17. La verdad plana

En ocasiones me resulta peligroso abstraerme en estos artículos que escribo. Por ejemplo, cierto día, un compañero de banquete, después de probar un plato, echó sal, tomó otro bocado y dijo satisfecho: «así está mucho mejor».

Yo, distraído, le dije: «Lo que usted quiere decir realmente es “así me gusta mucho más”. Diciendo sencillamente “así está mucho mejor” sienta usted la aventurada suposición de que un manjar puede saber objetivamente mejor; y además la suposición de que sus sensaciones subjetivas de gusto son una guía segura para la situación objetiva».

Creo que estuve a dos dedos de que me estrellasen en plena cara aquel plato tan perfectamente sazonado, y, en verdad, lo tenía bien merecido. Pero era que acababa de escribir el artículo anterior y estaba desbordante en el tema de las suposiciones.

Volvamos ahora a este tema, a propósito del «quinto postulado de Euclides», que voy a repetir para que no tengan ustedes que andar buscándolo:

Si una recta corta a otras dos, formando por un mismo lado ángulos internos que sumen menos de dos rectos, esas dos rectas, prolongadas indefinidamente, se cortan por ese lado en que los ángulos suman menos de dos rectos.

Todos los demás axiomas de Euclides eran sumamente sencillos, pero él al parecer se dio cuenta de que este postulado quinto, en apariencia tan complicado, no podía deducirse de los restantes; y que, por tanto, había que incluirlo como nuevo axioma.

Hasta 2000 años después siguieron intentando otros geómetras demostrar que Euclides había desistido prematuramente y esforzándose en hallar alguna ingeniosa manera de deducir el postulado quinto, de los restantes axiomas, para poder así borrarlo de la lista, aunque sólo fuese por ser demasiado largo y complicado y demasiado falto de evidencia inmediata, para parecer un buen axioma.

Un modo de abordar el problema consistía en considerar el siguiente cuadrilátero:

Dos de sus ángulos, el DAB y el ABC, nos los dan como rectos y el lado AD es igual al BC. Sabido esto, y admitido el postulado quinto, es posible demostrar que el lado DC es igual al AB y que los ángulos ADC y DCB son también rectos, de modo que el cuadrilátero es precisamente un rectángulo.

Si no se admite dicho postulado, sino sólo los demás axiomas, lo más que puede lograrse es demostrar que los ángulos ADC y DCB son iguales, pero no que son precisamente rectos.

Surge ahora el problema de si será posible demostrar que dichos ángulos son rectos, partiendo de que son iguales. Si eso pudiese hacerse, del hecho de que el cuadrilátero ABCD es un rectángulo se deduciría que es cierto el postulado quinto. Eso se habría demostrado admitiendo sólo los demás axiomas, y ya no sería menester añadir a ellos el quinto.

Tal intento fue emprendido, ante todo, por los árabes medievales, que continuaron las tradiciones de la geometría griega, cuando la Europa occidental estaba sumida en tinieblas. El primero que dibujó este cuadrilátero y caviló sobre sus ángulos rectos no fue otro que Omar Khayyam (1050-1123^[43]).

Omar indicó que, si los ángulos ADC y DCB son iguales, hay tres posibilidades: 1.ª que ambos sean rectos; 2.ª que sean menores que un recto, o sea, agudos, y 3.ª que sean mayores u obtusos.

Encontró luego una línea de razonamiento que probaba que los casos de los ángulos agudos y obtusos eran absurdos, a base de admitir que dos rectas convergentes terminan por encontrarse.

Desde luego es de sentido común suponer que dos rectas convergentes tienen que cortarse, pero ocurre que, de sentido común o no, esa suposición equivale matemáticamente al postulado quinto. Ornar Khayyam terminaba, pues, por «demostrar» el postulado, suponiéndolo cierto, como una de las condiciones de la demostración. Eso se llama «un círculo vicioso» o «petición de principio»; pero sea cualquiera el nombre, no se permite en matemáticas.

Otro matemático árabe, Nasir Eddin al-Tus (1201-74) hizo un intento semejante, usando una suposición distinta y más complicada, para descartar en el cuadrilátero los ángulos agudos y obtusos. Más ¡ay!, esa suposición era también matemáticamente equivalente al postulado.

