Capítulo 1. La aurora de la física

 

Es muy difícil rastrear el origen de la ciencia física, tan difícil como rastrear el origen de muchos grandes ríos. Unas cuantas pequeñas fuentes que burbujean bajo el verde follaje de la vegetación tropical o gotean bajo las verdes cubiertas de musgo en el estéril país septentrional; unos cuantos arroyos que descienden alegremente por las laderas de la montaña y se reúnen para formar riachuelos que a su vez se juntan y forman corrientes bastante grandes para merecer el nombre de "río". Los ríos se hacen cada vez mayores, alimentados por numerosos tributarios, y, finalmente, se convierten en poderosas corrientes —sea el Mississippi o el Volga, el Nilo o el Amazonas— que vierten sus aguas en el océano.

Las fuentes que dieron origen al gran rio de la ciencia física estaban diseminadas por toda la superficie de la Tierra habitada por el homo sapiens, es decir, el hombre pensante. Parece, sin embargo, que la mayoría estaban concentradas en la punta sur de la península balcánica, habitada por el pueblo que ahora llamamos los "antiguos griegos" o al menos así nos parece a los que heredamos la cultura de estos primeros "intelectuales". Es interesante labor que, mientras otras naciones antiguas, como Babilonia y Egipto, contribuyeron en gran medida al temprano desarrollo de las matemáticas y la astronomía, fueron completamente estériles respecto al desarrollo de la física. La explicación posible de esta deficiencia, en comparación con la ciencia griega, es que los dioses de Babilonia y Egipto vivían arriba, entre las estrellas, mientras los dioses de los antiguos griegos vivían en una elevación de sólo unos 10.000 pies, en la cima del monte Olimpo y, por tanto, mucho cerca de los problemas de tejas abajo. Según una legenda, el término “magnetismo" proviene del nombre de un pastor griego, Maguno que quedó sorprendido al observar que el regatón de hierro de su bastón era atraído por una piedra (mineral de hierro magnético) que había en el borde del camino. Análogamente el término "electricidad" proviene de la palabra griega hλεκτρον (ámbar), a causa de que tal vez otro pastor helénico, al tratar de pulir un trozo de ámbar frotándolo sobre la lana de una de sus ovejas, observó que poseía la misteriosa propiedad de atraer pequeños trozos de madera.

 

1. La ley pitagórica de las cuerdas

Mientras que estos legendarios descubrimientos difícilmente encontrarían base para un litigio legal sobre la prioridad, el descubrimiento del filósofo griego Pitágoras, que vivió a mediados del siglo VI antes de Cristo está bien documentado. Convencido de que el mundo está gobernado por los números, investigó la relación entre las longitudes de las cuerdas en los instrumentos musicales que producen combinaciones armónicas de sonidos.

 

Figura 1. Ley pitagórica de las cuerdas

 

A este propósito empleó el llamado "monocordio", es decir, una sola cuerda cuya longitud se puede variar y someter a diferentes tensiones producidas por un peso suspendido a su extremo. Usando el mismo peso y variando la longitud de la cuerda, vio que los pares de sonidos armónicos se producían cuando las longitudes de la cuerda estaban en relaciones numéricas sencillas. La razón de longitud 2:1 correspondía a lo que hoy llamamos "octava'"; la razón 3:2 a una "quinta", la razón 1:3 a una "cuarta". Este descubrimiento fue probablemente la primera formulación matemática de una ley física y se puede muy bien considerar como el primer paso en el desarrollo de lo que boy conocemos como física teórica. En la moderna terminología física podemos formular de nuevo el descubrimiento de Pitágoras diciendo que la frecuencia, e s decir, el número de vibraciones por segundo de una cuerda determinada, sujeta a una tensión dada, es inversamente proporcional a su longitud. Así, si la segunda cuerda (Figura 1 b) es la mitad de larga que la primera (Figura 1a), su frecuencia será dos veces mayor. Si las longitudes de las dos cuerdas están en la proporción de 3:2 ó 4:3, sus frecuencias estarán en la proporción de 2:3 ó 3:4 (Figura 1 c, d). Como la parte del cerebro humano que recibe las señales de los nervios del oído está construida de tal forma que una sencilla relación de frecuencia como 3:4 proporciona "placer", mientras que una compleja como 137:171 "desplacer" (hecho que tendrán que explicar los futuros fisiólogos del cerebro), la longitud de las cuerdas que dan un acorde perfecto deben estar en una relación numérica sencilla. Pitágoras intentó dar un paso más al sugerir que, como el movimiento planetas "debe ser armonioso", sus distancias de la Tierra deben estar en las mismas relaciones que la longitud de las cuerdas (bajo la misma tensión) que producen las siete notas fundamentales de la lira, el instrumento musical nacional de los griegos. Esta idea ha sido probablemente el primer ejemplo de lo que ahora se llama a menudo "teoría física patológica".

