DESDE ORIENTE A TOLEDO PASANDO POR BAGDAD
¡MULTICULTURALIDAD MEDIEVAL!
Todo grupo humano tiene siempre la capacidad de desarrollar una cultura propia. Si el grupo vive aislado, ésta es totalmente original. Pero si empiezan a darse emigraciones, intercambios, invasiones, conquistas, etc., con gentes de otras culturas entonces empiezan a surgir nuevas culturas con influencias diversas.
La matemática medieval europea es ya un precedente de multiculturalidad, pues en ella convergen las traducciones de los tratados griegos al árabe y luego del árabe al latín, las aportaciones hindúes que traen los árabes, las contribuciones de mozárabes, judíos y cristianos, etc.
LA TORTUGA MÁGICA
Muchos siglos antes de que los sudokus aparecieran en la Tierra nacieron los cuadrados mágicos: una cuadrícula llena de números donde cada columna, cada fila y cada diagonal suma lo mismo. El primer cuadrado mágico conocido fue chino:
Cuenta la tradición oriental que hacia el año 2200 a.C. el emperador Yu se hallaba de pie a la orilla del Río Amarillo cuando una tortuga se le apareció. Y en la concha de la tortuga estaba grabado el símbolo del lo-shu, que era el cuadrado mágico anterior donde en lugar de números había en cada sitio puntitos indicando estas cantidades. Queda claro que la tortuga no pudo grabar en su espalda el cuadrado mágico ni lo hizo Yu. No queda explícito si Yu aprovechó el animal para hacer sopa de tortuga. La leyenda otorga además al emperador la sensibilidad de ponerse a calcular y descubrir por él mismo el cuadrado mágico (una actitud poco frecuente en las monarquías). Quizás la tortuga empezó el sudoku.
LA FAMILIA TSU CH’UNG-CHIH
Tsu Ch’ung-chih y su hijo escribieron, hacia el año 480, un libro en el que dieron a conocer entre otras cosas una fracción muy buena para calcular el número pi: 355/113, la cual da los seis primeros decimales correctamente. También demostraron que pi debía ser un valor entre 3,1415926 y 3,1415927 lo cual ya es afinar mucho.
Curiosamente no fue hasta 1585 que Adrián Anthoniszoon redescubrió la fracción china por accidente. Él había demostrado que pi debía estar entre las fracciones 333/106 y 377/120, y tomando las medias de los numeradores y de los denominadores obtuvo 355/113.
LA SELECTIVIDAD CHINA
¿Cuándo empezaron a evaluarse los conocimientos de matemáticas como medio para seleccionar personas? La historia de la evaluación empezó ya en tiempos remotos en China cuando los emperadores iniciaron la selección de guerreros a partir de sus habilidades matemáticas. No es que los números aseguraran mayor valentía en el combate, pero sí que se creía que ejecutarían mejor las órdenes aquellos que mejor entendieran los problemas.
SISTEMA HINDÚ, CIFRAS ÁRABES
Escribir números en base diez, con nueve dígitos posicionales incluyendo un cero, es una gran contribución de la matemática hindú. Los árabes no sólo llevaron este sistema a Occidente, sino que crearon las cifras llamadas «gubar» del cero al nueve para representar (esencialmente como lo hacemos hoy) los números. Muchos fueron los matemáticos que explicaron este nuevo sistema a los países europeos. Y el sistema, una vez conocido, se impuso en todo el mundo. Incluso los ingleses lo adoptaron… pero gran parte de las culturas árabes cambiaron a otra forma de escribir números.
UN CERO CON CURRY
Nuestro querido cero tardó muchísimo en salir a escena. Simplemente no era necesario. Para contar, si no hay nada, no vale la pena mencionarlo. Y para ir escribiendo números donde el total es la suma de los valores de los números que aparecen (I + II = III), el cero no es preciso. Como todo lo que inventa la Humanidad, las cosas surgen cuando se necesitan (o después, pero no antes).
