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¿Por qué E = mc²?

En el capítulo anterior hemos visto que combinar el espacio y el tiempo para dar lugar al espacio-tiempo es una muy buena idea. Una de las ideas clave de toda nuestra investigación era la de que las distancias espaciotemporales son invariantes, lo que significa que existe un consenso a lo largo y ancho de todo el espacio-tiempo respecto a las longitudes de los recorridos espaciotemporales. Podríamos incluso considerarla una de las características definitorias del espacio-tiempo. Hemos sido capaces de redescubrir la teoría de Einstein, pero solo bajo la condición de interpretar el límite de velocidad cósmico, c, como la velocidad de la luz. Aún no hemos demostrado que c tenga de hecho algo que ver con la velocidad de la luz, pero en este capítulo profundizaremos mucho más en lo que significa c. Sin embargo, en cierto sentido ya hemos empezado a desmitificar la velocidad de la luz. Puesto que la velocidad de la luz aparece en E = mc², a menudo parece como si la propia luz fuese muy importante para la estructura del universo. Pero si miramos la situación desde el punto de vista espaciotemporal, vemos que no lo es tanto. Sutilmente, se restablece la democracia, en el sentido de que todas las cosas se mueven por el espacio-tiempo a la misma velocidad, c, incluido tú mismo, el planeta Tierra, el Sol y las galaxias lejanas. Lo único que sucede es que la luz emplea toda su velocidad espaciotemporal en desplazarse a través del espacio, y, al hacerlo, viaja a la velocidad que marca el límite de velocidad cósmico: la aparente particularidad de la luz es una creación de nuestra tendencia humana a pensar en el tiempo y el espacio como entidades distintas. De hecho, existe un motivo por el que la luz se ve obligada a comportarse así, que está estrechamente relacionado con nuestro objetivo de comprender E = mc².

E = mc² es una ecuación. Como hemos venido insistiendo, para un físico las ecuaciones constituyen una notación muy práctica y potente para expresar relaciones entre objetos. En el caso de E = mc², los «objetos» son la energía (E), la masa (m) y la velocidad de la luz (c). De forma más general, los objetos que viven dentro de una ecuación pueden representar cosas materiales reales, como ondas o electrones, o conceptos más abstractos, como energía, masa o distancias espaciotemporales. Como ya hemos visto a lo largo del libro, los físicos son muy exigentes con sus ecuaciones fundamentales, pues requieren que tengan la misma forma para todo el mundo en el universo. Es un requisito fuerte, y puede que en algún momento futuro descubramos que no es posible aferrarse a este ideal. Si así fuese, los físicos se llevarían una gran sorpresa, porque, desde el nacimiento de la ciencia moderna en el siglo XVII, se ha venido comprobando que esta idea es asombrosamente fructífera.

No obstante, como buenos científicos hemos de estar siempre dispuestos a aceptar que la naturaleza nos sorprenda, y que la realidad es la que es. De momento, todo lo que podemos decir es que el sueño sigue intacto. Ya hemos comentado antes aquí el ideal de ese acuerdo universal, expresándolo de manera muy sencilla: las leyes de la física deben expresarse mediante cantidades invariantes. Todas las ecuaciones fundamentales de la física que conocemos a día de hoy cumplen este requisito, pues están escritas de forma que expresan relaciones entre objetos del espacio-tiempo. ¿Qué significa esto exactamente? ¿Qué es un objeto que vive en el espacio-tiempo? Todo lo que existe, presumiblemente existe en el espacio-tiempo, por lo que, cuando hemos de escribir una ecuación —por ejemplo, la que describe cómo interacciona un objeto con su entorno—, tenemos que encontrar la manera de expresarla matemáticamente utilizando magnitudes invariantes. Tendrá la misma forma para todo el mundo.

Un buen ejemplo podría ser el de la longitud de un trozo de cuerda. Basándonos en lo que hemos aprendido, podemos ver que, aunque el trozo de cuerda es un objeto significativo, hemos de evitar escribir una ecuación en la que solo figure su longitud en el espacio. En su lugar, debemos ser más ambiciosos y hablar de su longitud espaciotemporal, ya que esa es la manera de proceder en el espacio-tiempo. Evidentemente, para los físicos que se encuentren en la Tierra, puede ser práctico utilizar ecuaciones que expresen relaciones entre longitudes espaciales y otras cosas parecidas; no cabe duda de que a los ingenieros les resulta útil esta manera de abordar los problemas. La forma correcta de entender una ecuación que utiliza únicamente longitudes espaciales o el tiempo que mide un reloj es que es una buena aproximación si tratamos con objetos que se mueven muy despacio en relación con el límite de velocidad cósmico, cosa que suele ser cierta (aunque no siempre) en los problemas ordinarios de ingeniería. Un ejemplo que ya hemos visto en el que esto no es correcto es un acelerador de partículas, donde las partículas subatómicas circulan a velocidades próximas a la de la luz, y en consecuencia viven más tiempo. Si no se tuviesen en cuenta los efectos de la teoría de Einstein, los aceleradores de partículas dejarían de funcionar correctamente. El principal objetivo de la física fundamental es la búsqueda de las ecuaciones esenciales, lo que implica trabajar exclusivamente con las representaciones matemáticas de objetos que tienen un significado universal en el espacio-tiempo. La antigua representación del espacio y el tiempo como entidades distintas conduce a una manera de ver el mundo que se asemeja a intentar ver una obra teatral mirando únicamente las sombras que los focos proyectan sobre el escenario. En la obra real participan actores tridimensionales que se mueven de un lado a otro; las sombras capturan una proyección bidimensional de la obra. Con la aparición del concepto de espacio-tiempo, somos por fin capaces de levantar la vista de las sombras.

Esta discusión sobre los objetos espaciotemporales puede parecer bastante abstracta, pero tiene su sentido. Hasta ahora solo nos hemos topado con una «representación matemática de un objeto que tiene un significado universal en el espacio-tiempo»: la distancia espaciotemporal entre dos eventos. Pero hay más.

Antes de enfrentarnos a un nuevo tipo de objeto espaciotemporal, daremos un paso atrás e introduciremos su análogo tridimensional, que está presente en nuestra vida diaria. No te sorprenderá (sobre todo, si has llegado hasta aquí) que cualquier intento razonable de describir el mundo natural hace uso del concepto de distancia entre dos puntos. Una distancia es un tipo especial de objeto, que se define mediante un único número. Por ejemplo, la distancia entre Manchester y Londres es de 296 kilómetros y la distancia desde las plantas de tus pies a la coronilla (más conocida como tu altura) es, aproximadamente, de unos 175 centímetros. La palabra que aparece tras el número (kilómetros, centímetros) únicamente explica cómo estamos contando, pero en ambos casos basta con un solo número. La distancia entre Manchester y Londres contiene cierta información útil (permite saber, por ejemplo, cuánta gasolina necesitará nuestro coche), pero no la suficiente como para poder hacer el viaje. Sin un mapa, es muy probable que tomemos una dirección equivocada y acabemos en Norwich.

Una solución ligeramente surrealista y muy poco práctica sería construir una flecha gigante de 296 kilómetros de longitud. Podríamos colocar un extremo de la flecha en Manchester y la punta en Londres. Las flechas son objetos útiles cuando los físicos se proponen describir el mundo: representan la idea de que algo tiene al mismo tiempo un tamaño y una dirección. Evidentemente, nuestra flecha gigante entre Londres y Manchester solo tiene sentido una vez que se le ha dado una orientación determinada, pues de lo contrario podríamos acabar de nuevo en Norwich. A eso es a lo que nos referimos al decir que la flecha tiene tanto tamaño como dirección. Las flechas que utiliza el hombre del tiempo para ilustrar cómo sopla el viento constituyen otro ejemplo de cómo las flechas nos pueden ayudar a describir el mundo. Las flechas que se arremolinan representan el flujo del viento y nos dicen en qué dirección y con qué velocidad sopla en un determinado punto del mapa: cuanto más grande es la flecha, más fuerte es el viento. Los físicos denominan vectores a los objetos que se representan mediante flechas. La velocidad del viento, como se puede ver en el mapa del tiempo, y la flecha gigante entre Manchester y Londres son vectores en dos dimensiones, para cuya descripción solo se necesitan dos números. Por ejemplo, podríamos decir que el viento sopla a 65 kilómetros por hora en dirección sudeste. Al mostrarnos flechas en solo dos dimensiones, los meteorólogos no nos están contando toda la historia, no nos están diciendo si el aire sube o baja y en qué medida, pero eso es algo que no nos suele interesar demasiado.