 

2. Demócrito, el atomista

Otra importante teoría física que en la moderna terminología podría ser llamada "una teoría sin ninguna base experimental" pero que resultó un “sueño que se torna realidad", fue propuesta por otro griego antiguo, el filósofo Demócrito, que vivió, pensó y enseñó hacia el año 400 antes de Cristo. Demócrito concibió la idea de que todos los cuerpos materiales son agregados de innumerables partículas tan pequeñas que no son visibles por los ojos humanos. Llamó a estas partículas átomos o indivisibles (atomos) en griego, porque creía que representaban la última fase de la división de los cuerpos materiales en partes cada vez más pequeñas. Creía que hay cuatro clases diferentes de átomos: los átomos de la piedra, pesados y secos; los átomos de agua, pesados y húmedos; los átomos de aire, fríos y ligeros, y los átomos de fuego, fugitivos y calientes. Por una combinación de estas cuatro diferentes clases de átomos se suponía que están hechas todas las materias conocidas. El suelo era una combinación de átomos de piedra y agua. Una planta que crece desde el suelo bajo la influencia de los rayos solares consistía en átomos de piedra y agua del suelo y los átomos del fuego procedían Sol. Por esta causa los átomos de madera seca que han perdido sus átomos de agua pueden arder, desprendiendo átomos de fuego (llamas) y dejando átomos de piedra (cenizas). Cuando ciertas clases de piedra (minerales metálicos) son puestas a la llama, los átomos de piedra se unen a los átomos de fuego produciendo las sustancias conocidas como metales. Los metales baratos, como el hierro, contienen muy pocos átomos de fuego y, por tanto, parecen bastante apagados mientras que el oro tiene el máximo de átomos de fuego y, por esta razón, es brillante y valioso. En consecuencia, si se pudiera añadir más átomos de fuego al simple hierro ¡se podría obtener el preciado oro!

Un estudiante que dijera todo esto en su examen de química elemental seguramente sería suspendido. Pero, aunque estos ejemplos particulares de la naturaleza de la transformación química eran, desde luego, erróneos, la idea fundamental de obtener un número casi ilimitado de sustancias diferentes, por una combinación de unos cuantos elementos químicos básicos era indudablemente correcta y ahora representa el fundamento de la química actual. Sin embargo, tardó veintidós siglos, desde la época de Demócrito a la de Dalton, en demostrarse su verdad.

 

3. La filosofía aristotélica

Uno de los gigantes del antiguo mundo griego fue un hombre llamada Aristóteles, que se hizo famoso por dos razones: primera, porque era un, verdadero genio; segunda, porque fue preceptor y más tarde protegido de Alejandro Magno de Macedonia. Había nacido en el año 384 antes de Cristo, en la ciudad colonial griega de Estagira, en el mar Egeo; su padre había sido médico de la Corte de la familia real de Macedonia. A la edad de diecisiete años se trasladó a Atenas y se unió a la escuela filosófica de Platón, siendo un ardiente discípulo de Platón hasta la muerte de éste en el año 347 antes de Cristo. Después siguió un período de extensos viajes hasta que por fin regresó a Atenas y fundó una escuela filosófica llamada "peripatética" que se reunía en el Liceo. La mayor parte de las obras de Aristóteles conservadas, hasta nuestros días son los "tratados" que probablemente representan los textos de las lecciones que explicaba en el Liceo sobre diversas ramas de la ciencia. Son tratados de lógica y psicología, de la que fue el inventor, tratados sobre ciencia política y sobre diversos problemas biológicos, especialmente sobre la clasificación de las plantas y los animales.

Pero, mientras en todos estos campos hizo enormes descubrimientos que influyeron sobre el pensamiento humano durante dos milenios después de su muerte, probablemente su mayor contribución en el campo de la física fue la invención del nombre de esta ciencia que se deriva de la palabra Fysis que significa naturaleza. La deficiencia de la filosofía aristotélica en el estudio de los fenómenos físicos debe ser atribuida al hecho de que la gran inteligencia de Aristóteles no estaba orientada matemáticamente como la de otros muchos antiguos filósofos griegos. Sus ideas respecto al movimiento de los objetos terrestres y los cuerpos celestes probablemente hicieron más daño que beneficio al progreso de la ciencia. Cuando resurgió el pensamiento durante el Renacimiento, hombres como Galileo tuvieron que luchar duramente para libertarse del yugo de la filosofía aristotélica que, en aquel tiempo, considerada generalmente como "la última palabra del conocimiento", que hacía innecesarias más investigaciones sobre la naturaleza de las cosas.

 

4. La ley de la palanca de Arquímedes

Otro gran griego de la Antigüedad, que vivió un siglo después de la época de Aristóteles fue Arquímedes, padre de la ciencia mecánica, que nació en Siracusa, capital de la colonia griega de Sicilia. Como hijo de un astrónomo, se interesó muy pronto por las matemáticas, en las que adquirió una gran destreza y en el transcurso de su vida hizo una serie de contribuciones muy importantes en las diferentes ramas de la matemática. Su obra más importante en el dominio de la matemática pura fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; en efecto, de acuerdo con su deseo, su tumba está señalada por una esfera inscrita en un cilindro. En su libro titulado Psammites (o calculadores de arena) expone el método de escribir números muy largos dando a cada cifra un "orden" diferente según su posición^[1] y aplicándolo al problema de escribir el número de granos de arena contenidos en una esfera del tamaño de la Tierra.

