra se comprimen a lo largo de direcciones transversales a la dirección de la Luna. Esta compresión de marea produce la compresión oceánica transversal mostrada en el recuadro 2.5.

Einstein era profesor en Praga en el verano de 1912, cuando se dio cuenta de que la gravedad de marea y la curvatura espacio-temporal son una y la misma cosa. Fue una maravillosa revelación, aunque él no estaba todavía seguro de ella y ni siquiera la comprendía de forma tan completa como la acabo de describir, y no proporcionaba una explicación completa de la gravedad. La revelación le decía que la curvatura espacio-temporal dicta el movimiento de partículas libres y provoca las mareas en el océano, pero no cómo se produce la curvatura. Einstein creía que la materia en el interior del Sol, la Tierra y otros planetas es de algún modo responsable de la curvatura. ¿Pero cómo? ¿De qué manera la materia distorsiona el espacio-tiempo, y cuáles son los detalles de la distorsión? La búsqueda de la ley de distorsión se convirtió en el interés principal de Einstein.

Unas pocas semanas después del «descubrimiento» de la curvatura del espacio-tiempo, Einstein se trasladó desde Praga de nuevo a Zurich, para ocupar una cátedra en su alma máter, el ETH. Al llegar a Zurich en agosto de 1912, Einstein pidió consejo a un antiguo condiscípulo, Marcel Grossmann, que era ahora profesor de matemáticas en el instituto. Einstein le explicó su idea de que la gravedad de marea es la curvatura del espacio-tiempo, y luego le preguntó si algún matemático había desarrollado un conjunto de ecuaciones matemáticas que le pudiera ayudar a imaginar la ley de distorsión, es decir, la ley que describe de qué forma la materia obliga al espacio-tiempo a curvarse. Grossmann, que estaba especializado en otros aspectos de la geometría, no estaba seguro, pero después de echar una ojeada en la biblioteca regresó con una respuesta: sí, las ecuaciones necesarias existían. Habían sido inventadas hacía tiempo por el matemático alemán Bernhard Riemann en la década de 1860, el italiano Gregorio Ricci en la de 1880, y el estudiante de Ricci, Tullio Levi-Civita en las de 1890 y 1900; se denominaban «cálculo diferencial absoluto» (o, en el lenguaje de los físicos de 1915-1960, «análisis tensorial», o en el lenguaje desde 1960 hasta hoy, «geometría diferencial»). Pero, dijo Grossmann a Einstein, esta geometría diferencial es un terrible revoltijo en el que los físicos no deberían involucrarse. ¿No había ninguna otra geometría que pudiera ser utilizada para imaginar la ley de distorsión? No.

Y así, con gran ayuda de Grossmann, Einstein comenzó a dominar las dificultades de la geometría diferencial. Al mismo tiempo que Grossmann enseñaba matemáticas a Einstein, Einstein enseñaba algo de física a Grossmann. Más tarde, Einstein contó que Grossmann decía: «Admito que después de todo he sacado algo bastante importante del estudio de la física. Antes, cuando me sentaba en una silla y sentía el calor dejado por mi "predecesor", solía estremecerme un poco. Ya he superado esto completamente, pues sobre este punto la física me ha enseñado que el calor es algo completamente impersonal».

Aprender geometría diferencial no fue una tarea fácil para Einstein. El espíritu del tema era ajeno a los argumentos físicos intuitivos que él encontraba tan naturales. A finales de octubre de 1912 escribió a Arnold Sommerfeld, un destacado físico alemán:

Ahora estoy ocupado exclusivamente en el problema de la gravitación y creo que, con ayuda de un matemático local [Grossmann] que es amigo mío, seré capaz de dominar todas las dificultades. Pero una cosa es cierta, y es que nunca en toda mi vida me he esforzado tanto, y que he ganado un gran respeto por las matemáticas cuyas partes más sutiles, en mi ingenuidad, había considerado hasta ahora como un puro lujo. Comparado con este problema la teoría de la relatividad original [relatividad especial] es un juego de niños.

