A medida que el siglo XIX se aproximaba a su fin, los matemáticos empezaban a desarrollar un nuevo tipo de geometría, una en la cual los conceptos familiares como longitud y ángulo no jugaban ningún papel en absoluto y no se hacía distinción entre triángulos, cuadrados y círculos. Inicialmente se llamó análisis situs, el análisis de la posición, pero los matemáticos rápidamente fijaron otro nombre: topología.

La topología tiene sus raíces en un patrón numérico curioso del que Descartes se dio cuenta en 1639 cuando pensaba en los cinco sólidos regulares de Euclides. Descartes era un polímata nacido en Francia que pasó la mayoría de su vida en la entonces República Holandesa, los Países Bajos actuales. Su fama proviene principalmente de su filosofía, la cual resultó tan influyente que durante mucho tiempo la filosofía occidental consistía en gran parte en responder a Descartes. No siempre estaba de acuerdo, como puedes suponer, pero, no obstante, sí motivada por sus argumentos. Su cita jugosa cogito ergo sum (Pienso, luego existo) forma parte del conocimiento cultural popular. Pero los intereses de Descartes se extendían más allá de la filosofía hasta la ciencia y las matemáticas.

En 1639, Descartes volcó su atención en los sólidos regulares y fue entonces cuando se dio cuenta de un patrón numérico curioso. Un cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, la operación 6 − 12 + 8 es igual a 2. Un dodecaedro tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices, la operación 12 − 30 + 20 = 2. Un icosaedro tiene 20 caras, 30 aristas y 12 vértices, la operación 20 − 30 + 12 = 2. La misma relación se cumple para el tetraedro y el octaedro. De hecho, se cumple para un sólido de cualquier forma, regular o no. Si el sólido tiene C caras, A aristas y V vértices, entonces C − A + V = 2. Descartes vio esta fórmula como una curiosidad menor y no la publicó. Solo mucho más tarde los matemáticos realmente vieron esta ecuación pequeña y simple como uno de los primeros pasos vacilantes hacia la historia del gran éxito en las matemáticas del siglo XX, el ascenso inexorable de la topología. En el siglo XIX, los tres pilares de la matemática pura eran el álgebra, el análisis y la geometría. A finales del siglo XX, eran el álgebra, el análisis y la topología.

La topología es calificada como «la geometría de la lámina elástica» porque es el tipo de geometría que sería apropiada para figuras dibujadas en una página elástica, de modo que las líneas se pueden curvar, contraer o estirar, y los círculos pueden aplastarse de modo que se conviertan en triángulos o cuadrados. Lo único que importa es la continuidad: no está permitido partir la hoja. Podría parecer sorprendente que algo tan raro pudiese tener alguna importancia, pero la continuidad es un aspecto básico del mundo natural y una característica fundamental de las matemáticas. Hoy en día, generalmente usamos la topología indirectamente, como una de las técnicas matemáticas entre otras muchas. No encuentras nada obviamente topológico en tu cocina. Sin embargo, una compañía japonesa comercializó un lavaplatos caótico, el cual, según su departamento de marketing, limpiaba los platos más eficientemente, y nuestra comprensión del caos depende de la topología. También lo hacen aspectos importantes de la teoría cuántica de campos y la simbólica molécula del ADN. Pero cuando Descartes contó las características más obvias de los sólidos regulares y se dio cuenta de que no eran independientes, todo esto pertenecía a un futuro lejano.

Se le dejó al incansable Euler, el matemático más prolífico en la historia, probar y publicar esta relación, lo cual hizo en 1750 y 1751. Esbozaré una versión moderna. La expresión C − A + V puede parecer bastante arbitraria, pero tiene una estructura muy interesante. Las caras (C) son polígonos de dimensión 2, las aristas (A) son líneas, así que tienen dimensión 1, y los vértices (V) son puntos, de dimensión 0. Los signos de la expresión alternan, + − +, con + asignada a las características de dimensión par y − a aquellas de dimensión impar. Esto implica que puedes simplificar un sólido fusionando sus caras o eliminando sus aristas y vértices y estos cambios no alterarán el número C − A + V siempre que cada vez que elimines una cara, también elimines una arista o cada vez que elimines un vértice, también elimines una arista. Los signos que se alternan quieren decir que los cambios de este tipo se compensan.

