Capítulo 4

Formación B

Me han acusado de tener una pasión enfermiza por los grandes números, y esto es absolutamente exacto. Jamás pensaría en negarlo. Sin embargo, ¿puedo señalar que no soy el único?

La verdad es que en la Antigüedad había muy poca necesidad de emplear números grandes. En general, el numeral más grande que se empleaba era «mil». Si se necesitaban números grandes se recurría (como lo hacemos nosotros) al empleo de frases como «decenas de miles» y «cientos de miles». En la Antigüedad uno iba más lejos y llegaba a hablar de miles de miles. El invento de la palabra «millón» (que proviene de una palabra italiana que significa «gran millar»), destinada a representar mil millares, data de la alta Edad Media, época en que el comercio había revivido hasta alcanzar un punto en que los miles de millares eran lo bastante comunes en la contabilidad como para justificar la creación de una palabra especial. (Los billones, los trillones, etc. vinieron mas tarde, pero hasta el día de hoy su uso no ha sido definitivamente resuelto. En los Estados Unidos un billón son mil millones; en Gran Bretaña un billón es un millón de millones).

Podemos apreciar la pobreza de los antiguos en materia de nombres para los números si leemos la Biblia. El número más grande específicamente citado en la Biblia aparece en el II Libro de Crónicas 14:9, donde se describe una batalla entre los invasores etíopes y la fuerza de Asa, Rey de Judá: «Y salió contra ellos Zera el Etíope con un ejército de mil millares…». Por supuesto que se trata de una exageración grosera, pero es la única mención que se hace en la Biblia de un número tan grande como el millón.

En otras partes, cuando surge la necesidad de escribir números grandes, sólo se recurre a comparaciones. Así, en el Génesis 22:17, Dios promete a Abraham (que acaba de mostrarse dispuesto a sacrificar su único hijo ante Dios): «... y multiplicaré tu descendencia como las estrellas del cielo y como la arena que está a la ribera del mar».

Hasta parece que hayan tenido la idea que hay números tan enormes que no se los puede contar. Así, Salomón habla de sus súbditos como de «un pueblo grande que no se puede contar ni numerar por su multitud» (I- de los Reyes 3:8). En el siglo III antes de nuestra era, Arquímedes demostró por primera vez que toda cantidad finita se puede representar fácilmente por medio de un número.

Por ejemplo, en un libro titulado Mathematics and the Imagination (publicado en 1940) los autores, Edward Kasner y James Newman, introdujeron un número que denominaron «googol», que es grande y bueno, y que muy pronto fue adoptado por los autores de artículos y libros de divulgación de la matemática.

Personalmente creo que es un nombre horrible, pero lo había inventado el hijo más pequeño de uno de los autores y, ¿qué podía hacer un padre orgulloso? En consecuencia tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé.

El googol se definió como el número 1 seguido por cien ceros, y aquí tienen al googol escrito en forma completa (si es que no conté mal y si el amable tipógrafo no se equivocó):

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Ahora bien, ésta es una manera bastante incómoda de escribir un googol, pero se ajusta a nuestro sistema de numeración que se basa en el número diez. Para escribir números grandes lo que hacemos simplemente es multiplicar dieces, de modo que cien es diez por diez, y se escribe 100; mil es diez por diez por diez, y se escribe 1000; etc. El número de ceros que aparece en cada uno de estos números es igual al número de dieces que se multiplican, y así el googol, que tiene cien ceros a continuación del 1, es igual al producto de cien dieces multiplicados entre sí. Esto también se puede escribir en la forma 10¹⁰⁰. Y como 100 es diez por diez, o sea 10², el googol también se puede escribir como 10^{10^ 2}.

Por cierto que esta forma de notación exponencial (el numerito que aparece a la derecha y arriba de estos números es un «exponente») es muy conveniente, y cualquier libro de divulgación de la matemática definirá un googol como 10¹⁰⁰. Pero para todo aquel que adore los números grandes el googol no es más que el comienzo, y ni siquiera esta forma abreviada de escribir números grandes es lo suficientemente simple^[18].

Habiendo ya construido mi propio sistema para escribir números grandes, voy a hacer uso de la oportunidad que me brinda este capítulo para explicarlo. (¡Que nadie se mueva! Nadie se puede retirar hasta que yo termine).

