Capítulo 14

El contador de protones

En el fondo de mi corazón hay un altar levantado en homenaje al matemático Arquímedes.

Por cierto que si yo creyera en la reencarnación de los espíritus lo que desearía con más fuerza es que mi alma haya habitado en el cuerpo de Arquímedes, pues pienso que allí se habría encontrado a sus anchas.

Les voy a explicar por qué.

Arquímedes fue un griego que vivió en Siracusa, Sicilia. Nació hacia el año 287 a. C. y murió en el 212 a. C. Su vida se desarrolló en un período muy posterior a la época de grandeza militar y política de Grecia, época que coincidió con el ascenso meteórico de Roma hacia el dominio del mundo. Arquímedes mismo murió durante el saqueo de Siracusa por parte del ejército romano triunfante. Pero esa misma época representa el siglo en el cual la ciencia griega alcanzó su apogeo… y por cierto que Arquímedes se ubica en el pináculo de la ciencia griega.

Pero ésa no es la razón por la cual creo parecerme a él (después de todo yo no estoy en el pináculo de ninguna ciencia). Más bien se debe a una sola de sus obras, la que se denomina en griego «Psammites», en latín «Arenarius» y en castellano «El Contador de Arena».

Está dedicado a Gelón, el hijo mayor del rey de Siracusa, y comienza de la siguiente manera:

«Hay algunos, rey Gelón, que creen que el número de los granos de arena es infinito por su multitud; y cuando digo arena no solamente me refiero a la que existe alrededor de Siracusa y del resto de Sicilia sino también a la que se puede encontrar en toda región, ya sea habitada o deshabitada. También hay algunos que, sin creer que sea infinita, piensan sin embargo que no existe ningún número que sea lo bastante grande como para superar tanta abundancia. Y está claro que aquellos que sostienen este punto de vista, si se imaginaran una masa totalmente compuesta de arena y tan grande como la masa de la Tierra, incluyendo en ella a todos los mares y valles de la tierra repletos hasta una altura igual a la de la más elevada de las montañas, estarían mucho más lejos todavía de reconocer que pueda expresarse un número que supere la multitud de granos de arena así deducida. Pero voy a tratar de probarle, mediante demostraciones geométricas que usted podrá seguir, que entre los números que yo menciono y doy en el trabajo que envié a Zeuxipo, hay algunos que no solamente superan al número de granos de arena que equivale en magnitud a la Tierra repleta en la forma descripta, sino también a los que cabrían en una masa igual en magnitud al Universo».

Después de lo cual Arquímedes pasa a inventar un sistema que permite expresar números grandes, y utiliza el sistema hasta llegar a un número que nosotros expresaríamos como 10^{80.000.000.000.000.000}, o sea cerca de 10^{10 ^ 17}

Después de esto, se pone a estimar el tamaño del universo de acuerdo con los mejores datos de la época. También define el tamaño de un grano de arena. Según dice, diez mil granos de arena caben en una semilla de amapola, y el diámetro de esta semilla es 1/40 del ancho de un dedo.

Conociendo el tamaño del universo y el tamaño de un grano de arena determina con facilidad cuántos granos de arena harían falta para llenar el universo. El resultado es un cierto número que Arquímedes expresa en su propio sistema de numeración, y ese número es igual a 10⁶³ en nuestro sistema de numeración.

A mí me parece evidente (y esto lo digo con todo el respeto posible) que Arquímedes estaba escribiendo uno de mis ensayos científicos, y ésa es la razón por la que se ha abierto paso hasta mi corazón.

Pero veamos qué se puede hacer para continuar aquel trabajo dentro de un estilo que difiera lo menos posible del espíritu original.

Según dice Arquímedes, el diámetro de una semilla de amapola equivale a 1/40 del ancho de un dedo. Mis propios dedos parecen tener unos veinte milímetros de diámetro, de modo que el diámetro de una semilla de amapola será de 0,5 milímetro, según la definición de Arquímedes.

