Roger Penrose - Stephen Hawking - Abner Shimony - Nancy Cartwright
A nagy, a kicsi és az emberi elme
Az eredeti mű címe:
Roger Penrose, Abney Shimony, Nancy Cartwright, Stephen Hawking The Large, the Small and the Human Mind Cambridge University Press, Cambridge, 1997
Fordíotta: Gergely Árpád László Lektor: Gálfi László
ROGER PENROSE az Oxfordi Egyetem Rouse Ball emeritus matematika professzora
ABNER SHIMONY a Bostoni Egyetem emeritus filozófia és fizika professzora
NANCY CARTWRIGHT a Londoni Közgazdaságtani és Politikai Tudományok Iskolájának filozófia, logika és tudományos módszerek professzora
STEPHEN HAWKING a Cambridge-i Egyetem Lucas matematika professzora
MALCOLM LONGAIR a Cambridge-i Egyetem Jackson természetfilozófia professzora. Fó' tudományos érdeklődése a nagyenergiájú asztrofizika és asztrofizikai kozmológia. A kétkötetes Nagyenergiájú asztrofizika, 1992,1995, a Fejlődő világegyetemünk, 1996, valamint más könyvek szerzője.
Az elmúlt évtized egyik legbiztatóbb fejleményeként vezető kutatók olyan könyveket írtak, amelyeken keresztül megkísérelték bevonni az olvasót is kutatásaik lényeges, izgalmas kérdéseibe. A legmeglepőbb példák közül kiragadjuk Stephen HawkingAz idő rövid története című munkáját, amely bevonult a könyvkiadás történelmébe, James Gleick Káosz című könyvét, ahol egy lényegében nehéz témakört lélegzetelállító detektívtörténetként ismerhettünk meg, valamint Stephen Weinberg Álmok a végső elméletről című művét, mely a jelenkori részecskefizika természetét és kihívásait érthető és rendkívül érdekfeszítő módon mutatja be.
A népszerűsítő művek e hullámában Roger Penrose 1989-ben megjelent A császár új elméje című könyve különleges helyet foglal el. Míg más szerzők a jelenkori tudomány tartalmát és izgalmait próbálták tolmácsolni, Roger könyve mellbevágóan eredeti látomás arról, hogy a matematika, fizika, biológia, agykutatás és végül a filozófia látszólag különálló elemei hogyan ötvözhetők egybe az alapvető folyamatoknak egy új, egyelőre meghatározatlan elméletébe. Eléggé érthető módon A császár új elméjét hatalmas vita követte, melynek nyomán Roger 1994-ben egy második könyvet adott ki Az elme árnyai címmel. Ebben megpróbálta visszaverni az érveléseivel szemben támasztott kifogások egy részét, valamint ismertette az elképzeléseivel kapcsolatos új fejleményeket. Az 1995-ös Tanner előadás-sorozatban összefoglalta a két könyvben ismertetett gondolatait, majd Abner Shimony, Nancy Cartwright és Stephen Hawking társaságában megvitatta őket. Könyvünk első három fejezete szelíd bevezetője a korábban említett két könyvben részletesen kifejtett gondolatoknak. A negyedik, ötödik és hatodik fejezet a három résztvevő hozzájárulása. Ezek tartalmazzák a vitán megfogalmazott kifogások jelentős részét. A hetedik fejezetben Roger lehetőséget kap a vitapartnerek által kifejtett aggályok feletti elmélkedésre.
A fejezetek önmagukért beszélnek. Mégis, legalább néhány szó erejéig szeretnénk megteremteni a hátteret a modern tudomány néhány legalapvetőbb kérdésében tanúsított sajátos látásmódjának megértéséhez. Bár Penrose korunk egyik legtehetségesebb matematikusaként ismert, kutatásai mindig szilárd fizikai alapokon nyugszanak. Asztrofizikai és kozmológiai körökben a gravitáció relativisztikus elméletében alkotott munkáiról híres, melyek részben a Stephen Hawkinggal való együttműködésből születtek. Tételeik egyike kimondja, hogy a klasszikus relativisztikus gravitációelmélet szerint a fekete lyukak belsejében fizikai szingularitásnak kell lennie, azaz olyan tértartománynak, ahol a tér görbülete, vagy ami ezzel egyenértékű, az anyag sűrűsége végtelenül nagy. Második tételük kimondja, hogy a klasszikus relativisztikus gravitációelmélet szerint hasonló fizikai szingularitást tartalmaznak az Ősrobbanással kapcsolatos kozmológiai modellek is. A fenti eredmények arra utalnak, hogy ez az elmélet bizonyos értelemben komoly hiányosságokkal küszködik, hiszen fizikai szingularitásoknak a fizikailag értelmes elméletekben nincs helye.
Mindez azonban csak egy szelet a matematika és a matematikai fizika különböző ágaiban elért eredményei széles spektrumából. A Penrose-folyamat során a részecskék energiát nyerhetnek a forgó fekete lyuk forgási energiájából. A Penrose-diagramok segítségével tanulmányozható az anyag a fekete lyuk szomszédságában. Látásmódja erősen geometriai, szinte képszerű, és ez nyomon követhető az első három fejezetben is. Munkájának ilyen irányú részével leginkább M. C. Escher „lehetetlen” ábrái, valamint a Penrose-csempék kapcsán kerülhetett kapcsolatba az olvasóközönség. Érdekes, hogy Roger és édesapja, L. S. Penrose közös cikke ihlette meg Eschert „lehetetlen” ábrái jórészének megalkotásában. Escher Kör-határ képeit Roger hiperbolikus geometria iránti lelkesedésének illusztrációjaként mutatjuk be az első fejezetben. A Penrose-csempézések figyelemre méltó geometriai konstrukciók a végtelen sík teljes kitöltésére kisszámú egymástól különböző alakú csempe ismételt felhasználásával. A legérdekesebb példák azok, amelyekben a csempeminta egyetlen pontban sem ismétlődik, annak ellenére, hogy a csempézés kitölti a végtelen síkot. Erről a harmadik fejezetben lesz majd szó azzal kapcsolatban, hogy pontosan értelmezett matematikai eljárások bizonyos sorozatai végrehajthatók-e számítógép segítségével.
A modern fizika néhány lényegesebb kérdésének megválaszolásához Roger matematikai fegyverek elképesztő tárát, valamint a matematika és a fizika fantasztikus eredményeit vonultatja fel. Kétely nem fér az általa felvetett problémák valóságos jellegéhez és fontosságához. A kozmológusoknak jó okuk van hinni, hogy az Ősrobbanás a legmeggyőzőbb forgatókönyv a világegyetem nagyléptékű szerkezetének megértéséhez. Nem is egy tekintetben azonban komoly hiányosságokkal küszködik. A legtöbb kozmológus hisz abban, hogy jól értjük azokat az alapvető fizikai jelenségeket, melyek megmagyarázzák az univerzum fejlődését egyezred másodperces korától napjainkig. Mindez azonban csak akkor működik, ha a kezdeti feltételeket rendkívüli körültekintéssel választjuk meg. Nagy gond azonban, hogy kifogynak a kipróbált és ellenőrzött elméleteink, ha az univerzum egyezred másodperces kora előtti időkre vagyunk kíváncsiak. Ilyenkor kénytelenek vagyunk az ismert elméletek valamilyen ésszerű extrapolálására támaszkodni. Meglehetősen jól tudjuk, milyenek voltak ezek a kezdeti feltételek, de csak találgatásokba bocsátkozhatunk azzal kapcsolatosan, hogy miért pont ezek a feltételek valósultak meg. Általános az egyetértés, hogy ez a jelenkori kozmológia egyik legfontosabb risztázandó kérdése.
A problémák megoldására kifejlesztettek egy általános módszert, amely a korai univerzum inflációs modellje néven ismert. Ám az univerzum bizonyos tulajdonságai feltevés szerint, még ebben a modellben is, a legkorábbi időkből származnak, amely Planck-korszakként ismert. Ehhez azonban a kvantumgravitáció megértése elengedhetetlen. A Planck-korszakban az univerzum kora 10-43 másodperc, és annak ellenére, hogy ez az érték szélsőségesen kicsinek tűnhet, mai tudásunk tükrében igencsak komolyan kell vennünk mindazt, ami akkoriban történt.
Penrose elfogadja a hagyományos Ősrobbanás-elméletet, azonban elveti a kezdeti korszakra vonatkozó inflációs forgatókönyvet. Helyette abban hisz, hogy a fizika hiányos, és a hiányzó részt a gravitáció megfelelő kvantumos elmélete pótol ja majd. Ez egy olyan elmélet, ami jelenleg nem áll még rendelkezésre, annak ellenére, hogy a kutatók régóta próbálkoznak megalkotásával. Roger érvelése szerint azért, mert nem a megfelelő problémát próbálták megoldani. Kételyei részben a világegyetemnek, mint egésznek az entrópiájával kapcsolatosak. Mivel az entrópia, vagy egyszerűbben fogalmazva, a rendetlenség idővel növekszik, a világegyetem fejlődésének valamilyen elképesztően rendezett állapotból kellett kiindulnia, egy elenyészően kis entrópiájú állapotból. Annak a valószínűsége, hogy ilyen kezdeti állapot véletlenszerűen következett volna be, valóban elhanyagolható. A szerző szerint a probléma megoldását a kvantumgravitáció helyes elméletének keretein belül kell keresni.
A kvantálás szükségszerűsége miatt vizsgálja a kvantumfizika problémáit a második fejezetben. A kvantummechanika, valamint relativisztikus kiterjesztése, a kvantumtérelmélet fenomenologikusan helyesnek bizonyult: igazolja ezt a részecskefizika számos kísérleti eredménye és az atomok és részecskék megfigyelt tulajdonságai. Sok év kellett azonban ahhoz, hogy az elmélet teljes fizikai jelentőségét megértsük. Mint ahogyan azt Roger gyönyörűen kifejti, az elmélet legalapvetőbb struktúrái között fellelhetők erősen nem intuitív elemek is, melyeknek nincs megfelelője a klasszikus fizikában. Például, a nemlokális jelleg azt jelenti, hogy amikor részecske-antirészecske pár keletkezik, mindkét részecske „memóriája” megőrzi a keletkezés történetét abban az értelemben, hogy nem tekinthetők egymástól teljesen függetlennek. Roger szerint „a kvantumos keveredés rendkívül furcsa tulajdonság. Valahol félúton lehet az objektumok különállása, illetve egymással való kommunikálása között.” A kvantummechanika lehetővé teszi, hogy információt nyerjünk olyan folyamatokról is, melyek megtörténhettek volna, de nem történtek meg. A legmegdöbbentőbb példát a hihetetlen Elitzur-Vaidman bombatesztelő feladat nyújtja, mely jól illusztrálja, mennyire különbözik a kvantumfizika a klasszikus fizikától.
