Capítulo 2
FOTONES: PARTÍCULAS DE LUZ

Esta es la segunda de una serie de conferencias sobre electrodinámica cuántica y como está claro que ninguno de Vds. estaba aquí la última vez (puesto que les dije que no iban a entender nada) voy a resumir brevemente la primera conferencia.

Estábamos hablando de la luz. El primer rasgo importante de la luz es que parece que son partículas: cuando luz monocromática (luz de un color) muy tenue incide sobre un detector, el detector emite clicks de la misma intensidad, aunque cada vez con menor frecuencia, según se va haciendo más tenue la luz.

El otro rasgo importante de la luz discutido en la primera conferencia es el de la reflexión parcial de la luz monocromática. Una media del 4% de los fotones que inciden sobre una única superficie de cristal es reflejada. Esto es ya un profundo misterio, puesto que es imposible predecir qué fotones se reflejarán y cuáles pasarán a través de la lámina. Con una segunda superficie, los resultados son extraños: en lugar del esperado 8% de reflexión por las dos superficies, la reflexión parcial puede ampliarse hasta un elevado 16% o desaparecer, dependiendo del espesor del cristal.

Este extraño fenómeno de la reflexión parcial por dos superficies puede explicarse para una luz intensa mediante una teoría de ondas, pero la teoría ondulatoria no puede explicar cómo el detector emite clicks de igual intensidad cuando la luz se atenúa. La electrodinámica cuántica «resuelve» esta dualidad onda-partícula estableciendo que la luz se compone de partículas (como Newton pensó inicialmente), pero el precio de este gran avance de la ciencia es una retirada de la física a la posición de ser capaz de calcular sólo la probabilidad de que un fotón incida en el detector, sin ofrecer un buen modelo de cómo ocurre realmente.

En la primera conferencia describí cómo los físicos calculan la probabilidad de que un suceso particular tenga lugar. Dibujaré algunas flechas sobre una hoja de papel según unas reglas, que son las siguientes:

• GRAN PRINCIPIO: la probabilidad de un suceso es igual al cuadrado de la longitud de una flecha denominada «amplitud de probabilidad». Una flecha de longitud 0,4, por ejemplo, representa una probabilidad de 0,16 o 16%.
• REGLA GENERAL para dibujar flechas si un suceso puede ocurrir por caminos alternativos: Dibujar una flecha para cada camino, y combinarlas («sumarlas») uniendo la cabeza de una a la cola de la siguiente. Se dibuja luego una «flecha final» desde la cola de la primera flecha hasta la cabeza de la última. La flecha final es tal que su cuadrado da la probabilidad del suceso completo.

Existen también algunas reglas específicas para dibujar flechas en el caso de la reflexión parcial por el cristal (se pueden encontrar en las páginas 36 y 37). Todo lo que precede es un resumen de la primera conferencia.

Lo que me gustaría hacer ahora es mostrarles cómo este modelo del mundo, que es tan completamente distinto de cualquiera que hayan visto antes (que quizá esperen no volver a verlo nunca más), puede explicar todas las propiedades elementales que conocen de la luz: cuando la luz se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión; la luz se curva cuando pasa del aire al agua; la luz viaja en línea recta: la luz se puede focalizar por una lente, y así sucesivamente. La teoría también describe muchas otras propiedades de la luz con las que probablemente no estén familiarizados. De hecho, la mayor dificultad que he tenido al preparar estas conferencias ha sido el resistir la tentación de deducir todas las cosas que sobre la luz les costó tanto aprender en la escuela —tales como el comportamiento de la luz cuando pasa por un borde y arroja una sombra (llamado difracción)— pero puesto que la mayoría de Vds. no ha observado cuidadosamente estos fenómenos, no me ocuparé de ellos. Sin embargo, puedo garantizarles (de otra manera, los ejemplos que voy a mostrarles serían engañosos) que cada fenómeno luminoso que ha sido observado con detalle puede ser explicado por la teoría de la electrodinámica cuántica, aunque sólo vaya a describirles los más sencillos y comunes de entre ellos.

Comenzaremos con un espejo y el problema de determinar cómo se refleja la luz en él (ver Fig. 19). En S tenemos una fuente que emite luz de un color con una intensidad muy baja (usemos de nuevo luz roja). Esta fuente emite un fotón cada vez. En P, colocamos un fotomultiplicador para detectar fotones. Coloquémoslo a la misma altura que la fuente —el dibujar flechas es más sencillo si todo es simétrico—. Queremos calcular la probabilidad de que el detector haga un click después de que la fuente haya emitido un fotón. Puesto que es posible que un fotón vaya directamente hacia el detector, coloquemos una pantalla en Q para evitar que ocurra esto.

Bien, esperamos que toda la luz que alcance el detector se refleje en el centro del espejo, porque es el sitio en donde el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Y parece bastante obvio que las partes del espejo cercanas a ambos extremos tengan tanto que ver con la reflexión como con el precio del queso ¿verdad?

Aunque puedan pensar que las partes del espejo cercanas a los extremos no tienen nada que ver con la reflexión de la luz que va de la fuente al detector, miremos lo que la teoría cuántica tiene que decir. Regla: la probabilidad de que un suceso determinado tenga lugar es el cuadrado de la flecha final que se obtiene dibujando una flecha para cada camino por el que el suceso puede tener lugar y luego combinando («sumando») las flechas.

En el experimento en el que se medía la reflexión parcial de la luz por dos superficies, existían dos caminos por los que el fotón podía ir de la fuente al detector. En este experimento, existen millones de caminos por los que puede ir el fotón: puede incidir en la parte izquierda del espejo, en A o B (por ejemplo), y reflejarse hacia el detector (ver Fig. 20); puede reflejarse en la parte que piensa que debería de hacerlo, en G; o, puede incidir en la parte derecha del espejo, en K o M, y reflejarse hacia el detector. Pueden pensar que estoy loco porque en la mayoría de los caminos que les he mencionado para que el fotón se reflejase en el espejo, los ángulos no eran iguales. Pero no estoy loco, porque ¡esa es la forma en que la luz viaja realmente! ¿Cómo puede ser?

Para simplificar el problema, supongamos que el espejo consiste solo en una tira larga de izquierda a derecha —también es conveniente, por el momento, olvidar que el espejo sobresale del papel (ver Fig. 21)—. Mientras que existen, en realidad, millones de sitios en donde la luz puede reflejarse en esta tira de espejo, hagamos una aproximación temporal dividiendo el espejo en un número finito de pequeños cuadrados, y considerando sólo un camino para cada cuadrado —nuestro cálculo se hace más preciso (pero más arduo también) al hacer los cuadrados más pequeños y considerar más caminos.

Ahora dibujemos una pequeña flecha para cada camino por el que la luz, en esta situación, puede viajar. Cada flechita tiene una cierta longitud y dirección. Consideremos la longitud en primer lugar. Podrían pensar que la flecha que dibujamos representando el camino que va al centro del espejo, a G, es con mucho la más larga (puesto que parece existir una gran probabilidad de que cualquier fotón que llegue al detector lo haga de esta manera), y que las flechas para los caminos desde los extremos del espejo deben de ser muy cortas. No, no; no debemos hacer una regla tan arbitraria. La regla correcta —lo que realmente ocurre— es mucho más simple: un fotón que llega al detector tiene casi la misma posibilidad de hacerlo por cualquier camino, por lo que las pequeñas flechas tienen todas casi idéntica longitud. (Existen, en realidad, algunas ligeras variaciones de longitud debido a los distintos ángulos y distancias implicadas, pero son tan nimias que voy a ignorarlas). Por consiguiente digamos que cada pequeña flecha que dibujamos tiene una longitud arbitraria uniforme —haré su longitud muy pequeña porque existen muchas de estas flechas que representan los muchos caminos en que la luz puede viajar (ver Fig. 22).

Aunque es válido suponer que la longitud de todas las flechas es casi la misma, las direcciones son claramente distintas porque sus tiempos son diferentes —como recordarán de la primera conferencia, la dirección de una flecha particular está determinada por la posición final de un cronógrafo imaginario que cronometra a un fotón en su movimiento a lo largo de un camino particular—. Cuando un fotón va hacia la izquierda del espejo, hacia A, y luego al detector, tarda claramente más tiempo que un fotón que va al detector reflejándose en el centro del espejo, en G (ver Fig. 23). O, imaginen por un momento que tienen prisa y tienen que correr desde la fuente hasta el espejo y luego al detector. Saben que ciertamente no es una buena idea el ir hasta A y luego todo el camino hasta el detector; sería mucho más rápido tocar el espejo en algún lugar próximo a su centro.

Para ayudamos a calcular la dirección de cada flecha, voy a dibujar una gráfica debajo del esquema representativo del espejo (ver Fig. 24). En línea con cada parte del espejo en donde se puede reflejar la luz, voy a señalar, en verticales, cuánto tiempo se tardaría si la luz viajase por ese camino. Cuanto más tiempo se emplee, más alto estará el punto en la gráfica. Comenzando por la izquierda, el tiempo que tarda un fotón en hacer el camino que se refleja en A es bastante grande, de manera que dibujamos un punto bastante alto en la gráfica. Al desplazarnos hacia el centro del espejo, el tiempo que emplea un fotón en recorrer el camino, en la forma en que nos movemos, se reduce, de modo que dibujamos cada punto sucesivamente más bajo que el anterior. Después de pasar el centro del espejo, el tiempo que emplea un fotón en cada uno de los sucesivos caminos es cada vez más grande, así que representamos nuestros correspondientes puntos cada vez más altos. Para visualizarlo mejor unamos los puntos: forman una curva simétrica que empieza alta, baja y luego sube de nuevo.

Bien, ¿qué relación tiene esto con la dirección de las flechitas? La dirección de una flecha específica corresponde al tiempo que tardaría un fotón en ir desde la fuente al detector siguiendo ese camino específico. Dibujemos las flechas comenzando por la izquierda. El camino A es el que lleva más tiempo, su flecha señala en una dirección (Fig. 24). La flecha del camino B señala en dirección diferente porque su tiempo es diferente. En el centro del espejo, las flechas F, G y H señalan casi en la misma dirección porque sus tiempos son casi los mismos. Después de pasar el centro del espejo, vemos que cada camino a la derecha se corresponde con un camino a la izquierda cuyo tiempo es exactamente el mismo (esto es consecuencia de colocar la fuente y el detector a la misma altura, y el camino por G exactamente en el medio). Así la flecha para el camino J, por ejemplo, tiene la misma dirección que la flecha para el camino D.

Sumemos ahora las pequeñas flechas (Fig. 24). Comenzando con la flecha A, unimos las flechas entre sí, cabeza con cola. Bien, si fuésemos a dar un paseo utilizando cada pequeña flecha como un paso, no iríamos muy lejos al principio porque la dirección de un paso a otro es muy distinta. Pero al cabo de un rato las flechas empiezan a señalar generalmente en la misma dirección. Finalmente, próximo al final de nuestro paseo, la dirección entre pasos es de nuevo bastante diferente, de modo que hacemos unas cuantas eses más.

Todo lo que tenemos que hacer ahora es dibujar la flecha final. Simplemente conectamos la cola de la primera flechita con la cabeza de la última y vemos cuanto hemos progresado en línea recta en nuestro paseo (Fig. 24). ¡Y he aquí que obtenemos una flecha final de tamaño considerable! ¡La teoría de la electrodinámica cuántica predice que la luz, sin duda, se refleja en el espejo!

Bien, investiguemos. ¿Qué determina la longitud de la flecha final? Notamos un número de cosas. Primero, los extremos del espejo no son importantes: allí, las flechitas van erráticas y no nos conducen a ninguna parte. Si cortase los extremos del espejo —partes en las que Vds. instintivamente sabían que yo estaba malgastando mi tiempo entreteniéndome con ellas— apenas afectaría a la longitud final de mi flecha.

Entonces, ¿cuál es la parte de espejo que contribuye sustancialmente a la longitud de la flecha final? Es la parte en donde las flechas señalan todas en casi la misma dirección, porque su tiempo es casi el mismo. Si miran el gráfico que muestra el tiempo para cada camino (Fig. 24), verán que el tiempo es casi el mismo para los caminos de la parte inferior de la curva donde el tiempo es mínimo.

Resumiendo, donde el tiempo es mínimo es donde también el tiempo para los caminos próximos es casi el mismo; esto es, donde las flechitas señalan en casi la misma dirección y contribuyen de manera substancial a la longitud, es donde se determina la probabilidad de un fotón reflejándose en un espejo. Y esta es la razón por la que, aproximadamente, podemos continuar con la cruda visión del mundo que establece que la luz sólo va donde el tiempo es menor (y es fácil probar que donde el tiempo es menor, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, pero no tengo tiempo de demostrarlo).

Por tanto la teoría de la electrodinámica cuántica da la respuesta correcta —el centro del espejo es la parte importante para la reflexión— pero este resultado correcto surge a expensas de creer que la luz se refleja en todo el espejo, y de tener que sumar un manojo de pequeñas flechas cuyo único propósito es cancelarse. Todo esto puede parecerles una pérdida de tiempo —algún juego tonto sólo para matemáticos—. Después de todo no parece «física real» el tener algo que ¡sólo se cancela!

Comprobemos la idea de que realmente hay reflexión a lo largo de todo el espejo haciendo otro experimento. Primero, cortemos la mayor parte del espejo y dejemos alrededor de una cuarta parte, la de la zona izquierda. Todavía nos queda un trozo bastante grande de espejo, pero en el sitio equivocado. En el experimento anterior las flechas del lado izquierdo del espejo señalaban en direcciones muy distintas entre sí debido a la gran diferencia de tiempo entre caminos vecinos (Fig. 24). En este experimento voy a realizar un cálculo más detallado tomando intervalos mucho más pequeños en la parte izquierda del espejo —lo suficientemente estrechos como para que no exista gran diferencia de tiempo entre caminos vecinos (ver Fig. 25)—. Con esta imagen más detallada, vemos que algunas flechas señalan más o menos hacia la derecha; otras más o menos hacia la izquierda. Si sumamos todas las flechas, tendremos un conjunto de flechas distribuidas esencialmente en un círculo que no conducen a parte alguna.

Pero supongamos que rayamos cuidadosamente el espejo en aquellas zonas cuyas flechas se inclinan hacia una determinada dirección —digamos hacia la izquierda— de manera que sólo permanecen aquellos sitios en donde las flecha señalan, en general, en la otra dirección (ver Fig. 26). Cuando sumamos sólo las flechas que señalan más o menos hacia la derecha, obtenemos una serie de depresiones y una flecha final substanciosa —¡de acuerdo con la teoría deberíamos de tener ahora una gran reflexión!— y de hecho la tenemos, ¡la teoría es correcta! Tal espejo se denomina una red de difracción y funciona que es un encanto.

Es maravilloso, Vd. puede coger un trozo de espejo donde no esperaba ninguna reflexión, raspar parte de él y ¡refleja!^[4].

La rejilla particular que acabo de mostrarles ha sido diseñada para la luz roja. No funcionará con luz azul; tendríamos que hacer una nueva rejilla con las tiras cortadas con menor espaciado porque como les dije en la primera conferencia, la manecilla del cronógrafo gira más deprisa cuando sigue a un fotón azul que cuando sigue a uno rojo. De manera que los cortes diseñados específicamente para la velocidad de giro «roja» no están situados en los lugares correctos para la luz azul; las flechas se acodan y las rejillas no funcionan muy bien. Pero ocurre que si, como por accidente, desplazamos el fotomultiplicador hacia abajo formando un ángulo diferente, la red de difracción hecha para la luz roja funciona ahora para la luz azul. Es un accidente afortunado, una consecuencia de la geometría involucrada (ver Fig. 27).

Si se hace incidir luz blanca sobre la rejilla, la luz roja aparece en un sitio, la naranja ligeramente por encima, seguida de la amarilla, verde y azul —todos los colores del arco iris—. A menudo se pueden ver los colores donde existe una serie de surcos juntos —por ejemplo, cuando sostienen un disco de gramófono (o mejor, un vídeo disco) bajo luz brillante y ángulo correcto—. Quizá Vds. hayan visto esas maravillosos señales plateadas (aquí en la soleada California a menudo se ven en la parte posterior de los coches): cuando se mueve el coche, se ven colores muy brillantes cambiando del rojo al azul. Ahora saben de dónde proceden los colores: están mirando a una red de difracción —un espejo que ha sido arañado en los sitios adecuados—. El sol es la fuente luminosa, y sus ojos son el detector. Puedo continuar fácilmente explicándoles cómo funcionan los láseres y hologramas, pero sé que no todos han visto estas cosas y yo tengo muchas otras cosas de que hablar^[5].

Por consiguiente una red de difracción demuestra que no podemos ignorar las partes de un espejo que no parecen reflejar; si le hiciésemos algunas cosas inteligentes al espejo, podríamos demostrar la realidad de las reflexiones para todas sus partes y producir algunos fenómenos ópticos chocantes.

Lo que es más importante, al demostrar la realidad de la reflexión por todas las partes del espejo demostramos que existe una amplitud —una flecha— para cada camino por el que un suceso puede tener lugar. Y a fin de calcular correctamente la probabilidad de un suceso bajo diferentes circunstancias, tenemos que sumar las flechas de cada camino por el que el suceso puede ocurrir —¡no sólo las de los caminos que creemos que son importantes!

Bien, me gustaría hablarles de algo más familiar que las redes de difracción: acerca de la luz que va del aire al agua. Esta vez colocaremos el fotomultiplicador debajo del agua —¡suponemos que el experimentador puede hacer eso!—. La fuente luminosa está en el aire en S, y el detector debajo del agua en D (ver Fig. 29). De nuevo, queremos calcular la probabilidad de que un fotón vaya desde la fuente luminosa al detector. Para realizar el cálculo, debemos considerar todos los caminos por los que puede viajar la luz. Cada camino, por el que puede ir la luz, contribuye con una pequeña flecha y, como en el ejemplo previo, todas las flechas tienen casi la misma longitud. Podemos hacer de nuevo una gráfica del tiempo que tarda cada fotón en recorrer cada camino posible. La gráfica será una curva muy parecida a la descrita por la luz reflejándose en un espejo: comienza alta, decrece y sube de nuevo; las contribuciones más importantes provienen de los lugares donde las flechas señalan casi en la misma dirección (donde el tiempo es casi el mismo entre caminos contiguos), es decir, de la parte inferior de la curva. Aquí es donde también el tiempo es mínimo, luego todo lo que tenemos que hacer es descubrir dónde es mínimo el tiempo.

Resulta que la luz parece viajar más despacio en el agua de lo que lo hace en el aire (les explicaré la razón en la próxima conferencia) lo que convierte a la distancia a través del agua en «más costosa» por así decir, que la distancia a través del aire. No es difícil imaginar qué camino es el de tiempo menor: Supongamos que Vds. son un guardacostas, sentado en S, y que la chica guapa se está ahogando en D (Fig. 30). Se puede correr en la tierra más deprisa que se puede nadar en el agua. El problema es ¿dónde entrar en el agua para alcanzar más rápidamente a la víctima que se ahoga? ¿Correr hacia el agua en A y luego nadar a toda velocidad? Por supuesto que no. Pero correr en línea recta hacia la víctima y entrar en el agua en J tampoco es el camino más rápido. Mientras que sería tonto para un socorrista analizar y calcular en esas circunstancias, existe una posición calculable en la que el tiempo es mínimo: es un compromiso entre tomar el camino directo, a través de J, y tomar el camino con menor tramo en el agua, a través de N. Y lo mismo ocurre con la luz —el camino de menor tiempo es el que penetra en el agua en un punto entre J y N, tal como L.

Otro fenómeno de la luz que me gustaría mencionar brevemente es el espejismo. Cuando están conduciendo por una carretera muy caliente, a veces pueden ver lo que parece agua en la carretera. Lo que realmente están viendo es el cielo, y cuando se ve el cielo en la carretera normalmente es porque hay charcos en ella (reflexión parcial de la luz por una única superficie). Pero ¿cómo se puede ver el cielo en la carretera cuando no tiene agua? Lo que necesitan saber es que la luz viaja más despacio en el aire frío que en el caliente, y para que se pueda ver un espejismo, el observador debe de encontrarse en el aire más frío que está por encima del aire caliente de la superficie de la carretera (ver Fig. 31). Cómo es posible ver el cielo mirando hacia abajo es algo que se puede comprender encontrando el camino de tiempo mínimo. Les dejo esto para que jueguen en casa —es divertido el pensarlo y muy fácil descubrirlo.

En los ejemplos que les he expuesto de la luz reflejándose en un espejo y la luz atravesando aire y luego agua, estaba haciendo una aproximación: por motivos de simplificación, dibujé los distintos caminos en los que la luz puede viajar como dos líneas rectas —dos líneas rectas que forman un ángulo—. Pero no tenemos que suponer que la luz viaja en línea recta cuando está en un medio uniforme como el aire o el agua; incluso esto se puede explicar por el principio general de la teoría cuántica: la probabilidad de un suceso se encuentra sumando las flechas correspondientes a todos los caminos por los que puede ocurrir.

Así, en nuestro próximo ejemplo, voy a mostrarles cómo, sumando flechitas, puede parecer que la luz viaja en línea recta. Coloquemos una fuente y un fotomultiplicador en S y P, respectivamente (ver Fig. 32), y consideremos todos los caminos por los que puede ir la luz —todo tipo de caminos sinuosos— desde la fuente del detector. Entonces dibujamos una flechita para cada camino y ¡estamos aprendiendo la lección bien!

Para cada camino sinuoso, tal como el camino A, existe otro un poquito más derecho y decididamente más corto —es decir, que lleva mucho menos tiempo—. Pero cuando los caminos son casi rectos —como por ejemplo en C— un camino próximo y más derecho tiene casi el mismo tiempo. Aquí es donde las flechas se suman en lugar de cancelarse; aquí es por donde va la luz.

Es importante señalar que la única flecha que representa el camino en línea recta, a través de D (Fig. 32), no es suficiente para explicar la probabilidad de la luz que va de la fuente al detector. Los caminos próximos, caminos casi rectos —los de C y E por ejemplo— también contribuyen de manera considerable. Luego la luz realmente no viaja sólo en línea recta; «olfatea» los caminos próximos y utiliza un pequeño núcleo del espacio cercano (De la misma manera, un espejo tiene que tener un tamaño adecuado para reflejar normalmente: si el espejo es muy pequeño con respecto al núcleo de caminos vecinos, la luz se difunde en muchas direcciones independientemente de donde se coloque el espejo).

Investiguemos este núcleo de luz con más detenimiento colocando una fuente en S, un fotomultiplicador en P, y un par de bloques entre ellos para evitar que las trayectorias de la luz se alejen demasiado (ver Fig. 33). Ahora, coloquemos un segundo fotomultiplicador en Q, debajo de P, y supongamos de nuevo, por sencillez, que la luz puede ir de S a Q sólo mediante caminos de dobles líneas rectas. Ahora ¿qué ocurre? Cuando la separación entre bloques es lo suficientemente grande como para permitir muchos caminos vecinos hacia P y Q, las flechas de los caminos que llevan a P se suman (porque todos los caminos hacia P suponen el mismo tiempo), mientras que las correspondientes a caminos hacia Q se anulan (porque estos caminos tienen una diferencia considerable de tiempo). Entonces el fotomultiplicador en Q no hace click.

Pero si acercamos los bloques entre sí, en un determinado momento ¡el detector en Q comienza a hacer clicks! Cuando el espaciado entre bloques es muy pequeño y sólo existen unos cuantos caminos vecinos, las flechas de los que van hacia Q también se suman, porque apenas existe diferencia de tiempo entre ellos (ver Fig. 34). Por supuesto, ambas flechas finales son muy pequeñas de modo que no hay mucha luz en ninguno de los dos caminos al pasar a través de un agujero tan pequeño, ¡pero el detector en Q hace casi tantos clicks como el de P! Por tanto, cuando intentamos constreñir mucho la luz para asegurarnos de que sólo viaja en línea recta, ésta se niega a colaborar y empieza a desperdigarse^[6].

