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La música de los átomos

El interior del átomo es un lugar extraño. Si pudiésemos posarnos sobre un protón y mirar hacia el espacio interatómico, solo veríamos el vacío. Los electrones serían imperceptiblemente diminutos aun cuando se acercasen tanto que pudiésemos tocarlos, cosa que rara vez sucedería. El diámetro del protón es aproximadamente de 10^–15 metros (0,000000​000​000​001 metros), un coloso cuántico en comparación con los electrones. Si estuviésemos sobre nuestro protón en el extremo sur de Inglaterra, los acantilados blancos de Dover, el límite impreciso del átomo se encontraría en algún lugar entre las granjas del norte de Francia. Los átomos son inmensos y vacíos, lo que significa que nosotros mismos, a escala real, somos también inmensos y vacíos. El hidrógeno es el átomo más sencillo, compuesto por un solo protón y un solo electrón. Parece que el electrón, minúsculo hasta donde sabemos, tiene un territorio ilimitado por el que vagar, pero eso no es cierto. Está ligado al protón, atrapado por su atracción electromagnética mutua, y son el tamaño y la forma de esta espaciosa prisión los que dan lugar al característico código de barras multicolor de la luz que tan minuciosamente documentó en su Handbuch der Spectroscopie nuestro viejo amigo e invitado a las recepciones, el profesor Kayser.

Ahora estamos en disposición de aplicar el conocimiento que hemos acumulado hasta este momento a la cuestión que tanto intrigó a Rutherford y Bohr, entre otros, en las primeras décadas del siglo XX: ¿qué sucede exactamente en el interior de un átomo? El problema, recordemos, era que Rutherford descubrió que el átomo se comporta en cierto sentido como un Sistema Solar en miniatura, con un núcleo denso en el centro, que hace las veces de Sol, y los electrones como planetas que giran a su alrededor en órbitas lejanas. Rutherford sabía que este modelo no podía ser correcto, porque si los electrones orbitasen alrededor del núcleo deberían emitir luz continuamente. El resultado sería catastrófico para el átomo, porque si el electrón emite luz continuamente debería perder energía y caer hasta chocar inevitablemente con el protón. Evidentemente, esto no sucede. Los átomos suelen ser estables. ¿Dónde está el fallo?

Este capítulo marca un antes y un después en el desarrollo de este libro, porque por primera vez vamos a aplicar nuestra teoría para explicar fenómenos del mundo real. Todo nuestro esfuerzo hasta este momento se ha centrado en desarrollar el formalismo básico para pensar sobre una partícula cuántica. El principio de indeterminación de Heisenberg y la ecuación de De Broglie representan el culmen de nuestros logros, pero por lo general hemos sido prudentes y hemos imaginado un universo que contenía una sola partícula. Ha llegado el momento de mostrar cómo afecta la teoría cuántica al mundo cotidiano en el que vivimos. La estructura de los átomos es algo muy real y tangible. Estamos compuestos de átomos: su estructura es nuestra estructura, y su estabilidad es nuestra estabilidad. No sería exagerado afirmar que entender la estructura de los átomos es una de las condiciones necesarias para entender el universo en su conjunto.

Dentro de un átomo de hidrógeno, el electrón está atrapado en una región alrededor del protón. Empezaremos por imaginar que el electrón está atrapado en una especie de caja, lo cual no dista mucho de la realidad. Específicamente, investigaremos hasta qué punto la física de un electrón atrapado en una caja minúscula recoge las características principales de un átomo real. Procederemos aprovechando lo que hemos aprendido en el capítulo anterior sobre las propiedades ondulatorias de las partículas cuánticas, porque, cuando se trata de describir átomos, la representación ondulatoria simplifica mucho las cosas y podemos hacer grandes progresos sin tener que preocuparnos de los tamaños, manecillas o la adición de relojes. No obstante, conviene que tengamos siempre presente que las ondas son un sustituto práctico para lo que sucede «bajo el capó».

Como el marco conceptual que hemos desarrollado es muy similar al que se utiliza para la descripción de las ondas en el agua, las ondas sonoras, o las que se producen en las cuerdas de una guitarra, primero reflexionaremos sobre cómo se comportan estos tipos de ondas materiales, que nos resultan más familiares, cuando están confinadas de alguna manera.

En general, las ondas son complicadas. Imaginemos que saltamos a una piscina llena de agua. El agua salpicará en todas direcciones, y podría parecer fútil tratar de describir lo que sucede de alguna manera sencilla. Sin embargo, bajo la complejidad subyace una simplicidad oculta. Lo más importante es que el agua en una piscina está confinada, lo que significa que todas las ondas están atrapadas en su interior. Esto da lugar al fenómeno conocido como «ondas estacionarias». Las ondas estacionarias quedan ocultas en el caos que provocamos cuando perturbamos la piscina al lanzarnos a ella, pero hay una forma de hacer que el agua se mueva de tal manera que oscile siguiendo los patrones regulares y repetitivos de las ondas estacionarias. La figura 6.1 muestra el aspecto de la superficie del agua cuando experimenta ese tipo de oscilación. Los picos y los valles suben y bajan, pero lo fundamental es que lo hacen en el mismo lugar. Hay otras ondas estacionarias, incluida una en la que el agua en mitad del tanque sube y baja rítmicamente. No solemos verlas, porque es difícil producirlas, pero lo importante es que cualquier perturbación del agua —incluso la que provocamos con nuestro poco agraciado chapuzón y posterior chapoteo— se puede expresar como una combinación de distintas ondas estacionarias. Ya hemos visto este tipo de comportamiento antes: es una generalización directa de las ideas de Fourier que hemos comentado en el capítulo anterior, en el que hemos visto que cualquier paquete de ondas se puede construir a partir de una combinación de ondas, cada una de ellas con longitud de onda definida. Estas ondas especiales, que representan estados de la partícula con momento bien definido, son sinusoidales. En el caso de las ondas confinadas en el agua, la idea se generaliza de manera que cualquier perturbación se puede describir mediante una combinación de ondas estacionarias. Más adelante en este capítulo veremos que las ondas estacionarias poseen una importante interpretación en la teoría cuántica, y de hecho son claves para entender la estructura de los átomos. Teniendo esto en cuenta, analicémoslas con más detalle.

