INTRODUCCIÓN

LA CATÓPTRICA EN LA ANTIGÜEDAD GRIEGA

Si al estudiar el nacimiento de la óptica veíamos que se había desarrollado a partir de los intentos de resolución de problemas de perspectiva, al aproximamos a la catóptrica queda de relieve que ésta no pudo independizarse sino después de establecidos ciertos principios básicos de la óptica general —concretamente, el del desplazamiento del rayo visual en línea recta— indispensables para comprender los fenómenos relativos a la luz refleja.

Nada más podemos decir sobre los orígenes de la catóptrica ni sobre el momento en que se constituyó como disciplina separada. La especialización se nos muestra ya realizada precisamente con Euclides, a quien se le atribuyen estudios separados sobre ambas materias. Los conocimientos griegos sobre esta ciencia figuran, además de en la Catóptrica que ahora presentamos, en las referencias a una Catóptrica de Arquímedes, la Catóptrica atribuida a Herón y los libros IV y V de la Óptica de Ptolomeo, obras cuyo conocimiento nos es indispensable para el análisis de este tratado.

Las noticias sobre la obra de Arquímedes indican que presentaba dos novedades de importancia: la primera, un procedimiento característico de la catóptrica antigua hasta Alhazén (965-1039) para construir el punto-imagen^[1]; la segunda, el reconocimiento del fenómeno de la refracción, aunque lo más probable es que no conociera la ley de la perpendicular trazada del objeto a la superficie de separación.

De la Catóptrica de Herón de Alejandría (fl. c. 62 d. C.) conservamos sólo una versión latina resumen del original griego. La simple lectura del tratado hace evidente que el propio Herón llegó a fabricar los espejos cuyos efectos describe. Sus demostraciones no eran impecables desde el punto de vista matemático y a Herón le bastaba conseguir mediante un razonamiento aproximativo las constataciones obtenidas de hecho mediante la observación.

La Óptica de Ptolomeo es una versión latina medieval mutilada de la traducción árabe del original, pero a pesar de ello es el mejor testimonio que poseemos. Es una obra de gran extensión, que podemos datar con seguridad y muy superior en lo científico. Ptolomeo abandona el método geométrico deductivo y recurre a la experimentación e incluso a las mediciones directas. El progreso de la catóptrica que pone de relieve su obra reside sobre todo en el perfeccionamiento de los métodos y la gran contribución de Ptolomeo es la de transformar los postulados de la catóptrica en auténticas leyes físicas mediante el uso de la experimentación.

UN TRABAJO DE COMPILACIÓN

Al igual que en la Óptica, la primera cuestión filológica que hay que abordar en relación con la Catóptrica es la de su autenticidad, pero con una distinción: mientras que las dudas sobre la Óptica fueron siempre frenadas por el hecho de que las fuentes antiguas mencionaban ese título entre las obras de Euclides, la segunda, por razones de diversa índole, como veremos, gozó poco tiempo de ese beneficio; hoy en día nadie pone en duda su carácter espurio. En el siglo XVI la autenticidad era todavía admitida sin reservas y estaba basada en que los manuscritos atribuyen unánimemente a Euclides el tratado.

En el siglo xvn aparecen las primeras voces que rechazan la paternidad euclidiana. Las razones que se aducen son fundamentalmente de orden científico. El argumento que más pesaba en la consideración de los estudiosos era el de la falta de rigor. Es curioso que la postura más benévola proceda de Iohannes Kepler^[2], gran físico y padre de la óptica moderna, que fue, además, uno de los primeros en detectar lo erróneo de la ley de construcción del punto-imagen.

Kepler percibió, con muy buen sentido, que la genialidad de un trabajo es la que da fama y renombre a un gran científico, pero que eso no prueba la inversa, a saber, que todo trabajo de un famoso científico haya de ser genial. En otras palabras: la pobreza de resultados científicos en la Catóptrica no puede ser tomada como argumento a favor ni en contra de la autoría euclidiana.

