Carles Ulisses Moulines: Como punto de partida para este debate final, yo propondría dos cuestiones. La primera se refiere al determinismo como una propiedad del mundo (de la realidad) o bien de las teorías (del conocimiento). En este punto, la discusión no debería centrarse, creo, tanto en discutir la alternativa (muchos se han manifestado ya sobre el sinsentido de reclamar o no el determinismo del mundo), sino más bien en el indeterminismo que poco a poco se ha ido imponiendo en nuestros esquemas conceptuales. La pregunta sería entonces: esta tendencia indeterminista de la ciencia moderna, ¿hay que aceptarla como un estado provisional de la ciencia moderna, o más bien como una adquisición definitiva de la mente humana? La segunda cuestión es de carácter semántico y ha sido sugerida por el profesor Schatzman. En las discusiones precedentes, hemos oído hablar de sistemas deterministas que no son predecibles y viceversa: se pueden hacer ciertas predicciones en ausencia de determinismo. Es necesario distinguir entre determinismo y predictibilidad.

Ilya Prigogine: Quiero decir, en primer lugar, que para mí, como físico, las teorías se refieren a la naturaleza y no estoy seguro de que me interese una dirección semántica para el debate. Diré también que la necesidad de conceptos probabilísticos está hoy profundamente enraizada en la ciencia. Quizá sea un defecto del método, pero resulta muy difícil imaginar otro que pueda dar cuenta de todo lo que de algún modo tiene que ver con la descripción de la materia. Los problemas de la naturaleza que nos preocupan sugieren más bien que debemos extender aún más los esquemas que incluyen ideas de irreversibilidad, de rotura de simetría, ecuaciones estocásticas, etc. No debemos olvidar que no vivimos en el mundo que hemos elegido, vivimos en un universo que queremos conocer de la mejor manera posible, y esta manera no tiene por qué ser la que más nos gusta, la más elegante o la semánticamente más aceptable.

René Thom: Quiero hacer una precisión a las palabras del Dr. Moulines. Ha dicho que el determinismo debe definirse para las teorías. Yo afinaría un poco más para decir que el determinismo sólo se puede encontrar, al menos en el sentido científico, en los modelos, y no en las teorías. No tiene sentido, por ejemplo, preguntarse sobre el determinismo o indeterminismo de la teoría de Darwin; en todo caso sería muy difícil dar sentido a una pregunta así. Creo que uno debe limitarse a discutir las propiedades deterministas de los modelos. Si se me permite repetir lo que he expresado en la conferencia, creo que el determinismo sólo es útil en la ciencia en la medida en que uno puede sumergir la evolución temporal que investigamos en el seno de un conjunto más general de evoluciones virtuales. Es decir, el determinismo debe proveer criterios que sirvan para extraer las evoluciones reales de las evoluciones virtuales. Y la cuestión trascendente es que este conjunto de evoluciones virtuales debe generarse mediante procedimientos canónicos de naturaleza constructiva. En caso contrario, ocurre que ni siquiera sabemos de lo que estamos hablando. De ahí proviene, precisamente, el carácter epistemológicamente sospechoso de la teoría de Darwin para la evolución de las especies. En ella se habla de la posible evolución virtual de las especies sobre las que actúa la selección natural extrayendo precisamente la evolución que se observa. Pero nada sabemos de las dificultades concretas con las que se enfrenta esta virtualidad. Por ello yo restringiría la discusión a este territorio.

Peter Landsberg: ¿Se refiere al territorio de los modelos?

René Thom: Sí, y más concretamente, me refiero al territorio de los modelos matemáticos.

Günther Ludwig: Pues resulta que llamo teoría de la física a eso que usted llama modelo matemático.

René Thom: Ah, hay que distinguir. Para mí una teoría es un generador de modelos. La teoría de sistemas de variedades diferenciales, por ejemplo, ¿es una teoría física?

Günther Ludwig: No, no.

René Thom: No, claro, es una teoría matemática. Y, sin embargo, gran parte de las descripciones que nos ha mencionado el profesor Prigogine, por ejemplo, proceden de esta teoría.