Juntos, Einstein y Grossmann se esforzaron durante el otoño y el invierno para resolver el enigma de cómo la materia obliga al espacio-tiempo a curvarse. Pero a pesar de todo su esfuerzo, las matemáticas no podían ponerse de acuerdo con la visión de Einstein. La ley de distorsión las eludía.

Einstein estaba convencido de que la ley de distorsión debería obedecer a una versión generalizada (ampliada) de su principio de relatividad: tendría el mismo aspecto en cualquier sistema de referencia; no sólo en los sistemas inerciales (en caída libre) sino también en los sistemas no inerciales. La ley de distorsión no debería descansar para su formulación en ningún sistema de referencia especial o en ninguna otra clase de sistemas de referencia especiales* Por desgracia, las ecuaciones de la geometría diferencial no parecían admitir una ley semejante. Finalmente, a finales del invierno, Einstein y Grossmann abandonaron la investigación y publicaron la mejor ley de distorsión que pudieron encontrar: una ley que descansaba para su definición en una clase especial de sistemas de referencia.

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*Einstein utilizó la nueva expresión «covariancia general» para esta propiedad, aunque era simplemente una extensión natural de su principio de relatividad.

Einstein, eternamente optimista, consiguió convencerse de que esto no era una catástrofe. A comienzos de 1913 escribió a su amigo el físico Paul Ehrenfest: «¿Qué puede haber más bello que lo que está en el origen de esta necesaria especialización [las ecuaciones matemáticas para la conservación de la energía y el momento]?». Pero después de pensarlo un poco más, lo consideró un desastre. En agosto de 1913 escribió a Lorentz: «Mi fe en la fiabilidad de la teoría [la «ley de distorsión»] aún fluctúa ... [Debido a que no obedece el principio de relatividad generalizado,] la teoría contradice su propio punto de partida y todo queda en el aire».

Mientras Einstein y Grossmann luchaban con la curvatura del espacio-tiempo, otros físicos desperdigados por el continente europeo asumieron el desafío de unificar las leyes de la gravedad con la relatividad especial. Pero ninguno de ellos (Gunnar Nordström en Helsinki; Gustav Mie en Greiswald, Alemania; Max Abraham en Milán) adoptó el principio de la curvatura del espacio-tiempo de Einstein. En lugar de ello consideraron que la gravedad, al igual que el electromagnetismo, era debida a un campo de fuerzas que habita en el espacio-tiempo plano de Minkowski de la relatividad especial. Y no puede sorprender que ellos adoptaran este enfoque: las matemáticas utilizadas por Einstein y Grossmann eran terriblemente complejas y habían dado lugar a una ley de distorsión que violaba los propios preceptos de sus autores.

Surgieron controversias entre los proponentes de los diversos puntos de vista. Abraham escribió: «Alguien que, como el presente autor, ha tenido que advertir repetidamente contra el canto de sirenas de [el principio de la relatividad] acogerá con satisfacción el hecho de que su autor original se ha convencido ahora por sí mismo de su insostenibilidad». Einstein escribió en respuesta: «En mi opinión, la situación no indica el fracaso del principio de relatividad ... No hay la más mínima base para dudar de su validez». Y en privado describió la teoría de la gravedad de Abraham como «un caballo imponente al que le faltan tres patas». Escribiendo a sus amigos en 1913 y 1914, Einstein opinaba sobre la controversia: «Me gusta que este asunto se tome al menos con la animación necesaria. Me gustan las controversias. Es el talante de Fígaro: le haré una canción»; «Me gusta que los colegas se ocupen de la teoría [desarrollada por Grossmann y por mí] aunque por ahora sea simplemente con el ánimo de matarla ... Frente a ella, la teoría de Nordström ... es mucho más plausible. Pero también está construida sobre el [espacio-tiempo plano de Minkowski], cuya aceptación equivale en mi opinión a algo parecido a una superstición».

