ROMANCE DE LA DERIVADA CON EL ARCO TANGENTE

Lo que voy a relatarles es un Romance. Pero no de aquellos que escribían los trovadores en verso y cantaban de pueblo en pueblo. Es un Romance porque se trata de una historia de amor. Un romance apasionado entre dos entes, digno de figurar entre las grandes historias de amor como son las de Romeo y Julieta o Eurí-dice y Orfeo.

Todo empezó allá en Alemania, hace muchos años. Dicen que fue en 1684 cuando la Derivada nació, después de un largo y doloroso embarazo. Lo hizo en el seno de una familia humilde que, desde luego, no podía prever la importancia que llegaría a alcanzar aquella tierna criatura. Su infancia fue normal. Sin grandes sobresaltos. Poco a poco fue creciendo y siendo conocida cada vez por más gente. Alguno de ellos empezó a vislumbrar la grandeza que llegaría a alcanzar. Por eso se preocuparon de dotarla de buenos y distinguidos vestidos, trataron de buscar un símbolo fácil de recordar y que sirviera para identificarla en cualquier lugar de la Tierra y, sobre todo, empezaron a escribir relatos sobre sus extraordinarias virtudes con el fin de darlas a conocer a todas las personas, especialmente a los estudiosos de la ciencia y la tecnología.

Cuando llegó a la edad adecuada y se convirtió en una moza de espléndida presencia, sucedió lo que tenía que suceder. Un buen día conoció a un muchacho que, aunque algo más viejo que ella, había adquirido hacía poco una magnífica representación gráfica que le daba una belleza tal, que atrajo la mirada curiosa de la Derivada. Tan buena moza tampoco le pasó desapercibida al Arco Tangente, que así se llamaba el galán.

Ese inicial amor platónico se convirtió al poco tiempo en un amor apasionado. Pronto notaron que la atracción mutua se debía a coincidencias que van más allá de las casualidades y que son capaces de ligar a dos seres para siempre.

La primera prueba de ello la tuvieron cuando se citaron en el punto (x₀, y₀ de la curva y = f(x) (figura 1). Cuando la Derivada f'(x) llegó al punto no pudo contener su emoción al comprobar su sintonía con Arco Tangente. Para comprobar que no era una casualidad, cambiaron varias veces el lugar de la cita y la sintonía continuaba, lo que acentuaba el atractivo.

Mientras iban de un punto a otro, Cupido completó su faena y enseguida empezaron a prometerse fidelidad eterna al tiempo que se intercambiaban mil y un teoremas de apasionado amor. Así, por ejemplo, comprobaron que ambos se anulaban en puntos de la curva como (x₁,f(x₁)) o (x₂, f(x₂)) de la figura 2.

También sirvió para acrecentar su atracción el comprobar que cuando Derivada crecía al pasar del punto (x₃, f(x₃) al (x₄, f(x₄), entonces Arco Tangente experimentaba asimismo un evidente crecimiento.

Todos se alegraban de aquel romance que prometía ser largo y profundo. De amor tan puro tendrían que nacer frutos hermosos. Y así fue.

Un día les invitaron a dar un largo paseo. Era el más largo que jamás habían hecho (figura 3). Cogidos amorosamente de la mano aceptaron la invitación y caminaron hacia arriba por una curva que, sin mala intención, habían preparado los hermanos Ejes Cartesianos (de nombres Horizontal y Vertical, aunque hay quien les llama también Abscisa y Ordenada), recientes amigos de nuestra enamorada pareja.

Pronto se dieron cuenta de que algo extraño sucedía. Al alejarse del Hermano Horizontal notaron que, mientras la Derivada sufría un exagerado crecimiento, Arco Tangente lo hacía lentamente acercándose a 90^º. Valor que, tras ese paseo, descubrieron que no era propicio a su relación. Por eso, a partir de ese momento, trataron de evitar esos asintóticos paseos.

Tampoco lo pasaron bien otro día que sus amigos los Ejes Cartesianos les invitaron a pasear por otra curva (figura 4).