FIGURA 6.1. Seis instantáneas sucesivas de una onda estacionaria en un tanque de agua. El tiempo avanza desde la imagen superior izquierda hasta la inferior derecha.

La figura 6.2 muestra otro ejemplo de ondas estacionarias en la naturaleza: tres de las ondas estacionarias que pueden existir en una cuerda de guitarra. Cuando pulsamos una cuerda, la nota que oímos normalmente está dominada por la onda estacionaria de mayor longitud de onda (la primera de las tres que aparecen en la figura), que se conoce, tanto en física como en música, como el «armónico más bajo» o «fundamental». Normalmente, también están presentes otras longitudes de onda, denominadas «sobretonos» o «armónicos superiores». Las otras ondas en la figura son los dos sobretonos de mayor longitud de onda. La guitarra es un buen ejemplo, porque es lo suficientemente sencilla como para ver por qué sus cuerdas solo pueden vibrar a esas longitudes de onda especiales. Se debe al hecho de que la cuerda está fija en ambos extremos (por el puente de la guitarra y por el dedo que la pulsa contra el traste, respectivamente). Esto significa que la cuerda no se puede mover en esos dos puntos, lo cual determina las longitudes de onda permitidas. Si usted toca la guitarra, conocerá estos efectos físicos de manera instintiva: si deslizamos el dedo por el mástil hacia el puente, reducimos la longitud de la cuerda y, por lo tanto, la obligamos a vibrar con longitudes de onda cada vez más cortas, que corresponden a notas cada vez más altas.

FIGURA 6.2. Las tres ondas de mayor longitud de onda que caben en una cuerda de guitarra. La mayor longitud de onda (en el extremo superior) corresponde al armónico más bajo (fundamental) y las otras dos, a armónicos más altos (sobretonos).

El armónico más bajo es la onda que tiene solo dos puntos estacionarios, o «nodos»: los dos extremos fijos. Como podemos ver en la figura, la longitud de onda de esta nota es el doble que la longitud de la cuerda. La siguiente longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda, porque puede existir otro nodo en el centro. A continuación, podemos tener una longitud de onda igual a ²/₃ de la longitud de la cuerda, etcétera.

En general, igual que en el caso del agua confinada en una piscina, dependiendo de cómo se toque, la cuerda vibrará con una combinación de las distintas ondas estacionarias posibles. La forma real de la cuerda siempre se puede obtener sumando las ondas estacionarias correspondientes a cada uno de los armónicos presentes. Los armónicos y sus intensidades relativas le proporcionan al sonido su tono característico. Diferentes guitarras tendrán diferentes distribuciones de armónicos y, por lo tanto, sonarán distintas, pero un do central (un armónico puro) en una guitarra es siempre el mismo que un do central en otra. En la guitarra, la forma de las ondas estacionarias es muy simple: son ondas sinusoidales puras cuyas longitudes de onda están determinadas por la longitud de la cuerda. En la piscina, las ondas estacionarias son más complejas, como se ve en la figura 6.1, pero la idea es exactamente la misma.

Quizá se pregunte por qué estas ondas especiales se llaman «estacionarias». La razón es que su forma no varía. Si tomamos dos instantáneas de una cuerda de guitarra vibrando en una onda estacionaria, ambas imágenes solo diferirán en la amplitud de la onda. Los picos siempre estarán en el mismo sitio, igual que los nodos, porque están determinados por los extremos fijos de la cuerda o, en el caso de la piscina, por sus bordes. Matemáticamente, podríamos decir que las ondas en ambas instantáneas difieren solo en un factor multiplicativo. Este factor varía periódicamente con el tiempo y refleja la vibración rítmica de la cuerda. Lo mismo sucede con la piscina de la figura 6.1, donde cada instantánea está relacionada con las demás por un factor multiplicativo general. Por ejemplo, la última se puede obtener a partir de la primera multiplicando la altura de la onda en cada punto por menos uno.

En resumen, las ondas que están confinadas de alguna manera siempre pueden expresarse en función de ondas estacionarias (ondas cuya forma no varía) y, como hemos dicho, hay razones de peso para dedicar tanto tiempo a entenderlas. La primera de ellas es el hecho de que las ondas estacionarias están cuantizadas. Esto es evidente en las ondas estacionarias en una cuerda de guitarra: la fundamental posee una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda, y la del siguiente armónico permitido coincide con la longitud de la cuerda. No hay ninguna onda estacionaria cuya longitud de onda esté entre las de esas dos, por lo que podemos decir que las longitudes de onda permitidas en una cuerda de guitarra están cuantizadas.

Así pues, las ondas estacionarias ponen de manifiesto el hecho de que algo se cuantiza cuando confinamos ondas. En el caso de la guitarra, es claramente la longitud de onda. En el del electrón dentro de una caja, las ondas cuánticas correspondientes al electrón también estarán confinadas, por lo que, por analogía, cabría esperar que en la caja solo estén presentes algunas ondas estacionarias y, por lo tanto, algo esté cuantizado. Otras ondas simplemente no pueden existir, igual que la cuerda de una guitarra no toca al mismo tiempo todas las notas en una octava, con independencia de cómo se pulse. Como sucede con el sonido de la guitarra, el estado general del electrón estará descrito por una combinación de ondas estacionarias. Estas ondas cuánticas estacionarias empiezan a parecer muy interesantes. Así que vamos a comenzar ya nuestro análisis.