Ahora explicaré cómo esta estructura inteligente hace que la prueba funcione. La figura 21 muestra las etapas clave. Considera tu sólido. Defórmalo para obtener una bella esfera redondeada, con sus aristas siendo curvas en esa esfera. Si dos caras se encuentran en un eje común, entonces puedes eliminar la arista y fundir las dos caras en una. Ya que esta unión reduce tanto C como A en una unidad, C − A + V no cambia. Sigue haciendo esto hasta que lo reduzcas a una sola cara, la cual cubre casi toda la esfera. Además de esta cara, te quedas solo con aristas y vértices. Estos deben formar un árbol, una cadena sin curvas cerradas, porque cualquier curva cerrada en una esfera separa al menos dos caras: una dentro y otra fuera. Las ramas de este árbol son las aristas que quedan del sólido, y se unen en los vértices que quedan. En esta etapa solo queda una cara: la esfera completa, menos el árbol. Algunas ramas de este árbol se conectan con otras ramas en ambos extremos, pero algunos, en los extremos, terminan en un vértice, al cual ninguna otra rama está vinculada. Si eliminas una de esas ramas finales junto con ese vértice, entonces el árbol se hace más pequeño, pero como tanto A como V decrecen una unidad, C − A + V de nuevo no sufre cambios.

FIGURA 21. Etapas clave en la simplificación de un sólido. De izquierda a derecha: (1) Principio. (2) Fusionando caras adyacentes. (3) El árbol que queda cuando todas las caras de han fusionado. (4) Eliminando una arista y un vértice del árbol. (5) Fin.

Este proceso continúa hasta que te quedas con un único vértice sobre una esfera, que por lo demás no tiene ninguna característica especial. Ahora V = 1, A = 0 y C = 1. De modo que, C − A + V = 1 − 0 + 1 = 2. Pero como cada paso deja sin cambios a C − A + V, su valor al principio debe haber sido también 2, que es lo que queremos probar.

Es una idea ingeniosa y contiene el germen de un principio de gran alcance. La prueba tiene dos ingredientes. Uno es un proceso de simplificación: eliminar tanto una cara como una arista adyacente o un vértice y una arista con la que se corta. El otro es un invariante, una expresión matemática que permanece sin cambios siempre que lleves a cabo un paso en el proceso de simplificación. Cuando estos dos ingredientes coexistan, puedes calcular el valor del invariante para cualquier objeto inicial simplificándolo tanto como puedas y luego calculando el valor del invariante para esta versión simplificada. Como es un invariante, los dos valores deben ser iguales. Como el resultado final es sencillo, el invariante es fácil de calcular.

Ahora tengo que admitir que me he guardado un asunto técnico en la manga. La fórmula de Descartes en realidad no se cumple para cualquier sólido. El sólido más conocido que falla es un marco de fotos. Piensa en un marco de fotos hecho con cuatro trozos de madera, cada uno rectangular en su corte transversal, unidos en las cuatro esquinas por ingletes de 45° como en la figura 22 (izquierda). Cada trozo de madera aporta 4 caras, así que C = 16. Cada trozo también aporta 4 aristas, pero el inglete crea 4 más en cada esquina, así que A = 32. Cada esquina comprende 4 vértices, así que V = 16. Por lo tanto C − A + V = 0.

¿Qué es lo que está mal?

FIGURA 22. A la izquierda: un marco con C − A + V = 0. A la derecha: configuración final cuando el marco es redondeado y simplificado.

No hay ningún problema con C − A + V siendo invariante. Tampoco es demasiado problema el proceso de simplificación. Pero si lo aplicas en el marco, siempre anulando una cara con una arista, o un vértice con una arista, entonces la configuración final simplificada no es un único vértice sobre una única cara. Anulando los elementos unos con otros del modo más obvio, lo que obtienes es la figura 22 (derecha) con C = 1, V = 1, A = 2. He redondeado las caras y las aristas por razones que rápidamente se harán evidentes. En esta etapa eliminar una arista solo funde la única cara restante consigo misma, así que los cambios en los números ya no se cancelan. Esta es la razón por la que paramos, pero tenemos el éxito asegurado de todos modos, para esta configuración, C − A + V = 0. De manera que el método funciona perfectamente. Es tan solo que da un resultado diferente para el marco. Debe haber alguna diferencia fundamental entre un marco y un cubo y el invariante C − A + V lo recoge.

