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Pensamiento fluido
La ecuación de Navier-Stokes

Cinco de los problemas del milenio, incluidos los tres discutidos hasta ahora, proceden de las matemáticas puras, aunque el problema P/NP es también fundamental para las ciencias de la computación. Los otros dos proceden de las matemáticas aplicadas clásicas y de la moderna física matemática. El problema de las matemáticas aplicadas surge de una ecuación estándar para el flujo de un fluido, la ecuación de NavierStokes, que debe su nombre al ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y el matemático y físico irlandés Georges Stokes. Su ecuación es una ecuación en derivadas parciales, lo que significa que incluye el ritmo de cambio del flujo en el espacio y en el tiempo. La mayoría de las grandes ecuaciones de las matemáticas aplicadas y de la física son también ecuaciones en derivadas parciales; acabamos de encontrar una, la de Laplace. Y las que no son de este tipo, son ecuaciones diferenciales ordinarias, que solo implican el ritmo de cambio con respecto al tiempo.

En el capítulo 8 vimos cómo el movimiento del Sistema Solar está determinado por las leyes de Newton de la gravedad y el movimiento. Estas relacionan las aceleraciones del Sol, la Luna y los planetas con las fuerzas gravitatorias que están actuando. La aceleración es el ritmo de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, y la velocidad es el ritmo de cambio de la posición con respecto al tiempo. Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial ordinaria. Como vimos, resolver tales ecuaciones puede ser muy difícil. Resolver ecuaciones en derivadas parciales es en general mucho más difícil.

Para fines prácticos, las ecuaciones para el Sistema Solar pueden resolverse numéricamente utilizando ordenadores. Esto sigue siendo difícil, pero ahora existen buenos métodos. Lo mismo es cierto para las aplicaciones prácticas de las ecuaciones de Navier-Stokes. Las técnicas utilizadas se conocen como dinámica de fluidos computacional, y tienen un amplio espectro de importantes aplicaciones: diseño de aviones, aerodinámica de automóviles, incluso problemas médicos como el flujo sanguíneo en el cuerpo humano.

El problema del premio del milenio no pide a los matemáticos que encuentren soluciones explícitas a la ecuación de Navier-Stokes, ya que esto es esencialmente imposible. Ni trata de métodos numéricos para resolver las ecuaciones, por importantes que sean estos. Lo que pide, en su lugar, es una demostración de una propiedad teórica básica: la existencia de soluciones. Dado el estado de un fluido en algún instante de tiempo —su patrón de movimiento—, ¿existe una solución de la ecuación de Navier-Stokes válida para cualquier instante futuro, a partir del estado en cuestión? La intuición física sugiere que la respuesta debe ser sin duda «sí», porque la ecuación es un modelo muy preciso de la física de los fluidos reales. Sin embargo, la cuestión matemática de la existencia no está tan clara, y esta propiedad básica de la ecuación nunca ha sido demostrada. Incluso podría no ser cierta.

La ecuación de Navier-Stokes describe cómo cambia con el tiempo la pauta de velocidades del fluido, en circunstancias dadas. A menudo se hace referencia a la ecuación utilizando el plural, ecuaciones de Navier-Stokes, pero es lo mismo. El plural refleja la visión clásica: en el espacio tridimensional la velocidad tiene tres componentes, y clásicamente cada componente aporta una ecuación, lo que hace tres en total. En la visión moderna hay una ecuación para el vector velocidad (una magnitud con tamaño y dirección), pero esta ecuación puede aplicarse a cada una de las tres componentes de la velocidad. La página web del Instituto Clay utiliza la terminología clásica, pero yo seguiré aquí la práctica moderna. Lo menciono para evitar posibles confusiones.