Para poder avanzar, debemos especificar la forma de la caja en cuyo interior colocaremos nuestro electrón. Para simplificar, supondremos que el electrón es libre de saltar de un sitio a otro dentro de una región de tamaño L, pero tiene totalmente prohibido aventurarse fuera de ella. No necesitamos decir cómo pensamos impedir que el electrón se escape, pero, ya que se supone que es un modelo simplificado del átomo, podemos imaginar que la responsable de su confinamiento es la fuerza que ejerce la carga positiva del núcleo. En la jerga de nuestra disciplina, esto se conoce como un «pozo de potencial cuadrado». Hemos esbozado la situación en la figura 6.3, que debería dejar claro por qué lo llamamos así.

FIGURA 6.3. Un electrón atrapado en un pozo de potencial cuadrado.

La idea de confinar una partícula en un potencial es muy importante, y la volveremos a utilizar en el futuro, por lo que conviene cerciorarse de que entendemos exactamente lo que esto significa. ¿Cómo atrapamos realmente las partículas? Es una cuestión muy sofisticada: para llegar al fondo del asunto, necesitamos entender cómo interactúan las partículas entre sí, algo que veremos en el capítulo 10. No obstante, podremos seguir avanzando siempre que no nos hagamos demasiadas preguntas.

La capacidad de «no hacer demasiadas preguntas» es una habilidad necesaria en física, porque, para poder responder a cualquier pregunta, debemos trazar la línea en algún lugar. Ningún sistema de objetos está perfectamente aislado. Parece razonable pensar que, si queremos entender cómo funciona un horno microondas, no necesitamos preocuparnos por los detalles del tráfico que circula por la calle, que tendrá una pequeñísima influencia en el funcionamiento del horno. Inducirá vibraciones en el aire y en el suelo que sacudirán el horno muy ligeramente. También podría haber campos magnéticos extraviados que influyan sobre la electrónica interna del horno, por muy bien aislada que esté. Es posible cometer errores al ignorar estas cosas, porque se nos podría escapar algún detalle crucial. Si ese es el caso, simplemente obtendremos un resultado incorrecto y tendremos que volver a valorar nuestras hipótesis. Esto es muy importante, y guarda una estrecha relación con el éxito de la ciencia: todas las hipótesis son, en última instancia, refrendadas o refutadas por los experimentos. La naturaleza es el árbitro, no la intuición humana. Nuestra estrategia aquí pasa por ignorar los detalles del mecanismo que confina el electrón y modelarlo mediante algo denominado potencial. En realidad, la palabra «potencial» no significa más que «un efecto sobre la partícula debido a algún sistema físico que no me molestaré en explicar en detalle». Más adelante, dedicaremos un tiempo a describir en detalle cómo interactúan las partículas, pero de momento emplearemos el lenguaje de los potenciales. Si todo esto parece un poco arrogante, pongamos un ejemplo para ilustrar cómo se utilizan los potenciales en física.

La figura 6.4 ilustra una bola atrapada en un valle. Si le damos una patada rodará pendiente arriba, pero solo hasta cierto punto, y después volverá rodando hacia abajo. Es un excelente ejemplo de una partícula atrapada por un potencial. En este caso, el campo gravitatorio terrestre genera el potencial y la inclinación de la colina da lugar a un potencial empinado. Debería estar claro que podríamos calcular en detalle cómo rueda una bola por un valle sin conocer los entresijos de la interacción del suelo del valle con la bola (para lo cual necesitaríamos tener conocimientos sobre la teoría de la electrodinámica cuántica). Si resultase que los detalles de las interacciones entre los átomos de la bola y los del suelo del valle afectan demasiado al movimiento de la bola, entonces nuestras predicciones serían incorrectas. De hecho, las interacciones interatómicas son importantes porque dan lugar al rozamiento, aunque también podemos modelarlas sin adentrarnos en los diagramas de Feynman. Pero nos vamos por las ramas.

FIGURA 6.4. Una bola en reposo en el fondo del valle. La altura del terreno por encima del nivel del mar es directamente proporcional al potencial que la partícula experimenta cuando asciende.

Este ejemplo es muy tangible porque, literalmente, podemos ver la forma del potencial.^[6.1] Sin embargo, la idea es más general y asimismo vale para potenciales distintos de los creados por la gravedad y los valles. Un ejemplo es el electrón atrapado en un pozo cuadrado. A diferencia del caso de la bola en el valle, la altura de las paredes no es la altura real de ninguna cosa, sino que representa lo rápido que debe moverse un electrón para poder escapar del pozo. Para el caso del valle, esto sería análogo a hacer que la bola rodase tan rápido que subiese toda la ladera hasta salir del valle. Si el electrón se mueve lo suficientemente despacio, entonces la altura concreta del potencial no tendrá mucha importancia, y podremos suponer sin problemas que el electrón está confinado en el interior del pozo.

Centrémonos ahora en el electrón atrapado dentro de una caja descrita por un pozo de potencial cuadrado. Puesto que no puede escapar de la caja, las ondas cuánticas deben hacerse cero en los bordes de la caja. Las tres ondas cuánticas posibles con las mayores longitudes de onda serán entonces completamente análogas a las de la cuerda de guitarra de la figura 6.2: la mayor longitud de onda posible es el doble del tamaño de la caja, 2L; la siguiente es igual al tamaño de la caja, L; y la tercera tiene una longitud de onda de 2L/3. En general, podemos encajar en la caja ondas de electrón cuya longitud de onda sea 2L/n, donde n = 1, 2, 3, 4…

Por lo tanto, para la caja cuadrada en particular, las ondas de electrón tienen precisamente la forma de las ondas en una cuerda de guitarra: son ondas sinusoidales con un conjunto muy particular de longitudes de onda permitidas. Ahora podemos hacer uso de la ecuación de De Broglie del capítulo anterior para relacionar la longitud de onda de estas ondas sinusoidales con el momento del electrón a través de la fórmula p = h/λ. En cuyo caso, las ondas estacionarias describen un electrón cuyo momento solo puede tomar determinados valores, dados por la relación p = nh/(2L), donde lo único que hemos hecho ha sido insertar en la ecuación de De Broglie las longitudes de onda permitidas.