Como la de la autoría es una cuestión filológica, debía ser la filología quien aportara los argumentos significativos a este respecto. Fue Heiberg^[3] quien recogió y presentó los datos que llevarían a una postura concluyente. Las referencias más antiguas a esta obra son las de Proclo, comentador de los Elementos, posteriores en más de setecientos años a la supuesta redacción del trabajo. Al no haber ninguna mención más antigua que éstas, cabe la posibilidad de que Proclo, consultando para sus comentarios la Óptica de Euclides y teniendo a la vista una Catóptrica de algún otro autor, hubiera sufrido un error; de modo que puede ser que Euclides no escribiera ninguna Catóptrica.

Además, se observan ciertas diferencias terminológicas con la Óptica: en ésta, el rayo visual suele ser designado con el término aktís, mientras que en la Catóptrica aparece ópsis; en la Catóptrica, los ángulos suelen designarse mediante una letra —la del vértice— mientras que en la Óptica con tres —el vértice y el otro extremo de cada una de las rectas que lo componen—.

De estos datos y del análisis de la propia obra concluía Heiberg que el tratado es un conglomerado de diversos elementos de variada procedencia, en el que una parte podía haber sido tomada de fuentes antiguas; percibía en el conjunto del tratado la falta de un plan previo, a pesar de que algunas de las proposiciones son muy interesantes por sí mismas y sugería la posibilidad de que la obra hubiera sido compuesta por Teón (s. IV) al efecto de completar el Mikròs astronomoúmenos^[4]. Así interpretado, continúa Heiberg, se entiende mejor por qué la Catóptrica pseudo-euclidiana presenta huellas de haber empleado la Catóptrica atribuida a Herón.

Todos estos datos asentaban la tesis de que la obra no pertenece a Euclides. Pero el caso es que esta postura filológica se mezcló con el juicio crítico negativo de los científicos como si todos los argumentos empleados valieran para todo, de manera que datos y razonamientos fueron interpretados de tal manera que suscitaban una prevención frente a la fiabilidad del tratado. Con ello, la exactitud de los resultados de estas investigaciones no contribuyó a que la obra fuera apreciada con justeza, sino a generar una posición de menosprecio. En esa línea, Heath no le dedica sino una decena de líneas, resumen de lo publicado por Heiberg; y Loria parece excusar al autor, en vez de valorar la obra, cuando afirma que no deberíamos despreciarla aunque sólo sea por tratarse del primer testimonio de un estudio racional de los fenómenos procedentes de la reflexión de la luz en espejos planos o esféricos.

La superación de los prejuicios aparecería medio siglo después, en el libro de Lejeune Recherches sur la catoptrique grecque d’après les sources antiques et médiévales (Bruselas, 1957). En él lleva a cabo una investigación exhaustiva sobre la catóptrica griega que incluye un detalladísimo estudio sobre esta obra y manifiesta: «Nuestro examen… ha confirmado netamente la opinión de Heiberg de que se trata de una compilación tardía de valor científico menor que mediocre. Pero una obra sin valor no es necesariamente un documento sin interés».

De acuerdo con el estudio de Lejeune, los principios fundamentales de la reflexión se resumen, según Ptolomeo, en las tres leyes de la catóptrica antigua^[5]: 1) el punto-imagen aparece siguiendo el rayo visual incidente; 2) el punto-imagen está situado en la perpendicular trazada del punto-objeto al espejo; 3) el rayo visual incidente y el rayo visual reflejado forman ángulos iguales con la perpendicular al espejo trazada por el punto de reflexión.

Comparando esas leyes con los, postulados propuestos por el autor de la Catóptrica pseudo-euclidiana, Lejeune obtiene las siguientes conclusiones:

—los postulados primero y sexto son inútiles para las demostraciones subsiguientes —especialmente el sexto, que, de hecho, no llega a ser utilizado en ninguna de ellas— y aparecen por razones puramente didácticas (recordemos que ésa era la función con que se compuso el Mikròs Astronomoúmenos, del cual probablemente esta Catóptrica formaba parte).

El postulado primero tiene como objetivo recordar al estudiante la ley fundamental de la óptica geométrica y el sexto avanza un elemento necesario para la explicación de ciertos fenómenos de la observación astronómica. Es decir, sirven para establecer puntos de contacto entre lo ya estudiado y lo que se ha de estudiar.