En abril de 1914 Einstein dejó el ETH para ocupar un puesto de profesor en Berlín que no conllevaba tareas docentes. Al fin podría dedicar a la investigación todo el tiempo que quisiera, e incluso hacerlo en la vecindad estimulante de los grandes físicos berlineses, Max Planck y Walther Nernst. A pesar del estallido en junio de 1914 de la primera guerra mundial, Einstein continuó en Berlín su búsqueda de una descripción aceptable de la forma en que la materia curva el espacio-tiempo, una descripción que no descansaba en ninguna clase especial de sistemas de referencia: una ley de distorsión mejorada.

A tres horas de tren de Berlín, en la pequeña ciudad universitaria de Gotinga donde Minkowski había trabajado, vivía uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos: David Hilbert. Durante los años 1914 y 1915 Hilbert mantuvo un interés apasionado por la física. Las ideas publicadas por Einstein le fascinaron, de modo que a finales de junio de 1915 invitó a Einstein a que le hiciera una visita. Einstein permaneció en Gotinga durante una semana aproximadamente y dio seis charlas de dos horas a Hilbert y sus colegas. Varios días después de la visita Einstein escribió a un amigo: «Tuve la gran alegría de ver en Gotinga que todo [lo relacionado con mi trabajo] es entendido hasta el último detalle. Quedé encantado con Hilbert».

Varios meses después de regresar a Berlín, Einstein se sintió más insatisfecho que nunca con la ley de distorsión de Einstein-Grossmann. No sólo violaba su idea de que las leyes de la gravedad debían ser las mismas en todos los sistemas de referencia, sino que además descubrió, después de arduos cálculos, que daba un valor erróneo para el anómalo desplazamiento del perihelio de la órbita de Mercurio. Había esperado que su teoría explicase el desplazamiento del perihelio y resolviera así, de forma triunfal, la discrepancia de este desplazamiento con las leyes de Newton. Tal logro hubiera dado al menos una confirmación experimental de que sus leyes de la gravedad eran correctas y las de Newton, falsas. Sin embargo, su cálculo, basado en la ley de distorsión de Einstein-Grossmann, daba para el desplazamiento del perihelio un valor de la mitad del observado.

Repasando sus antiguos cálculos con Grossmann, Einstein descubrió algunos errores cruciales. Trabajó febrilmente todo el mes de octubre, y el 4 de noviembre presentó, en la sesión plenaria semanal de la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín, un informe de sus errores y una ley de distorsión revisada, que dependía aún ligeramente de una clase especial de sistemas de referencia, pero menos que antes.

Todavía insatisfecho, Einstein luchó durante toda la semana siguiente con su ley del 4 de noviembre, encontró errores y presentó una nueva propuesta para la ley de distorsión en la reunión de la Academia del 11 de noviembre. Pero la ley aún descansaba sobre sistemas especiales; aún violaba su principio de relatividad.

Resignándose a esta violación, Einstein luchó durante la semana siguiente para derivar consecuencias de su nueva ley que pudieran ser observadas con telescopios. Encontró que la ley predecía que la luz de una estrella que pasase rozando el borde del Sol debería ser desviada gravitatoriamente en un ángulo de 1.7 segundos de arco (una predicción que sería verificada cuatro años más tarde mediante medidas cuidadosas durante un eclipse solar). Y lo más importante para Einstein, ¡la nueva ley daba el desplazamiento correcto del perihelio de Mercurio! No cabía en sí de gozo; durante tres días estuvo tan excitado que no podía trabajar. Presentó este triunfo en la siguiente reunión de la Academia el 18 de noviembre.