Por consiguiente la idea de que la luz viaja en línea recta es una aproximación conveniente para describir lo que ocurre en nuestro mundo familiar; es similar a la cruda aproximación que establece que cuando la luz se refleja en un espejo, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

De la misma manera que fuimos capaces de llevar a cabo un truco ingenioso para hacer que la luz se reflejara con muchos ángulos en un espejo, podemos realizar un truco similar para hacer que la luz vaya de un punto a otro por varios caminos.

En primer lugar simplifiquemos la situación. Voy a dibujar una línea vertical punteada (ver Fig. 35) entre la fuente luminosa y el detector (la línea no significa nada, es una línea artificial) y a establecer que los únicos caminos que vamos a considerar son los de doble línea recta. La gráfica que muestra el tiempo para cada camino tiene el mismo aspecto que en el caso del espejo (pero esta vez la dibujaré de lateral): la curva empieza en A, en la parte superior, y luego retrocede, porque los caminos en la parte central son más cortos y llevan menos tiempo. Finalmente, la curva sale de nuevo.

Bien, divirtámonos un rato. «Engañemos a la luz» de manera que todos los caminos requieran el mismo tiempo. ¿Cómo podemos hacerlo? ¿Cómo podemos hacer que el camino más corto a través de M lleve exactamente el mismo tiempo que el camino más largo a través de A?

Bien, la luz viaja más despacio en el agua que en el aire; también va más lenta en el cristal (¡qué es mucho más fácil de manejar!). Por tanto si colocamos un cristal del espesor adecuado en el camino más corto, a través de M, podemos hacer que el tiempo para este camino sea exactamente el mismo que el del camino A. Los caminos próximos a M, que son un poquito más largos, no requerirán de la misma cantidad de cristal (ver Fig. 36). Cuanto más próximos estemos a A, menos cristal necesitaremos para retardar la luz. Colocando el espesor adecuado de cristal, cuidadosamente calculado, necesario para compensar el tiempo a lo largo de cada camino, podemos repetir el experimento muchas veces. Cuando dibujemos las flechas de cada camino por el que puede viajar la luz, encontraremos que hemos conseguido enderezarlas todas —y hay en realidad millones de flechitas— luego el resultado final es una flecha final inesperadamente enorme, ¡sensacionalmente grande! Por supuesto saben lo que estoy describiendo: una lente focalizadora. Arreglando las cosas para que todos los tiempos sean iguales podemos focalizar la luz —podemos hacer que la probabilidad de que la luz llegue a un punto determinado sea muy alta, y que sea muy baja en cualquier otro.

He utilizado estos ejemplos para mostrarles cómo la teoría de la electrodinámica cuántica, que parece al principio una idea absurda, sin causalidad, mecanismo o algo real en ella, reproduce efectos que les son familiares: la luz reflejándose en un espejo, la luz desviándose cuando pasa del aire al agua y la luz focalizándose mediante una lente. También reproduce otros ejemplos que pueden o no haber visto, tales como las redes de difracción y cierto número de otras cosas. De hecho, la teoría continúa teniendo éxito explicando todo fenómeno luminoso.

Les he mostrado, con ejemplos, cómo calcular la probabilidad de un suceso que puede tener lugar por caminos alternativos: dibujamos una flecha por cada camino en que pueda ocurrir y luego súmanos las flechas. «Sumar flechas» significa que las flechas se colocan cabeza contra cola y se dibuja una «flecha final». El cuadrado de la flecha final resultante representa la probabilidad del suceso.

Para darles una idea más completa de la teoría cuántica, me gustaría mostrarles ahora cómo calculan los físicos las probabilidades de los sucesos compuestos —sucesos que pueden descomponerse en una serie de pasos, o sucesos que consisten en un número de cosas ocurriendo independientemente.

Un ejemplo de suceso compuesto puede conseguirse modificando nuestro primer experimento, en el que enviábamos algunos fotones rojos a una superficie de cristal para medir la reflexión parcial. En lugar de colocar el fotomultiplicador en A (ver Fig. 37) pongamos una pantalla con un agujero que deja que los fotones que llegan al punto A la atraviesen. Luego, pongamos una lámina de cristal en B y coloquemos el fotomultiplicador en C. ¿Cómo determinamos la probabilidad de que un fotón llegue desde la fuente hasta C?

Podemos pensar en este suceso como una secuencia de dos pasos. Paso 1: un fotón va desde la fuente al punto A, reflejándose en la superficie del cristal. Paso 2: el fotón va desde el punto A al fotomultiplicador en C, reflejándose en la lámina de cristal en B. Cada paso tiene una flecha final —una «amplitud» (voy a intercambiar las palabras)— que puede calcularse de acuerdo con las reglas que conocemos hasta ahora. La amplitud para el primer paso tiene una longitud de 0,2 (cuyo cuadrado es 0,04, la probabilidad de reflexión por una superficie de cristal) y forma un cierto ángulo —digamos que señala las dos en punto (Fig. 37).

Para calcular la amplitud del segundo paso, colocamos temporalmente la fuente luminosa en A y dirigimos los fotones hacia la lámina de cristal que está por encima. Dibujamos flechas para la reflexión por la superficie frontal y la posterior y las sumamos —digamos que terminamos con una flecha final de longitud 0,3 y que señala las cinco en punto.

Bien, ¿cómo combinamos las dos flechas para dibujar la amplitud del suceso total? Consideremos cada flecha bajo nuevo aspecto: como una instrucción para una reducción y un giro.

En este ejemplo, la primera amplitud tiene una longitud de 0,2 y señala hacia las dos. Si comenzamos con una «flecha unidad» —una flecha de longitud 1 señalando hacia arriba— podemos reducirla desde 1 a 0,2 y girarla desde las doce hasta las dos. La amplitud del segundo paso puede considerarse como una reducción de la flecha unidad desde 1 a 0,3 y un giro desde las doce hasta las cinco.