Me parece que muchas dificultades se originan en que estamos usando el número 10 para construir nuestros números. Yo supongo que eso era suficiente para los hombres de las cavernas, pero nosotros, los hombres de la Edad Contemporánea, somos tremendamente complicados y conocemos muchísimos números mejores que ése.

Por ejemplo, el presupuesto anual de los Estados Unidos de América se acerca en la actualidad a los $ 100.000.000.000 (cien mil millones de dólares). Eso equivale a 1.000.000.000.000 (un billón) de monedas de diez centavos de dólar^[19].

¿Por qué, entonces, no usamos como base el número un billón? Sin duda no podemos visualizar un billón, pero ¿por qué deberíamos detenernos ante ello? Tampoco podemos visualizar el número cincuenta y tres. Si alguien nos mostrara un grupo de objetos y nos dijera que en total suman cincuenta y tres, no podríamos decir si tiene razón o no sin contarlos. Con esto un billón no es menos irreal que cincuenta y tres, porque a los dos números los tenemos que contar, y ambos son igualmente contables.

Por supuesto que nos llevaría mucho más tiempo contar un billón que contar cincuenta y tres, pero el principio empleado es el mismo y yo soy un hombre de principios, como todos saben.

La cuestión importante consiste en asociar un número con algún objeto físico que se pueda visualizar, y eso es precisamente lo que hicimos. El número 1.000.000.000.000 es aproximadamente igual al número de monedas de diez centavos de dólar que cada año extrae de su bolsillo y del mío (a veces pienso con mal humor que casi siempre del mío) nuestro jovial y bondadoso Tío Sam, para construir misiles, y también para manejar el gobierno y el país.

Así que, una vez que hemos fijado con firmeza en nuestra mente qué es un billón, se requiere un pequeñísimo esfuerzo de la imaginación para ver qué es un billón de billones, un billón de billones de billones, etc. Con el objeto de evitar que nos ahoguemos en un mar de billones, emplearemos un sistema abreviado que, por lo que yo sé, me pertenece^[20].

Llamaremos a un billón B-1; a un billón de billones, B-2, a un billón de billones de billones, B-3, y de esta manera podemos formar números grandes. (¡Y ahí tienen la «formación B» del título! ¿No parece el nombre de una táctica del fútbol?).

¿Qué les parece si ahora vemos cómo se pueden usar estos números? Ya he dicho que B-1 es el número de monedas de diez centavos que hacen falta para hacer funcionar a los Estados Unidos durante un año. En ese caso B-2 representará el número de monedas de diez que harían falta para que los Estados Unidos funcionen durante un billón de años. Como este período de tiempo es indudablemente más extenso que todo lo que puedan llegar a durar los Estados Unidos (si se me permite expresar una opinión tan antipatriótica) y, con toda probabilidad, es más de lo que va a durar el planeta Tierra, vemos que mucho antes de alcanzar siquiera el B-2 se nos han terminado las aplicaciones financieras de los números B de Asimov.

Probemos por otro lado. La masa de cualquier objeto es proporcional a su contenido de protones y de neutrones, que en conjunto reciben el nombre de nucleones. Ahora bien, un número B-1 de nucleones constituye una cantidad de masa demasiado pequeña como para poder verla siquiera con el mejor microscopio óptico, y un número B-2 de nucleones representa solamente 1 2/3 gramos de masa, o sea 1/16 de una onza, aproximadamente.

Ahora parecería que tenemos margen suficiente para recorrer la escala de los números B. Por ejemplo, ¿cuánto pesa un número B-3 de nucleones? Puesto que B-3 es un billón de veces más grande que B-2, B-3 nucleones tienen una masa de 1,67 billones de gramos, es decir un poco menos de dos millones de toneladas. Es posible que no nos quede tanto margen como pensábamos.

A decir verdad, los números B crecen con una rapidez vertiginosa. Un número B-4 de nucleones tiene la masa de todos los océanos de la Tierra, y B-5 nucleones equivalen a la masa de mil sistemas solares. Si insistimos en seguir subiendo, B-6 nucleones tienen una masa igual a la de diez mil galaxias del tamaño de la nuestra y B-7 nucleones pesan mucho pero mucho más que todo el Universo conocido.