En su famoso libro Sobre el equilibrio de las superficies (en dos volúmenes) desarrolla las leyes de la palanca y discute el problema de encontrar el centro de gravedad de cualquier cuerpo dado. A un lector moderno, el estilo con que Arquímedes escribía le parece más bien pesado y prolijo, semejante en muchos respectos al estilo de los libros de geometría de Euclides. De hecho, en la época de Arquímedes, la matemática griega estaba limitada casi exclusivamente a la geometría, porque el álgebra fue inventada mucho después por los árabes. Así, en diversas demostraciones en el campo de la mecánica y obras ramas de la física se valía de figuras geométricas más bien que formulando, como hacemos ahora, ecuaciones algebraicas. Como en la Geometría de Euclides, sobre la cual muchas veces un estudiante ha sudado en sus días escolares, Arquímedes formulaba las leyes fundamentales de la “estática" (es decir, el estudio del equilibrio) comenzando por formular los “postulados" y derivando de ellos cierto número de "proposiciones". Reproducimos el comienzo del primer volumen:

1. Pesos iguales a igual distancia están en equilibrio y pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio sino que se inclinan hacia el peso que está a mayor distancia.

2. Si estando los pesos a cierta distancia y en .equilibrio, se añade algo a uno de ellos no hay equilibrio, sino que se 'inclinan hacia aquel al cual se ha añadido algo.

3. Análogamente, si se quita algo a uno de los pesos, no están en equilibrio, si que se inclinan hacia el peso del que no se ha quitado nada.

4. Si figuras planas iguales y similares coinciden cuando se superpone una a otra, sus centros de gravedad también coinciden.

5. Si las figuras son desiguales pero similares, sus centros de gravedad estarán situados similarmente. Entiendo por puntos situados similarmente en relación con figuras similares, puntos tales que si se trazan, líneas a su través a los ángulos iguales, resultan ángulos iguales con los lados correspondientes.

6. Si dos pesos a cierta distancia están en equilibrio, otros dos pesos iguales a ellos estarán también en equilibrio a las mismas distancias. ¿No está claro?)

7. En una figura cuyo perímetro es cóncavo en la misma dirección, el centro de gravedad debe estar dentro de la figura.

 

A estos postulados siguen quince proposiciones derivadas de ellos por directos argumentos lógicos. Damos aquí las primeras cinco proposiciones, omitiendo su prueba y citamos las pruebas exactas de la sexta proposición que implica la ley fundamental de la palanca.

Proposiciones.

1. Pesos que se equilibran a igual distancia, son iguales.

2. Pesos desiguales a igual distancia no se equilibrarán, sino que se inclinarán hacia el peso mayor.

3. Pesos desiguales a distancias desiguales se equilibrarán (o más bien pueden equilibrarse) cuando el peso mayor está a menor distancia.

4. Si dos pesos iguales no tienen el mismo centro de gravedad, el centro gravedad de los dos juntos es el punto medio de la línea que une sus centros gravedad.

5. Si tres pesos iguales tienen sus centros de gravedad en línea recta a distancias iguales, el centro de gravedad del sistema coincidirá con el del peso del medio.

 

Veamos ahora la prueba de la proposición sexta, modernizándola ligeramente en obsequio del lector:

6. Dos pesos se equilibran a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.

 

Supongamos que los pesos A y B son conmensurables^[2] y los puntos representan sus centros de gravedad (Figura 2 a).

 

Figura 2. Prueba arquimédica de la ley de la palanca.

 

Tracemos la línea ab dividida en g, de modo que

 

A : B = bg : ga

 

Tenemos que probar que g es el centro de gravedad de los dos pesos tomados en conjunto. Como A y B son conmensurables, también lo serán bg y ga. Supongamos que µs es la medida común de bg y ga. Hagamos ad igual a gb y as igual a gb.

Entonces as = gb, puesto que bs = ga. Por tanto, sd está dividida en dos partes iguales en a como lo está de en b. Así pues, sd y de deben contener cada una a mu, un número par de veces.

Tomemos un peso W tal que W esté contenido varias veces en A como mu está contenido en de, de donde:

 

A:W = rs:mu

pero

B:A=ga:bg=de:sd

 

Por tanto, ex aequalisB:W = de:mu, o sea, que W está contenido varias veces en B como mu es contenido en de: Así pues, W es una medida común de A y B.

Dividamos sd y de en partes cada una igual a mu y A y B en partes a W. Las partes de A serán, por tanto, iguales en número a las de sd, y las partes de B serán iguales en número a las de.

Coloquemos una de las partes A en el punto medio de cada parte µu y de sd y una de las partes de B en el punto medio de cada parte mu de de (Figura 2 b).

Entonces, el centro de gravedad de las partes de A situadas a igual distancia de sd estará en a, el punto medio de sg, y el centro de gravedad de las partes de B situadas a distancias iguales a lo largo de de estará en B punto medio de. Pero el sistema formado por las partes W de A y B juntas es un sistema de pesos iguales en números situados a igual distancia a lo largo de se. Y como sa = gb y ag = ge; así que g es el punto medio de se. Por tanto, g es el centro de gravedad del sistema colocado a lo largo de se. Por tanto, A actuando en a y B actuando en b se equilibran sobre d punto g.

Esta proposición es seguida de la séptima en la cual se prueba la misma tesis cuando los pesos son inconmensurables^[3].