Y así es como hemos demostrado que el momento del electrón en un pozo de potencial cuadrado está cuantizado. Esto es muy importante. No obstante, debemos tener cuidado. El potencial de la figura 6.3 es un caso especial; en general, para otros potenciales, las ondas estacionarias no son sinusoidales. La figura 6.5 muestra las ondas estacionarias en un tambor. Sobre la piel del tambor se ha echado un poco de arena, que se acumula en los nodos de las ondas estacionarias. Puesto que la frontera de la piel del tambor vibrante es circular, en lugar de cuadrada, las ondas estacionarias ya no son sinusoidales.^[6.2] Esto significa que, análogamente, en cuanto pasemos al caso más realista de un electrón atrapado por un protón, sus ondas estacionarias tampoco serán sinusoidales. Lo cual a su vez implica que se pierde la relación entre la longitud de onda y el momento. ¿Cómo debemos entonces interpretar estas ondas estacionarias? ¿Qué es lo que suele estar cuantizado en partículas atrapadas si no es su momento?

FIGURA 6.5. Un tambor vibrando y cubierto de arena. La arena se acumula en los nodos de las ondas estacionarias.

Obtendremos la respuesta si nos fijamos en que, en el pozo de potencial cuadrado, si el momento del electrón está cuantizado, también lo está su energía. Esta es una observación sencilla y parece que no contiene información nueva importante, puesto que entre la energía y el momento existe una relación simple. En particular, la energía es E = p²/2m, donde p es el momento del electrón atrapado y m es su masa.^[6.3] Sin embargo, esta no es una observación tan trivial como podría parecer porque, para potenciales que no sean tan simples como el pozo cuadrado, cada onda estacionaria siempre corresponde a una partícula con energía bien definida.

La diferencia importante entre energía y momento surge porque E = p²/2m solo es cierto cuando el potencial es plano en la región donde la partícula puede existir, lo que permite que la partícula se mueva libremente, como una canica sobre la superficie de una mesa o, mejor aún, un electrón en un pozo cuadrado. En general, la energía de la partícula no será igual a E = p²/2m, sino que vendrá dada por la suma de la energía debida a su movimiento y su energía potencial. Esto quiebra la sencilla relación entre la energía de la partícula y su momento.

Podemos ilustrar la idea pensando de nuevo en la bola en un valle, representada en la figura 6.4. Si al inicio la bola reposa tranquilamente en el fondo del valle, entonces no sucede nada.^[6.4] Para hacer que suba por la ladera, tendremos que darle una patada, que equivale a decir que habrá que proporcionarle energía. En el instante posterior a la patada, toda su energía estará en forma de energía cinética. A medida que ascienda por la pendiente, la bola se irá ralentizando hasta que, a cierta altura por encima del fondo del valle, se detenga y empiece a rodar de nuevo hacia abajo, para después comenzar a subir por la otra ladera. En el momento en que se detiene a media ladera, no posee energía cinética. Pero la energía no ha desaparecido como por arte de magia, sino que toda su energía cinética se ha transformado en energía potencial, igual a mgh, donde g es la aceleración debida a la gravedad sobre la superficie terrestre y h es la altura de la bola por encima del fondo del valle. A medida que la bola rueda de vuelta hacia abajo, esta energía potencial acumulada se convierte de nuevo progresivamente en energía cinética mientras la bola va ganando velocidad. Así, mientras la bola rueda de una ladera del valle a otra, la energía total permanece constante, pero alterna periódicamente entre las formas cinética y potencial. Sin duda, el movimiento de la bola varía constantemente, pero su energía permanece constante (hemos supuesto que no hay rozamiento que ralentice su movimiento; si lo incluyésemos la energía total seguiría siendo constante, pero solo si incluyésemos también la que se disipa a través del rozamiento).

Ahora analizaremos la relación entre las ondas estacionarias y las partículas con energía definida desde otro punto de vista, sin recurrir al caso especial del pozo cuadrado. Lo haremos utilizando nuestros pequeños relojes cuánticos.

Pero antes fijémonos en que, si un electrón está descrito por una onda estacionaria en algún instante, seguirá estando descrito por esa misma onda en cualquier momento posterior. Entendemos por «la misma» que la forma de la onda no varía, como sucedía con la onda estacionaria en el agua de la figura 6.1. Por supuesto, no queremos decir que la onda no cambie en absoluto: la altura del agua sí varía, pero lo importante es que la posición de los picos y los valles no lo hace. Esto nos permite imaginar cómo debe ser la descripción mediante relojes cuánticos de una onda estacionaria, que se ilustra en la figura 6.6 para el caso de la onda fundamental. Los tamaños de los relojes a lo largo de la onda reflejan la posición de los picos y nodos, y las manecillas giran todas al mismo ritmo. Esperamos que se entienda por qué hemos dibujado esta disposición de relojes en particular. Los nodos siempre deben ser nodos, los picos siempre deben ser picos y deben permanecer siempre en el mismo lugar. Esto significa que los relojes situados en las proximidades de los nodos deben ser siempre muy pequeños, y los que representan los picos serán siempre los que tengan las manecillas más largas. Por lo tanto, la única libertad de que gozamos es la de permitir que los relojes permanezcan donde los colocamos y que giren de forma coordinada.