Los nucleones no son las únicas partículas subatómicas que existen, por supuesto, pero aun si incluimos a los electrones, los mesones, los neutrinos y todos los otros adornos de la estructura subatómica, no podemos alcanzar el número B-7. En resumen, en el universo visible hay mucho menos de B-7 partículas subatómicas.

Sin duda el sistema de los números B es un método poderoso para expresar cantidades grandes. ¿Cómo funciona con el googol? Bueno, analicemos el método de conversión de números exponenciales ordinarios a números B, y viceversa. B-1 es igual a un billón, o sea 10¹²; B-2 es igual a un billón de billones, o sea 10²⁴, etc. Bueno, quiere decir que para encontrar la parte numérica de un número B usted no tiene más que dividir el exponente por 12, y para hallar el exponente de base diez usted sólo necesita multiplicar la porción numérica de un número B por 12.

Si un googol es 10¹⁰⁰, divida entonces 100 sobre 12 y verá enseguida que se lo puede expresar como B-8 1/2. Nótese que B-8 1/2 es más grande que B-7, y a su vez B-7 es mucho más grande que el número de partículas subatómicas que hay en el universo conocido. Harían falta mil trillones de universos como el nuestro para contener un googol de partículas subatómicas.

¿Para qué sirve entonces el googol, puesto que es demasiado grande para permitirnos contar siquiera los objetos materiales más pequeños que hay esparcidos en el volumen más grande que conocemos?

Podría contestar: para su propia belleza, abstracta y pura… Pero entonces todos ustedes me tirarían piedras. Así que, en lugar de eso, permítanme decir que en este universo hay otras cosas para contar, además de objetos materiales.

Por ejemplo, piense en un mazo común de naipes. Para jugar usted mezcla bien la baraja, los naipes se acomodan en un cierto orden y usted da las cartas. ¿En cuántos órdenes distintos pueden mezclarse los naipes? (Como es imposible que se presente un número de situaciones de juego esencialmente diferentes que sea mayor que el número de órdenes de los naipes en el mazo bien barajado, ésta es una pregunta que puede interesarle a su amigable vecino que juega al póquer).

La respuesta se encuentra fácilmente (ver capítulo 3) y el resultado es 8 x 10⁶⁷. En números B esto es algo así como B-5 2/3. Es decir que con un mazo de naipes ordinario podemos contar las variaciones y obtener un valor que es más o menos igual al número de partículas subatómicas que hay en una galaxia.

Si en lugar de 52 cartas, jugamos con 70 (y esto no es exorbitante; según tengo entendido la canasta requiere 108 cartas), entonces el número de órdenes distintos posibles que se obtiene al barajar el mazo supera en un veinte por ciento al googol.

Así que, cuando se trata de analizar juegos de naipes (para no hablar del ajedrez, la economía o la guerra nuclear), uno se encuentra con números como el googol, y aún mayores.

De hecho, los matemáticos se interesan por numerosas variedades de números (con aplicaciones prácticas y sin ellas) en las cuales se llega muy pronto a inmensidades mucho pero mucho más grandes que el googol^[21].

Fíjense, por ejemplo, en Leonardo Fibonacci, el matemático más completo de la Edad Media. (Nació en Pisa, así que a menudo se lo llama Leonardo de Pisa). Hacia el año 1200, cuando Fibonacci era joven, Pisa era una gran ciudad comercial entregada al comercio con los moros del Norte de África. Leonardo tuvo oportunidad de visitar esa región y de gozar de los beneficios de la educación árabe.

Por aquel entonces el mundo musulmán había aprendido de los indios un nuevo sistema de numeración. Fibonacci lo aprendió y en un libro publicado en 1202, el Líber Abaci, introdujo estos «números arábigos» y les dio entrada a una Europa que todavía padecía la barbarie de los números romanos (ver capítulo 1). Como los números arábigos son solamente un billón de veces más útiles que los romanos, apenas si costó un par de siglos convencer a los comerciantes europeos que aceptaran el cambio.