El descubrimiento del principio de la palanca y sus diversas aplicaciones produjo gran sensación en el mundo antiguo, como puede verse en la descripción dada por Plutarco en su "Vida de Marcelo", un general romano que capturó Siracusa durante la segunda guerra púnica y que fue en parte responsable del asesinato de Arquímedes, que había contribuido en gran medida a la defensa de la ciudad construyendo ingeniosas máquinas de guerra. Escribe Plutarco:

Arquímedes, que era pariente y amigo del rey Hierón de Siracusa, escribióle que con una potencia dada se puede mover un peso dado, y envalentonado, como suele decirse, por la fuerza de su demostración, declaró que si hubiera otro mundo y pudiera ir a él, podría mover éste. Hierón quedó asombrado y le pidió que pusiera en práctica su proposición y le mostrara algún gran peso movido por una ligera fuerza. Arquímedes, entonces, escogió un mercante de tres palos de la flota real que fue arrastrado a tierra gracias al esfuerzo de muchos hombres y después.de poner a bordo a muchos pasajeros y a la carga acostumbrada, se sentó a cierta distancia y sin gran esfuerzo, sino poniendo tranquilamente en movimiento, con su mano un sistema de poleas compuestas, lo arrastró hacia él tan suavemente como si estuviera deslizándose en el agua.

 

Figura 3. Si el brazo izquierdo de la palanca es tres veces más largo que el derecho, el movimiento del extremo izquierdo (aa’) es tres veces mayor que el movimiento del brazo derecho (bb').

 

El principio de la palanca desempeña un papel importante en todos los caminos de la vida, desde el labrador que emplea una barra de hierro para mover un pesado peñasco, hasta la complicada maquinaria empleada en la ingeniería moderna. La ley de la palanca formulada por Arquímedes nos permite introducir el importante concepto mecánico de trabajo desarrollado por una fuerza actuante. Supongamos que tratamos de levantar una piedra pesada (fig. 3) usando una palanca de hierro con una relación entre sus brazos de ag : gb = 3 : 1. Podemos, por presión sobre el extremo de la palanca, hacerlo con una fuerza tres veces menor que la fuerza de gravedad que actúa sobre la piedra. Es claro que cuando se eleva la piedra, por ejemplo, una pulgada, el extremo de la palanca desciende 3 pulgadas (bb'). Así deducimos que el producto de la fuerza con la que presionamos sobre el extremo multiplicado por su desplazamiento hacia abajo es igual al peso de la piedra multiplicado por su desplazamiento hacia arriba. El producto de la fuerza por el desplazamiento del punto a que se aplica es el trabajo efectuado por de acuerdo con la ley de la palanca de Arquímedes, el trabajo por la mano que empuja hacia abajo el extremo largo de la barra de hierro es igual al trabajo efectuado por su extremo corto al elevar la piedra. Esta tesis puede ser generalizada a todo género de trabajo mecánico; por ejemplo, el trabajo realizado por los mozos de mudanzas subiendo un gran piano tres pisos es igual al trabajo de subir tres, grandes pianos tan sólo un piso^[4].

 

Figura 4. El principio de la polea.

 

El principio del trabajo igual, realizado por los dos brazos de palanca puede ser aplicado también a otro aparato análogo, la polea, empleada por Arquímedes para mover un pesado barco con gran sorpresa del rey Hierón Si para elevar un gran peso, hacemos correr una cuerda atada a él a través de una rueda fija en una viga de madera (Figura 4 a), el peso será elevado la distancia (l) igual a la longitud (d), de la cuerda cobrada, y la fuerza (F₁) aplicada al extremo será igual al peso. Pero si disponemos dos ruedas en la forma indicada en la Figura 4 b, habremos cobrado dos veces la longitud de la cuerda y la fuerza que hemos de aplicar será tan solo la mitad del peso. En la disposición mostrada en la Figura 4c, la fuerza necesaria para elevar el peso será únicamente de un sexto mientras que el peso no será elevado más que un sexto de la longitud cobrada de la cuerda.

 

5. La ley de Arquímedes de los cuerpos flotantes

Probablemente el descubrimiento más conocido de Arquímedes es su ley sobre la pérdida de peso que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido. La ocasión que le llevó a su descubrimiento ha sido descrita por Vitruvio con las siguientes palabras:

En el caso de Arquímedes, aunque hizo muchos maravillosos descubrimientos de todo género, sin embargo; de todos, el siguiente que vamos a relatar parece haber sido el resultado de una ilimitada ingeniosidad. Hierón, después de conquistar el poder real en Siracusa, resolvió como consecuencia de su feliz proeza colocar en cierto templo unta corona de oro que había prometido a los dioses inmortales. Contrató el trabajo a un precio fijo y pesó una exacta cantidad de oro que dio al contratista. Este, en la fecha .acordada, entregó con satisfacción del rey una pieza de orfebrería exquisitamente terminada y se vio que el peso de la corona correspondía exactamente al del oro entregado. Pero más adelante se formuló la acusación de que se había sustraído oro y se labia añadido un peso equivalente de plata en la manufactura de la corona. Hierón, ofendido por haber sido engañado, y no sabiendo cómo robar el robo, requirió a Arquímedes para que estudiara el asunto. Arquímedes, preocupado siempre por el caso, fue un día al baño y al meterse en la bañera observó que cuanto más se sumía su cuerpo tanta más agua rebosaba de la bañera. Como esto indicaba la manera de resolver el caso en cuestión, sin demorarse un momento y transportado de alegría, saltó fuera de la bañera y corrió por la casa desnudo, gritando a grandes voces que había encontrado  lo que estala buscando: mientras gritaba repetidamente en griego: ¡eureka, eureka!

Considerando esto como el comienzo de su descubrimiento, se dice' que hizo dos masas del mismo peso que la corona, una de oro y la otra de plata. Después llenó una gran vasija hasta el mismo borde e introdujo la masa de plata. El agua que rebasó era igual en volumen al de la plata introducida en la vasija. Después, sacándola volvió a introducir la cantidad perdida de agua, empleando una medida de cuartillo hasta dejar el nivel del borde como había estado antes. Así encontró que el volumen de la plata correspondía a una determinada cantidad de agua.

