Apèndix

Resposta

Primer cal determinar el costat més llarg, és a dir, la hipotenusa, del triangle els costats del qual es poden representar amb la fórmula n² + 1, n² - 1 i 2n (on n > 1)

n² + 1 - 2n = (n - 1)²

i si n > 1 llavors (n - 1)² > 0

i, per tant, n² + 1 - 2n > 0

amb la qual cosa n² + 1 > 2n

de la mateixa manera que (n² + 1) - (n² - 1) = 2

i, per tant, n² + 1 > n² - 1

Això significa que n² + 1 és el costat més llarg d’un triangle els costats del qual es poden representar amb la fórmula n² + 1, n² - 1 i 2n (on n > 1).

Això també es pot demostrar mitjançant el següent gràfic (però això no prova res):

Segons el teorema de Pitàgores, si la suma dels quadrats dels catets (els costats més curts) és igual al quadrat de la hipotenusa, el triangle és rectangle. Per tant, per demostrar que el triangle és rectangle hem de demostrar que en aquest cas es compleix el teorema.

La suma dels quadrats dels dos catets és

El quadrat de la hipotenusa és (n² + 1)²

Per tant, la suma dels quadrats dels dos catets és igual a la suma del quadrat de la hipotenusa i, per tant, el triangle és rectangle.

I l’enunciat invers de «Un triangle els costats del qual es poden representar amb la fórmula n² + 1, n² - 1 i 2n (on n > 1) és un triangle rectangle» és «Un triangle rectangle té tres costats la llargada dels quals es pot representar amb la fórmula n² + 1, n² - 1 i 2n (on n > 1)».

I posar un exemple de la inversa vol dir que s’ha de trobar un triangle que sigui rectangle però que els seus costats no es puguin representar amb la fórmula n² + 1, n² - 1 i 2n (on n > 1)

Posem per cas que la hipotenusa d’un triangle rectangle ABC és AB

on AB = 65

i BC = 60

llavors CA = √(AB2 - BC2)

Si AB = n² + 1 = 65

i n = √(65 - 1) = √64 = 8

llavors (n² - 1) = 64 - 1 = 63 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25

i 2n = 16 ≠ BC = 60 ≠ CA = 25

Per tant, el triangle ABC és rectangle però els seus costats no es poden representar amb la fórmula n² + 1, n² - 1 i 2n (on n > 1). QED