Si una esfera de 0,5 milímetro de diámetro contiene 10.000 (10⁴) granos de arena y si el Universo de Arquímedes contiene 10⁶³ granos de arena, entonces el volumen del Universo de Arquímedes debe ser 10⁵⁹ veces mayor que el volumen de una semilla de amapola. Por lo tanto, el diámetro del Universo deberá ser ³√ (10⁵⁹) veces mayor que el diámetro de una semilla de amapola. La raíz cúbica de 10⁵⁹ es igual a 4,65 x 10¹⁹, y si se multiplica este número por 0,5 milímetros resulta que el Universo de Arquímedes tiene 2,3 x 10¹⁹ milímetros de diámetro o sea, tomando la mitad de ese valor, 1,15 x 10¹⁹ milímetros de radio.

Este radio equivale a 1,2 años-luz. En aquellos días se suponía que las estrellas estaban fijas en una gran esfera en cuyo centro estaba la Tierra, de modo que lo que Arquímedes afirmaba era que la esfera de las estrellas fijas se encontraba a unos 1,2 años-luz de la Tierra.

Éste es un número muy respetable para haber sido obtenido por un matemático de la Antigüedad, si se tiene en cuenta que en esa época recién se estaba calculando la verdadera distancia que nos separa del cuerpo celeste más próximo —la Luna— y se desconocían por completo todas las demás distancias.

Pero está muy lejos de la verdad hasta tal punto que la estrella más cercana, como ahora sabemos, está casi cuatro veces más lejos de nosotros que la distancia que Arquímedes concibió para todas las estrellas.

Pero entonces ¿cuál es el tamaño verdadero del Universo?

Los objetos del Universo que se encuentran más alejados de nosotros son las galaxias, y algunas de éstas están mucho más lejos que otras. A comienzos del siglo veinte se estableció que las galaxias se están alejando de nosotros (con la excepción de unas pocas que se encuentran entre las más próximas). Además, cuanto menos intensa es la luz de una galaxia y, en consecuencia, cuanto más lejos se supone que se encuentra, mayor es la velocidad con que se aleja.

En 1929 el astrónomo estadounidense Edwin Powell Hubble concluyó que, de acuerdo con los datos disponibles, parece existir una relación lineal entre la velocidad de alejamiento y la distancia. En otras palabras, si la distancia que nos separa de la galaxia 1 es el doble de la que nos separa de la galaxia 2, entonces la galaxia 1 se está alejando de nosotros con una velocidad que es el doble de la velocidad de la galaxia 2.

Esta relación (conocida generalmente como Ley de Hubble) se puede expresar como sigue:

R = kD (ecuación 1)

donde R es la velocidad de alejamiento de una galaxia, D es su distancia y k es una constante que podemos denominar «constante de Hubble».

Esta ley no forma parte de los grandes principios básicos del Universo en los que los científicos creen con confianza total. Pero, después de trascurridos casi cuarenta años desde que se propuso la Ley de Hubble, ésta no parece haber inducido a error a los astrónomos ni tampoco se ha presentado ningún indicio basado en la observación que permita dudar de su validez. Por lo tanto se la sigue aceptando^[56].

Uno de los puntos a favor de la Ley de Hubble consiste en que se trata de la clase de fenómeno que debería esperarse si el Universo en su conjunto (pero no la materia que lo constituye) se estuviera expandiendo. En ese caso cada galaxia se estaría alejando de cada una de las demás, y desde el punto de referencia de cualquiera de estas galaxias la velocidad de alejamiento de las otras ciertamente debería aumentar en forma lineal con la distancia. Como las ecuaciones de la Teoría General de la Relatividad de Einstein se pueden adaptar a un universo en expansión los astrónomos están muy contentos (en realidad el astrónomo holandés Willem de Sitter ya había propuesto un universo en expansión varios años antes de la enunciación de la Ley de Hubble).