Después de este experimento, hizo lo mismo introduciendo la masa de oro en la vasija llena y sacándola y midiendo como antes, vio que no se había perdido tanta agua, sino que una cantidad más pequeña; es decir, tanto menos necesitaba una masa de oro comparada con una masa de plata del mismo peso.

Por último, llenando la vasija e introduciendo la corona en la misma cantidad de agua encontró que rebasaba más agua que para la masa de oro del mismo peso. De aquí, razonando sobre el hecho que se había perdido más agua en el caso de la corona que en el de la masa oro, descubrió la mezcla de plata con el oro y patentizó el robo del contratista.

La prueba que dio Arquímedes de su ley en su libro Sobre los cuerpos flotantes, algo pesada aunque completamente correcta; la reproduciremos aquí, aunque en un idioma más moderno, considerando lo que ocurrirá si sumergimos una esfera de metal sólido en un cubo de agua. Supongamos que primero tomamos en vez de una esfera de hierro una esfera de plástico muy delgado del mismo diámetro, llena de agua. Como puede prescindirse del peso de la envoltura de plástico, la situación será la misma que si el agua de la bolsa fuera parte del agua del cubo y la balanza señalará cero. Sustituyamos ahora el agua de la bolsa con hierro que es siete veces más pesado que el mismo volumen de agua. Como una libra de agua fue soportada por el resto del agua del cubo con la balanza señalando cero, el cambio del agua por el hierro añadirá solamente 7 - 1 = 6 libras adicionales que es lo que señalará la balanza en este caso. Así, deducimos que la esfera de hierro que pesaba en el aire 7 libras, pierde 1 libra al ser sumergida; es decir, el peso del agua que desplaza. Esta es la ley de Arquímedes según la cual todo cuerpo sólido sumergido en un líquido pierde el peso del líquido desplazado por él.

 

6. Arquímedes, consejero militar

Además de ser un gran matemático y el fundador de la ciencia de la mecánica, Arquímedes sirvió también, dicho en términos modernos, como "consejero para la industria y las fuerzas armadas". La más conocida de sus invenciones de ingeniería es el llamado "tornillo de Arquímedes" (Figura 5), empleado para elevar agua. Este aparato, cuyo funcionamiento se comprende por sí solo, ha sido empleado ampliamente en los regadíos y para extraer de las minas el agua subterránea.

 

Figura 5. El tornillo de Arquímedes para elevar agua simplemente con hacerlo girar. Para comprender cómo trabaja, piénsese lo que ocurre en las partes bajas del tubo cuando gira y se verá que ascienden, no el tubo mismo, sino las posiciones del contenido "mínimo" de agua. Puede ayudar a la comprensión hacer una espiral con un alambre metálico y ver lo que ocurre cuando gira alrededor de su eje.

 

La participación de Arquímedes en los trabajos militares comenzó a lo que parece con su demostración de la polea al rey Hierón.

Según la dramática descripción de Plutarco en la Vida de Marcelo, al ver como Arquímedes movía el barco sin ningún esfuerzo, Hierón quedó pasmado y convencido del poder del arte, encargó a Arquímedes que le construyese toda especie de máquinas de sitio, bien fuese para defenderse o bien para atacar; de las cuales él no había hecho uso, habiendo pasado la mayor parte de su vida libre de guerra y en la mayor comodidad, pero entonces tuvieron los siracusanos prontos para aquel menester las máquinas y el artífice.

Al acometer, pues, los romanos por dos partes, fue grande el sobresalto de los siracusanos y su inmovilidad a causa del miedo, creyendo que nada había que oponer a tal ímpetu y a tantas fuerzas, pero poniendo en juego Arquímedes sus máquinas se enfrentó a un mismo tiempo al ejército y a la armada de aquéllos. Al ejército, con armas arrojadizas de todo género y con piedras de una mole inmensa, despedidas con increíble violencia y celeridad, las cuales, no habiendo nada que resistiera a su peso, obligaban a muchos a la fuga y rompían la formación. En cuanto a las naves, a unas las asían por medio de grandes maderos con punta que repetidamente aparecieron en el aire saliendo desde la muralla y alzándose en alto con unos contrapesos, las hacían luego sumirse en el mar, y a otras, levantándolas rectas por la proa con garfios de hierro semejantes al pico de las grullas, las hacían caer en el agua por la popa o atrayéndolas y arrastrándolas con máquinas que calaban adentro, las estrellaban en las rocas y escollos que abundaban bajo la muralla, con gran ruina de la tripulación. A veces hubo naves que eran suspendidas en alto dentro del mismo mar y arrojadas en él y vuelta a levantar, fue un espectáculo terrible, hasta que, estrellados o expelidos los marineros, vino a caer vacía sobre los muros o se deslizó por soltarse del garfio que la asía. La máquina que Marcelo traía sobre el puente llamábase "sambuca", por la semejanza de su forma con aquel instrumento músico. Cuando todavía estaba bien lejos de la muralla, se lanzó contra ella una piedra de peso de diez talentos y luego segunda y tercera, de las cuales algunas, cayendo sobre la misma máquina con gran estruendo y conmoción, destruyeron el peso, rompieron su enlace y destruyeron el puente; con lo que, confundido y dudoso Marcelo, se retiró a toda prisa con las naves y dio orden para que también se retirasen las tropas. Tuvieron consejo y les pareció probar si podrían aproximarse a los muros por la noche, porque siendo de gran fuerza las máquinas que usaba Arquímedes no podían menos de hacer largos sus tiros, y puestos ellos allí serían del todo vanas por no tener la proyección bastante espacio. Mas a lo que parece, aquél se había prevenido de antemano con instrumentos que tenían movimientos proporcionados a toda distancia, con dardos cortos y no largas lanzas, teniendo además prontos escorpiones que, por muchas y espesas troneras, pudiesen herir de cerca sin ser vistos de los enemigos.