Günther Ludwig: Digamos, para ponernos de acuerdo, que una teoría es un modelo matemático más una interpretación física.

René Thom: Estoy de acuerdo desde un punto de vista pragmático.

Günther Ludwig: Bien, algunos de estos modelos tienen una dinámica determinista y otros, en cambio, se describen con probabilidades, con medidas sobre las trayectorias. Quizá se haya percatado de que hemos coincidido en un punto en nuestra ponencias, porque yo también he afirmado que en la física moderna no es posible describirlo todo mediante modelos deterministas. Creo que, cuando nos encontramos con inestabilidades, debemos sustituir el modelo determinista por otro probabilístico. Y estoy de acuerdo con que ésta será la tendencia para el futuro. Por cierto, para ello no es imprescindible acabar siempre con una discusión sobre la mecánica cuántica. Ayer tuve la impresión de asistir a un debate sobre los problemas de la mecánica cuántica más que sobre el determinismo o el indeterminismo. No hay que olvidar que el dominio de nuestro interés se centra, fundamentalmente, en el mundo de los cuerpos macroscópicos; mi propuesta es centrar la discusión en tales objetos. Mi opinión es que las teorías futuras en este dominio también habrán de ser teorías indeterministas.

Ramón Margalef: Ya he dicho esta mañana que no estaba demasiado satisfecho con la distinción entre determinismo e indeterminismo en biología. Pero ¿por qué no centrar nuestra discusión en un problema concreto? La cuestión del origen de la vida es un ejemplo clásico de la biología y me sorprende que a estas alturas todavía no haya saltado a escena. Se trata de un problema tradicionalmente muy discutido por científicos provenientes del campo de la química (síntesis de moléculas y su posterior evolución). Debo confesar que la mentalidad al uso en este tema siempre me ha parecido una reedición de las ideas de los filósofos griegos en virtud de las cuales la naturaleza produjo un alto número de organismos que después se combinan para dar organismos independientes que luego se someten a la selección natural. Siempre he tenido la sensación de que la consideración de la energía de los sistemas vivos (gradientes de oxidación-reducción y, en general, toda clase de propiedades físicas) debía ser más trascendente que la mera consideración de los materiales. En particular, resulta especialmente interesante el esfuerzo por describir cómo unos pocos individuos separados pueden cooperar y actuar en un nuevo nivel de organización. Una buena pregunta sería, por ejemplo: ¿es necesaria una teoría de inestabilidades o bifurcaciones para explicar este tipo de fenómenos?

Evry Schatzman: Yo, en cambio, propondría desplazar la discusión del problema del determinismo y el indeterminismo (sobre el que todos nos hemos pronunciado) hacia otra cuestión que ha sido sugerida al comienzo de las jornadas: la del determinismo y la libertad humana. Me intriga el tema porque no veo dónde puede estar la contradicción o la dificultad.

Peter Landsberg: En algún lugar de la declaración de independencia de los Estados Unidos se dice que el hombre nace libre. Yo quiero mantener, de momento, la conclusión que he expresado en mi charla. Lo que es seguro es que la libertad es un sentimiento relativo a cada individuo. Cada individuo se considera a sí mismo libre, cree en su propia libertad. En realidad, sólo cuestionamos la libertad de los demás, en el sentido de que, al obsérvalos de vez en cuando, creemos ver causas, determinaciones o influencias en su comportamiento. La idea de un hombre pseudoautómata condicionado por su historia genética se origina, creo, en la contemplación del prójimo.

Günther Ludwig: A propósito de la propuesta del profesor Schatzman (discutir la cuestión determinismo-libertad), quiero advertir una cosa. El determinismo es un concepto científico, más concretamente, del conocimiento científico. Creo que en eso hemos logrado ponernos de acuerdo. Pero, en mi opinión, la libertad no es en absoluto un concepto de la física ni de la ciencia. Veo por lo tanto muy difícil relacionar un concepto físico con otro que no lo es. Sin embargo, cuando el profesor Schatzman insinúa que el determinismo puede contradecir la sensación de sentirnos libres…

Evry Schatzman: He dicho todo lo contrario. Pero si los pongo en un mismo plano lógico es porque acepto la idea de una discusión, aun teniendo conciencia de que mi competencia en temas de libertad humana no es la más adecuada. Pero existen otros aspectos, y nosotros acaso podamos hablar en nombre de la ciencia.