Pero la violación de su ley del principio de relatividad le seguía molestando. Por eso, durante la semana siguiente Einstein repasó sus cálculos y encontró otro error, el error crucial. Al fin todo encajaba. Todo el formalismo matemático estaba ahora completamente libre de cualquier dependencia de sistemas de referencia especiales: tenía la misma forma cuando se expresaba en todos y cada uno de los sistemas de referencia (véase el recuadro 2.6) y por consiguiente obedecía al principio de relatividad. ¡La concepción de Einstein de 1914 quedaba completamente vindicada! Y el nuevo formalismo seguía dando las mismas predicciones para el desplazamiento del perihelio de Mercurio y para la desviación gravitatoria de la luz, e incorporaba su predicción de 1907 sobre la dilatación gravitatoria del tiempo. Einstein presentó estas conclusiones, y la forma definitiva de su ley de distorsión de la relatividad general, en la reunión de la Academia Prusiana del 25 de noviembre.⁸

Tres días después Einstein escribió a su amigo Arnold Sommerfeld: «Durante el mes pasado he vivido uno de los momentos más excitantes y agotadores de mi vida, pero también uno de los de más éxito». Luego, en una carta en enero a Paul Ehrenfest: «Imagínate mi alegría [porque mi nueva ley de distorsión obedece el principio de relatividad] y por el resultado de que la ley predice el movimiento correcto del perihelio de Mercurio. Estuve fuera de mí durante días». Y, más adelante, hablando del mismo periodo: «Sólo quien los haya experimentado por sí mismo conoce los años de investigación en la oscuridad en busca de una verdad que uno siente pero no puede expresar, el intenso deseo y las alternancias de confianza y duda hasta que uno empieza a ver la claridad y comprender».

Resulta curioso que Einstein no fuese el primero en descubrir la forma correcta de la ley de distorsión, la forma que obedece a su principio de relatividad. El reconocimiento por el primer descubrimiento debe ser para Hilbert. En el otoño de 1915, cuando Einstein todavía estaba luchando por llegar a la ley correcta, cometiendo un error matemático tras otro, Hilbert estaba reflexionando sobre las cosas que había aprendido de la visita estival de Einstein a Gotinga. Mientras disfrutaba de unas vacaciones de otoño en la isla de Rugen en el Báltico le vino la idea clave, y en unas pocas semanas tenía la ley correcta, derivada no por el arduo camino de Einstein a base de ensayo y error, sino mediante una elegante y sucinta ruta matemática. Hilbert presentó su derivación y la ley resultante en una reunión de la Real Academia de Ciencias en Gotinga el 20 de noviembre de 1915, precisamente cinco días antes de la presentación por Einstein de la misma ley en la reunión de la Academia Prusiana en Berlín. De forma bastante natural, y de acuerdo con la propia visión de las cosas de Hilbert, la ley de distorsión resultante recibió enseguida el nombre de ecuación de campo de Einstein (recuadro 2.6) en lugar de ser conocida con el nombre de Hilbert. Hilbert había llevado a cabo los últimos pasos matemáticos hacia su descubrimiento independientemente y casi simultáneamente con Einstein, pero Einstein era responsable de esencialmente todo lo que precedía a dichos pasos: el reconocimiento de que la gravedad de marea debe ser lo mismo que una distorsión del espacio-tiempo, la visión de que la ley de distorsión debe de obedecer al principio de relatividad, y el primer 90 por 100 de dicha ley, a ecuación de campo de Einstein. De hecho, sin Einstein las leyes de la gravead de la relatividad general no hubieran sido descubiertas hasta varias décadas más tarde.

Cuando revisé los artículos científicos publicados por Einstein (una revisión que, por desgracia, debí hacer en la edición rusa de 1965 de sus obras completas debido a que yo no leía alemán y la mayoría de sus artículos ¡todavía no habían sido traducidos al inglés a comienzos de 1993!),¹⁰quedé impresionado por el profundo cambio de carácter del trabajo de Einstein en 1912. Antes de 1912 sus artículos son fantásticos por su elegancia, su profunda intuición y su modesto uso de las matemáticas. Muchos de los argumentos son los mismos que yo y mis amigos utilizamos en los años noventa cuando impartimos cursos de relatividad. Nadie ha sabido mejorar estos argumentos. Por el contrario, a partir de 1912, en los artículos de Einstein abundan las matemáticas complicadas —aunque normalmente en combinación con ideas intuitivas sobre las leyes físicas. Esta combinación de matemáticas y de intuición física, que distinguía a Einstein de todos los físicos que trabajaban en gravedad en el periodo 1912-1915, condujo finalmente a Einstein a la forma completa de sus leyes gravitatorias.

Pero Einstein manejaba sus herramientas matemáticas con cierta tosquedad. Como Hilbert diría más adelante, «Cualquier muchacho de las calles de Gotinga sabe más de geometría tetradimensional que Einstein. Pero, a pesar de eso, fue Einstein quien hizo el trabajo [formuló las leyes de la gravedad de la relatividad general] y no los matemáticos». Hizo el trabajo porque las matemáticas solas no eran suficientes; también era necesaria la intuición física única de Einstein.

En realidad Hilbert exageraba. Einstein era un matemático bastante bueno, aunque en técnica matemática no fuera la figura capital que era en intuición física. Como resultado, pocos de los argumentos de Einstein posteriores a 1912 se presentan hoy tal como Einstein los presentó. Hemos aprendido a mejorarlos. Y, a medida que la búsqueda para entender las leyes de la física se hizo cada vez más matemática a partir de 1915, la figura de Einstein empezó a dejar de ser la figura dominante que había sido. La antorcha pasaba a otros.

RECUADRO 2.1

Fórmula de Minkowski

Usted me adelanta en un potente coche deportivo de 1 kilómetro de longitud, a una velocidad de 162.000 kilómetros por segundo (un 54 por 100 de la velocidad de la luz); recuerde la figura 1.3. El movimiento de su automóvil se muestra en los siguientes diagramas espacio-temporales. El diagrama (a) está dibujado desde su punto de vista; (b) desde el mío. Cuando usted me adelanta, el motor de su coche produce una falsa explosión, expulsando una bocanada de humo por su tubo de escape; este suceso esta etiquetado B en los diagramas. Dos microsegundos (dos millonésimas de segundo) después, visto por usted, explota un petardo colocado en su parachoques delantero; este suceso está etiquetado D.

Puesto que el espacio y el tiempo son relativos (su espacio es una mezcla de mi espacio y mi tiempo), usted y yo estamos en desacuerdo sobre la separación temporal entre el suceso B y el suceso D. Ambos sucesos están separados Por 2,0 microsegundos en su tiempo, y por 4,51 microsegundos en el mío. Análogamente, tampoco estamos de acuerdo sobre la separación espacial de los sucesos; ésta es de 1,0 kilómetros en su espacio y 1,57 kilómetros en el mío. Pese a estos desacuerdos temporal y espacial, nosotros coincidimos en que los dos sucesos están separados por una línea recta en el espacio-tiempo tetradimensional, y coincidimos en que el «intervalo absoluto» a lo largo de dicha línea (la longitud espacio-temporal de la línea) es 0,8 kilómetros. (Esto es análogo al acuerdo de los hombres y mujeres de Mledina respecto a la distancia en línea recta entre Mledina y Serona.)

Podemos utilizar la fórmula de Minkowski para calcular el intervalo absoluto: cada uno de nosotros multiplica la separación temporal de los sucesos por la velocidad de la luz (299.792 kilómetros por segundo), obteniendo los números redondeados que se muestran en los diagramas (0,600 kilómetros para usted, 1,35 kilómetros para mí). A continuación elevamos al cuadrado las separaciones temporal y espacial de los sucesos, restamos la separación temporal al cuadrado de la separación espacial al cuadrado, y tomamos la raíz cuadrada. (Esto es análogo a la manera en que los mledinenses elevan al cuadrado las separaciones hacia el este y hacia el norte, las suman, y toman la raíz cuadrada.) Como se muestra en los diagramas, aunque sus separaciones espacial y temporal difieren de las mías, ambos obtenemos la misma respuesta final para el intervalo absoluto: 0,8 kilómetros.