Pero ¿cuánto vale la constante de Hubble? El primer valor propuesto fue de quinientas kilómetros por segundo por millón de pársecs. Ese valor significa que un objeto ubicado a un millón de pársecs de distancia debe alejarse de nosotros a una velocidad de quinientos kilómetros por segundo, uno que se encuentre a dos millones de pársecs se alejará a mil kilómetros por segundo, otro que esté a tres millones de pársecs de distancia lo hará a la velocidad de mil quinientos kilómetros por segundo, etcétera. Pero resultó que este valor de la constante era demasiado elevado. Según se cree en la actualidad el valor de la constante se encuentra entre los setenta y cinco y los ciento setenta y cinco kilómetros por segundo por millón de pársecs. Como el valor numérico de la constante se fue achicando a medida que los astrónomos fueron recogiendo cada vez más información, sospecho que el límite inferior del valor que se estima en la actualidad es el que se encuentra más cerca de la verdad, así que voy a suponer que la constante de Hubble vale setenta y cinco kilómetros por segundo por cada millón de pársecs.

En ese caso ¿a qué distancia máxima se puede encontrar una galaxia? Si cada vez que nos alejamos un millón de pársecs la velocidad de separación aumenta en setenta y cinco kilómetros por segundo, entonces llegaremos a un punto en el cual dicha velocidad de alejamiento será igual a la velocidad de la luz (trescientos mil kilómetros por segundo).

Y ¿qué sucede con las galaxias que están todavía más lejos? Si la Ley de Hubble se cumple estrictamente para todas las distancias, y si no tenemos en cuenta las leyes de la relatividad, entonces las galaxias que están todavía más lejos que aquellas que se separan de nosotros con la velocidad de la luz tendrán que alejarse con velocidades mayores que las de la luz.

Aquí no tenemos la necesidad de detenernos a considerar la cuestión de si tales velocidades mayores que la de la luz son posibles o no, ni tampoco de preguntarnos si pueden existir tales galaxias presuntamente ubicadas más allá del límite. No tiene sentido que lo hagamos. La luz emitida por una galaxia que se aleje de nosotros con una velocidad mayor que la de la luz jamás podrá alcanzarnos, como tampoco podrán hacerlo los neutrinos ni la influencia gravitatoria ni los campos gravitatorios ni nada por el estilo. Esas galaxias no pueden ser observadas de ninguna manera y por lo tanto, al menos para nosotros, no existen ni para la doctrina de Einstein ni para la doctrina de Newton.

Esto nos permite definir lo que denominamos el Universo Observable. Éste no constituye simplemente la porción del Universo que se puede observar con nuestros instrumentos más perfeccionados y poderosos sino la porción del Universo que podríamos llegar a observar si tuviéramos instrumentos perfectos e infinitamente potentes.

En consecuencia, el Universo Observable tiene un volumen finito y su radio es igual a la distancia a la cual la velocidad de alejamiento de una galaxia vale trescientos mil kilómetros por segundo.

Si expresamos la ecuación (1) como

D = R/k (ecuación 2)

podemos calcular D en millones de pársecs con sólo poner R igual a trescientos mil kilómetros por segundo y k igual a setenta y cinco kilómetros por segundo por cada millón de pársecs.

Entonces resulta que

D = 30.000 / 75 = 4.000 (ecuación 3)

Es decir que el punto más alejado de nosotros se encuentra a una distancia que representa el radio del Universo Observable y es igual a 4.000 millones de pársecs, o sea 4.000.000.000 de pársecs. Puesto que un pársec equivale a 3,26 años-luz, esto significa que el radio del Universo Observable es de 13.000.000.000 de años-luz. Esta distancia se puede denominar Radio de Hubble.

Los astrónomos todavía no han logrado penetrar con sus instrumentos hasta una distancia igual, a la del radio de Hubble, pero se están acercando. Desde Monte Palomar nos llega la noticia que el astrónomo Maarten Schmidt ha determinado que un objeto identificado como 3C9 se aleja de nosotros a una velocidad de 240.000 kilómetros por segundo, es decir cuatro quintos de la velocidad de la luz. Por lo tanto ese objeto está a una distancia un poco mayor que diez mil millones de años-luz, y es el objeto más lejano que se conoce^[57].

Como podrán ver el radio del Universo Observable es inmensamente más grande que el radio del Universo de Arquímedes: trece mil millones contra 1,2. La relación es casi exactamente de diez mil millones. Si se comparan los volúmenes de las dos esferas, éstos varían como los cubos de los radios. Si el radio del Universo Observable es 10¹⁰ veces más grande que el del Universo de Arquímedes, el volumen del primero debe ser (10¹⁰) ³ o sea 10³⁰ veces mayor que el volumen del segundo.

Por lo tanto, si el número de partículas de arena que podían llenar el Universo de Arquímedes era 1063, el número necesario para llenar el volumen inmensamente más grande del Universo observable será de 10⁹³.

Pero después de todo ¿por qué insistir con los granos de arena? Arquímedes se ocupó de ello simplemente porque deseaba llenar el volumen más grande posible con los objetos del menor tamaño posible. A decir verdad, se le fue un poco la mano. Si una semilla de amapola tiene 0,5 milímetro de diámetro y contiene diez mil granos de arena entonces cada grano de arena debe tener un diámetro de 0,025 milímetros. Éstos son granos de arena muy finos y no se los puede ver en forma individual.

Nosotros podemos ir más lejos. Sabemos de la existencia de los átomos, cosa que Arquímedes no sabía, y también conocemos las partículas subatómicas. Busquemos entre esos objetos el volumen más pequeño posible, un volumen que no solamente sea pequeño sino que sea el Más Pequeño Posible.

Si se tratara de buscar la masa más pequeña posible no tendríamos ningún problema: ésta es la masa en reposo del electrón, que vale 9,1 x 10^-28 gramos. Ningún objeto con masa posee una que sea menor que la del electrón. (El positrón tiene una masa que es igual a la del electrón, pero el positrón no es nada más que la antipartícula del electrón, o sea la versión del electrón que se encuentra al otro lado del espejo).

Hay partículas que pesan menos que el electrón. Algunos ejemplos son los fotones y los distintos neutrinos, pero todas estas partículas tienen una masa en reposo igual a cero, y por lo tanto no se encuentran entre los «objetos con masa».

¿A qué se debe esto? Bueno, sucede que el electrón tiene otra propiedad que también le pertenece con exclusividad. Es el objeto pesado más pequeño que puede poseer carga eléctrica. Las partículas que tienen masa en reposo nula están invariablemente descargadas, así que parece que la existencia de carga eléctrica requiere la presencia de cierta cantidad de masa, y esa cantidad no debe ser menor que la que posee el electrón.

Tal vez la carga eléctrica tiene masa y el electrón no es otra cosa sino carga eléctrica… sea lo que fuere la carga.

Pero también es posible tener una partícula como el protón, que pesa 1.836 veces más que el electrón y que tiene una carga eléctrica igual (aunque de signo contrario). Y también tenemos una partícula como el neutrón que pesa 1.838 veces más que el electrón y que no posee carga.

Podemos pensar que esas partículas pesadas, relativamente menos cargadas, consisten en numerosas cargas de las dos clases, positivas y negativas, la mayoría de las cuales se anulan entre sí, salvo una carga positiva excedente en el caso del protón y ninguna excedente en el caso del neutrón.

Pero entonces ¿cómo es posible que las cargas se puedan anular entre sí sin que al mismo tiempo se anule la masa asociada? Nadie lo sabe. Es posible que la respuesta a tales preguntas no surja hasta que no se haya aprendido mucho más de lo que sabemos en la actualidad acerca de la estructura interna de los protones y los neutrones. Tendremos que esperar.

Y ¿qué podemos decir del volumen?

Podemos hablar con cierta confianza de la masa de las partículas subatómicas, pero el volumen es otra cosa. Todas las partículas tienen propiedades ondulatorias, y a cada trozo de materia se le puede asociar una «onda de materia» cuya longitud de onda varía de manera inversamente proporcional al impulso de la partícula (es decir al producto de la masa por la velocidad de la misma).

Las ondas de materia asociadas a los electrones tienen longitudes del orden de los 10^-8 centímetros, lo que representa cerca del diámetro de un átomo. Por lo tanto no es realista hablar del electrón como partícula ni concebirlo como una esferita dura y brillante de volumen definido. Gracias a su naturaleza ondulatoria el electrón «se desparrama» hasta cubrir el átomo del que forma parte. Algunas veces «se desparrama» sobre todo un grupo de átomos.