Ezek az intuíciótól távol eső problémák a kvantumfizika szerves részei, azonban vannak ennél súlyosabb gondok is. Közülük Roger azokra összpontosít, amelyek a kvantumszinten bekövetkező jelenségek és kvantumos rendszeren végzett makroszkopikus szintű megfigyelések egymáshoz való viszonyával kapcsolatosak. Vitatott témakör. A fizikusok zöme a kvantumfizika szabályait megbízható számítási eszközként használja, mely fantasztikusan pontos jóslatokra képes. Amennyiben helyesen alkalmazzuk a szabályokat, helyes válaszokat kapunk. Mindez azonban feltételezi az egyszerű lineáris kvantumos szintű jelenségeknek - az eleganciát némileg nélkülöző - leképezését a megfigyelhető kísérletek világába. Olyan jelenségekre gondolunk, mint a „hullámfüggvény összeomlása”, vagy az „állapotvektor redukciója”. Roger meggyőződése szerint alapvető fizikai alkotóelemek hiányoznak még a kvantummechanika meg szokott képéből. Érvelése szerint egy teljesen új elméletre van szükség, mely szerves részként magában hordozza a „hullámfüggvény objektív redukcióját” is. Az elmélet megfelelő határesete a szokásos kvantummechanika és kvantunnérelmélet, de minden bizonnyal új fizikai jelenségeket is eredményez. Ilyen a gravitáció kvantumos elmélete, illetve a korai univerzum problémájának megoldása is.
A harmadik fejezetben Roger a matematika, a fizika és az emberi elme közös vonásait kutatja. Meglepő, hogy a legszigorúbban logikus tudomány, az absztrakt matematika nem programozható digitális számítógépen, bármilyen pontos legyen is a számítógép és bármilyen nagy a memóriája. A számítógép nem képes matematikai tételek felfedezésére, ellentétben a matematikus emberi elméjével. Ez a meglepő felfedezés Gödel tételének egyik változatából következik. Roger szerint ez azt jelenti, hogy a matematikai gondolkodás, de általánosabban minden gondolkodási folyamat, sőt az egész tudatos viselkedés is „nem számításokon alapuló” módon valósul meg. Ez termékeny gondolat, hiszen intuíciónk szerint tapasztalataink, felfogásunk jelentős része szintén „nem számolható” jellegű. Mivel ez az eredmény alapvető fontosságú általános érvelésében, Az elme árnyai könyvének több mint a fele a Gödel-tétei fenti interpretációjának helyességét bizonyítja.
Roger elképzelése szerint a kvantummechanika problémái többféleképpen is összefüggenek a tudatosság megértésének problémájával. A nemlokalitás és a kvantumkoherencia például elvben az agy kiterjedt területeinek koherens működését igazolhatja. A tudatosság „nem számításokon alapuló” része, úgy véli, kapcsolatban állhat olyan „nem kiszámolható” folyamatokkal, amelyek szerepet kaphatnak a hullámfüggvény makroszkopikus megfigyelhető mennyiségekre való objektív redukciójában. Mi több, továbblépve az általános elvek meghirdetésénél, megpróbálja azonosítani az agy azon struktúratípusait, amelyek képesek lehetnek fenntartani az újszerű fizikai folyamatokat.
Összefoglalónk szerény dicsérete a könyvben ismertetett, briliáns módon kifejtett gondolatok eredeti és termékeny seregének. Roger elemzéseiben néhány gondolat rendkívüli jelentőséggel bír. Talán a legjelentősebb a matematikának az a figyelemre méltó képessége, hogy a természet alapfolyamatait leírja. Roger szerint a fizikai világ bizonyos értelemben a platóni matematikai világ származéka. Nem kell új matematikát levezetni ahhoz, hogy megmagyarázzuk a világot, hogy összhangba hozzuk a kísérletekkel és megfigyelésekkel. A világ struktúrája általános elvekből és a matematikából megérthető.
Meglepő módon a fenti egyszerű következtetéseket vitatják. A különböző intellektuális háttérrel rendelkező szakemberek aggályaiból a vitapartnerek tollából kapunk ízelítőt. Abner Shimony egyetért Roger több felvetésével. Egyetért vele abban, hogy a kvantummechanika standard megfogalmazása nem teljes, továbbá azzal is, hogy az emberi elme kvantummechanikai fogalmak segítségével érthető meg. Szerinte azonban Roger „olyan hegymászó, aki nem a megfelelő hegyre kapaszkodik”, és konstruktív módon alternatív módozatokat javasol a felvetett problémák kezelésére. Nancy Cartwright megkérdezi, jogos-e a fizikát tekinteni kiindulópontnak a tudat természetének megértéséhez? Felveti azt a kényelmetlen kérdést is, hogy lehetséges-e egyáltalán egymásból levezetni a különböző tudományterületek törvényszerűségeit? A legkritikusabb azonban Stephen Hawking, Roger régi barátja és munkatársa. Sok tekintet ben Hawking álláspontja áll a legközelebb ahhoz, amit egy „átlagos” fizikus álláspontjának nevezhetnénk. Felszólítja Rogert, hogy alkossa meg a hullámfüggvény objektív redukciójának részletes elméletét. Tagadja, hogy a fizikának szerep jutna a tudat problémájának megoldásában. A fentiek mind indokolt aggályok, azonban Roger a könyv záró fejezetében, a vitapartnerekhez intézett válaszában megvédi álláspontját.
Ami Rogernek biztosan sikerült: víziót alkotni arról, miként fejlődhet a matematikai fizika a huszonegyedik században. Az első három fejezet összefüggő elbeszélésfonala sejtetni engedi, hogy a történet különálló részei miként kapcsolódhatnak egybe egy teljesen újszerű fizikában, amelybe mind a hullámfüggvény objektív redukciója, mind a nem kiszámítható jelleg beépül. E fogalmak próbája azon múlik, hogy Roger és a többiek képesek-e a valóságban is megalkotni az új típusú fizikai elméletet. Még ha a program nem is valósulna meg a közeli jövőben, kérdés, hogy az általános elképzelések termékenyen hatnak-e majd az elméleti fizika és a matematika jövőbeli fejlődésére? Meglepő lenne, ha a válasz nemlegesnek bizonyulna.
Előszó a Cambridge University Press Canto kiadásához
Nagy megtiszteltetés számomra, hogy - az Abner Shimonyval, Nancy Cartwrighttel és Stephen Hawkinggal együttműködésben írt, Malcolm Longair szerény, de értő szerkesztésében készült -A nagy, a kicsi és az emberi elme című könyvemet a Cambridge University Press a Canto sorozatban adja ki. Meg kell vallanom, meglepetésként ért, azért is, mert ez nem olyan mű, ami fölött évekig görnyedtem volna abban a reményben, hogy a tökéletességig csiszolom. Hozzájárulásom (nagyra becsült vitapartnereim kritikáira írt válaszaimat leszámítva) nagymértékben megegyezik a három Tanner-előadás anyagával, minden tökéletlenségével és az előadásaimat gyakran jellemző spontaneitásával. Talán a csiszolás hiánya megőrzi az érthetőséget, ami egyébként elveszhetett volna - minden kételyen felül el is veszett egyéb írásaim jelentős részében.
Fentiek leszögezése után mégiscsak be kell ismernem, hogy bizonyos fokú csiszolást végeztem elbeszélésem korábban leginkább érthetetlen részeiben, amikor megpróbáltam megérteni a saját előadásomról készült jegyzeteket. Ennek ellenére a jelen kötetben olvasható Tanner-előadások lényegében olyanok, mint ahogyan elmondtam őket. Látszólag ezzel a kijelentéssel nem veszem figyelembe Malcolm Longair professzor csodálatos szerkesztői tevékenységét, aki jóval több munkát fektetett a könyv végső formába öntésébe, mint jómagam. Folyamatos bátorítása, miszerint látnom kell, hogy mi hiányzik még, csak az egyik, talán a legcsekélyebb hozzájárulása az elkészült munkához. Ő látott el az összes olyan ábrával, melyet nem közvetlenül máshonnan vettünk át (ez utóbbiak leginkább a két korábbi Oxford-kiadásban: A császár új elméiében, és Az elme árnyaiban megjelent saját rajzaim). Szerettem volna új ábrákat készíteni az új könyvhöz, azonban ezt a fényűzést a kevés idő nem tette lehetővé számomra. A régebbi ábrák közül elég sokat fel tudtunk használni, de ezek nem voltak elegendőek az ábrázolni kívánt anyaghoz. Malcolm Longair értékes idejének és nem mindennapi energiájának jelentős részét a hiányzó ábrák minőségi kivitelezésére fordította. A szükséges ábrák ügyes, lelkes, világos, értő szemmel történt elkészítésével módfelett lekötelezett.
Az előadásokat 1995 tavaszán tartottam, és az olvasó joggal töprenghet azon, vajon az ott elhangzottak kiállták-e az idő próbáját? Első közelítésben kijelenthetjük, hogy nem sok minden változott. A spekulatív gondolatok spekulatívak maradtak, a jól alátámasztottak pedig továbbra is érvényesek. Ennek ellenére az előadások elhangzása óta történt néhány érdekes fejlemény. Köztük a javaslat egy látszólag megvalósítható, bár igen nehéz kísérletre, mely képes a kvantumos állapotredukció jelenségével kapcsolatosan elhangzott javaslataim ellenőrzésére. Ez a „Schrödinger macskájának” nevezett valaminek a térbe helyezéséről szól. Siessünk persze leszögezni: nem valódi macskáról van itt szó! A „macska” egy kisméretű kristály, nem sokkal nagyobb a porszemnél, amelynek előfordulását azonos időben egymástól kissé különböző helyeken (atommag átmérőnyi távolságról van szó) a kvantummechanikai elveknek megfelelően „szuperpozícióba” hozzuk. A szuperpozíció a kis dolgok fizikájának részeként következik be, és a kérdés nem más, mint hogy meddig terjeszthető ki a kis dolgok fizikája a nagy dolgok világa irányába, és hogy történik-e valami gyökeresen új a két tartomány határán? Az említett kísérlet ezeket a kérdéseket feszegeti. A könyv egyik függelékében vázlatosan bemutatjuk a kísérletet. A másik függelékben pedig egy figyelemre méltó tételt ismertetek, amelyet 1944-ben Ruben Louis Goldstein fogalmazott meg, és amely nem matematikusok számára is érthetően nyújt betekintést a híres Gödel-tételbe. A két függelék nem szerepelt a Tanner-előadások eredeti anyagában.
Meggyőződésem szerint - ezt megpróbálom elmagyarázni a könyvben - a kis és a nagy tartományokban érvényes fizikák érintkezési pontján valóban valami lényegesen újat találunk. Meggyőződésem másik fele pedig - lényegében az elsőtől függetlenül - az, hogy a hiányzó új fizikát az agy felhasználja, valahányszor szükség van a tudatra. Vallom, hogy ez a hiányzó fizika jellegében nagyon különbözik attól, amit (akár a nagy, akár a kis tartományokon érvényes) fizikaként megszoktunk. Az új fizika, bármilyen korszerű legyen is az, tartalmaz majd olyan sajátosságokat, melyek nem modellezhetők számítógépen. Meggyőződésem a matematikai megértés elemzéséből táplálkozik (főként a matematikai logika rendkívül mélyen-szántó Gödel-tételéből). Talán nem meglepő, hogy az ilyen természetű meggyőződések sorsa, hogy hevesen vitassák őket, és azt is meg kell vallanom, hogy a fenti érvek ugyanolyan kiforratlanok ma, mint amikor a kötet alapjául szolgáló előadások elhangzottak.