La ecuación data de 1822, cuando Navier escribió una ecuación en derivadas parciales para el flujo de un fluido viscoso (pegajoso). Las contribuciones de Stokes son de 1842 y 1843. Euler había escrito una ecuación en derivadas parciales para un fluido con viscosidad nula (no pegajoso) en 1757. Aunque esta ecuación sigue siendo útil, la mayoría de los fluidos reales, agua y aire incluidos, son viscosos, de modo que Navier y Stokes modificaron la ecuación de Euler para tener en cuenta la viscosidad. Ambos científicos derivaron, de forma independiente, esencialmente la misma ecuación, por lo que esta lleva el nombre de ambos. Navier cometió algunos errores matemáticos, pero terminó con la respuesta correcta; Stokes hizo bien las matemáticas, y por eso sabemos que la respuesta de Navier es correcta pese a su error. En su forma más general, la ecuación se aplica a fluidos compresibles como el aire. Sin embargo, hay un caso especial importante en el que se supone que el fluido es incompresible. Este modelo se aplica a fluidos como el agua, que se comprime cuando se somete a fuerzas enormes, aunque muy ligeramente.

Hay dos maneras de describir matemáticamente el flujo de un fluido: se puede describir la trayectoria que sigue cada partícula del fluido con el paso del tiempo, o se puede describir la velocidad del flujo en cada punto del espacio y en cada instante de tiempo. Las dos descripciones están relacionadas: dada una, se puede —con algún esfuerzo— deducir la otra. Euler, Navier y Stokes utilizaron el segundo punto de vista porque lleva a una ecuación que es mucho más tratable matemáticamente. Por eso sus ecuaciones se refieren al campo de velocidades del fluido. En cada instante de tiempo, el campo de velocidades especifica la velocidad y dirección de cada partícula del fluido. Conforme pasa el tiempo, esta descripción puede cambiar. Por esto es por lo que en la ecuación aparecen los ritmos de cambio en el espacio y en el tiempo.

La ecuación de Navier-Stokes tiene un excelente pedigrí físico. Se basa en las leyes de movimiento de Newton aplicadas a cada minúscula partícula (pequeña región) de fluido, y expresa, en dicho contexto, la ley de conservación del momento lineal. Cada partícula se mueve porque sobre ella actúan fuerzas y la ley de movimiento de Newton afirma que la aceleración de la partícula es proporcional a la fuerza. Las fuerzas principales son la fricción, debida a la viscosidad, y la presión. También hay fuerzas generadas por la aceleración de la partícula. La ecuación sigue la práctica clásica y trata el fluido como un continuo infinitamente divisible. En particular, ignora la estructura atómica discreta del fluido en escalas muy pequeñas.

Las ecuaciones por sí solas son de poco valor: hay que ser capaces de resolverlas. En el caso de la ecuación de Navier-Stokes esto significa calcular el campo de velocidades: la velocidad y dirección del fluido en cada punto del espacio y en cada instante en el tiempo. La ecuación proporciona ligaduras sobre estas cantidades, pero no las prescribe directamente. En su lugar, tenemos que aplicar la ecuación para relacionar las velocidades futuras con las actuales. Las ecuaciones en derivadas parciales como las de Navier-Stokes tienen muchas soluciones diferentes; de hecho, infinitas soluciones. Esto no es una sorpresa: los fluidos pueden fluir de muchas maneras diferentes; el flujo sobre la superficie de un automóvil difiere del flujo sobre las alas de un avión. Hay dos maneras principales de seleccionar un flujo particular de entre esta multitud de posibilidades: por las condiciones iniciales y por las condiciones de contorno.

Las condiciones iniciales especifican el campo de velocidades en un tiempo de referencia particular, que normalmente se toma como tiempo cero. La idea física es que una vez que se sabe el campo de velocidades en ese instante, la ecuación de Navier-Stokes determina de modo unívoco el campo muy poco tiempo después. Si se empieza dando al fluido un empujón, sigue en marcha aunque obedeciendo las leyes de la física. Las condiciones de contorno son más útiles en la mayoría de las aplicaciones, porque es difícil establecer condiciones iniciales en un fluido real, y en cualquier caso estas no son por completo apropiadas para aplicaciones como el diseño de automóviles. Lo que importa aquí es la forma del automóvil. El fluido viscoso se adhiere a las superficies. Matemáticamente, esta propiedad se modela especificando la velocidad en estas superficies, que forman el contorno de la región ocupada por el fluido donde la ecuación es válida. Por ejemplo, podríamos exigir que la velocidad sea cero en el contorno, o cualquier otra condición que mejor modele la realidad.