La diferencia resulta ser topológica. Antes, en mi versión de la prueba de Euler, te dije que consideraras un sólido y «defórmalo para obtener una bella esfera redondeada». Pero eso no es posible para el marco. No tiene la forma de una esfera incluso después de haberlo simplificado. Es un toro, que parece un flotador hinchable con un agujero en medio. El agujero es también claramente visible en la forma original, es donde iría la foto. Una esfera, por el contrario, no tiene agujeros. El agujero en el marco es la razón de que el proceso de simplificación nos lleve a un resultado diferente. Sin embargo, finalmente podemos cantar victoria porque C − A + V es todavía invariante. De modo que la prueba nos dice que cualquier sólido que se deforma en un toro satisfará la ecuación ligeramente diferente C − A + V = 0. En consecuencia, tenemos las bases de una prueba rigurosa de que un toro no puede convertirse en una esfera, esto es, las dos superficies son topológicamente diferentes.

Por supuesto esto es intuitivamente obvio, pero ahora podemos apoyar la intuición en la lógica. Del mismo modo que Euclides empezó a partir de propiedades obvias de puntos y rectas y los formalizó en una teoría de la geometría rigurosa, los matemáticos de los siglos XIX y XX podían ahora desarrollar una teoría de la topología formal y rigurosa.

FIGURA 23. A la izquierda: toro de 2 agujeros. A la derecha: toro de tres agujeros.

No había que ser brillante para saber por dónde empezar. Existen sólidos como un toro pero con dos o más agujeros, como en la figura 23, y el mismo invariante debería decirnos algo útil sobre ellos. Resulta que cualquier sólido que se deforma en un toro de 2 agujeros satisface C − A + V = −2, cualquier sólido que se deforma en un toro de 3 agujeros satisface C − A + V = −4 y, en general, cualquier sólido deformable en un toro de g-agujeros satisface C − A + V = 2 − 2g. El símbolo de g viene por «género», el nombre técnico para el número de agujeros. Continuar con la línea de pensamiento que Descartes y Euler empezaron lleva a una conexión entre una propiedad cuantitativa de los sólidos, el número de caras, vértices y aristas y una propiedad cualitativa, tener agujeros. Llamamos a C − A + V la característica de Euler del sólido; observa que depende solo del sólido que estemos considerando y no de cómo recortemos sus caras, aristas y vértices. Esto lo hace una característica intrínseca del sólido en sí mismo.

De acuerdo, contamos el número de agujeros, una operación cuantitativa, pero «agujero» en sí mismo es cualitativo en el sentido de que no es obviamente una característica del sólido en absoluto. Intuitivamente, es una región en el espacio donde no hay sólido. Pero no cualquier región. Después de todo, esa descripción aplica a todo el espacio que rodea al sólido, y nadie lo consideraría todo como un agujero. Y también aplica a todo el espacio que rodea a la esfera… la cual no tiene un agujero. De hecho, cuanto más piensas en qué es un agujero, más te das cuenta de que es un poco peliagudo definir uno. Mi ejemplo favorito para mostrar justo cómo de confuso se vuelve todo es la forma en la figura 24, conocida como «agujero a través de un agujero en un agujero». Aparentemente puedes pasar un agujero por otro agujero, lo cual es realmente un agujero en un tercer agujero. En ese camino se encuentra la locura.

FIGURA 24. Agujero a través de un agujero en un agujero.

No importaría mucho si los sólidos con agujeros en ellos nunca apareciesen en un lugar importante. Pero a finales del siglo XIX, aparecían por todas partes en matemáticas: en el análisis complejo, en la geometría algebraica y en la geometría diferencial de Riemann. Peor, se hicieron protagonistas equivalencias de sólidos de dimensiones mayores en todas las áreas de las matemáticas pura y aplicada. Como ya apunté, la dinámica del Sistema Solar necesita 6 dimensiones por cuerpo y tienen análogos con agujeros de dimensiones mayores. De algún modo, era necesario traer un atisbo de orden al área. Y la respuesta resultó ser… invariantes.

La idea de un invariante topológico se remonta al trabajo de Gauss en magnetismo. Estaba interesado en cómo las líneas del campo magnético y eléctrico podían vincularse unas con otras, y definió un número de enlace, que cuenta cuántas veces una línea de campo se enrosca con otra. Esto es un invariante topológico; permanece igual si las curvas son continuamente deformadas. Encontró una fórmula para este número usando cálculo integral y expresó muchas veces su deseo de una comprensión mejor de las «propiedades básicas de la geometría» de diagramas. No es coincidencia que las primeras incursiones serias en dicho entendimiento viniesen a través del trabajo de uno de los estudiantes de Gauss, Johann Listing, y el asistente de Gauss, August Möbius. El Vorstudien zur Topologie (Estudios en Topología) de Listing de 1847 introdujo la palabra «topología» y Möbius hizo explícito el papel de las transformaciones continuas.