También puede haber vectores en tres o más dimensiones. Si empezásemos nuestro viaje de Manchester a Londres desde una de las antiguas aldeas en las colinas de los Peninos, al norte de Manchester, tendríamos que apuntar nuestra flecha ligeramente hacia abajo, ya que Londres se encuentra a la orilla del río Támesis, al nivel del mar. Los vectores que viven en las tres dimensiones del espacio ordinario se describen con tres números. A estas alturas, ya te imaginarás que también pueden existir vectores en el espacio-tiempo, y que estos se representarán mediante cuatro números.

FIGURA 9

Estamos a punto de dejar al descubierto las dos piezas restantes para llegar a E = mc². La primera de ellas no debería sorprenderte: solo nos van a interesar los vectores en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo. Eso es fácil de decir, pero se trata de un concepto extraño: de la misma manera que un vector puede estar dirigido hacia el «norte», ahora cabe la posibilidad de que apunte «en la dirección temporal». Como suele ser habitual cuando hablamos del espacio-tiempo, no es algo que seamos capaces de visualizar mentalmente, pero eso es problema nuestro, no de la naturaleza. La analogía del paisaje espaciotemporal que hemos empleado en el capítulo anterior puede ayudarte a construir una representación mental (al menos, de un espacio-tiempo simplificado, con una sola dimensión espacial). Los vectores tetradimensionales vienen descritos por cuatro números. El vector arquetípico es el que conecta dos puntos del espacio-tiempo. En la figura 9 se pueden ver dos ejemplos. Por conveniencia, hemos hecho que uno de ellos apunte exactamente en la dirección temporal y que ambos partan del mismo punto. En general, deberías pensar que siempre existe una flecha que une dos puntos cualesquiera del espacio-tiempo. Los vectores como estos no son objetos totalmente abstractos. El hecho de que te acuestes a las 10 de la noche y te despiertes a las 8 de la mañana define una flecha que une ambos eventos en el espacio-tiempo; tiene una longitud de «10 horas multiplicadas por c» y señala enteramente en la dirección temporal. De hecho, a lo largo del libro ya hemos usado vectores espaciotemporales, aunque sin emplear esa terminología hasta ahora. Por ejemplo, hemos visto un vector muy importante cuando hablábamos del intrépido motorista, que viajaba por el accidentado paisaje espaciotemporal con el acelerador de su moto fijo. Hemos llegado a la conclusión de que ese motorista siempre se mueve a través del espacio-tiempo a una velocidad c, y lo único que puede elegir es la dirección en la que apunta su moto (aunque ni siquiera ahí su libertad es completa, porque no puede formar un ángulo mayor de 45 grados respecto al norte). Podemos representar este movimiento mediante un vector de longitud fija, c, que señala en la dirección en la que viaja por el paisaje espaciotemporal. Ese vector tiene un nombre: es el vector velocidad espaciotemporal. Si queremos emplear la terminología correctamente, diríamos que el vector velocidad siempre tiene longitud c y que solo puede apuntar dentro del cono de luz futuro. Cono de luz es una manera elegante de referirse al área contenida entre las dos líneas a 45 grados del norte que tanta importancia tienen para preservar la causalidad. Podemos describir completamente cualquier vector en el espacio-tiempo si especificamos en qué medida apunta en la dirección temporal y cuánto lo hace en la dirección espacial.

A estas alturas, ya somos conscientes de que las distancias temporales y espaciales entre eventos son diferentes para observadores que se mueven los unos respecto a los otros, pero deben variar de tal forma que la distancia espaciotemporal siga siendo la misma. Debido a la extraña geometría de Minkowski, esto implica que la punta del vector puede moverse a lo largo de una hipérbola situada en el cono de luz futuro. Si queremos ser mucho más concretos, si los dos eventos son «acostarse a las 10 de la noche» y «despertarse a las 8 de la mañana», para un observador que esté en la cama, el vector distancia espaciotemporal apunta hacia arriba según su eje temporal, como se puede ver en la figura 9, y su longitud viene dada simplemente por el tiempo transcurrido en su reloj (10 horas) multiplicado por c. Alguien que pase volando a gran velocidad podría interpretar que la que se mueve es la persona que está en la cama. En ese caso, debería añadir un poco de movimiento espacial cuando viese a la persona en la cama, lo que haría que la punta del vector se alejase de su eje temporal. Como la longitud de la flecha no puede cambiar, debe permanecer sobre la hipérbola. En la figura 9 también está representada esta segunda flecha, inclinada. Como puedes ver, la proporción del vector que apunta en la dirección temporal ha aumentado, lo que significa que el observador en movimiento llega a la conclusión de que ha transcurrido más tiempo entre los dos eventos (es decir, en su reloj han pasado más de 10 horas). Esta es otra manera más de representar el extraño efecto de la dilatación del tiempo.

Hasta aquí, de momento al menos, los vectores (enseguida recurriremos de nuevo al vector velocidad espaciotemporal). Dedicaremos los siguientes párrafos a la segunda pieza fundamental del rompecabezas que es E = mc². Imagina que eres un físico que intenta entender cómo funciona el universo. Te manejas bien con los vectores, y de vez en cuando los incorporas a las ecuaciones que escribes. Supón que alguien, quizá un colega, te dice que existe un vector muy especial que tiene la propiedad de que nunca cambia, independientemente de lo que le suceda a la parte del universo a la que se refiere. Tu primera reacción puede ser mostrar desinterés: si nada cambia, es poco probable que ese vector pueda representar la esencia del asunto en cuestión. Quizá tu colega conseguiría despertar tu interés si te dijese que ese único vector especial se construye al reunir un montón de vectores, cada uno asociado con una parte distinta de la cosa que estás intentando entender. Las diversas partes de la cosa pueden sacudirse y, al hacerlo, cada uno de los vectores individuales puede variar, pero siempre de tal manera que todos los vectores se suman para dar el mismo vector especial inmutable. Por cierto, sumar vectores es fácil, enseguida lo veremos.

FIGURA 10

Para demostrar lo útil que puede ser esta idea de vectores inmutables, pensemos en una tarea bien sencilla. Queremos entender lo que sucede cuando dos bolas de billar chocan frontalmente. Un ejemplo así no es que tenga precisamente una importancia extraordinaria, pero los físicos suelen elegir ejemplos bastante ordinarios, como este, no porque solo sean capaces de estudiar fenómenos tan sencillos, o porque les guste el billar, sino porque a menudo es más fácil entender los conceptos por primera vez a través de ejemplos sencillos. Volvamos al billar: tu colega te explica que deberías asociar un vector a cada bola, que debería apuntar en la dirección de su movimiento. Lo que pretendemos es que, al sumar los dos vectores (uno por cada bola) obtengamos el vector especial inmutable. Eso significa que, pase lo que pase en la colisión, podemos tener la certeza de que los dos vectores asociados a las bolas tras el choque se combinarán para dar lugar precisamente al mismo vector que se formaba a partir de las dos bolas antes de la colisión. Esta puede ser una idea muy importante. La existencia del vector especial impone una severa restricción sobre los posibles resultados de la colisión. Nos impresionaría especialmente la afirmación de nuestro colega en el sentido de que «la conservación de estos vectores» tiene lugar en cualquier sistema de objetos en todo el universo, desde el choque de las bolas de billar a la explosión de una estrella. Probablemente no te sorprenda saber que los físicos no van por ahí llamándolos vectores especiales, sino que hablan del vector momento lineal, y la conservación de los vectores se conoce más habitualmente como conservación del momento lineal.