Ahora, para combinar las amplitudes de los dos pasos, reducimos y giramos en sucesión. Primero, reducimos la flecha unidad desde 1 a 0,2 y la giramos desde las 12 hasta las 2; luego reducimos más la flecha, desde 0,2 hasta tres décimas de esto y la giramos lo equivalente de las 12 a las 5 —es decir, la giramos desde las dos hasta las siete en punto—. La flecha resultante tiene una longitud de 0,06 y señala las 7 en punto. Representa una probabilidad de 0,06 al cuadrado, o 0,0036.

Observando las flechas cuidadosamente vemos que el resultado de reducir y girar dos flechas en sucesión es equivalente a sumar sus ángulos (las 2 + las 5) y multiplicar sus longitudes (0,2 × 0,3). Comprender por qué sumados los ángulos es sencillo: el ángulo de una flecha está determinado por la cantidad de giro de la manecilla del cronógrafo imaginario. Por tanto, la cantidad total de giro para los dos pasos en sucesión es simplemente la suma del giro del primer paso con el giro adicional del segundo.

Por qué se denomina a este proceso «multiplicar flechas» requiere un poco más de explicación, pero es interesante. Consideremos la multiplicación, por un momento, desde el punto de vista de los griegos (esto no tiene nada que ver con la conferencia). Los griegos querían usar números que no eran necesariamente enteros, de modo que representaban los números por líneas. Cualquier número se puede expresar como una transformación de la línea unidad —extendiéndola o reduciéndola—. Por ejemplo, si la línea A es la línea unidad (ver Fig. 38), la línea B representa 2 y la línea C representa 3.

Ahora bien, ¿cómo multiplicamos tres veces dos? Aplicamos la transformación en sucesión: comenzando con la línea A como unidad, la extendemos dos veces y luego tres veces (o 3 veces y luego 2 veces —el orden es indiferente—). El resultado es la línea D cuya longitud representa 6. ¿Cómo multiplicamos 1/3 por 1/2?, tomando la línea D como línea unidad, primero la reducimos a 1/2 (línea C) y luego ésta a 1/3. El resultado es la línea A que representa 1/6.

Multiplicar flechas funciona de la misma manera (ver Fig. 39). Aplicamos transformaciones en sucesión a la flecha unidad —ocurre que la transformación de una flecha implica dos operaciones, una reducción y un giro—. Para multiplicar la flecha V por la flecha W, reducimos y giramos la flecha unidad por la cantidad prescrita por V, y luego reducimos y giramos la cantidad prescrita por W —de nuevo, el orden es irrelevante—. Por consiguiente, para multiplicar flechas se sigue la misma regla de transformaciones sucesivas que rige los números habituales^[7].

Volvamos al primer experimento de la primera conferencia —la reflexión parcial por una superficie— con esta idea de los pasos en mente (ver Fig. 40). Podemos dividir el camino de reflexión en tres pasos: 1) la luz va desde la fuente hasta el cristal, 2) es reflejada por el cristal, y 3) va del cristal al detector. Cada paso puede ser considerado como una cierta cantidad de reducción y giro de la flecha unidad.

Recordarán que en la primera conferencia, no consideramos todos los caminos por los que se puede reflejar la luz en un cristal, lo que requiere dibujar y sumar montones y montones de flechitas. Para evitar todo este detalle, di la impresión de que la luz va a un punto particular de la superficie del cristal —que no se dispersa—. Cuando la luz viaja de un punto a otro, en realidad se dispersa (al menos que sea engañada por una lente) y existe una pequeña reducción de la flecha unidad que lleva asociada.

Por el momento, sin embargo, me gustaría ceñirme al punto de vista simplificado de que la luz no se dispersa y en consecuencia que es apropiado despreciar esta reducción. También es apropiado suponer que puesto que la luz no se dispersa, cada fotón que abandona la fuente finaliza en A o en B.

Por consiguiente: en el primer paso no hay reducción, pero hay giro —corresponde a la cantidad de giro de la manecilla del cronógrafo imaginario cuando sigue al fotón que va de la fuente a la superficie frontal del cristal—. En este ejemplo, la flecha del primer paso acaba con longitud 1 y un determinado ángulo —digamos señalado a las cinco en punto.

El segundo paso es la reflexión del fotón por el cristal. Aquí hay una reducción considerable —de 1 a 0,2— y un giro de media vuelta. (Estos números ahora parecen arbitrarios: dependen de si la luz es reflejada por un cristal o por cualquier otro material. En la tercera conferencia ¡explicaré también esto!). Luego el segundo paso está representado por una amplitud de longitud 0,2 y una dirección señalando a las 6 (media vuelta).

El último paso es el del fotón yendo del cristal al detector. Aquí, como en el primer paso, no hay reducción, pero hay giro —digamos que la distancia es ligeramente más corta que en el paso 1 y que la flecha señala a las 4 en punto.

Ahora «multiplicamos» las flechas 1, 2 y 3 en sucesión (sumar los ángulos y multiplicar sus longitudes). El efecto total de los tres pasos —1) giro, 2) reducción y media vuelta, vuelta, y 3) giro— es el mismo que el de la primera conferencia: el giro de los pasos 1 y 3 —(las 5 más las 4)— es el mismo que se obtiene cuando dejamos que el cronógrafo funcione a lo largo de todo el recorrido (las nueve en punto); la media vuelta extra del paso 2 hace que la flecha señale la dirección opuesta a la manecilla del cronógrafo, como ocurría en la primera conferencia, y la reducción a 0,2 del segundo paso deja una flecha cuyo cuadrado representa el 4% de reflexión parcial observado para una superficie.

En este experimento hay un problema que no consideramos en la primera conferencia: ¿qué ocurre con los fotones que van a B —los que son transmitidos por la superficie del cristal—?

La amplitud de un fotón que llegue a B debe de estar cerca de 0,98 puesto que 0,98 × 0,98 = 0,9604 lo que es muy próximo al 96%. Esta amplitud se puede analizar igualmente descomponiéndola en pasos (ver Fig. 41).

El primer paso es el mismo que para el camino hacia A —el fotón va desde la fuente luminosa al cristal— la flecha unidad gira hacia las 5 en punto.