Llegamos así al italiano Girolamo Saccheri (1667-1733), a quien cité al final del capítulo anterior, el cual era profesor de matemáticas en la Universidad de Pisa y sacerdote jesuita.

Conocía la obra de Nasir Eddin y él también arremetió con el cuadrilátero; pero introduciendo algo completamente original, algo que en 2000 años a nadie se le había ocurrido hacer, con el postulado en cuestión.

Hasta entonces, unos lo habían omitido, a ver qué sucedía; otros habían hecho suposiciones que resultaron equivalentes a él. Saccheri lo que hizo fue empezar por suponer que el postulado quinto es falso, y sustituirlo por otro axioma contradictorio con él. Proyectaba entonces ir construyendo una geometría, basada en los demás axiomas de Euclides, más el «quinto cambiado», hasta llegar a una contradicción, probando por ejemplo que cierto teorema era a la vez verdadero y falso.

Alcanzada esa contradicción, habría que desechar el «quinto cambiado». Si se desechaban de ese modo todas las posibilidades de cambiar el quinto, dicho postulado tendría que ser cierto. Ese método de demostrar un teorema, probando que todas las restantes alternativas son absurdas, es una técnica matemática perfectamente aceptable^[44] y Saccheri estaba en buen camino.

Practicando este método, Saccheri empezó por suponer que los ángulos ADC y DCB son ambos mayores que un recto. Sobre esa suposición, más los restantes axiomas de Euclides, emprendió su camino por lo que podríamos llamar la «geometría obtusa». Pronto tropezó con una contradicción; eso significaba que la «geometría obtusa» no podía ser cierta y que los ángulos ADC y DCB no podían ser mayores que un recto.

Tan importante es ese éxito, que el cuadrilátero introducido por Ornar Khayyam, para estudiar el postulado quinto de Euclides, hoy se llama «cuadrilátero de Saccheri».

Sumamente alentado por esto, Saccheri la emprendió con la «geometría aguda», que parte de suponer que los ángulos ADC y DCB son ambos agudos. Debió de empezar su tarea animadísimo, seguro de que hallaría enseguida una contradicción, como en la «geometría obtusa».

En ese caso, quedaría demostrado el «quinto de Euclides», y su «geometría rectangular» ya no necesitaría como axioma ese enunciado tan desagradablemente largo.

Al ir estableciendo Saccheri proposición tras proposición de su «geometría aguda», su confianza fue cediendo terreno a la inquietud, porque no llegaba a ninguna contradicción. Iba enfrentándose cada vez más con la posibilidad de que pudiese edificarse una geometría, por completo consecuente en sí misma, basada en por lo menos un axioma que contradecía de lleno un postulado de Euclides. El resultado sería una «geometría no euclidiana», que podría parecer ir contra el sentido común, pero que por ser en sí autoconsistente, tiene validez matemática.

Por un momento, Saccheri se asomó al borde de la inmortalidad matemática, pero se volvió atrás.

No se atrevió; admitir la idea de una geometría no euclidiana exigía demasiado valor. Tan equivocadamente habían llegado los hombres cultos a confundir la geometría euclidiana con la verdad absoluta, que cualquier refutación de Euclides hubiese suscitado los más profundos sentimientos de inquietud en los corazones y las mentes de los intelectuales europeos. Dudar de Euclides era dudar de la verdad absoluta; si no había verdad absoluta en Euclides ¿no se deduciría fácilmente que no la hay en ninguna parte? Y puesto que las mayores pretensiones de verdad absoluta las reivindica la religión, ¿no se interpretaría un ataque a Euclides como un ataque a Dios?

Era evidentemente Saccheri un matemático de gran empuje, pero era, al mismo tiempo, un jesuita y un ser humano, y así le faltó valor y cometió la gran deserción^[45].

Cuando en su gradual desarrollo de la geometría aguda llegó a un punto en que no podía aguantar más, se autosugestionó hasta imaginar que había encontrado una contradicción, donde en realidad no la había; y con inmenso alivio, concluyó que había probado «el quinto de Euclides». En 1733 publicó un libro con su descubrimiento, titulado «Euclides absuelto de todo fallo» y aquel mismo año falleció.

Por su deserción, Saccheri había perdido la inmortalidad, eligiendo el olvido. Su libro quedó virtualmente ignorado, hasta que llamó la atención sobre él el matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), cuando ya el fallo de Saccheri había sido enmendado por otros.