Felmerül a kérdés: képes-e az agy a hiányzó fizika kiaknázására -mint ahogy meggyőződésem sugallja és ehhez milyen fizikai feltételeknek kell kialakulniuk a bonyolult agyban? Az elfogadott neurológiai kép erre nem alkalmas, mert majdnem kizárólag az idegek által közvetített szokványos ingerületekre épít. Bemutatok majd egy olyan, a sejten belüli neuronális mikrotubulusokat tartalmazó modellt - és ez talán a könyv legspekulatívabb része amelyet Stuart Hameroff és jómagam alkottunk abban a reményben, hogy teljesíti a szükséges feltételeket. Természetesen sok a modellel kapcsolatos-vitás kérdés, és a leglényegesebbek még megoldatlanok.
Végül marad a legnagyobb létező struktúra kérdése, mely maga a teljes univerzum. A vitás pontok továbbra sincsenek lezárva, azonban, úgy tűnik, körvonalazódni kezdenek a legfontosabb kérdésekre adandó válaszok. Visszafojtott lélegzettel várom, hogy a könyvben ismertetett, számomra legkedvesebb modell, amelyet a holland művész, M. C. Escher az 1.17 és 1.19 ábrákon roppant találóan mutat be, valóban jellemzi-e az univerzumot annak legnagyobb léptékén?
Roger Penrose
Könyvünk címe: A nagy, a kicsi és az emberi elme, az első fejezet témája ezek közül a nagy. Az első és második fejezet a fizikai világ-egyetemmel foglalkozik, amelyet képletesen az 1.1 ábra „gömbjeként” ábrázolok. Ezek nem „botanikai” fejezetek, melyekben azt taglalnám részletesen, hogy mi van itt meg ott a világegyetemben. Inkább a világ fejlődését, viselkedését jellemző törvényszerűségek megértetésére törekszem. Döntésem, miszerint a fizikai törvények ismertetését két fejezetre (a nagyra és a kicsire) osztom, egyik oka az, hogy úgy tűnik, a világ nagyléptékű viselkedését leíró törvények gyökeresen különböznek a kisléptéken zajló történéseket jellemző törvényszerűségektől. A nyilvánvaló különbség, és hogy mit kezdhetünk ezzel a különbözőséggel, a harmadik fejezet központi témája - itt jut szerephez az emberi elme.
Minthogy a fizikai valóságról a viselkedését jellemző elméleteken keresztül beszélek, meg kell említenem egy másik világot is, Platón abszolút világát, amelyet a matematikai igazságok világának minőségében hívok segítségül. Természetesen helyezkedhetnénk arra az álláspontra, hogy „Platón világa” másmilyen abszolút fogalmakat is tartalmaz, mint a jó vagy a szép, azonban pillanatnyilag csupán a matematikai fogalmak platóni világára lesz szükség. Ezt a világot némelyek nehezen tudják önmagában létezőnek elfogadni.
Ők azok, akik a matematikára inkább a fizikai világunk idealizációjaként gondolnak, így felfogásukban a matematika világa a fizikai tárgyak világának származéka (1.2 ábra).
Az én matematikával kapcsolatos szemléletmódom nem ez, és hiszem, hogy nem ez a legtöbb matematikus és matematikai beállítottságú fizikus meggyőződése sem. Ők valamennyien másképp gondolnak a matematikára: olyan struktúrát látnak benne, melyet időtlen matematikai törvények uralnak. Fizikai világunk pedig az időtlen matematikai törvények származéka, ahogyan azt az 1.3 ábrán szemléltetjük. Ez a felfogás a 3. fejezetben elmondandókkal kapcsolatosan jut igazán jelentős szerephez, bár az első két fejezet legtöbb állítása kapcsán is tetten érhető.
Világunk viselkedésének egyik legfigyelemre méltóbb jellegzetessége, hogy matematikai gyökerekből táplálkozik. Teszi ezt elképesztő pontossággal. Minél többet fogunk fel a valóságból, minél alaposabban ellenőrizzük a természeti törvényeket, annál inkább úgy tűnik, hogy a fizikai világ valósággal elpárolog, és ami hátramarad, az színtiszta matematika. Minél mélyebben értjük a fizika törvényeit, annál inkább a matematika és a matematikai fogalmak világába kerülünk.
1.2 ábra
Vessünk egy pillantást az univerzumban előforduló jellegzetes léptékekre, valamint ezen belül az emberi léptékek által elfoglalt helyre. Mindezt az 1.4 ábrán bemutatott diagram szemlélteti. Az ábra bal oldalán időléptékek szerepelnek, a jobb oldalán pedig a kapcsolódó térléptékek. A diagram bal alsó sarkában a legrövidebb fizikailag értelmes időlépték található. Ez hozzávetőlegesen a másodperc 10-43-ad része, amit gyakran Planck-időként vagy krononként emlegetnek. Ez az idő sokkalta rövidebb mindannál, amivel az elemi részecskék világában találkozhatunk. Még a legrövidebb élettartamú részecskék, az ún. rezonanciák is a sokkal hosszabb 10-23 másodpercig léteznek.
A diagramon fölfele haladva láthatjuk a napot, az évet, majd a tetején az univerzum jelenlegi életkorát.
A jobb oldalon az időskálákkal kapcsolatos távolságokat jelöltük be. A Planck-időnek vagy krononnak megfelelő távolság az ún. Planck-hossz. A Planck-idő és a Planck-hossz természetes módon áll elő, amikor a nagy és a kis tartományokon érvényes fizikai elméletek Összeboronálásával próbálkozunk, azaz ha a rendkívül nagy léptéken alkalmazható Einstein-féle általános relativitáselmélet és a parányi léptéken alkalmazható kvantummechanika között teremtünk kapcsolatot. A két elmélet együttes tárgyalása esetén a Planck-idő és a Planck-hossz alapvető szerepet játszik. Az ábra bal oszlopából a jobb oszlopba a fénysebesség segítségével jutunk el; az időtartamokból úgy lesz távolság, hogy azt kérdezzük, milyen messzi jut el a fény az adott időtartam alatt.
A fizikai objektumok nagysága a részecskék karakterisztikus 10-15 méteres mérete, és a megfigyelhető univerzum jelenlegi 1027 méteres mérete között változik. Utóbbi durván a fénysebesség és az univerzum korának szorzata. Figyelemre méltó az emberi méret elhelyezkedése a diagramon, valahol a skála közepe táján. A Planck-hosszhoz viszonyítva hatalmasak vagyunk, de még az elemi részecskékhez képest is igen nagyok. Eltörpülünk azonban a megfigyelhető univerzum méretéhez képest. Valójában sokkal kisebbek vagyunk a világegyetemhez képest, mint amilyen nagyok a részecskékhez viszonyítva. Az időskálán nézelődve viszont meglepődve tapasztaljuk, hogy az emberi élettartam közelíti az univerzum életkorát! Szokás az emberi lét múló voltáról merengeni, de mit látunk a diagramon: az emberi élet összemérhető a világegyetem teljes életkorával! Természetesen ez csak a diagramon használt „logaritmikus” skálán látszik így, azonban ilyen hatalmas időtartamok esetén a logaritmikus skála a természetes ábrázolási mód. Másképpen ezt úgy fejezhetnénk ki, hogy az univerzum életkorát kitevő emberi élettartamok száma sokkal kisebb, mint az egyetlen emberi élettartamot kitevő Planck-idők vagy akár elemi részecskék élettartamainak száma. Egyszóval az univerzum igazán stabil struktúrái közé számítunk. Térbeli kiterjedésünk alapján a középmezőnyben helyezkedünk el - nem észleljük közvetlenül sem a túl nagy, sem a nagyon kicsi fizikáját. Logaritmikus skálán az összes élőlény, a sejttől kezdve a fákon és bálnákon át, ugyanazon a közepes szinten található.
Milyen fizika érvényes a különböző skálákon? Bemutatnék egy olyan diagramot (az 1.5 ábra), ahol a teljes fizikát ábrázoltam. Néhány részletet természetesen mellőznöm kellett, például az összes egyenletet!
1.5 ábra
De a fizikusok által felhasznált lényeges fizikai elméleteket megemlítem benne.
Kulcsfontosságú észrevétel, hogy a fizikában két, egymástól gyökeresen különböző eljárást használunk. A kis léptékeken érvényes viselkedés leírására a kvantummechanikát hívjuk segítségül - ezt az 1.5 ábrán kvantumszintként ábrázoltam, a 2. fejezetben részletesebben beszélek majd róla.
A kvantummechanikával kapcsolatos gyakori panasz, hogy zavaros és nem determinisztikus, de mindez nem igaz. A maga szintjén alkalmazva a kvantumelmélet determinisztikus és pontos. Legismertebb alakjában a kvantummechanika a Schrödinger-egyenletet használja, mely a kvantumos rendszer fizikai állapotának-az ún. kvantumállapotnak - a fejlődését irányítja, ez pedig determinisztikus egyenlet. Az U betű jelzi ezt a kvantumos szintű tevékenységet. A nem determinisztikus jelleg csupán akkor jelenik meg, ha „mérést végzünk”. Ilyenkor egy eseményt kvantumos léptékről klasszikus léptékre nagyítunk fel. A 2. fejezetben erről is bővebben mesélek majd.
Nagy léptéken a teljes egészében determinisztikus klasszikus fizikát alkalmazzuk. A klasszikus törvények között megtaláljuk Newton mozgástörvényeit, Maxwell elektromágneses mezőre vonatkozó törvényeit, amelyek magukban foglalják az elektromosságot, mágnesességet és a fényt, valamint Einstein relativitáselméleteit, a nagy sebességek világát jellemző speciális elméletet, és az erős gravitációt leíró általánosat. Ezek az elméletek rendkívül pontosak nagy léptéken.
Végső megjegyzés az 1.5 ábrához, hogy láthatóan beletettem a számíthatóság kérdését, ennek ugyan nincs szerepe sem a jelen, sem a 2. fejezetben, de annál inkább lesz a 3. fejezetben, amelyben visszatérünk még a kiszámíthatóságra.
A fejezet hátralévő részében elsősorban Einstein relativitáselméletével foglalkozom - főként az elmélet működésével, rendkívüli pontosságával, és részben azzal is, hogy fizikai elméletként mennyire elegáns. Először azonban beszéljünk Newton elméletéről. A newtoni fizika, akár a relativitáselmélet, a téridő segítségével írható le. Ezt a newtoni gravitációra elsőként Cartan dolgozta ki, valamivel Einstein általános relativitáselméletének megjelenése után. Galilei és Newton fizikája olyan téridőben érvényes, melyben létezik egy globális időkoordináta (mely az 1.6 ábrán felfele halad). Minden állandó időérték által meghatározott térmetszet euklideszi három-dimenziós tér - az ábrán a vízszintes síkok.
1.6 ábra Galilei-téridő: az egyenletesen mozgó részecskéket egyenes vonalak ábrázolják
A newtoni téridő lényeges eleme, hogy ezek a térmetszetek valamennyien azonos idejű pontok halmazai.
Azaz minden hétfő déli történés a téridődiagram legalsó vízszintes metszetén található; a kedd déli történések pedig a következő metszeten, stb. Amint telik az idő, egymást követik a térmetszetek. Az összes megfigyelő, mozgásától függetlenül, egyetért a történések időpontját illetően, mivel mindenki ugyanazon térmetszeteket tekinti alapul az időpont meghatározásához.
Einstein speciális relativitáselméletében más a helyzet. Ebben az elméletben a téridő segítségével történő leírás nélkülözhetetlen - a kulcsfontosságú különbség pedig, hogy az idő nem egyetemes fogalom többé, mint a newtoni elméletben volt. A különbözőségek érzékeltetéséhez meg kell értenünk a relativitáselmélet egyik lényeges fogalmát, a fénykúpnak nevezett struktúrát.
Mi a fénykúp? Egyikük az 1.7 ábrán látható. Képzeljünk el egy fényvillanást valahol, valamikor - azaz a téridő egy eseményét-, melyből a fényhullámok folyamatosan fénysebességgel távolodnak. A térben ezt a folyamatot (1.7(b) ábra) egy fénysebességgel növekvő sugarú gömb szemlélteti. Ugyanez olyan téridődiagramon is ábrázolható (1.7(a) ábra), ahol az idő felfelé telik és a térkoordináták vízszintes elmozdulásoknak felelnek meg, akár az 1.6 ábrán bemutatott newtoni esetben. Sajnos az 1.7(a) ábra téridődiagramján csupán két térbeli dimenziót tudunk vízszintesen ábrázolni, mert az ábra térideje csupán háromdimenziós. A felvillanás az origóban található pont (esemény), a belőle kiinduló fénysugarak (hullámok) pedig a vízszintes térmetszeteket körökben metszik, melyek sugara fénysebességgel növekszik, amint haladunk a diagramon felfelé. Látható, hogy a fénysugarak pályái kúpot rajzolnak ki a téridőben. A fénykúp tehát a felvillanás története - a fény az origóból a kúp mentén, azaz fénysebességgel terjed tova a jövő irányába. Fény azonban a múltból is érkezhet az origónak választott pontba, a múltbéli fénykúp mentén. A fényhullámok által hordozott összes információ a múlt-fénykúp mentén érkezik a megfigyelőhöz.
1.7 ábra Egy fényfelvillanás történetének ábrázolása: terjedése (a) téridőben (b) térben.
A fénykúpok a téridő legfontosabb struktúrái, ezek jelölik ki a kauzális hatások határát. Valamely részecske történetét a téridőben egy felfelé tartó vonal ábrázolja, mely a fénykúpon belül helyezkedik el (1.8 ábra). Így is mondhatjuk azt, hogy az anyagi részecskék fénysebességnél gyorsabban nem haladhatnak. Semmilyen jel nem képes a jövőbeli fénykúp belsejéből a külső tartományába jutni, így a fénykúp valóban a kauzális határ szerepét tölti be.
1.8 ábra Részecske mozgásának ábrázolása a speciális relativitáselmélet Minkowski-téridőként vagy Minkowski-geometriaként ismert téridejében. A téridő különböző pontjaiban található fénykúpok egymáshoz igazodnak és a részecskék kizárólag jövő-fénykúpjaikon belül mozoghatnak.
A fénykúpokkal kapcsolatba hozható néhány figyelemre méltó geometriai tulajdonság. Tekintsünk két különböző sebességgel mozgó megfigyelőt. Eltérően a newtoni elmélettől, ahol az egyidejűségi síkok azonosak az összes megfigyelő szerint, a relativitáselméletben nem létezik abszolút egyidejűség. A különböző sebességgel mozgó megfigyelők mindegyike kijelöli saját egyidejűségi síkjait, ezek egymástól különböző térmetszetek, mint ahogyan az az 1.9 ábrán látható. Az egyidejűségi síkok között a Lorentz-transzformációként is mert, jól meghatározott eljárás teremt kapcsolatot.
A transzformációk összessége a Lorentz-csoportot alkotja. Ennek felismerése lényeges szerepet játszott Einstein speciális relativitáselméletének megalkotásában. A Lorentz-csoportra a fénykúpot változatlanul hagyó lineáris transzformációk csoportjaként tekinthetünk.
1.9 ábra Az egyidejűség relatív jellege Einstein speciális relativitáselméletében. Az 1. és 2. megfigyelők egymáshoz képest mozgásban vannak a téridőben. Az 1. megfigyelő számára egyidejű események nem azok a 2. megfigyelő szerint és fordítva.
A Lorentz-csoport más szempontból is figyelemre méltó. Mint ahogyan korábban hangsúlyoztam, a fénykúpok a téridő alapvető struktúrái. Képzeljük el, hogy a téridőben elhelyezkedő megfigyelőként kitekintünk az univerzumra. Látjuk a csillagokból a szemünkbe érkező fényjeleket. A téridő-nézőpont szerint a megfigyelt események a csillagok világvonalának saját múlt-fénykúpunkkal vett metszetei, mint ahogyan ez az 1.10(a) ábrán látható. A múlt-fénykúp mentén a csillagokat meghatározott pontokban látjuk.
Ezek a pontok a bennünket körülvevő látszólagos égi gömbön helyezkednek el. Képzeljünk most el egy másik megfigyelőt, aki hozzánk képest nagy sebességgel mozog, mégpedig úgy, hogy amikor az égre mindketten feltekintünk, éppen nagyon közel halad el. A másik megfigyelő ugyanazokat a csillagokat látja, de szerinte az égi gömbön máshol helyezkednek el (1.10(b) ábra), ez az aberrációként ismert effektus.
1.10 ábra Az 1. és 2. megfigyelők által végzett égi megfigyelések ábrázolása, (a) Az 1. és 2. megfigyelők csillagokat észlelnek múlt fénykúpjuk mentén. Fekete pontok jelzik a csillagok és a fénykúpok találkozását. A csillagok fénye a fénykúpokon bejelölt pályák mentén jut el a megfigyelőkhöz. A 2. megfigyelő mozog a téridőben az 1. megfigyelőhöz képest, (b) A téridő azonos pontjában található 1. és 2. megfigyelők által látott csillagok elhelyezkedése, (c) A sztereografikus projekció jól szemlélteti a két megfigyelő által látott égbolt egymásba transzformálását: a körök megmaradnak köröknek, a szögek nem változnak meg.
Léteznek olyan transzformációk, melyek kapcsolatot teremtenek a különböző megfigyelők által az égi gömbön látottak között. E transzformációk mindegyike a gömböt önmagára képezi le. Ezenkívül egy speciális tulajdonságuk is van: az egzakt köröket egzakt körökké képezik, a szögeket pedig megtartják. Vagyis az általunk látott kör alakú mintázatok kör alakúak a másik megfigyelő szerint is.
A fentiek szemléltetésére létezik egy gyönyörű módszer, amit felhasználok annak igazolására, hogy milyen elegancia van abban a matematikában, mely a fizikát legmélyebb szintjén átszövi. Az 1.10(a) ábrán bemutatott gömböt egy sík metszi el az egyenlítő mentén. Vizsgáljuk meg a gömbre rajzolt ábrák vetületeit e síkra úgy, ahogyan azok a déli pólusból látszanak. A vetítési eljárás neve sztereografikus projekció, és rendelkezik néhány figyelemre méltó tulajdonsággal. A gömb köreit síkbeli körökké képezi le, és a gömbön futó görbék által bezárt szögek vetületei is pontosan megegyeznek az eredeti szögekkel. Mint ahogyan azt a 2. fejezetben (lásd a 2.4 ábrát) részletesen megmutatom, ez a vetítési eljárás lehetővé teszi, hogy a gömb pontjait komplex számokkal lássuk el (melyeket a -1 négyzetgyökével képezünk) - mégpedig ugyanazokkal, amelyek az egyenlítői sík pontjait is jellemzik - kiegészítve a „végtelennel”. Ily módon előáll a „Riemann-gömbnek” nevezett struktúra.
Az érdeklődők kedvéért megadom az aberrációs transzformációt:
Ez a transzformáció a matematikusok számára jól ismert módon a köröket körökbe viszi át, a szögeket pedig megtartja. Az ilyen tulajdonságú transzformációk Möbius-transzformációként ismertek. Célom itt csupán a komplex u paraméter segítségével felírt Lorentz (aberráció)-formula egyszerű eleganciájára felhívni a figyelmet.
Szembeszökő a transzformáció speciális relativitáselmélet szerint felírt fenti változatának egyszerűsége a newtoni mechanikában levezethető sokkalta bonyolultabb aberrációs képlethez viszonyítva.
Gyakori, hogy eljutva az alapokhoz, kifejlesztve egy pontosabb elméletet, a matematikai leírás egyszerűbbé válik, bár esetleg első pillantásra a formalizmus bonyolultabbnak hat. Ezt a lényeges észrevételt jól példázza a Galilei-féle és az Einstein-féle relativitáselmélet.
A speciális relativitáselmélet sok szempontból egyszerűbb a newtoni mechanikánál. A matematika, és különösen a csoportelmélet szemszögéből, az előbbi sokkal tetszetősebb struktúra. A speciális relativitáselméletben a téridő sík jellegű és az összes fénykúp szabályosan sorakozik fel, amint az az 1.8 ábrán látható. Azonban továbblépve Einstein általános relativitáselméletéhez, mely a téridőnek a gravitáció jelenlétében érvényes elmélete, első pillantásra romlik a kép: a fénykúpok összevissza hajlanak (1.11 ábra). Bár azt állítottam, hogy az alapvetőbb elméletek matematikája egyszerűbb, lám mi történt: egy gyönyörűséges matematika észveszejtően bonyolulttá vált. Való igaz - türelmesen ki kell várnunk, hogy az egyszerűség ismét napvilágra kerüljön.
Vegyük számba Einstein általános relativitáselméletének alapköveit. Egyikük Galilei ekvivalenciaelve. Az 1.12(a) ábrán Galileit látjuk a pisai ferde toronyból kihajolni, amint nagy és kis kövek ledobálásával szorgoskodik.
1.12 ábra (a) Galilei ledob két követ (és egy videokamerát) a pisai ferde toronyból, (b) Az űrsikló az űrhajós előtt lebeg, mintha nem is létezne gravitáció.
Akár elvégezte a kísérletet, akár nem, kétségkívül rájött, hogy ha elhanyagolja a légellenállást, a kis és nagy kövek ugyanannyi ideig esnek. Ha történetesen az együtt zuhanó kődarabok valamelyikén ülnénk, a másik kődarabot mozdulatlan lebegésben látnánk. (Az ábrán a megfigyelés elvégzése céljából egy kamerát helyeztem az egyik kőre.) Napjainkban, az űrutazás korában ez megszokott jelenséggé vált. Nemrég néztem végig egy brit születésű űrhajóst űrsétája közben - űrhajója előtte lebegett, ugyanúgy, mint a nagy kő meg a kis kő - ez pontosan Galilei ekvivalenciaelve.
Ha a megfelelő szemszögből, vagyis egy „zuhanó” rendszerből nézzük, a gravitáció szemünk láttára semmivé foszlik. És ez rendben is van. Einstein relativitáselmélete azonban nem azt állítja, hogy a gravitáció eltűnik; csupán azt, hogy a gravitációs erő tűnik el.
Valami nyoma azért marad: mégpedig a gravitáció árapály típusú hatása.
Szeretnék most valamivel több matematikát bevonni a tárgyalásba; de nem sokkal többet. Szükség lesz a téridő görbületének leírására, ezt egy tenzor valósítja meg, melyet a következőkben Riemann-nak nevezek. Egész pontosan Riemann görbületi tenzornak, de nem árulom el, hogy pontosan mi is ez, kivéve azt, hogy R-rel jelöljük, és ellátjuk egy halom index-szel, melyek helyét pontok jelzik. A Riemann görbületi tenzor két részből áll. Egyikük a Weyl görbület, másik a Ricci görbület:
Formálisan C.... és R.. a Weyl és Ricci görbületi tenzorok, g.. pedig a metrikus tenzor.
A Weyl-görbület lényegében az árapály hatását méri. Mit is értünk árapály alatt? Idézzük fel, hogy az űrhajós szemszögéből úgy tűnik, mintha a gravitáció megszűnt volna. De ez nem teljesen igaz. Képzeljük el, hogy az űrhajós körül részecskék lebegnek, amelyek gömb alakba rendeződtek. Bár kezdetben mozdulatlannak hatnak, egy idő után észrevehetővé válik gyorsulásuk, melynek oka, hogy a gömb különböző pontjaira a Föld kissé eltérő gravitációs vonzerőt gyakorol. (Newtoni nyelvezeten fejtem ki érveimet, de ez most teljesen alkalmas.) A kis eltérés az eredetileg gömb alakú elrendeződést elliptikussá alakítja úgy, ahogyan az az 1.13(a) ábrán látható.
Az alakváltozás részben a Földhöz közelebb (távolabb) eső részecskékre gyakorolt nagyobb (kisebb) vonzóerő következménye, részben pedig abból ered, hogy az oldalsó széleken a gravitációs erő kissé a gömb belseje felé irányul. Így a gömb ellipszoiddá torzul.
Ezt nevezik árapályhatásnak, annál az egyszerű oknál fogva, hogy ha a Földet a Holddal helyettesítjük, a részecskegömb helyébe pedig a Föld óceánjait képzeljük, akkor a Hold hatása a földi óceánokra azonos lesz a Földnek a részecskék gömbjére gyakorolt hatásával - a Holdhoz közeli óceánfelület a Hold felé nyomul, az átellenes oldalon az óceán felülete pedig távolodni igyekszik. Végeredményképpen az óceán felülete kipúposodik mindkét oldalon, és emiatt naponta két nagy dagály jön létre.
1.13 ábra (a) Az árapály jelensége. A kettős nyilak a relatív gyorsulásokat mutatják, (b) Ha a gömb anyagot ölel körül (a Földet), megjelenik egy befele mutató eredő gyorsulás.
Einstein szemszögéből nézve a gravitáció hatása éppen az árapály jelenség, amit lényegében a Weyl-görbület ír le, azaz a Riemann-görbület C.... része. A görbületi tenzor e része térfogattartó. Vagyis, kiszámítva a részecskék eredeti gömbjének, illetve a kialakuló ellipszoidnak a térfogatát, ugyanarra az eredményre jutunk.
A görbület fennmaradó része a Ricci-görbület, és ennek térfogatcsökkentő hatása van. Az 1.13(b) ábrán látjuk, hogy ha a Földet a diagram alsó része helyett a részecskegömb belsejébe helyezzük, a gömb térfogata csökken, amint a részecskék befelé gyorsulnak. A csökkenés mértéke a Ricci-görbülettel függ össze. Einstein elmélete szerint a Ricci-görbületet a kérdéses pontot körülvevő kis gömbben található anyag szabja meg. Másképpen mondva, a megfelelő módon értelmezett anyagsűrűség határozza meg a részecskék gyorsulását a tér valamely pontjának irányába. Ilyenképpen Einstein elmélete majdnem ugyanaz, mint Newtoné.
Így fogalmazta meg gravitációelméletét Einstein, az árapályhatások segítségével, melyek a téridő lokális görbületének mértékei. Lényeges, hogy a négydimenziós téridő görbületéről van itt szó. Ezt vázlatosan az 1.11 ábrán már bemutattuk - a részecskék világvonalára gondolunk és arra, miként hajlítja el ezeket a téridő görbülete. Einstein elmélete tehát a négydimenziós téridő geometriai elmélete - egy matematikai szempontból gyönyörű elmélet.
Einstein általános relativitáselméletének felfedezése fontos tanulságot hordoz. Teljességében 1915-ben dolgozta ki. Semmilyen kísérlet nem motiválta a szükségességét, csupán különböző esztétikai, geometriai és fizikai elvárások. Az elmélet alapelemei Galilei ekvivalenciaelve, melyet a hulló kövek példájával szemléltettünk (1.12 ábra), valamint a nemeuklideszi geometria fogalomköre, amely a téridő görbületének jellemzéséhez a természetes nyelvezetet biztosítja.
1.14 ábra (a) A gravitáció fényre kifejtett, közvetlenül is megfigyelhető hatása az általános relativitáselmélet szerint. A Weyl-téridő-görbület a távoli csillagok látszólagos helyzetét torzítja, itt a Nap gravitációja által okozott fényelhajlás következtében. A kör alakú csillagkonfiguráció elliptikus elrendeződésben látszana, (b) Einstein fényelhajlás jelensége napjainkban a megfigyelő csillagászat fontos eszköze. A távoli kvazár képének torzulásából meg lehet becsülni a köztes galaxis tömegét.
1915-ben nem volt kísérleti motiváció új gravitációelmélet megalkotására. Az általános relativitáselmélet kidolgozása után mégis kiderült, hogy háromféleképpen is alá lehet vetni a megfigyelések próbájának. A Merkúr perihéliumának körbefordulását a newtoni gravitáció nem képes teljes mértékben levezetni a többi bolygó hatásából - az általános relativitáselmélet viszont éppen a helyes választ szolgáltatja. A Nap mellett elhaladó fény pályája elhajlik. 1919-ben, Sir Arthur Eddington vezetésével útnak indult a napfogyatkozást megfigyelő, híressé vált expedíció. Ők szintén Einstein jóslatával megegyező eredményre jutottak (1.14(a) ábra). A harmadik jóslat szerint az órák gravitációs potenciálban lelassulnak -azaz egy talajhoz közeli óra lassabban jár, mint toronybeli társa. Ezt a jelenséget kísérletileg szintén kimutatták. Az egybeesések azonban nem igazán lenyűgözőek - az effektusok mindhárom esetben parányi eltérésekben nyilvánulnak meg, amiket talán többféle egyéb módon is meg lehetett volna magyarázni.
Ez a helyzet azonban jelentősen megváltozott - 1993-ban Hulse és Taylor rendkívüli méréssorozatát Nobel-díjjal jutalmazták. Az 1.15(a) ábra a PSR 1913 + 16 néven ismert kettős pulzárt mutatja be - két neutroncsillagból áll, ezek olyan rendkívüli sűrűségű csillagok, melyek tömege a Napéhoz mérhető, de csupán néhány kilométer sugarúak. A neutroncsillagok közös gravitációs középpontjuk körül keringenek, elnyújtott elliptikus pályákon. Egyikük mágneses tere jelentékeny, így körbepörgeti a részecskéket, ezek erős sugárzása 30 000 év elteltével eléri a Földet, ahol jól kivehető impulzusok formájában észlelhetők. Az impulzusok között eltelt idő rendkívül pontos meghatározását többféle módon elvégezték. Ebből kiszámíthatóak a két neutroncsillag pályáját jellemző mennyi ségek, az általános relativitáselmélet által jósolt apró korrekciókkal egyetemben.
1.15 ábra (a) A PSR 1913 + 16 pulzár vázlatos ábrázolása. A neutroncsillagok egyike rádiópulzár. A rádiósugárzás a forgási tengellyel szöget bezáró mágneses dipólus „sarkpontjain” hagyja el a neutron-csillagot. Mikor a keskeny sugárnyaláb a megfigyelő irányán keresztülsöpör, élesen meghatározható „felvillanást” okoz. A két neutron csillag tulajdonságait az impulzusok megérkezési idejének roppant pontos meghatározásából vezették le, felhasználva (és egyben ellenőrizve) a kizárólag az Einstein általános relativitáselméletében fellépő effektusokat, (b) A PSR 1913 + 16 pulzár impulzusainak érkezési idejében bekövetkezett fázisváltozás és a kettős neutroncsillag rendszer által kibocsátott gravitációs sugárzás miatt bekövetkező változás (folytonos vonal) összehasonlítása.
Létezik azonban az általános relativitáselméletnek egy olyan előrejelzése, aminek nem lelni párját Newton gravitációs elméletében: az egymás körül keringő testek gravitációs hullámok formájában energiát sugároznak szét. Hasonlóak a fényhullámokhoz, de nem az elektromágneses mező változásából származnak, hanem a téridő görbületének gyűrődései. A hullámok energiát visznek el a kettős neutroncsillag rendszeréből, ennek kiszámított értéke pedig figyelemre méltó pontossággal egyezik az észlelésekkel, mint az az 1.15(b) ábrán látható. Az ábra a neutroncsillagok felgyorsulását mutatja a keringési pályán mintegy 20 évnyi megfigyelés nyomán. Az érkező impulzusok rendkívül pontosan mérhetők, így 20 évi mérés az elmélet helyességét az egy a 1014-hez pontossággal igazolta. Ezzel az általános relativitáselmélet a tudomány legnagyobb pontossággal igazolt elméletévé lépett elő.
A történet - miszerint Einstein életének több mint nyolc évét úgy szentelte az általános relativitáselmélet kidolgozásának, hogy sem kísérleti, sem megfigyelési indítéka nem volt rá - tanulságos. Néha hallani: „kísérleti eredményeik között a fizikusok szabályszerűségeket keresnek, melynek alapján a valósággal összecsengő szép elméleteket dolgoznak ki. Talán ez a titka a fizika és a matematika sikeres együttműködésének.” Az általános relativitáselmélet esetében azonban minden másképpen történt: kísérleti indítékok nélkül fejlődött ki. Matematikai háttere roppant elegáns, a fizika szempontjából igen jól indokolható. Matematikai struktúrája része a természetnek, az elmélet megvalósul - a természetre senki rá nem kényszeríti. Fejezetünknek ez az egyik lényeges mondandója. Einstein valami létezőről rántotta le a leplet, és ezzel a fizikának nem egy új, apró szeletét fedte fel, - hanem a természet legmélyebb szintjeibe pillantott bele, a tér és idő természetébe.