El cero nace en la India al introducir los hindúes un sistema posicional con nueve dígitos en el que la posición es clave. Cuando 12 indica 1 decena y 2 unidades, entonces va bien poder contar 10 si hay 1 decena y ninguna unidad de propina. No hubo año cero, ni siglo cero… porque el cero ni tan siquiera existía. Primero con letras del alfabeto devanagari y luego con símbolos, los hindúes fijan un sistema posicional de base diez y con cero.
UNA SOLTERA PARA LA ETERNIDAD
Si Lilavati hubiese nacido unos siglos después hubiese cantado con especial garbo la famosa copla de «soltera y sola en la vida / por una mala partida /…». Pero nació en India, hija del matemático Bhaskara II, quien la compensó de su soltería incorporando su nombre a unos bonitos poemas donde papá Bhaskara II explicaba el sistema de numeración hindú y otras 270 veleidades aritméticas:
Amable Lilavati, de dulces ojos como los de la delicada y tierna gacela, dime cuánto vale…
La leyenda de Lilavati dice que en la celebración de los festejos previos a la boda con un apuesto galán de casta noble, la ilusionada joven se iba acercando a mirar el «reloj», que era un recipiente que se iba hundiendo al ir entrando en él agua por un agujerito en la base y que, al hundirse, indicaría el momento nupcial. Pero una perla de Lilavati cayó… tapó el agujero… el «reloj» no marcó el momento… el novio huyó… y Lilavati se quedó soltera. De este tipo de leyendas se pueden sacar otras (las perlas dan mala suerte), pero en este caso lo más bonito es recordar que hubo un día en que matemáticas y poesía iban juntas.
DEL ÁBACO AL ALGORITMO
Con la aparición del sistema de numeración hindú, fácil paraescribir y calcular con números, los viejos ábacos de piedras tenían sus días contados. Gerbert d’Aurillac difundió el nuevo sistema en Italia y más tarde la buena gente de la Escuela de Toledo (Adelardo de Bath, Juan de Sevilla, etc.) hicieron su labor de difusión europea durante el siglo XIII. Las traducciones de Gerardo de Cremona también ayudaron al aprendizaje general de estos conocimientos. Pero eran muchos los sabios europeos que defendían los ábacos. El argumento conservador era «los ábacos no engañan», pues el hecho de escribir a mano con cifras (1237,…) podía permitir su falsificación introduciendo nuevas cifras (12037, 12370…). Lo curioso es que estas suspicacias siguen aun hoy vigentes: en actas de notarios o al escribir un cheque, junto a los números («130ˆ») se escribe (¡además!) el nombre del número («ciento treinta euros»). No es que la historia se repita. Lo que ocurre es que muchas veces la historia se prolonga.
DE BAGDAD A CÓRDOBA
En el siglo IX, Bagdad fue una de las más influyentes ciudades del mundo y cuna de grandes conocimientos científicos; más tarde, Córdoba heredaría este esplendor. Lo del multiculturalismo, hoy tan popular, estuvo ya en pleno apogeo hace mil años. En Bagdad, Córdoba, Granada, en los reinos de Taifas, etc., convivieron árabes, sirios, judíos, iraníes, indios, latinos…, lo que hizo florecer el trilingüismo y las escuelas de traductores en Al Andalus, Toledo, El Cairo o Fez.
Según J. A. Sánchez Pérez, cuando Avicena describe las Matemáticas Puras se incluye en ellas Aritmética, Geometría, Astronomía y Música, mientras que en las Matemáticas Aplicadas se incluían el cálculo indio, álgebra, medidas, mecánica, instrumentos, tablas, etc.
La geometría, la trigonometría y el álgebra deben mucho a los árabes. Y a través de ellos se difunde el sistema hindú de numeración.