Ahora lo que sabemos de Saccheri es sólo esto: que tocó con su mano un descubrimiento matemático capital, un siglo antes que nadie y que le faltaron arrestos para asirlo firmemente.

Avancemos como un siglo, hasta el matemático alemán Carlos Federico Gauss (1777-1855). Es fácil acreditar que Gauss es el más grande matemático que hubo nunca. Desde joven asombraba a Europa y al mundo científico con su talento.

Hacia 1815 estudió el quinto de Euclides, llegando a la misma consecuencia que él: que «el quinto» había que postularlo como axioma, porque no podía deducirse de los demás axiomas. Gauss llegó también a la conclusión ante la cual había retrocedido Saccheri: que hay otras geometrías autoconsistentes, que no son euclidianas, en las cuales un «axioma cambiado» sustituye al quinto.

Pero luego le faltaron también arrestos para publicar y en eso le niego mi simpatía. Su situación era diferente; Gauss tenía infinitamente más prestigio que Saccheri; no era sacerdote; vivía en un país y en una época en que el poder de la Iglesia no era temible. Gauss, genio y todo, fue un completo cobarde.

Esto nos lleva al matemático ruso Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856^[46]). En 1826 Lobachevski empezó también a cavilar si una geometría podría ser no euclidiana y, sin embargo, consistente. Con esta idea desarrolló los teoremas de la «geometría aguda», como Saccheri un siglo antes; pero en 1829 Lobachevski hizo lo que ni Saccheri ni Gauss habían hecho. No se echó atrás y publicó. Desgraciadamente lo que publicó fue un artículo en ruso, titulado «Sobre los principios de la Geometría», en una revista local. (Él trabajaba en la Universidad de Kazan, en el corazón de la Rusia provinciana).

Más ¿quién lee el ruso? Lobachevski permaneció desconocido largo tiempo. Hasta que en 1840 publicó su trabajo en alemán; no llamó la atención del mundo de los matemáticos en general.

Pero, mientras tanto, un matemático húngaro, János Bolyai (1802-1860), estaba haciendo casi lo mismo. Bolyai es una de las figuras más novelescas de la historia de las matemáticas, pues se especializaba también en cosas como el violín y la esgrima —en la genuina tradición de un aristócrata húngaro—. Se cuenta que una vez se batió, uno tras otro, con trece esgrimidores, tocando el violín entre asalto y asalto, y que a todos los venció.

En 1831, el padre de Bolyai publicó un libro de matemáticas. Bolyai hijo había meditado varios años sobre el quinto de Euclides y convenció a su padre de que añadiese un apéndice de 26 páginas, exponiendo los principios de la «geometría aguda». Era eso dos años después de publicar su obra Lobachevski, pero por entonces nadie había oído hablar de aquel ruso, y hoy Lobachevski y Bolyai comparten generalmente el honor de haber descubierto la geometría no euclidiana.

Como Bolyai publicó en alemán, Gauss se enteró enseguida. Su recomendación le hubiese sido muy valiosa al joven Bolyai; pero Gauss no se atrevió aún a darle impresa su aprobación, si bien elogió de palabra la obra de Bolyai; y entonces no pudo resistirse: le dijo a Bolyai que había tenido las mismas ideas años antes, pero que no las había publicado, y le mostró la obra.

No tenía por qué haberlo hecho. Su reputación era inconmovible, aun sin la geometría no euclidiana. Había hecho más que una docena de matemáticos juntos.

Ya que no había tenido el valor de publicar, debió tener la decencia de dejarle el mérito a Bolyai; pero no lo hizo. Genio y todo, Gauss era ruín en algunas cosas.

Y ¿qué hay de la geometría obtusa? Saccheri, al estudiarla, la halló incursa en contradicción, por lo que fue desechada. Sin embargo, una vez establecida la validez de la geometría euclidiana, ¿no habría modo de rehabilitar también la geometría obtusa?

Sí que lo hay, pero sólo a costa de romper con Euclides, más radicalmente aún. Saccheri, al investigar la geometría obtusa, había hecho una suposición tácita, usada también por el mismo Euclides: que una recta podía tener longitud infinita. Suponer eso no introducía contradicción en la geometría aguda, ni en la rectangular o de Euclides; pero originaba conflictos en la obtusa.

Pues desechémosla también, entonces. Supongamos que, prescindiendo del «sentido común», admitimos que toda recta ha de tener cierta longitud máxima. En ese caso desaparece toda contradicción con la geometría obtusa y surge una segunda variedad de geometría no euclidiana válida. El primero en demostrarlo fue (1854) el matemático alemán Jorge F. Riemann (1826-1866).

Tenemos, pues, tres tipos de geometría que podemos distinguir formulando enunciados equivalentes a la versión del postulado quinto de que parten:

A) Geometría aguda (no euclidiana): Por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas paralelas a ella.

B) Geometría rectangular (euclidiana): Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a ella.

C) Geometría obtusa (no euclidiana): Por un punto exterior a una recta no se pueden trazar paralelas a ella.

Cabe también distinguirlas de otro modo equivalente:

A) Geometría aguda (no euclidiana): La suma de los ángulos de todo triángulo vale menos de 180°.

B) Geometría rectangular (euclidiana): La suma de los ángulos de todo triángulo vale exactamente 180°.

C) Geometría obtusa (no euclidiana): La suma de los ángulos de todo triángulo vale más de 180°.

Y preguntaréis ahora: ¿pero cuál de las tres es verdadera?

Si definimos verdadera como autoconsistente, las tres geometrías son verdaderas por igual.

Claro que son inconsistentes unas con otras y acaso corresponda una sola a la realidad. Podemos, pues, preguntarnos: ¿Cuál geometría corresponde a las realidades del universo real?

La respuesta es, de nuevo, que todas.

Consideremos, por ejemplo, el problema de viajar del punto A al B, ambos en la superficie terrestre; y supongamos que queremos ir de A a B recorriendo la menor distancia posible.

Para simplificar los resultados, supondremos dos cosas: 1.º que la Tierra es una esfera perfectamente lisa.

Eso es casi cierto en realidad, pues podemos eliminar, sin demasiado error, montañas y valles y hasta el abultamiento ecuatorial.

2.º Supongamos que tenemos que hacer el viaje por la superficie de esa esfera, y no podemos, por ejemplo, excavar en sus profundidades.

Para determinar la distancia más corta entre A y B por la superficie de la Tierra, podríamos tender una cuerda de un punto al otro y ponerla tirante. Si hiciésemos eso entre dos puntos de un plano, es decir, en una superficie como la de un encerado liso, extendiéndose infinitamente en todas direcciones, nos resultaría lo que solemos llamar una «línea recta».

Pero en la superficie de una esfera obtenemos una curva; y sin embargo esa curva es lo análogo a una línea recta, ya que esa curva es la menor distancia entre dos puntos en la superficie esférica. Resulta difícil forzarnos a admitir una curva como cosa análoga a una recta, porque las rectas las hemos pensado derechas siempre. Usemos, pues, otra palabra. A la línea más corta entre dos puntos en una superficie dada llamémosla «geodésica^[47]».

En un plano, una geodésica es una línea recta; en una esfera las geodésicas son curvas, y precisamente arcos de «círculo máximo». Los círculos máximos tienen por radio el de la esfera y están en planos que pasan por el centro de ésta. En la Tierra, un ejemplo de círculo máximo es el ecuador, o cualquiera de los meridianos. En toda superficie esférica pueden trazarse infinitos círculos máximos. Si tomamos en ella pares cualesquiera de puntos, y los unimos por un hilo tirante, obtendremos arcos de diferentes círculos máximos.

Es visible que en una superficie esférica no existen geodésicas de longitud infinita. Al prolongarlas, lo que hacen es cerrarse sobre sí mismas, alrededor de la esfera.

En la superficie terrestre una geodésica no puede pasar de 40.000 kilómetros.

Además, en una esfera, cada dos geodésicas, prolongadas suficientemente, se cortan en dos puntos. En la superficie terrestre, por ejemplo, dos meridianos se cortan en el polo Norte y en el polo Sur. Eso prueba que en una superficie esférica, por un punto exterior a una geodésica dada, no se puede trazar ninguna paralela a dicha geodésica.