Acercáronse, pues, pensando no ser vistos, pero al punto dieron otra vez con los dardos y eran heridos con piedras que les caían sobre la cabeza perpendicularmente; y como del muro también tirasen por todas partes contra ellos, hubieron de retroceder; y aun cuando estaban a distancia, llovían los dardos y les alcanzaban en la retirada, causándoles gran perdida y un continuo choque de las naves unas contra otras, sin que en nada pudiesen ofender a los enemigos porque Arquímedes había puesto la mayor parte de sus máquinas al abrigo de la muralla. Parecía, por tanto, que los romanos hacían la guerra a los dioses, según repentinamente habían venido sobre ellos millares de plagas.

Marcelo pudo retirarse y motejando a sus técnicos y fabricantes de máquinas: "¿No cesaremos —les decía— de guerrear contra ese geómetra Briareo, que usando nuestras naves como copas, las ha arrojado y todavía se aventaja a los fabulosos centimanos, lanzando contra nosotros tal copia de dardos?”. Y, en realidad, todos los siracusanos venían a ser como el cuerpo de las máquinas de Arquímedes y una sola alma la que todo lo agitaba y ponía en movimiento, no empleándose para nada las demás armas y haciendo la ciudad uso de solas aquéllas para ofender y defenderse.

Por fin, echando de ver Marcelo que los romanos habían cobrado tal horror, que lo mismo era ponerse mano sobre la muralla con una cuerda o en un madero, empezaban a gritar que Arquímedes ponía en juego una máquina contra ellos y volvían en fuga la espalda, tuvo que cesar en toda invasión y ataque, remitiendo sólo al tiempo el término feliz del asedio^[5].

Cuando después de dos años de sitio, en el año 212 antes de Cristo, Siracusa fue, por fin, capturada por las legiones romanas, un destacamento de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes que estaba absorto en el patio trasero tratando algunas complicadas figuras geométricas en la arena.

Noli tangere circulos meos (No toquéis mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados, pisó sobre ellos. En respuesta, el soldado traspasó con su lanza el cuerpo del anciano filósofo.

Cuando Cicerón fue cuestor, al visitar a Sicilia en 137 antes de Cristo, encontró la tumba de Arquímedes, cerca de la puerta Agrigentina, cubierta de abrojos y zarzales. "Así —escribió Cicerón— esta ciudad, la más famosa y más culta de Grecia, habría ignorado la tumba de su ciudadano más ingenioso si no la hubiera descubierto un hombre de Arpinum.''

 

7. La escuela alejandrina

Con la decadencia del poder político y económico de Atenas, el centro de la cultura griega se trasladó a Alejandría, fundada en el año 332 antes de Cristo, en la costa egipcia del Mediterráneo por Alejandro Magno como puerto clave para el comercio entre Europa y el Oriente. Por entonces Alejandría había llegado a ser una hermosa ciudad con "4.000 palacios, 4.000 baños, 12.000 jardineros, 40.000 judíos que pagan tributo y 400 teatros y otros lugares de esparcimiento". También se enorgullecía con una Universidad importante y una gran biblioteca que, desgraciadamente, fue destruida después por las llamas como resultado de un incendio general de la ciudad producido por la orden de Julio César de quemar la flota egipcia en el puerto. En Alejandría escribió Euclides sus Elementos de Geometría, y Arquímedes adquirió su conocimiento de las ciencias cuando llegó allí como un joven estudiante de Siracusa.

En el campo de la astronomía, Alejandría estuvo representada por Hiparco, que vivió a mediados del siglo II antes de Cristo. Hiparco llevó a la mayor precisión posible en aquel tiempo la observación de la posición de las estrellas y formó un catálogo de 1.080 estrellas que todavía se emplea por los astrónomos modernos como la fuente de referencia para los datos antiguos sobre las posiciones estelares. También descubrió el fenómeno de la precesión de los equinoccios, que son los puntos de la esfera celeste en que el Sol atraviesa el Ecuador celeste en su movimiento anual entre las estrellas. Este fenómeno es debido al hecho de que el eje de rotación de la tierra, al estar inclinado respecto al plano de su órbita, describe un cono en el espacio en torno de la línea perpendicular a la órbita en un período de 26.000 años. La causa de este movimiento fue descubierta casi dos mil años después por Sir Isaac Newton.

En cuanto a la física, la Escuela alejandrina está representada por Herón (o Hero), que fue más bien un ingeniero inventor que un físico. Su libro Mecánica contiene muchas afirmaciones exactas, pero también muchos errores matemáticos.