Hemos dejado un par de puntos pendientes: ¿cuál es la longitud de las flechas del momento lineal y cómo hemos de sumarlas, exactamente? Sumarlas no es difícil: la regla es colocar todas las flechas que queramos añadir una a continuación de la otra. El resultado es una flecha que une el principio de la primera de las flechas de la cadena con el final de la última flecha. La figura 10 muestra un ejemplo de lo anterior con tres flechas elegidas arbitrariamente. La flecha grande es la suma de las pequeñas. La longitud del vector momento lineal es algo que podemos determinar de manera experimental, y así fue como se llegó a él históricamente. El concepto tiene más de mil años de antigüedad porque es útil. A grandes rasgos, expresa la diferencia entre que te golpee una pelota de tenis o un tren expreso cuando ambos van a 100 kilómetros por hora. Como ya hemos visto, está estrechamente relacionado con la velocidad y, como el ejemplo anterior ilustra a la perfección, también debería tener alguna relación con la masa. Antes de Einstein, la longitud del vector momento lineal venía dada simplemente por el producto de la masa y la velocidad. Como ya hemos dicho, apunta en la dirección del movimiento. Por otro lado, la manera moderna de entender el momento lineal como una magnitud que se conserva tiene su origen en el trabajo de Emmy Noether, como ya hemos visto antes. Más adelante descubrimos la conexión profunda entre la ley de la conservación del momento lineal y la invariancia traslacional en el espacio. Expresado con símbolos, el tamaño del momento de una partícula de masa m que se mueve a una velocidad v puede escribirse como p = mv, donde p es el símbolo que se utiliza habitualmente para el momento lineal.

Hasta ahora lo cierto es que no hemos hablado de lo que es la masa en realidad, así que antes de continuar tendremos que ser algo más precisos. Una idea intuitiva de la masa podría ser que es una medida de la cantidad de materia que contiene un objeto. Por ejemplo, dos bolsas de azúcar tienen el doble de masa que una sola bolsa. Si quisiésemos, podríamos medir todas las masas en función de la de una bolsa de azúcar estándar, utilizando una balanza tradicional. Así es como se solían comprar los alimentos en las tiendas. Si quisieses comprar un kilo de patatas, colocarías las patatas en un brazo de la balanza y una bolsa de un kilo de azúcar en el otro, y todo el mundo aceptaría que habías comprado la cantidad correcta de patatas.

Obviamente, hay muchos tipos diferentes de «materia», por lo que «cantidad de materia» es una expresión tremendamente imprecisa. Esta es una definición mejor: podemos saber cuál es la masa si medimos el peso. Es decir, las cosas más pesadas tienen más masa. ¿Es así de sencillo? Pues sí y no. Aquí en la Tierra, podemos determinar la masa de un objeto pesándolo, y eso es lo que hacen las básculas que tenemos en el baño. Todos estamos acostumbrados a «pesar» en kilogramos y gramos (o libras y onzas). Pero los científicos no estarían de acuerdo. La confusión surge porque la masa y el peso son proporcionales entre sí cuando se miden cerca de la superficie terrestre. Podrías plantearte qué pasaría si llevases la báscula del baño a la Luna. Lo que sucedería es que allí pesarías unas seis veces menos que en la Tierra. Realmente pesas menos en la Luna, aunque tu masa no haya cambiado. Lo que ha cambiado es la tasa de conversión entre masa y peso, aunque el doble de masa siempre tendrá el doble de peso, se mida donde se mida (decimos que el peso es proporcional a la masa).

Otra forma de definir la masa surge al darnos cuenta de que cuesta más empujar o tirar de las cosas más masivas. Esta característica de la naturaleza quedó plasmada matemáticamente en la segunda ecuación más famosa de la física (tras E = mc², por supuesto): F = ma, publicada por primera vez por Isaac Newton en 1687, en sus Principia mathematica. La ley de Newton simplemente dice que, si empujas algo con una fuerza F, esa cosa empieza a acelerarse con una aceleración a. La m se refiere a la masa, y por tanto puedes determinar experimentalmente la masa de un objeto midiendo cuánta fuerza necesitas aplicar sobre él para producir una determinada aceleración. Esta es una definición tan buena como cualquier otra, así que de momento nos quedaremos con ella. Aunque, si tienes un espíritu crítico, es posible que te preocupe cómo deberíamos definir exactamente «fuerza». Es algo importante, pero no lo veremos ahora. Supondremos que sabemos cómo medir la cantidad de empuje o tirón, también conocida como fuerza.

Hemos dado un buen rodeo y, aunque realmente no hemos dicho qué es la masa en un sentido fundamental, sí hemos dado una definición «de manual». En el capítulo 7 expondremos una visión más profunda del propio origen de la masa, pero de momento simplemente supondremos que «está ahí», como una propiedad inherente a las cosas. Lo importante aquí es que vamos a suponer que la masa es una propiedad intrínseca de un objeto. Es decir, que tiene que existir una cantidad en el espacio-tiempo, igual para todos los observadores, llamada masa. Debería por tanto ser una de nuestras cantidades invariantes. Aún no hemos expuesto ningún argumento para convencer al lector de que esta cantidad debería ser necesariamente la misma que la masa de la ecuación de Newton, pero, como con muchas de nuestras hipótesis, comprobaremos si es válida o no una vez que hayamos extraído las pertinentes consecuencias. Volvamos ahora a las bolas de billar.

Si las dos bolas chocan frontalmente y tienen la misma velocidad y la misma masa, sus vectores momento lineal tienen la misma longitud pero direcciones opuestas, por lo que, si los sumamos, se anulan por completo. Tras la colisión, la ley de conservación del momento lineal predice que, pase lo que pase con las partículas, deben salir con velocidades iguales y en direcciones opuestas. De no ser así, el momento lineal neto tras la colisión no se anularía. La ley de conservación del momento lineal, como ya hemos dicho, no se limita a las bolas de billar, sino que se cumple en cualquier lugar del universo, y ahí radica su importancia. El retroceso de un cañón tras disparar una bala o la dispersión de partículas en todas las direcciones tras una explosión satisfacen la conservación del momento lineal. De hecho, el caso del cañón merece un poco más de atención.

Antes de que se dispare el cañón, el momento neto es cero y la bala está en reposo en el interior del tambor, que a su vez está también inmóvil en lo alto de un castillo. Cuando se dispara el cañón, la bala sale despedida a gran velocidad, mientras que el propio cañón, por fortuna para los soldados que lo dispararon desde el castillo, aunque recula un poco, se queda prácticamente donde estaba. El momento lineal de la bala de cañón viene dado por su vector momento lineal, una flecha cuya longitud es igual a la masa de la bala multiplicada por su velocidad, y cuya dirección indica hacia dónde vuela al alejarse del cañón. La conservación del momento lineal nos dice que el propio cañón debe recular con una flecha del momento lineal de longitud exactamente igual y dirección opuesta a la asociada a la bala. Pero, como el cañón es mucho más pesado que la bala, retrocede a una velocidad mucho menor. Cuanto más pese el cañón, menor será la velocidad con la que recule. Por lo tanto, las cosas grandes y lentas pueden tener el mismo momento que las pequeñas y rápidas. Por supuesto, tanto el cañón como la bala van perdiendo velocidad (y, por consiguiente, también pierden momento lineal), y el momento de la bala también varía debido al efecto de la gravedad. Sin embargo, esto no significa que no se cumpla la conservación del momento lineal. Si pudiésemos tener en cuenta el momento que reciben las moléculas de aire que chocan con la bala y las moléculas del interior de los rodamientos del cañón, junto con el hecho de que el momento lineal de la propia Tierra cambia ligeramente al interactuar con la bola a través de la gravedad, llegaríamos a la conclusión de que el momento lineal total en su conjunto se conserva. Normalmente, los físicos no pueden hacer un seguimiento de adónde se va todo el momento cuando han de tener en cuenta aspectos como el rozamiento y la resistencia del aire, y en consecuencia la ley de conservación del momento lineal solo suele aplicarse cuando las influencias externas no son importantes. Esto limita ligeramente su alcance, pero no debería restarle ninguna importancia como ley fundamental de la física. Dicho lo cual, veamos si podemos terminar nuestra partida de billar, que ya está durando demasiado.

Para simplificar las cosas, imaginemos que las fuerzas de rozamiento desaparecen por completo, de manera que solo nos tenemos que preocupar de las bolas de billar que chocan. La ley de conservación del momento lineal que acabamos de descubrir es muy útil, pero no es la panacea. De hecho, es imposible calcular la velocidad de las bolas de billar tras su colisión sabiendo únicamente que el momento lineal se conserva y conociendo las masas y las velocidades de las bolas antes del choque. Para poder calcularla, necesitamos recurrir a otra ley de conservación muy importante.