Ilya Prigogine: El enfoque del profesor Ludwig me parece un poco demasiado tradicional y pienso, precisamente, que estamos en condiciones, en estos tiempos, de adoptar ideas menos tradicionales. Como enfoque típicamente clásico, ahí tenemos la célebre frase de Einstein: «el tiempo es una ilusión», es decir, el fenómeno vida está en cierto sentido fuera de las leyes fundamentales de la naturaleza: la vida misma es una ilusión. Actualmente el tiempo no es una ilusión ni siquiera en la física. Creo que algo ha cambiado con ello. Si sólo creemos en la viabilidad de formalismos estrictamente deterministas, entonces es verdad, la libertad sólo puede ser una ilusión. Pero basta tomar conciencia de que el cerebro es un sistema altamente inestable y caótico para que la cuestión adquiera inmediatamente otro cariz. Tradicionalmente había que escoger entre un punto de vista anticientífico y la alienante idea de que «somos autómatas, aunque no lo sepamos». Pienso que la física moderna ha colaborado con el fin de tal dicotomía.

Ramón Margalef: Permítame hacer un poco de abogado del diablo. ¿No será la libertad humana una ilusión seleccionada por la evolución simplemente porque es necesaria o conveniente para la supervivencia de una especie social de las características del hombre?

Ilya Prigogine: En mi opinión, lo cierto es lo contrario. Mire usted, cada vez me interesan más los insectos sociales porque representan las sociedades ecológicas más exitosas que conozco. La masa total de las hormigas, por ejemplo, es unas diez veces mayor que la masa humana. Mucha gente se esfuerza hoy en conocer cuál es el secreto del éxito de las hormigas. La idea clásica consistía, claro, en considerar una hormiga como un pequeño autómata. Hoy sabemos que no es cierto en absoluto. Su, digamos, probabilístico comportamiento es la expresión de la imaginación de las sociedades de hormigas. Pongamos alimento en algún punto al alcance de un hormiguero. La comunidad se comportaría determinísticamente si se lanzara sobre él para conquistarlo en combate. Pero no es lo que ocurre; como usted sabe mucho mejor que yo, cierto número de hormigas siguen explorando las inmediaciones por si hubiera una fuente mejor de alimento. Y esta actividad exploradora es la base del enorme éxito ecológico de las hormigas. Por lo tanto, el comportamiento probabilístico es, de hecho, una de las ventajas de la evolución biológica. Este fenómeno es algo muy difícil de confundir con una ilusión. Se trata de un hecho observable. La evolución biológica conduce justamente a un comportamiento complejo del cerebro. Y para ello no se ha seleccionado un comportamiento determinista, sino un comportamiento cada vez más creativo y novedoso.

Ramón Margalef: Yo admiro mucho las hormigas, ciertamente, pero prefiero la sociedad humana. Creo que un organismo grande es superior a muchos pequeños. Ocurre lo mismo con las computadoras, una computadora grande es más potente que ciertas series de computadoras pequeñas, porque probablemente es capaz de realizar un mayor número de combinaciones. Así, el hormiguero, compuesto por muchas unidades pequeñas, puede desarrollar tácticas de exploración y de coordinación. Pero la biomasa equivalente en una unidad de animal superior como el hombre multiplica comparativamente estas prestaciones. De todos modos, estoy de acuerdo con que la sensación de libertad es algo sustancial.

Ilya Prigogine: Sensación no: hecho. La libertad es un hecho. La idea de sensación es precisamente la idea anticuada que sobrevive de la concepción clásica. No hay razón para hablar de sensaciones.