Incluso cuando se especifican condiciones iniciales o condiciones de contorno, es muy inusual poder escribir una fórmula explícita para el campo de velocidades, porque la ecuación de Navier-Stokes es no lineal. La suma de dos soluciones no es normalmente una solución. Esta es una razón por la que el problema de los tres cuerpos del capítulo 8 es tan difícil, aunque no la única razón pues el problema de dos cuerpos también es no lineal pero tiene una solución explícita.

Para fines prácticos podemos resolver la ecuación de NavierStokes en un ordenador y representar el campo de velocidades como una lista de números. Esta lista puede convertirse en gráficos elegantes y utilizarse para calcular cantidades de interés para los ingenieros, tales como las tensiones en las alas de un avión. Puesto que los ordenadores no pueden procesar listas infinitas de números, ni pueden procesar números con precisión infinita, tenemos que reemplazar el flujo real por una aproximación discreta, es decir, una lista de números que es una muestra del flujo en un número finito de lugares e instantes. La gran cuestión está en asegurar que la aproximación es suficientemente buena.

El enfoque usual consiste en dividir el espacio en un gran número de regiones pequeñas para formar una malla computacional. La velocidad se calcula solo para los puntos en los nodos de la malla. La malla podría ser simplemente un conjunto de cuadrados (o de cubos en tres dimensiones), como un tablero de ajedrez, pero en el caso de automóviles y aviones tiene que ser más complicada, con regiones más pequeñas cerca del contorno para captar los detalles más finos del flujo. La malla puede ser dinámica, cambiando de forma con el paso del tiempo. En general se supone que el tiempo avanza en pasos, que pueden ser todos del mismo tamaño o pueden cambiar de tamaño según el estado imperante del cálculo.

La base de la mayoría de los métodos numéricos es la forma en que se define «ritmo de cambio» en el cálculo infinitesimal. Supongamos que un objeto se mueve de un lugar a otro en un período de tiempo muy corto. Entonces el ritmo de cambio de la posición —la velocidad— es el cambio en la posición dividido por el tiempo que ha tardado, con un pequeño error que disminuye a medida que el intervalo de tiempo se hace cada vez menor. Así que podemos aproximar el ritmo de cambio, que es lo que entra en la ecuación de Navier-Stokes, por esta razón entre el cambio espacial y el cambio temporal. En efecto, la ecuación nos dice ahora cómo llevar un estado inicial conocido —una lista de velocidades especificada— un paso de tiempo hacia el futuro. Luego tenemos que repetir el cálculo muchas veces para ver qué sucede en un futuro cada vez más lejano. Hay una manera similar de aproximar soluciones cuando la que buscamos está determinada por condiciones de contorno. También existen muchas maneras sofisticadas de llegar al mismo resultado con más precisión.

Cuanto más fina es la malla computacional, y más cortos son los intervalos de tiempo, más precisa se hace la aproximación. Sin embargo, la computación también necesita más tiempo. Por ello hay un compromiso entre precisión y velocidad. Hablando en general, es probable que una respuesta aproximada obtenida por computación sea aceptable siempre que el flujo no tenga características importantes que sean menores que el tamaño de la malla. Existen dos tipos principales de flujo fluido: laminar y turbulento. En el flujo laminar, la pauta del movimiento es suave y las capas de fluido deslizan limpiamente unas al lado de otras. Aquí debería ser apropiada una malla pequeña. El flujo turbulento es más violento y espumoso, y el fluido se mezcla de maneras muy complejas. En tales circunstancias, una malla discreta, por fina que sea, podría causar problemas.

Una de las características de la turbulencia es la aparición de vórtices, como pequeños torbellinos, y estos pueden ser realmente minúsculos. Una imagen estándar de la turbulencia consiste en una cascada de vórtices cada vez más pequeños. La mayor parte del detalle fino es más pequeño que cualquier malla práctica. Para evitar esta dificultad los ingenieros suelen recurrir a modelos estadísticos cuando se trata del flujo turbulento. Otra preocupación es que el modelo físico de un continuo podría ser inadecuado para el flujo turbulento, porque los vórtices pueden contraerse hasta tamaños atómicos. Sin embargo, comparaciones entre cálculos numéricos y experimentos muestran que la ecuación de Navier-Stokes es un modelo muy realista y aproximado; un modelo tan bueno que muchas aplicaciones en ingeniería actuales se basan solamente en dinámica de fluidos computacional, que es barata, más que en experimentos con modelos a escala en túneles de viento, que son caros. Sin embargo, las comprobaciones experimentales como estas siguen siendo utilizadas cuando la seguridad humana es vital, por ejemplo en el diseño de aviones.

De hecho, la ecuación de Navier-Stokes es tan precisa que incluso parece aplicarse cuando la física sugiere que debería haber una probabilidad razonable de fallar: en el flujo turbulento. Al menos, este es el caso si puede resolverse con suficiente precisión. El problema principal es un problema práctico: los métodos numéricos para resolver la ecuación necesitan mucho tiempo de computación cuando el flujo se hace turbulento. Y siempre dejan fuera alguna estructura a pequeña escala.

Los matemáticos se sienten siempre incómodos cuando la información principal de que disponen para tratar un problema se basa en algún tipo de aproximación. El premio del milenio para la ecuación de NavierStokes aborda una de las cuestiones teóricas clave. Su solución reforzaría la sensación visceral de que normalmente los métodos numéricos funcionan muy bien. Hay una sutil distinción entre las aproximaciones utilizadas por el ordenador, que hacen pequeños cambios en la ecuación, y la exactitud de la respuesta, que se refiere a pequeños cambios en la solución. ¿Es una respuesta exacta a una pregunta aproximada lo mismo que una respuesta aproximada a una pregunta exacta? A veces la respuesta es «no». Por ejemplo, el flujo exacto para un fluido con una viscosidad muy pequeña suele diferir de un flujo aproximado para un fluido con viscosidad cero.

Un paso hacia la comprensión de estas cuestiones es tan sencillo que fácilmente puede pasarse por alto: demostrar que existe una solución exacta. Tiene que haber algo a lo que los cálculos por ordenador son aproximaciones. Esta observación motiva el premio del milenio para la ecuación de Navier-Stokes. Su descripción oficial en la página web del Instituto Clay consiste en cuatro problemas. Resolver cualquiera de ellos es suficiente para ganar el premio. En los cuatro, el fluido se supone incompresible. Son:

1. Existencia y suavidad de soluciones en tres dimensiones. Aquí se supone que el fluido llena todo el espacio infinito. Dado cualquier campo de velocidades suave, demostrar que una solución suave de la ecuación existe para cualquier instante positivo, coincidente con el campo inicial especificado.
2. Existencia y suavidad de soluciones en el toro plano tridimensional. La misma pregunta, pero ahora suponiendo que el espacio es un toro plano —una caja rectangular con caras opuestas identificadas—. Esta versión evita posibles problemas causados por el dominio infinito supuesto en la primera versión, que no encaja con la realidad y podría provocar mal comportamiento por tontas razones.
3. Inexistencia de soluciones en tres dimensiones. Demostrar que (1) es falso. Es decir, encontrar un campo inicial para el que no existe una solución suave para cualquier instante positivo, y demostrar dicha afirmación. 4. Inexistencia de soluciones en el toro plano tridimensional. Demostrar que (2) es falso.

Los mismos problemas siguen abiertos para la ecuación de Euler, que es la misma que la ecuación de Navier-Stokes pero supone que no hay viscosidad. Sin embargo, no se ofrece ningún premio para la ecuación de Euler.

La gran dificultad aquí es que el flujo bajo consideración es tridimensional. Hay una ecuación análoga para el fluido que fluye en un plano. Físicamente, esto representa o bien una capa delgada de fluido entre dos placas planas, que se supone que no causan fricción, o una pauta de flujo en tres dimensiones en la que el fluido se mueve exactamente de la misma manera a lo largo de un sistema de planos paralelos. En 1969 la matemática rusa Olga Alexandrovna Ladyzhenskaya demostró que (1) y (2) son verdaderos, mientras que (3) y (4) son falsos, para la ecuación de Navier-Stokes bidimensional y la ecuación de Euler bidimensional.

Puede parecer sorprendente que la demostración sea más difícil para la ecuación de Euler, incluso si dicha solución es más sencilla que la ecuación de Navier-Stokes pues omite los términos que implican viscosidad. La razón es instructiva. La viscosidad «amortigua» el mal comportamiento en la solución, que potencialmente podría llevar a algún tipo de singularidad que impida que la solución exista en cualquier instante. Si el término con viscosidad está ausente no puede ocurrir tal amortiguamiento, y esto se manifiesta como cuestiones matemáticas en la demostración de existencia.

Ladyzhenskaya hizo otras contribuciones vitales a nuestra comprensión de la ecuación de Navier-Stokes, al demostrar no solo que esas soluciones existen sino también que ciertos esquemas de dinámica de fluidos computacional se aproximan a ellas tanto como queramos.

El premio del milenio se refiere al flujo incompresible porque es bien sabido que los flujos compresibles tienen un mal comportamiento. Las ecuaciones para un avión, por ejemplo, tropiezan con todo tipo de problemas si el avión va a una velocidad superior a la del sonido. Esta es la famosa «barrera del sonido» que preocupaba a los ingenieros que trataban de diseñar aviones de reacción supersónicos, y el problema está relacionado con la compresibilidad del aire. Si un cuerpo se mueve a través de un fluido incompresible, aparta a las partículas del fluido de su camino, como cuando se hace un túnel a través de una caja llena de bolas de cojinete. Si las partículas se amontonan, frenan al cuerpo. Pero en un fluido compresible, donde hay un límite a la velocidad a la que pueden viajar las ondas (la velocidad del sonido) eso no sucede. A velocidades supersónicas, en lugar de ser apartado, el aire se comprime por delante del avión y su densidad aumenta sin límite. El resultado es una onda de choque. Matemáticamente, esto es una discontinuidad en la presión del aire, que de repente salta de un valor a otro valor diferente a través de la onda de choque. Físicamente, el resultado es un boom sónico: un sonoro bang. Si no se entiende y se tiene en cuenta, una onda de choque puede dañar al avión, de modo que los ingenieros tenían razones para preocuparse. Pero la velocidad del sonido no es realmente una barrera, sino solo un obstáculo. La presencia de ondas de choque implica que las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles no tienen por qué tener soluciones suaves todo el tiempo, ni siquiera en dos dimensiones. Así que la respuesta ya es conocida en este caso, y es negativa.

Las matemáticas de las ondas de choque son un área sustancial dentro de las ecuaciones en derivadas parciales, pese a esta inexistencia de soluciones. Aunque la ecuación de Navier-Stokes por sí sola no es un buen modelo físico para fluidos compresibles, es posible modificar el modelo matemático añadiendo condiciones extra a las ecuaciones que tienen en cuenta discontinuidades de ondas de choque. Pero las ondas de choque no se dan en el flujo de un fluido incompresible, de modo que es al menos concebible que en dicho contexto deberían existir soluciones en todo tiempo, por muy complicado que pudiera ser el flujo inicial, siempre que sea suave.

Se conocen algunos resultados posibles para la ecuación de NavierStokes tridimensional. Si la pauta de flujo inicial implica velocidades suficientemente pequeñas, de modo que el flujo es muy lento, entonces (1) y (2) son verdaderos. Incluso si las velocidades son grandes, (1) y (2) son verdaderos para un intervalo de tiempo no nulo. Puede no existir una solución válida para todo tiempo futuro, pero hay un intervalo de tiempo definido durante el que existe una solución. Podría parecer que podemos repetir este proceso, avanzando una solución en el tiempo en pequeñas cantidades y luego utilizar el resultado final como una nueva condición inicial. El problema con esta línea de razonamiento es que los intervalos de tiempo pueden contraerse tan rápidamente que un número infinito de tales pasos tardan un tiempo finito. Por ejemplo, si cada paso sucesivo tarda la mitad de tiempo del anterior, y el primer paso tarda, digamos, 1 minuto, entonces el proceso total termina en un tiempo 1 + ½ + ¼ + 1/8 + …, que es igual a 2. Si la solución deja de existir —una suposición puramente hipotética por el momento, pero que cabe contemplar— entonces se dice que la solución en cuestión explota. El tiempo que tarda en que esto suceda es el tiempo de explosión.

Así que las cuatro cuestiones preguntan si las soluciones pueden explotar. Si no pueden, (1) y (2) son verdaderos; si pueden, (3) y (4) lo son. Quizá las soluciones pueden explotar en un dominio infinito, pero no en uno finito. De paso, si la respuesta a (1) es «sí», entonces también lo es la respuesta a (2), porque podemos interpretar cualquier pauta de flujo en un toro plano como una pauta de flujo espacialmente periódica en la totalidad del espacio infinito. La idea es llenar el espacio con copias de la caja rectangular implicada y copiar la misma pauta de flujo en cada una de ellas. Las reglas de unión para un toro aseguran que el flujo sigue siendo suave cuando cruza estas interfaces planas. De modo análogo, si la respuesta a (4) es «sí», entonces también lo es la respuesta a (3), por la misma razón. Tan solo debemos hacer el estado inicial espacialmente periódico. Pero por todo lo que sabemos hoy día, la respuesta a (2) podría ser «sí» pero la respuesta a (1) podría ser «no».

Sabemos un hecho sorprendente sobre las explosiones. Si hay una solución con un tiempo de explosión finito, entonces la máxima velocidad del fluido, en todos los puntos del espacio, debe hacerse arbitrariamente grande. Esto podría ocurrir, por ejemplo, si se forma un chorro de fluido y la velocidad del chorro aumenta tan rápidamente que diverge a infinito una vez que haya pasado una cantidad de tiempo finita.

Estas objeciones no son puramente hipotéticas. Hay precedentes de este tipo de comportamiento singular en otras ecuaciones de la física matemática clásica. Un ejemplo notable se da en la mecánica celeste. En 1988 Zhihong Xia demostró que existe una configuración inicial de cinco masas puntuales en el espacio tridimensional, que obedece a la ley de la gravedad de Newton, para la que cuatro partículas desaparecen en el infinito tras un período de tiempo finito —una forma de explosión— y la quinta sufre oscilaciones cada vez más violentas. Previamente, Joseph Gerver había indicado que los cinco cuerpos en un plano podrían desaparecer en el infinito en un tiempo finito, pero no pudo completar la demostración en el escenario que él imaginaba. En 1989 demostró que este tipo de escape podía ocurrir de hecho en un plano si el número de cuerpos es suficientemente grande.

Es notable que este comportamiento sea posible, dado que tales sistemas obedecen la ley de conservación de la energía. ¿No debería aumentar la energía cinética total si todos los cuerpos se mueven con rapidez arbitraria? La respuesta es que también hay una disminución de la energía potencial, y para una partícula puntual la energía potencial gravitatoria total es infinita. Los cuerpos también deben conservar el momento angular, pero pueden hacerlo con tal de que algunos de ellos se muevan cada vez más rápidos en círculos siempre decrecientes.

El punto físico importante aquí implicado es el famoso efecto honda, que se utiliza rutinariamente para lanzar sondas espaciales a mundos distantes en el Sistema Solar. Un buen ejemplo es la sonda Galileo de la NASA, cuya misión era viajar a Júpiter para estudiar el planeta gigante y sus muchos satélites. Fue lanzada en 1989 y llegó a Júpiter en 1995. Una de las razones de que tardara tanto tiempo es que su ruta fue indirecta. Aunque la órbita de Júpiter está fuera de la de la Tierra, Galileo empezó dirigiéndose al interior, hacia Venus. Pasó cerca de Venus, volvió hacia la Tierra y se dirigió hacia el espacio exterior para examinar el asteroide 951 Gaspra. Luego volvió de nuevo hacia la Tierra, rodeó otra vez nuestro planeta hogar, y finalmente se dirigió hacia Júpiter. En el camino se acercó a otro asteroide, Ida, y descubrió que tenía su propia luna minúscula, un nuevo asteroide llamado Dactyl.

¿Por qué una trayectoria tan complicada? Galileo ganaba energía, y con ello velocidad, en cada uno de estos encuentros. Imaginemos una sonda espacial que se dirige hacia un planeta, no en curso de colisión, y que se acerca mucho a la superficie del planeta, lo rodea y sale despedida al espacio. Cuando la sonda pasa por detrás del planeta ambos se atraen mutuamente. De hecho, se han estado atrayendo todo el tiempo, pero es en esta etapa cuando la fuerza de atracción alcanza su máximo y por ello tiene el mayor efecto. La gravedad del planeta da a la sonda un impulso. La energía debe conservarse, de modo que en compensación la sonda frena al planeta muy ligeramente en su órbita en torno al Sol. Puesto que la masa de la sonda es muy pequeña y la del planeta es muy grande, el efecto sobre el planeta es despreciable. El efecto sobre la sonda no lo es: puede acelerarse de forma espectacular.

Galileo llegó a menos de 16.000 kilómetros de la superficie de Venus y ganó 2,23 kilómetros por segundo en velocidad. Luego pasó a menos de 960 kilómetros de la Tierra, y otra vez a menos de 300 kilómetros, sumando otros 3,7 kilómetros por segundo. Estas maniobras eran esenciales para llegar a Júpiter, porque sus cohetes no eran lo bastante potentes para llevarle allí directamente. El plan original consistía en hacer precisamente eso, utilizando el impulsor Centauro-G alimentado por hidrógeno líquido. Pero el desastre de la explosión de la lanzadera Challenger inmediatamente después del despegue hizo que este plan se abandonara, porque el Centauro-G fue prohibido. Por ello Galileo tuvo que utilizar un impulsor más débil de combustible sólido. La misión fue un éxito enorme, y el beneficio científico incluyó la observación de la colisión entre el cometa Shoemaker-Levy 9 y Júpiter en 1994, mientras la sonda estaba aún en ruta hacia Júpiter.

El escenario de Xia también hace uso del efecto honda. Cuatro planetas de la misma masa forman dos pares próximos, y los miembros de cada par giran en torno a su centro de masas común en dos planos paralelos^[77]. Estas raquetas de dos cuerpos juegan al tenis celeste con un quinto cuerpo, más ligero, que va y viene de una a otra en dirección perpendicular a dichos planos. El sistema está establecido de modo que cada vez que esta «pelota de tenis» pasa por un par de planetas, el efecto honda acelera la pelota y empuja el par de planetas hacia fuera a lo largo de la línea que une los dos pares, de modo que la pista de tenis se alarga y los jugadores se separan. Energía y momento se mantienen en equilibrio porque los dos planetas del par concernido se acercan ligeramente, y giran cada vez más rápidos en torno a su centro de masas. Con el montaje inicial correcto, los pares de planetas se separan cada vez con mayor rapidez, y su velocidad aumenta con tanta celeridad que llegan al infinito al cabo de un intervalo de tiempo finito. Mientras, la pelota de tenis oscila entre ellos cada vez más rápida. Los escenarios de escape de Gerver también utilizan el efecto honda.

¿Es este acto de desaparición relevante para los cuerpos celestes reales? No, si se toma literalmente. Se basa en que los cuerpos son masas puntuales. Esta es una aproximación razonable para muchos problemas en mecánica celeste, pero no lo es si los cuerpos se aproximan de modo arbitrario. Si así lo hicieran, cuerpos de tamaño finito, eventualmente colisionarían. Efectos relativistas impedirían que los cuerpos se movieran a velocidad mayor que la de la luz, y cambiarían la ley de la gravedad. En cualquier caso, las condiciones iniciales, y las suposiciones de que algunas masas son idénticas, serían demasiado raras para que se den en la práctica. Sin embargo, estos ejemplos curiosos muestran que incluso si las ecuaciones de la mecánica celeste modelan muy bien la realidad en la mayoría de las circunstancias, pueden tener singularidades complicadas que impiden que existan soluciones para todo instante. También recientemente se ha comprendido que efectos honda en sistemas de estrellas triples, en los que tres estrellas orbitan unas en torno a otras en trayectorias complicadas, pueden expulsar a una de las estrellas a gran velocidad. De modo que muchas estrellas huérfanas, expulsadas de sus sistemas por sus parientes, pueden estar recorriendo la galaxia —o incluso el espacio intergaláctico— frías, solitarias, indeseadas e inadvertidas.

Cuando una ecuación diferencial se comporta de forma tan extraña que sus soluciones dejan de tener sentido al cabo de un período de tiempo finito, decimos que hay una singularidad. El trabajo anterior sobre el problema de muchos cuerpos trata realmente de varios tipos de singularidad. El problema del premio del milenio sobre la ecuación de Navier-Stokes pregunta si pueden ocurrir singularidades en problemas de valor inicial para un fluido que ocupa la totalidad del espacio o un toro plano. Si puede formarse una singularidad en un tiempo finito, es probable que el resultado sea una explosión, a menos que la propia singularidad se deshaga de alguna manera más tarde, lo que parece poco probable.

Hay dos maneras principales de acercarse a estas cuestiones. Podemos tratar de demostrar que nunca aparecen singularidades, o podemos tratar de encontrar una escogiendo condiciones iniciales adecuadas. Las soluciones numéricas pueden ayudar en los dos casos: pueden sugerir propiedades generales útiles de los flujos, y pueden proporcionar serios esperanzadores indicios sobre la posible naturaleza de las singularidades potenciales. Sin embargo, la potencial falta de exactitud en las soluciones numéricas significa que cualquiera de tales indicios debe ser tratado con cautela y justificado con más rigor.

Los intentos de demostrar la regularidad (la ausencia de singularidades) emplean una variedad de métodos para tener control sobre el flujo. Estos incluyen complicadas estimaciones de cuán grandes o pequeñas pueden hacerse ciertas variables, o técnicas más abstractas. Una aproximación popular es por vía de las denominadas soluciones débiles, que no son exactamente flujos sino estructuras matemáticas más generales con algunas de las propiedades de los flujos. Es sabido, por ejemplo, que el conjunto de singularidades de una solución débil de las ecuaciones de Navier-Stokes tridimensionales es siempre pequeño, en un sentido técnico concreto.

Se han investigado muchos escenarios diferentes que podrían llevar a singularidades. El modelo estándar de la turbulencia como una cascada de vórtices cada vez más pequeños se remonta a Andrei Kolmogorov en 1941, y él sugirió que en escalas muy pequeñas todas las formas de turbulencia tienen un aspecto muy similar. Las proporciones de vórtices de un tamaño dado, por ejemplo, siguen una ley universal. Ahora se sabe que a medida que los vórtices se hacen más pequeños, cambian de aspecto y se hacen más largos y más finos, formando filamentos. La ley de conservación del momento angular implica que la vorticidad —con qué velocidad están girando los vórtices— debe aumentar. Esto se llama estiramiento de vórtices, y es el tipo de comportamiento que podría dar lugar a una singularidad; por ejemplo, si los vórtices muy pequeños pudieran hacerse infinitamente largos en tiempo finito y la vorticidad pudiera hacerse infinita en algunos puntos.

FIGURA 43. Zooms en un flujo turbulento, simulado con el sistema computacional VAPOR © Pablo Mininni.

La Figura 43 muestra un zoom en escalas muy pequeñas de un flujo turbulento, simulado por Pablo Mininni y colegas utilizando VAPOR, la Visualization and Analysis Platform for Ocean, Atmosphere, and Solar Research (Plataforma de Visualización y Análisis para la Investigación del Océano, la Atmósfera y el Sol). Las imágenes muestran la intensidad de la vorticidad: con qué rapidez está girando el fluido. Ilustran la formación de vórtices filamentosos, las finas y delgadas estructuras en las figuras, y muestran que pueden acumularse para formar pautas a gran escala. Su programa puede realizar simulaciones en mallas cúbicas con más de tres mil millones de puntos en la malla.

En su artículo sobre este problema en la página web del Instituto Clay^[78], Charles Fefferman escribe:

Existen muchos problemas y conjeturas fascinantes sobre el comportamiento de las soluciones de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes… Puesto que ni siquiera sabemos si estas soluciones existen, nuestro conocimiento está en un nivel muy primitivo. Los métodos estándar [ecuaciones en derivadas parciales] parecen inadecuados para dirimir el problema. Es probable que, en su lugar, necesitemos algunas ideas nuevas y profundas.

La complejidad del flujo en imágenes como las de la Figura 43 explica claramente las dificultades que es probable que encontremos cuando busquemos dichas ideas. Impertérritos, los matemáticos siguen adelante, buscando principios simples dentro de las aparentes complejidades.