El segundo paso es el del fotón atravesando la superficie del cristal: no existe giro asociado a la transmisión, sólo una ligera reducción —al 0,98.

El tercer paso —el fotón viajando por el interior del cristal— implica un giro adicional pero sin reducción.

El resultado total es una flecha de longitud 0,98 girada en alguna dirección, cuyo cuadrado representa la probabilidad de que un fotón llegue a B —el 96%.

Ahora consideremos de nuevo la reflexión parcial por dos superficies. La reflexión por la superficie frontal es equivalente a la reflexión por una única superficie, luego los tres pasos para la superficie frontal son los mismos que acabamos de ver (Fig. 40).

La reflexión por la superficie posterior se puede descomponer en siete pasos (ver Fig. 42). Implica el girar una cantidad igual al giro de la manecilla del cronógrafo que sigue a un fotón a lo largo de toda la distancia (pasos 1, 3, 5 y 7), una reducción de 0,2 (paso 4) y dos reducciones a 0,98 (pasos 2 y 6). La flecha resultante termina en la misma dirección que antes, pero su longitud es del orden de 0,192 (0,98 × 0,2 × 0,98), que yo aproximé a 0,2 en la primera conferencia.

Resumiendo, aquí están las reglas para la reflexión y transmisión de la luz por el cristal: 1) la reflexión desde el aire hacia el aire (por la superficie frontal) implica una reducción de 0,2 y una media vuelta; 2) la reflexión desde el cristal al cristal (por la superficie posterior) también implica una reducción a 0,2 pero sin giro; y 3) la transmisión desde el aire al cristal o del cristal al aire implica una reducción de 0,98 y sin giro en ambos casos.

Quizás es demasiado, pero no puedo resistir el mostrarles un bonito ejemplo más de cómo funcionan las cosas y cómo son analizadas mediante estas reglas de pasos sucesivos. Movamos el detector a una posición por debajo del cristal, y consideremos algo de lo que no hablamos en la primera conferencia —la probabilidad de transmisión por dos superficies de cristal (ver Fig. 43).

Naturalmente que conocen la respuesta: la probabilidad de que un fotón llegue a B es simplemente el 100% menos la probabilidad de que llegue a A, que ya hemos calculado anteriormente. Así, si encontramos que la probabilidad de llegar a A es el 7%, la probabilidad de llegar a B debe de ser el 93%. Y como la probabilidad de A varía de cero al 16% pasando por el 8% (debido a los distintos espesores del cristal), la probabilidad para B varía del 100% al 84% pasando por el 92%.

Esta es la respuesta correcta, pero estamos esperando calcular todas las probabilidades por medio del cuadrado de una flecha final. ¿Cómo calculamos la flecha para la amplitud de transmisión por una lámina de cristal, y cómo se las arregla para variar su longitud de manera tan apropiada que se ajuste, en cada caso, con la correspondiente longitud de A de forma que la probabilidad para A y la probabilidad para B siempre sumen exactamente el 100%? Consideremos los detalles.

Para que un fotón vaya de la fuente al detector, situado debajo del cristal en B, se precisan cinco pasos. Reduzcamos y giremos la flecha unidad a medida que recorremos el camino.

Los tres primeros pasos son los mismos que los del ejemplo anterior: el fotón va de la fuente al cristal (giro, no reducción); el fotón es transmitido por la superficie frontal (sin giro, reducción a 0,98), el fotón atraviesa el cristal (giro, no reducción).

El cuarto paso —el fotón atraviesa la superficie posterior del cristal— es análogo al segundo paso en lo que se refiere a reducciones y giros: no giros, sino una reducción a 0,98 del 0,98, luego la flecha tiene ahora una longitud de 0,96.

Finalmente, el fotón va de nuevo a través del aire hacia el detector —esto significa más giro, pero no más reducción—. El resultado es una flecha de longitud 0,96 señalando en una dirección determinada por los sucesivos giros de la manecilla del cronógrafo.

Una flecha de longitud 0,96 representa una probabilidad de aproximadamente el 92% (el cuadrado de 0,96) lo que significa que una media de 92 fotones, de cada 100 que salen de la fuente, llegan a B. Esto también significa que el 8% de los fotones son reflejados por las dos superficies y llegan a A. Pero encontramos en nuestra primera conferencia que un 8% de reflexión por las dos superficies es el valor correcto sólo algunas veces («dos veces al día»); que en realidad, la reflexión por dos superficies fluctúa cíclicamente desde cero al 16% al aumentar gradualmente el espesor del cristal. ¿Qué ocurre cuando el cristal tiene el espesor adecuado para que la reflexión parcial sea del 16%? De cada 100 fotones que salen de la fuente, 16 llegan a A y 92 a B, lo que significa que el 108% de la luz ha sido detectada —¡qué horror!—. Algo está mal.

¡Olvidamos considerar todos los caminos por los que la luz puede llegar a B! Por ejemplo, puede rebotar en la superficie posterior, atravesar en dirección ascendente el cristal como si fuese hacia A, pero reflejarse luego en la superficie frontal y volver hacia B (ver Fig. 44). Este camino supone nueve pasos. Veamos lo que ocurre a la flecha unidad con cada paso dado por la luz (no se preocupen, ¡sólo se reduce y gira!).

Primer paso —el fotón va a través del aire— giro, no reducción. Segundo paso —el fotón penetra en el cristal— no giro, reducción al 0,98. Tercer paso —el fotón va a través del cristal— giro, no reducción. Cuarto paso —reflexión en la superficie posterior— no giro, pero reducción al 0,2 de 0,98 o 0,196. Quinto paso —el fotón asciende a través del cristal— giro, no reducción. Sexto paso —el fotón se refleja en la superficie frontal (es realmente una superficie «posterior», porque el fotón está dentro del cristal)— no giro, pero reducción a 0,2 de 0,196 o 0,0392. Séptimo paso —el fotón retrocede dentro del cristal— más giro, no reducción. Octavo paso —el fotón pasa a través de la superficie posterior— no giro, pero reducción a 0,98 de 0,0392 o 0,0384. Finalmente, el noveno paso —el fotón va hacia el detector a través del aire— giro, no reducción.