Listing tuvo una idea brillante: buscar generalizaciones de la fórmula de Euler. La expresión C − A + V es un invariante combinatorio: una característica de un modo específico de describir un sólido, basado en recortar las caras, aristas y vértices. El número g de agujeros es un invariante topológico: algo que no cambia no importa cómo se deforme el sólido mientras que la deformación sea continua. Un invariante topológico captura una característica cualitativa conceptual de una forma, uno combinatorio proporciona un método para calcularlo. Los dos juntos son muy poderosos, porque podemos usar el invariante conceptual para pensar sobre las formas y la versión combinatoria para precisar de qué estamos hablando.

De hecho, la fórmula nos permite esquivar el difícil asunto de definir «agujero». En su lugar, definimos «el número de agujeros» como un paquete, sin definir agujero o contar cuántos hay. ¿Cómo? Fácil. Tan solo reescribe la versión generalizada de la fórmula de Euler C − A + V = 2 − 2g de la forma:

g = 1 − C/2 + A/2 − V/2

Ahora calculamos g dibujando las caras y demás de nuestro sólido, contando C, A y V, y sustituyendo estos valores en la fórmula. Como la expresión es un invariante, no importa cómo troceemos el sólido, siempre obtendremos la misma respuesta. Pero nada de lo que hacemos depende de tener una definición de agujero. En su lugar, «número de agujeros» se convierte en una interpretación en términos intuitivos, derivada de observar ejemplos simples donde sentimos que sabemos lo que la frase significaría.

Puede parecer como un engaño, pero hace incursiones significativas en una cuestión fundamental en topología: ¿cuándo una forma puede deformarse de modo continuo para convertirse en otra? Esto es, por lo que a los topólogos respecta, ¿son las dos formas iguales o no? Si son iguales, sus invariantes deben también ser el mismo; por el contrario, si los invariantes son diferentes, también lo son las formas. (No obstante, a veces dos formas podrían tener el mismo invariante, pero ser diferentes, depende del invariante). Como una esfera tiene característica de Euler 2, y un toro tiene característica de Euler 0, no hay modo de deformar una esfera de manera continua para convertirla en un toro. Esto puede parecer obvio por el agujero… pero hemos visto las aguas turbulentas a las cuales ese modo de pensar nos puede llevar. No tienes que interpretar la característica de Euler con el fin de usarla para distinguir formas, y esto es decisivo.

De modo menos obvio, la característica de Euler muestra que el misterio «agujero a través de un agujero en un agujero» (figura 24) es realmente como un toro de 3 agujeros disfrazado. La mayoría de la complejidad aparente no es producto de la topología intrínseca de una superficie, sino del modo en que hemos escogido incrustarla en el espacio.

El primer teorema realmente significativo en topología se originó a partir de la fórmula para la característica de Euler. Era una clasificación completa de superficies, formas curvas bidimensionales como la superficie de una esfera o un toro. También se impusieron un par de condiciones técnicas: la superficie no debería tener límites y debería ser de extensión finita (la jerga es «compacta»).

Para este fin una superficie se describe intrínsecamente, esto es, no se concibe como existente en algún espacio que la rodea. Un modo de hacer esto es ver la superficie como un número de regiones poligonales (las cuales topológicamente son equivalentes a círculos) que están pegadas unas a otras a lo largo de sus aristas según unas reglas específicas, como las instrucciones de «pegar la lengüeta de A con la lengüeta de B» que tienes cuando montas un recortable de cartón. Una esfera, por ejemplo, puede describirse usando dos círculos, pegados el uno con el otro a lo largo de su borde. Un círculo se convierte en el hemisferio norte, el otro en el hemisferio sur. Un toro tiene una descripción especialmente elegante como un cuadrado con las aristas opuestas pegadas la una con la otra. Esta construcción se puede visualizar en un espacio circundante (figura 25), lo que explica por qué crea un toro, pero las matemáticas se pueden llevar a cabo usando tan solo el cuadrado y las reglas de pegado, y esto ofrece ventajas precisamente porque es intrínseco.

FIGURA 25. Pegando las aristas de un cuadrado hacemos un toro.

La posibilidad de pegar trozos de un borde nos lleva a un fenómeno bastante extraño: superficies con solo una cara. El ejemplo más famoso es la banda de Möbius, presentada por Möbius y Listing en 1858, la cual es una tira rectangular cuyos extremos están pegados con un giro de 180° (normalmente llamado medio giro, basado en la convención de que 360° constituye un giro completo). La banda de Möbius (véase la figura 26, izquierda), tiene una arista, que consiste en las aristas del rectángulo que no se han pegado a nada. Esta es la única arista, porque las dos aristas separadas del rectángulo están conectadas en una curva cerrada por el medio giro, lo que las une de punta a punta.