FIGURA 6.6. Cuatro instantáneas de una onda estacionaria en momentos sucesivos. Las flechas representan las manecillas y la línea de puntos es la proyección sobre la dirección de las «12 en punto». Todos los relojes giran al unísono.

Si estuviésemos siguiendo la misma metodología que en los capítulos anteriores, ahora partiríamos de la configuración de relojes que aparece en la fila superior de la figura 6.6 y utilizaríamos las reglas de la longitud y el giro de las manecillas para generar las tres filas inferiores de la figura, que representan sendos instantes posteriores. Este ejercicio de calcular los saltos de los relojes es quizá excesivo para este libro, pero se puede hacer, y es particularmente interesante porque para hacerlo de un modo correcto es necesario incluir la posibilidad de que la partícula «rebote en las paredes de la caja» antes de saltar a su destino. Por cierto, puesto que los relojes son más grandes en el centro, podemos concluir inmediatamente que es más probable encontrar un electrón descrito por esta disposición de relojes en el centro de la caja que en los bordes.

Así, hemos descubierto que el electrón atrapado está descrito por una serie de relojes que giran todos al unísono. Los físicos no suelen hablar de este modo, y los músicos aún menos: ambos dicen que las ondas estacionarias son ondas de frecuencia definida.^[6.5] Las ondas de alta frecuencia corresponden a relojes cuyas manecillas giran más rápido que las de los relojes de las ondas de baja frecuencia. Si un reloj gira más rápido, disminuye el tiempo que tarda un pico en transformarse en valle y en volver a ser un pico (representado por una sola rotación de la manecilla del reloj). En términos de ondas en agua, las ondas estacionarias de alta frecuencia suben y bajan a mayor velocidad que las de baja frecuencia. En música, se dice que un do central tiene una frecuencia de 262 hercios, lo que significa que, en una guitarra, la cuerda vibra arriba y abajo 262 veces por segundo. El la por encima del do central tiene una frecuencia de 440 hercios, lo que significa que vibra más rápido (por convención, esta nota sirve de referencia para la afinación de la mayoría de las orquestas y los instrumentos musicales del mundo). Pero, como hemos comentado antes, solo en el caso de las ondas puramente sinusoidales estas ondas de frecuencia bien definida poseen también una longitud de onda de onda definida. En general, la frecuencia es la magnitud fundamental para describir las ondas estacionarias.

Así pues, la pregunta del millón de dólares es ¿qué significa decir que un electrón tiene determinada frecuencia? Recordemos que esos estados del electrón nos interesan porque están cuantizados y porque un electrón que se encuentre en uno de esos estados permanece en él indefinidamente (a menos que algo penetre en la región del potencial y le dé un porrazo).

La última frase nos da la pista que necesitamos para establecer el significado de la «frecuencia». Unas páginas atrás nos hemos topado con la ley de la conservación de la energía, que es una de las pocas leyes indiscutibles de la física. La conservación de la energía exige que, si un electrón dentro de un átomo de hidrógeno (o de un pozo cuadrado) posee una determinada energía, esa energía no puede cambiar hasta que «algo suceda». Es decir, la energía de un electrón no puede cambiar espontáneamente sin motivo. Esto puede parecer poco interesante, pero comparémoslo con el caso de un electrón del que sabemos que se encuentra localizado en un punto. Como sabemos muy bien, el electrón saltará a través del universo al instante, dando lugar a una infinidad de relojes. Pero el patrón de los relojes correspondientes a una onda estacionaria es distinto. Mantiene su forma, con todos los relojes girando alegremente para siempre a menos que algo los perturbe. Por lo tanto, la naturaleza invariable de las ondas estacionarias las convierte en claras candidatas para describir un electrón de energía definida.

Una vez que damos el paso de asociar la frecuencia de una onda estacionaria con la energía de una partícula, podemos sacar partido a lo que sabemos sobre las cuerdas de guitarra para inferir que las frecuencias más elevadas deben corresponder a energías mayores. La razón es que una frecuencia alta implica una longitud de onda corta (puesto que las cuerdas cortas vibran más rápido) y, por lo que sabemos del caso especial del pozo de potencial cuadrado, podemos prever que una longitud de onda más corta corresponde a una partícula de mayor energía a través de la relación de De Broglie. Por lo tanto, la conclusión importante, y lo único que debemos realmente recordar de cara a lo que sigue, es que las ondas estacionarias describen partículas de energía definida y cuanto mayor es la energía, más rápido giran las manecillas de los relojes.

En resumen, hemos deducido que, cuando un electrón está confinado por un potencial, su energía está cuantizada. En la jerga de la física, decimos que un electrón atrapado solo puede existir en determinados «niveles de energía». La mínima energía que puede tener el electrón corresponde a un estado descrito únicamente por la onda estacionaria «fundamental»,^[6.6] y ese nivel de energía se conoce normalmente como «estado fundamental». Los niveles de energía correspondientes a ondas estacionarias de frecuencia más elevada se denominan «estados excitados».

Imaginemos un electrón de determinada energía, atrapado en un pozo de potencial cuadrado. Decimos que «se encuentra en determinado nivel de energía» y su onda cuántica estará asociada a un único valor de n (véanse las pp. 119-120). La expresión «se encuentra en determinado nivel de energía» refleja el hecho de que, en ausencia de influencias externas, el electrón no hace nada. En general, el electrón podría describirse mediante la composición de muchas ondas estacionarias, igual que el sonido de una guitarra está compuesto de muchos armónicos. Esto significa que, en general, el electrón no tendrá una única energía.