El resultado de toda esta reducción y giro es una amplitud de 0,0384 de longitud —digamos 0,04 para los aspectos prácticos— y un ángulo de giro que se corresponde con la cantidad total de giro del cronógrafo cuando sigue al fotón por todo este largo camino. Esta flecha representa un segundo camino que puede llevar la luz desde la fuente hasta B. Ahora tenemos dos alternativas, luego sumemos las dos flechas —la del camino más directo, cuya longitud es 0,96, y la del camino más largo, cuya longitud es 0,04— y obtendremos la flecha final.

Las dos flechas, en general, no tienen la misma dirección, porque al cambiar el espesor del cristal cambia la dirección relativa de la flecha de 0,04 con respecto a la de 0.96. Pero vean qué bien funcionan las cosas: la vuelta extra que da el cronógrafo al seguir al fotón durante los pasos 3 y 5 (en su camino hacia A) es igual a la vuelta extra que da al seguir el fotón durante los pasos 5 y 7 (en su camino hacia B). Esto supone que cuando las dos flechas de reflexión se cancelan para dar una flecha final que representa una reflexión nula, las flechas de transmisión se suman para dar una flecha de longitud 0,96 + 0,04, o 1 —cuando la probabilidad de reflexión es cero, la probabilidad de transmisión es 100% (ver Fig. 45)—. Y cuando las flechas de reflexión se unen para dar una amplitud de 0,4, las flechas de transmisión se oponen, dando una amplitud de longitud 0,96 − 0,04, o 0,92 —cuando la reflexión se determina como el 16%, la transmisión se calcula como el 84% (o 0,92 al cuadrado)— ¡Ya ven que inteligente es la Naturaleza con sus reglas que aseguran que siempre tendremos el 100% de los fotones considerados!^[8]

Finalmente, antes de que me vaya, me gustaría decirles que hay una extensión a la regla que nos dice cuándo multiplicar flechas: las flechas se tienen que multiplicar no sólo cuando el suceso consista en una sucesión de pasos, sino también cuando el suceso consista en un número de cosas ocurriendo de modo concomitante —independiente y posiblemente de manera simultánea—. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos fuentes, X e Y, y dos detectores, A y B (ver Fig. 47), y queremos calcular la probabilidad del siguiente suceso: el de que cada vez que X e Y emitan un fotón, A y B detecten uno cada uno.

En este ejemplo, los fotones viajan a través del espacio para ir a los detectores —no son ni reflejados ni transmitidos— luego ésta es una buena ocasión para que deje de despreciar el hecho de que la luz se dispersa cuando viaja. Ahora les voy a presentar la regla completa para la luz monocromática viajando de un punto a otro a través del espacio —no hay ninguna aproximación aquí y ninguna simplificación—. Esto es todo lo que se necesita conocer sobre la luz monocromática viajando a través del espacio (sin tener en cuenta la polarización): el ángulo de la flecha depende de la manecilla del cronógrafo imaginario, que gira un cierto número de veces por pulgada (dependiendo del color del fotón); la longitud de la flecha es inversamente proporcional a la distancia que alcanza la luz —en otras palabras, la flecha se reduce según avanza la luz^[9].

Supongamos que la flecha de X a A tiene una longitud de 0,5 y señala hacia las 5 en punto, lo mismo que la flecha de Y a B (Fig. 47). Multiplicando las flechas entre sí obtenemos una flecha final de longitud 0,25 señalando hacia las 10 en punto.

¡Pero esperen! Este suceso puede ocurrir de otra forma: el fotón de X puede ir a B y el fotón de Y a A. Cada uno de estos subsucesos tiene una amplitud y estas flechas también se deben dibujar y multiplicar para producir una amplitud para este camino particular (ver Fig. 48). Puesto que la cantidad de reducción con respecto a la distancia es mucho menor que el valor del giro, las flechas de X a B y de Y a A tienen esencialmente la misma longitud que las otras flechas, 0,5, pero su giro es muy diferente: la manecilla del cronógrafo gira 36 000 veces por pulgada para la luz roja, de modo que una minúscula diferencia en distancia resulta en una substancial diferencia en cronometraje.

Las amplitudes, para cada camino por el que el suceso puede tener lugar, se suman para obtener la flecha final. Puesto que sus longitudes son esencialmente las mismas, es posible que las flechas se cancelen si sus sentidos son opuestos. Las direcciones relativas de las dos flechas pueden alternarse cambiando la distancia entre las fuentes o los detectores: simplemente alejando o acercando un poquito los detectores se puede hacer que la probabilidad del suceso se amplifique o se anule, de forma análoga al caso de la reflexión parcial por dos superficies^[10].

En este ejemplo, las flechas se multiplicaron y luego se sumaron para producir una flecha final (la amplitud del suceso), cuyo cuadrado es la probabilidad del suceso. Hay que resaltar que independientemente del número de flechas que dibujemos, sumemos o multipliquemos, nuestro objetivo es calcular una única flecha final del suceso. A menudo, los estudiantes de física cometen errores al principio porque no tienen en consideración este punto tan importante. Trabajan tanto tiempo analizando sucesos que implican un único fotón, que empiezan a pensar que la flecha está de alguna manera asociada con el fotón. Pero estas flechas son amplitudes de probabilidad, que dan, cuando se elevan al cuadrado, la probabilidad de un suceso completo^[11].

En la próxima conferencia iniciaré el proceso de simplificación y explicación de las propiedades de la materia —a explicar de dónde proviene la reducción de 0,2, el por qué la luz parece ir más lenta a través del cristal o del agua que a través del aire, etc.— porque hasta ahora les he estado engañando: los fotones en realidad no se reflejan en la superficie del cristal; interaccionan con los electrones dentro del cristal. Les mostraré cómo los fotones no hacen otra cosa que ir de un electrón a otro, y cómo la reflexión y la transmisión son realmente el resultado de que un electrón se apodere de un fotón «le rasque la cabeza» por así decir, y emita un nuevo fotón. Esta simplificación de todo lo que hemos estado hablando hasta ahora es muy bonita.