Hay sólo una diferencia importante entre la fórmula de Minkowski, que utilizamos usted y yo, y la fórmula de Pitágoras, que utilizan los mledinenses: nuestras separaciones al cuadrado deben ser restadas en lugar de sumadas. Esta resta está íntimamente relacionada con la diferencia física entre el espacio-tiempo, que usted y yo estamos explorando, y la superficie de la Tierra que exploran los mledinenses —pero a riesgo de enfadarle, omitiré explicar la relación y simplemente le remitiré a las discusiones en Taylor y Wheeler (1992).

RECUADRO 2.2

El desplazamiento del perihelio de Mercurio

Kepler describió la órbita de Mercurio como una elipse con el Sol en uno de sus focos (diagrama de la izquierda, en el que se ha exagerado la elongación elíptica de la órbita). Sin embargo, a finales del siglo XIX los astrónomos habían deducido de sus observaciones que la órbita de Mercurio no es completamente elíptica. Después de cada revolución, Mercurio no vuelve exactamente al mismo punto en el que empezó sino que lo yerra en una cantidad minúscula. Este error puede describirse como un desplazamiento, que tiene lugar a cada revolución, en la localización del punto de la órbita de Mercurio más próximo al Sol (un desplazamiento de su perihelio). Los astrónomos midieron un desplazamiento del perihelio de 1,38 segundos de arco durante cada revolución (diagrama de la derecha, en el que se ha exagerado el desplazamiento).

La ley de la gravedad de Newton podía dar cuenta de 1,28 segundos de los 1,38 segundos de arco del desplazamiento: se debían a la atracción gravitatoria de Júpiter y los demás planetas sobre Mercurio. Sin embargo, subsistía una discrepancia de un 0,10 segundos de arco: un desplazamiento anómalo de 0,10 segundos de arco del perihelio de Mercurio en cada revolución. Los astrónomos afirmaban que los errores y las imprecisiones en sus medidas eran de sólo 0,01 segundo de arco, pero considerando los ángulos minúsculos que había que medir (0,01 segundo de arco es equivalente al ángulo subtendido por un cabello humano a una distancia de 10 kilómetros), no era sorprendente que muchos físicos de finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX fueran escépticos y esperaran que las leyes de Newton triunfarían al final.

RECUADRO 2.3

Desplazamiento Doppler

Cuando un emisor y un receptor de ondas se están aproximando, el receptor ve las ondas desplazadas hacia frecuencias mayores; es decir, periodos más cortos y longitudes de onda más cortas. Si el emisor y el receptor se están alejando, entonces el receptor ve las ondas desplazadas hacia frecuencias menores; es decir, periodos mayores y longitudes de onda mayores. Esto se denomina desplazamiento Doppler, y es una propiedad de cualquier tipo de ondas: ondas sonoras, ondas de agua, ondas electromagnéticas y demás.

Para las ondas sonoras, el desplazamiento Doppler es un fenómeno cotidiano familiar. Se puede percibir en el rápido descenso del tono cuando una ambulancia pasa a gran velocidad haciendo sonar su sirena (dibujo b), o cuando un avión que aterriza pasa sobre nuestras cabezas. Se puede entender el desplazamiento Doppler reflexionando sobre el diagrama inferior.

Lo que es cierto de las ondas también lo es de los pulsos. Si el emisor transmite pulsos de luz (o de cualquier otra cosa) regularmente espaciados, entonces el receptor, a medida que el emisor se acerca hacia él, encontrará los pulsos con una frecuencia mayor (un tiempo más corto entre pulsos) que la frecuencia con que fueron emitidos.

RECUADRO 2.4

Dilatación gravitatoria del tiempo

Tómense dos relojes idénticos. Colóquese uno en el suelo de una habitación junto a un agujero en el que más tarde caerá, y cuélguese el otro del techo de la habitación con una cuerda. La marcha del reloj del suelo está regulada por el flujo de tiempo cerca del suelo, y la marcha del reloj del techo está regulada por el flujo de tiempo cerca del techo.