Fundamentalmente, una medición de la energía del electrón siempre debe revelar un valor igual al asociado con una de las ondas estacionarias componentes. Para calcular la probabilidad de encontrar el electrón con determinada energía, debemos tomar los relojes asociados con la contribución específica a la función de onda total procedente de la correspondiente onda estacionaria, elevarlos al cuadrado y sumarlos. El número resultante nos da la probabilidad de que el electrón esté en dicho estado de energía en particular. La suma de todas esas probabilidades (una por cada onda estacionaria componente) debe ser igual a la unidad, lo que refleja el hecho de que siempre obtendremos que la partícula posee una energía que corresponde a una onda estacionaria en particular.

Esto debe quedar muy claro: un electrón puede poseer simultáneamente varias energías, y tal afirmación es tan rara como decir que posee múltiples posiciones. Evidentemente, a estas alturas del libro esto no debería ser ninguna sorpresa, pero sí resulta sorprendente para nuestra sensibilidad cotidiana. Tengamos en cuenta que hay una diferencia fundamental entre una partícula cuántica atrapada y las ondas estacionarias en la piscina o en la guitarra. En el caso de la cuerda de guitarra, la idea de que estén cuantizadas no resulta nada extraña, porque la propia onda que describe la cuerda en vibración está simultáneamente compuesta de muchas ondas estacionarias diferentes, y todas ellas contribuyen físicamente a la energía total de la onda. Puesto que pueden combinarse de cualquier manera, la energía de la cuerda puede tomar cualquier valor. Sin embargo, para un electrón atrapado en el interior de un átomo, la contribución relativa de cada onda estacionaria describe la probabilidad de encontrar el electrón con esa energía en concreto. La diferencia crucial surge porque las ondas de agua son ondas de moléculas de agua, mientras que las ondas de electrón no son en modo alguno ondas de electrones.

Tales consideraciones nos han demostrado que la energía de un electrón en el interior de un átomo está cuantizada. Esto significa que el electrón es sencillamente incapaz de poseer cualquier energía intermedia entre los valores permitidos. Lo cual es exactamente igual a decir que un coche puede ir a 16 kilómetros por hora o a 60 kilómetros por hora, pero no a ninguna velocidad intermedia. Enseguida, esta fantásticamente extraña conclusión nos proporciona una explicación sobre por qué los átomos no irradian luz continuamente mientras el electrón cae hacia el núcleo. Es porque no hay forma de que el electrón pierda energía de manera continua, poco a poco. La única manera de que pueda emitir alguna energía es perdiendo un paquete completo de golpe.

También podemos relacionar lo que acabamos de aprender con las propiedades observadas de los átomos, y en particular podemos explicar los colores característicos de la luz que emiten. La figura 6.7 muestra la luz visible emitida por el átomo más simple, el de hidrógeno. Está compuesta de cinco colores diferentes: una línea de color rojo intenso, correspondiente a la luz con una longitud de onda de 656 nanómetros; una línea de azul claro, con longitud de onda de 486 nanómetros; y otras tres líneas violetas que se desvanecen hacia el extremo ultravioleta del espectro. Esta sucesión de líneas de colores se conoce como «serie de Balmer», en honor del físico matemático suizo Johann Balmer, que en 1885 escribió la fórmula que las describe. Balmer no tenía ni idea de por qué la fórmula funcionaba, porque la teoría cuántica aún no se había descubierto, sino que se limitó a expresar la regularidad del patrón observado mediante una sencilla fórmula matemática. Pero nosotros podemos hacerlo mejor, y todo tiene que ver con las ondas cuánticas que encajan dentro del átomo de hidrógeno.

FIGURA 6.7. Serie de Balmer del hidrógeno: esto es lo que sucede cuando la luz del gas de hidrógeno pasa por un espectroscopio.

Sabemos que la luz se puede ver como un flujo de fotones, cada uno de ellos con energía E = hc/λ, donde λ es la longitud de onda de la luz.^[6.7] Por lo tanto, la observación de que los átomos solo emiten ciertos colores de luz significa que solo emiten fotones de energías muy específicas. También hemos aprendido que un electrón «atrapado en un átomo» solo puede poseer ciertas energías muy específicas. Basta con dar un pequeño paso más para explicar el perdurable misterio de la luz de colores emitida por los átomos: los distintos colores corresponden a la emisión de fotones cuando los electrones «caen» de uno de los niveles de energía permitidos a otro. Esta idea implica que las energías de los fotones observadas deberían corresponder siempre a diferencias entre pares de valores permitidos de la energía. Esta manera de describir la física ilustra a la perfección el valor de expresar el estado del electrón en función de los valores permitidos de su energía. Si hubiésemos preferido hablar de los valores permitidos del momento del electrón, entonces la naturaleza cuántica no sería tan evidente y no llegaríamos tan fácilmente a la conclusión de que el átomo solo puede emitir y absorber radiación a determinadas longitudes de onda.

El modelo del átomo como una partícula en una caja no es lo suficientemente preciso como para permitirnos calcular las energías del electrón en un átomo real, algo que necesitamos hacer para comprobar esta idea. Pero se pueden llevar a cabo cálculos detallados si modelamos con mayor precisión el potencial en las proximidades del protón que atrapa al electrón. Baste con decir que tales cálculos confirman, sin ningún lugar a dudas, que este es en realidad el origen de esas misteriosas líneas espectrales.

Quizá se haya dado cuenta de que no hemos explicado por qué el electrón pierde energía al emitir un fotón. A efectos de lo que nos interesa en este capítulo, no necesitamos una explicación. Pero algo debe inducir al electrón a abandonar la tranquilidad de su onda estacionaria, y a ese «algo» dedicaremos el capítulo 10. De momento, solo estamos diciendo que «para poder explicar los patrones observados de luz emitida por los átomos es necesario suponer que la luz se emite cuando un electrón cae de un nivel de energía a otro de menor energía». Los niveles permitidos están determinados por la forma de la caja que confina al electrón y varían de un átomo a otro, porque cada átomo confina a los electrones en un entorno distinto.