Hemos introducido la idea de que los objetos en movimiento se pueden describir mediante un vector momento lineal, y que la suma de todos los momentos lineales permanece siempre constante. Es esencial que quede claro que la importancia del momento lineal para los físicos radica precisamente en que se conserva. Si no te gusta la expresión «momento lineal», piensa que sería mucho peor tener que decir «esa flecha que se conserva». Las magnitudes que se conservan son, como estamos empezando a descubrir, bastante habituales y extremadamente útiles en física. Por lo general, cuantas más leyes de conservación tengas a tu disposición a la hora de enfrentarte a un problema, más fácil te será encontrar una solución. Una ley de conservación destaca por encima del resto, debido a su gran utilidad. Los ingenieros, los físicos y los químicos la fueron dejando al descubierto muy lentamente a lo largo de los siglos XVII, XVIII y XIX. Nos referimos a la ley de conservación de la energía.

En primer lugar, el concepto de energía es más fácil de asimilar que el de momento lineal. Como sucede con el momento, los objetos pueden tener energía, pero, a diferencia del momento, la energía no tiene dirección. Se parece más a la temperatura, en cuanto a que basta para especificarla un único número. Pero ¿qué es la «energía»? ¿Cómo la definimos? ¿Qué es lo que mide? En este sentido, con el momento lineal lo teníamos más fácil: una flecha que señala en la dirección del movimiento y cuya longitud es igual al producto de la masa por la velocidad. La energía es más difícil de precisar, porque puede presentarse de muy diversas formas, pero la conclusión es bastante clara: pase lo que pase, la suma total de toda la energía en cualquier proceso debe permanecer invariable, independientemente de cómo cambien las cosas. Una vez más, Noether nos brindó la explicación fundamental: la conservación de la energía es una consecuencia de que las leyes de la física no cambian con el tiempo. Esta afirmación no implica que las cosas no sucedan, lo cual sería obviamente ridículo, sino que significa que, si las leyes de Maxwell son válidas hoy, también habrán de serlo mañana. Puedes sustituir «las leyes de Maxwell» con cualquier otra ley física fundamental, como por ejemplo los postulados de Einstein.

No obstante, como ocurrió con la conservación del momento lineal, la conservación de la energía se descubrió por medios experimentales. Para esbozar su historia hemos de seguir los meandros de la revolución industrial. Fue fruto del trabajo de muchos experimentalistas prácticos que, en su búsqueda de la Jerusalén industrial, se encontraron con una inmensa variedad de fenómenos mecánicos y químicos, de hombres como el desafortunado conde Rumford de Baviera (nacido como Benjamin Thompson en Massachusetts en 1753), cuyo trabajo consistía en fabricar cañones para el duque de Baviera. Un día, mientras estaba trabajando, se dio cuenta de que el metal del cañón y el del taladro que utilizaba para perforarlo se ponían al rojo vivo, y supuso correctamente que el rozamiento estaba haciendo que el movimiento de rotación del taladro se transformase en calor. Es lo contrario de lo que sucede en un motor de vapor, en el que el calor se transforma en el movimiento de rotación de las ruedas del tren. Resultaba natural asociar una magnitud común con el calor y con el movimiento de rotación, ya que, aunque aparentemente diferentes, ambos parecían intercambiables. Esta magnitud es la energía. Rumford tiene fama de desgraciado porque se casó con la viuda de otro gran científico, Antoine Lavoisier, después de que este fuese decapitado durante la Revolución francesa, creyendo, equivocadamente, que haría por él lo que había hecho antes por Lavoisier: obedecerle y tomar notas sumisamente, como buena esposa del siglo XVIII. Resultó que solo había sido sumisa bajo el yugo de la voluntad de hierro de Lavoisier. En su fascinante libro La búsqueda del cero absoluto, Kurt Mendelssohn cuenta cómo vivió «un infierno en vida» (el libro es de 1966, lo que explica esta curiosa expresión). La idea clave es que la energía siempre se conserva, y eso es lo que hace que sea interesante.

Si le pides a cualquiera por la calle que te explique qué es la energía, obtendrás una respuesta sensata o bien una sarta de disparates propios de la nueva era. El amplio uso de la palabra «energía» es la razón por la que tiene asociados una gran variedad de significados. Debe quedar claro que la energía tiene una definición realmente muy precisa, y no puede utilizarse para explicar las líneas ley^[6], la curación con cristales, la vida después de la muerte o la reencarnación. Una persona sensata respondería que la energía se puede almacenar en una batería esperando en suspensión hasta que alguien «cierre el circuito» y puede ser también una medida de la cantidad de movimiento, según la cual los objetos más rápidos tendrían más energía que los más lentos. La energía almacenada en el mar o en el viento es un ejemplo muy representativo. O quizá te diría que las cosas calientes tienen más energía que las frías. Un volante de inercia gigante en una central eléctrica puede almacenar energía y liberarla después en la red eléctrica para satisfacer la demanda de una población ávida de energía. También se puede liberar la energía almacenada en el núcleo de un átomo para generar energía nuclear. Estas son tan solo algunas de las formas en que nos podemos encontrar la energía en nuestra vida diaria. Los científicos son capaces de cuantificarlas todas y utilizarlas para que cuadren las cuentas y asegurarse de que el efecto neto de cualquier proceso es tal que la energía total permanece constante.

Para ver la conservación de la energía en acción en un sistema sencillo, volvamos por última vez al choque de las bolas de billar. Antes de la colisión, cada bola tiene una energía debida a su movimiento. Los físicos la llaman energía cinética. El diccionario de la Real Academia Española define «cinética» como: «perteneciente o relativa al movimiento», por lo que ese nombre tiene sentido. Antes hemos supuesto que las bolas se movían a la misma velocidad y tenían masas iguales. Tras el impacto, saldrían despedidas a velocidades iguales, pero en direcciones opuestas. Eso es lo que nos dice la conservación del momento lineal. Un estudio más detallado nos permite saber que la velocidad de salida es un poco menor que la que llevaban antes del impacto. La razón es que parte de la energía inicial se ha disipado en la colisión. La disipación más evidente se produce mediante la emisión de sonido. Al chocar, las bolas agitan las moléculas del aire que las rodea, y esta perturbación llega a nuestros oídos. Por lo tanto, parte de la energía inicial se escapa, lo que hace que la cantidad que queda en las bolas sea algo menor. Para nuestros fines, en realidad no necesitamos saber cómo cuantificar la energía en todas sus diferentes manifestaciones, aunque la fórmula para la energía cinética sí que nos será útil más adelante. Cualquiera que haya tenido contacto con la ciencia en el instituto la llevará grabada a fuego en su cabeza: energía cinética = ½mv². Lo más importante es darse cuenta de que la energía se puede cuantificar mediante un único número y que, si hacemos las cuentas con cuidado, la energía total del sistema permanece siempre constante.

Retomemos el hilo principal de nuestro razonamiento. Hemos introducido el momento lineal como ejemplo de una magnitud descrita mediante una flecha y cuya utilidad, como sucede también con la energía, radica en el hecho de que se conserva. Todo eso está muy bien, pero podemos entrever cómo se cierne sobre nosotros un enorme dilema. El momento lineal es una flecha que vive únicamente en las tres dimensiones de nuestra vida cotidiana. Por lo general, una flecha de momento lineal puede apuntar hacia arriba, hacia abajo, hacia el sudeste o en cualquier otra dirección del espacio. Esto es así porque los objetos pueden moverse en cualquier dirección espacial, y el momento lineal refleja la dirección del movimiento. Pero la idea fundamental del capítulo anterior era poner de manifiesto que nuestra tendencia a separar el espacio y el tiempo nos llevaba a engaño. Necesitamos flechas que apunten en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo, pues de lo contrario nunca seremos capaces de construir ecuaciones fundamentales que respeten los postulados de Einstein. Insistimos: las ecuaciones fundamentales deberían construirse con objetos que vivan en el espacio-tiempo, y no en el espacio o en el tiempo por separado, porque los objetos como estos últimos dependen del observador. Recuerda que ni la longitud espacial de un objeto ni el intervalo temporal entre dos eventos son cantidades cuyo valor sea independiente del observador. A eso es a lo que nos referimos cuando decimos que son subjetivas. De forma análoga, el momento lineal es una flecha que apunta en una dirección únicamente espacial. Ese sesgo en contra del tiempo siembra las semillas de su destrucción. ¿Anuncia el espacio-tiempo la quiebra de esta ley, una de las más fundamentales de la física? Es cierto que la estructura espaciotemporal que acabamos de descubrir siembra las semillas de la destrucción, pero también indica cómo hemos de proceder: tenemos que encontrar una magnitud invariante que ocupe el lugar del antiguo momento lineal tridimensional. Este es un punto clave de nuestra historia: existe una magnitud así.