Hagamos que el reloj del techo emita un pulso de luz muy corto cuando hace su tic-tac, y dirija los pulsos hacia abajo, hacia el reloj del suelo. Inmediatamente antes de que el reloj del techo emita su primer pulso, cortemos la cuerda que le sostiene para que caiga en caída libre. Si el tiempo entre tic-tacs es muy corto, entonces en el momento en que emite su segundo pulso, el reloj sólo habrá caído una distancia imperceptible y aún estará muy aproximadamente en reposo con respecto al techo (diagrama a). Esto significa a su vez que el reloj todavía está sintiendo el mismo flujo de tiempo que el propio techo; es decir, el intervalo entre las emisiones de sus pulsos está gobernado por el flujo temporal en el techo.

Inmediatamente antes de que el primer pulso de luz llegue al suelo, dejemos caer el reloj del suelo por el agujero (diagrama b). El segundo pulso llega inmediatamente después de que el reloj del suelo en caída libre se ha movido imperceptiblemente entre pulsos, y aún está muy aproximadamente en reposo con respecto al suelo y, por lo tanto, aún está sintiendo el mismo flujo de tiempo que el propio suelo.

De este modo, Einstein convirtió el problema de comparar el flujo del tiempo experimentado en el techo y en el suelo en el problema de comparar los ritmos de marcha de dos relojes en caída libre: el reloj que cae desde el techo, que experimenta el tiempo del techo, y el reloj que cae desde el suelo, que experimenta el tiempo del suelo. El principio de equivalencia de Einstein le permitió entonces comparar las marchas de los relojes en caída libre con la ayuda de sus leyes de la relatividad especial.

Puesto que el reloj del techo fue soltado antes que el reloj del suelo, su velocidad hacia abajo es siempre mayor que la del reloj del suelo (diagrama b); es decir, se acerca al reloj del suelo. Esto implica que el reloj del suelo verá que los pulsos de luz del reloj del techo sufren un desplazamiento Doppler (recuadro 2.3); es decir, les verá llegar con un intervalo de tiempo menor que el intervalo transcurrido entre sus propios tic-tacs. Puesto que el intervalo temporal entre pulsos estaba regulado por el flujo de tiempo del techo, y el intervalo temporal entre tic-tacs del reloj del suelo está regulado por el flujo temporal en el suelo, esto significa que el tiempo debe fluir más lentamente cerca del suelo que cerca del techo; en otras palabras, la gravedad debe dilatar el flujo del tiempo.

RECUADRO 2.5

Mareas oceánicas producidas por las fuerzas de marea

La fuerza que ejerce la gravedad lunar sobre el lado de la Tierra más próximo a la Luna es mayor que la que ejerce en el centro de la Tierra, de modo que atrae a los océanos hacia la Luna con más fuerza de la que atrae a la Tierra sólida, y en respuesta los océanos de este lado se abomban un poco hacia la Luna. En el lado de la Tierra más alejado de la Luna, la gravedad lunar es más débil, de modo que atrae a los océanos hacia la Luna con menor fuerza de la que atrae a la Tierra sólida, y en respuesta los océanos de este otro lado se abomban en dirección contraria a la de la Luna. En el lado izquierdo de la Tierra, la atracción gravitatoria de la Luna, que apunta hacia el centro de la Luna, tiene una ligera componente hacia la derecha, y en el lado derecho tiene una ligera componente hacia la izquierda; y estas componentes comprimen los océanos hacia adentro. Esta pauta de estiramiento y compresión oceánica produce dos mareas altas y dos mareas bajas cada día, a medida que la Tierra gira. Si las mareas en la playa favorita de su océano no se comportan exactamente de este modo, no es por culpa de la gravedad de la Luna; más bien, se debe a dos efectos: 1) existe un retraso en la respuesta del agua a la gravedad de marea. Se necesita algún tiempo para que el agua entre y salga de las bahías, puertos, canales fluviales, fiordos y otros accidentes de la costa. 2) El estiramiento y la compresión gravitatoria debidos al Sol son casi tan fuertes en la Tierra como los debidos a la Luna, pero tienen una orientación diferente ya que la posición del Sol en el cielo es (normalmente) diferente de la de la Luna. Las mareas de la Tierra son un resultado combinado de la gravedad de marea del Sol y de la Luna.