Minden világos - idézzük csak fel az 1.3 ábrát a matematika és a fizika világának kapcsolatáról. Az általános relativitáselméletben megbúvó struktúra rendkívüli pontossággal jellemzi fizikai világunkat. Az ehhez hasonló struktúrák sokszor nem a természet működésének megfigyelése közben bukkannak elő, bár a megfigyeléssel való összevetés kétségkívül fontos. Habozás nélkül meg kell válnunk azon elméletektől, melyek mindenféle más szempontból tetszetősek ugyan, de ellentmondanak a tényeknek. Az általános relativitáselmélet esetében azonban egy olyan elmélettel állunk szemben, amely rendkívüli módon egybevág a tényekkel, mégpedig a newtoni elméletnél kétszer több számjegy pontossággal. Másképpen szólva, az általános relativitáselméletet egy a 1014-hez, míg a newtoni elméletet egy a 107-hez pontosságig igazolták kísérletileg. A különbség ahhoz mérhető, amennyit a newtoni elmélet kísérletileg igazolt pontossága a tizenhetedik századtól napjainkig javult. Newton tudomása szerint elmélete egyezrelék pontosságig volt helyes, napjainkban ez az arány egy a 107-hez.
Einstein általános relativitáselmélete természetesen csupán elmélet. Mit lehet tudni a valódi világ szerkezetéről? Ígéretemet, miszerint ez a fejezet nem lesz botanikai jellegű, nem sérti, ha a teljes, a nekünk adatott egyetlen létező univerzumról, mint egészről beszélek. Einstein elméletéből háromféle standard univerzum modell vezethető le, ezeket az 1.16 ábrán a k-val jelölt paraméter különböztet meg egymástól. Kozmológiai okfejtésekben néha egy második paraméter is megjelenik, ez a kozmológiai állandó. Bevezetését az általános relativitáselmélet egyenleteibe Einstein legnagyobb tévedéseként tartotta számon, így én sem foglalkozom vele. Ha kiderülne, hogy mégis szükség van rá, úgy megpróbálunk majd együtt élni vele.
Feltéve, hogy a kozmológiai állandó nulla, a k állandó által megkülönböztetett háromféle univerzumot az 1.16 ábra mutatja be.
1.16 ábra (a) A táguló világegyetem ábrázolása téridőben, euklideszi térmetszetekkel (az ábrán két térdimenzió látható): k = 0.
(b) A táguló, majd összehúzódó világegyetem (a)-hoz hasonló ábrázolása. gömb térmetszettel: k = 1. (c) Ugyanaz, mint (a), Lobacsevszkij-féle térmetszetekkel: k = -1. (d) A három különböző Friedmann-modell dinamikája.
A diagramban k az 1, 0, -1 értékeket veszi fel, mivel a modellek többi tulajdonsága kiskálázható. Talán szerencsésebb lenne az univerzum koráról vagy méretéről beszélni, ily módon folytonosan változó paraméterrel jellemezve azt. A három modellt azonban meghatározza az univerzum térszerű metszeteinek görbülete.
Amennyiben a térszerű metszetek síkok, görbületük nulla, és k=0 (1.16(a) ábra). Ha viszont görbületük pozitív, vagyis az univerzum visszagörbül önmagába, k = + 1 (1.16(b) ábra). A világegyetem mindegyik modellben az Ősrobbanásnak nevezett szinguláris állapottal kezdődik. Azonban a k = +1 esetben a maximális méret elérését összehúzódási szakasz követi, mely végül a Nagy Összeomláshoz vezet. Ezzel szemben a k = -1 esetben a világegyetem örökösen tágul (1.16(c) ábra). A k = 0 eset határt képez a k = -1 és a k = +1 lehetőségek között. Az 1.16(d) ábrán az univerzum sugarának időfüggését ábrázoltam. A sugár alatt valamilyen tipikus távolságskálát értek, és látható, hogy egyedül a k = +1 eset vezet Nagy Összeomláshoz, a másik két esetben a tágulás örökösen folytatódik.
A k = -1 esetről kissé bővebben szeretnék beszélni - bizonyos értelemben valószínűleg ez a legbonyolultabb. Ez a modell két okból is jelentős. Egyik az, hogy a jelenlegi megfigyeléseken alapuló adatok ezt a modellt előnyben részesítik*. (Ez 2003-ban már nem mondható el. A ford. megj.) Az általános relativitás-elmélet szerint az anyag görbíti a teret, és úgy tűnik, nincs elég belőle ahhoz, hogy bezáruljon az univerzum geometriája. Természetesen lehetséges, hogy létezik olyan rejtett vagy sötét anyag, amiről még nem szereztünk tudomást. Ebben az esetben az univerzumot akár a másik két modell egyike is jellemezheti, azonban ha még sincs túlságosan sok anyag, sokkal több annál, amit a galaxisok optikai képe mutat, akkor a k = -1 univerzuma érvényes. A másik ok. hogy ezt kedvelem leginkább! A k = -1 geometria tulajdonságai különösen elegánsak.
Hogyan is néznek ki a k = -1 univerzumok? Térszerű metszeteik hiperbolikus, azaz Lobacsevszkij-geometriájúak. A Lobacsevszkij-geometria szemléltetéséhez vessünk egy pillantást Escher egyik fametszetére. (Az orosz Lobacsevszkij és a magyar Bolyai János egymástól függetlenül szinte egyszerre fedezte fel azt az „új világot”, amelyet Magyarországon Bolyai-geometriaként tisztelünk. A továbbiakban az olvasó Lobacsevszkij neve mellé gondolatban illessze oda Bolyaiét is. A szerk. megj.)
1.17 ábra M. C. Escher: Körhatár 4.
(a Lobacsevszkij-tér ábrázolása).
Rajzai közül néhányat Körhatárnak nevezett, ezek közül a 4. Körhatárt az 1.17 ábrán látjuk. Ez Escher univerzumképe -tele angyalokkal és ördögökkel! A kép a határkör külső szélén roppant zsúfoltnak tűnik, ami azért van, mert a hiperbolikus teret közönséges sík papírlapra rajzolja, azaz euklideszi térben ábrázolja. Úgy kell elképzelnünk, hogy az összes angyal és ördög pontosan azonos méretű és alakú; azaz ha ebben az univerzumban a diagram szélénél élnénk, ugyanolyannak látnánk őket, mint középen. Talán ez a rajz érzékeltetni tudja, mit is értünk Lobacsevszkij-geometrián - amint a középső tartományból a szélső felé sétálunk, a geometria ábrázolásához szükséges torzítás ellenére az aktuálisan fellelhető geometria pontosan ugyanaz, mint középen, azaz a bennünket körülvevő geometria nem változik, bárhol is tartózkodunk.
Talán ez a legmeghökkentőbb példája egy jól meghatározott geometriának. Az euklideszi geometria bizonyos értelemben azonban ugyanilyen figyelemre méltó. Az euklideszi geometria a matematika és a fizika összefonódásának ragyogó példája. Bár a geometria a matematika része, az ókori görögök egyúttal a világ ábrázolásaként is számon tartották. És valóban, kiderült, hogy a világ jellegzetességeit rendkívüli pontossággal jellemzi - nem maximális pontossággal, hiszen Einstein elmélete megtanít arra, hogy a téridő bár enyhén, de többféle módon is görbül, mégis a valóság rendkívülien pontos leírását adja. Sokan töprengtek már azon, hogy lehetséges-e más geometria is? Különösen Eukleidész ötödik posztulátuma adott okot gyanakvásra. Ezt úgy is megfogalmazhatjuk, hogy ha adva van egy egyenes és egy pont az egyenesen kívül, akkor az adott ponton át az adott egyenessel csupán egy párhuzamos húzható. Sokan hitték, hogy a fenti állítás esetleg levezethető az euklideszi geometria többi, sokkal nyilvánvalóbb axiómájából. Kiderült, hogy ez nem lehetséges, és ebből nőtt ki a nemeuklideszi geometria.
1.18 ábra (a) Háromszög az euklideszi térben, (b) Háromszög a Lobacsevszkij-rérben.
A nemeuklideszi geometriákban a háromszög szögeinek összege nem 180°. Azt hihetnénk, hogy ez rendkívül bonyolulttá teszi a dolgokat, hiszen az euklideszi geometriában az összeg mindig 180 (1.18(a) ábra). A nemeuklideszi geometriákban azonban a háromszög szögei összegének az eltérése a 180°-tól arányos a háromszög területével. Euklideszi geometriában a háromszög területe bonyolult függvénye a szögeknek és oldalaknak. A nemeuklideszi (Lobacsevszkij-geometriában viszont a Lambertnek köszönhető gyönyörűen egyszerű formula adja meg a területet (1.18(b) ábra). Tulajdonképpen Lambert a formulát még a nemeuklideszi geometria felfedezése előtt levezette, amit sohasem értettem igazán!
Van egy másik fontos, a valós számokkal kapcsolatos megjegyzés is. Az euklideszi geometriában alapvető valós számokat az időszámításunk előtti negyedik században Eudoxus vezette be, és máig is használjuk őket. Ezek a számok az egész fizikát uralják. Mint azt később látni fogjuk, szükségesek a komplex számok is, azonban ezek a valós számokból származtathatók.
1.19 ábra M. C. Escher: Körhatár 1.
A Lobacsevszkij-geometria szemléltetéséhez vizsgáljuk meg Eschernek egy másik metszetét. Az 1.19 ábra, ha lehet, még hasznosabb az 1.17-nél a geometria megértéséhez, mivel megmutatja, melyek lesznek ebben a geometriában az „egyenes vonalak”. Ezeket körívek ábrázolják, amelyek a kerületet derékszögben metszik. Lobacsevszkij geometriájában lakosként élve ezeket az íveket gondolnánk egyenes útnak. Az 1.19 ábrán világosan látható, hogy az „egyenesek” egy része a diagram közepe táján euklideszi értelemben is egyenes, az összes többi körív. Az 1.20 ábrán megmutatunk néhányat az „egyenesek” közül. Az ábrán megjelöltem egy pontot, ami nincs rajta az egyenesen (az átmérőn). Lobacsevszkij világának emberei képesek ezen a ponton keresztül két (vagy több) párhuzamost is szerkeszteni az átmérővel. Így a párhuzamossági posztulátum sérül ebben a geometriában. Továbbá, rajzolhatunk háromszögeket és kiszámolhatjuk szögeik összegét, hogy meghatározzuk területüket. Ilyen módon szerezhetünk tapasztalatokat a hiperbolikus geometriáról.