Además, si en una superficie esférica trazamos un triángulo cuyos lados sean arcos de círculo máximo, sus ángulos sumarán más de 180°. Quien tenga un «globo terráqueo» imagínese un triángulo con un vértice en el polo Norte, otro en el ecuador a 10° de longitud Oeste, y el tercero en el ecuador, a 100° de longitud Oeste. Encontrará que el triángulo es equilátero, con sus ángulos de 90°; la suma de los tres vale 270°.

Ésta es precisamente la geometría desarrollada por Riemann, si las geodésicas se consideran como lo análogo a las líneas rectas. Es una geometría de rectas finitas, sin paralelas y con triángulos cuyos ángulos suman más de 180°. Lo que veníamos llamando geometría obtusa podría llamarse también «geometría esférica». Y lo que veníamos llamando geometría rectangular o euclidiana podría también llamarse «geometría plana».

En 1865 Eugenio Beltrami llamó la atención sobre una figura llamada «pseudosfera», parecida a dos clarinetes unidos por sus partes anchas y extendiéndose y estrechándose cada uno en un sentido, pero sin cerrarse del todo. En la superficie de una pseudosfera la geometría cumple los requisitos de la geometría aguda; en efecto, en esa superficie es posible trazar dos geodésicas que se corten, sin cortar, sin embargo, ninguna de las dos a una tercera geodésica exterior a ambas^[48]. Es más, como entre las dos geodésicas que se cortan cabe trazar infinitas otras, cortándose todas en el mismo punto, por cada punto exterior a una geodésica se podrán trazar infinitas geodésicas paralelas a ella.

En otras palabras, la «geometría aguda» puede considerarse como «geometría pseudosférica».

Mas ahora, visto que las tres geometrías son igualmente válidas, en condiciones adecuadas a cada una, ¿cuál da mejor descripción del Universo en conjunto?

Eso no siempre es fácil de decir. Si un triángulo de geodésicas de longitud dada lo trazamos primero en una esfera pequeña y luego en una grande, la suma de sus ángulos pasará en ambos casos de 180°, pero el exceso será mayor en el caso de la esfera pequeña.

Si imaginamos un triángulo de magnitud fija, en una superficie esférica que crece cada vez más, la suma de los ángulos se acerca más y más a 180° y al fin, ni las medidas más precisas apreciarán la diferencia. En suma, una parte pequeña de una esfera muy grande es casi tan llana como un plano y se hace imposible distinguirlos.

Eso pasa, por ejemplo, con la Tierra. Precisamente por ser una esfera tan grande, es por lo que las partes pequeñas de ella parecen planas y por lo que le costó tanto tiempo a la humanidad convencerse de que era esférica, a pesar de parecer plana.

Pues bien, hay un problema análogo, relativo al Universo en general. La luz va de unos puntos a otros del espacio, del Sol a la Tierra o de una lejana galaxia a otra, salvando distancias inmensamente mayores que las posibles en la superficie terrestre.

Nosotros suponemos que la luz, al atravesar pársecs, marcha en línea recta; pero está claro que en realidad sigue una geodésica, que podrá ser recta o no. Si el Universo obedece a la geometría euclidiana, la geodésica será recta. Si obedece a una geometría no euclidiana, las geodésicas serán curvas, de una u otra clase.

A Gauss se le ocurrió formar triángulos de rayos de luz, que cruzaban el espacio entre tres cimas de montaña, y medir la suma de los ángulos resultantes. Desde luego los ángulos sumaban alrededor de 180°, pero ¿los valían exactamente? Era imposible saberlo. Si el Universo fuese una esfera de millones de años luz de diámetro, y si los rayos de luz siguiesen las curvas de la esfera, no sería posible hoy apreciar, por medidas directas, el insignificante exceso de esas sumas sobre 180°.

Sin embargo, en 1916 Einstein construyó la teoría general de la relatividad y halló que, para explicar los efectos de la gravitación, tenía que admitir un Universo en el cual la luz —y todo lo demás— seguía geodésicas no euclidianas.

Según la teoría de Einstein, el Universo no es euclidiano y constituye un caso de «geometría obtusa».

En suma, que la geometría euclidiana, lejos de ser la verdad absoluta y eterna como se supuso durante 2000 años, es sólo la geometría sumamente restringida y abstracta del plano; y sólo proporciona una aproximación a geometrías tan importantes como la del Universo y la de nuestra superficie terrestre.

No es la verdad «plena», como tantos juzgaron seguro; sino sólo la verdad «plana»^[49].