FIGURA 26. A la izquierda: banda de Möbius. A la derecha: botella de Klein. La aparente intersección consigo misma ocurre porque el dibujo se incrusta en un espacio tridimensional.

Es posible hacer un modelo de la banda de Möbius a partir de un papel, porque se incrusta de manera natural en un espacio tridimensional. La banda tiene solo una cara, en el sentido de que si empiezas a pintar una de sus superficies, y sigues por ella, finalmente cubrirás la superficie entera, por delante y por detrás. Esto sucede porque el medio giro conecta la parte de delante con la de detrás. Esto no es una descripción intrínseca, porque se apoya en la incrustación de la banda en el espacio, pero hay una equivalente, una propiedad más técnica conocida como orientabilidad, que es intrínseca.

Existe una superficie con una única cara relacionada, que no tiene ninguna arista (figura 26, derecha). Surge si pegamos dos caras de un rectángulo juntas como una banda de Möbius y pegamos los otros dos lados juntos sin ningún giro. Cualquier modelo en un espacio tridimensional tiene que pasar a través de sí mismo, incluso aunque desde un punto de vista intrínseco las reglas de pegado no introducen ningunas autointersecciones. Si esta superficie se dibuja con dicho cruce, parece una botella cuyo cuello ha sido metido a través de la pared lateral y unido al fondo. Fue inventada por Felix Klein, y es conocida como la botella de Klein, casi con seguridad una broma basada en un juego de palabras alemán, cambiando Kleinsche Fläche (superficie de Klein) por Kleinsche Flasche (botella de Klein).

La botella de Klein no tiene bordes y es compacta, de modo que cualquier clasificación de superficies debe incluirla. Es la más conocida de una familia entera de superficies de una cara y sorprendentemente no es la más simple. El honor le corresponde al plano proyectivo, que surge si pegas los pares de los lados opuestos de un cuadrado uno con otro, con un medio giro cada uno. (Esto es difícil de hacer con papel porque el papel es demasiado rígido; como la botella de Klein, se necesita que la superficie se interseque consigo misma. Se hace mejor «conceptualmente», esto es, dibujando imágenes en el cuadrado y recordando las reglas de pegado cuando las líneas se salen de las aristas y «se envuelven alrededor»). El teorema de clasificación de superficies, probado por Johann Listing alrededor de 1860, nos lleva a dos familias de superficies. Las que tienen dos caras son la esfera, toro, toro de 2 agujeros, toro de 3 agujeros, etcétera. Las que tiene solo una cara forman una familia infinita similar, empezando con el plano proyectivo y la botella de Klein. Se pueden obtener cortando un pequeño círculo de la superficie de dos caras correspondiente y pegando en su lugar una banda de Möbius.

Las superficies aparecen de manera natural en muchas áreas de las matemáticas. Son importantes en el análisis complejo, donde las superficies están asociadas con singularidades, puntos en los cuales las funciones se comportan de un modo extraño, por ejemplo, la derivada no existe. Las singularidades son la clave de muchos problemas en el análisis complejo, en cierto sentido capturan la esencia de la función. Como las singularidades están asociadas con superficies, la topología de las superficies proporciona una técnica importante para el análisis complejo. Históricamente, esto motivó la clasificación.

La mayoría de la topología moderna es sumamente abstracta, y mucho sucede en cuatro o más dimensiones. Podemos hacernos una idea de la materia en un entorno más familiar: los nudos. En el mundo real, un nudo es una maraña atada en un trozo de cuerda. Los topólogos necesitan un modo de evitar que el nudo se escape por los extremos una vez ha sido atado, de modo que unen los extremos de la cuerda formando una curva cerrada. Ahora un nudo es tan solo un círculo incrustado en el espacio. Intrínsecamente, un nudo es topológicamente idéntico a un círculo, pero en esta ocasión lo que cuenta es cómo el círculo se coloca dentro de su espacio circundante. Esto podría parecer contrario al espíritu de la topología, pero la esencia de un nudo recae en la relación entre la lazada de la cuerda y el espacio que la rodea. Considerando no solo la lazada, sino cómo se relaciona con el espacio, la topología puede abordar cuestiones importantes sobre los nudos. Entre ellas están:

• ¿Cómo sabemos que un nudo está realmente anudado?
• ¿Cómo podemos distinguir topológicamente nudos diferentes?
• ¿Podemos clasificar todos los nudos posibles?

La experiencia nos dice que hay muchos tipos de nudos diferentes. La figura 27 muestra unos pocos de ellos: el nudo simple o de trébol, el nudo de rizo, el nudo de abuelita, nudo con forma de 8, nudo Stevedore, etcétera. Está también el nudo trivial o no-nudo, una curva circular ordinaria; como el propio nombre refleja, esta curva no está anudada. Muchos tipos de nudos diferentes han sido usados por generaciones de marineros, montañeros, y boy-scouts. Cualquier teoría topológica debería, por supuesto, reflejar, esta riqueza de experiencia, pero todo tiene que probarse, rigurosamente, dentro del entorno formal de la topología, justo como Euclides tuvo que probar el teorema de Pitágoras en lugar de tan solo dibujar unos pocos triángulos y medirlos. Sorprendentemente, la primera prueba topológica de que los nudos existen, en el sentido de que hay una incrustación en el círculo que no puede deformarse y convertirse en el nudo trivial, apareció por primera vez en 1926 en el Knoten und Gruppen (Nudos y grupos) del matemático alemán Kurt Reidemeister. La palabra «grupo» es un término técnico en el álgebra abstracta, que rápidamente se convirtió en la fuente más efectiva de los invariantes topológicos. En 1927, Reidemeister, e independientemente el americano James Waddell Alexander, en colaboración con su estudiante G. B. Briggs, encontró una prueba más simple de la existencia de nudos usando el «diagrama de nudos». Esto es una caricatura del nudo, dibujado con pequeños cortes en la curva para mostrar cómo las hebras separadas se solapan, como en la figura 27. Los cortes no están presentes en el propio nudo, pero representan su estructura tridimensional en un diagrama bidimensional. Ahora podemos usar los cortes para dividir el diagrama de nudos en un número de piezas definidas, sus componentes, y luego podemos manipular el diagrama y ver qué ocurre a las componentes.

FIGURA 27. Cinco nudos y el no-nudo.

Si vuelves atrás, a cómo usaba la invariancia de la característica de Euler, verás que simplificaba el sólido usando una serie de movimientos especiales: unir dos caras eliminando una arista, unir dos aristas eliminando un punto. El mismo truco se aplica en los diagramas de nudos, pero ahora necesitas tres tipos de movimiento para simplificarlos, llamados movimientos de Reidemeister (figura 28). Cada movimiento puede llevarse a cabo en cualquier dirección: añadir o eliminar nudos, sobreponer dos hebras o separarlas, mover una hebra a través del lugar donde otras dos se cruzan.

FIGURA 28. Movimientos de Reidemeister.

Con algunos arreglos preliminares para ordenar el diagrama de nudos, tales como modificar los lugares donde las curvas se solapan si eso sucede, se puede probar que cualquier deformación de un nudo se puede representar como una serie finita de movimientos de Reidemeister aplicados a su diagrama. Ahora podemos jugar el juego de Euler, todo lo que tenemos que hacer es encontrar un invariante. Entre ellos está el grupo fundamental de un nudo, pero hay un invariante mucho más simple que prueba que el trébol realmente es un nudo. Puedo explicarlo en términos de colorear las componentes separadas en un diagrama de nudos. Empiezo con un diagrama ligeramente más complicado, con una curva extra, con el propósito de ilustrar algunas características de la idea (figura 29).

FIGURA 29. Coloreando un nudo de trébol con un giro extra.

El giro extra crea cuatro componentes separadas. Supón que coloreo las componentes usando tres colores, por ejemplo, rojo, amarillo y azul (en la figura aparecen como negro, gris claro y gris oscuro). Entonces este coloreado obedece dos reglas simples:

• Al menos se usan dos colores distintos. (Realmente se usan tres, pero esta es información extra que no necesito).
• En cada cruce, cualesquiera que sean las tres hebras cerca del cruce, todas tienen diferentes colores o todas son del mismo color. Cerca del cruce provocado por mi curva extra, las tres componentes son amarillas. Dos de estas componentes (en amarillo) se juntan en otro punto, pero cerca del cruce están separadas.

La observación maravillosa es que si un diagrama de nudos se puede colorear usando tres colores, obedeciendo estas dos reglas, entonces esto mismo es cierto después de cualquier movimiento de Reidemeister. Puedes probar esto muy fácilmente averiguando cómo los movimientos de Reidemeister afectan a los colores. Por ejemplo, si deshago mi curva extra en el dibujo entonces puedo dejar los colores sin cambios y se sigue cumpliendo todo. ¿Por qué esto es maravilloso? Porque prueba que el trébol realmente está anudado. Supón, en pro del argumento, que se puede desanudar; entonces alguna sucesión de movimientos de Reidemeister lo convierte en una curva sin nudos. Como el trébol se puede colorear obedeciendo a las dos reglas, lo mismo debe aplicar a la curva sin nudos. Pero una curva sin nudos consiste en una sola hebra sin solapamientos, así que el único modo de colorearlo es usando el mismo color en todas partes. Pero esto viola la primera regla. Incurre en una contradicción, así que no puede existir dicha sucesión de movimientos de Reidemeister, es decir, el trébol no se puede desanudar.

Esto prueba que el trébol está anudado, pero no lo distingue de otros nudos como el nudo de rizo o el nudo de Stevedore. Uno de los primeros modos efectivos de hacer esto fue inventado por Alexander. Se deriva de métodos de Reidemeister de álgebra abstracta, pero nos lleva a un invariante que es algebraico en el sentido más común del álgebra escolar. Se llama el polinomio de Alexander, y asocia a cualquier nudo una fórmula formada a partir de potencias de una variable x. Estrictamente hablando, el término «polinomio» se aplica solo cuando las potencias son enteros positivos, pero aquí también permitimos potencias negativas. La tabla 2 ofrece unos cuantos de los polinomios de Alexander. Si dos nudos en la lista tienen diferentes polinomios de Alexander, y en este caso todos lo tienen excepto el de rizo y el de la abuelita, entonces los nudos deben ser topológicamente diferentes. Lo opuesto no es cierto: el de rizo y el de la abuelita tienen el mismo polinomio de Alexander, pero en 1952 Ralph Fox probó que eran topológicamente diferentes. La prueba requiere topología sorprendentemente complicada. Fue mucho más difícil de lo que nadie se esperaba.

Después de 1960, la teoría de nudos entró en el estancamiento topológico, detenida en un vasto océano de cuestiones sin resolver, esperando un aliento de perspicacia creativa. Llegó en 1984, cuando el matemático neozelandés Vaughan Jones tuvo una idea tan simple que podría habérsele ocurrido a cualquiera a partir de Reidemeister. Jones no era un teórico de nudos, ni siquiera era topólogo. Era un analista, trabajando sobre álgebra de operadores, un área con fuertes vínculos con la física matemática. No fue una sorpresa total que la idea se aplicase a nudos, porque los matemáticos y los físicos ya sabían de las conexiones interesantes entre álgebra de operadores y trenzas, que son un tipo especial de nudo con varias hebras. El nuevo invariante de nudos que inventó, llamado el polinomio de Jones, se define también usando el diagrama de nudos y tres tipos de movimiento. Sin embargo, los movimientos no conservan el tipo de nudo topológico, no conservan el nuevo «polinomio de Jones». Sin embargo, aunque parezca mentira, puede hacerse que la idea funcione, y el polinomio de Jones es un invariante de nudos.

FIGURA 30. Movimientos de Jones.

Para este invariante, tenemos que escoger una dirección concreta a lo largo del nudo, que se muestra con una flecha. El polinomio de Jones V(x) se define como uno para el nudo trivial. Dado cualquier nudo L₀, acerca dos hebras separadas sin cambiar ningún cruce en su diagrama. Ten cuidado de alinear las direcciones como se indica, esto es la razón de que la flecha sea necesaria, y el proceso no funcione sin ella. Remplaza esa región de L₀ con dos hebras que se crucen en los dos modos posibles (figura 30). Sean los diagramas de nudos resultantes L₊ y L₋. Ahora definimos:

(x^1/2 − x^−1/2) V(L₀) = x⁻¹ V(L₊) − x V(L₋)

Empezando con el nudo trivial y aplicando dichos movimientos en el modo correcto, puedes averiguar el polinomio de Jones para cualquier nudo. Misteriosamente, resulta ser un invariante topológico. Y supera al tradicional polinomio de Alexander; por ejemplo, puede distinguir el nudo de rizo del de la abuelita, porque tienen diferentes polinomios de Jones.

El descubrimiento de Jones le hizo ganar la medalla Fields, el premio más prestigioso en matemáticas. También desencadenó el arranque de nuevos invariantes de nudos. En 1985, cuatro grupos de matemáticos diferentes, ocho personas en total, descubrieron simultáneamente la misma generalización del polinomio de Jones y presentaron sus artículos independientemente a la misma revista. Las cuatro pruebas eran diferentes, y el editor convenció a los ocho autores para unir fuerzas y publicar un artículo combinado. Su invariante es con frecuencia llamada polinomio HOMFLY, por sus iniciales. Pero incluso los polinomios de Jones y HOMFLY no respondieron completamente a los tres problemas de la teoría de nudos. No se sabe si un nudo con un polinomio de Jones 1 debe ser trivial, aunque muchos topólogos creen que esto es probablemente cierto. Existen nudos distintos topológicamente con el mismo polinomio de Jones; el ejemplo más simple conocido tiene diez cruces en su diagrama de nudos. Una clasificación sistemática de todos los posibles nudos sigue siendo una quimera matemática.