LETRAS FRECUENTES Y SECRETOS
La idea de Julio César de codificar mensajes cambiando el alfabeto usual por otro tuvo adeptos durante muchos años pero el siguiente método ingenioso para codificar secretos se hizo en el siglo IX en la Casa de la Sabiduría de Bagdad, siendo su autor Ab Ysuf Ya’qb ibn Ishãq al-Sabbah al-Kindi, al que por motivos obvios se referencia como Al-Kindi. A él se debe el llamado análisis de frecuencias, es decir, tener en cuenta cómo (en cada idioma) son características las frecuencias de las letras: contando las repeticiones de letras en el mensaje secreto, se sustituyen éstas por las letras del idioma correspondiente que tienen una repetitividad similar.
Suerte que Al-Kindi murió muchos siglos antes de que el francés Georges Perec publicara su novela La disparition donde nunca se usa la letra e, que es la más frecuente en francés.
LA IMPORTANCIA DEL NOMBRE
La sociedad de profesores de matemáticas de Valencia tiene el nombre de un prestigioso matemático árabe para nosotros tan difícil de escribir como de pronunciar: Muhammad ibn Msã al-Khwãrizmï (780-850). De este apellido imposible surgió la palabra básica de la computación moderna: algoritmo (reglas que permiten hacer un cálculo o resolver un problema por pasos). Lo curioso es que, al traducirse al latín una de sus obras, el ingenioso traductor pasó de al-Khwãrizmï a Algorithmi («Algorithmi de numero Indorum») lo cual ha pasado al inglés como algorithm y al español como «algoritmo». En definitiva Mohamed Algoritmo sería una buena denominación actual para este sabio.
BUENOS DÍAS ÁLGEBRA
Nuestro Muhammad ibn Msã al-Khwãrizmï, con grandes dotes para el marketing de libros, tituló su obra más importante con gran chispa y brevedad:
His ã b al-jabr wal-muq ã bala
lo que, traducido literalmente, sería «ciencia de la reducción y confrontación» y adaptado libremente, «ciencia de las ecuaciones». Lo bonito es que jabr (insertar, restaurar) era transponer términos en una ecuación (si 2x + 7 = 8 por el jabr podría ser 2x = 8-7) y muqãbala (comparar) era reducir términos (de 2x=8-7 a 2x=l). Pero de nuevo, superdotados traductores al latín pasaron «al-jabr» a «álgebra»… y así nació el nombre de esta bella disciplina.
ÁLGEBRA PARA BARBEROS
La afición (o necesidad) al pluriempleo español viene de lejos. Los viejos barberos del siglo XVI, aparte de afeitar y cortar cabellos, empezaron a incorporar especialidades médicas. Sacar muelas era una. Sangrar era otra. La otra era el álgebra, o sea restaurar-recomponer huesos rotos. Por esta especialidad ósea se denominaron algebristas (¿«el algebrista de Sevilla»?). Todo esto tiene su lógica si recordamos el sentido original de al-jabr. Debía ser espectacular sentarse en una barbería y poder decir «primer molar izquierda abajo, afeitar y álgebra de hombro». Esto demuestra que lo del intrusismo profesional viene de lejos y, además, que los médicos han sido muy comedidos en no ofrecer servicios capilares adicionales (aunque sí hay algunos que toman el pelo).
CERVANTES ERA ALGEBRISTA
El señor Cervantes, papá del conocido Miguel de Cervantes, era un algebrista de la época, es decir, ejercía de barbero, cirujano, sangrador y arreglador de huesos. No es, pues, de extrañar que el hijo escritor haga referencia al oficio de algebrista en El ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha (Capítulo XV del tomo II):
… hasta que llegaron a un pueblo donde fue ventura hallar un algebrista, con quien curó…
MATEMÁTICAS Y SANTIDAD
Las listas de matemáticos de todas las épocas y las listas de los Santos no tienen, desafortunadamente, personajes en común. No obstante, cabe citar que San Jerónimo (340-?) hace en uno de sus libros referencia a los de aritmética de Anatalio Alejandrino y San Isidoro (570-636), natural de Cartagena y hermano de San Leandro (¡esto sí que eran familias buenas!), incluyó en sus Etimologías apartados dedicados a Aritmética, Geometría, Música y Astronomía. Nada original pero todo muy culto.
