Notas

^[1] Estrictamente se llaman los números naturales. (Nota del traductor). <<

^[2] Supongamos a2 = 2b2 donde, sin pérdida de generalidad, a, b, son números enteros sin ningún factor común mayor que 1 (tal factor puede ser suprimido en la ecuación aceptada). Si a es un número impar nos encontramos ante una contradicción inmediata, puesto que 2b2 es par; si a es par, ó sea 2c, entonces 4c2 = 2b2 ó 2c2 = b2, de modo que b es par, y por tanto a y b tienen el factor común 2, lo, que es de nuevo una contradicción. <<

^[3] Trátase manifiestamente de una afirmación viciosa. <<

^[4] En realidad la posibilidad de las construcciones con la regla y el compás, es según muchos eruditos la prueba de la existencia de la misma para los griegos (Nota del T.). <<

^[5] Hija de Federico, Elector palatino del Rin y Rey de Bohemia, y nieta de Jaime I de Inglaterra. <<

^[6] Este juicio es suficientemente exacto para la exposición presente. En realidad, lo que se requiere son los valores de las variables (coordenadas y velocidades) que hacen la función en cuestión estacionaria (que no aumenta ni disminuye). Un extremo es estacionario; pero un estacionario no es necesariamente un extremo. <<

^[7] El lector puede fácilmente ver que basta tratar el caso en que n sea un número impar, ya que en Álgebra uab = (ua)b donde u, a, b son cualquier número. <<

^[8] En 1903 el profesor alemán Paul Wolfskehl legó 100.000 marcos para premiar a la primera persona que diera una prueba completa del último teorema de Fermat. La inflación después de la primera guerra mundial, redujo este premio a una fracción de centavo. <<

^[9] Los autores difieren acerca de la edad de Pascal cuando hizo este estudio, calculándose entre 15 y 17 años. La edición de 1819 de las obras de Pascal contiene un breve resumen de ciertas proposiciones sobre las secciones cónicas, pero éste no es el ensayo completo que Leibniz vio. <<

^[10] Combinaciones de n objetos, tomados de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, etc., es el número de grupos que se pueden tomar con los n objetos, de manera que un grupo se diferencia de otro por lo menos en un objeto. Por ejemplo: cuatro objetos A, B, C, D, se pueden combinar de dos en dos en las seis formas siguientes. AB, AC, AD, BC, BD y CD (N. del T.). <<

^[11] Se había murmurado que la sobrina favorita de Newton se habría aprovechado de sus encantos para favorecer los nombramientos de Newton. <<

^[12] El problema era encontrar las trayectorias ortogonales de cualquier familia uniparamétrica de curvas (en lenguaje moderno). <<

^[13] Un antecedente de esta obra es la de B. Russell: Introducción a la Filosofía Matemática, traducida al castellano y publicada por la Editorial Losada, 1945. <<

^[14] Realmente he combinado aquí dos leyendas. Se le dio a la reina Dido una piel de toro para que abarcara el área máxima. La reina la cortó en tiras y formó un semicírculo. <<

^[15] Notas históricas respecto a éste y a otros problemas del cálculo de variaciones, se encontrarán en el libro de G. A. Bliss, Calculus of Variations, Chicago. 1925. <<

^[16] La cita procede del Eloge, de Condorcet. <<

^[17] Un «problema» ridículo de un caballero español posee la gracia suficiente para ser citado. La abreviatura habitual de 1 * 2 * … * n es n! Ahora bien, p − 1 + 1 = p, que es divisible por p. Añádase el signo de admiración (p − 1)! + 1! = p! La primera parte es también divisible por p; de aquí (p − 1)! + 1 es divisible por p. Por desgracia este razonamiento es también valedero si p no es primo. <<

^[18] F. J. D. Arago, 1786-1853, astrónomo, físico y biógrafo científico. <<

^[19] En lo que precede las tangentes son reales (visibles) si el punto P se halla fuera de los círculos, si el punto P está dentro, las tangentes son imaginarias. <<

^[20] Esta definición y otras de un carácter similar han sido tomadas de la obra de John Wesley Young, Projective Geometry (Chicago, 1930). Este librito es comprensible para todo el que tenga conocimientos elementales de Geometría. <<

^[21] Todavía no está demostrada la leyenda de las relaciones de Gauss con sus padres. Aunque, como veremos más tarde, la madre defendía a su hijo, el padre se oponía, y como era habitual entonces (y también ahora) en un hogar alemán, el padre decía la última palabra. Aludiré más tarde a narraciones de personas que aun viven y que conocieron a los miembros de la familia Gauss, especialmente en lo que concierne a cómo trataba Gauss a su hijo. Estas alusiones constituyen pruebas directas, pero no hay que fiarse de ellas, pues las personas a que me refiero eran muy ancianas. <<

^[22] Shakespeare, El Rey Lear, Acto I, escena II, 1-2, con el cambio esencial de «ley» por «leyes». <<

^[23] Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Consideraciones de espacio nos impiden ocuparnos de su vida. Gran parte de su obra ha sido absorbida o elaborada por matemáticos más jóvenes. <<

^[24] Cuando los sagaces nazis expulsaron a Fraulein Noether de Alemania por ser judía, el colegio Bryn Mawr, de Pennsylvania, la recibió. Era la algebrista de mayor capacidad creadora abstracta del mundo. En menos de una semana de la nueva Alemania, Göttingen perdió la liberalidad tan querida a Gauss, por cuyo mantenimiento luchó toda su vida. <<

^[25] Las operaciones de un par pueden ser la misma operación; así X, X. <<

^[26] Por ejemplo, hasta el infinito, obtenido dividiendo 1 por (1 − x), carece de sentido si x es un número positivo igual o mayor que 1. <<

^[27] «… ce qu’on peut toujours faire d’un probléme quelconque» es lo que dice. Esto parece una bagatela demasiado optimista, al menos para los vulgares mortales. ¿Cómo podría aplicarse el método al último teorema de Fermat? <<

^[28] Libri, un soi-disant matemático, quien vio la obra estando en prensa, añade con permiso de la Academia una relamida nota al pie de página donde reconoce el genio del desgraciado Abel. Este es ya el golpe de gracia. La Academia, debió exponer todos los hechos o abstenerse. Recordemos a este propósito que los manuscritos y obras de valor en que puso Libri sus manos, tuvieron generalmente, mala suerte. <<

^[29] Al atribuir la prioridad a Abel y no a Abel y Jacobi conjuntamente, he seguido la opinión de Mittag-Leffler. Basándome en todo lo publicado estoy convencido de que los derechos de Abel son indiscutibles aunque los compatriotas de Jacobi piensen de otro modo. <<

^[30] Si n es impar, el número de formas es ocho veces la suma de todos los divisores de n incluidos 1 y n); si n es par, el número de formas es 24 veces la suma de todos los divisores impares de n. <<

^[31] En su tumba figura como fecha de nacimiento, error que obedece a que nació a medianoche en punto. Hamilton, que tenía pasión por los pequeños detalles, eligió el 3 de agosto; pero al final de su vida rectificó, por razones sentimentales, y aceptó el 4. <<

^[32] El volumen de los trabajos de Euler indudablemente excederá al de los de Cayley cuando se hayan impreso todas sus obras. <<

^[33] La significación de este teorema será comprendida si el lector vuelve a leer los párrafos dedicados a Abel en el capítulo XVI. <<

^[34] Esta parte de la teoría fue desarrollada muchos años más tarde por E. K. Wakeford (1894-1916), quien perdió su vida en la primera Guerra Mundial. «Gracias sean dadas a Dios que nos iguala en esta hora». (Rupert Brooke). <<

^[35] Por ejemplo, como en la simple cuadrática x² − a = 0: las raíces son x = √+ a, x = √−a, el «múltiple valor» del radical implicado, aquí una raíz cuadrada o irracional de segundo grado, aparece en el doble signo, cuando decimos brevemente que las dos raíces son a. La fórmula que da las tres raíces de las ecuaciones cúbicas implica la irracionalidad de tres valores que tiene los tres valores 1, ½, (−1 + −3), ½ (−1 −3). <<

^[36] Estrictamente, ae^x, donde a no depende de x, es lo más general, pero la «constante multiplicativa» a carece de importancia aquí. <<

^[37] Un problema de este tipo es el siguiente: Una curva algebraica puede también volverse sobre ella, o colocarse donde la curva cruza sus tangentes; dado el grado de la curva ¿cuántos de esos puntos existen? O si no podemos responder a esta pregunta ¿qué ecuaciones deben mantenerse que relacionen el número de éstos y de otros puntos excepcionales? Lo mismo puede decirse para las superficies. <<

^[38] En una carta a Sonja Kowalewski, 1885. <<

^[39] Si z = x + iy, y w = u + iv, es una función analítica de z, las ecuaciones de Riemann son:

Estas ecuaciones fueron establecidas mucho antes por Cauchy, pero el mismo Cauchy tampoco fue el primero, pues D’Alembert las planteó en el siglo XVIII. <<

^[40] Si x^p + y^p = z^p, entonces x^p = z^p − y^p, y descomponiendo z^p − y^p, en sus factores p de primer grado, tendremos

x^p = (z − y) (z − ry) (z − r²y) … (z − r^p − ¹y).

en la que r es una raíz p-sima de unidad (diferente de l), o sea tp − 1 = 0, con r no igual a 1. Los enteros algebraicos en el campo del grado p engendrado por r son los que Kummer introdujo en el estudio de la ecuación de Fermat, y que le llevó a la invención de sus «números ideales» para restablecer la factorización única en el campo; un entero en tal campo no es únicamente el producto de primos en el campo para todos los primos p. <<

^[41] El «infinito» en el título de Kummer está aún (1936) injustificado; la palabra «gran» debe sustituir a la palabra «infinito». <<

^[42] No ha aparecido aún una buena biografía de Dedekind. Su vida debía haber sido incluida en el tercer volumen de sus obras completas (1932), pero no ocurrió así a consecuencia de la muerte del editor principal Robert Fricke. El relato que aquí aparece está basado sobre el discurso conmemorativo de Landau. Obsérvese que siguiendo la buena y vieja costumbre teutónica de algunos biógrafos alemanes, Landau omite toda mención de la madre de Dedekind. No hay duda de que de acuerdo con la teoría de las «tres k», defendida por el Káiser alemán y cordialmente admitida por Adolf Hitler, «todo el deber de una mujer está definido por las tres grandes k, Kissin, Kookin y Kids» [besos, cocina y niños]. Me agradaría conocer, al menos, el nombre de soltera de la madre del gran hombre. <<

^[43] Esta famosa cuestión del «cuerpo piriforme», de considerable importancia en cosmogonía, fue planteada en 1905 por Liapounoff, y sus conclusiones confirmadas por Sir James Jeans; encontraron que el movimiento es inestable. Pocos han tenido valor de comprobar los cálculos. Después de 1915, León Liechtenstein, compatriota de Liapounoff, abordó de un modo general el problema de las masas fluidas en rotación. El problema parece dar mala suerte, pues ambos tuvieron muertes violentas. <<

^[44] «No hay camino real que conduzca a la Geometría»; se dice que Menecmo, respondió a Alejandro el Grande, cuando éste deseaba aprender la Geometría apresuradamente. <<

^[45] Poincaré llamó a algunas de sus funciones «fuchsianas», del nombre del matemático alemán Lazarus Fuchs (1833-1902), uno de los creadores de la teoría moderna de ecuaciones diferenciales, por razones sobre las que no necesitamos detenernos. A otras las denominó «kleinianas», del nombre de Félix Klein, en irónico reconocimiento de discutida prioridad. <<

^[46] Enquête de «L’Enseignement Mathématique sur la méthode de travail des mathématiciens». Publicada también en forma de libro (8 + 137 págs.), por GauthierVillars. París <<

^[47] Citado por R. L Moritz, Memorabilia Mathematica, 1914. La fuente original no he podido encontrarla. <<

^[48] L. Couturat, De d’infini mathématique, París, 1896, pág. 49. Con la advertencia de que gran parte de esta obra está anticuada, se puede recomendar por su claridad al lector general.

Una explicación de los elementos del cantorismo por un notable especialista polaco, que está dentro de la comprensión de cualquiera que tenga una mediana educación y cierto gusto por el razonamiento abstracto, se encuentra en las Leqons sur les nombres transfinis, por Waclaw Sierpinski, París, 1928. El prefacio de Borel proporciona las advertencias necesarias. El resumen mencionado de Couturat tiene cierto interés histórico en relación con el programa de Hilbert. Se anticipa treinta años a la enunciación de Hilbert de su credo formalista. <<