Las partículas que carecen de masa, como los fotones y los neutrinos, tienen una naturaleza ondulatoria todavía más dominante, y es asimismo más difícil referirse a su volumen.

Pero si pasamos a considerar un protón (o un neutrón), nos encontramos con un objeto cuya masa es casi dos mil veces mayor que la del electrón. Ello significa que, en igualdad de condiciones en otros aspectos, la longitud de la onda de materia asociada al protón tiene que ser cerca de dos mil veces más pequeña que la del electrón.

Las ondas de materia del protón se aprietan contra éste reforzando así su carácter de partícula. El protón si puede considerarse como partícula y uno puede referirse a él como a algo de volumen definido, cuya longitud de onda es mucho más pequeña que la del disperso electrón. (No cabe duda que si pudiera observarse un protón con un aumento suficiente se descubriría que su superficie tiene una forma confusa al no poseer un contorno claro de modo que su volumen sólo puede «definirse» en forma aproximada).

Si consideramos objetos todavía más pesados que el protón ¿no sucederá que las ondas de materia se comprimen más aún, reduciendo así el volumen? Existen partículas subatómicas que pesan más que el protón. Pero todas ellas tienen una vida brevísima y no he tenido oportunidad de encontrar estimaciones de los respectivos volúmenes.

Pero todavía podemos construir agregados de muchos protones y neutrones que son lo suficientemente estables como para permitir su estudio. Éstos son precisamente los diversos núcleos atómicos. Por ejemplo, un núcleo atómico constituido por diez protones y diez neutrones será veinte veces más pesado que un solo protón y las ondas de materia asociadas a ese núcleo en su conjunto tendrán una longitud de onda consiguientemente más corta. ¿Significa esto que el volumen de los veinte protones y neutrones se reducirá hasta ser menor que el de un solo protón? Aparentemente no. Cuando uno considera un cuerpo tan pesado como el protón, su carácter de partícula se destaca tan claramente que casi se lo puede tratar como una pequeña bola de billar. Independientemente de cuántos protones y neutrones agrupemos en un núcleo atómico, cada protón y cada neutrón habrá de retener un volumen muy parecido al original, Esto quiere decir que el volumen de un protón puede considerarse como el volumen más pequeño que tiene carácter de tal. O sea que uno puede hablar de un volumen igual a «la mitad del volumen de un protón» pero nunca podrá encontrar objeto alguno que tenga ese volumen y que no salga de él, ya sea como partícula o como onda. El tamaño de los diversos núcleos atómicos ha sido calculado. El radio del núcleo de carbono, por ejemplo, tiene un valor de 3,8 x 10^-13 centímetros y el del bismuto tiene cerca de 8 x 10^-13 centímetros. Si un núcleo está formado por una esfera incompresible de neutrones o protones apretados entre sí, entonces los volúmenes de dos de estas esferas deben guardar la misma relación que hay entre las raíces cúbicas de los números de partículas. El numero de partículas de un núcleo de carbono es 12 (6 protones y 6 neutrones) y el número correspondiente a un núcleo de bismuto es 209 (83 protones y 126 neutrones). La relación entre los números de partículas es de 209/12, o sea 17,4, cuya raíz cúbica vale 2,58. Por lo tanto el radio del núcleo del bismuto debería medir 2,58 veces más que el del núcleo del carbono, y la relación entre los valores que vimos más arriba es de 2,1. Teniendo en cuenta la incertidumbre debida a los errores de medición, no está mal.

Comparemos ahora el núcleo del carbono con un solo protón (o neutrón). El núcleo del carbono tiene doce partículas y el protón no es más que una. El cociente vale 12, cuya raíz cúbica vale cerca de 2,3. En consecuencia el radio del núcleo del carbono tiene que ser unas 2,3 veces mayor que el de un protón. Vemos entonces que el radio de un protón debe medir unos 1,6 x 10^-13 centímetros.

Ahora podemos alinear los protones, uno al lado del otro, y ver cuántos hace falta para llegar de una punta a la otra del Universo Observable. La respuesta se encuentra dividiendo el radio del Universo Observable por el radio de un protón.

El radio del Universo Observable es de trece mil millones de años-luz o sea 1,3 x 10¹⁰ años-luz, y cada año-luz equivale a 9,5 x 10¹⁷ centímetros. Entonces el radio del Universo Observable en centímetros vale 1,23 x 10²⁸. Dividiendo ese número por el radio del protón, que es de 1,6 * 10^-13 centímetros, tenemos la respuesta: 7,7 x 10⁴⁰.

En otras palabras, si alguien le pregunta: «¿Cuántos protones puede usted colocar en fila uno al lado del otro para llegar desde una punta del Universo Observable hasta la otra punta?» 77.000.000.000,000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 podrá usted contestar, ya que no hay lugar para alinear ninguno más.

Calculemos ahora el volumen. Si el protón tiene un radio de 1,6 x 10^-13 centímetros y se supone que es esférico, tendrá un volumen de 1,7 x 10⁴⁰ centímetros cúbicos y ése es precisamente el Mínimo Volumen Posible. Análogamente, si el radio del Universo Observable es de 1,23 x 10²⁸ centímetros, su volumen será 7,8 x 10⁸⁴ centímetros cúbicos, y ése es el Máximo Volumen Posible.

Supongamos ahora que el Máximo Volumen Posible esté total y absolutamente repleto (sin dejar ningún hueco) de objetos del Mínimo Volumen Posible. Dividiendo 7,8 x 10⁸⁴ sobre 1,7 x 10⁴⁰ encontramos que el número de protones que hacen falta para llenar el Universo Observable es 4,6 x 10¹²⁴.

Ésa es la solución (traducida al lenguaje actual) del problema que Arquímedes se propuso en «El Contador de Arena» y, aunque parezca raro, la solución actual es casi exactamente el cuadrado de la solución de Arquímedes. Pero Arquímedes no tiene ninguna razón para avergonzarse por esto, allí donde pueda encontrarse en el Gran Pizarrón del Cielo. Lo que él intentaba hacer era bastante más que lanzar números a diestra y siniestra hasta lograr un número bien grande. Arquímedes trataba de demostrar una importante proposición matemática: que es posible construir un sistema de numeración que permita expresar cualquier número finito, por muy grande que sea éste; y no cabe duda que en esa tarea logró el éxito más rotundo.

Ah, pero no he terminado del todo. ¿Cuántos protones hay realmente en el Universo Observable?

Se han hecho estimaciones de la «densidad cósmica» (es decir la cantidad de materia que habría en el Universo si la misma estuviera repartida de una manera perfectamente uniforme) que van desde los 10^-30 a los 10^-29 gramos por centímetro cúbico. Esto representa un vacío muy elevado y significa que hay una cantidad prácticamente nula de materia en el Universo. Pero tan enorme es el número de centímetros cúbicos que hay en el Universo que aun esa «cantidad prácticamente nula» resulta ser muy grande.

El volumen del Universo Observable, según vimos, es de 7,8 x 10⁸⁴ centímetros cúbicos, y si la densidad cósmica tiene el mismo valor en todo el Universo y no solamente en los pocos miles de millones de años-luz que están más cerca de nosotros, resulta que la masa total contenida en el Universo Observable está comprendida entre los 7,8 x 10³⁴ y los 7,8 x 10⁵⁵ gramos. Tomemos un promedio y digamos que la masa del Universo Observable es de 3 x 10⁵⁵ gramos. Puesto que la masa de nuestra Vía Láctea es de unos 3 x 10⁴⁴ gramos, en el Universo Observable hay una cantidad de masa suficiente para construir cien mil millones (10¹¹) de galaxias como la nuestra.

Prácticamente toda esta masa está radicada en los nucleones del Universo, es decir en los protones y los neutrones. Como la masa de cada protón o neutrón individual es de cerca de 1.67 * 10²⁴ gramos, ello significa que hay algo así como 1,8 x 10⁶⁹ nucleones en todo el Universo Observable.

Como primera aproximación podemos suponer que el Universo está constituido solamente por hidrógeno y helio, y que hay diez átomos del primero por cada átomo del otro. El núcleo del átomo de hidrógeno consiste en un solo protón y el átomo del helio tiene dos protones y dos neutrones. Por lo tanto cada once átomos hay un total de doce protones y dos neutrones. En consecuencia, la relación entre los números de protones y de neutrones que hay en el Universo es de seis a uno, o sea 1,5 x 10⁷⁹ protones y 0,25 x 10⁷⁹ neutrones. (Es decir que en el Universo Observable casi vacío hay un número de protones que es diez mil billones de veces mayor que el número de granos de arena que puede haber en el Universo de Arquímedes repleto hasta el tope).

Por otra parte, como cada protón tiene un electrón asociado, podemos decir que el número total de partículas del Universo Observable es de 3,4 x 10⁷⁹ (suponiendo que sólo existen protones, neutrones y electrones en números significativos).

Esta forma de contar los protones del Universo Observable no tiene en cuenta los defectos relativistas. Cuanto más lejos está una galaxia y cuanto más rápido se aleja de nosotros, tanto mayor es el acortamiento que sufre debido a la contracción de Fitzgerald (por lo menos según lo ven nuestros propios ojos).

Supongamos que una galaxia esté a una distancia de diez mil millones de años-luz y que se esté alejando de nosotros a una velocidad igual a cuatro quintos de la velocidad de la luz. Supongamos además que la estamos viendo de perfil y que su longitud máxima a lo largo de la línea de observación sea de cien mil años-luz. Debido a la contracción observaremos que esa longitud (suponiendo que la pudiéramos observar) es de solamente sesenta mil años-luz.

Las galaxias que estén ubicadas todavía más lejos nos van a parecer inclusive más delgadas y, a medida que nos acerquemos a una distancia igual al radio de Hubble de trece mil millones de años-luz, donde la velocidad de alejamiento es igual a la velocidad de la luz, esa contracción hará que el espesor de las galaxias medido a lo largo de la línea de observación tienda a cero. Así llegaremos a imaginar que cerca del radio de Hubble hay una región ocupada por galaxias de espesor delgadísimo. Debería haber lugar para un número infinito de semejantes galaxias, todas ellas apiñadas contra la superficie de una esfera de radio igual al de Hubble.

Por supuesto que los habitantes de esas galaxias no van a notar nada raro. Tanto ellos como sus vecinos tendrán galaxias normales y el espacio en torno de éstas estará casi vacío. Pero a una distancia igual a su radio de Hubble creerán ver un número infinito de galaxias delgadísimas, ¡incluyendo la nuestra!

En consecuencia es posible que dentro del volumen finito de un espacio casi vacío pueda haber, aunque pueda parecemos paradójico, universos infinitos, uno tras otro, lo que significa un número infinito de galaxias, una masa infinita y, volviendo al tema central de este artículo, un número infinito de protones.

Esta imagen de un Universo infinito que ocupa un volumen finito no se ajusta a la teoría de la «gran explosión» del Universo, la cual presupone para comenzar que hay una cantidad finita de masa, pero se ajusta bien al modelo de «creación continua» del Universo, modelo que requiere un Universo infinito aunque de volumen finito.

El volumen de datos observacionales van inclinando a los astrónomos cada vez más a favor del modelo de la «gran explosión», pero yo me siento atraído por la descripción optimista de la «creación continua».

Hasta el momento sólo hemos podido penetrar diez mil millones de años-luz en el espacio, pero yo sigo esperando ansiosamente. Tal vez en el curso de mi vida logremos alcanzar los tres mil millones de años-luz que hacen falta para llegar al borde del Universo Observable, y quizás logremos obtener alguna indicación que allí hay un número infinito de galaxias.

Pero quizás no. Cuanto más rápidamente se alejan las galaxias, más pequeña es la cantidad de energía que nos llega de ellas, y más difícil resulta detectarla. Las galaxias delgadas como el papel pueden estar allí… pero pueden ser indetectables.

Si los resultados no son concluyentes, solamente me quedará la esperanza. Y mi esperanza es ésta: que el Universo es ilimitado y no tiene fronteras, y que jamás de los jamases le habrá de faltar al Hombre una nueva frontera para enfrentar y vencer^[58].