RECUADRO 2.6

La ecuación de campo de Einstein:

ley de Einstein de la distorsión espacio-temporal⁹

La ley de Einstein de la distorsión espacio-temporal, la ecuación de campo de Einstein, establece que «masa y presión distorsionan el espacio-tiempo». Más concretamente:

Escojamos un sistema de referencia arbitrario en una localización cualquiera del espacio-tiempo. En dicho sistema de referencia, exploremos la curvatura del espacio-tiempo estudiando cómo esta curvatura (es decir, la gravedad de marea) hace que las partículas que se mueven libremente se acerquen o separen a lo largo de cada una de las tres direcciones del espacio del sistema escogido: la dirección este-oeste, la dirección norte-sur, y la dirección arriba-abajo. Las partículas se mueven a lo largo de geodésicas del espacio-tiempo (figura 2.6), y la velocidad a la que son acercadas o separadas es proporcional a la intensidad de la curvatura a lo largo de la dirección entre ellas. Si son acercadas como en los diagramas (a) y (b), se dice que la curvatura es positiva; si son separadas como en (c), la curvatura es negativa.

Sumemos las intensidades de las curvaturas a lo largo de las tres direcciones, este-oeste (a), norte-sur (b), y arriba-abajo (c). La ecuación de campo de Einstein establece que la suma de las intensidades de estas tres curvaturas es proporcional a la densidad de masa en la vecindad de la partícula (multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz para convertirla en una densidad de energía; véase el recuadro 5.2), más 3 veces la presión de la materia en la vecindad de las partículas.

Incluso aunque usted y yo podamos estar en la misma localización en el espacio-tiempo (por ejemplo, volando sobre París, a las doce del mediodía el 14 de julio de 1996), si nos movemos uno con respecto al otro, su espacio será diferente del mío y análogamente la densidad de masa (por ejemplo, la masa del aire que nos rodea) que usted mide será diferente de la densidad que yo mido, y la presión de materia (por ejemplo, la presión del aire) que nosotros dos medimos también será diferente. De modo análogo, resulta que la suma de las tres curvaturas del espacio-tiempo que usted mide serán diferentes de la suma de las que yo mido. Sin embargo, tanto usted como yo encontramos que la suma de las curvaturas que medimos es proporcional a la densidad de masa que medimos más 3 veces la presión que medimos. En este sentido, la ecuación de campo de Einstein es la misma en cualquier sistema de referencia; obedece al principio de relatividad de Einstein.

En la mayoría de la circunstancias (por ejemplo, en el Sistema Solar), la presión de materia es pequeñísima comparada con su densidad de masa multiplicada por el cuadrado de la velocidad de la luz, y por lo tanto la presión apenas contribuye a la curvatura espacio-temporal; la distorsión espacio-temporal se debe casi exclusivamente a la masa. Sólo en el interior profundo de las estrellas de neutrones (capítulo 5), y algunos otros pocos lugares exóticos, la presión contribuye de forma significativa a la distorsión.

Manipulando matemáticamente la ecuación de campo de Einstein, éste y otros físicos no sólo explicaron la desviación de la luz de las estrellas por el Sol y los movimientos de los planetas en sus órbitas, incluyendo el misterioso desplazamiento del perihelio de Mercurio, sino que también predijeron la existencia de agujeros negros (capítulo 3), ondas gravitatorias (capítulo 10), singularidades del espacio-tiempo (capítulo 13), y quizá la existencia de agujeros de gusano y máquinas del tiempo (capítulo 14). El resto de este libro está dedicado a este legado del genio de Einstein.