FIGURA 11

Fijémonos con más detenimiento en el vector momento lineal tridimensional. La figura 11 representa una flecha en el espacio. Podría ser la magnitud del desplazamiento de una pelota al rodar sobre una mesa^[7]. Para ser más precisos, supongamos que a mediodía la pelota se encuentra en un extremo de la flecha y que 2 segundos más tarde está en el otro extremo. Si la pelota se mueve 1 centímetro cada segundo, la longitud de la flecha será de 2 centímetros. Es fácil calcular el vector momento lineal. Se trata de una flecha que apunta exactamente en la misma dirección que la flecha de la figura 11, pero cuya longitud es igual a la velocidad de nuestra bola (en este caso, 1 centímetro por segundo) multiplicada por su masa, que podemos suponer que es de 10 gramos. Un físico diría que el vector momento lineal de la bola tiene una longitud de 10 gramos por centímetro partido por segundo (que, en forma abreviada, escribiría como 10 g · cm/s). De nuevo, será preferible que seamos un poco más abstractos y utilicemos símbolos en lugar de limitarnos a unos valores determinados de la masa y la velocidad. Evidentemente, no tenemos ninguna intención de convertirnos en nuestros profesores de matemáticas del colegio, pero… si Δx representa la longitud de la flecha, Δt es el intervalo temporal y m es la masa de la bola (en nuestro ejemplo, Δx = 2 centímetros, Δt = 2 segundos y m = 10 gramos), entonces la longitud del vector momento lineal es igual a mΔx/Δt. En física se suele utilizar el símbolo griego Δ («delta») para representar una «variación». Así, Δt hace referencia a la variación del tiempo, o intervalo temporal entre dos eventos, y Δx a la longitud de un objeto, en este caso la distancia espacial entre las mediciones inicial y final de la posición de la bola.

Hemos conseguido construir el vector momento lineal de una bola en el espacio tridimensional, aunque no es algo muy emocionante que digamos. Ahora vamos a atrevernos a dar el paso de construir el vector momento lineal en el espacio-tiempo, y lo haremos de una manera completamente análoga al caso tridimensional. La única restricción es que solo utilizaremos objetos universales en el espacio-tiempo.

FIGURA 12

De nuevo, partiremos de una flecha, que en esta ocasión apunta en una dirección en el espacio-tiempo tetradimensional, como se muestra en la figura 12. Uno de sus extremos especifica dónde se encuentra nuestra bola en un instante y el otro indica dónde está en otro instante posterior. La longitud de la flecha debe calcularse mediante la fórmula de Minkowski para la distancia espaciotemporal, y por tanto viene dada por (Δs)² = (cΔt)² − (Δx)². Recuerda que Δs es la única longitud que es igual para cualquier observador (cosa que desde luego no sucede con Δx y Δt por separado) y, como tal, es la medida que debemos utilizar para la distancia, ocupando así el lugar que Δx tiene en la definición del momento lineal tridimensional. Pero ¿qué será lo que ocupe el lugar del intervalo temporal, Δt? (Recuerda que estamos intentando encontrar un sustituto tetradimensional para mΔx/Δt). Aquí está la clave: no podemos utilizar Δt porque no es una invariante espaciotemporal. No todos los observadores miden los mismos intervalos temporales, como ya hemos dicho una y otra vez, y por tanto debemos evitar utilizarlos en nuestra búsqueda del momento lineal tetradimensional. ¿Qué opciones tenemos? ¿Por qué magnitud podríamos dividir la longitud de la flecha para calcular la velocidad de la bola a través del espacio-tiempo?

Queremos construir algo que suponga una mejora respecto al antiguo momento lineal tridimensional. Cuando tratemos con objetos que se muevan a velocidades pequeñas respecto a la de la luz, el nuevo momento lineal habrá de ser, al menos aproximadamente, equivalente al antiguo. Para que esto suceda, debemos dividir la longitud espaciotemporal de nuestra flecha, Δs, por alguna magnitud que sea del mismo tipo que un intervalo temporal. De lo contrario, el nuevo momento lineal tetradimensional sería algo completamente diferente del antiguo momento tridimensional. Los intervalos temporales se pueden medir en segundos, por lo que también nos gustaría encontrar algo que pueda medirse en segundos. Si partimos de nuestras cantidades invariantes en el espacio-tiempo, la velocidad de la luz, c, y la distancia, Δs, solo existe una combinación viable: el número que se obtiene al dividir la longitud de la flecha (Δs) entre la velocidad c. Dicho de otra forma, si Δs se mide en metros y la velocidad c se mide en metros por segundo, Δs/c se mide en segundos. Este debe ser el número entre el que hemos de dividir la longitud de nuestra flecha, ya que es la única cosa invariante de la que disponemos que se mide en las unidades apropiadas. Procedamos, pues, a dividir Δs entre el tiempo definido por Δs/c. El resultado es simplemente c (por la misma razón por la que 1 dividido entre ½ es igual a 2). En otras palabras, el análogo tetradimensional de la velocidad en nuestra fórmula tridimensional para el momento lineal es el límite de velocidad universal, c.

No es sorprendente que esto te resulte familiar. Todo lo que hemos hecho es calcular la velocidad espaciotemporal de un objeto (una bola, en nuestro ejemplo), obteniendo como resultado c. Hemos llegado exactamente a la misma conclusión en el capítulo anterior cuando hemos estudiado el movimiento del motorista por el paisaje espaciotemporal. En este capítulo, hemos hecho bastante más que eso, porque también hemos dado con un vector velocidad espaciotemporal susceptible de ser utilizado en una nueva definición de nuestro momento lineal tetradimensional. La velocidad de un objeto que se desplaza a través del espacio-tiempo siempre tiene longitud c y señala en la dirección espaciotemporal en la que el objeto se mueve.

Para completar la construcción de la nueva flecha para el momento lineal tetradimensional, todo lo que nos queda por hacer es multiplicar el vector velocidad espaciotemporal por la masa m. Por lo tanto, la flecha que proponemos siempre tendrá una longitud igual a mc y apuntará en la dirección en la que el objeto viaja por el espacio-tiempo. En una primera impresión, esta nueva flecha de momento lineal es aburrida, porque su longitud espaciotemporal siempre es la misma. Parece que no empezamos muy bien, pero no dejemos que esto nos detenga. Aún está por ver si el vector momento lineal espaciotemporal que acabamos de construir tiene alguna relación con el antiguo momento lineal tridimensional e, incluso, si nos será de alguna utilidad en este nuevo mundo espaciotemporal.

Para profundizar un poco más, ahora vamos a echar un vistazo a las componentes de nuestro nuevo vector momento lineal espaciotemporal que apuntan en las direcciones espacial y temporal. Para hacerlo, es absolutamente inevitable recurrir a las matemáticas. No nos queda más remedio que pedir disculpas al lector poco avezado en el uso de las matemáticas y prometerle que iremos muy despacio. Recuerda, siempre cabe la opción de pasar por encima de las ecuaciones hasta llegar al final de la historia. Las matemáticas hacen que el razonamiento sea más convincente, pero es perfectamente posible seguir leyendo sin detenerse en los detalles. Asimismo, nos vemos obligados a pedir disculpas al lector que maneje con soltura las matemáticas por dedicarle tanto tiempo a este asunto. En Manchester tenemos un dicho: «No se puede tener todo». Puede que este refrán sea más difícil de entender que las matemáticas.

Recuerda que habíamos obtenido una expresión para la longitud del vector momento lineal en el espacio tridimensional, mΔx/Δt. Acabamos de argumentar por qué hemos de reemplazar Δx por Δs y Δt por Δs/c para formar el vector momento lineal tetradimensional, cuya longitud, que no parece muy interesante, es mc. Permítenos dedicarle un párrafo más y escribir la expresión completa del sustituto de Δt, Δs/c, que es √(cΔr)² − (Δx)²/c. Parece enrevesado, pero con un poco de manipulación matemática podemos reescribirla de una forma más sencilla: es equivalente a Δt/γ, donde γ = 1/√1 − v²/c². Para llegar hasta ahí, hemos aprovechado que v = Δx/Δt es la velocidad del objeto. γ no es otra que la magnitud que ya nos hemos encontrado en el capítulo 3, que cuantifica en qué medida se ralentiza el tiempo para alguien que ve cómo el reloj pasa volando a una cierta velocidad.