Leonardo Fibonacci nació en Pisa hacia 1170 y murió cerca del año 1230, Su realización más importante fue la mencionada divulgación de los números arábigos en dicho libro Líber Abaci. En esa tarea se le anticipó en un siglo el sabio inglés Adelardo de Bath (que fue el tutor de Enrique II antes que este príncipe accediera al trono). No obstante, fue el libro de Fibonacci el que logró la repercusión necesaria.

Pero, ¿por qué lo tituló Líber Abaci, o sea El libro del ábaco? Porque, por raro que parezca, el uso de los números arábigos ya estaba implícito en el «ábaco», un artefacto para calcular cuyo origen se remonta a Babilonia y a los comienzos mismos de la historia.

En su forma más simple, el ábaco se representa fácilmente como una serie de alambres, sobre cada uno de los cuales se enhebran diez fichas. En cada alambre hay lugar para desplazar una o varias de las fichas una cierta distancia, hacia la derecha o hacia la izquierda,

Por ejemplo, si usted quiere sumar cinco más cuatro, mueve cinco fichas hacia la izquierda, luego otras cuatro, y cuenta el total de fichas que ha movido: nueve. Si quiere usted sumar cinco más ocho, mueve cinco fichas, pero sólo le quedan otras cinco y no ocho para mover. Entonces mueve las cinco, convierte las diez fichas en una ficha del alambre de arriba y después corre las otras tres que quedaban. Las fichas del alambre de arriba representan «decenas», de modo que usted tiene una decena y tres unidades, lo que da un total de trece.

Los alambres representan sucesivamente las unidades, decenas, centenas, unidades de mil, etc., y los números arábigos, en esencia, nos dan el número de fichas que se han movido en cada uno de los alambres. Las operaciones que se requieren en el ábaco son las mismas que se ejecutan con los números arábigos. Lo que hacía falta era un símbolo especial para representar el alambre en el que no se había desplazado ninguna ficha. Este número fue el cero (0) y con él los números arábigos se pusieron en carrera.

En ese mismo libro Fibonacci presenta el siguiente problema: «¿cuántos conejos puede producir una sola pareja en un año, si todos los meses cada pareja engendra una nueva pareja, la cual comienza a engendrar a partir del segundo mes, y si no se produce ninguna muerte?», (se supone que cada pareja consiste de un macho y una hembra y que los conejos no se oponen al incesto).

En el primer mes empezamos con una pareja de conejos inmaduros, y durante el segundo mes todavía tenemos una sola pareja pero ahora son maduros. Al tercer mes han producido una nueva pareja, de manera que tenemos dos parejas, una madura y otra inmadura. Durante el cuarto mes la pareja inmadura ha madurado y la primera pareja ha producido otra pareja inmadura, de modo que hay tres parejas, dos maduras y una inmadura.

Si usted lo desea, puede seguir razonando cuántos pares de conejos habrá cada mes, pero yo le voy a dar en seguida la sucesión de números para ahorrarle el trabajo. Es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Como puede usted ver, al final del primer año habrá 144 parejas de conejos y ésa es la respuesta al problema de Fibonacci.

La sucesión de números que surgió del problema es la llamada «sucesión de Fibonacci», y los números de la misma reciben el nombre de «números de Fibonacci». Si usted se fija en la sucesión, verá que cada número (a partir del tercero) es la suma de los dos números que lo preceden.

Esto quiere decir que no tenemos por qué cortar la sucesión en el decimosegundo número de Fibonacci (F₁₂). Podemos construir F₁₃ simplemente sumando F₁₁ más F₁₂. Como 89 más 144 da 233, ése es el valor de F₁₃. Sumando 144 y 233 obtenemos 377, o sea F₁₄. Podemos continuar con F₁₅ que es igual a 610; F₁₆ que vale 987, y así siguiendo hasta donde lo deseemos. La más simple aritmética, nada más que la suma, nos dará todos los números de Fibonacci que queramos.

Por cierto que el proceso se vuelve aburrido después de un rato, a medida que los números de Fibonacci crecen y contienen cada vez más dígitos, y con ello aumentan las probabilidades de cometer un error aritmético. Si no se lo corrige, un error aritmético en cualquier lugar de la sucesión obliga a eliminar a todos los términos siguientes de la misma.

Pero, ¿con qué fin querría alguien seguir y seguir calculando la sucesión de Fibonacci para números muy grandes? Bueno, la serie tiene sus aplicaciones. Tiene que ver con el crecimiento acumulativo, como lo muestra el problema de los conejos, y es un hecho que la distribución en espiral de las hojas alrededor de un tallo, las escamas que se distribuyen en torno del eje de una piña, las semillas que se ordenan en el centro de la flor del girasol, todas éstas tienen una disposición que está relacionada con la sucesión de Fibonacci. La serie también tiene que ver con la «sección áurea», que es importante en el arte y en la estética, y también en la matemática.

Pero, además de todo eso, siempre hay gente que se siente fascinada por los grandes números. (Yo no puedo explicar el porqué de esta fascinación, pero créanme que existe). Y si la fascinación no llega hasta el punto de ponerse a trabajar noche tras noche con tinta y pluma, en la actualidad es posible programar una computadora para que haga el trabajo y así obtener grandes números que no sería cómodo tratar de hallar a la manera antigua.

En el número de octubre de 1962 de la Recreational Mathematics Magazine^[22] aparecen los primeros 571 números de Fibonacci calculados en una computadora IBM 7090. El número de Fibonacci que ocupa el lugar cincuenta y cinco supera la marca del billón, así que podemos decir que F₅₅ es más grande que B-1.

A partir de ese punto cada intervalo de aproximadamente cincuenta y cinco números de Fibonacci (el intervalo se va alargando lentamente) pasa por otro número B. En efecto, F₄₈₁ es mayor que un googol. Más precisamente, es casi igual a un googol y medio. En otras palabras, esos conejos que se multiplican van a superar muy pronto a cualquier método que se emplee para acelerar su procreación. Van a terminar con cualquier fuente de alimentos que pueda imaginarse y con cualquier espacio que se pueda soñar. Puede haber solamente 144 al terminar un año, pero al cabo del segundo año debería haber cerca de 50.000, 15.000.000 al cabo de los tres años, etc. En treinta años debería haber más conejos que partículas subatómicas en el universo conocido, y en cuarenta años habría más de un googol de conejos.

Menos mal que los seres humanos no se multiplican con tanta rapidez como los conejos de Fibonacci, y los seres humanos viejos se mueren. Pero el principio subsiste. Lo que esos conejos pueden lograr en unos pocos años, nosotros podemos hacerlo en unos pocos siglos o milenios. Con eso alcanza. Piense en ello cuando trate de reducir la explosión demográfica,

Por puro gusto, me agradaría escribir F₅₇₁, que es el número más grande que daremos en este capítulo. (¡Con el tiempo mencionaré números más grandes, pero no los voy a escribir!). De cualquier manera F₅₇₁ es:

96 041 200 618 922 553 823 942 883 360 924 865 026 104 917 411 877 067 816 822 264 789 029 014 378 308 478 864 192 589 084 185 254 331 637 646 183 008 074 629.

Este número inmenso no alcanza a igualar al B-10^[23].

Como otro ejemplo de números grandes, analicemos los números primos. Éstos son números como el 7 o el 641 o el 5.237, que solo se pueden dividir exactamente por sí mismos y por uno. No tienen ningún otro divisor. Usted puede suponer que a medida que se va subiendo más y más en la escala de los números, los primos van desapareciendo gradualmente, pues debería haber una cantidad cada vez mayor de números que pueden actuar como divisores posibles.

Pero esto no sucede, e incluso los antiguos griegos lo supieron. Euclides logró probar de una manera muy simple que si se pudieran enumerar todos los números primos hasta llegar al «número primo más grande», siempre sería posible construir un número primo todavía más grande que, o bien es primo, o tiene un divisor primo que es mayor que aquel «más grande». De lo cual se deduce que no existe nada parecido a un «máximo número primo» y que el número de primos es infinito.

Pero, aunque no podamos calcular el número primo más grande, existe un problema relacionado. ¿Cuál es el número primo más grande que conocemos? Sería agradable señalar un número grande y decir: «Este número es primo. Hay un número infinito de primos más grandes, pero no sabemos cuáles números son. Éste es el número más grande que sabemos que es primo».

Usted se dará cuenta que después de hacer algo así, no faltará algún matemático aficionado emprendedor que pueda encontrar un número primo todavía más grande.