El que no llegó a santo pero sí a Papa (Papa Silvestre II) fue Gerbert d’AurilIac (945-1003), quien sí escribió mucho sobre matemáticas y ayudó a la difusión de las cifras árabes (sin cero). A este Papa del año 1000 se le atribuyen diversos inventos, incluyendo un ábaco de cálculo con 27 compartimentos y 9 fichas con números arábigos que algunos han considerado precursor manual de las calculadoras.
El Papa Juan Pablo II fue un gran admirador de Silvestre II y curiosamente la fecha del 2 de abril los une a ambos: Silvestre II fue nombrado Papa este día del 1001 y Juan Pablo II murió este día en el año 2005.
EL PRÍNCIPE DE LOS MATEMÁTICOS ANDALUCES
Con esta denominación llena de cariño y admiración se nombró en vida (alrededor del año 1000) al fundador en Córdoba de la escuela de Astronomía y Matemáticas. Su verdadero nombre era (tome aire antes de leerlo): Abu-l-Qasim Maslama ibn Ahmad al-Faradi al-Hasib al Qurtubí al-Mairiti (respire de nuevo) y en realidad era madrileño. Logró referir las observaciones astronómicas a Al-Andalus posibilitando años después, que el meridiano de Toledo fuese durante mucho tiempo lo que hoy sería el meridiano de Greenwich para nosotros.
EUROPA SEGÚN BEN SAID
Ben Said (1030-1070) dirigió una escuela de astrónomos y matemáticos en Toledo, colaborando con las tablas astronómicas del gran Azarquiel y escribiendo una primera Historia de la Ciencia. Ben Said distinguió los «siete pueblos cultos» (hindúes, iraníes, caldeos, griegos, egipcios, árabes y judíos), definió como bárbaros a chinos y turcos… y calificó a «loseslavos» o europeos como «gentes más reacias a la cultura que un sudanés y con menos letras que un berberisco». Queda clara, pues, su admiración por Europa y que Ben Said no fue precisamente el inventor del lenguaje «políticamente correcto».
LOS PLANETAS DE AZARQUIEL
Este sabio astrónomo cordobés emigrado a Toledo es evocado hoy como Azarquiel para no decir Abnishac Ihraim Benzahaya el Nacax el Cortobé o uno de sus catorce apodos conocidos (Benazarquiel, Alzarcala, el Zarcalí, etc.). Fue precursor del gran Kepler al ser el primero en ver el movimiento de los planetas pequeños alrededor del sol e hizo tablas astronómicas que aún causan admiración. En cambio, escribió una obra sobre algo tan imposible como su «lámina universal» detallando diversas maneras de allanar una esfera. Suerte que Chéber ben Aflah, un matemático sevillano del siglo XII, no confió en lo de allanar la esfera y estudió la trigonometría esférica.
PALABRA ÁRABE BUSCA VOCALES
¿Se puede calcular la «bahía» de un ángulo? Pues sí. Lo que en la trigonometría hindú se nombra razonablemente como «media cuerda» (giva) pasó al árabe como «jiba», sin vocales. Y al pasar al latín, Roberto de Chester se confundió y en lugar de jiba pensó que debía ser j-aib, es decir «sinus» o sea ensenada, bahía, entrada, curva del mar… Así el «seno de un ángulo» es un interesante concepto fruto de una mala traducción. Pero ahí está y esto no hay quien lo cambie.
EL DE MADRID Y LOS AMIGOS
Un ilustre matemático, astrónomo y alquimista que vivió el cambio del primer milenio fue Ab-l-Qasim Maslama ibn Ahmad al-Majrïtï (cuyo final de nombre quiere decir según J. A. Sánchez Pérez «el de Madrid»). Este ilustre madrileño-árabe desarrolló su carrera en Córdoba donde nació en el 1008, escribiendo una aritmética totalmente práctica para comerciantes y estudiando los números amigos, un tema puramente especulativo de aritmética.
FIBONACCI NO SABÍA QUE LO ERA
El gran matemático europeo de la Edad Media fue sin duda Leonardo de Pisa (c. 1180 — c. 1250), también referenciado como Leonardo Pisano Bigollo. Acompañó a su padre aduanero a Bugia (Argelia) visitando luego lugares diversos donde el conocimiento matemático le fue entusiasmando. Esto se deduce bien de su escrito personal:
Hizo que me instruyera maravillosamente en los números y los cálculos indo-arábigos. Me gustó tanto la enseñanza que recibí que después continué los estudios de matemáticas durante los viajes de negocios que hice a Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza en los que disfruté de las discusiones y los debates con los estudiosos de aquellos lugares.
Las obras que escribió Leonardo de Pisa fueron muy importantes para la matemática europea, destacando el Liber Abaci (1202) y Practica Geometriae (1220). Hoy Leonardo de Pisa se conoce con el alias de Fibonacci (descendiente de Bonaccio),pero la sorpresa es que Leonardo Pisano nunca supo que le nombrarían como Fibonacci. Un alias post mórtem.
LA SUERTE DE FIBONACCI
En el Liber Abaci (1202) Leonardo de Pisa explica el novedoso sistema hindo-arábigo de numeración y la aritmética correspondiente. Para que los lectores lo aprendan bien propone problemas. Y en uno de estos problemas nace la sucesión más famosa de la historia:
1, 1,2, 3,5, 8, 13,21…
hoy llamada sucesión de Fibonacci, en donde cada término es igual a la suma de los dos anteriores. Para Leonardo esta sucesión resultaba de contar parejas de conejos, suponiendo que cada par produce una nueva pareja, que al cabo de dos meses ya puede reproducirse. Leonardo no podía ni intuir que «su» sucesión de conejos aparecería luego observada en la naturaleza y usada en el aula por su estrecha relación con el número de oro.
En efecto, el número de oro Ø = 1,618… aparece como proporción natural (altura de la persona dividida por la altura de su ombligo) y es usado en las Bellas Artes ante la creencia de que tal proporción resulta especialmente bella a los ojos del observador. En diseño gráfico o industrial la proporción Ø entre largo y ancho es muy utilizada (DNI, tarjetas de crédito, etc., tienen esta formulita). Pues bien, 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5… cocientes de números de Fibonacci, se aproximan al número de oro. Salto mortal: de contar conejos a las pinturas de Leonardo da Vinci y al nuevo carnet de conducir de la Dirección General de Tráfico.
El famoso modulor del arquitecto Le Corbusier (1887-1965) y muchas de sus obras como el rascacielos de la ONU en Nueva York se basan en la sucesión de Fibonacci. Sorpresas de la historia: Leonardo de Pisa viajó por el Mediterráneo, pero Fibonacci ha llegado a Nueva York.
LUCES EN ÉPOCAS DE TINIEBLAS
Una contribución esencial de la Edad Media fue la creación de universidades europeas, entidades que junto a la Iglesia Católica han logrado sobrevivir al paso de los siglos. Y en ellas se han podido cultivar saberes como las matemáticas y la filosofía que, al margen de sus aplicaciones prácticas, han contribuido a corto y largo plazo al desarrollo de la humanidad. La inmensa mayoría de matemáticos (¡hasta hoy!) han sido profesores de universidad, dedicados a investigar gracias a tener un sueldo por enseñar.
