101
El senyor Jeavons em va dir que m’agradaven les matemàtiques perquè eren segures. Va dir que m’agradaven les matemàtiques perquè consisteixen en la resolució de problemes i, encara que els problemes eren difícils i interessants, al final sempre es resolien amb una resposta directa. I el que volia dir és que les matemàtiques no són com la vida perquè a la vida no hi ha respostes directes per a tot. Sé que volia dir això perquè m’ho va explicar.
Això és perquè el senyor Jeavons no entén els números.
Us explicaré una història famosa sobre el que s’anomena el Problema de Monty Hall, que he inclòs al llibre perquè il·lustra el que vull dir.
En una revista americana anomenada Parade publicaven una columna titulada Pregunteu a la Marilyn. I aquesta columna l’escrivia Marilyn vos Savant i a la revista deien que tenia el coeficient intel·lectual més elevat del món i que constava al Llibre Guinness dels rècords. I a la columna responia a preguntes de matemàtiques que li enviaven els lectors. I el mes de setembre del 1990 Craig F. Whitaker de Colúmbia, Maryland, li va enviar la següent pregunta (tot i que no és el que s’anomena una citació literal perquè l’he feta més simple i més fàcil d’entendre).
Ets en un concurs de la televisió. En el concurs, l’objectiu és guanyar un premi consistent en un cotxe. El presentador t’ensenya tres portes. Diu que hi ha un cotxe darrere una de les portes i una cabra darrere les altres dues. Et demana que triïs una porta. Tries una porta, però no l’obren. Llavors el presentador obre una de les portes que no has triat i t’ensenya que hi havia una cabra (perquè ell sap què hi ha darrere cada porta). Aleshores diu que tens una última oportunitat de canviar de parer abans no obrin les portes i guanyis un cotxe o una cabra. Així doncs et pregunta si vols canviar de parer i triar l’altra porta que encara està tancada. Què hauries de fer?
La Marilyn vos Savant va dir que sempre s’havia de canviar i triar l’altra porta perquè tens 2 possibilitats d’entre 3 que darrere aquesta porta hi hagi un cotxe.
Però si fas servir la intuïció penses que hi ha un 50% de possibilitats que el cotxe estigui darrere qualsevol de les dues portes.
Un munt de gent va escriure a la revista per dir que la Marilyn vos Savant s’havia equivocat, malgrat que va explicar molt acuradament per què tenia raó. El 92% de les cartes que va rebre deien que s’equivocava i un munt d’aquestes cartes eren de matemàtics i de científics. Aquí teniu algunes de les coses que deien:
Em preocupa molt la manca d’aptituds matemàtiques del públic en general. Sisplau, contribueixi a minvar-la admetent el seu error.
Dr. Robert Sachs,
George Mason University
Ja hi ha prou analfabetisme matemàtic en aquest país i no cal que la persona amb el coeficient intel·lectual més elevat del món també el prediqui. Quina vergonya!
Dr. Scott Smith,
Universitat de Florida
Em deixa parat que després que almenys tres matemàtics l’hagin corregida encara no vegi el seu error.
Kent Ford,
Dickinson State University
Estic segur que rebrà moltes cartes d’alumnes d’instituts i d’universitats. Potser hauria de conservar algunes de les seves adreces perquè l’ajudin a escriure les seves pròximes columnes.
Dr. W. Robert Smith,
Geòrgia State University
S’equivoca sense cap mena de dubte… Quants matemàtics irats calen per fer-la rectificar?
Dr. E. Ray Bobo,
Universitat de Georgetown
Si tots aquests doctors s’equivoquessin, el país tindria un problema molt greu.
Dr. Everett Harman,
Institut de Recerca de les Forces Armades
Però la Marilyn vos Savant tenia raó. I es pot demostrar de 2 maneres.
En primer lloc, es pot demostrar matemàticament de la manera següent:
Atorguem a les portes les lletres X, Y i Z.
Anomenem Cx el fet que el cotxe sigui darrere la porta X i apliquem la nomenclatura a la resta de portes.
Anomenem Hx el fet que el presentador obri la porta X i apliquem la nomenclatura a la resta de portes.
Suposant que triïs la porta X, la possibilitat que guanyis un cotxe si canvies la teva elecció sorgeix d’aplicar la següent fórmula:
P(Hz^Cy) + P(Hy^Cz)
=P(Cy)·P(Hz|Cy) + P(Cz)·P(Hy|Cz)
=(1/3·1) + (1/3·1) = 2/3
La segona manera de demostrar-ho és fer un diagrama de totes les possibilitats com el següent:
Així doncs, si canvies, 2 de cada 3 vegades guanyes un cotxe. I si no canvies, només aconsegueixes el cotxe 1 de cada 3 vegades.
I això demostra que la intuïció de vegades ens pot fer equivocar. I la intuïció és el que la gent fa servir per prendre decisions. La lògica, però, ens pot ajudar a trobar la resposta correcta.
També demostra que el senyor Jeavons s’equivocava i que de vegades els problemes són molt complicats i no tenen ni de molt una resposta directa. I per això m’agrada el problema de Monty Hall.