Descubrir un número primo realmente grande no es fácil, de ninguna manera. Por ejemplo, más arriba yo dije que el 5.237 es primo. Supongamos que usted lo dude, ¿cómo haría para verificarlo? La única forma práctica consiste en probar todos los números primos que son menores que la raíz cuadrada de 5.237 y ver si alguno de ellos es un divisor. Esto es tedioso pero posible para el 5.237. Para números realmente grandes es prácticamente imposible… aunque no para las computadoras.

Es así como los matemáticos han buscado fórmulas que les permitan construir números primos. Estas fórmulas no tenían por qué darles todos los números primos que existen, así que no se las podría usar para probar si un número dado es primo. Pero podrían utilizarse para construir números primos de cualquier tamaño deseado, con lo cual la tarea de encontrar un número primo de tamaño récord se convertiría en algo trivial y perdería todo interés.

Sin embargo, jamás se pudo encontrar una fórmula semejante Hacia el año 1600 un fraile francés llamado Marín Mersenne propuso una fórmula que sirve a veces, pero que no siempre puede permitirnos construir un número primo. Esta fórmula es 2^p - 1, donde p mismo es un número primo. (Espero que usted entienda que 2^p representa un número que se obtiene multiplicando p números dos entre sí, de modo que 28 es 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2, o sea 256).

Mersenne sostuvo que la fórmula da números primos cuando p es igual a 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 o 257. Esto puede verificarse para los números pequeños con bastante facilidad. Por ejemplo, si p es igual a 3, entonces la fórmula da 2³ -1, o sea 7, que efectivamente es un número primo. Si p es igual a 7, entonces 2⁷ -1 es igual a 127, que también es primo. Usted puede verificar la ecuación para cualquier otro valor de p que le interese.

Los números que se obtienen al remplazar p por números primos en la ecuación de Mersenne se llaman «números de Mersenne», y si el número resulta ser primo, se lo denomina «primo de Mersenne». Se los simboliza mediante la letra mayúscula M y un subíndice igual al valor de p. Así, M₃ es igual a 7; M₇ es igual a 127, etcétera.

Yo no sé qué método empleó Mersenne para decidir cómo obtener números primos por medio de su ecuación, pero cualquiera que fuera, se equivocó. Los números de Mersenne M₂, M₃, M₅, M₇, M₁₃, M₁₇, M₁₉, M₃₁ y M₁₂₇, son efectivamente primos, o sea que Mersenne señaló nada menos que nueve primos de Mersenne. Pero, después de un cuidadoso examen, resultó que ni el M₆₇ ni el M₂₅₇, que Mersenne daba como números primos, lo eran en absoluto, Por otra parte, M₆₁, M₈₉ y M₁₀₇, que Mersenne no puso en la lista de primos, si lo son, y esto hace un total de doce primos del tipo Mersenne.

Marín Mersenne nació cerca de la ciudad francesa de Oizé el 8 de septiembre de 1588. Mersenne fue discípulo del gran matemático Rene Descartes. Mientras Descartes entró en el ejército, ignoramos las razones, pues carecía de aptitudes para ello, Mersenne ingresó en la Iglesia, uniéndose a la Orden de los Mínimos en 1611. Dentro de la Iglesia prestó grandes servicios a la ciencia, de la cual fue un expositor apasionado. Defendió la filosofía de Descartes contra las críticas eclesiásticas, tradujo algunas de las obras de Galileo y también lo defendió.

El servicio más importante que Mersenne prestó a la ciencia fue la tarea poco común de servir de canal para las ideas. En el siglo diecisiete, mucho antes que existieran las revistas científicas especializadas, los congresos internacionales y aun antes que se creasen las academias científicas, Mersenne actuaba como vínculo humano entre los científicos de Europa. Escribió cartas muy extensas destinadas a regiones tan distantes como Constantinopla, informando a un corresponsal del trabajo de otro, formulando sugerencias nacidas de su conocimiento del trabajo de muchos, e instando constantemente a los demás a unírsele en el fecundo camino de la intercomunicación.