Al principio, cuando Vertical los despidió, todo transcurrió como siempre. Cogidos por la cintura caminaban embebidos en su compenetración, nada les perturbaba cuando, de repente, al llegar a cierto punto x₀, perdieron el equilibrio y quedaron totalmente desorientados. Se llevaron un susto de muerte pues, aunque sólo fue un punto, a ellos, enamorados como estaban, les pareció una eternidad. Tan pronto salieron de él, volvieron a encontrarse y abrazarse como si salieran de una desagradable pesadilla. Su amigo Horizontal les dijo que aquellos puntos, llamados de retroceso, eran muy raros, que ahora les llaman disruptivos y que también causaban problemas a otros entes. Los enamorados trataron de evitarlos a partir de entonces.

Sin embargo la vida les fue dando más y más alegrías. Allá donde hubiese alguna cosa que variase en función de otra, allí estaban ellos para tratar de explicarlo todo: crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidades, etc. La ilustre pareja es invitada con mucha frecuencia a fiestas que organizan casi todas las funciones conocidas como la extensa tribu de Polinómicas, la altanera familia de las Racionales que más de un susto proporcionó a nuestros enamorados, la corta pero prolija familia de las Trigonométricas cuyos miembros son parientes cercanos del novio, las humildes Exponenciales y también sus primos los Logaritmos. Aprovechando esos encuentros se dedican, entre otras cosas, a buscar los puntos singulares de la función. Cuando los tienen, empiezan a trabajar todos y pueden llegar con facilidad a construirse una casa-gráfica en la interminable finca de los hermanos Ejes Cartesianos (figura 5).

Cierto día ella sintió un poco de angustia e inquietud ante la posibilidad de que él pudiese desaparecer, tal y como alguna vez había pensado que había. Él la tranquilizó. Le dijo que ahora tenía un domicilio que le gustaba y del que sólo salía cuando le llamaban. Le tomó delicadamente su mano, escribió en la palma su actual dirección donde, según le dijo, le podría encontrar siempre: shift tan¹.

Tras ese noviazgo más o menos largo y seguros como estaban de lo sólido de su amor, decidieron casarse. Si el destino les deparaba alguna desgracia posterior, querrían vivirla juntos. Comunicaron su deseo y todas las familias recibieron la noticia con gran regocijo. Para el día que decidieran celebrar la boda, los hermanos Ejes Cartesianos les ofrecieron su único punto común, el Origen, para celebrar la ceremonia. La pareja aceptó el ofrecimiento por considerarlo un lugar que todos conocían. No pusieron lista de bodas pero las distintas familias les ofrecieron originales regalos de bodas. Así, la función y = sen x, pariente del novio, se ofreció a llevarles hasta el lugar elegido a través de un recorrido lleno de suaves ondulaciones. También lo ofrecieron sus hermanas y = sen(x/2) e y = sen(x/3). Con ellas las ondulaciones serían aún más suaves.

Cuando llegaron, se encontraron que el punto estaba lleno de curiosos. Todas las funciones polinómicas se desprendieron ese día de su término independiente para no perderse lo que allí iba a acontecer. Otras, como la noble función y = e^x, se habían puesto a régimen para restarse un kilo y así poder pasar ese día por el origen como las otras funciones. Todas las que pudieron adelgazaron para no faltar a la cita. Es lo que hizo, por ejemplo, otra pariente del novio, y = cos x que toda la vida había visto el origen allá a lo lejos, a un kilómetro de distancia y ahora se estaba sometiendo a un régimen que le permitiera estar ese día en el punto escogido.

Los Ejes Cartesianos actuaron en esta historia como organizadores del evento. Enviaron sendas tarjetas de boda a los padres de la novia, Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton. No podían faltar. Los hermanos no pudieron evitar la tentación de invitar también a René Descartes, su padre; al fin y al cabo, gracias a él fue como se conoció la pareja.

Cuando todo estuvo dispuesto, se celebró el magno acontecimiento; la amplia familia matemática no lo olvidará. Los frutos de ese matrimonio han sido tantos que posiblemente sea uno de los matrimonios más felices de cuantos existen.

A Claudi Alsina, repartidor de ilusiones y esperanzas