Comentario
Semillas de adormidera y números grandes
Entre las muchas contribuciones de Arquímedes a las matemáticas, el Arenario ocupa un alto puesto como libro de gran interés y de importancia histórica. Describe un nuevo sistema para generar y expresar números muy grandes.
Los griegos usaban las veintisiete letras de su alfabeto como numerales, un sistema perfectamente satisfactorio cuyo único defecto real era la ausencia de un signo para el cero. Para el número 10 000, que los griegos llamaban miríada, se usaba la letra M; ésta podía combinarse con otras letras y signos para hacer números mayores, por ejemplo:
Mρν.,ξτηχò = 1 507 984
Por supuesto, es pesado expresar números muy grandes en cualquier notación ordinaria, tanto en la nuestra como en la de los griegos. Arquímedes inventó un procedimiento que incluía índices para reducir el problema a dimensiones más manejables. Hasta el punto en que lo desarrolló, el sistema de octadas de Arquímedes proporcionó un número que en nuestra notación precisaría 80 000 billones de dígitos. Esta aritmética podría elaborarse más allá de las octadas para hacer números tan largos como se quiera, pero el monstruo que había producido Arquímedes le sirvió ampliamente para su demostración de los granos de arena necesarios para llenar todo el universo. Empezando con el número de granos de arena que puestos uno al lado de otro medirían la longitud de una semilla de adormidera, Arquímedes continúa con su ejercicio hasta que tiene el universo entero tan repleto como el cubo de un niño en la playa. Parece que los números grandes tenían una especial fascinación para Arquímedes, como demuestra no sólo este «tour de forcé», sino su famoso «problema del ganado», cuyas soluciones consistían en ocho números que, según se ha calculado, si se escribiesen precisarían casi de 700 páginas del tipo de impresión apretado de los libros de tablas logarítmicas. Uno puede permitirse dudar de que Arquímedes haya resuelto el problema hasta el último dígito.
Hay que decir unas palabras acerca de las medidas astronómicas usadas en la demostración del Arenario. Diversos astrónomos habían calculado hacia mediados del siglo III a. C. los diámetros del Sol, de la Luna y de la Tierra. Arquímedes se refiere a la obra de Eudoxo, de Fidias (su propio padre) y de Aristarco de Samos, llamado a veces el Copérnico de la antigüedad. De aquí procede la importancia histórica del Arenario. Porque es en este libro, como indica Sir Thomas Heath, donde uno se entera de que Aristarco concebía el universo con el Sol en el centro, y los planetas, incluyendo la Tierra, girando a su alrededor, y que había descubierto que el diámetro del Sol es 1/720 del círculo del zodíaco, o sea medio grado —una apreciación admirablemente aproximada. Pasaron casi 1800 años antes que las profundas conjeturas de Aristarco sobre cosmología, abandonadas poco después de presentadas, fueran revividas por el mismo Copérnico.