1.20 ábra A Körhatár 1 által ábrázolt Lobacsevszkij- (hiperbolikus) tér geometriai jellegzetességei.
Hadd mondjak egy másik példát is. Kijelentettem, hogy a hiperbolikus, Lobacsevszkij-geometriát szeretem leginkább. Mégpedig azért, mert szimmetriacsoportja pontosan megegyezik a korábban megismerttel, a Lorentz-csoporttal - a speciális relativitáselmélet, avagy a fénykúpok szimmetriacsoportjával. Hogy ezt belássuk, az 1.21 ábrán rajzoltam egy fénykúpot, de most még egyebekkel is kiegészítettem. A térszerű dimenziók egyikét el kellett hagynom, hogy a rendelkezésre álló három dimenzióban lerajzolhassam. A fénykúpot az ábrán is olvasható, szokásos összefüggés jellemzi:
t 2 -x2 -y2 = 0.
A kerek tálka alakú felületek fönt és lent a Minkowski-téridő origójától egységnyi távolságra vannak. (Ez a távolság a Minkowski-geometriában tulajdonképpen idő - a mozgó órák által fizikailag mért ún. sajátidő.) így e két felület a Minkowski-téridő „gömbfelületét” alkotja. Kiderül, hogy a „gömb” belső geometriája Lobacsevszkij (hiperbolikus) jellegű. Az euklideszi tér közönséges gömbje elforgatható, szimmetriacsoportja a gömb forgatásaiból áll. Az 1.21 ábrán bemutatott geometriában a szimmetriacsoport az ábrázolt felület szimmetriacsoportja, más szóval a forgatások Lorentz-csoportja. Ez a szimmetriacsoport leírja, miként transzformálódik idő és tér, amikor valamely kiválasztott pont körül elforgatjuk a téridőt. Látjuk tehát, hogy a Lobacsevszkij-tér szimmetriacsoportja lényegében a Lorentz-csoport.
Az 1.21 ábrán látható az 1.10(c) ábrán korábban bemutatott sztereografikus projekció Minkowski változata is. A déli pólusnak most a (-1, 0, 0) pont felel meg. A felső tálka alakú felület összes pontját a t — 0 síkra vetítjük, mely az 1.10(c) ábra egyenlítői síkjának felel meg. A vetített pontok valamennyien a t = 0 sík bejelölt korongjába esnek, melyet néha Poincaré-korongnak neveznek. Escher Körhatár diagramjai pontosan ezzel az eljárással születtek - a teljes hiperbolikus (Lobacsevszkij-) felület Poincaré-korongba való vetítésével.
1.21 ábra A Lobacsevszkij-tér, mint hiperboloidág beágyazása a Minkowski-téridőbe. A sztereografikus leképezés Poincaré-korongba viszi ár, melynek határa a t = 0 síkbeli kör.
Ez a vetítés tudja mindazt, amit az 1.10(c) ábra vetítése - a szögeket és a köröket is megtartja, és mindez geometriai megfontolásokból szépen kikövetkeztethető. Lehet, hogy elragadott a lelkesedés - attól tartok, ez szokott történni a matematikusokkal, amikor valamibe nagyon belemerülnek!
Érdekes, hogy valahányszor a fentihez hasonló geometriai megfontolások vezérelnek, az elemzés és az eredmények eleganciája megerősíti helyességüket. Ezzel szemben az olyan eljárások, amelyek híján vannak e matematikai eleganciának, feledésbe merülnek. A hiperbolikus geometria különleges eleganciával rendelkezik. Kimondhatatlanul szép lenne, legalábbis a hozzám hasonlók szerint, ha az univerzum valóban ilyennek bizonyulna. Hadd mondjam ki, hogy egyéb okaim is vannak, hogy higgyek ebben. Sokan nem szeretik e nyílt, hiperbolikus univerzumokat - inkább előnyben részesítik az 1.16(b) ábrán láthatóhoz hasonló zártakat, amelyek egyszerűek és barátságosak. Megjegyzem, a zárt univerzumok is tekintélyes méretűek lehetnek.
Ismét mások a sík univerzum modelljét szeretik (1.16(a) ábra), mivel létezik a korai univerzumnak egy olyan elmélete, az inflációs elmélet, amely azt sugallja, hogy az univerzum sík geometriájú. Be kell vallanom, hogy ezekben az elméletekben nem igazán hiszek.
Az univerzum három standard modellje Friedmann-modellként ismert. Közös jellegzetességük rendkívül szimmetrikus jellegük. Valamennyi tágulással kezdődik, azonban az univerzum mindvégig teljesen homogén. Ez a feltevés beépül a Friedmann-modellekbe és kozmológiai elvként ismert. Akárhol is vagyunk, a Friedmann-univerzum minden irányban ugyanúgy néz ki. Jelenlegi univerzumunk ezt figyelemre méltó pontossággal igazolja. Amennyiben az Einstein-egyenletek helyesek, és említettem már, milyen rendkívüli módon igazolják a megfigyelések, a Friedmann-modelleket komolyan kell vennünk. Mindegyik modell a kellemetlen Ősrobbanással kezdődik, amikor minden rosszul viselkedik. Az univerzum végtelenül sűrű, végtelenül forró és így tovább - valami igencsak rosszul működik ebben az elméletben. Ennek ellenére, amennyiben elfogadjuk, hogy a roppant forró, sűrű állapot valóban létezett, megjósolhatjuk a jelenlegi univerzum hőtartalmát. A jóslat szerint lennie kell egy mindenütt jelenlévő egyenletes feketetest-sugárzás háttérnek, mely napjainkig fennmaradt. 1965-ben Penzias és Wilson pontosan ilyen típusú sugárzást fedezett fel. A legfrissebb megfigyelések szerint, melyeket a COBE (Cosmic Background Explorer) űrszonda végzett a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás spektrumáról, a feketetest-jelleg rendkívül pontosan igazolt (1.22 ábra).
A kozmológusok értelmezésében a sugárzás igazolja, hogy az univerzum fejlődése során létezett egy igen forró, sűrű fázis. Vagyis a sugárzás a korai univerzumról árul el részleteket - nem mindent, de például azt, hogy az Ősrobbanás megtörtént. Más szóval, az univerzum nagyon hasonlít az 1.16 ábrán bemutatott modellekhez.
1.22 ábra A kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás COBE által mért spektruma pontosan egybeesik az Ősrobbanás sugárzásának várt „termikus” jellegével (a folytonos vonallal).
A COBE űrszonda tett egy másik rendkívül fontos felfedezést is. Bár a kozmikus mikrohullámú háttérsugárzás figyelemre méltóan egyforma minden irányban, és minden tulajdonsága matematikailag gyönyörűen leírható, az univerzum mégsem tökéletesen egyenletes. A sugárzás égi eloszlásában apró, de létező szabálytalanságok vannak. Tulajdonképpen számítottunk apró szabálytalanságok létére a korai univerzumban - hiszen megfigyelőként létezünk, és bizonyosan nem vagyunk részei valamilyen egyenletes ködnek. Az univerzum valószínűleg inkább az 1.23 ábra illusztrációihoz hasonlatos. Nyitottságomat igazolandó, mondanivalómat mind a nyílt, mind a zárt univerzum példáján bemutatom.
A zárt univerzumban a szabálytalanságok valódi megfigyelhető struktúrák - csillagok, galaxisok és társaik - kialakulásához vezetnek. Egy idő után kezdenek megjelenni a fekete lyukak, a csillagok összeomlásának, a galaxisok közepén felhalmozódó anyagnak köszönhetően. A fekete lyukak közepe szinguláris, akár egy fordított Ősrobbanás. Mindez mégsem ilyen egyszerű. Modellünk szerint az Ősrobbanás szép, szimmetrikus, egyenletes állapot. Ezzel szemben a zárt modell végső állapota hihetetlenül csúnya - az összes feketelyuk egy gyilkos találkozóra igyekszik, hatalmas kavarodást és tülekedést okozva a Nagy Összeomlásban (1.23(a) ábra).
1.23 ábra (a) Egy zárt világmodellben kialakulnak a fekete lyukak, mint különböző objektumok fejlődési végállapotai. Látható, milyen borzalmas összevisszasággal jár a Nagy Összeomlás. Az (a) eseménysort a (b) filmszalag is megmutatja, (c) A nyílt modell fejlődése, benne a különböző időpontokban kialakuló fekete lyukakkal.
A zárt modell fejlődését vázlatosan az 1.23(b) ábra filmkockái mutatják. A nyílt modellben a fekete lyukak kialakulása örökösen folytatódik - továbbra is megmarad a kezdeti szingularitás és a fekete lyukak belsejében újabb szingularitások alakulnak ki (1.23(c) ábra).
A standard Friedmann-modellek e tulajdonságát azért hangsúlyozom, mert óriási a különbség a látni vélt kezdeti állapot és a távoli jövő között. Ez a probléma a fizika egyik alapvető törvényével kapcsolatos, melyet a termodinamika második főtételeként ismerünk.
1.24 ábra A mechanika törvényeiben az idő megfordítható; ennek ellenére sohasem tapasztaljuk az események jobbról balra haladását, míg a fordított sorrend mindennapos.
A törvény egyszerű, köznapi nyelven is érthető. Képzeljünk egy pohár bort az asztal szélére. Ha onnan leesik, a pohár összetörik, és a bor szétfolyik a szőnyegen (1.24 ábra). A newtoni fizikában semmi sem tiltja a fordított folyamat bekövetkeztét. Mégsem figyelték meg eddig - senki sem látta még az üvegtörmeléket pohárrá rendeződni, és a szőnyegen szétfolyt bort az újjászületett pohárba visszaáramlani. Pedig a történéseket leíró fizikai törvények szerint egyik időirány ugyanolyan jó, mind a másik. Ahhoz, hogy a különbséget megértsük, a termodinamika második főtételére van szükség, amely kimondja, hogy a rendszer entrópiája időben növekszik. Az entrópiának nevezett mennyiség kisebb, amikor a pohár az asztalon áll, mint amikor szilánkjaiban hever a földön. A termodinamika második főtétele szerint a rendszer entrópiája megnőtt. Nagy vonalakban igaz, hogy az entrópia a rendszer rendetlenségének mértéke. Hogy ezt pontosabban megértsük, be kell vezetnünk a fázistér fogalmát.
A fázistér dimenzióinak száma rendkívül nagy. A sokdimenziós tér minden pontja megadja a vizsgált rendszert alkotó összes részecske helyzetét és impulzusát. Az 1.25 ábrán feltüntettünk egy kiválasztott pontot ebben a hatalmas fázistérben. A pont az összes részecske helyzetét jelképezi, valamint azt is, hogy miként mozognak.
].25 ábra A termodinamika második főtétele akció közben: amint telik az idő, a fázistérbeli pont egyre nagyobb térfogatokba érkezik. Következésképpen az entrópia folyamatosan növekszik.
Amint a részecskerendszer fejlődik, a pont a fázistér újabb részeibe vándorol. Az ábrán bemutattam, hogyan kóborol el a fázistér egyik pontjából egy másikba.