—los postulados segundo, tercero, cuarto y quinto son los verdaderos presupuestos del tratado y contienen las tres leyes de la reflexión de Ptolomeo. La primera ley estaría contenida en el segundo postulado; la segunda ley estaría contenida en los postulados cuarto y quinto y, por último, el tercer postulado y su corolario, el teorema I, presentan la tercera ley como un hecho demostrable geométricamente. En realidad, éste último es un dato que conocemos gracias a la observación, pero el tratadista, al presentarlo de esa manera, creía seguramente estar «mejorando» la tradición recibida, acercando a la matemática pura y apartando de la experiencia la ciencia de que se ocupa.

Al estudiar las proposiciones, Lejeune observa en el tratado un plan de conjunto en el que la construcción del punto-imagen aparece por primera vez en las proposiciones 16 a 18.

De ahí deduce que la Catóptrica habría sido planeada de modo que resultaran dos partes bien diferenciadas, cada una con quince teoremas. La primera ofrece lo que se puede deducir de dos de las leyes, la del rayo incidente y la de la igualdad de los ángulos de incidencia y reflexión. La segunda parte, que toma ya en consideración la ley de la perpendicular objeto-espejo, desarrolla en toda su amplitud el estudio de las propiedades de las imágenes especulares; la presencia de contradicciones y/o repeticiones innecesarias^[6] confirmaría la hipótesis de que la Catóptrica, en su estado actual, es de hecho una compilación de fuentes diversas.

De acuerdo con esto, el pseudo-Euclides utilizó dos fuentes o dos series de fuentes distintas: la primera parte, basada en sólo dos de las leyes, representaría un estadio de la catóptrica cronológicamente anterior al de la segunda, en la que se contemplan y emplean las tres leyes ptolemaicas para el estudio de las propiedades de los espejos planos y esféricos.

Ahora bien, el tratadista parece ignorar ciertas conclusiones de importancia obtenidas por Ptolomeo; de ello deduce Lejeune que la segunda fuente utilizada por el pseudo-Euclides hubo de ser un tratado anterior a la Óptica ptolemaica; además, se producen importantes coincidencias con la Catóptrica de Herón, y esto sugiere la posibilidad de que la fuente más reciente fuera la Catóptrica de este autor. En cuanto a la fuente utilizada para la primera parte, la más antigua, debió de tratarse de un autor anterior a Arquímedes; pudo incluso tratarse de la auténtica Catóptrica euclidiana, la cual, aunque ya muy superada por los trabajos de Arquímedes y Herón, seguía teniendo a su favor el renombre de Euclides. Dentro de la cuestión de autoría Lejeune, como antes Heiberg, se inclina en favor de Teón, pero los argumentos en pro de la atribución a un matemático destacado casan mal con el elevado número de veces que a lo largo de la obra trata de torpe al compilador.

Como corolario de su estudio, Lejeune procede a un intento de reconstrucción de algunos de los rasgos de la perdida Catóptrica euclidiana. Es probable que Euclides (fl. c. 300 a. C.) diera a su Catóptrica una forma semejante a la de su Óptica, es decir, exclusivamente geométrica y deductiva, y que no recurriera a la experimentación como método. La obra representaba probablemente un estadio muy primitivo de la catóptrica, que lograba explicar ciertos fenómenos como las inversiones laterales de las imágenes en los espejos planos, pero aún no contaba con una teoría que permitiera la localización de la imagen. Así, las conclusiones que obtenía eran suficientemente vagas para parecer confirmadas por la observación vulgar, aunque en realidad muy imperfectas.

En cuanto a ediciones y traducciones, la Catóptrica ha sido publicada generalmente junto con la Óptica y los trabajos más señalados han sido ya reseñados en la bibliografía y la introducción a la Óptica. Sólo hemos de añadir la edición grecolatina preparada por Dasypodius (Estrasburgo, 1557). En cuanto a ediciones modernas, el trabajo de Heiberg-Menge sigue siendo el más fiable, y en él nos hemos basado para la traducción que sigue, así como para las ilustraciones.