LLULL Y LA EXPERIENCIA
Ramón Llull (1232-1316) nos legó una obra escrita muy importante (¡265 títulos!) donde las referencias al árbol de la ciencia y la aritmética se unen a otros muchos temas del conocimiento y la religión. Hay un consejo de Llull que es memorable:
La persona lista es la que aprende de la experiencia, pero aún es mucho más lista la que aprende de los que ya tienen experiencia.
Quizás por esto las obras de Llull, el «Doctor Iluminado», fueron bien estudiadas siglos después por científicos de la talla de Galileo Galilei o Isaac Newton.
EL PROGRAMADOR TEOLÓGICO
El método luliano denominado Ars Magna, incluido en su libro Ars compendiosa inveniendi veritatem, desarrolla un proceso sistemático para difundir la fe cristiana a partir de aquello que era común en las religiones monoteístas. Incluso ideó una máquina (reducida a una colección de círculos) para ayudar a la automatización de sus argumentos. Muchos lógicos modernos y programadores informáticos del siglo XX han encontrado en Llull un referente histórico formidable.
UN JUEGO CON NOMBRES
A menudo asociamos nombres a lugares. Por ejemplo Pérez es inequívocamente un apellido español como Smith lo es inglés. Pero no siempre a partir de un nombre propio completo podemos intuir un lugar de nacimiento. Aquí mostramos cuatro nombres matemáticos y cuatro ciudades ¿sabría indicar dónde nació cada cual?
Abraham bar Hiyza Ha-Nasi Madrid
Juan Caramuel Lobkowitz Barcelona
Abraham ben Meir ibn Ezra Londres
Juan de Sacrobocco Tudela
El primero es un barcelonés (1070-1136) de familia judía y autor de un célebre libro que contribuyó al conocimiento del álgebra en Europa. El segundo (1606-1682), un madrileño de la orden del Císter que se interesó por logaritmos en bases que no fueran 10. El tercero (1092-1167) fue un maño de Tudela (que murió en Calahorra), que poseía gran cultura y difundió el sistema hindú de numeración. Por cierto, Ezra denomina «galgal» (círculo o rueda) al cero. Finalmente, el cuarto esun londinense del siglo XIII, autor en su día de una popular aritmética.
LOS MAYA Y EL 20
Más de dos mil años antes de que los mayas descubrieran a Colón y sus muchachos, la cultura maya fue desarrollando un sistema avanzado de numeración, de calendario y de cálculo astronómico. A pesar de las insidiosas teorías que hoy insisten en demostrar que Colón fue el «último» descubridor de América, cuando por allí ya se habían paseado desde egipcios y nórdicos a chinos y polinesios, lo cierto es que de todas las denominadas culturas precolombinas, la maya fue sin duda la más desarrollada desde el punto de vista matemático. Parece que con símbolos originales (puntos para unidades, barritas para los cincos, marcas para el cero…) desarrollaron algunos principios posicionales entre cifras, eso sí, siempre trabajando en base 20, lo que obligaba a veinte cifras de referencia.
COLÓN Y LOS MATEMÁTICOS
Muchas veces se ha hablado de una sorprendente relación entre Colón y los matemáticos: «los matemáticos son como Cristóbal Colón: no saben adónde van, si llegan a algo no saben lo que es y quieren que su aventura sea pagada con fondos públicos».
A este comentario también se ha añadido otro de signo contrario: «sin fondos públicos, la Tierra aún sería plana».
MÁS Y MENOS
Diversas leyendas medievales arropan el posible origen de los símbolos actuales de sumar (+) y restar (-). Es posible que el caso «-» surgiera de la escritura rápida de la m de menos o como marca de defecto, para marcar botas donde faltaba líquido y que luego «+» surgiera como anulación de defecto, tachando el «-». En cualquier caso la p de plus y la m de minus fueron jubiladas por el + y el -, que con la aparición de la imprenta se normalizaron a partir del siglo XV, multiplicando su presencia en operaciones escritas, en expresiones algebraicas, en positivos y negativos, etc.