Se opuso a doctrinas como la astrología, la alquimia y la adivinación, y apoyó firmemente la experimentación. Como ejemplo práctico de sus opiniones, sugirió a Christiaan Huygens la idea ingeniosa de emplear un péndulo para medir el tiempo que emplean los cuerpos al desplazarse sobre un plano inclinado. Esto no se le había ocurrido a Galileo, que fue el primero en descubrir el principio del péndulo, pero que medía los tiempos de sus cuerpos rodantes empleando el sonido de las gotas que caían por un agujero practicado en el fondo de una lata. Huygens puso en práctica la sugerencia y así surgió el reloj de péndulo, que fue el primer reloj empleado para la investigación científica. Mersenne murió en París el 1 de septiembre de 1648.

En años más recientes, gracias al trabajo de las computadoras, se han hallado ocho primos de Mersenne más (según el número de abril de 1962 de Recreational Mathematics). Éstos son: M₅₂₁, M₆₀₇, M₁₂₇₉, M₂₂₀₃, M₂₂₈₁, M₃₂₁₇, M₄₂₅₃ y M4423.

Además, después de dicho artículo Donald B. Gillies, de la Universidad de Illinois, ha descubierto tres primos de Mersenne todavía mayores. Éstos son: M₉₆₈₉, M₉₉₄₁, y M₁₁₂₁₃.

El más pequeño de estos primos de Mersenne recientemente descubierto, el M₅₂₁, se obtiene mediante la fórmula 2⁵²¹ -1. Usted toma 521 números dos, los multiplica entre sí y luego resta uno. El resultado es mucho, pero mucho mayor que un googol. En efecto, es mayor que B-13.

Para no prolongar el suspenso diré que el número primo de Mersenne más grande que se conoce, el M₁₁₂₁₃, que creo que es el número primo más grande que se conoce hasta el presente, tiene 3375 dígitos y, por lo tanto, vale cerca de B-281 ¼. El googol comparado con esto, es una menudencia tan pequeña que no existe ninguna forma razonable de descubrir su pequeñez.

Los griegos practicaron muchos juegos con los números, y uno de ellos consistió en sumar los factores de un número entero dado. Por ejemplo, los factores del 12 (sin contar al mismo número) son 1, 2, 3, 4, y 6. Cada uno de estos números, y ningún otro, cabe un numero exacto de veces en el 12. La suma de estos factores da 16, que es un número mayor que el mismo 12, y por ello se dijo que el 12 es un «número abundante».

Por otra parte, los factores del 10 son 1, 2 y 5, lo que da una suma igual a 8. Este número es menor que el 10 y así se dijo que el 10 es un «número deficiente». (Obviamente todos los números primos son muy deficientes).

Pero veamos el 6. Cuando la suma de los factores da el mismo número, a ese número se lo denominó «perfecto».

Nunca se obtuvo nada de los números perfectos en dos mil años, pero los griegos se sentían fascinados con esos números, y aquellos que tenían inclinaciones místicas los veneraban. Por ejemplo, se podía sostener (luego que la cultura griega hubiera influido sobre la judeocristiana) que Dios había creado el mundo en seis días porque el seis es un número perfecto. (Sus factores son los primeros tres números, y no solamente su suma da seis, sino que su producto también vale seis, así que no se puede suponer que Dios haya podido resistirse ante todo eso).

Yo no sé si los místicos llegaron a hacer notar el hecho que el mes lunar tiene muy poco más de veintiocho días de duración; y el número 28, cuyos factores son 1, 2, 4, 7 y 14 (cuya suma da 28) es otro número perfecto. Caramba, en realidad los días del mes lunar son 29 1/2, así que los místicos deben haberse sentido intrigados por este descuido de parte del Creador.

Pero, ¿cuántos de estos maravillosos números perfectos existen? Teniendo en cuenta que cuando uno llega al 28 ya ha localizado dos de ellos, podría pensarse que hay muchos. Sin embargo son verdaderamente raros; mucho más raro que cualquier otro tipo de número conocido. El tercer número perfecto es 496 y el cuarto es el 8128, y a través de toda la Antigüedad y de la Edad Media, ésos fueron los únicos números perfectos conocidos.

El quinto número perfecto no fue descubierto hasta cerca del 1460 (no se conoce el nombre del descubridor) y es el 33.550.336.