A cikcakkos vonal a részecskerendszer közönséges fejlődését jelképezi. Ebben még nem látszik az entrópia. Hogy megjelenjék, kis buborékokat kell rajzolnunk az egymástól megkülönböztethetetlen állapotok által alkotott tartományok köré. Ez kissé homályosnak tűnhet - mit értünk azalatt, hogy „egymástól megkülönböztethetetlen állapotok”? Nyilvánvalóan attól függ, hogy ki dönti el, és hogy azt mennyire gondosan teszi. Kétségkívül az elméleti fizika kissé kényes kérdéseinek egyike, hogy pontosan mit értünk entrópia alatt? Lényegében arról van szó, hogy az állapotokat az ún. „durva szemcsézéssel” csoportosítjuk, tehát bizonyos szempontból megkülönböztethetetlen jellemzőik szerint. Tekintsük mondjuk azokat, amelyek a fázistérnek egy bizonyos tartományában vannak, majd figyeljük meg az előállt tartomány térfogatát. Vegyük a térfogat logaritmusát, majd szorozzuk be a Boltzmann-állandóként ismert számmal, és ímhol az entrópia. A termodinamika második főtétele kimondja, hogy az entrópia növekszik. Tulajdonképpen buta egy dolgot állít - mindössze annyit, hogy ha a rendszer egy apró térfogatból indul ki, fejlődése során egyre nagyobb dobozokba érkezik. Nagyon valószínű, hogy így történik, mert ha figyelmesen szemléljük, látjuk, hogy a nagyobb dobozok mérete mérhetetlenül meghaladja a szomszédos kicsikét. Vagyis, ha az egyik nagy dobozban vagyunk, elenyésző az esélye annak, hogy újból visszajussunk valamelyik kisebbe. A rendszer úgy kóborol a fázistérben, hogy egyre nagyobb dobozokba érkezik. A második főtétel mondanivalója ennyi. Valóban így lenne?
Tulajdonképpen a magyarázatnak ez csupán a fele. Mely szerint amennyiben ismerjük a rendszer jelenlegi állapotát, meg tudjuk jósolni a jövőbeli legvalószínűbb állapotát is. Azonban teljesen hamis válaszhoz vezet, ha fordított irányban próbáljuk alkalmazni. Tegyük fel, hogy a pohár az asztal szélén áll. Megkérdezhetjük: mi a legvalószínűbb, hogyan került oda? Ha az érvelést fordított irányban alkalmaznánk, arra juthatnánk, hogy kezdetben valószínűleg festői rendetlenségben hevertek a szilánkok a szőnyegen, de valahogyan összebeszéltek, pohárrá álltak össze, amely aztán felugrott az asztalra. Világos, hogy nem ez a helyes válasz. A pohár azért került az asztal szélére, mert valaki odatette. Aki odatette, annak valamilyen oka is volt rá, amit megelőzött valamilyen másik ok és így tovább. Az okok sorozata az egyre alacsonyabb entrópiájú múltbéli állapotokhoz vezet. A helyes fizikai görbét az „aktuális” görbe jelenti az 1.26 ábrán (nem pedig a „megfordított”). Az entrópia kíméletlenül csökken a múlt irányában.
Az entrópia jövőirányú növekedését megmagyarázza, hogy a rendszer egyre nagyobb dobozokba kerül - de hogy miért csökken a múlt irányában, az teljesen különböző dolog. Valaminek lennie kellett, ami oly kicsivé tette a múltban. Mi volt az? Visszafele haladva az időben, az entrópia egyre kisebb és kisebb, végül az Ősrobbanáshoz érkezünk.
1.26 ábra Az 1.25 ábra fordított időirányú érvelése szerint az entrópiának a múlt irányába is növekednie kellene. Ennek a valóság gyökeresen ellentmond.
Valami rendkívül különleges történt az Ősrobbanáskor, de hogy pontosan mi, azt még vitatják. Egyik népszerű elmélet, erről elárultam már, hogy nem hiszek benne, bár nagyon sokan elégedettek vele, az inflációs univerzum. Alapfeltevése szerint az univerzum azért tud olyan egyenletes lenni nagy léptéken, mert tágulásának nagyon korai szakaszában történt valami vele. Amikor az univerzum mintegy 10 másodperces életkorba jutott, hatalmas tágulás következett be. Az elképzelés szerint teljesen mindegy, hogy milyen volt az univerzum e nagyon korai szakaszában, mert amint az elképzelhetetlen 10-36-szorosára növekszik, sík jellegűvé válik. Tulajdonképpen ez az egyik ok, amiért az emberek a sík univerzumot kedvelik.
Azonban az érvelés jelenlegi formájában nem biztosítja azt, amit biztosítania kellene. Amennyiben a kezdeti állapot véletlenszerű, várhatóan kétségbeejtően rendetlen, és amennyiben ezt a rendetlenséget óriási nagyításnak vetjük alá, továbbra is a teljes rendetlenséggel állunk szemben. Mi több, a nagyítás hatása nyomán egyre romlik a helyzet (1.27 ábra).
1.27 ábra A korai univerzum tetszőleges szabálytalanságának inflációja.
Vagyis az érvelés önmagában nem magyarázza, hogy miért annyira egyenletes az univerzum. Tudnunk kellene, milyen volt az Ősrobbanás, azonban nem találtuk még meg azt az elméletet, ami képes lenne erre a jóslatra. Mindössze annyit tudunk róla, hogy a nagyléptékű és a kisléptékű fizikának valamilyen kombinációja lesz. Törvényszerű, hogy a kvantumos és klasszikus fizika egyaránt beleépüljön. Elvárnám ettől az elmélettől azt is, hogy megjósolja: az Ősrobbanás pontosan olyan egyenletes volt, amilyennek napjaink megfigyelései mutatják. Meglehet, hogy egy ilyen elmélet majd hiperbolikus, Lobacsevszkij-geometriát jósol, kedvencemet, azonban ez már kevésbé fontos.
Térjünk vissza a zárt és a nyílt univerzumokat ábrázoló 1.28-as ábrához. Ezen feltüntettem egy fekete lyuk képződését is, a folyamatot a szakemberek jól ismerik.
1.28 ábra (a) Egy zárt univerzum teljes története. Egyenletes és alacsony entrópiájú Ősrobbanásból indul ki, amelyet Weyl = 0 jellemez és magas entrópiájú Nagy Összeomlásban ér véget, amely számos fekete lyuk egymásba omlását jelenti, így Weyl —» ∞. (b) Egyetlen fekete lyukhoz vezető összeomlás téridődiagramja, (c) A nyílt univerzum története, mely szintén a Weyl = 0 kezdeti állapotból indul ki.
1.29 ábra Amennyiben a Weyl = 0 feltételt elvetjük, az Ősrobbanást is nagy entrópia jellemzi, és Weyl -»∞ jellemzi. Ezt az univerzumot sűrűn behálóznák a fehér lyukak és nem lenne érvényes benne a termodinamika második főtétele sem, tapasztalatainkkal szöges ellentétben.
A fekete lyukban összecsomósodó anyag szingularitást hoz létre, az univerzumot ábrázoló téridődiagramokon ezeket sötét vonalak jelzik. Most szeretném bevezetni a Weyl-görbület hipotézist, mely az ismert elméletekből nem következik. Mint mondottam, a szükséges elmélet még ismeretlen, nem tudjuk hogyan összerakni a roppant nagy és a nagyon pici világok fizikáját. Ha felfedezzük majd ezt az elméletet, a Weyl-görbület hipotézisnek is következnie kell belőle. Emlékezzünk, hogy a Weyl-görbület a Riemann-tenzornak az a része, mely alakváltozásokat és árapályt okoz.
Valamilyen okból kifolyólag, amit jelenleg még nem értünk, az elméletek helyes kombinációja az Ősrobbanás közelében eltűnő, vagy legalábbis jelentéktelen Weyl-tenzorhoz kell, hogy vezessen.
Ezzel az 1.28(a) vagy (c) ábrán bemutatott univerzumhoz jutnánk, de nem az 1.29 ábrához hasonlóhoz. A Weyl-görbület hipotézis időben nem szimmetrikus: csupán a múltbéli szingularitásokra vonatkozik, a jövőbeliekre nem. Ha a Weyl-tenzor az univerzum múltjában is ugyanolyan rugalmasan vehetne fel tetszőleges értéket, mint a jövőjében, a zárt modell szerint ugyanolyan rendetlen és zavaros lenne az univerzum a múltban, mint a jövőben (1.29 ábra). Csakhogy ez egyáltalán nem hasonlítana arra az univerzumra, amelyben élünk.
Mi a valószínűsége annak, hogy pusztán véletlenül olyan szingularitással kezdődött az univerzum, amilyennek most, hosszú idő elteltével látszik? A valószínűséget megadó szám kisebb, mint egy a (1010)123-hoz. Honnan jön ez a becslés? A Jacob Beckenstein és Stephen Hawking által a fekete lyukak entrópiájára felállított képlet következménye, melyet megfelelő módon alkalmazva, megkapjuk a fenti elképesztő számot, amely függvénye az univerzum méretének. Kedvenc elméletem szerint a szám valójában a végtelen.
1.30 ábra Annak érdekében, hogy létrehozzon egy, a miénkre emlékeztető univerzumot, a Teremtőnek a lehetséges univerzumok fázisterének a hihetetlenül kis 1/(1010)123 részét kellett kiválasztania. (A tűhegy és a megcélzott pont sem méretarányos!)
Elárul ez valamit arról, hogy milyen pontossággal kellett megrendezni az Ősrobbanást? Igen, a pontosság megdöbbentő. Lerajzoltam a Teremtőt, amint a fázistérben keresgél egy piciny pontot. A pont azokat a kezdeti feltételeket jelképezi, amelyekből az univerzum úgy alakulhatott ki, hogy legalább megközelítőleg hasonlítson jelenlegi világunkra (1.30 ábra). A Teremtőnek egy a (1010)I23-hoz pontossággal kell kiválasztania ezt a pontot a fázistérben. Ha az univerzumban létező összes elemi részecske egy nullát jelentene az egyes után, még mindig nem lenne elegendő a keresett szám felírásához. Elképzelhetetlenül nagy a szám.
Pontosságról beszéltem - arról, hogy a matematika és a fizika milyen elképesztő módon összeillik. A termodinamika második főtételéről is meséltem - arról a törvényről, amely véletlenszerűséggel és valószínűséggel kapcsolatos és amelyet ezért meglehetősen lazának tartanak - mégis lapul mögötte valami hihetetlenül pontos értelem. Amikor az egész univerzumra alkalmazzuk, a kezdeti értékek kiválasztásának pontosságával találjuk szembe magunkat. Ez a pontosság valamilyen formában a kvantumelmélet és az általános relativitáselmélet egyesítésével kapcsolatos. Sajnos, ilyen elméletünk még nem született. A következő fejezetben azokról a dolgokról beszélek, amiket egy ilyen elméletnek tartalmaznia kell.