Ramón Margalef: Bien, yo hablaba de sensaciones precisamente para no incomodar a los físicos.

René Thom: Creo que deberíamos rechazar la simple dicotomía entre la noción determinista (que significa ingenuo, simple, etc.) y la probabilística. De hecho, existen muchas situaciones que empiezan con un mecanismo muy simple (como por ejemplo con la dualidad estímulo-respuesta) y que acaban complicándose extraordinariamente. Y el tratamiento probabilístico de situaciones tan complejas ya es algo que en general no está legitimado. Lo que ocurre es que la descripción determinista de estas situaciones tan complicadas debe ser ella misma tremendamente complicada. Pero esto no significa que no exista un espectro continuo de descripciones deterministas que van desde las situaciones muy simples, que permiten la predicción, hasta esas otras que se nos antojan indescifrables e indescriptibles. Hecha esta precisión, diré que la sensación de libertad que todos tenemos puede explicarse, creo, con la ayuda de un modelo relativamente sencillo. Consiste en un mecanismo que opera en nuestro cerebro como un generador de azar cada vez que se plantea la necesidad de tomar una decisión urgente. Por ejemplo, estamos cruzando la calzada de una calle muy oscura y el semáforo de los peatones se pone rojo cuando hemos alcanzado, digamos, los dos tercios del trayecto. Se plantea una elección entre dos alternativas: continuar o regresar. El problema es que uno no puede estar demasiado tiempo elaborando esta elección. Hay que decidirse. Una solución es mejor que otra, pero lo más peligroso es no tomar ninguna decisión. Por eso creo que nuestro cerebro está dotado, por razones biológicas, de un mecanismo capaz de romper simetrías. Tal mecanismo utilizaría criterios virtualmente irrelevantes pero que nos proveen de la decisión que necesitamos. Este tipo de mecanismo es uno de los componentes claros de nuestra sensación de libre albedrío.

Peter Landsberg: Esto desplaza el problema de la libertad hacia el conocimiento de las elecciones posibles…

Ilya Prigogine: El quid de la cuestión está en que para tomar una decisión necesitamos un mecanismo, y el cerebro no es un simple receptor pasivo de información. Las decisiones son bifurcaciones producidas por un mecanismo tremendamente complicado. Existen recientes trabajos de neurofisiología que demuestran una enorme complejidad incluso en situaciones en las que no se toma ninguna decisión, como ocurre en el caso del sueño. El estado epiléptico, por ejemplo, corresponde a un comportamiento todavía más complejo y organizado que el sueño y que el estado de actividad consciente. No se trata, pues, de una especie de vacío productor de decisiones o de tiempos de espera. Se trata de una actividad del cerebro muy compleja que la ciencia empieza ya a formular con modelos matemáticos. Uno de los casos que más interés ha despertado estos últimos años es el análisis de los ritmos temporales, en particular de la generación de series musicales. ¿Cuál es la estructura profunda e intrínseca capaz de generar estas series temporales? Después de todo el propio comportamiento es, en esencia, un conjunto de series temporales.

Carles Lamote de Grignon: Debo empezar por una pequeña objeción a la utilización de los términos determinismo y libertad. Determinismo e indeterminismo me parecen adecuados para fenómenos físicos o mecánicos. La libertad, en cambio, se refiere ya a sistemas orgánicos. La libertad, determinada o no, no debe enfocarse bajo el punto de vista ontogénico, sino bajo el punto filogénico. ¿En qué momento de la evolución podemos empezar a hablar de libertad? Es evidente que la evolución se describe cada vez mejor, no con conceptos de la biología molecular (genes, enzimas, etc.), sino con conceptos culturales. Se trata de una especie de neolamarkismo que anda paralelo a cierto neodarwinismo. Las dos formas regulan indudablemente el comportamiento. Y si es así, me parece que no se puede hablar de libertad en términos radicales, sino sólo de una manera parcial; hay que hablar de grados de libertad. El profesor Waddington, por ejemplo, se refiere a dos estructuras del embrión, una determinada genéticamente y otra que se forma durante la evolución del embrión. Jacobson adopta también esta postura dualista cuando se refiere a la conectividad neuronal en neurofisiología. Dice por ejemplo: «Habrían neuronas total y específicamente programadas que darían lugar a la conducta congénita, y otro sector neuronal que estaría sólo parcialmente especificado y que daría lugar al aprendizaje y a la educación». En este aspecto, sí puede hablarse de libertad. En definitiva, somos deterministas en una primera fase y libres en una segunda, aunque sólo sea parcialmente.

Jesús Mosterín: Querría plantear de nuevo la distinción entre el problema del determinismo y el indeterminismo y el de la libertad. Está claro que, si tengo hambre, por ejemplo, es por una serie de causas físicas claras. El suceso no tiene nada de estocástico, ciertos datos previos hacen que mi sensación de hambre ocurra con probabilidad uno; mi sensación de hambre es necesaria y está perfectamente determinada. Pero, dada mi sensación determinada de hambre, puedo ser libre o no ser libre para comer (los alimentos pueden estar encerrados bajo llave). El concepto de libertad política no tiene demasiado que ver con el determinismo físico, al menos a primera vista. Sin embargo, hay un aspecto que sí incide incluso en el hombre corriente. Si pensamos en la estructura del espacio-tiempo de una manera ingenua y subjetiva, nos parecerá que hay una enorme diferencia entre pasado y futuro. El pasado se nos antoja cerrado, todo está ya establecido, todo está dado y fijado; el futuro en cambio está abierto y lleno de posibilidades y oportunidades. Es como si hubiera un solo pasado y muchos futuros. Pero por otro lado, y desde el punto de vista científico, no existe ninguna razón física para ver tal diferencia en la estructura del espacio-tiempo en torno a este particular instante que estamos viviendo (el presente). Quizás alguno de los científicos eminentes que hoy tenemos aquí pueda iluminarnos esta cuestión…

Günther Ludwig: Intentaré contestar. Hay muchas cosas de nuestro cuerpo que no están determinadas, pero la naturaleza hace verdaderos esfuerzos para que otras muchas cosas sí lo estén. La vida sería muy difícil sin cierto determinismo (es el caso del hambre, ciertamente). El cerebro no es una excepción en esto, y creo que uno puede sentirse libre sin necesidad de caer en este tipo de contradicciones. En el pasado todo está fijado; sólo existe un pasado, de acuerdo. ¿Y el futuro? Creo que no hay inconveniente para pensar en un único futuro. En el futuro también ocurre algo definido, sólo que no sabemos qué. Y no sólo eso, también podemos usar nuestro libre albedrío para intentar forzar ese «qué». Sin embargo, no hay que esperar que la física, o una teoría física, sea capaz de describir tal cosa.

Ilya Prigogine: Creo que su cuestión plantea un problema muy difícil; no debe esperar una respuesta unánime de la ciencia. Mi punto de vista difiere del profesor Ludwig. Y conste que respeto mucho al profesor Ludwig, no en vano he aprendido de él buena parte de la mecánica cuántica y le estoy muy agradecido por ello. Pero su respuesta me parece demasiado subjetivista. Hoy podemos dar un sentido microscópico a la dirección del tiempo. No es cierto que todas las teorías de la física sean simétricas con respecto al pasado y al futuro. Y no es cierto ni desde el punto de vista fenomenológico ni desde el punto de vista microscópico. Desde el punto de vista fenomenológico, piénsese por ejemplo en la expansión del universo, piénsese en la irreversibilidad involucrada en la transición de la gravitación a la materia que he comentado antes, etc. Existe, por lo tanto, una asimetría clarísima en nuestra experiencia de la física. Incluso desde el punto de vista clásico (desgraciadamente no podemos profundizar aquí en ello) y en la dinámica de sistemas inestables, la dirección del tiempo está determinada por la geometría del espacio de las fases. Por ejemplo, la dilatación en sistemas que se contraen: en este caso, el tiempo fluye en el sentido de la dilatación. Y es precisamente la dilatación el fenómeno que provoca una pérdida de información, lo que, a su vez, conduce al sistema a su futuro estado de equilibrio. En otras palabras: era precisamente la subdivisión clásica del espacio-tiempo la que podía sugerir —y dejar sin respuesta— una pregunta como la suya. Pero hoy estamos al principio de una concepción que introduce la asimetría cada vez más claramente. En la formación de biomoléculas, la irreversibilidad está en la asimetría espacial; en la evolución del universo hay que buscarla en las partículas elementales… Su pregunta, que ha sido muy correctamente planteada, empieza, pues, a tener respuesta en la física moderna.

Günther Ludwig: Estoy de acuerdo con que el tiempo está dirigido en la física, pero en mi intervención quería decir algo más que eso. En realidad, creo que la cuestión de que un ser humano perciba su pasado fijo y su futuro libre es, insisto, algo más que las propiedades físicas del tiempo.

Ilya Prigogine: Pero el ser humano pertenece a un universo en evolución. Somos parte de él, no una excepción.

René Thom: Sólo quiero hacer un breve comentario sobre la misma pregunta. Ha afirmado usted que la contingencia del futuro está fundada en el determinismo de nuestras acciones. Es decir, porque creemos en el resultado determinista de nuestras acciones, creemos también que podemos actuar sobre el futuro. No deja de ser un fenómeno extraño: el determinismo de nuestras acciones implica la contingencia del futuro.

Peter Landsberg: La filosofía se ha planteado siempre esta cuestión. Schopenhauer, por ejemplo, afirmaba que podemos hacer lo que deseamos, pero el problema está en saber si podemos desear lo que deseamos, si somos libres en los deseos. Pienso que a este nivel la cuestión es ya muy compleja y atañe casi exclusivamente a la filosofía. No estoy seguro de que la ciencia pueda ayudarnos. Es decir, la libertad del hombre es un problema realmente filosófico, y yo personalmente no veo que pueda hacer ninguna contribución basada en la ciencia que conozco. Uno, como científico, puede tener, eso sí, ciertas sensaciones. Y quizá convenga recordar aquí la posición de Einstein a este respecto que citábamos ayer el profesor Wagensberg y yo mismo en la ponencia (y que también destaca el profesor Prigogine en su último libro): «… para nosotros, físicos convencidos, el pasado y futuro no son sino ilusiones humanas…».

Ilya Prigogine: Me gustaría añadir algo a esta cita. Siempre he seguido con mucho interés las opiniones de Einstein sobre el tiempo; y con motivo de su setenta aniversario hubo una reunión científica en la que destacó una contribución de Kurt Gödel. Uno tenía la sensación de que en el universo de Gödel se puede viajar al encuentro de nuestro propio pasado según una trayectoria que se dirige al futuro. Y, en efecto, en ese artículo, Gödel se dirigía a Einstein para decirle: «… sí, tiene usted razón, su idea ha sido demostrada, vea usted, el tiempo es sólo una ilusión, con mi modelo —que satisface los criterios básicos de la relatividad general— puedo viajar a mi pasado…». Gödel incluso había hecho cálculos para determinar el costo energético de su viaje eventual. Y la reacción de Einstein fue muy interesante; dijo: «Bien, como físico, su propuesta no me parece demasiado verosímil, no creo que sea posible telefonear a nuestra propia historia». Y añadió una frase que nunca he olvidado: «… los procesos irreversibles juegan un papel fundamental en la construcción del mundo físico…». Todavía no hemos llegado plenamente a esta situación, pero estoy seguro que se alcanzará en las próximas generaciones. Creo que es éste precisamente el tipo de problema que se ha planteado aquí y pronto veremos la solución formulada en un nivel fundamental, porque la asimetría temporal se está imponiendo progresivamente en la física.

René Thom: Quiero hacer un comentario sobre el problema de la reversibilidad o irreversibilidad del tiempo. Estoy impresionado por la seguridad que demuestra el profesor Prigogine cuando se manifiesta sobre el carácter irreversible del tiempo, incluso, diría yo, cuando se refiere a la estructura local. Y a mí me parece que hay que darse cuenta de que este problema de la reversibilidad o irreversibilidad temporal en sistemas dinámicos clásicos (definidos por un flujo de variedades) no es en absoluto una cuestión de tipo local. Depende de la topología del dominio del espacio que se considere, por lo que la respuesta variará según tal dominio. Se puede considerar el problema globalmente, claro (si el conjunto de las variedades es cerrado), y encontrar una respuesta. Pero si partirnos de un flujo standard de variedades, entonces tenemos elementos locales de flujo en los que siempre existe reversibilidad temporal. Por lo tanto, decir que el tiempo es irreversible local e intrínsecamente significa, más o menos, abandonar el modelo de los sistemas diferenciales para el determinismo.

Ilya Prigogine: Sí, sí, exactamente.

René Thom: ¿Usted cree entonces que el espacio se ramifica continuamente?…

Ilya Prigogine: No, no, no. Lo que digo es que hay que abandonar la idea de los sistemas dinámicos y adoptar la idea de los semigrupos. Y los semigrupos ya no se refieren a trayectorias dinámicas individuales, sino a colecciones de trayectorias. Y es la colección de trayectorias la que exhibe un comportamiento irreversible. No se puede hablar de trayectorias individuales, porque no existe forma alguna de ir de las trayectorias individuales a los semigrupos. Por cierto, si las trayectorias individuales tuvieran algún significado, no haría falta recurrir a los semigrupos. Todo está relacionado. La trayectoria es un concepto que pierde significado cuando la información crece con la longitud de la trayectoria, y por esta razón nos vemos en situaciones en las que debemos considerar paquetes de trayectorias. Desde un punto de vista más filosófico, yo diría que nos encontramos aquí ante el problema del ser y el devenir. Y el problema del ser y el devenir es sólo un problema lógico. El ser, según la concepción determinista clásica, es algo intemporal. Futuro y pasado juegan esencialmente el mismo papel. El ser, como estado, se definía sin fecha temporal. Las leyes de la naturaleza exhibían una simetría temporal completa y propagaban simplemente tal simetría de un punto a otro. En la teoría de los procesos irreversibles, el estado de los sistemas tiene ya la simetría truncada. Las leyes de la naturaleza también tienen la simetría truncada y propagan tal simetría truncada de un punto a otro. Los dos conceptos son aceptables desde el punto de vista lógico. Pero cuando hablo de la naturaleza, ya estoy introduciendo a priori esta diferencia entre pasado y futuro (diferencia que, de hecho, introdujo ya Aristóteles). No creo que exista otra alternativa, la naturaleza tiene la simetría truncada (nosotros mismos somos una manifestación distante de ello), y leyes con simetría truncada así la propagan. No hemos hecho más que empezar a comprender esa clase de leyes. Eso es muy natural, ya que llevamos tres siglos estudiando sistemas periódicos sencillos, pero creo que he dado suficientes ejemplos como para convencer de que ya existen resultados importantes en este sentido.

René Thom: No basta con hablar de semigrupos abstractos, hay que definirlos en algún sentido. En la geometría de la transformación del panadero, que usted ha utilizado, existen puntos que son antiimágenes. Y éste es el origen de la irreversibilidad.

Ilya Prigogine: ¡El origen de la irreversibilidad está en la introducción de cierta no-localidad en el espacio!…

René Thom: ¡Exactamente!

Ilya Prigogine: …Y la no-localidad es la expresión de un hecho: ya no podemos seguir una trayectoria única, sino un paquete de trayectorias. Por lo tanto, la estructura espacio-temporal de la transformación del panadero no es puramente geométrica, sino una estructura dinámica. Muchos elementos, quizá demasiado técnicos para citarlos aquí (longitudes de Lyapunov, la entropía de Kolmogorov, etc.), pasan a formar parte de la geometría del sistema. Y así pasamos de una descripción de trayectorias individuales (o de grupo) a una de colecciones de trayectorias (o de semigrupo).