Hasta ahora, hemos tenido bastante éxito al explicar cosas utilizando una representación muy sencilla del átomo, pero en realidad no nos basta con fingir que los electrones se mueven libremente en el interior de una caja que los confina. Se mueven en las proximidades de un montón de protones y otros electrones, y para entender realmente los átomos debemos pensar ahora cómo describir este entorno con una mayor precisión.

LA CAJA ATÓMICA

Armados con la idea del potencial, podemos ser más precisos en nuestra descripción de los átomos. Empecemos por el más sencillo de todos, el átomo de hidrógeno. Está compuesto únicamente por dos partículas: un electrón y un protón. Este último es casi 2.000 veces más pesado que el electrón, por lo que podemos suponer que está prácticamente en reposo, creando el potencial en el que está atrapado el electrón.

El protón tiene carga eléctrica positiva y el electrón posee una carga de igual magnitud pero de signo negativo. Por otra parte, la razón por la que las cargas eléctricas del protón y el electrón son exactamente iguales y opuestas es uno de los grandes misterios de la física. Probablemente hay un muy buen motivo para ello, relacionado con alguna teoría fundamental de las partículas subatómicas que aún no hemos descubierto, pero, en el momento de escribir este libro, nadie sabe por qué es.

Lo que sí sabemos es que, puesto que las cargas de signo opuesto se atraen, el protón tirará del electrón hacia él y, al menos desde el punto de vista de la física precuántica, podría acercar el electrón a distancias arbitrariamente pequeñas. Cuán pequeñas, dependería de la naturaleza precisa del protón: ¿es una bola maciza o una nube difusa de alguna sustancia? La pregunta es irrelevante porque, como hemos visto, existe un nivel de mínima energía en el que se puede encontrar el electrón, determinado (a grandes rasgos) por la mayor longitud de onda que quepa dentro del potencial generado por el protón (que se esboza en la figura 6.8). El profundo «agujero» funciona como el pozo de potencial cuadrado que hemos visto antes, salvo por el hecho de que la forma no es tan sencilla. Se conoce como «potencial de Coulomb», porque está determinado por la ley que describe la interacción entre dos cargas eléctricas, descrita por primera vez por Charles-Augustin de Coulomb en 1783. Pero la dificultad es la misma: debemos encontrar qué ondas cuánticas encajan dentro del potencial, y estas a su vez determinarán los niveles de energía permitidos para el átomo de hidrógeno.

FIGURA 6.8. El pozo de potencial coulombiano alrededor de un protón. La profundidad del pozo es mayor allí donde se encuentra el protón.

Yendo al grano, diríamos que la manera de hacerlo pasa por «resolver la ecuación de ondas de Schrödinger para el pozo de potencial coulombiano», lo que es una manera de implementar las reglas para los saltos de los relojes. Los detalles son muy técnicos, incluso para algo tan sencillo como el átomo de hidrógeno, pero por suerte no aprenderíamos mucho más de lo que ya sabemos. Por eso podemos saltar directamente a la solución, y la figura 6.9 muestra algunas de las ondas estacionarias resultantes para un electrón en un átomo de hidrógeno. Lo que vemos aquí es un mapa de la probabilidad de encontrar el electrón en algún lugar. Las zonas más claras corresponden a las regiones donde es más probable que esté el electrón. Evidentemente, en realidad el átomo de hidrógeno es tridimensional, y estas imágenes corresponden a cortes a través del centro del átomo. La figura en la esquina superior izquierda es la función de onda del estado fundamental, y nos dice que, en este caso, el electrón se encuentra normalmente a 1 × 10⁻¹⁰ metros del protón. Las energías de las ondas estacionarias aumentan de izquierda a derecha y de arriba abajo. La escala también varía en un factor 8 desde la esquina superior izquierda a la inferior derecha. De hecho, la región clara que cubre la mayor parte de la primera imagen tiene aproximadamente el mismo tamaño que los pequeños puntos claros en el centro de las dos figuras de la derecha. Esto significa que, cuando está en niveles de energía más alta, es probable que el electrón se encuentre más lejos del protón (y, por lo tanto, que esté ligado a él más débilmente). Está claro que estas ondas no son sinusoidales, lo que significa que no corresponden a estados de momento definido. Pero, como nos hemos esforzado en destacar, sí corresponden a estados de energía bien definida.

FIGURA 6.9. Cuatro de las ondas cuánticas de menor energía que describen el estado de un electrón en un átomo de hidrógeno. El protón está en el centro, y las regiones más claras son aquellas donde es más probable que se encuentre el electrón. La escala de las imágenes de la esquina superior derecha e inferior izquierda se ha reducido en un factor 4 respecto a la primera y la escala de la imagen de la esquina inferior derecha en un factor 8 respecto a la primera.

La apariencia característica de las ondas estacionarias se debe a la forma del pozo, y algunas propiedades merecen que las comentemos con algo más de profundidad. La característica más evidente del pozo alrededor de un protón es que posee simetría esférica. Esto significa que su aspecto es el mismo con independencia del ángulo desde el que lo veamos. Para imaginarlo, pensemos en un balón de baloncesto sin estrías: es una esfera perfecta que tiene el mismo aspecto con independencia de cómo se gire. ¿Osaríamos pensar en un electrón dentro de un átomo de hidrógeno como si estuviese atrapado en un diminuto balón de baloncesto? Desde luego, esto es más plausible que decir que el electrón está atrapado en un pozo cuadrado y, sorprendentemente, hay una cierta semejanza. En la figura 6.10 se muestran a la izquierda dos de las ondas sonoras estacionarias de menor energía que se pueden producir dentro del balón. De nuevo, hemos tomado un corte de la pelota, y la presión del aire en su interior varía entre el negro y el blanco a medida que la presión aumenta. A la derecha se muestran dos posibles ondas estacionarias del electrón en un átomo de hidrógeno. Las imágenes no son idénticas, pero sí muy parecidas. Así pues, no es del todo ridículo imaginar que el electrón en un átomo de hidrógeno está atrapado en algo similar a un balón diminuto. Esta imagen sirve realmente para ilustrar el comportamiento ondulatorio de las partículas cuánticas, y con suerte resuelve algo del misterio de las cosas: entender el electrón en un átomo de hidrógeno no es más complicado que entender cómo vibra el aire en el interior de un balón de baloncesto.