A pesar de sus defectos en el tratamiento matemático de los problemas fundamentales, el libro de Herón sobre mecánica contiene la descripción de un gran número de aparatos tales como poleas compuestas, varios tipos de engranajes y mecanismos de ruedas dentadas, etc. En su libro sobre "pneumática" expone el principio del sifón y un aparato de chorro de vapor, semejante a un corriente aspersor para prados, que, sin embargo, puede ser considerado como el precursor de los modernos motores de propulsión a chorro.

Herón escribió también un libro titulado Catóptrica, que contiene la teoría de los espejos y sus aplicaciones prácticas. Leemos en él:

La catóptrica es patentemente una ciencia digna de estudio y al mismo tiempo produce espectáculos que despiertan la admiración del observador. Porque con la ayuda de esta ciencia se construyen espejos que muestran el lado derecho al lado derecho y de modo análogo el lado izquierdo, mientras que los espejos corrientes tienen por su naturaleza la propiedad contraria y muestran los lados opuestos.

 

Esto se consigue colocando dos espejos sin marcos, borde contra borde, y en ángulo recto uno con otro.

Es posible con la ayuda de espejos ver las propias espaldas. (A la manera como el peluquero muestra al cliente el corte de pelo en la parte posterior del cuello) y verse invertido, sostenido sobre la cabeza, con tres ojos y dos narices, las facciones como deformadas por un intenso pesar. (Como en los espejos de un parque de diversiones.)

Quién no considera útil que podamos observar alguna vez, mientras estamos dentro de nuestra casa, las personas que están en la calle y lo que están haciendo?

Las ideas de Hierón sobre la naturaleza de la luz se evidencian en lo que sigue:

Precisamente todos los que han escrito de dióptrica han estado en duda de por qué los rayos procedentes de nuestros ojos son reflejados por los espejos y por qué las reflexiones son en ángulos iguales. Ahora bien, la proposición de que nuestra vista se dirige en líneas rectas procedentes del órgano de visión, puede ser demostrada como sigue. Cualquier cosa que se mueve sin cambiar de velocidad se mueve en línea recta. Las flechas que disparamos con arcos pueden servir de ejemplo. Porque, a causa de la fuerza impulsora, el objeto en movimiento tiende a moverse siguiendo la distancia más corta posible, porque no tiene tiempo a un movimiento más lento, esto es, para moverse sobre una trayectoria más larga. La fuerza impulsora no permite esa retardación. Y así, por razón de su velocidad, el objeto tiende a moverse por el camino más corto. Pero la más corta de todas las líneas que tienen el mismo punto final es la línea recta. Que los rayos procedentes de nuestros ojos se mueven con velocidad infinita puede inferirse de la siguiente consideración. Cuando después de haber cerrado los ojos los abrimos y miramos al cielo no se necesita ningún intervalo de tiempo para que los rayos visuales alcancen el cielo. En efecto, vemos las estrellas tan pronto como las miramos, aunque podemos decir que la distancia es infinita. Además, si la distancia fuera mayor, el resultado sería el mismo, de suerte que es patente que los rayos son emitidos con velocidad infinita. Por tanto, no sufrirán ni interrupción ni curvatura, pero se moverán a lo largo del camino más corto, una línea recta.

 

Este pasaje revela el hecho curioso de que Herón y a lo que parece todos sus contemporáneos creían que la visión es debida a algunos rayos emitidos por los ojos y reflejados por el objeto, lo que es el mismo principio del radar actual.

Otro gran alejandrino fue el astrónomo Claudio Ptolomeo (no confundirle con los miembros de la dinastía ptolemaica que reinó en Egipto muchos años antes de la era cristiana), que vivió y trabajó durante la primera mitad del siglo II después de Cristo. Las observaciones de Ptolomeo sobre las estrellas y planetas, reunidos en su libro conocido como el Almagesto, representan un importante añadido a los datos obtenidos por Hiparco dos siglos y medio antes. Su contribución importante a la física está contenida en su libro Óptica, que nos ha llegado en una traducción latina de la última versión árabe del manuscrito griego original. En este libro, Ptolomeo discute entre otros casos la importante cuestión de la refracción de la luz al pasar de un medio a otro. Escribe:

Los rayos visuales pueden ser alterados de dos maneras: por reflexión, es decir, rechazados por objetos, llamados espejos, que no permiten la penetración, y por curvatura (es decir, refracción) en el caso de medios que permiten la penetración y tienen una designación común ("materias trasparentes") por la razón de que el rayo visual penetra en ellos.

 

Explica el fenómeno de refracción por el sencillo experimento siguiente, mediante una moneda colocada en el fondo de una vasija llena de agua Ramada un "baptistir”^[6] (Figura 6 a).

 

Figura 6. Experimentos de Ptolomeo sobre la refracción de la luz: a) La moneda en el fondo de una vasija llena de agua parece estar más alta que lo que está en realidad. b) El aparato para estudiar la refracción de la luz. Ptolomeo medía la relación entre el ángulo dzh en el agua y el ángulo aze en el aire y establecía la dependencia entre ellos.

 

Supongamos que la posición del ojo es tal que el rayo visual que procede de él, pasando sobre el borde del baptistir, alcance un punto más alto que la moneda. Entonces, sin que se altere la posición de la moneda, echamos agua lentamente en el baptistir hasta que el rayo que pasa exactamente por el borde se curve hacia abajo y caiga sobre la moneda. El resultado es que el objeto que antes no se veía se ve entonces en la línea recta que va desde el ojo al punto sobre la verdadera posición del objeto. Ahora bien, el observador no supondrá que el rayo visual se ha curvado hacia el objeto sino que el objeto mismo está flotante y se ha levantado hacia el rayo. Por tanto el objeto aparecerá en la perpendicular trazada desde el ala superficie del agua.