Estamos ya muy cerca de nuestro objetivo. Hemos desarrollado este razonamiento matemático para poder determinar cuál es la proporción exacta en la que el vector momento lineal señala por separado en las direcciones espacial y temporal. Antes, repasemos el tratamiento que le hemos dado al vector momento lineal en el espacio tridimensional. La figura 11 nos ha ayudado a hacernos una idea. El vector momento lineal tridimensional señala exactamente en la misma dirección que la flecha de la figura 11, porque lo hace en la dirección en que se mueve la bola. La única diferencia es que, para obtener su longitud, hemos de multiplicar la velocidad por la masa de la bola y dividirla por el intervalo de tiempo. La situación en el caso tetradimensional es completamente análoga. Aquí, el vector momento lineal apunta en la dirección espaciotemporal en la que se mueve la bola, que es la de la flecha de la figura 12. De nuevo, para obtener el momento, necesitamos redimensionar la longitud de la flecha, pero esta vez tenemos que multiplicarla por la masa y dividirla por la magnitud invariante Δs/c (que, como hemos visto en el párrafo anterior, es igual a Δt/γ). Si te fijas en la flecha de la figura 12, verás que si queremos cambiar su longitud sin variar la dirección en la que señala, tenemos que modificar en la misma proporción la componente que apunta en la dirección x (Δx) y la que lo hace en la dirección temporal (cΔt). De esta forma, la longitud de la parte del vector momento lineal que apunta en dirección espacial es simplemente Δx multiplicada por m y dividida por Δt/γ, lo que puede escribirse como γmΔx/Δt. Si tenemos en cuenta que v = Δx/Δt es la velocidad espacial del objeto, llegamos al resultado siguiente: la parte del vector momento lineal espaciotemporal que apunta en la dirección espacial tiene una longitud de γmv.

Esto es realmente interesante (el vector momento lineal en el espacio-tiempo que hemos construido no tiene nada de aburrido). Si la velocidad de nuestro objeto, v, es mucho menor que la de la luz, c, entonces γ dista muy poco de la unidad. En ese caso, recuperamos el momento antiguo, dado por el producto de la masa por la velocidad: p = mv. Esto es muy alentador, así que nos incita a proseguir. De hecho, lo que hemos conseguido va mucho más allá de traducir el antiguo momento al nuevo marco tetradimensional. Por una parte, tenemos una fórmula que cabe suponer más precisa, ya que γ solo es exactamente igual a uno cuando la velocidad es nula.

FIGURA 13

Más interesante que el hecho de haber modificado p = mv es lo que sucede cuando nos fijamos en la parte del vector momento lineal que apunta en la dirección temporal. Después de todo el trabajo que hemos hecho, no nos costará calcularla. El resultado aparece en la figura 13. La parte del nuevo vector momento lineal que señala en la dirección temporal tiene una longitud igual a cΔt multiplicada por m y dividida de nuevo por Δt/γ, lo que es equivalente a γmc.

Recuerda que el momento lineal nos interesa porque se conserva. Nuestro objetivo ha sido encontrar un nuevo momento lineal tetradimensional que se conserve en el espacio-tiempo. Podemos imaginarnos un montón de vectores momento lineal en el espacio-tiempo, cada uno apuntando en una dirección, que representen, por ejemplo, los momentos lineales de varias partículas a punto de chocar entre sí. Tras la colisión, habrá un nuevo conjunto de vectores momento lineal, que señalarán en direcciones distintas. Pero la ley de conservación del momento lineal nos dice que la suma total de todas las nuevas flechas debe ser exactamente igual a la suma total de las flechas originales. Esto a su vez significa que la suma total de las partes de las flechas que señalan en la dirección espacial se debe conservar, igual que la suma de las partes que apuntan en la dirección temporal. Por lo tanto, si sumamos los valores de γmv para cada partícula, el total debería ser el mismo antes y después de la colisión. Lo mismo sucede para las partes temporales, pero en este caso lo que se conserva ahora es la suma total de los valores de γmc. Parece que tenemos dos nuevas leyes de la física: γmv y γmc son cantidades que se conservan. Pero ¿a qué corresponden estas dos cosas en particular? A primera vista, no hay mucho con lo que poder entusiasmarse. Si las velocidades son bajas, γ es muy cercano a la unidad y γmv se convierte prácticamente en mv. Recuperamos así la antigua ley de conservación del momento lineal. Esto es tranquilizador, porque confiábamos en llegar a algo que los físicos de la época victoriana pudiesen reconocer. Desde luego, Brunel y los otros grandes ingenieros del siglo XIX se las apañaron a la perfección sin el espacio-tiempo, por lo que nuestra nueva definición del momento lineal tenía que conducirnos a resultados prácticamente iguales a los que se obtuvieron durante la revolución industrial, siempre que las cosas no se moviesen a velocidades demasiado cercanas a la de la luz. Al fin y al cabo, el puente colgante de Clifton no se hundió súbitamente cuando a Einstein se le ocurrió la relatividad.

¿Qué podemos decir respecto a la conservación de γmc? Como c es una constante universal cuyo valor es el mismo para todos, la conservación de γmc equivale a la conservación de la masa. Esto no parece muy sorprendente y concuerda con nuestra intuición, aunque es interesante que haya aparecido como por arte de magia. Por ejemplo, parece querer decir que después de quemar carbón en un fuego, la masa de las cenizas (más la de la materia que se ha escapado por la chimenea) debería ser igual a la del carbón antes de que el fuego se encendiese. El hecho de que γ no sea exactamente igual a uno no parece preocupante, y podríamos caer en la tentación de seguir adelante sin más, satisfechos por haber conseguido ya mucho. Hemos definido el momento lineal de manera que tuviese sentido en el espacio-tiempo y, como resultado, hemos deducido unas correcciones (habitualmente minúsculas) respecto a la definición decimonónica del momento lineal, a la vez que deducíamos la ley de conservación de la masa. ¿Qué más podríamos pedir?

Hemos tardado mucho en llegar hasta este punto, pero nuestra historia aún nos reserva una sorpresa final. Vamos a fijarnos con más detenimiento en la parte del vector momento lineal que señala en la dirección temporal, y al hacerlo descubriremos, casi milagrosamente, la ecuación más famosa de Einstein. El colofón se aproxima. Tales de Mileto se reclina en su baño, preparándose para el hechizo definitivo. Si has llegado hasta aquí, es muy probable que al leer esta frase sientas que estás haciendo complicados malabarismos mentales. No es baladí, porque has aprendido gran parte de lo que se espera que un físico profesional sepa sobre los vectores tetradimensionales y el espacio-tiempo de Minkowski. Ya estamos listos para el gran momento.

Hemos demostrado que γmc debería conservarse. Debemos dejar claro lo que esto significa. Imagina una partida de billar relativista, en la que cada bola tiene su propio valor de γmc. Súmalos todos. El valor total, sea cual sea, no varía. Juguemos ahora a lo que en principio parece un juego sin ningún sentido. Si γmc se conserva, también lo hace γmc², porque c no es más que una constante. Enseguida verás el porqué de lo anterior. Ahora bien, γ no es exactamente igual a uno y, para velocidades pequeñas, se puede sustituir aproximadamente por la expresión γ = 1 + ½(v²/c²). Con una calculadora, puedes comprobar tú mismo que esta expresión funciona bastante bien para velocidades pequeñas respecto a c^[8]. Si no tienes una calculadora a mano, esperamos que la tabla de la página siguiente te convenza. Fíjate en que la expresión aproximada (con la que hemos calculado los números de la tercera columna) es de hecho muy precisa incluso para velocidades de hasta una décima parte de la velocidad de la luz (v/c = 0,1), es decir, de unos 30 millones de kilómetros por segundo, normalmente inalcanzables.

Teniendo en cuenta esta simplificación, γmc² es aproximadamente igual a mc² + ½mv². Ahora ya somos capaces de apreciar la profunda importancia de las consecuencias de lo que hemos estado haciendo. Para velocidades pequeñas en comparación con c, hemos demostrado que la magnitud mc² + ½mv² se conserva. Para ser más precisos, lo que se conserva es la magnitud γmc², pero, en este punto, la primera ecuación es mucho más reveladora. ¿Por qué? Porque, como ya hemos visto, el producto ½mv² es la energía cinética con la que nos hemos encontrado en el ejemplo del choque de las bolas de billar, que mide la cantidad de energía que tiene un objeto de masa m por el hecho de moverse a una velocidad v. Hemos descubierto que existe una cosa que se conserva que es igual a algo (mc²) más la energía cinética. Parece razonable referirse a ese «algo que se conserva» como la energía, pero ahora consta de dos partes. Una es ½mv² y la otra es mc². No dejes que te confunda el hecho de que lo hayamos multiplicado todo por c. Solo lo hemos hecho para que el resultado final incluyese el término ½mv² en lugar de ½mv²/c², ya que la primera expresión es lo que los científicos desde hace siglos han denominado energía cinética. Si quieres, puedes darle a ½mv²/c² el nombre de «masa cinética» o cualquier otro que se te ocurra. Eso es lo de menos (incluso aunque lleve asociada la carga de la palabra «energía»). Lo importante es que es la «componente temporal del vector momento lineal en el espacio-tiempo», y que se conserva. Hay que reconocer que la ecuación «la componente temporal del vector momento lineal en el espacio-tiempo es igual a mc» no tiene tanto gancho como E = mc², pero la física es la misma.

Sorprendentemente, hemos demostrado que la conservación del momento lineal en el espacio-tiempo no solo conduce a una versión nueva y mejorada de la conservación del momento lineal en tres dimensiones, sino también a una revisión de la ley de conservación de la energía. Acabamos de ver que, si tenemos un sistema de partículas agitándose, al sumar la energía cinética de todas las partículas junto con las masas de cada una de ellas multiplicadas por c al cuadrado, obtenemos algo que no varía. En la época victoriana habría bastado con la afirmación de que la suma de la energía cinética no variaba, y también con decir que tampoco lo hacía la suma total de las masas (multiplicar por c al cuadrado carece de importancia cuando aquello de lo que hablamos no varía). Nuestra nueva ley es coherente con esa situación, pero va mucho más allá. Resulta que no hay nada que impida que parte de la masa se convierta en energía cinética y viceversa, siempre que la suma de ambas cosas se conserve. Hemos descubierto que la masa y la energía son potencialmente intercambiables y que la cantidad de energía que podemos extraer de una masa m en reposo (en ese caso, γ es igual a uno) viene dada por la ecuación E = mc².

Nuestro amigo Tales de Mileto puede por fin experimentar el hechizo en todo su esplendor. Sale de su bañera, la leche de burra goteando sobre el suelo, y da la bienvenida a sus concubinas.

Resumiendo: queríamos encontrar un objeto en el espacio-tiempo que hiciese las veces del momento lineal en el espacio tridimensional, porque el momento lineal es una cantidad que se conserva, y por tanto útil. Hemos conseguido encontrarlo, construyéndolo únicamente a partir de cosas que son iguales para todos los observadores, como la distancia espaciotemporal, el límite de velocidad universal y la masa. El vector momento lineal en el espacio-tiempo ha resultado ser muy interesante. Fijándonos en la parte que señala en la dirección espacial, hemos vuelto a descubrir la antigua ley de conservación del momento lineal, con un ajuste para los objetos que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz. Pero el verdadero hallazgo se ha producido cuando nos hemos fijado en la parte del vector que apunta en la dirección temporal, que nos ha ofrecido una versión completamente nueva de la ley de conservación de la energía. En ella aparece la antigua energía cinética, ½mv², pero también figura una parte completamente nueva: mc². Así, incluso si un objeto está en reposo, tiene una energía asociada, que viene dada por la famosa ecuación de Einstein: E = mc².

¿Qué significa todo esto? Hemos demostrado que la energía es una magnitud interesante porque se conserva: «Puedes aumentar la energía por aquí siempre que la disminuyas por allí». Más aún, hemos demostrado que la propia masa de un objeto constituye una fuente potencial de energía. Podemos imaginar que tomamos un pedazo de materia, por ejemplo un kilogramo de «algo» (sea lo que sea) y «hacemos algo con ello» de forma que después ya no tengamos ese kilogramo de materia. No queremos decir con esto que hayamos machacado el kilogramo de materia hasta hacerlo pedazos, sino que ha desaparecido. De hecho, podemos imaginar una situación extrema en la que se consume toda la masa inicial. En su lugar debería crearse el equivalente de un kilogramo en energía (más la energía que hayamos empleado en «hacer algo con ello»). Esta energía podría tomar la forma de masa (por ejemplo, se podrían crear unos pocos cientos de gramos de «materia» nueva), y el resto existiría bajo la forma de energía cinética: la nueva materia se movería a toda velocidad. Evidentemente, todo esto nos lo acabamos de inventar, era una situación imaginaria. La idea que conviene resaltar es que es algo que la teoría de Einstein permite. Antes de Einstein, nadie había soñado que la masa pudiese destruirse y convertirse en energía, porque la masa y la energía parecían entidades completamente inconexas. Después de Einstein, todo el mundo tuvo que aceptar que son manifestaciones diferentes del mismo tipo de cosa. Esto es así porque hemos descubierto que la energía, la masa y el momento lineal deben combinarse en un solo objeto en el espacio-tiempo al que nos hemos venido refiriendo como vector momento lineal espaciotemporal. En realidad, entre los físicos el nombre más habitual es cuadrimomento. Igual que hemos visto que no deberíamos pensar en el espacio y el tiempo como entidades separadas, hemos descubierto que la energía y el momento lineal no son más que sombras de un objeto más fundamental, el cuadrimomento. La fuerte inclinación de nuestra intuición a separar el espacio y el tiempo es la que nos lleva a pensar en ellos como entidades distintas e inconexas. Lo verdaderamente importante es que la naturaleza sí que aprovecha la oportunidad: es posible convertir masa en energía. Si no fuese así, ni siquiera existiríamos.

Antes de desentrañar esta rotunda afirmación, puede que sea conveniente explicar un poco mejor lo que queremos decir con «destruido». En este contexto, «destrucción» no se refiere a lo que sucede cuando un valioso jarrón cae al suelo y se hace añicos. Tras una destrucción de ese tipo, apesadumbrado, podrías barrer los pedazos, pesarlos, y comprobar que no se ha producido un cambio significativo en la masa. Cuando decimos que el jarrón se ha destruido, lo que queremos decir es que, tras el acto de la destrucción, hay menos átomos que antes, y que, por lo tanto, la masa es menor. Quizá te parezca algo nuevo y discutible. La idea de que la materia está formada por pequeñas piezas y que podemos trocearlas y reordenarlas está muy arraigada, y se remonta al menos a Demócrito, en la antigua Grecia. La teoría de Einstein le da un vuelco a esa manera de ver el mundo para conducirnos a uno en el que la materia es más ambigua, y puede aparecer y desaparecer, dejando de existir. De hecho, actualmente, ese ciclo de destrucción y creación tiene lugar a diario en los aceleradores de partículas. Más adelante volveremos sobre esto.

Y ahora el gran colofón. Por desgracia, se nos han acabado las cosas que Tales podría hacer en buena compañía, pero esto va a ser realmente maravilloso. Queremos completar la identificación de c con la velocidad de la luz. Hemos venido insistiendo en que lo fundamental de la manera espaciotemporal de pensar sobre las cosas es que c es un límite de velocidad cósmico universal, no el hecho de que sea la velocidad de la luz. En el capítulo anterior hemos logrado identificar c como la velocidad de la luz, pero solo tras haberla comparado con los resultados que hemos obtenido en el capítulo 3. Ahora podemos hacerlo sin necesidad de recurrir a ideas ajenas al marco espaciotemporal. Trataremos de encontrar una interpretación alternativa de la c que aparece en E = mc², distinta de la del límite de velocidad cósmico.

La solución se encuentra en otra característica extraña y oculta de la ecuación de Einstein para la masa y la energía. Para seguir investigando, necesitamos olvidar las aproximaciones que hemos hecho antes y escribir las expresiones exactas de las partes espacial y temporal del cuadrimomento. La energía de un objeto, que es la parte temporal del cuadrimomento (multiplicada por c), es igual a γmc², y el momento lineal, que es la parte espacial, es γmv. Ahora nos plantearemos una pregunta que en principio puede parecer muy extraña: ¿qué pasa si un objeto tiene masa nula? Un vistazo rápido podría sugerir que, si la masa es cero, el objeto tendría energía nula y momento nulo, en cuyo caso nunca influiría sobre ningún otro objeto, y sería como si no existiese. Pero no es así, gracias a una sutileza matemática. El detalle tiene que ver con γ. Recuerda que γ = 1/√1 − v²/c². Si el objeto se mueve a la velocidad de la luz, el factor γ se hace infinito, porque tenemos que dividir uno entre cero (la raíz cuadrada de cero es cero). Así que, para el caso muy particular en que la masa es cero y la velocidad es c, tenemos una situación extraña. En las expresiones matemáticas del momento lineal y de la energía, acabamos teniendo infinito multiplicado por cero, lo cual es una indeterminación matemática. Dicho de otro modo, las ecuaciones tal y como las conocemos no son útiles pero, lo que es muy importante, no podemos concluir que, para partículas sin masa, la energía y el momento lineal son necesariamente nulos. Sí podemos, no obstante, preguntarnos qué sucede con la proporción entre el momento y la energía. Dividiendo E = γmc² entre p = γmv obtenemos E/p = c²/v, lo que, para el caso especial en que v = c, resulta en la ecuación E = cp, que sí tiene sentido. Por lo tanto, la conclusión es que es posible que tanto la energía como el momento lineal sean distintos de cero incluso para un objeto cuya masa sea nula, pero solo si se mueve a la velocidad c. Así, la teoría de Einstein contempla la posibilidad de que existan partículas sin masa. Es aquí donde los experimentos nos son útiles. Gracias a ellos sabemos que la luz está compuesta por partículas llamadas fotones, cuya masa, hasta donde sabemos, es nula. Por consiguiente, deben moverse a la velocidad de la luz. Esto es importante: ¿qué haríamos si en el futuro un experimento demuestra que los fotones en realidad poseen una masa minúscula? Por suerte, ya puedes contestar a esa pregunta. La respuesta es que no haríamos nada, salvo volver al segundo postulado de Einstein en el capítulo 3 y sustituirlo por la afirmación de que «la velocidad de las partículas sin masa es una constante universal». Evidentemente, los nuevos datos experimentales no alterarían el valor de c, pero sí harían que ya no pudiésemos identificarla con la velocidad a la que viaja la luz.

Esto es algo muy profundo. La c en E = mc² tiene algo que ver con la luz debido únicamente al hecho experimental de que resulta que las partículas de luz no tienen masa. Históricamente, esto tuvo una importancia extraordinaria, porque permitió que los experimentalistas, como Faraday, y los teóricos, como Maxwell, tuviesen acceso directo a un fenómeno que se desplazaba a una velocidad que coincide con el límite universal: las ondas electromagnéticas. Este hecho fue tan importante para el desarrollo de las ideas de Einstein, que es posible que, de no ser por esta coincidencia, no hubiese descubierto la relatividad. Nunca lo sabremos. Puede que «coincidencia» sea la palabra apropiada, porque, como veremos en el capítulo 7, no existe una razón fundamental que obligue a que la masa del fotón sea nula. Lo que es más, existe un mecanismo, conocido como mecanismo de Higgs, que quizá podría, en un universo diferente, haber hecho que el fotón tuviese una masa no nula. Sería más correcto interpretar la c en E = mc² como la velocidad de las partículas sin masa, que están estrictamente obligadas a moverse por el universo a esta velocidad. Desde un punto de vista espaciotemporal, c se introdujo para que pudiésemos definir la manera de calcular distancias en la dirección temporal. Por lo tanto, está integrada en el propio tejido del espacio-tiempo.

Como habrás visto, la energía asociada a una masa determinada incluye un factor de la velocidad de la luz al cuadrado. Puesto que la velocidad de la luz es tan enorme en comparación con las velocidades ordinarias y cotidianas (la v en ½mv²), no te sorprenderá saber que la energía acumulada dentro de masas incluso muy pequeñas es descomunal. Aún no podemos decir que hayamos demostrado que se puede tener acceso directo a esta energía. Pero, si lo lográsemos, tendríamos ante nosotros, literalmente, una fuente de energía enorme. Podemos incluso dar una cifra, ya que disponemos de las fórmulas necesarias. Sabemos que la energía cinética de una partícula de masa m que se mueve a una velocidad v es aproximadamente igual a ½mv², y que la energía almacenada en su masa es igual a mc² (supondremos que v es mucho más pequeña que c, pues de lo contrario tendríamos que utilizar la fórmula γmc², que es más complicada). Pongamos números para hacernos una mejor idea de lo que significan en realidad estas ecuaciones.

Una bombilla normal irradia 100 julios de energía por segundo. Un julio es la unidad de energía, llamada así en honor de James Joule, una de las grandes figuras de Manchester cuyo ímpetu intelectual impulsó la revolución industrial. Cien julios por segundo son 100 vatios, llamados así en memoria del ingeniero escocés James Watt. El siglo XIX fue una época de fantásticos avances científicos, que ahora conmemoramos cada vez que medimos magnitudes cotidianas. Si una ciudad tiene 100.000 habitantes, parece razonable estimar que necesita un suministro de corriente eléctrica de alrededor de 100 millones de vatios (100 megavatios). Incluso para generar solo 100 julios se necesita una buena cantidad de esfuerzo mecánico. Es aproximadamente igual a la energía cinética de una pelota de tenis que se mueve a unos 215 kilómetros por hora, la velocidad a la que saca un tenista profesional. Puedes hacer los cálculos tú mismo. La masa de una pelota de tenis es de unos 57 gramos (o 0,057 kilogramos) y 215 kilómetros por hora equivalen aproximadamente a 60 metros por segundo. Si introducimos estos números en ½mv², obtenemos una energía cinética igual a ½ × 0,057 × 60 × 60 julios. Se puede definir un julio como la energía cinética de una masa de 2 kilogramos que se mueve 1 metro por segundo. Compruébalo tú mismo. Haría falta un aluvión constante de pelotas de tenis (una por segundo) para alimentar una sola bombilla eléctrica. En realidad, las pelotas deberían ir todavía más rápido, o llegar con mayor frecuencia, porque tendríamos que extraerles la energía cinética, convertirla en energía eléctrica (mediante un generador) y transferírsela a la bombilla. Queda claro que sería muy costoso alimentar una bombilla de esta manera.

¿Con cuánta masa podríamos realizar el mismo trabajo si supiésemos cómo aplicar la teoría de Einstein para convertirla completamente en energía? La respuesta es que la masa debería ser igual a la energía dividida por la velocidad de la luz al cuadrado: 100 julios divididos dos veces entre 300 millones de metros por segundo. El resultado es 0,000​000​000​001 gramos o, expresado en palabras, una millonésima de millonésima (una billonésima) de un gramo. A ese ritmo, bastaría con que destruyésemos únicamente 1 microgramo de material por segundo para alimentar a una ciudad. En un siglo hay aproximadamente 3.000 millones de segundos, por lo que solo necesitaríamos 3 kilogramos de material para mantener la ciudad en funcionamiento durante cien años. Una cosa está clara: la cantidad potencial de energía acumulada en la materia es de una magnitud muy diferente de cualquier otra cosa de las que experimentamos a diario, y si pudiésemos liberarla resolveríamos todos los problemas energéticos de la Tierra.

Antes de seguir adelante, comentaremos una última cuestión. A nosotros, aquí en la Tierra, la cantidad de energía acumulada en la masa nos parece completamente astronómica. Aunque resulta tentador, nos equivocaríamos por completo si pensásemos que esto se debe a que la velocidad de la luz es un número muy grande. Lo que sucede es que ½mv² es muy pequeño en comparación con mc² porque las velocidades a las que estamos acostumbrados son mucho menores que el límite de velocidad cósmico. La razón de que nuestra existencia se desarrolle a unas energías relativamente bajas tiene que ver en última instancia con las intensidades de las fuerzas de la naturaleza, en particular con la intensidad relativamente baja de las fuerzas electromagnética y gravitatoria. Lo estudiaremos con más detalle en el capítulo 7, cuando nos adentremos en el mundo de la física de partículas.

Después de Einstein, los seres humanos tardaron medio siglo en encontrar la manera de extraer cantidades importantes de energía de la masa que compone la materia. Hoy en día, la destrucción de la masa se emplea en las centrales nucleares. Por su parte, la naturaleza lleva miles de millones de años sacando provecho de E = mc². En un sentido muy real, es la semilla de la vida, porque sin ella el Sol no brillaría y la Tierra estaría para siempre sumida en la oscuridad.