En épocas recientes, gracias a la ayuda de la computadora, se han descubierto cada vez más números perfectos, y el total actual es de veinte. El vigésimo y el más grande de éstos es un número que tiene 2663 dígitos, y esto casi equivale a B-222.

Pero de alguna manera he sido desleal hacia Kasner y Newman. He dicho que ellos inventaron el googol y luego pasé a demostrar que es fácil encontrarse con números que son mucho mayores que el googol. Pero debería agregar que ellos también inventaron otro número mucho, pero mucho más grande que el googol. Este segundo número es el «googolplex» que se define como 10^googol. Es decir que el exponente es un 1 seguido por cien ceros, y lo podríamos escribir pero no lo haremos. En lugar de eso, diré que un googolplex se puede escribir en la forma:

10 ^{10 ^ 100} o también 10 ^{10 ^ 10 ^ 2}.

El mismo googol se puede escribir fácilmente. Lo hice al comienzo del artículo y sólo me llevó unos pocos renglones. Aun el número más grande que hemos mencionado hasta ahora en este capítulo se puede expresar por escrito con facilidad. Si se lo escribiera completo, el más grande de los números primos de Mersenne ocuparía menos de dos páginas de este libro.

Pero al googolplex no se lo puede escribir… No se puede, literalmente. Es un 1 seguido por un googol de ceros, y este libro no puede contener un googol de ceros, por más pequeños que se los elija para la impresión dentro de lo razonable. A decir verdad, usted no podría escribir el número sobre toda la superficie de la Tierra, aun cuando el tamaño de cada cero no fuera mayor que el de un átomo. Y si representara cada cero por medio de un nucleón, la verdad es que no habría suficientes nucleones en todo el universo conocido, ni en un billón de universos semejantes para reunir los ceros necesarios.

De modo que usted puede ver que el googolplex es incomparablemente mayor que cualquier otra cosa que haya pasado por mis manos. Y sin embargo lo puedo representar sin mayor dificultad empleando números B.

¡Piénselo! A medida que vamos aumentando el número de cifras, los números B van tomando los valores B-1, B-2, B-3, etc., hasta que llegamos al B-1.000.000.000.000. (Éste es un número que equivale a decir «un billón de billones de billones de billones…», siguiendo con eso hasta haber repetido la palabra billón un billón de veces. Le llevaría una cantidad imposible de vidas enteras hacerlo pero el principio es válido). Ya que hemos decidido que un billón se escribe como B-1, el número B-1.000.000.000.000.000 se puede escribir B-^(B-1).

Recuerden que tenemos que multiplicar la parte numérica del numero B por 12 para encontrar el exponente de base diez. Por lo tanto, B-(B-1) es igual a 10^{12.000.000.000.000}, que es algo mas que 10^{10 ^ 13}

De la misma manera, podemos calcular que B-^(B-2) es mas de 10 ^{10 ^ 25} y si seguimos llegaremos finalmente a ver que B-^(B-8) es cerca de un googolplex. En cuanto a B-^(B-9), este vale muchísimo más que un googolplex; en efecto, es mucho mayor que un googol de googolplexes.

Un punto más y termino.

En un libro titulado The Lore of Large Numbers, de Philip J, Davis, se da un número denominado «número de Skewes», Éste fue obtenido por S. Skewes, un matemático sudafricano que tropezó con él mientras demostraba un complejo teorema sobre números primos. Se lo describe diciendo que «tiene fama de ser el número más grande que ha aparecido en una demostración matemática». Viene dado por la expresión:

10 ^{10 ^ 10 ^ 34}

Como el googolplex no vale más que 10^{10 ^ 20}, el número de Skewes es el mayor de los dos, sin duda alguna.

Y ¿cómo se puede escribir el número de Skewes empleando las formaciones B?

Bueno, a esta altura yo mismo me resisto. No lo voy a hacer.

Lo dejaré en sus manos, oh amable lector, y solamente le habré de dar esta ayuda. Me parece que es evidentemente mayor que B-^[B-(B-1)].

A partir de aquí, el rumbo está en sus manos y el camino a la locura no tiene obstáculos. Todos ustedes pueden seguir adelante, a toda marcha.

En lo que a mí respecta me rehusaré a seguir y a perder la cordura; o por lo menos mi cordura habitual, que no es muy abundante^[24].