FIGURA 6.10. Dos de las ondas sonoras estacionarias más sencillas dentro de un balón de baloncesto (izquierda), comparadas con las correspondientes ondas de electrón en un átomo de hidrógeno (derecha). Son muy parecidas. La imagen superior del hidrógeno es una vista en detalle de la zona central de la que aparece en la esquina inferior izquierda de la figura 6.9.

Antes de dejar el átomo de hidrógeno, nos gustaría añadir algo más sobre el potencial creado por el protón y cómo es que el electrón puede saltar de un nivel de energía más elevada a otro de menor energía con la emisión de un fotón. Al introducir la idea del potencial, hemos evitado, justificadamente, cualquier discusión sobre cómo se comunican el protón y el electrón. Esta simplificación nos ha permitido comprender la cuantización de la energía de las partículas atrapadas. Pero si queremos entender bien qué es lo que sucede, deberíamos tratar de explicar el mecanismo por el que las partículas acaban atrapadas. En el caso de una partícula que se mueve en una caja real, podríamos imaginar una pared impenetrable, presumiblemente hecha de átomos, que la partícula no puede atravesar al interactuar con ellos. Una comprensión adecuada de lo que significa «impenetrabilidad» se obtiene al entender cómo interactúan las partículas. Asimismo, hemos dicho que el protón en un átomo de hidrógeno «produce un potencial» en el que se mueve el electrón, que lo atrapa de una manera similar a como una partícula queda atrapada en una caja. Esto evita también profundizar en la cuestión, porque, sin duda, el electrón interactúa con el protón, y es esa interacción la que determina cómo queda confinado el electrón.

En el capítulo 10 veremos que necesitamos complementar las reglas cuánticas que hemos articulado hasta ahora con otras nuevas que aborden la interacción entre partículas. De momento, tenemos reglas muy sencillas: las partículas saltan de un sitio a otro, llevando relojes imaginarios cuyas agujas giran en sentido antihorario en cantidades claramente especificadas que dependen de la extensión del salto. Todos los saltos están permitidos, por lo que una partícula puede saltar de A a B a través de un número infinito de trayectorias. Cada una de ellas aporta su correspondiente reloj cuántico al punto B, y debemos sumarlos todos para calcular el único reloj resultante, que nos da la probabilidad de encontrar la partícula en B. Resulta que incorporar las interacciones al juego es sorprendentemente sencillo. Añadimos a las anteriores una nueva regla según la cual una partícula puede emitir o absorber otra partícula. Si había una partícula antes de la interacción, después puede haber dos; si había dos partículas antes, tras la interacción puede haber solo una. Por supuesto, si vamos a desarrollar los cálculos necesitamos ser más precisos sobre qué partículas pueden fusionarse o dividirse, y tenemos que decir qué sucede con el reloj asociado a cada partícula cuando esta interactúa. A eso dedicaremos el capítulo 10, pero las consecuencias para los átomos deberían ser evidentes. Si existe una regla que diga que un electrón puede interactuar emitiendo un fotón, entonces cabe la posibilidad de que el electrón en un átomo de hidrógeno escupa un fotón, pierda energía y caiga a un nivel de menor energía. También podría absorber un fotón, ganar energía y subir a un nivel de mayor energía.

La existencia de las líneas espectrales indica que eso es lo que sucede, y tal proceso normalmente está muy sesgado en una dirección. En particular, el electrón puede emitir un fotón y perder energía en cualquier momento, pero solo puede ganar energía y saltar a un nivel superior si existe un fotón (o alguna otra fuente de energía) en condiciones de chocar con él. En un gas de hidrógeno, esos fotones escasean, y es mucho más probable que un átomo en un estado excitado emita un fotón que lo absorba. El efecto neto es que los átomos de hidrógeno tienden a desexcitarse, esto es, la emisión se impone sobre la absorción y, si dejamos que transcurra el tiempo suficiente, el átomo acabará en el estado fundamental, para el cual n = 1. No siempre sucede esto, porque es posible excitar continuamente los átomos proporcionándoles energía de forma controlada. Esta es la base de una tecnología que se ha vuelto ubicua: el láser. La idea fundamental de un láser consiste en bombear energía a los átomos, excitarlos, y reunir los fotones que se producen cuando los electrones pierden energía. Estos fotones son muy útiles para leer datos con gran precisión de la superficie de un CD o DVD: la mecánica cuántica afecta a nuestras vidas en infinidad de maneras.

En este capítulo hemos logrado explicar el origen de las líneas espectrales utilizando la sencilla idea de la cuantización de los niveles de energía. Podría parecer que nuestra manera de pensar sobre los átomos funciona, pero hay algo que no cuadra. Nos falta la última pieza del rompecabezas, sin la cual no podremos explicar la estructura de los átomos más pesados que el hidrógeno. Dicho de manera más prosaica, tampoco podremos explicar por qué no atravesamos el suelo, y esto constituye un problema para nuestra mejor teoría de la naturaleza. La idea que buscamos la encontraremos en el trabajo del físico austríaco Wolfgang Pauli.