Es bonita, pero ¿es útil? La topología tiene muchos usos, pero normalmente son indirectos. Los principios topológicos proporcionan entendimiento sobre otras áreas más directamente aplicables. Por ejemplo, nuestra comprensión del caos se fundamenta en propiedades topológicas de sistemas dinámicos, tales como el extraño comportamiento del que Poincaré se dio cuenta cuando reescribió su memoria premiada (capítulo 4). La superautopista interplanetaria es una característica topológica de la dinámica del Sistema Solar.

Aplicaciones más esotéricas de la topología surgen en las fronteras de la física fundamental. Aquí el consumidor principal de la topología son los teóricos cuánticos de campos, porque la teoría de supercuerdas, la ansiada unificación de la mecánica cuántica y la relatividad, está basada en la topología. Aquí analogías del polinomio de Jones en teoría de nudos surgen en el contexto de los diagramas de Feynman, los cuales muestran cómo partículas cuánticas, como los electrones y fotones, se mueven a través del espacio-tiempo, colisionando, fusionándose y rompiéndose. Un diagrama de Feynman es un poco como un diagrama de nudos, y las ideas de Jones se pueden extender a este contexto.

Para mí, una de las aplicaciones más fascinantes de la topología es su creciente uso en biología, ayudándonos a entender el funcionamiento de la molécula de la vida, el ADN. La topología se presenta porque el ADN es una doble hélice, como dos escaleras de caracol enroscándose la una con la otra. Los dos hebras están intrincadamente entrelazadas, y procesos biológicos importantes, en particular el modo en que una célula copia su ADN cuando se divide, tienen que tener en cuenta esta topología compleja. Cuando Francis Crick y James Watson publicaron su trabajo sobre la estructura molecular del ADN en 1953, acabaron con una breve alusión a un posible mecanismo de copiado, supuestamente involucrado en la división celular, en la cual las dos hebras se separan y cada una es usada como una plantilla para una nueva copia. Eran reacios a afirmar demasiado, porque eran conscientes de que había obstáculos topológicos para separar hebras entrelazadas. Si hubiesen sido demasiado específicos sobre su propuesta podrían haber enturbiado las aguas en una etapa temprana.

Según resultaron las cosas, Crick y Watson tenían razón. Los obstáculos topológicos eran reales, pero la evolución había proporcionado métodos para vencerlos, tales como enzimas especiales que cortan y pegan hebras de ADN. No es coincidencia que una de estas se llame topoisomerasa. En la década de los noventa del siglo pasado, los matemáticos y los biólogos moleculares usaron la topología para analizar los giros y vueltas del ADN, y para estudiar cómo funciona en la célula, donde el método habitual de difracción de rayos X no puede usarse porque requiere que el ADN esté en forma cristalina.

Algunas enzimas, llamadas recombinasas, cortan las dos hebras de ADN y las vuelven a unir de un modo diferente. Para determinar cómo dicha enzima actúa cuando están en una célula, los biólogos aplican la enzima a un bucle cerrado de ADN. Luego observan la forma del bucle modificada usando un microscopio electrónico. Si la enzima une hebras distintas, la imagen es un nudo (figura 31). Si la enzima mantiene las hebras separadas, la imagen muestra dos bucles enlazados. Métodos procedentes de la teoría de nudos, como el polinomio de Jones y otra teoría conocida como «de enredos», hacen posible averiguar qué nudos y lazos se dan y esto proporciona información detallada sobre qué hace la enzima. También hacen nuevas predicciones que han sido verificadas experimentalmente, proporcionando cierta confianza para creer que el mecanismo indicado por los cálculos topológicos es correcto.^[22]

FIGURA 31. Bucle de ADN formando un nudo de trébol.

Teniendo todo esto en cuenta, no te tropezarás con la topología en tu vida diaria, aparte del lavaplatos que mencioné al principio del capítulo. Pero entre bastidores, la topología informa a todas las corrientes principales de las matemáticas, posibilitando el desarrollo de otras técnicas con usos prácticos más obvios. Este es el motivo de que los matemáticos consideren que la topología tiene una gran importancia, mientras el resto del mundo difícilmente ha oído hablar de ella.