Más tarde, en el texto, Ptolomeo describe un experimento encaminado a estudiar en detalle las leyes de la refracción de la luz.

El grado de refracción que se produce en el agua y que puede ser observado se determina por un experimento como el que hemos realizado con la ayuda de un disco de cobre al examinar las leyes de los espejos. En este disco se trata un círculo abgd (fig. 6 b) con el centro en s y los diámetros asg y dsb que se cortan en ángulo recto. Dividimos cada cuadrante en noventa partes iguales y colocamos sobre el centro una marca roja muy pequeña. Entonces ponemos este disco vertical en una pequeña vasija y echamos en esta agua clara en cantidad moderada de modo que la visión no quede obstruida. Pongamos la superficie del disco, quedando perpendicular a la superficie del agua, de modo que sea dividido por el agua en dos partes iguales quedando medio círculo —y sólo medio círculo, que es bgd— enteramente bajo el agua. Tracemos el diámetro asg perpendicular a la superficie del agua.

Tomemos ahora un arco medido, por ejemplo ae, desde el punto a en uno de los dos cuadrantes del disco que están sobre el nivel del agua. Coloquemos en e una pequeña marca de color. Con un ojo miremos a las marcas en e y en s, ambas aparecerán en una línea recta a partir del ojo. Al mismo tiempo, movamos una pequeña y delgada regla a lo largo del arco gd del cuadrante opuesto, que está debajo del agua, hasta que la extremidad de la regla aparezca en el punto de la prolongación de la línea que une e y s. Ahora, si medimos el arco entre el punto g y el punto h en el cual la regla aparece en la línea antes dicha encontraremos que este arco, gh, siempre es más pequeño que el arco ae.

Si miramos a lo largo de la perpendicular as, el rayo visual no se curvará, sino que caerá sobre y opuesto a a y en la misma línea recta que as. Sin embargo, en todas las demás posiciones, cuando el arco ae aumenta, también aumenta el arco gh pero el grado de curvatura del rayo será progresivamente mayor.

 

 

Este es el método por el cual hemos descubierto el grado de refracción en el caso del agua.

 

Figura 7. La relación entre las tablas de las cuerdas de Plutarco y las modernas tablas trigonométricas. Plutarco establecía las longitudes de las cuerdas ADB para las diversas longitudes de los arcos ACB. En la trigonometría moderna se establece la relación de la longitud AD (media cuerda) respecto al arco AC. La longitud AD se llama seno y la longitud OD coseno de este ángulo.

 

Asimismo Ptolomeo estudió por un método similar la refracción de la luz en el límite entre el agua y el cristal y encontró que en este caso la curvatura del rayo es mayor. No intentó, sin embargo (o si lo intentó no lo consiguió), expresar los resultados de sus observaciones por medio de una fórmula matemática; la formulación matemática de la ley de refracción de la luz no se encontró hasta el siglo XVII. Es bastante irónico que pudo haberlo hecho fácilmente porque el aparato matemático implicado en la formulación de esta ley era la relación entre arcos y cuerdas expuestas por Plutarco siglo y medio antes y desarrollada por él mismo con gran extensión en el Almagesto en relación con las observaciones astronómicas.

El problema era encontrar la relación de la cuerda ADB correspondiente al arco ACB del círculo de radio unidad (Figura 7).

Empleando ingeniosos métodos matemáticos, Ptolomeo construyó una tabla, de la cual reproducimos una parte:

 

 

Esta tabla corresponde a lo que ahora conocemos como tablas trigonométricas de los senos, con la única diferencia que sólo se usan medios arcos (el ángulo AOC) y medias cuerdas AD. La longitud AD, cuando el radio es la unidad, se la conoce como seno de AOC, mientras la distancia OD es coseno de AOC. Las funciones trigonométricas son sumamente útiles para resolver diversos problemas geométricos que implicaran longitudes y ángulos.

Si Ptolomeo hubiera comparado los resultados de su experimento sobre la refracción de la luz con su tabla de senos, hubiera visto que la razón del seno del ángulo de incidencia con el seno del ángulo de refracción es una constante para cada par de sustancias. No lo hizo, y esta ley de la refracción no fue descubierta hasta catorce siglos más tarde por el matemático y astrónomo inglés Willebrord Snell. Como veremos más adelante, la ley de Snell es de extraordinaria importancia para la comprensión de la naturaleza de la luz.

La obra de Ptolomeo ha sido la última gran contribución de la antigua cultura griega al desarrollo de la ciencia y después de su muerte comenzó a decaer rápidamente la investigación en Alejandría. Probablemente, el último nombre que puede ser mencionado en relación con la escuela de Alejandría es el de Hypatia, hija del matemático Theon, y, por su parte, profesora de ciencia y filosofía. Vivió en el reinado del emperador romano Julián el Apóstata, que trató de proteger la sabiduría griega y los dioses griegos contra el poder cada vez mayor de la Iglesia cristiana. La reacción que se produjo después de su muerte tuvo por resultado, en el año 415 de nuestra Era, una gran revuelta antigriega organizada por el obispo Kirilos de Alejandría. Hypatia fue despedazada por las masas cristianas y los restos de la biblioteca de la ciudad fueron destruidos.

 

Notas: