A KLASSZIKUS VILÁG

A fizikai elmélet helyzete

Mit kell tudnunk a Természet működéséről, hogy megállapíthassuk, hogyan lehet része a tudatosság? Számít-e igazán, milyen törvények kormányozzák a testeket és agyakat összetevő elemeket? Ha tudatos érzékelésünk csupán algoritmusok lejátszása, ahogy azt sok MI-párti elhitetné velünk, akkor nincs komoly jelentősége annak, hogy ténylegesen mik is ezek a törvények. Minden eszköz, amely képes végrehajtani egy algoritmust, éppen olyan jó volna, mint bármelyik másik. Másrészt tudatosságérzésünk esetleg több, mint a puszta algoritmusok összessége. Talán valóban fontosak felépítésünk részletei, mint ahogy fontosak azok a pontos fizikai törvények, amelyek az anyagot kormányozzák, amelyből vagyunk. Talán meg kell értenünk, mi az a mély minőség, amely az anyag igazi természete mögött rejtőzik, és meghatározza a módot, amely szerint minden anyagnak viselkednie kell. A fizika még nincs ezen a ponton. Még sok a megfejtésre váró titok, még sok mély meglátásra van szükség. A legtöbb fizikus és fiziológus mégis úgy ítélné meg a helyzetet, hogy már eleget tudunk azokról a fizikai törvényekről, amelyek lényegesek az olyan normál méretű objektumok működésében, mint az emberi agy. Noha kétségtelen, hogy az agy mint fizikai rendszer kivételesen bonyolult, és részletes szerkezetéről, lényegi működéséről még rengeteget nem tudunk, mégis kevesen állítanák, hogy a viselkedése alapját képező fizikai elvekről bármi lényegeset ne értenénk.

Később majd megemlítek egy, a szokásostól eltérő esetet annak bizonyítására, hogy ellenkezőleg, még nem értjük elég jól a fizikát ahhoz, hogy segítségével agyunk működését, akár csak elvileg is, megfelelően leírhassuk. Ehhez szükség lesz arra, hogy először némi áttekintést adjak a fizika jelenlegi állásáról. E fejezet azzal foglalkozik, amit „klasszikus fizikának” hívnak, amely magában foglalja mind Newton mechanikáját, mind Einstein relativitáselméletét. A „klasszikus” szó itt lényegében azokat az elméleteket jelenti, amelyek a kvantumelmélet megjelenése előtt uralkodtak. Utóbbi nagyjából 1925-re tehető (olyan fizikusok ihletett munkáin keresztül, mint Planck, Einstein, Bohr, Heisenberg, Schrödinger, de Broglie, Born, Jordan, Pauli és Dirac). A kvantumelmélet a határozatlanság, indeterminizmus és titokzatosság elmélete, a molekulák, atomok és szubatomi részecskék viselkedését írja le. A klasszikus elmélet viszont, determinisztikus, benne a múlt mindig meghatározza a jövőt. A klasszikus fizikában még így is sok a titokzatos dolog, annak ellenére, hogy a századok során összegyűjtött tudás egészen fantasztikusan pontos képhez juttatott bennünket. Meg kell majd vizsgálnunk a kvantumelméletet is (6. fejezet), mert ellentétben azzal, ami a fiziológusok körében a többségi nézetnek látszik, úgy hiszem, hogy a kvantumos jelenségek valószínűleg fontosak az agy működésében — de ez a következő fejezetek tárgya lesz.

Drámainak mondható, amit a tudomány napjainkig elért. Csak körül kell néznünk, hogy tanúsítsuk, milyen rendkívüli erőhöz jutottunk a Természet megértése által. A modern világ technológiája jelentős mértékben az empirikus tapasztalatok nagy gazdagságából származik. Ám a fizikai elmélet az, ami meghatározó módon technológiánk alapjául szolgál, és a fizikai elmélet az, ami most bennünket érdekel. A rendelkezésünkre álló elméletek pontossága igen figyelemreméltó. Ám nem csupán pontosságuk az erősségük, hanem az a körülmény is, hogy pontos és részletes matematikával rendkívül jól kezelhetőnek és ellenőrizhetőnek bizonyultak. Ezek együttesen nyújtanak számunkra egy valóban meggyőző erejű tudományt.

E fizikai elmélet jó része nem különösebben új. Ha egy esemény kiemelhető az összes többi elé, akkor az Isaac Newton Principiájának 1687-es megjelentetése. Ez a nagy jelentőségű mű megmutatta, hogyan lehet néhány alapvető fizikai elv alapján megérteni és gyakran meglepő pontossággal megjósolni a fizikai objektumok viselkedésének nagy részét. (A Principia figyelemre méltó fejlődést hozott a matematikai technikában is, bár több gyakorlati módszert később dolgoztak ki Euler és mások.) Newton munkája, amint ő készségesen elismerte, sokban támaszkodott a korábbi gondolkodók eredményeire, akik közül kimagaslik Galileo Galilei, René Descartes és Johannes Kepler. Fontos, alapvető fogalmak még régebbi gondolkodóktól származtak, ilyenek például Platón, Eudoxosz, Eukleidész, Arkhimédész és Appoloniosz geometriai elképzelései. Később majd többet kell ezekről mondanom.

Az eltérések Newton dinamikájának alapsémájától később jelentek meg, először James Clerk Maxwellnek a tizenkilencedik század közepén kidolgozott elektromágneses elmélete. Ez nemcsak az elektromos és mágneses mezők klasszikus viselkedésével foglalkozott, hanem a fényével is!¹ A fejezet későbbi részében erre a nevezetes elméletre fordítjuk figyelmünket. Maxwell elmélete igen fontos a mai technológia szempontjából, és az is kétségtelen, hogy az elektromágneses jelenségek hozzátartoznak agyunk működéséhez. Kevésbé világos azonban az, hogy lehet-e valami jelentősége gondolkodási folyamatunkban a két nagy relativitáselméletnek, amelyek Albert Einstein nevéhez fűződnek. A speciális relativitáselmélet a Maxwell-egyenletek vizsgálatából fejlődött ki, Henri Poincaré, Hendrick Antoon Lorentz és Einstein alkották meg (később Hermann Minkowski adott elegáns geometriai leírást) abból a célból, hogy megmagyarázzák a testek rejtélyes viselkedését, amikor azok a fénysebességhez közeli sebességgel mozognak. Einstein híres egyenlete, az „E = mc²”, része az elméletnek. Azonban az elmélet hatása a technológiára mindeddig nagyon csekélynek bizonyult (kivéve amikor a magfizikába szólt bele), és jelentősége agyunk működésében a legjobb esetben is csak periferiálisnak látszik. A speciális relativitáselmélet viszont mond valami mélyet a fizikai valóságról az idő természetével kapcsolatban. A következő fejezetekben látni fogjuk, hogy ez bizonyos rejtett problémákhoz vezet a kvantumelméletben, aminek jelentősége lehet azzal kapcsolatban, ahogy az „idő múlását” érzékeljük. Továbbmenve, először meg kell értenünk a speciális elméletet, csak utána tudjuk megfelelően értékelni Einstein általános relativitáselméletét — azt az elméletet, amely görbült téridő segítségével írja le a gravitációt. Ennek az elméletnek a technológiára eddig majdnem semmi hatása nem volt,* és szélsőségesen különösnek látszana bármi jelentőséget tulajdonítani neki agyunk működésében! De érdekes módon éppen az általános relativitáselméletnek lesz a legnagyobb a jelentősége későbbi megfontolásainkban, kivált a 7. és 8. fejezetben, ahol térben és időben a legnagyobb távolságokig kell majd elmennünk, hogy megragadjunk valamit a változásokból, amelyekre szerintem szükség van ahhoz, hogy a kvantumelméletről megfelelően koherens képünk alakuljon ki — de erről többet majd később!

Ezek a klasszikus fizika nagy területei. Mi a helyzet a kvantumfizikával? Ellentétben a relativitáselmélettel, a kvantumelmélet igazán jelentős hatást kezd kifejteni a technológiára. Ez részben azoknak a felismeréseknek a következménye, amelyeket a kvantumelmélet nyújtott bizonyos technológiailag fontos területeken, mint a kémia és a fémkohászat. Egyesek már azt mondják, hogy ezek a területek tulajdonképpen beolvadtak a fizikába, annak a sok új felismerésnek következtében, amelyeket a kvantumelmélet adott nekünk. Vannak ráadásul egészen új jelenségek, amelyekkel szintén a kvantumelmélet ajándékozott meg, a legismertebb ezek között, azt hiszem, a lézer. Nem lehetséges-e, hogy a kvantumelmélet egyes lényeges pontjai döntő szerepet játszanak abban a fizikában is, amely gondolati folyamataink alapjait képezi?

Mi a helyzet a legújabb fizikai felismerésekkel? Egyes olvasók már találkozhattak az olyan izgalmasan kifejezett elképzelésekkel, mint a „kvarkok” (vö. 178. o.), a „GUT” (Grand Unified Theories = nagy egyesített elméletek), az „inflatorikus világegyetem” (lásd a 12. jegyzetet a 374. oldalon), a „szuperszimmetria”, a „(szuper)húr-elmélet” stb.

*Majdnem, de nem egészen; az űrszondáknál megkövetelt pontosság miatt pályájukat az általános relativitás hatásainak figyelembevételével kell kiszámítani — és vannak műszerek, amelyek a Földön olyan pontosan képesek rögzíteni a szonda helyzetét (ténylegesen néhányszor tíz centiméteren belül), hogy a téridő görbületének hatásaira valóban szükség van!

 

Hogy néznek ki ezek az új elméletek összehasonlítva azokkal, amelyekre éppen az előbb utaltam? Kell-e tudnunk ezekről is? Azt hiszem, a dolgokat a megfelelő megvilágításba helyezendő, fel kell állítanom az alapvető fizikai elméletek három széles osztályát. Ezekre a következő címkéket akasztom:

1. SZUPER,
2. HASZNOS,
3. KÍSÉRLETI.

A SZUPER kategóriába kell tartozzék mindaz, amiről az előző bekezdésekben szó volt. A SZUPER minősítéshez nem tartom fontosnak, hogy az elmélet ellenpélda nélkül alkalmazható legyen a világ jelenségeire, de megkövetelem, hogy olyan tartományban és olyan pontossággal legyen alkalmazható, amely valamilyen értelemben rendkívüli. Ahhoz képest, hogy milyen feltételekhez kötöm a SZUPER minősítést, igazán figyelemre méltó, hogy ebben az osztályban van egyáltalán elmélet! Nincs tudomásom semmilyen más tudomány semmilyen más alapelméletéről, amely jogosan bekerülhetne ebbe az osztályba. Talán a természetes kiválasztódás Darwin és Wallace által javasolt elmélete áll hozzá a legközelebb, de azért még eléggé távol.

A SZUPER elméletek legrégebbije az euklideszi geometria, amelyről valamennyit tanultunk az iskolában. A régiek egyáltalán nem tekinthették fizikai elméletnek, pedig valójában az: nagyszerű és nagyon pontos elmélete a fizikai térnek — és a merev testek geometriájának. Miért tekintem inkább fizikai elméletnek, mintsem a matematika egyik ágának? Ironikusan mondhatnánk: amiért e nézetet valljuk, annak egyik legtisztább oka az, hogy ma már tudjuk, az euklideszi geometria mint az életterünkként szolgáló fizikai tér leírása nem teljesen pontos! Einstein általános relativitáselmélete azt mondja nekünk, hogy a tér(idő) gravitációs mező jelenléte esetén „görbült” (azaz nem teljesen euklideszi). Ám ez a tény nem változtatja meg az euklideszi geometria SZUPER jellegét. Méteres tartományban az euklideszi simaságtól való eltérés igazán parányi, a geometria euklideszi módon való kezelésének hibája kisebb, mint egy hidrogénatom átmérője!

Jogosan mondhatjuk, hogy a statika elmélete (amely a nyugalomban lévő testekkel foglalkozik), ahogy Arkhimédész, Papposz és Stevin szép tudománnyá fejlesztették, szintén SZUPER-nek minősíthető. Ez az elmélet mára beolvadt a newtoni mechanikába. A dinamikának (a mozgó testek tudományának) a Galilei által 1600 körül bevezetett és Newton által pompás, átfogó elméletté fejlesztett, mély ideái kétségtelenül a SZUPER osztályba kell kerüljenek. A bolygók és holdak mozgására alkalmazva az elmélet megfigyelt pontossága tüneményes — jobb, mint egy a tízmillióhoz. Ugyanaz a newtoni rendszer hasonló pontossággal alkalmazható itt a Földön — és kint a csillagok és galaxisok között. Maxwell elmélete hasonlóképpen rendkívül nagy tartományban érvényes pontosan, az atomok és szubatomi részecskék piciny skálájától kifelé a galaxisok néhány milliószor milliószor milliószor milliószor milliószor milliószor nagyobb skálájáig! (A tartomány kisméretű végén a Maxwell-egyenleteket a kvantummechanika szabályaival kell megfelelően kombinálni.) Ez is bizonnyal kiérdemli a SZUPER minősítést.

Einstein speciális relativitáselmélete (melynek előzményei már Poincaré-nál is fellelhetők, és amit Minkowski elegánsan újrafogalmazott) csodálatosan pontos leírását adja azoknak a jelenségeknek, amelyekben a tárgyak sebessége megközelítheti a fénysebességet — ahol Newton leírása végül botladozni kezd. Einstein legcsodálatosabb és legeredetibb általános relativitáselmélete általánosítja Newton dinamikai (gravitáció-) elméletét, és örökölve annak a bolygók és holdak mozgásának leírásában mutatott minden pontosságát, még meg is javítja azt. Ráadásul megmagyaráz egy sor részletes megfigyelést, amelyek a régi newtoni rendszerrel nem egyeztethetők össze. Ezek egyike (a „kettős pulzár”, vö. 236. o.) azt mutatja, hogy Einstein elméletének pontossága nagyjából 1 a 10¹⁴-hez. Mindkét relativitáselméletet — a második magába olvasztja az elsőt a SZUPER osztályba kell sorolnunk (matematikai eleganciájukért majdnem annyira, mint pontosságukért).

A kvantummechanika különösképpen szép és forradalmi elméletével magyarázott jelenségek tartománya, és a pontosság, ahogy a kísérletekkel megegyezik, világosan mondja nekünk, hogy a kvantumelméletet is biztosan SZUPER-nak kell minősítenünk. Az elméletnek ellentmondó megfigyelést nem ismerünk — erejét elsősorban mégsem ez adja, hanem az a számos, mindeddig megmagyarázhatatlan jelenség, amelyet az elmélet most megmagyaráz. A kémia törvényei, az atomok stabilitása, a színképvonalak élessége (vö. 254. o.) és megfigyelt, nagyon különös szerkezetük, a szupravezetés (nulla elektromos ellenállás) furcsa jelensége és a lézerek viselkedése csak néhány ezek közül.

A SZUPER osztályba kerüléshez magas követelményeket állítok, de ez az, amihez a fizikában hozzászoktunk. Mi a helyzet az újabb elméletekkel? Véleményem szerint csak egy olyan van, amely SZUPER-nek minősíthető, és ez nem is nagyon új: a kvantumelektrodinamika (vagy QED) nevet viselő elmélet, amelyet Jordán, Heisenberg és Pauli munkássága alapozott meg, Dirac fogalmazott meg 1926 és 1934 között, és Bethe, Feynman, Schwinger és Tomonaga tett működőképessé 1947 — 48-ban. Ez az elmélet a kvantummechanika elvei és a speciális relativitás kombinációjaként jött létre, beépítve magába a Maxwell-egyenleteket és egy, Diractól származó, az elektronok mozgását és spinjét szabályozó alapegyenletet. Az elmélet egészében véve nem rendelkezik a korábbi SZUPER elméletek kényszerítő eleganciájával vagy következetességével, de valóban tüneményes pontossága alapján ebbe az osztályba sorolható. Egyik különösen nevezetes eredménye az elektron mágneses momentumának értéke. (Az elektronok a pörgő elektromos töltések pici mágneseihez hasonlóan viselkednek. A mágneses momentum kifejezés e piciny mágnes erősségére vonatkozik.) A QED-ből erre az 1,001 159 652 46 érték jön ki (megfelelő egységekben — az utolsó két jegyben kb. 20 megengedett hibával), míg a legújabb kísérleti érték 1,001 159 652 193 (a lehetséges hiba kb. 10 az utolsó két jegyben). Az ilyen fokú pontosság, amint arra Feynman rámutatott, a New York és Los Angeles közötti távolságot egy emberi hajszál szélességénél kisebb megengedett eltéréssel határozná meg! Az elmélet ismeretére nem lesz szükségünk, de a teljesség kedvéért néhány lényeges vonását a következő fejezet végén vázlatosan megemlítem. *

Vannak olyan forgalomban lévő elméletek, amelyeket a HASZNOS osztályba sorolok. Kettőre ezek közül nem lesz szükségünk, de a megemlítést megérdemlik. Az egyik a hadronoknak nevezett szubatomi részecskék (az atommagot felépítő protonok, neutronok, mezonok stb — vagy pontosabban az erősen kölcsönható részecskék) Gell-Mann-Zweig-féle kvarkmodellje és e részecskék kölcsönhatásainak (később kidolgozott) részletes elmélete, amely kvantumszín- dinamika vagy QCD néven ismert. Az elképzelés az, hogy minden hadron kvartoknak nevezett összetevőkből épül fel, amelyek egymással a Maxwell-elmélet egy bizonyos általánosítása (az ún. „Yang-Mills-elmélet”) szerint hatnak kölcsön. A másik egy olyan (Glashow, Salam, Ward és Weinberg által kidolgozott — és újra a Yang—Mills-elméletet használó) elmélet, amely az elektromágneses erőket a radioaktív bomlásokért felelős „gyenge” kölcsönhatásokkal házasítja össze. Ez az elmélet tartalmazza az ún. leptonok (elektronok, müonok, neutrínók, W- és Z-részecskék — a „gyengén kölcsönható” részecskék) leírását. Mindkét elméletnek vannak jó kísérleti bizonyítékai. Ám különböző okokból sokkal rendetlenebbek, mint azt szeretnénk (a QED is ilyen, de ezek még inkább), és megfigyelt pontosságuk és jósoló erejük messze nem éri el azt a mértéket, ami a SZUPER osztályba soroláshoz szükséges volna. E két elméletet együttesen (a másodikba beleértve a QED-t) gyakran emlegetik standard modellként.

Végül van egy más típusú elmélet, amely, én azt hiszem, legalábbis a HASZNOS osztályba tartozik. Ez a világegyetem eredetének elmélete, amelyet ősrobbanás-elméletnek (Nagy Bummnak) neveznek.** Ez az elmélet fontos szerepet kap majd a 7. és 8. fejezet fejtegetéseiben.

* Az elmélet népszerű leírását illetően lásd Feynman (1985) QED c. könyvét.

** Itt arra gondolok, ami az ősrobbanás „standard modelljeként” ismert. Az ősrobbanás elméletnek sok változata létezik, a legújabban népszerű, az „inflatorikus forgatókönyv” néven ismert, véleményem szerint, határozottan a KÍSÉRLETI osztályba tartozik!

 

Nem gondolom azt, hogy semmi más nem kerülhet a HASZNOS osztályba.² Van sok már régebben (vagy legújabban) közkedvelt elképzelés. Mondok néhány nevet: „Kaluza—Klein-elméletek”, „szuperszimmetria” (vagy „szupergravitáció”) és a „GUT”-elméletekhez (és bizonyos belőlük származtatott elképzelésekhez, például az „inflatorikus forgatókönyvhöz”, vö. a 12. jegyzet a 374. oldalon) csatlakozó, rendkívül divatos „húr” (vagy „szuperhúr”) elméletek. Véleményem szerint mindezek határozottan a KÍSÉRLETI osztályban vannak. (Lásd Barrow 1988, Close 1983, Davies és Brown 1988, Squires 1985.) A HASZNOS és KÍSÉRLETI osztályok közötti lényeges különbség a jelentős kísérleti megalapozás hiánya az utóbbiba tartozó elméleteknél.³ Nem mondom ezzel azt, hogy némelyikük esetleg nem emelkedhet fel drámaian a HASZNOS, sőt a SZUPER osztályba. Egyesek valóban ígéretes, eredeti elképzeléseket tartalmaznak, de kísérleti alátámasztás nélkül ezek csak elképzelések maradnak. A KÍSÉRLETI osztály nagyon széles. Az itt fellelhető egyes elképzelések bőven tartalmazhatják a megértés lényeges előrehaladásának csíráit, míg mások szembeötlően félresikerültek, mesterkéltek. (Szándékomban állt egy negyediket lehasítani a tiszteletre méltó KÍSÉRLETI osztályból, és mondjuk a FÉLRESIKERÜLT címkével ellátni — de azután meggondoltam magam, mert nem akartam elveszíteni barátaim felét!)

Nem kell meglepődnünk azon, hogy a fő SZUPER elméletek régiek. A történelem során biztosan sokkal-sokkal több elmélet volt, amely a KÍSÉRLETI osztályba került volna, de a legtöbbjük sorsa a feledés lett. Hasonlóképpen a HASZNOS osztályban is sok kellett legyen, amelyek azóta eltűntek; de vannak olyanok is, amelyek beolvadtak másokba, amelyek később SZUPER-ré váltak. Nézzünk néhány példát. Mielőtt Kopernikusz, Kepler és Newton sokkal jobb rendszerüket megalkották, volt a bolygómozgásnak egy csodálatosan kidolgozott elmélete, amelyet a régi görögök gondoltak ki, és a ptolemaioszi rendszer néven volt ismert. E rendszer szerint a bolygók mozgása körmozgások bonyolult összegződése révén alakul ki. Egész jól lehetett vele jóslatokat gyártani, de amint nagyobb pontosságra volt szükség, úgy vált egyre bonyolultabbá. Ma a ptolemaioszi rendszer nagyon mesterkéltnek látszik. Jó példája volt ez a HASZNOS elméletnek (vagy húsz évszázaddal ezelőtt!), amely mint fizikai elmélet később teljesen eltűnt, bár tudománytörténeti szerepe vitathatatlan. A végül sikeres HASZNOS elméleteknek az előbbi helyett jó példája Kepler ragyogó elgondolása a bolygók elliptikus mozgásáról. Egy másik példa a kémiai elemek Mengyelejev-féle periódusos rendszere. Önmagukban ezek nem rendelkeztek a megkövetelt „rendkívüli” jósoló erővel, de a későbbiekben „helyes” következtetésekké váltak azokon a SZUPER elméleteken belül, amelyek belőlük nőttek ki (a newtoni dinamika és a kvantumelmélet).

Az elkövetkező szakaszokban és fejezetekben nem kell majd sokat mondanom a forgalomban lévő, csupán HASZNOS vagy KÍSÉRLETI elméletekről.

Elég, ha azokról beszélünk, amelyek SZUPER-ek. Valóban szerencsés dolog, hogy vannak ilyen elméleteink, és hogy ilyen figyelemreméltó teljességgel meg tudjuk érteni a világot, amelyben élünk. Végül meg kell próbálnunk majd eldönteni, elég gazdagok-e ezek az elméletek, hogy kormányozzák agyunk és értelmünk működését. A megfelelő helyen erre a kérdésre majd visszatérek; most azonban nézzük meg a SZUPER elméleteket mai formájukban, és próbáljunk eltöprengeni, milyen jelentőségük lehet céljaink szempontjából.

Euklideszi geometria

Az euklideszi geometria az a tárgykör, amelyet az iskolában „geometria” néven tanulunk. Azt hiszem azonban, hogy a legtöbb ember inkább matematikának gondolja, mintsem fizikai elméletnek. Matematika is természetesen, de semmi esetre sem az egyetlen elképzelhető matematikai geometria. E speciális geometria, amelyet Eukleidész hagyott ránk, nagyon pontosan leírja a világunk fizikai terét, amelyben élünk, de ez nem logikai szükségszerűség — csak éppen a fizikai világ egy (majdnem egzakt) megfigyelt tulajdonsága.

Valóban van egy másik, a Bolyai—Lobacsevszkij-féle (vagy hiperbolikus) geometria,* amely a legtöbb tekintetben nagyon hasonló az euklideszihez, de vannak bizonyos érdekes különbségek. Emlékezzünk például arra, hogy az euklideszi geometriában minden háromszög szögeinek összege 180°. A Bolyai-Lobacsevszkij-geometriában ez az összeg mindig kevesebb, mint 180°, a különbség arányos a háromszög területével (lásd az 5.1. ábrát).

Maurits C. Escher, a neves holland művész készített néhány nagyon szép és pontos ábrázolást erről a geometriáról. Egyik metszete az 5.2. ábrán látható. Ügy kell elképzelni, hogy a Bolyai-Lobacsevszkij-geometria szerint minden fekete hal ugyanolyan méretű és alakú, és hasonlóan a fehérek is. A geometriát a közönséges euklideszi síkon nem lehet teljesen pontosan ábrázolni, ezért a látszólagos zsúfoltság a határoló körvonal közelében. Képzeljük magunkat valahová a minta belsejébe, közel a határhoz. A Bolyai Lobacsevszkij- geometriának itt ugyanúgy kell kinéznie, mintha a középen vagy bárhol máshol volnánk. Ami az euklideszi ábrázolás szerint a minta határának látszik, az a Bolyai-Lobacsevszkij-geometriában valójában a végtelenben van. A határoló kört egyáltalán nem kell a Bolyai-Lobacsevszkij-térhez tartozónak gondolni — és az euklideszi tartomány körön kívüli részét sem. (A Bolyai — Lobacsevszkij-síknak ez a szellemes ábrázolása Poincarétól származik.

*Bolyai János (1802-1860) és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (1792-1856) volt az egyike azoknak, akik a geometriának ezt a fajtáját egymástól függetlenül felfedezték. A többiek: Kari Friedrich Gauss (1777-1855), Ferdinand Schweickard (1780-1859).

 

5.1. ábra. (a) Háromszög az euklideszi térben, (b) háromszög a Bolyai—Lobacsevszkij-térben

 

Megvan az a speciális erénye, hogy a nagyon kis alakok sem torzulnak — csak a méretek változnak.) A geometria „egyenes vonalai” körök (ezek mentén sorakoznak fel Escher halai), amelyek a határoló körrel derékszögben találkoznak.

Nagyon könnyen előfordulhat, hogy a Bolyai—Lobacsevszkij-geometria kozmikus skálán érvényes világunkra (lásd 7. fejezet, 351. o.). Azonban a háromszög szöghiánya és területe közötti arányossági tényező ebben az esetben rendkívül kicsi kellene legyen, és az euklideszi geometria bármilyen közönséges skálán kitűnő közelítése volna ennek a geometriának. Einstein általános relativitáselmélete, mint e fejezetben később látni fogjuk, valójában azt mondja nekünk, hogy világunk geometriája a kozmológiainál sokkal kisebb skálákon eltér az euklideszitől (noha olyan „szabálytalan” módon, ami sokkal bonyolultabb a Bolyai—Lobacsevszkij-geometriánál), bár közvetlen tapasztalataink közönséges skáláján az eltérések még mindig nagyon kicsik.

Az a tény, hogy az euklideszi geometria oly pontosan látszik tükrözni világunk „terének” szerkezetét, arra a téves gondolatra vezetett bennünket (vagy őseinket!), hogy ez a geometria logikai szükségszerűség, vagy hogy van egy velünk született a priori intuitív felfogásunk, amely szerint az euklideszi geometriának érvényesnek kell lennie világunkra, amelyben élünk. (Még a nagy filozófus, Immánuel Kant állította ezt.) Az igazi törés csak sok évvel később, Einstein általános relativitáselméletének megjelenésével következett be.

5.2. ábra. Escher festménye a Bolyai-Lobacsevszkij-térről. (A fekete halak egymás között és a fehér halak egymás között egybevágóak)

 

Távol attól, hogy logikai szükségszerűség legyen, tapasztalatilag megfigyelt tény az, hogy az euklideszi geometria olyan pontosan — ha nem is teljesen egzaktul — illik fizikai terünk szerkezetére! Az euklideszi geometria valójában mindvégig (SZUPER) fizikai elmélet volt azon felül, hogy a tiszta matematika elegáns és logikus darabja.

Bizonyos értelemben nincs nagyon messze ez a Platón által kedvelt filozófiai nézőponttól (i. e. 360 körül; úgy ötven évvel Eukleidész Elemek című, a geometriáról szóló könyve előtt). Platónnál a tiszta geometria tárgyai — egyenes vonalak, körök, háromszögek, síkok stb. — csak közelítőleg valósulnak meg az igazi fizikai dolgok világában. A tiszta geometriának ezek a matematikailag pontos tárgyai egy másik világot népesítenek be, a matematikai fogalmak platóni ideális világát. Platón világa nem tapintható tárgyakat tartalmaz, hanem matematikai dolgokat. Ez a világ számunkra nem a megszokott fizikai módon érhető el, hanem az értelem útján. Eszünk mindig akkor lép érintkezésbe Platón világával, amikor a matematikai gondolkodás és meglátás gyakorlatával felfog egy matematikai igazságot. Ezt az idealizált világot különállónak tekintették és tökéletesebbnek külső tapasztalásaink anyagi világánál, de éppen olyan valódinak. (Emlékezzünk vissza fejtegetéseinkre a matematikai fogalmak platóni valóságáról a 3. és 4. fejezetekben a 119. és 135. oldalon.) így amíg a tiszta euklideszi geometria tárgyait gondolatban lehet tanulmányozni, és ezáltal le lehet vezetni az ideális világ sok tulajdonságát, az nem szükségszerű, hogy a külső tapasztalás tökéletlen fizikai világa pontosan tapadjon ehhez az ideális világhoz. Ügy látszik, hogy valamilyen varázslatos meglátás révén és a saját idejében minden bizonnyal nagyon szórványos bizonyítékok alapján Platón előre látta, hogy: egyrészt a matematikát önmagáért kell tanulmányozni és megérteni, és nem kell megkövetelni, hogy teljesen pontosan alkalmazható legyen a fizikai tapasztalat tárgyaira; másrészt a valóságos, külső világot végül is csak a precíz matematika alapján lehet megérteni — azaz Platón az értelem útján elérhető ideális világa alapján!

Platón az ilyen elképzelések támogatására akadémiát alapított Athénben. Ennek tagjai közé tartozott a rendkívül befolyásos és híres filozófus, Arisztotelész. Most azonban az Akadémia egy másik tagjával fogunk foglalkozni — aki valamivel kevésbé ismert, mint Arisztotelész, de szerintem sokkal finomabb tudós —, az ókor egyik nagy gondolkodójával, a matematikus és csillagász Eudoxosszal.

Az euklideszi geometriának van egy mély és finom tartozéka — valójában az egyik leglényegesebb —, amit manapság aligha gondolnánk geometriának! (A matematikusok inkább „analízisnek” neveznék, mint „geometriának”.) Ez a tartozék a valós számok bevezetése. Az euklideszi geometria távolságokra és szögekre vonatkozik. Hogy e geometriát megértsük, fel kell fognunk, milyen típusú számokra van szükség a távolságok és szögek leírásához. A központi új elképzelést Eudoxosz (kb. i. e. 408—355) vetette fel a 4. században időszámításunk előtt.* A görög geometria „krízist” élt át a pitagoreusok azon felfedezése következtében, hogy az olyan számok, mint a gyök(2) (amelyre azért van szükség, hogy a négyzet átlóját kifejezhessük az oldal hosszával), nem írhatók fel törtként (vö. 3. fejezet, 101. o.). A görögök számára fontos volt, hogy a geometriai méreteket (arányokat) ki tudják fejezni egészekkel (egészek hányadosaival), mert így a geometriai nagyságokat az aritmetika törvényei szerint tudták tanulmányozni. Alapvetően Eudoxosz elképzelése adott egy módszert a hosszúságok (azaz valós számok!) arányainak egészekkel való kifejezésére. Meg tudott adni egész számokkal végzett műveletek formájában felírt feltételeket annak eldöntésére, hogy a hosszak egyik aránya mikor nagyobb a másiknál, vagy hogy a kettő pontosan egyenlőnek tekinthető-e.

*Eudoxosz volt a szerzője a bolygómozgás 2000 évig élt HASZNOS elméletének is, amit később Hipparchos és Ptolemaiosz részletesebben kidolgozott, és amit azóta ptolemaioszi rendszerként ismerünk!

 

Az elképzelés nagyjából a következő volt: Ha a,b,c és d négy hosszúság, akkor annak feltétele, hogy az a/b arány nagyobb legyen, mint a c/d, az, hogy létezzenek olyan M és N egészek, hogy a N-szer önmagához adva nagyobb, mint b M-szer önmagához adva, míg d M-szer önmagához adva nagyobb, mint c N-szer önmagához adva.* Hasonló feltétel adható arra, hogy a/b kisebb legyen, mint c/d. Az a/b = c/d egyenlőség keresett feltétele pedig egyszerűen az, hogy az előző két feltétel egyike se legyen teljesíthető!

A valós számok teljesen pontos, absztrakt matematikai elméletét csak a 19. században dolgozták ki olyan matematikusok, mint Dedekind és Weierstrass. Eljárásuk azonban nagyon hasonló vonalat követett, mint amelyet Eudoxosz már vagy huszonkét századdal korábban felfedezett! E modern fejlemény leírására itt most nincs szükségünk. Az elméletre halványan már utaltunk a 3. fejezetben a 103. oldalon, de ott a bemutatás megkönnyítésére jobbnak láttam, ha a valós számok vizsgálatát a szokásosabb tizedes kifejtésre alapozom. Megjegyezhetjük, hogy a tizedes jelölést, noha számunkra megszokott, a görögök valójában nem ismerték. (Ezt a kifejtést Stevinus vezette be 1585-ben.)

5.3. ábra. Ptolemaiosz tétele

Van azonban egy lényeges különbség Eudoxosz, illetve Dedekind és Weierstrass javaslatai között. Az ókori görögök úgy gondoltak a valós számokra, mint adott dolgokra — geometriai méretekkel (azok arányaival) kifejezve —, azaz a „valóságos” tér tulajdonságaira. Számukra szükséges volt, hogy a geometriai méreteket az aritmetikával tudják kezelni, hogy szigorúan tudjanak beszélni róluk, és összegeikről és szorzataikról is — lényeges öszetevői ezek az ókoriak oly sok csodálatos geometriai tételének. (Az 5.3. ábrán illusztrációként bemutatom a nevezetes Ptolemaiosz-tételt — bár Ptolemaiosz Eudoxosz koránál jóval később fedezte azt fel — egy körön lévő négy pont közötti távolságok kapcsolatáról, amely szépen mutatja, hogy az összegekre és szorzatokra is szükség van.)

*Mai jelöléssel kifejezve ez azt biztosítja, hogy létezik egy tört, nevezetesen M/N úgy, hogy a/b > M/N > c/d. Ha a/b > c/d, akkor mindig van egy tört a két valós szám, a/b és c/d között, úgy hogy az eudoxoszi feltétel mindig teljesül.

 

Eudoxosz feltételei rendkívül gyümölcsözőknek bizonyultak, például ezek tették lehetővé a görögök számára a területek és térfogatok szabatos számítását.

Azonban a 19. század matematikusai számára — és valójában a maiak számára is — megváltozott a geometria szerepe. Az ókori görögöknek és különösen Eudoxosznak a „valós” számok olyan dolgok voltak, amelyeket a fizikai tér geometriájából kellett „kihámozniuk”. Ma jobban szeretünk úgy gondolni a valós számokra, mint amelyek a geometriánál logikailag primitívebbek. Ez teszi lehetővé számunkra, hogy felépítsük a különböző típusú geometriák minden fajtáját, mindegyiket a szám fogalmából kiindulva. (Az alapeszme a koordinátageometria, amit a 17. században vezetett be Fermat és Descartes. A koordináták felhasználhatók más típusú geometriák definiálására.) Bármelyik ilyen „geometria” logikailag konzisztens kell legyen, de nem kell, hogy közvetlenül kapcsolódjék tapasztalataink fizikai teréhez. Az a speciális fizikai geometria, amelyet látszólag érzékelünk, a tapasztalat egy idealizációja (függ például attól, hogyan extrapolálunk a végtelenül nagy vagy kicsi méretekhez, vö. 3. fejezet, 107. o.), de a kísérletek ma elég pontosak ahhoz, hogy fel kelljen fognunk, „tapasztalt” geometriánk valóban különbözik az euklideszi ideálistól (vö. 236. o.), és összhangban van azzal, amit Einstein általános relativitáselmélete mond. Ám a fizikai világ geometriájáról alkotott nézetünk változásai ellenére Eudoxosz 23 évszázados valósszám-fogalma lényegében változatlan maradt, és Einstein elméletének éppen olyan lényeges összetevője, mint Eukleidészének. Valójában minden eddigi komoly fizikai elméletnek lényeges alkotórésze!

Eukleidész Elemekjének ötödik könyve alapjában az Eudoxosz által bevezetett és az előbb leírt „arányosságelmélet” kifejtése. Ez alapvetően fontos volt a mű egésze számára. Az először i. e. 300 körül kiadott teljes Elemeket valóban úgy kell értékelnünk, mint minden idők egyik legmélyebb hatású könyvét. Ez a mű teremtette meg majdnem minden későbbi tudományos és matematikai gondolkodás színpadát. Módszerei deduktívak voltak, világosan felállított axiómákból indultak ki, amelyekről feltételezte, hogy a tér „magától értetődő” tulajdonságai; és számos következményt vezetett le, közülük sok a meglepő és fontos és egyáltalán nem magától értetődő. Nem vitás, hogy Eukleidész műve mély hatást gyakorolt a tudományos gondolkodás elkövetkező fejlődésére.

Az ókor legnagyobb matematikusa kétségtelenül Arkhimédész (i.e. 287 — 212) volt. Eudoxosz arányosságelméletét szellemes módon felhasználva meghatározta sok különböző alakzat területét és térfogatát, például a gömbét, vagy bonyolultabb, parabolákat és spirálisokat tartalmazó alakzatokét. Ma erre az analízist használjuk, amit Newton és Leibniz dolgozott ki, de Arkhimédész úgy 19 évszázaddal az analízis megjelenése előtt vezette le eredményeit! (Azt mondhatjuk, hogy Arkhimédész már ismerte az analízis egyik felét — az ,,integrál”-felét!) A matematikai szigorúságnak az a foka, amelyet bizonyí

tásaiban Arkhimédész elért, mai mércével is kifogástalan. írásai mély hatást gyakoroltak sok későbbi matematikusra és természettudósra, közöttük a legnevesebbek Galilei és Newton. Arkhimédész kidolgozta a statika (az egyensúlyban lévő testekre vonatkozó törvények, mint az emelő törvénye vagy az úszó testekre vonatkozó törvények) (SZUPER?) fizikai elméletét is, és deduktív tudományként fejlesztette azt, hasonlóan ahhoz, ahogy Eukleidész kifejlesztette a geometriai tér tudományát és a merev testek geometriáját.

Arkhimédész egyik kortársa, akit szintén meg kell említenem, Appolóniosz (kb. i. s. 262—200) volt, egy nagyon jelentős, mély meglátású és szellemiségű geométer, akinek a kúpszeletek (azaz ellipszisek, parabolák és hiperbolák) elméletében végzett vizsgálatai nagyon komoly hatással voltak Keplerre és Newtonra. Igen figyelemreméltó, hogy éppen ezek az alakzatok szükségesek a bolygópályák leírásához!

Galilei és Newton dinamikája

A hatalmas áttörés, amely a tudományban a 17. században bekövetkezett, a mozgás megértése volt. Az ókori görögök csodálatosan értették a statikus dolgokat — a merev geometriai alakzatokat vagy az egyensúlyban lévő testeket (azaz amikor minden erő kiegyenlített, ezért nincs mozgás) —, de nem volt jó elképzelésük a testek mozgását szabályozó törvényekről. Egy jó dinamikai elmélet hiányzott, azaz annak a csodálatos dolognak az elmélete, ahogy a Természet szabályozza a testek helyzetében egyik pillanatról a másikra bekövetkező változásokat. Ennek oka részben (de semmiképp sem kizárólagosan) az volt, hogy hiányzott az idő elegendően pontos mérési módja, azaz egy elfogadhatóan jó „óra”. Ilyen órára szükség van, hogy a helyzetben bekövetkező változások időben pontosan jelezhetők legyenek, és így a testek sebessége és gyorsulása jól megállapítható legyen. Ezért Galilei 1583-ban tett megfigyelése, hogy egy inga megbízható időmérő eszközként használható, messzemenő jelentőségű volt számára (és a tudomány egész fejlődése számára!), mert lehetővé vált a mozgás pontos ütemezése.⁴ Úgy ötvenöt évvel később, Galilei Discorsijának 1638-as megjelenésével útjára indult az új tárgykör, a dinamika megkezdődött a régi misztika átalakítása modern tudománnyá!

Hadd válasszak ki négyet a Galilei által felismert legfontosabb fizikai gondolatokból. Az első az, hogy a testre ható erő a gyorsulást határozza meg és nem a sebességet. Mit jelentenek tulajdonképpen a „gyorsulás” és „sebesség” kifejezések? Egy részecskének — vagy egy test egy pontjának — sebessége a helyzete időbeli változásának mértéke. A sebességet rendesen vektoriális mennyiségnek tekintjük, ami azt jelenti, hogy irányát ugyanúgy meg kell adnunk, mint nagyságát (amire a „gyorsaság” szót használjuk; lásd az 5.4. ábrát). A gyorsulás (szintén vektormennyiség) a sebesség időbeli változásának mértéke — így a helyzetváltozás változásának időbeli mértéke! (Az ókoriak ehhez nehezen juthattak volna el, mert hiányoztak a megfelelő „órák” és a „változási sebességre” vonatkozó lényeges matematikai fogalmak.) Galilei megállapította, hogy egy testre ható erő (az ő esetében a gravitációs erő) annak gyorsulását szabja meg, de sebességét közvetlenül nem — mint ahogy a régiek, például Arisztotelész is gondolták.

5.4. ábra. Sebesség, gyorsaság és gyorsulás

Ha erő nem hat, akkor a sebesség állandó — ezért egyenletes mozgás egy egyenes mentén az erő hiányának következménye (ami Newton első törvénye). Szabad mozgást végző testek útjukat egyenletesen folytatják, és ehhez nincs szükségük erőre. A Galilei és Newton által kidolgozott dinamikai törvények egyik következménye az, hogy az egyenesvonalú, egyenletes mozgás fizikailag tökéletesen megkülönböztethetetlen a nyugalmi állapottól (azaz a mozgás hiányától): e kettőt lokális módon nem tudjuk szétválasztani egymástól! Galilei ezt különösen világosan (még Newtonnál is világosabban) fogalmazta meg, és nagyon szemléletes leírást adott egy tengeren úszó hajó képével (vö. Drake 1953, 186-187. o.):

Zárkózzanak be barátaikkal egy nagy hajó fedélzet alatti fő kabinjába, és vigyenek magukkal legyeket, lepkéket és más pici repülő állatokat. Legyen ott még egy nagy vízmedence, benne halakkal; függesszenek fel egy palackot, amely cseppenként ürül ki az alatta lévő medencébe. Míg a hajó még áll, figyeljék meg alaposan, hogyan repkednek a kis állatok a kabin minden oldala felé egyenlő sebességgel. A halak közömbösen úszkálnak minden irányban, a cseppek aláhullanak a medencébe... Amikor mindezeket alaposan megfigyelték..., haladjon a hajó tetszőleges sebességgel úgy, hogy mozgása egyenletes legyen, ne ingadozzék ide-oda. Az előbb felsorolt dolgokban a legcsekélyebb változást sem fogják felfedezni, egyikből sem fogják tudni eldönteni, hogy a hajó mozog-e, vagy még áll… A cseppek ugyanúgy esnek lefelé a medencébe, mint előbb, és nem a hajófar felé, noha míg a levegőben vannak, a hajó sok arasznyit fut előre. Vizükben a halak nem úsznak nagyobb erőfeszítéssel előre, mint hátra, egyformán könnyen mennek a csalétekhez, bárhová is helyezik azt a medencében. A lepkék és a legyek közömbösen folytatják repülésüket mind a négy fal felé, soha nem történik meg, hogy összegyűlnének a hajófar felőli oldalon, mert elfáradtak abban, hogy tartják a hajó sebességét, pedig attól hosszú időszakokra különválnak, mikor a levegőben tartják magukat.

 

Ez, a Galilei-féle relativitási elv nevet viselő, figyelemre méltó tény valójában döntő jelentőségű abban, hogy a kopernikuszi nézőpontnak dinamikai értelme lehet. Nikolausz Kopernikusz (1473 — 1543, és 18 évszázaddal előtte az ókori görög csillagász, Arisztarkhosz, i. e. 310—230 körül — nem tévesztendő össze Arisztotelésszel!) vázolta fel azt a képet, amelyben a Nap nyugalomban van, míg a Föld, saját tengelye körül is forogva, a Nap körüli pályán kering. Miért nem észleljük állandóan ezt a mozgást, amely óránként pár százezer kilométert tesz ki? Mielőtt Galilei dinamikai elméletét közzétette, a kopernikuszi nézőpont számára ez valóban komoly és mély problémát jelentett. Ha helyes volna a dinamika korábbi, „arisztotelészi” szemlélete, amelyben egy rendszer dinamikai viselkedését térbeli mozgásának aktuális sebessége szabja meg, akkor a Föld mozgása bizonyára nagyon közvetlenül nyilvánvaló volna számunkra. A Galilei-féle relativitás világossá teszi, hogy a Föld lehet mozgásban, e mozgás mégsem olyan, hogy közvetlenül érzékelhetnénk.*

Jegyezzük meg, hogy a Galilei-féle relativitási elv alapján a „nyugalom” fogalmának nem tulajdonítható lokális fizikai jelentés. Ennek már van egy nevezetes velejárója azzal kapcsolatban, hogyan kell a teret és időt szemlélni. A térről és időről olyan ösztönös képünk van, hogy a „tér” egyfajta aréna, amelyben a fizikai események lejátszódnak. Egy fizikai objektum a tér egyik pontjában lehet egyik pillanatban, és vagy a tér ugyanazon pontjában, vagy egy másikban egy későbbi pillanatban. Úgy képzeljük, hogy a pontok a térben valahogyan rögzítettek, ezért van értelme azt mondani, hogy egy objektum megváltoztatta vagy nem változtatta meg térbeli helyzetét. Azonban a Galilei-féle relativitási elv azt mondja nekünk, hogy a „nyugalmi állapotnak” nincs abszolút jelentése, ezért annak sem lehet jelentést tulajdonítani, hogy „a tér ugyanazon pontja két különböző időben”. A fizikai tapasztalat háromdimenziós euklideszi terének egy időpillanatban melyik pontja az, amelyik „ugyanazon” pontja három-dimenziós euklideszi terünknek egy másik időpillanatban? Ezt nincs módunk megmondani.

*Szigorúan szólva a Föld mozgására csak annyiban vonatkozik, amennyiben az közelítőleg egyenletesnek és különösen forgás nélkülinek tekinthető. A Föld forgó mozgásának valóban vannak (viszonylag csekély) dinamikai hatásai, amelyek észlelhetők; a legnevezetesebb a szelek különböző eltérülése az északi és déli félgömbön. Galilei azt gondolta, hogy ez a nemegyenletesség a felelős az árapály jelenségéért.

 

5.5. ábra. Galilei-féle téridő: az egyenletes mozgást végző részecskéket egyenes vonalak ábrázolják

 

Úgy látszik, minden időpillanatban tökéletesen új euklideszi terünk kell legyen! Ennek úgy adhatunk értelmet, hogy a fizikai valóság egy négy-dimenziós téridő képét tekintjük (lásd 5.5. ábra). A különböző időpontoknak megfelelő, háromdimenziós euklideszi tereket valójában elválasztottnak tekintjük, másrészt mindezek a terek összekapcsolva adják a négydimenziós téridő teljes képét. Az egyenesvonalú, egyenletes mozgást végző részecskék történeteit a téridőben egyenes vonalak (az ún. világvonalak) írják le. A téridőknek és a mozgás relativitásának kérdésére később, az Einstein-féle relativitással kapcsolatban még visszatérek. Azt fogjuk találni, hogy ott a négydimenziósság mellett szóló érv lényegesen nagyobb erejű.

Galilei harmadik nagy meglátásával kezdődött az energiamegmaradás megértése. Galilei főként a gravitáció hatása alatt álló tárgyak mozgásával foglalkozott. Észrevette azt, hogy ha egy test nyugalomból indul, akkor akár egyszerűen szabadon esik, akár tetszőleges hosszúságú ingán leng, akár egy sima lejtőn csúszik lefelé, sebessége mindig csak attól a távolságtól függ, amennyivel az indulási pont alá került. Továbbá, hogy ez a sebesség mindig éppen elegendő ahhoz, hogy a test visszajusson az indulás magasságába. Ahogy ma mondanánk, a talaj fölötti magasságban tárolt energia (a gravitációs helyzeti energia) átalakítható a mozgás energiájává (mozgási, más néven kinetikus energiává, amely a test sebességétől függ), és megint vissza, de az energia, mint egész soha nem vész el, és nem keletkezik.

Az energiamegmaradás törvénye nagyon fontos fizikai elv. Nem független fizikai követelmény, hanem következménye Newton dinamikai törvényeinek, amelyekhez rövidesen elérkezünk. A századok során e törvények egyre átfogóbb megfogalmazását adták Descartes, Huygens, Leibniz, Euler és Kelvin. Erre visszatérünk később ebben a fejezetben és majd a 7. fejezetben. Kiderül, hogy ha összekombináljuk a Galilei-féle relativitási elvvel, akkor az energiamegmaradás további, komoly jelentőségű megmaradási törvényeket eredményez: a tömeg és az impulzus megmaradását. Egy részecske impulzusa (lendülete) tömegének és sebességének szorzata. Az impulzusmegmaradás ismert példája a rakétameghajtás, a rakéta előre mutató impulzusának növekedését pontosan kiegyenlíti a (kisebb tömegű, de ezzel szemben gyorsabb) kilövellő gáz hátrafelé mutató impulzusa. Az ágyú visszalökődése szintén az impulzusmegmaradás megnyilvánulása. A Newton-törvények egy további következménye az impulzusmomentum megmaradása, ami a rendszer perdületének állandóságát írja le. A Föld tengely körüli forgása és egy teniszlabda pörgése impulzusmomentumuk megmaradásán keresztül őrződik meg. Minden test minden egyes összetevő részecskéje hozzájárul a test teljes impulzusmomentumához, egy részecske járulékának nagysága impulzusának és a középponttól mért merőleges távolságának szorzatával egyenlő. (Következésképpen egy szabadon forgó tárgy szögsebessége növelhető, ha tömörítjük azt. Ez a magyarázata egy meglepő, de közismert figurának, amelyet gyakran mutatnak be a korcsolyázók és a trapézartisták. A karok vagy lábak behúzása a forgási sebesség növekedését eredményezi az impulzusmomentum megmaradása miatt!) Tömeg, energia, impulzus és impulzusmomentum olyan fogalmak, amelyek a későbbiekben fontosak lesznek számunkra.

Végül emlékeztetem az Olvasót Galilei prófetikus meglátására, hogy ha nem lenne a légellenállás, akkor a gravitáció hatása alatt minden test ugyanolyan sebességgel esne. (Az Olvasó felidézheti a nevezetes történetet, amikor Galilei különböző tárgyakat ejtett le egyszerre a pisai Ferde Toronyból.) Ez az éles meglátás vezette három évszázaddal később Einsteint a relativitás elvének gyorsuló vonatkoztatási rendszerekre való általánosítására, és ez sarokköve lett általános relativisztikus gravitáció elméletének, amint azt e fejezet vége felé látni fogjuk.

A Galilei által lefektetett meggyőző alapokra Newton nagyszerű katedrálist volt képes emelni. Három törvényben szabályozta az anyagi objektumok viselkedését. Az első és második lényegében az volt, amit Galilei megadott: ha egy testre nem hat erő, akkor folytatja egyenesvonalú, egyenletes mozgását; ha hat rá erő, akkor tömegének és gyorsulásának szorzata (azaz impulzusváltozásának sebessége) egyenlő az erővel. Newton egyik saját, speciális meglátása az volt, hogy felismerte a harmadik törvény szükségességét: az az erő, amelyet az A test fejt ki a B testre, pontosan egyenlő nagyságú és ellentétes irányú azzal, amelyet a B test fejt ki az A testre („minden hatással szemben mindig van egy vele egyenlő ellenhatás”). Ez szolgáltatta az alapvető keretet. A newtoni világegyetemben a részecskék olyan térben mozognak, amely az euklideszi geometria törvényeinek engedelmeskedik. A részecskék gyorsulását a rájuk ható erők határozzák meg. Az egyes részecskére ható erőt úgy kapjuk meg, hogy (a vektor összeadási törvényt használva; lásd 5.6. ábra) összegezünk minden járulékot, amelyek az összes többi részecskéktől származnak. Hogy a rendszert jól meghatározottá tegyük, szükség van bizonyos szabályokra, amelyek megmondják, milyen erőt fejt ki az A részecskére valamelyik másik B részecske. Rendesen azt követeljük meg, hogy ez az erő az A és B közötti egyenes irányába mutasson (lásd 5.7. ábra). Ha az erő a gravitációs erő, akkor az vonzó hatást fejt ki, nagysága arányos a két tömeg szorzatával és fordítva arányos a közöttük lévő távolság négyzetével: ez az inverz négyzetes törvény. Más típusú erőknél más lehet a helytől való függés, és az erő függhet a részecskék valamilyen másféle, a tömegtől különböző tulajdonságától.

5.6. ábra. A vektorösszeadás paralelogramma-szabálya

5.7. ábra. Két részecske között ható erő az őket összekötő szakasz irányába esik (és Newton harmadik törvénye szerint a B által A-ra kifejtett erő mindig egyenlő nagyságú és ellentétes irányú az A által B-re kifejtett erővel)

A nagy csillagász, Johannes Kepler (1571 — 1630) — Galilei kortársa — észrevette, hogy a bolygók Nap körüli pályája elliptikus és nem kör alakú (a Nap mindig az ellipszis egyik fókuszában van, és nem a középpontjában), és megfogalmazott két másik törvényt arra vonatkozóan, hogyan futnak végig a bolygók az ellipsziseken. Newton meg tudta mutatni, hogy Kepler három törvénye következik az ő általános rendszeréből (inverz négyzetes vonzási erőtörvény mellett). Ezen kívül megkapott minden részletes korrekciót Kepler ellipszispályáihoz, és más jelenségeket is, mint például a napéjegyenlőség precesszióját (a Föld forgástengelye irányának lassú mozgását, amelyet a görögök az évszázadok során megfigyeltek). Hogy mindezeket elérje, Newtonnak — a differenciálszámítás mellett — sok matematikai technikát kellett kidolgoznia. Erőfeszítéseinek tüneményes sikerét nagyban köszönhette kiemelkedő matematikai ügyességének és nem kevésbé nagyszerű fizikai meglátásainak.

A newtoni dinamika mechanisztikus világa

Ismert erőtörvény esetén (ilyen például a gravitáció inverz négyzetes törvénye) a newtoni rendszer pontos és határozott dinamikai egyenletrendszerré válik. Ha a részecskék helyei, sebességei és tömegei egy időpontban adottak, akkor helyeik, sebességeik (és tömegeik — ezeket állandónak vesszük) minden későbbi időpontban matematikailag meghatározottak. A determinizmus ezen — a newtoni mechanika világa által kielégített — formájának mély hatása volt (és van) a filozófiai gondolkodásra. Próbáljuk megvizsgálni kicsit közelebbről e newtoni determinizmus természetét. Mit tud mondani nekünk a „szabad akarat” kérdéséről? Lehet-e értelem egy szigorúan newtoni világban? Lehetnek-e egyáltalán számítógépek egy newtoni világban?

Próbáljuk meg ésszerűen egyszerűsíteni a világ e newtoni modelljét. Feltehetjük például, hogy az anyag alkotó részecskéi mind egzakt matematikai pontok, azaz nincs térbeli kiterjedésük. Alternatívaként tekinthetjük mindegyiket merev gömbnek. Akár így, akár úgy, fel kell tételeznünk, hogy ismerjük az erőtörvényeket, mint például Newton gravitációelméletének inverz négyzetes vonzási törvényét. Modellezni akarjuk majd a természet egyéb erőit is, mint az elektromos és mágneses erőket (amelyeket William Gilbert vizsgált először 1600-ban) vagy az erős magerőket, amelyekről ma már tudjuk, hogy az atommagok alkotórészeit (a protonokat és a neutronokat) tartják össze. Az elektromos erő hasonlít a gravitációsra abban, hogy ez is inverz négyzetes törvény, de az azonos részecskék taszítják egymást (nem pedig vonzzák, mint a gravitációnál), és a részecskék közötti elektromos erő nagyságát nem a részecskék tömegei, hanem elektromos töltései szabják meg. A mágneses erők szintén „inverz négyzetesek”, mint az elektromosak,* de a magerők egész más távolságfüggést mutatnak, rendkívül nagyok, ha a részecskék, mint az atommagon belül, szélsőségesen közel vannak egymáshoz, nagyobb távolság esetén viszont elhanyagolhatóak.

*Az elektromos és mágneses erők között az a különbség, hogy egyedi „mágneses töltések” (azaz északi és déli pólusok), úgy látszik, a természetben külön nem léteznek, a mágneses részecskék dipólusok, azaz piciny mágnesek (észak és dél együtt).

 

Tegyük fel, hogy elfogadjuk a merev gömb képet, megkövetelve azt, hogy amikor két gömb ütközik, akkor teljesen rugalmasan visszapattannak. Másképpen mondva: energiaveszteség (vagy a teljes impulzus csökkenése) nélkül újra szétválnak, mintha tökéletes biliárdgolyók volnának. Azt is pontosan elő kell írnunk, hogyan hatnak az erők a gömbök között. Az egyszerűség kedvéért feltételezhetjük, hogy minden gömb minden gömbre a középpontjaikat összekötő szakasz mentén fejti ki az erőt, amelynek nagysága e szakasz hosszának előírt függvénye. (E feltétel a newtoni gravitációra Newton egy nevezetes tétele következtében automatikusan teljesül; más erőtörvényeknél konzisztencia-követelményként beépíthető.) Ekkor, feltéve hogy a gömbök csak párosával ütköznek, hármas vagy magasabb rendű ütközés nem következik be, minden jól meghatározott, és az eredmény folytonos módon függ a kezdeti állapottól (azaz elegendően kicsiny változások a kezdeti állapotban csak kis változásokat okoznak az eredményben). Az érintőleges ütközés eredménye folytonosan megy át abba, amikor a gömbök éppen elkerülik egymást. Problémát jelent azonban, mit kezdjünk a háromszoros vagy magasabb rendű ütközésekkel. Ha például három gömb, A, B és C találkozik egyszerre, akkor mást kapunk, ha úgy tekintjük, mintha először A és B ütközött volna, majd közvetlenül ezután C B-vel, és mást, ha úgy, mintha A és C ütközött volna először, majd közvetlenül ezután B A-val (lásd 5.8. ábra). Modellünk egzakt hármas ütközések bekövetkezése esetén indeterminizmust mutat! Ha akarjuk, kizárhatjuk az egzakt hármas vagy magasabbrendű ütközéseket mint „végtelenül kis valószínűségűeket”, így ésszerűen következetes sémához jutunk, de a hármas ütközések potenciális problémája azt jelenti, hogy az eredő viselkedés nem függhet folytonos módon a kezdeti állapottól.

Ez nem teljesen kielégítő, ezért esetleg előnyben részesíthetjük a pontszerű részecskéket használó képet. De hogy elkerüljük e modell nehézségeit (végtelen nagy erők és energiák, amikor a részecskék egymásra kerülnek), más feltételezéseket kell tennünk, például azt, hogy a részecskék közötti erők kis távolságok esetén mindig nagyon erősen taszítóvá válnak.

5.8. ábra. Hármas ütközés. Eredménye döntően függ attól, melyik részecskék ütköznek először, ezért a bemenetnek nem folytonos függvénye

 

Ezzel biztosítani tudjuk azt, hogy ténylegesen egyik részecskepár sem ütközik össze. (így elkerüljük azt a problémát is, hogy meg kelljen határoznunk, hogyan viselkednek a pontszerű részecskék ütközés esetén!) Azonban a vizuális megjelenítés megkönnyítésére inkább a teljesen a merev gömbökre támaszkodó gondolatmenetet fogom elmondani. Úgy látszik, hogy ez a fajta biliárdgolyó kép lényegében a valóság modellje, ahogy azt valahol mélyen igen sok ember érzi!

Mármost a valóság newtoni⁵ biliárdgolyó-képe (eltekintve a többszörös ütközések problémájától) valóban determinisztikus modell. A „determinisztikus” szót úgy kell érteni, hogy a fizikai viselkedést a jövő (vagy múlt) minden időpontjában matematikailag tökéletesen meghatározza az összes golyó (bizonyos problémák elkerülésére legyen belőlük véges sok) helyzete és sebessége egy tetszőleges időpontban. Ügy látszik, hogy ebben a biliárdgolyó-világban az „értelem” számára nincs hely, hogy „szabad akaratával” befolyásolja az anyagi dolgok viselkedését. Ha hiszünk a „szabad akaratban”, akkor úgy látszik, kénytelenek vagyunk kételkedni abban, hogy valóságos világunk felépíthető ezen a módon.

A „szabad akarat” vitatott kérdése itt lebeg végig a könyvben — bár mondanivalóm legnagyobb részénél a háttérben marad. Később ebben a fejezetben lesz egy speciális, bár kicsi szerepe (a relativitáselméletben a fénynél gyorsabb jeladás kérdésével összefüggésben). Közvetlenül előkerül majd a 10. fejezetben, és ott az Olvasó biztosan csalódott lesz attól, amit el kell mondanom. Én valóban azt gondolom, hogy nem kitalált, hanem valódi problémáról van szó, ám ez igen mély, és nehéz megfelelően megfogalmazni. A determinizmus a fizikai elméletben fontos kérdés, de azt hiszem, csak része a történetnek. A világ lehet például determinisztikus, de nem kiszámítható. így a jelen a jövőt meghatározhatja oly módon, amely elvileg nem kiszámítható. A 10. fejezetben próbálok majd érveket felhozni, hogy megmutassam, tudatos értelmünk hatása valóban nem algoritmikus (azaz nem kiszámítható). Ezek szerint a szabad akarat, amit a magunkénak hiszünk, a világunkat kormányozó törvények valamelyik nem kiszámítható alkotórészében bújik el. Érdekes kérdés — akár elfogadjuk e nézőpontot a szabad akaratról, akár nem — hogy vajon egy adott fizikai elmélet (mint például a newtoni) valóban kiszámítható és nem csak determinisztikus-e. A kiszámíthatóság és a determinizmus különböző kérdések és e könyvben azt a tényt próbálom hangsúlyozni, hogy itt valóban különböző kérdésekről van szó.

Kiszámítható-e az élet a biliárdgolyó-világban?

Hadd illusztráljam először egy bevallottan képtelenül mesterséges példán, hogy a kiszámíthatóság és a determinizmus különböző dolgok. Bemutatok egy „játékmodell világegyetemet”, amely determinisztikus, de nem kiszámítható. írja le e világegyetem „állapotát” tetszőleges „időpontban” egy természetes számokból álló (m, n) számpár. Legyen T_u egy meghatározott univerzális Turing-gép, mondjuk az, amelyiket a 2. fejezetben definiáltunk (75. o.). Hogy meghatározzuk, mi a világegyetem állapota a következő „időpillanatban”, meg kell kérdeznünk, hogy T_u m-re hatva végül is megáll-e vagy sem [azaz T_u(m)=/= □ vagy T_u(m) = □ a 2. fejezet 76. oldalán használt jelöléssel]. Ha megáll, akkor az állapot a következő „pillanatban” (m + 1, n), ha nem áll meg, akkor (n + 1, m). A 2. fejezetben láttuk, hogy a Turing-gép megállási problémájára nincs algoritmus. Ebből következik, hogy e modell világegyetemben nem lehet algoritmus a „jövő” megjóslására annak ellenére, hogy a modell tökéletesen determinisztikus!⁶

Természetesen ezt a modellt nem kell komolyan venni, azt azonban mutatja, hogy van egy megválaszolandó kérdés. Bármelyik determinisztikus fizikai elméletről megkérdezhetjük, hogy kiszámítható-e vagy sem. Valóban, kiszámítható-e a newtoni biliárdgolyó-világ?

A fizikai kiszámíthatóság kérdése részben attól függ, milyen kérdéseket akarunk a rendszernek feltenni. El tudok gondolni egy sor olyan kérdést, amelyre sejtésem szerint a newtoni biliárdgolyó-modellben a válasz kiderítése nem kiszámítható (azaz nemalgoritmikus) dolog. Egy ilyen kérdés a következő: ütközik-e valaha az A golyó a B-vel? Az elképzelés az, hogy kezdeti adatként minden golyó helyzete és sebessége adott valamilyen meghatározott időpontban (< = 0), és ezekből az adatokból kell kihámozni, hogy ütközik-e egymással A és B valamilyen későbbi (t > 0) időpontban. Hogy a probléma előírt (bár nem különösebben valóság ízű) legyen, feltehetjük, hogy a golyók sugarai és tömegei egyenlőek, és hogy mondjuk inverz négyzetes erőtörvény érvényes minden golyópár között. Sejtésemnek, hogy ez a speciális kérdés nem válaszolható meg algoritmikusan, egyik oka az, hogy a modell valamennyire hasonlít egy a „kiszámíthatóságra készített biliárdgolyó-modellre”, amelyet Edward Fredkin és Tommaso Toffoli (1982) dolgoztak ki. Modelljükben (az inverz négyzetes erőtörvény helyett) a golyókat különböző „falak” irányítják, de hasonlóan az előbb leírt newtoni gömbökhöz, egymással rugalmasan ütköznek (5.9. ábra). A Fredkin —Toffoli-modellben egy számítógép minden alapvető logikai műveletét végre lehet hajtani a golyókkal. Utánozható bármilyen Turing-gépes számítás: a speciálisan megválasztott T_n Turing-gép definiálja a Fredkin —Toffoli-gép „falainak” elhelyezkedését stb.; ezután a golyók egy kezdeti állapota kódolja a beviteli szalag információját, a Turing-gép kiviteli szalagja a golyók végső állapotával kódolt.

5.9. ábra. Egy „kapcsolás” a Fredkin—Toffoli-féle biliárdgolyó-számítógépben (A. Ressler javaslata). Ha egy golyó B-nél belép, akkor ezt kővetően egy golyó megy ki D-nél vagy E-nél attól függően, hogy belép-e egy másik golyó A-nál (a golyók belépése A-nál és B-nél

egyidejű)

 

Így fel lehet tenni a kérdést: megáll-e valaha egy ilyen és ilyen Turing-gépes számítás? A „megállás” megfogalmazható úgy, hogy ütközik-e végül az A golyó a B-vel. Az a körülmény, hogy ez a kérdés nem válaszolható meg algoritmikusan (78. o.), legalábbis sejteti, hogy amit kezdetben feltettem, a newtoni kérdés, „ütközik-e valaha az A golyó a B golyóval?”, szintén nem válaszolható meg algoritmikusan.

A newtoni probléma valójában sokkal nehezebb annál, mint amit Fredkin és Toffoli felvetett. Modelljük állapotait ők le tudták írni diszkrét paraméterekkel (azaz „igen vagy nem” állításokkal, mint például az, hogy „a golyó vagy a csatornában van, vagy nincs”). Azonban a teljes newtoni problémában a golyók kezdeti helyzetét és sebességét végtelen pontossággal kell előírni, valós szám koordinátákkal, és nem ilyen diszkrét módon. így megint szembekerülünk mindazokkal a problémákkal, amelyeket már figyelembe kellett vennünk, amikor a 4. fejezetben azt kérdeztük, rekurzív-e a Mandelbrot-halmaz. Mit jelent a „kiszámíthatóság”, amikor a bemeneti és kimeneti adatokban folytonosan változó paraméterek megengedettek?⁷ A problémát egyelőre könnyíthetjük úgy, hogy feltesszük, minden kezdeti hely- és sebességkoordináta racionális szám mai adott (noha az nem várható, hogy. ezek a koordináták későbbi racionális t időértékeknél racionálisak is maradnak). Idézzük vissza, hogy egy racionális szám két egész szám hányadosa, ezért diszkrét véges értékekkel van előírva. Racionális számokkal tetszőlegesen megközelíthetünk akármilyen kezdeti adatsorozatot, amelyet vizsgálni választunk. Egyáltalán nem ésszerűtlen az a sejtés, hogy racionális kezdeti adatok mellett nem lehetséges algoritmus annak eldöntésére, hogy A és B ütközik-e valaha vagy sem.

Ez azonban nem igazán az, amit „a newtoni biliárdgolyó-világ nem kiszámítható” állítás alatt értenénk. A speciális modell, amellyel newtoni biliárdgolyó- világunkat összehasonlítottam, nevezetesen a Fredkin—Toffoli-féle „biliárdgolyó-számítógép”, valójában egy számítás szerint jár el. Ez volt végül is Fredkin és Toffoli elképzelésének lényeges pontja — az, hogy modelljük (univerzális) számítógéphez hasonlóan viselkedik! A kérdés, amelyet feszegetek, az, vajon elképzelhető-e, hogy az emberi agy, megfelelő „nem kiszámítható” fizikai törvényekkel felfegyverkezve, valamilyen értelemben működhet-e „jobban”, mint egy Turing-gép. Nincs haszna, ha valami ilyet próbálunk kiaknázni:

„Ha az A golyó soha nem találkozik a B golyóval,

akkor a problémára a válasz "nem".”

Lehet, hogy az örökkévalóságig kell várnunk, hogy biztosan megtudjuk, a kérdéses golyók sohasem találkoznak! Ez természetesen éppen az a mód, ahogy a Turing-gépek viselkednek.

Ténylegesen világos jelei látszanak annak, hogy megfelelő értelemben a newtoni biliárdgolyó-világ kiszámítható (legalábbis ha figyelmen kívül hagyjuk a többszörös ütközések problémáját). Rendesen úgy próbálnánk meg egy ilyen világ viselkedését számítani, hogy valamilyen közelítést végzünk. Elképzelhetjük, hogy a golyók középpontjait úgy adjuk meg, hogy egy pontrácson fekszenek, ahol a rácspontok éppen azok, amelyek koordinátáit mondjuk az egység századrészeivel mérjük. Az időt szintén „diszkrétnek” vesszük: minden megengedett időpillanat valamilyen kicsi (mondjuk ∆t-vel jelölt) egység többszöröse, így a „sebesség” is bizonyos diszkrét értékeket vehet csak fel (egymás utáni megengedett időpillanatokhoz tartozó rácspontértékek ∆t-vel osztott különbségeit). A gyorsulások megfelelő közelítéseit az erőtörvényekből számítjuk, és ezeket használjuk a következő megengedett időpillanatbeli sebességek és így az új rácsponthelyzetek meghatározására az előírt közelítésben. A számítást annyi időpillanaton keresztül végezzük, amennyi alatt a kívánt pontosság még megmarad. Könnyen előfordulhat, hogy nem sok időpillanat kiszámítható végig, mert a pontosság elromlik. Az eljárást ekkor lényegesen finomabb térbeli hálózattal és valamivel finomabb időfelosztással újra kell kezdeni. így nagyobb pontosságot lehet elérni, és a számítás tovább folytatható a jövőbe, mint előzőleg, mielőtt a pontosság elvész. Még finomabb térráccsal és időfelosztással a pontosság még tovább javítható, a számítás még tovább tolható ki a jövőbe. Ily módon a newtoni biliárdgolyó-világ (a többszörös ütközéseket elhagyva) a kívánt pontossággal megközelíthető, és ebben az értelemben azt mondhatjuk, hogy kiszámítható.

Van azonban olyan értelmezés, amelyben e világ a gyakorlatban „nem kiszámítható”. Ez abból a körülményből ered, hogy mindig korlátozott az a pontosság, amellyel a kezdeti adatokat ismerni lehet. Ténylegesen nagyon jelentős „instabilitás” van inherensen jelen az ilyen típusú problémában. Nagyon pici változás a kezdeti adatokban gyorsan roppant nagy változást idézhet elő az eredő viselkedésben. (Bárki, aki megpróbált egy biliárdgolyót a lyukba úgy belökni, hogy először egy másikat kell eltalálnia, és ennek kell a kérdéses golyót meglöknie, tudni fogja, mire gondolok!) Ez különösen látható, amikor (sorozatos) ütközések is megengedettek, de a newtoni gravitációs kölcsönhatás mellett is előfordulhatnak ilyen instabilitások (kettőnél több test esetén). Az ilyen típusú instabilitásra gyakran használják a „káosz” vagy „kaotikus viselkedés” kifejezéseket. Fontos a kaotikus viselkedés például az időjárásban. Noha az elemeket kormányzó Newton-egyenletek jól ismertek, a hosszú távú időjárási előrejelzések közismerten megbízhatatlanok!

Ez egyáltalán nem az a fajta „nemkiszámíthatóság”, amelyet bármilyen módon „ki lehet aknázni”. Csupán annyiról van szó, hogy mert a kezdeti állapot csak korlátozott pontossággal ismerhető, a jövőbeli állapot a kezdetiből nem kiszámítható megbízhatóan. Valójában egy „véletlenszerű elem” kerül be a jövőbeli viselkedésbe, de ennyi az egész. Ha az agy valóban hasznos nemkiszámítható elemeket aknáz ki a fizikai törvényekben, akkor ezeknek a fentitől egészen különbözőeknek és sokkal pozitívabbaknak kell lenniük. Ennek megfelelően erre a fajta „kaotikus” viselkedésre egyáltalán nem fogom használni a „nem kiszámítható” kifejezést, inkább a „jósolhatatlant”. A jósolhatatlanság jelenléte nagyon általános jelenség az olyan jellegű determinisztikus törvényekben, amelyek a (klasszikus) fizikában ténylegesen fellépnek, ezt hamarosan látni fogjuk. A jósolhatatlanság biztosan olyan dolog, amelyet egy gondolkodó gép készítése során minimalizálni szeretnénk, nem pedig „kiaknázni”!

Hogy a kiszámíthatóság és jósolhatatlanság kérdéseit általánosan vizsgáljuk, érdemes lesz az előzőnél átfogóbb nézőpontot elfogadni a fizikai törvényekre vonatkozóan. Ez lehetővé fogja tenni, hogy ne csak a newtoni mechanika rendszerét vizsgáljuk, hanem a későbbi elméleteket is, amelyek túlnőttek rajta. Szükség lesz rá, hogy nagy vonalakban megismerkedjünk a mechanika nevezetes hamiltoni megfogalmazásával.

Hamiltoni mechanika

A newtoni mechanika sikereit nemcsak az eredményezte, hogy nagyszerűen alkalmazható a fizikai világra, hanem a belőle kinövő matematikai elmélet gazdagsága is. Figyelemre méltó, hogy a Természet minden SZUPER elmélete a matematikai ideák rendkívül termékeny forrásának bizonyult. Mély és szép titok van abban a tényben, hogy e szuperpontos elméletek, mint egyszerű matematika is rendkívül gyümölcsözőek. Ez kétségtelenül mond valami mélyet nekünk a fizikai tapasztalataink valóságos világa és a matematika platóni világa közötti kapcsolatokról. (E kérdést később fogom tárgyalni a 10. fejezetben a 404. oldalon.) A newtoni mechanika talán a legfontosabb ebben a vonatkozásban, mert születése hozta meg az analízist. Mi több, a speciális newtoni rendszer a matematikai gondolatok nevezetes gyűjteményét teremtette meg, azt, amelyet klasszikus mechanika néven ismerünk. Fejlődéséhez hozzájárult a tizennyolcadik és tizenkilencedik század sok nagy matematikusa: Euler, Lagrange, Laplace, Liouville, Poisson, Jacobi, Osztrogradszkij, Hamilton. E munka nagy részét foglalja magában az, amit „Hamilton-elméletnek”⁸ nevezünk, ebből céljainkhoz elegendő lesz egy kis kóstoló. A sokoldalú és eredeti ír matematikus, William Rowan Hamilton (1805 — 1865) — akitől a 167. oldalon tárgyalt hamiltoni körök is származnak — dolgozta ki az elméletnek ezt a formáját, amely hangsúlyozza a hullámterjedéssel való analógiát. Ez az utalás a hullámok és részecskék közötti kapcsolatra — és maguknak a Hamilton-egyenleteknek a formája is — nagyon fontos volt a kvantummechanika későbbi fejlődése szempontjából. A dolgoknak erre a vonatkozására a következő fejezetben visszatérek.

A hamiltoni rendszer egyik újszerű vonása a fizikai rendszer leírására használt „változókban” van. Mindeddig a részecskék helyzetét tekintettük elsődlegesnek, a sebesség egyszerűen a helyzetváltoztatás időbeli nagysága volt. Emlékezzünk rá (192. o.), hogy egy newtoni rendszer kezdeti állapotának megadásához szükségünk volt minden részecske helyzetére és sebességére, hogy az ezután következő viselkedés meghatározott legyen. A hamiltoni megfogalmazásban a részecskéknek nem sebességeit, hanem impulzusait kell kiválasztanunk. (A 190. oldalon megjegyeztük, hogy egy részecske impulzusa a sebességének és a tömegének szorzata.) Ez önmagában kis változásnak tűnhet, a fontos azonban az, hogy úgy kezeljük minden részecske helyét és impulzusát, mint többé-kevésbé egyenrangú, független mennyiségeket. Először úgy tekintjük, hogy a különféle részecskék impulzusainak semmi közük sincs helyzetváltozóik változási sebességeihez: ez egy különálló változósorozat. így elképzelhetjük, hogy a helyzet változásától teljesen függetlenek „lehetnek”. A hamiltoni megfogalmazásban most két sorozat egyenletünk van. Az egyik azt mondja meg, hogyan változnak az idővel a részecskék impulzusai, a másik azt, hogyan változnak a helyzetek. A változási sebességeket mindkét esetben az adott időpontbeli helyzetek és impulzusok határozzák meg.

Durván szólva a Hamilton-egyenletek első sorozata Newton alapvető második mozgástörvényét fejezi ki (impulzusváltozás sebessége = erő), míg a második sorozat egyenlet azt mondja meg, mi az impulzusok aktuális értéke a sebességekkel kifejezve (helyzetváltozás sebessége = impulzus/tömeg). Idézzük vissza, hogy a Galilei—Newton-mozgástörvények a gyorsulásokkal, azaz a helyzetváltozások sebességeinek változási sebességeivel vannak felírva (azaz „másodrendű” egyenletekről van szó). Most csak dolgok változási sebességeiről kell beszélnünk („elsőrendű” egyenletek), és nem dolgok változási sebességeinek változási sebességeiről. Mindezen egyenleteket egyetlen fontos mennyiségből származtatjuk, a H Hamilton-függvényből, amely a rendszer teljes energiája az összes hely- és impulzusváltozóval kifejezve.

A Hamilton-formalizmus a mechanika nagyon elegáns, szimmetrikus leírását nyújtja. Hogy éppen csak lássuk, hogyan néznek ki, írjuk le itt az egyenleteket, még ha sok Olvasó nincs is hozzászokva az analízis jelöléseihez, amely szükséges a teljes megértéshez — most azonban nem lényeges a teljes megértés. Amit a differenciálszámításról igazán fel kell fogni, az annyi, hogy az egyenletek bal oldalán megjelenő „pont” az időbeli változás sebességét jelöli (az impulzusét az első egyenletben, a helyét a másodikban):

Itt az i indexet a különböző p₁, p₂, p₃, p₄, … impulzus- és x₁, x₂, x₃ x₄ ,... helykoordináták megkülönböztetésére használjuk, n szabad részecske esetén 3n impulzuskoordinátánk és 3n helykoordinátánk lesz (a három független térbeli irány mindegyikéhez egy). A ϑszimbólum a „parciális differenciálás” jele („az olyan differenciálásé, amikor minden más változót állandónak tartunk”), H pedig az előbb leírt Hamilton-függvény. (Ha az Olvasó nem ismeri a „differenciálást”, ne aggódjék. Gondoljon csak úgy az egyenletek jobb oldalára, mint valamilyen, az x_i-kel és p_i-kel felírt tökéletesen jól meghatározott matematikai kifejezésre.)

Az x₁, x₂,.. .és p₁, p₂,.. .koordináták valójában sokkal általánosabb dolgok lehetnek, mint a részecskék közönséges Descartes-koordinátái (azaz az x_i-k a közönséges távolságok három egymásra merőleges irányban mérve). Egyes x_i koordináták lehetnek például szögek (amikor is a megfelelő p_i-k impulzusmomentumok, vö. 190. o., és nem impulzusok), vagy valamilyen más, egészen általános mértékek. Figyelemre méltó, hogy a Hamilton-egyenletek pontosan ugyanolyan alakúak maradnak. Valójában H alkalmas megválasztásával a Hamilton egyenletek érvényesek maradnak bármilyen klasszikus egyenletrendszerre, nem csak a Newton egyenletekre. Fennáll ez a Maxwell( —Lorentz)-elméletre is, amelyet rövidesen megvizsgálunk. A Hamilton-egyenletek érvé- nyesek a speciális relativitáselméletben is. Megfelelő gondossággal még az általános relativitáselmélet is beilleszthető a hamiltoni keretbe. Továbbá, ahogy azt később a Schrödinger-egyenletnél látni fogjuk (316. o.), ez a hamiltoni keret szolgáltatja az összehasonlító pontot a kvantummechanika egyenletei számára. Igazán figyelemreméltó, hogy bár a fizikai elméletek a múlt században és azután forradalmi változásokon mentek keresztül, a dinamikai egyenletek szerkezetében ilyen formai egység mutatkozik!

Fázistér

A Hamilton-egyenletek alakja lehetővé teszi, hogy nagyon hatásos és általános módon jelenítsük meg egy klasszikus rendszer fejlődését. Próbáljunk elképzelni egy nagy dimenziószámú „teret”, minden x₁, x₂, ..., p₁, p₂, …. koordinátához tartozzék egy dimenzió. (Matematikai tereknek gyakran van háromnál több dimenziójuk.) Ennek a térnek a neve fázistér (lásd 5.10. ábra), n szabad részecske esetén 6n a dimenziószáma (minden részecskéhez három hely- és három impulzuskoordináta tartozik). Az Olvasó joggal aggódhat, hogy ez már egyetlen részecskénél is kétszer annyi dimenzió, mint amennyit a megjelenítésre rendesen használni szokott! A dolog titka az, hogy nem szabad megijedni. Noha hat dimenzió valóban több, mint amennyit könnyen(!) lehet ábrázolni, valójában nem is volna sok haszna annak, ha képesek volnánk ábrázolni. Egy levegőmolekulákkal teli szoba olyan rendszer, amelynél a fázistér dimenzióinak száma

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000

körüli lehet. Ilyen nagy tér pontos megjelenítését megpróbálni nem sok reménnyel kecsegtet! A trükk az, hogy meg se próbáljuk — még egyetlen részecske fázisterét sem. Csak gondoljunk el valami homályos háromdimenziós (sőt kétdimenziós) tartományra. Vessünk egy pillantást az 5.10. ábrára. Ez teljesen kielégítő lesz.

Hogyan jelenítsük meg most a Hamilton-egyenleteket a fázistérben? Először is észben kell tartanunk, mit ábrázol valójában a fázistér egyetlen Q pontja? Az összes x₁, x₂, ... helykoordináta és p₁ p₂, ... impulzuskoordináta egy speciális értéksorozatának felel meg. Q tehát a teljes fizikai rendszert ábrázolja, minden egyes alkotórészecske egy speciális mozgásállapotát. A Hamilton-egyenletek megmondják az összes koordináta változási sebességét, ha ismerjük jelenlegi értékeiket; azaz szabályozzák az egyes részecskék mozgását. Fázistér-nyelvre lefordítva, az egyenletek megmondják, hogyan kell mozognia egy Q pontnak a fázistérben, ha adva van Q jelenlegi helyzete.

5.10. ábra. A fázistér. Egyetlen Q pontja egy fizikai rendszer teljes állapotát ábrázolja, beleértve minden részének pillanatnyi mozgását is

Így a fázistér minden pontjában rajzolhatunk egy kis nyilat — helyesebben mondva egy vektort —, amely megmondja, hogyan mozog Q. Ezáltal le tudjuk írni a teljes rendszer időbeli fejlődését. Az egész nyílrendszer egy vektormezőt alkot (5.11. ábra). A Hamilton-egyenletek tehát egy vektormezőt definiálnak a fázistérben.

5.11. ábra. A Hamilton-egyenletek szerinti időfejlődést ábrázoló vektormező a fázistérben

Nézzük meg, hogyan kell értelmezni a fizikai determinizmust a fázistérben. Kezdeti adatként van egy speciális értéksorozatunk, amely a t = 0 időpontban megadja az összes hely- és impulzuskoordinátát; másképpen mondva a fázistérben van egy kezdeti Q pontunk. Hogy megtaláljuk a rendszer időbeli fejlődését, egyszerűen követjük a nyilakat. így rendszerünk teljes időbeli fejlődését a fázistérben — függetlenül attól, hogy mennyire bonyolult — úgy írjuk le, mint egyetlen pont mozgását, amely követi a nyilak irányát. Úgy gondolhatunk a nyilakra, mint amelyek jelzik a Q pont „sebességét” a fázistérben. „Hosszú” nyílnál Q gyorsan mozog, ha a nyíl „rövid”, Q mozgása lomha lesz. Hogy megtudjuk, mit csinál fizikai rendszerünk a t időpontban, megkeressük, hová mozog addig a nyilakat követve Q. Ez nyilvánvalóan determinisztikus eljárás. A hamiltoni vektormező Q mozgását tökéletesen meghatározza.

Mi a helyzet a kiszámíthatósággal? Ha a fázistér egy kiszámítható pontjából indulunk (azaz olyan pontból, amelynek minden hely- és impulzuskoordinátája kiszámítható, vö. 3. fejezet, 103. o.), és várunk egy kiszámítható t időpontig, akkor szükségszerűen olyan pontba kerülünk-e, amely t-ből és az indulási pont koordinátáinak értékeiből kiszámítható módon megkapható? A válasz biztosan függ a H Hamilton-függvény megválasztásától. Ebben lehetnek fizikai állandók, mint a Newton-féle gravitációs állandó vagy a fénysebesség — ezek pontos értékei függenek az egységek megválasztásától, de lehetnek más, puszta számok is — és hogy igenlő választ remélhessünk, biztosan kellene tudnunk, hogy ezek az állandók kiszámítható számok. Feltételezve, hogy ez a helyzet, sejtésem az, hogy a fizikában általában előforduló, szokásos Hamilton-függvényekre a válasz valóban igenlő. Ez azonban csupán sejtés. A kérdés érdekes, és remélem, a jövőben tovább fogják vizsgálni.

Másrészt én úgy látom, hogy hasonló okokból, mint amelyeket a biliárdgolyó-világgal kapcsolatban röviden megemlítettem, nem ez az igazán lényeges kérdés. A fázistér pontjának koordinátáit végtelen pontossággal — azaz minden tizedesjegyet ismerve! — kellene tudnunk, hogy értelme legyen az állításnak, miszerint a pont nem kiszámítható. (Véges tizedestörttel leírt szám mindig kiszámítható.) Egy szám tizedes kifejtésének véges része semmit nem mond a szám teljes kifejtésének kiszámíthatóságáról. Azonban minden fizikai mérés csak meghatározott korlátos pontossággal végezhető el, csak véges számú tizedesjegyről adhat információt. Értelmetlenné teszi-e ez a „kiszámítható szám” egész koncepcióját a fizikai mérésekre alkalmazva?

Egy olyan eszköz, amely hasznos módon előnyt tudna húzni a fizikai törvények valamilyen (hipotetikus) nem kiszámítható eleméből, feltehetően nem korlátlan pontosságú mérések végzésére kell alapozzon. Lehet azonban, hogy túl szigorú vonalra tévedtem. Tegyük fel, hogy van egy fizikai eszközünk, amely ismert elméleti okokból utánoz valamilyen érdekes, nemalgoritmikus matematikai folyamatot. Az eszköz egzakt viselkedése, ha ez a viselkedés mindig pontosan kideríthető volna, megadná a választ egy sor matematikailag érdekes igen/nem kérdésre, amelyekre nem volna lehetséges algoritmus (mint amilyeneket az 5. fejezetben vizsgáltunk). Minden adott algoritmus valamelyik szakaszban elromlana, és az eszköz ebben a szakaszban valami újat adna. Az eszköz vizsgálhatna egy fizikai paramétert egyre nagyobb pontossággal, ha egyre nagyobb pontosság volna szükséges ahhoz, hogy a kérdések listáján egyre tovább menjen. Azonban véges pontosságnál kapunk valami újat, legalábbis amíg a kérdéssorozatra nem találunk javított algoritmust; ekkor nagyobb pontossághoz kellene folyamodnunk, hogy kapjunk valami olyat, amit a javított algoritmus nem képes megmondani.

Mindazonáltal úgy látszik, hogy az örökké növekvő pontosság egy fizikai paraméterben az információ kódolásának kényelmetlen és nem kielégítő módja. Sokkal kívánatosabb volna, hogy az információt diszkrét (vagy „digitális”) alakban szerezzük meg. A kérdések listáján ekkor úgy válaszolhatnánk meg egyre többet, hogy egyre több diszkrét egységet vizsgálnánk meg, vagy talán újra és újra vizsgálnánk diszkrét egységek egy rögzített sorozatát, amikor a megkövetelt korlátlan információ egyre hosszabb időtartamokra lehetne szétosztva. (Elképzelhetnénk, hogy ezek a diszkrét egységek részekből épülnek fel, mindegyiknek van egy „be” és „ki” állapota, mint a 2. fejezetben megadott Turing- gép-leírásokban.) Ügy tetszik, ehhez olyan eszközökre van szükségünk, amelyek diszkrét állapotokat tudnak (megkülönböztethetően) felvenni, és amelyek a dinamikai törvények szerinti fejlődés után ismét valamelyik diszkrét állapotot veszik fel. Ha ez volna a helyzet, akkor elkerülhetnénk azt, hogy mindegyik eszközt tetszőlegesen nagy pontossággal meg kelljen vizsgálnunk.

Namármost, ehhez hasonlóan viselkednek-e a hamiltoni rendszerek? Szükséges volna a viselkedés valamilyen stabilitása, hogy biztosan meggyőződhessünk arról, eszközünk ténylegesen melyik diszkrét állapotban van. Azt akarjuk, hogy ha egyszer valamelyik állapotban van, akkor (legalábbis egy jelentős ideig) maradjon abban, és ne vándoroljon egyikből a másikba. Továbbá, ha a rendszer egy kis pontatlansággal érkezik ezekbe az állapotokba, akkor e pontatlanság ne nőjőn fel; igazából azt követeljük, hogy az ilyen pontatlanságok idővel haljanak el. Javasolt eszközünknek részecskékből (vagy más alegységekből) kellene felépülnie, amelyeket folytonos paraméterekkel kell leírni, és minden megkülönböztethető „diszkrét” állapotnak e folytonos paraméterek egy tartományát kellene lefednie. (A diszkrét alternatívák ábrázolásának egy lehetséges módja például az lehetne, ha volna olyan részecskénk, amely egy dobozban vagy egy másikban tudna csak elhelyezkedni. Hogy megadjuk, hogy a részecske valóban az egyik dobozban van, azt kell mondanunk, hogy a részecske helykoordinátái egy tartományon belül vannak.) A fázistérrel kifejezve ez azt jelenti, hogy mindegyik „diszkrét” alternatíva egy tartománynak kell megfeleljen a fázistérben, így az ugyanabban a tartományban lévő különböző fázistérpontok eszközünk szempontjából ugyanazon alternatívát jelentik (5.12. ábra).

 

5.12. ábra. A fázistér egy tartománya az-összes részecske helyzete és impulzusa lehetséges értékei egy tartományának felel meg. Egy ilyen tartomány egy eszköz egy megkülönböztethető állapotát (azaz egy „alternatíváját”) ábrázolhatja

 

Tegyük most fel, hogy az eszköz úgy indul, hogy fázistér pontja az R₀ tartományban van, ami az egyik alternatívának felel meg. Gondoljuk el, ahogy az idő múlik, R₀ a hamiltoni vektormező mentén mozog, a t időpontra az R_t tartománnyá válik. Az ábrázoláshoz képzeljük el rendszerünk időfejlődését egyidejűleg az összes lehetséges kezdeti állapotból, amelyek ugyanennek az alternatívának felelnek meg. (Lásd az 5.13. ábrái.) A stabilitás kérdése (abban az értelemben, ahogy bennünket most érdekel) az, hogy t növekedtével az R_t tartomány lokalizált marad-e, vagy szétterjed a fázistérben. Ha az ilyen tartományok az idő haladtával lokalizáltak maradnak, akkor van mértékünk a rendszer stabilitására. A fázistér egymáshoz közeli pontjai (amelyek a rendszer olyan részletezett fizikai állapotainak felelnek meg, amelyek szorosan emlékeztetnek egymásra) közel maradnak egymáshoz, és az előírásainkban meglévő pontatlanságok nem nőnek meg az idő haladtával. Bármilyen túlzott szétszóródás a rendszer viselkedésének megjósolhatatlanságát vonja maga után.

Mit lehet mondani a hamiltoni rendszerekről általánosságban? Szétterjednek-e a tartományok a fázistérben az idő haladtával vagy sem? Úgy tűnhet, hogy egy ennyire általános problémáról nagyon keveset lehet mondani. Azonban a helyzet úgy áll, hogy van egy, a kiemelkedő francia matematikustól, Joseph Liouville-től (1809 — 1882) származó, nagyon szép tétel, amely azt mondja, hogy a fázistér tetszőleges tartományának térfogata bármilyen hamiltoni fejlődés során állandó kell maradjon. (Mivel fázisterünk dimenziószáma nagy, természetesen ez a „térfogat” is magas dimenziószámú.) Így minden R_t térfogata azonos kell legyen az eredeti R₀ térfogatával. Ez a tény első látásra igenlően válaszolja meg a stabilitásra vonatkozó kérdésünket.

 

5.13. ábra. Amint az idő halad, az R₀ fázistértartományt a vektormező egy új R_t tartományba tereli át. Ez a rendszerünk egy lehetséges időfejlődést ábrázol

 

Mivel tartományunk mérete — a fázistértérfogat-értelemben — nem nőhet, ezért úgy látszik, hogy a tartomány nem terjedhet szét a fázistérben.

Azonban ez tévedés, és alaposan meggondolva azt látjuk, hogy valószínűleg éppen az ellenkezője igaz! Az 5.14. ábrán megpróbáltam feltüntetni azt a fajta viselkedést, amelyet általánosságban várnánk. Elképzelhetjük, hogy a kezdeti R₀ tartomány egy kis, „ésszerű” alakzat, inkább gömb, mint orsó — jelezve azt, hogy az R₀-hoz tartozó állapotok olyan módon jellemezhetők, amely nem követel ésszerűtlen pontosságot. Ám ahogy az idő halad, az R_t tartomány torzulni kezd, megnyúlik — először talán amőbaszerű lesz, de azután nagy távolságokra nyúlik szét a fázistérben, nagyon bonyolult módon előre-hátra csavarodik. Térfogata valóban nem változik, de ez az azonos kis térfogat nagyon elvékonyodva a fázistér nagy tartományára terjedhet szét. Mint valamennyire hasonló helyzetre, gondoljunk egy nagy tartály vízben lévő tintacseppre. Noha a tinta anyagának össztérfogata nem változik, végül is szétoszlik a tartály teljes térfogatában. Valószínűleg hasonló módon viselkedik az R_t tartomány a fázistérben. Nem terjedhet szét az egész fázistérben (ez az „ergodikusnak” nevezett szélsőséges helyzet), de valószínűleg sokkal nagyobb tartományra oszlik szét, mint amilyenből indult. (További vizsgálatokat illetően lásd Davies 1974.)

A baj az, hogy a térfogat megmaradása egyáltalán nem vonja maga után az alak megőrzését: a kis tartományok eltorzulnak, és e torzulás a nagy távolságokon felnagyítódik. A probléma magas dimenziókban sokkal komolyabb, mint alacsonyakban, mert sokkal több „irány” van, amerre a tartomány lokálisan szétterjedhet. A Liouville-tétel, ahelyett hogy az R_t tartomány ellenőrzés alatt tartásával „segítségünkre” volna, valójában egy alapvető probléma elé állít bennünket!

5.14. ábra. Annak ellenére, hogy a Liouville-tétel szerint a fázistérbeli térfogat az idő haladtával nem változik, e térfogat a fejlődés rendkívüli bonyolultsága miatt általában erőteljesen szétterjed

 

A tétel nélkül azt képzelhetnénk, hogy azt a kétségtelen tendenciát, hogy egy tartomány a fázistérben szétterjed, megfelelő körülmények között a teljes térfogat csökkenése ellensúlyozhatná. A tétel azonban azt mondja, hogy ez lehetetlen, szembe kell néznünk e meglepő következménnyel minden normál típusú, klasszikus, dinamikus (hamiltoni) rendszer egyetemes tulajdonságával!⁹

Látva ezt a szétszóródást a fázistérben, megkérdezhetjük, hogyan lehetséges egyáltalán jóslatokat tenni a klasszikus mechanikában. Ez valóban jó kérdés. A szétterjedés azt mondja nekünk, hogy függetlenül attól, mennyire pontosan ismerjük egy rendszer kezdeti állapotát (bizonyos ésszerű határokon belül), a bizonytalanságok hajlamosak megnőni az időben, és kezdeti információnk majdnem haszontalanná válhat. A klasszikus mechanika ebben az értelemben lényegében megjósolhatatlan. (Emlékezzünk a korábban említett „káosz” fogalomra.)

Hogyan lehet akkor az, hogy a newtoni dinamika olyan sikeresnek bizonyult? Az égi mechanika esetében (azaz az égitestek gravitációs mozgásánál) a következő okok látszanak. Először az, hogy viszonylag kisszámú összetartozó testről (nap, bolygók, holdak) van szó, amelyek tömegeiket tekintve jelentősen szétválnak — így első közelítésben a kisebb tömegű testek zavaró hatását elhanyagolhatjuk, a nagyobbakat meg úgy kezelhetjük, mint néhány, egymás hatása alatt álló testet. Másodszor pedig az, hogy a dinamikai törvények, amelyek a testek alkotórészecskéire érvényesek, láthatóan maguknak a testeknek a szintjén is működnek — így a nap, a bolygók, a holdak nagyon jó közelítéssel maguk is részecskeként kezelhetők, és nem kell törődnünk az égitesteket alkotó egyes részecskék összes kis részletezett mozgásával!¹⁰ Megint megússzuk a dolgot „néhány” testtel, a szétszóródás a fázistérben lényegtelen.

Eltekintve az égi mechanikától, a lövedékek viselkedésétől (ami valójában csak speciális esete az égi mechanikának) és a csak kevés számú részecskét tartalmazó, egyszerű rendszerek tanulmányozásától, a newtoni mechanika legfőbb alkalmazásai egyáltalán nem ezek a részletes, „determinisztikusán jósló” számítások. Az általános newtoni rendszert inkább modellek készítésére használjuk, amelyekből a viselkedés általános tulajdonságaira lehet következtetni. A törvények bizonyos pontos következményei, mint az energia, az impulzus és az impulzusmomentum megmaradása, valóban minden skálán jelentősek. Vannak továbbá statisztikus tulajdonságok, amelyeket az egyes részecskéket kormányzó dinamikai törvényekkel lehet kombinálni, és amelyeket a viselkedésre vonatkozó általános jóslatok felállítására lehet használni. (Lásd a termodinamika tárgyalását a 7. fejezetben; a fázistérbeli szétterjedés most vizsgált jelenségének bizonyos közeli kapcsolata van a termodinamika második főtételével, és ezen elvek alapján — kellő gondossággal — eredeti jóslatok lehetségesek.) Jó példa erre Newton saját nevezetes számítása a hang levegőben való terjedésének sebességére (Laplace egy századdal későbbi finom javításával). Ám az valóban nagyon ritka, hogy a newtoni (vagy általánosabban hamiltoni) dinamikában benne rejlő determinizmust ténylegesen felhasználjuk.

A fázistérbeli szétszóródásnak van egy másik nevezetes vonzata. Valójában azt mondja, hogy a klasszikus mechanika nem lehet érvényes világunkra! E következményt valamennyire eltúloztam, de talán nem olyan nagyon. A klasszikus mechanika jól számot tud adni a folyékony testek viselkedéséről — különösen á gázokéról, de a folyadékokéról is elég jól —, ahol a részecskerendszereknek csak „átlagolt” tulajdonságaival törődünk, de nehézségei vannak a szilárd testek szerkezetével kapcsolatban, ahol részletesebb rendezett szerkezetre van szükség. Probléma az, hogyan tarthatja meg alakját egy szilárd test, mikor pontszerű részecskék miriádjaiból áll össze, amelyek szervezett elrendezése a fázistérbeli szétszóródás miatt folyamatosan gyengül. Ma már tudjuk, a kvantumelméletre van szükség ahhoz, hogy a szilárd testek tényleges szerkezetét megfelelően megérthessük. A kvantumos jelenségek valahogyan meg tudják akadályozni ezt a fázistérbeli szétszóródást. A kérdés fontos, később majd vissza kell rá térnünk (lásd a 8. és 9. fejezetet).

A probléma a „számítógép-készítés” kérdésében is lényeges. A fázistérbeli szétfolyás olyan dolog, amit ellenőrzés alatt kell tartani. Nem engedhető meg, hogy egy számítóeszköz „diszkrét” állapotának megfelelő fázistér-tartomány (mint az előbbiekben leírt R₀) túlságosan szétfolyjék. Emlékezzünk vissza, hogy még a Fredkin—Toffoli-féle „biliárdgolyó-számítógépnek” is különálló, szilárd falakra van szüksége, hogy működni tudjon. Egy sok részecskéből összetevődő tárgy „szilárdságának” a működési feltétele a kvantummechanika. Ügy látszik, hogy még egy „klasszikus” számítómasinának is kölcsönöznie kell a kvantumfizika jelenségeiből, hogy hatékonyan működjék!

Maxwell elektromágneses elmélete

A világ newtoni képében piciny részecskékre gondolunk, ezek egymásra a közöttük lévő távolságtól függő erővel hatnak — ha pedig nem teljesen pont- szerűek, akkor alkalmanként, a tényleges fizikai érintkezéskor visszapattannak egymásról. Mint már előbb említettem (192. o.), az elektromos és mágneses erők (mindkettő létezéséről az ókor óta tudnak, részletesebben William Gilbert 1600-ban és Benjámin Franklin 1752-ben kezdte tanulmányozni azokat) a gravitációs erőkhöz hasonlóan hatnak, amennyiben szintén a távolság négyzetével fordított arányban csökkennek, viszont inkább taszítóak, mint vonzóak azaz hasonló a hasonlót taszítja —, és nem a tömeg, hanem az elektromos töltés (illetve a mágneses pólus erőssége) szabja meg az erő nagyságát. Ezen a szinten az elektromosság és a mágnesség nehézség nélkül beilleszthető a newtoni sémába. A fény viselkedése nagyjából (bár némi határozott nehézséggel) szintén leírható vagy úgy, hogy egyedi részecskékből (fotonokból, ahogy ma mondjuk) összeállónak tekintjük, vagy hullámmozgásnak valamilyen közegben, ez utóbbi esetben magát a közeget („étert”) is részecskékből állónak kell gondolnunk.

Az a tény, hogy a mozgó elektromos töltések mágneses erőket kelthetnek további bonyodalmat okozott, de nem zúzta szét az egész elméletet. Számos matematikus és fizikus (köztük Gauss is) javasolt egyenletrendszereket a mozgó elektromos töltések hatásainak leírására, és ezek az általános newtoni keretek között kielégítőnek látszottak. Az első természettudós, aki komoly kihívást intézett a „newtoni” kép ellen, a kiváló angol kísérleti és elméleti szakember, Michael Faraday (1791 —1867) volt.

Hogy e kihívás természetét megértsük, először meg kell barátkoznunk a fizikai mező fogalmával. Tekintsünk először egy mágneses mezőt. A legtöbb Olvasó már látta, hogyan viselkedik a vasreszelék, ha olyan papírra szórjuk, amely alatt mágnes van. A vasreszelék meglepő módon felsorakozik az ún. „mágneses erővonalak” mentén. Ügy képzeljük, hogy az erővonalak akkor is ott maradnak, amikor a vasreszelék nincs ott. Ezek képezik azt, amit mágneses mezőnek nevezünk. Ez a „mező” a tér minden pontjában egy bizonyos irányba mutat, nevezetesen az erővonalak irányába. Ténylegesen egy vektorunk van minden pontban, így a mágneses mező a vektormezőknek egy példája. (Összehasonlíthatnánk a hamiltoni vektormezővel, amelyről az előző szakaszban volt szó, de ez a vektormező most a közönséges térben van, nem a fázistérben.) Hasonlóképpen, egy elektromosan töltött testet egy másfajta mező, az elektromos mező vesz körül, és minden tömeges testet hasonlóan egy gravitációs mező. Ezek is vektormezők a térben.

Ilyen elképzelések már régen Faraday előtt ismertek voltak, és az elméletiek fegyvertárának nagyon komoly részévé váltak a newtoni mechanikában. Azonban az uralkodó nézőpont az ilyen „mezőket” nem tekintette valódi fizikai szubsztanciának. Inkább úgy gondolták, hogy ezekkel lehet „számon tartani” az erőket, amelyek hatnának, ha egy megfelelő részecskét helyeznének a különböző pontokba. Faradayt azonban alapvető kísérleti felfedezései (mozgó tekercsekkel, mágnesekkel és hasonlókkal) arra vezették, hogy az elektromos és mágneses mezőket „valóságos” fizikai anyagnak higgye, sőt mi több, úgy gondolta, hogy a változó elektromos és mágneses mezők olykor képesek egymást az egyébként üres téren „keresztültolni”, így hoznak létre egyfajta testetlen hullámot! Feltételezte, hogy a fény maga is ilyen hullámokból állhat. Ez a nézet eltért az uralkodó „newtoni bölcsességtől”, amelyben az ilyen mezőket semmilyen értelemben nem gondolták „valóságosaknak”, csak kényelmes matematikai segédeszközöknek a „valóság” „igazi” newtoni pontrészecske-távolhatás képéhez.

Szembetalálva magát Faraday kísérleti felfedezéseivel, meg a neves francia fizikus, André Marié Ampére (1775 — 1836) és mások korábbi eredményeivel és megihletve Faraday látomása által James Clerk Maxwell (1831 — 1879), a nagy skót fizikus és matematikus, eltűnődött az elektromos és mágneses mezőkre vonatkozó egyenletek matematikai alakján. Figyelemre méltó meglátással változtatást javasolt az egyenletekben — látszólag talán eléggé csekélyei, de következményeit tekintve alapvetőt. E változtatást egyáltalán nem az ismert kísérleti tények sugallták (bár azokkal összhangban volt), Maxwell saját elméleti, részben fizikai, részben matematikai és részben esztétikai követelményeinek eredménye volt. A Maxwell-egyenletek egyik következménye, hogy az elektromos és mágneses mezők valóban „tolják” egymást az üres téren keresztül. Egy oszcilláló mágneses mező oszcilláló elektromos mezőt kelt (ezt Faraday kísérleti felfedezése sugallta), ez az oszcilláló elektromos mező viszont oszcilláló mágneses mezőt (ami Maxwell elméleti következtetése), ez újra elektromos mezőt és így tovább. (Az ilyen hullámok részletes képét illetően lásd a 6.26., ábrákat a 298 — 299. oldalon.) Maxwell ki tudta számítani, milyen sebességgel terjed e hatás a térben — és azt találta, hogy ez a fény sebessége! Ezek az ún. elektromágneses hullámok mutatják továbbá az interferenciát és a fény rejtélye§ polarizációs tulajdonságait, amelyeket már régóta ismertek (ezekkel a 6. fejezetben a 262. és 298. oldalon fogunk találkozni). Amellett, hogy számot adott a látható fény tulajdonságairól, amikor a hullámhossz egy meghatározott tartományba esik (4-7*10^-7 m), más hullámhosszú elektromágneses hullámokat is megjósolt, amelyeket huzalban folyó elektromos áram kelt. E hullámok létezését kísérletileg a híres német fizikus, Heinrich Hertz mutatta ki 1888-ban. Faraday ihletett reménysége valóban szilárd alapra lelt a csodálatos Maxwell-egyenletekben!

Bár nem lesz szükségünk arra, hogy belemenjünk a Maxwell-egyenletek részleteibe, nem fog ártani, ha vetünk rájuk egy pillantást:

Itt E, B és j rendre az elektromos mezőt, a mágneses mezőt és az elektromos áramot leíró vektormezők; p az elektromos töltéssűrűség, c pedig egy állandó, a fény sebessége.¹¹ A „rot” és „div” jelölésekkel ne törődjünk, ezek különböző térbeli változásokra utalnak. (A térkoordináta szerinti parciális differenciálások bizonyos kombinációi. Emlékezzünk vissza a parciális differenciálás ϑ szimbólummal jelölt műveletére, amellyel a Hamilton-egyenleteknél már találkoztunk.) Az első két egyenlet bal oldalán látható ϑ/ϑt operátor tulajdonképpen ugyanaz, mint a Hamilton-egyenletekben használt „pont”, a különbség csupán technikai. Így ϑE/ϑt „az elektromos mező változási sebességét”, ϑB/ϑt „a mágneses mező változási sebességét” jelöli. Az első egyenlet* megmondja, hogyan változik időben az elektromos mező attól függően, mit csinál pillanatnyilag a mágneses mező és az elektromos áram; a második egyenlet azt mondja meg, hogyan változik időben a mágneses mező attól függően, mit csinál pillanatnyilag az elektromos mező. A harmadik egyenlet durván szólva az inverz négyzetes törvény egy rejtett alakja, megmondja, milyen kapcsolatban kell legyen az elektromos mező a pillanatnyi töltéseloszlással; míg a negyedik egyenlet ugyanez lenne a mágneses mezőre, csakhogy „mágneses töltések” (különálló északi vagy déli pólusú részecskék) nincsenek.

Ezek az egyenletek annyiban hasonlítanak a Hamilton-egyenletekre, hogy megmondják, mi kell legyen a lényeges mennyiségek (most az elektromos és mágneses mező) időbeli változási sebessége az adott időpontbeli értékeikkel kifejezve. Így a Maxwell-egyenletek éppen úgy determinisztikusak, mint ahogy a közönséges Hamilton-egyenletek. Az egyetlen különbség az — és ez lényeges különbség —, hogy a Maxwell-egyenletek nem részecske-, ha nem mezőegyenletek, ami annyit jelent, hogy a rendszer, állapotának leírásához végtelen számú paraméterre van szükség (a mező vektorokra a tér minden egyes pontjában), és nem véges számúra, mint a részecskeelméletben) (három hely- és három impulzuskoordinátára minden részecskénél).

*A ϑE/ϑt jelenléte ebben az egyenletben Maxwell elméleti következtetésű mestervágása. Az egyenletek összes többi tagja közvetlen kísérleti bizonyítékokból már tulajdonképpen ismert volt. Az 1/c² együttható nagyon kicsi, ezért nem figyelték meg ezt a tagot kísérletileg.

 

Így a Maxwell-elméletnél a fázistér egy végtelen dimenziószámú tér! (Mint korábban említet- tem, a Maxweli-egyenleteket ténylegesen be lehet illeszteni az általános hamiltoni keretbe, de ezt a keretet a végtelen dimenzió miatt egy kissé ki kell tágítani.)¹²

A fizikai valóságról alkotott képünkben, ahogy azt a Maxwell-elmélet mutatja, az előző eseten túlmenően az az alapvetően új alkotórész, hogy most mezőket kell saját jogukon komolyan vennünk, nem lehet ezeket csupán a newtoni elmélet „valódi” részecskéihez tartozó matematikai függeléknek tekintenünk. Maxwell megmutatta, hogy amikor a mezők elektromágneses hullámként terjednek, határozott mennyiségű energiát visznek magukkal. Meg tudta adni ennek az energiának explicit kifejezését. E figyelemre méltó tényt, hogy ezekkel a „testetlen” elektromágneses hullámokkal energiát lehet helyről helyre szállítani, kísérletileg az erősítette meg, hogy Hertz észlelt ilyen hullámokat. Ma számunkra teljesen megszokott — bár a tény még mindig nagyon meglepő —, hogy a rádióhullámok valóban képesek energia szállítására!

Kiszámíthatóság és a hullámegyenlet

Maxwell egyenleteiből képes volt közvetlenül levezetni, hogy a tér azon tartományaiban, ahol töltések és áramok nincsenek (azaz, ahol j = 0, p = 0 a fenti egyenletekben), ott az elektromos és a mágneses mező minden komponensének ki kell elégítenie egy hullámegyenlet néven ismert egyenletet.* A hullámegyenlet a Maxwell-egyenletek „egyszerűsített változatának” tekinthető, mert egyetlen mennyiségre vonatkozó egyenlet, nem szerepel benne az elektromos és mágneses mezőknek mind a hat komponense. Megoldásai hullámszerű viselkedést mutatnak, s nem rendelkeznek olyanféle járulékos bonyodalmakkal, mint a Maxwell-elmélet „polarizációja” (az elektromos vektormező iránya, (lásd 297. o.).

A hullámegyenletnek van számunkra egy további érdekessége, mert kiszámíthatóság. tulajdonságait explicit módon tanulmányozták. Marian Boykan Pour-El és lan Richards (1979, 1981, 1982) meg tudták mutatni, hogy bár a hullámegyenletek megoldásai a szokásos értelemben determinisztikusán viselkednek — azaz egy kezdeti időpontban előírt adatok meghatározzák a megoldást minden más időpontban —, léteznek bizonyos „sajátos” jellegű kiszámítható kezdeti adatok, amelyeknek megvan az a tulajdonságuk, hogy a mező elvileg meghatározott értéke egy későbbi kiszámítható időpontban ténylegesen nem kiszámítható.

Így egy tetszetős fizikai mezőelmélet (jóllehet nem a mi világunkra ténylegesen igaz Maxwell-elmélet) egyenletei a Pour-El- és Richards- féle értelemben mutathatnak nem kiszámítható fejlődést!

Ránézésre ez eléggé ijesztő eredmény — és úgy látszik, ellentmond annak, amit az előző fejezetben az „ésszerű” hamiltoni rendszerek valószínű kiszámíthatóságáról feltételeztem. Míg azonban a Pour-El—Richards-féle eredmény bizonyára meglepő és matematikailag lényeges, fizikai értelemben valójában nem mond ellent a sejtésnek. Az ok az, hogy a „sajátos” jellegű kezdeti adatok nem „simán változóak”,¹³ amit pedig egy fizikailag értelmes mezőtől rendesen megkövetelnénk. Pour-El és Richards ténylegesen bebizonyították, hogy a hullámegyenletben nem léphet fel nemkiszámíthatóság, ha az ilyen jellegű mezőt nem engedjük meg. Mindenesetre még ha meg is engedjük, nehezen látható, hogyan használhatná ki az ilyen nemkiszámíthatóságot bármilyen fizikai „eszköz” (mint az emberi agy?). Jelentősége csak akkor lehet, ha tetszőlegesen pontos méréseket engedünk meg, ami, mint korábban leírtam, fizikailag nem nagyon valószerű. Mindazonáltal a Pour-El—Richards-féle eredmények egy olyan fontos kutatás érdekes kezdeteit jelentik, amelyben eddig még keveset végeztek.

A Lorentz-féle mozgásegyenlet; elfutó részecskék

A Maxwell-egyenletek önmagukban nem alkotnak igazán teljes egyenletrendszert. Csodálatosan leírják az elektromos-és mágneses, mező terjedését, ha adott az elektromos töltések és áramok eloszlása. E töltések fizikailag töltött részecskék — ahogy ma tudjuk, főként elektronok és protonok —, az áramok pedig e részecskék mozgásából származnak. Ha tudjuk, hol vannak a részecskék és hogyan mozognak, akkor a Maxwell-egyenletek megmondják, hogyan viselkedik az elektromágneses mező. Nem mondják meg viszont, hogyan viselkednek maguk a részecskék. "A kérdésre a választ részben már Maxwell idejében ismerték, de kielégítő egyenletrendszert 1895-ig nem írtak fel. Ekkor Hendrick Antoon Lorentz a speciális relativitáselmélettel rokon elképzeléseket használva levezette azt, amit ma egy töltött részecske Lorentz-féle mozgásegyenletének nevezünk. Ezek az egyenletek megmondják, hogyan változik folytonosan egy töltött részecske sebessége az elektromos és mágneses mezőnek azon pontbeli értékétől függően, ahol a részecske éppen található.¹⁴ Ha a Maxwell-egyenletekhez hozzátesszük a Lorentz-egyenleteket, akkor megkapjuk mind a töltött részecskék, mind az elektromágneses mező időben fejlődésének szabályait.

Nincs azonban minden rendben ezzel az egyenletrendszerrel. Kitűnő eredményeket ad akkor, ha a mezők nagyon egyenletesek egészen a részecskék átmérőinek méretéig lemenő skálákig (e méretnek az elektron „klasszikus sugarát” vesszük, ami kb. 10^-15 m), és ha a részecskék mozgása nem túl heves. Van azonban itt egy elvi nehézség, amely más körülmények között fontos lehet. A Lorentz-egyenlet azt mondja nekünk, vizsgáljuk meg az elektromágneses mezőt pontosan abban a pontban, amelyben a töltött részecske van (hogy megtudjuk az „erőt” abban a pontban). Hol legyen ez a pont, ha a részecske mérete véges? Vegyük talán a részecske „középpontját”, vagy átlagoljuk a mezőt (hogy az erőt megkapjuk) a felület pontjaira? Ez különbséget eredményezhet, ha a mező a részecske skáláján nem egyenletes. Van egy másik, komolyabb probléma: milyen is valójában a mező a részecske felületén (vagy középpontjában)? Ne felejtsük el, hogy töltött részecskéről van szó. Maga is kelt elektromágneses mezőt, ezt hozzá kell adni a „háttérmezőhöz”, amelyben a részecske ül. „Felületéhez” nagyon közel a részecske saját mezője roppant erőssé válik, könnyen elnyom minden más mezőt. Továbbá a részecske mezője körös-körül többé-kevésbé közvetlenül kifelé (befelé) mutat, így a tényleges eredő mező, amelyre a részecskének válaszolnia kell, egyáltalán nem egyenletes, a részecske „felületén” különböző helyeken különböző irányokba mutat, nem is beszélve a „belsejéről” (5.15. ábra). Most el kell kezdjünk azon morfondírozni, nem akarják-e a különböző erők elforgatni, eltorzítani a részecskét, és meg kell kérdeznünk, milyen rugalmas tulajdonságai vannak stb. (és különösen problematikus pontok vannak itt a relativitással kapcsolatban, amelyekkel nem fogom gyötörni az Olvasót). Nyilvánvaló, hogy a kérdés sokkal-sokkal bonyolultabb, mint amilyennek előzőleg látszott.

5.15. ábra. Hogyan alkalmazzuk szigorúan a Lorentz-féle mozgásegyenleteket? Egy töltött részecskére ható erőt nem lehet egyszerűen úgy megkapni, hogy megvizsgáljuk a mezőt a részecske „helyén”, mert ott a részecske saját mezője dominál

 

Talán jobb, ha a részecskéket pontszerűeknek tekintjük. Ez azonban másféle problémákhoz vezet, mert saját elektromos mezője a részecske közvetlen szomszédságában végtelenné válik. Ha a részecskét a Lorentz-egyenletek szerint a saját helyén lévő elektromos mező irányítja, akkor egy végtelen mezőre kell válaszolnia! Hogy a Lorentz-erőtörvénynek értelme legyen, meg kell találnunk a módját annak, hogy levonjuk a részecske saját mezőjét, és így a véges háttérmező maradjon meg, amelyre a részecske egyértelműen tud válaszolni. A problémát, hogy ezt hogyan kell csinálni, 1938-ban Dirac oldotta meg (akiről később megint fogunk hallani). Dirac megoldása azonban riasztó következtetésekhez vezetett. Azt találta, hogy a részecskék és mezők viselkedését kezdeti adataik csak akkor határozzák meg, ha nem csak kezdeti helye és sebessége ismert minden részecskének, hanem a kezdeti gyorsulások is (ami a szokásos dinamikai elméleteket tekintve eléggé rendhagyó. ) E kezdeti gyorsulás legtöbb értéke mellett a részecske végül teljesen őrült módon viselkedik, önmagát gyorsítja olyan sebességre, amely nagyon gyorsan közelít a fény sebességéhez! Ezek Dirac „elfutó megoldásai”, amelyek nem felelnek meg semmi olyannak, ami a Természetben valóban megtörténik. A kezdeti gyorsulások helyes megválasztásával módot kell találni az elfutó megoldások kizárására. Ez mindig megtehető, de csak úgy, ha „jövőbelátást” építünk be — azaz a kezdeti gyorsulásokat olyan módon kell előírnunk, amely előre látja, mely megoldások válnak végül elfutókká, és elkerüli ezeket. Ez egyáltalán nem az a mód, ahogy egy szabványos, determinisztikus fizikai problémában a kezdeti adatokat előírjuk. A hagyományos determinizmusban ezek az adatok tetszőlegesen adhatók meg, minden megkötés nélkül a jövőbeli viselkedést illetően. Itt most nemcsak arról van szó, hogy a jövő tökéletesen meghatározott egy múltbeli időpontban előírható adatokkal, de magát az adatok előírását nagyon pontosan megszorítja az a követelmény, hogy a jövőbeli viselkedés valóban „ésszerű” legyen!

Eddig jutunk el az alapvető klasszikus egyenletekkel. Az Olvasó látja, hogy a determinizmus és a kiszámíthatóság kérdése a klasszikus fizikai törvényekben zavarossá vált. Van-e valóban teleologikus elem a fizikai törvényekben, befolyásolja-e valahogy a jövő azt, hogy mi történhetett meg a múltban? A fizikusok a klasszikus elektrodinamika (a klasszikus töltött részecskék és az elektromos és mágneses mezők elmélete) ilyen velejáróit rendesen nem tekintik a valóság komoly leírásainak. Szokásos válaszuk a fenti nehézségekre az, hogy az egyedi töltött részecskék szigorúan véve tulajdonképpen a kvantumelektrodinamika birodalmába tartoznak, és nem várhatjuk, hogy szigorúan klasszikus eljárással értelmes válaszokat kapjunk. Ez kétségtelenül igaz, de amint később látni fogjuk, magának a kvantumelméletnek is vannak e téren problémái. Dirac valójában pontosan azért vizsgálta a töltött részecskék dinamikájának klasszikus problémáját, mert úgy gondolta, hogy az ötleteket adhat a (fizikailag megfelelőbb) kvantumos probléma még nagyobb, alapvető nehézségeinek megoldásához. A kvantumelmélet problémáival később kell szembenéznünk!

Einstein és Poincaré speciális relativitáselmélete

Emlékezzünk vissza a Galilei-féle relativitási elvre, amely azt mondja, hogy Galilei és Newton fizikai törvényei teljesen változatlanok maradnak, ha álló vonatkoztatási rendszerből mozgóra térünk át. Ez azzal jár, hogy a szomszédságunkban lévő objektumok dinamikai viselkedésének egyszerű vizsgálatával nem tudjuk megállapítani, vajon állunk-e vagy egyenletes sebességgel mozgunk valamilyen irányban. (Emlékezzünk Galilei hajójára a tengeren, 187. o.) Tegyük azonban fel, hogy e törvényekhez hozzátesszük Maxwell-egyenleteit. Igaz marad-e ekkor is a Galilei-féle relativitás? Idézzük fel, hogy Maxwell elektromágneses hullámai állandó c sebességgel, a fény sebességével terjednek. A józan ész látszólag azt mondja, hogy ha nagyon gyorsan utazunk egy irányban, akkor azt kell látnunk, hogy a fény sebessége abban az irányban c alá csökken (mert úgy mozgunk, hogy abban az irányban utolérjük a fényt), az ellenkező irányban pedig megfelelően c fölé nő (mert eltávolodunk a fénytől) — tehát különbözik a Maxwell-elmélet rögzített értékétől. A józan észnek valóban igaza van: a kombinált Newton- és Maxwell-egyenletek nem elégítik ki a Galilei-féle relativitást.

Az ilyen dolgokon való töprengés vezette el 1905-ben Einsteint — mint ahogy valójában előtte (1898 és 1905 között) Poincarét is — a speciális relativitáselmélethez. Poincaré és Einstein egymástól függetlenül azt találták, hogy a Maxwell-egyenletek is kielégítenek egy relativitási elvet, azaz az egyenletek hasonlóképpen változatlanok maradnak, ha álló vonatkoztatási rendszerről mozgóra térünk át, noha az áttérés szabályai eltérőek a Galilei — Newton-féle fizikára érvényesektől! Hogy a kettő összeférjen egymással, vagy az egyik, vagy a másik egyenletrendszert módosítani kell — vagy elhagyni a relativitási elvet.

Einsteinnek nem állt szándékában elhagyni a relativitás elvét. Csodálatos fizikai ösztönével ragaszkodott ahhoz, hogy egy ilyen elvnek érvényesnek kell lennie világunk fizikai törvényeire. Jól tudta továbbá, hogy a Galilei — Newtonféle fizikát tulajdonképpen minden ismert jelenségben csak a fénysebességhez képest nagyon kicsi sebességekre ellenőrizték, ahol az eltérés nem jelentős. Csak magát a fényt ismerték, mint olyat, ahol elég nagy sebességek fordulnak elő ahhoz, hogy az eltérések fontosak legyenek. Ezért a fény viselkedése világosíthatna fel bennünket arról, melyik relativitási elvet kell elfogadnunk — a fény viselkedését pedig a Maxwell-egyenletek kormányozzák. Ezért a Maxwell-elméletre érvényes relativitási elvet kell megtartani; a Galilei—Newton-féle törvényeket pedig eszerint kell módosítani!

Lorentz, Poincaré és Einstein előtt, szintén felvetette és részben megválaszolta ezeket a kérdéseket. 1895-ben azt a nézetet fogadta el, hogy az anyagot összetartó erők elektromágneses természetűek (ahogy az valóban kiderült), ezért a valóságos anyagi testek viselkedése a Maxwell-egyenletekből származtatott törvényeknek kell eleget tegyen. Ennek egyik következménye az, hogy egy fénysebességhez közeli sebességgel mozgó test a mozgás irányában kismértékben összehúzódik („Fitzgerald—Lorentz-féle kontrakció”). Lorentz ezt egy rejtélyes kísérleti felfedezés magyarázatára használta. Az 1887-es Michelson — Morley-kísérlet volt ez, amely azt látszott mutatni, hogy az elektromágneses jelenségeket nem lehet egy „abszolút” nyugalmi rendszer meghatározására használni. (Michelson és Morley megmutatta, hogy a fény sebességét a Föld felszínén nem befolyásolja a Föld Nap körüli mozgása — nagyon komoly ellentétben a várakozásokkal.) Az anyag mindig úgy viselkedik-e, hogy (egyenletes) mozgását nem lehet lokálisan észlelni? Ez volt Lorentz hozzávetőleges következtetése; ő az anyag egy speciális elméletére korlátozódott, amelyben az elektromágneses erőkön kívül más erőket nem tekintettek lényegesnek. Poincaré, aki kitűnő matematikus volt, meg tudta mutatni (1905-ben), hogy van az anyag viselkedésének egy olyan egzakt, a Maxwell-egyenletek mögött húzódó relativitási elvnek eleget tevő módja, hogy az egyenletes mozgás lokálisan egyáltalán nem észlelhető. Nagyon sokat megértett az elv fizikai következményeiből is (többek között az „egyidejűség viszonylagosságát”, amire rövidesen sort kerítünk). Ügy tetszik, ő ezt csupán egy lehetőségnek tekintette, és nem osztotta Einstein meggyőződését, hogy valamilyen relativitási elvnek érvényesnek kell lennie.

A Maxwell-egyenletek által kielégített relativitási elvet — amely speciális relativitás néven vált ismertté — egy kissé nehéz felfogni, és sok olyan nemintuitív vonása van, amelyeket első ránézésre nehéz a mi világunk valóságos tulajdonságainak elfogadni. A speciális relativitást nem lehet megfelelően értelmezni egy további alkotórész nélkül, amelyet 1908-ban vezetett be az igen eredeti és ötletdús orosz-német geométer, Herrmann Minkowski (1864 — 1909). Ö Einstein egyik tanára volt a Zürichi Műegyetemen. Alapvető új elképzelése az volt, hogy a teret és időt, mint egyetlen dolgot, együtt kell vizsgálni: ez a négydimenziós téridő. 1908-ban a Göttingeni Egyetemen tartott híres előadásán Minkowski kijelentette:

Ezentúl az önmagában vett tér és az önmagában vett idő az árnyékvilágban való eltűnésre van ítélve, és csak a kettő egyfajta egyesítése őrzi meg független realitását.

Próbáljuk megérteni a speciális relativitás alapjait Minkowski nagyszerű téridőképén keresztül! A téridőfogalommal való megbarátkozás egyik nehézsége az, hogy négydimenziós, ami nehézzé teszi a megjelenítést. Ám miután túléltük találkozásunkat a fázistérrel, a csupán négy dimenzióval már semmi bajunk nem lesz! Mint előbb, most is „csalni” fogunk, és kevesebb dimenziójú teret ábrázolunk — a csalás mértéke azonban most összehasonlíthatatlanul kisebb, képünk ennek megfelelően pontosabb lesz. Két dimenzió (egy térbeli és egy időbeli) sokféle célra elegendő lenne, de remélem, az Olvasó megengedi nekem, hogy kissé merészebb legyek, és felmenjek háromig (két térbeli, egy időbeli). Ez nagyon jó képet fog nyújtani, és nem lesz nehéz elfogadni, hogy az elképzelések nem sok változtatással elvileg kiterjeszthetőek a teljes négydimenziós helyzetre. A téridődiagramról azt kell észben tartanunk, hogy minden pontja egy eseményt ábrázol — azaz egy pontot a térben egyetlen időpontban, egy pontnak ugyanis csak pillanatnyi létezése van. A teljes diagram az egész történetet, múltat, jelent, jövőt ábrázolja. Egy részecskét, mert az időben tovább él, nem pont, hanem vonal ábrázol, amelyet a részecske világvonalának nevezünk. A világvonal a részecske teljes történetét leírja: egyenes, ha a részecske egyenletesen mozog, görbült, ha gyorsul (azaz mozgása nem egyenletes).

Az 5.16. ábrán egy két tér- és egy idődimenziós téridőt rajzoltam le. Képzeljük el, hogy függőleges irányban mérve van egy szabványos t időkoordináta, vízszintesen mérve pedig két térkoordináta, x/c és z/c.* A középen lévő kúp az 0 téridő kezdőpont (jövőbe mutató) fénykúpja. Hogy jelentőségét érzékeljük, képzeljünk el egy robbanást az O eseménynél. (A robbanás tehát a térbeli kezdőpontban, a t = 0 időpontban következik be.) A robbanásnál kibocsátott fény története ez a fénykúp. Kétdimenziós térben a fényvillanás története egy c fénysebességgel kifelé mozgó kör volna. A teljes háromdimenziós térben egy c sebességgel kifelé mozgó gömb — a fény gömb alakú hullámfrontja, de itt most elhagyjuk az y térbeli irányt, így csak egy kört kapunk, hasonlót, mint a tóba dobott kő vízbeérési pontjából kiinduló kör alakú fodrok. A téridőképen is láthatjuk ezt a kört, ha gyorsan mozogva felfelé egymás után vízszintes metszeteket készítünk a kúpból. Ezek a vízszintes síkok különböző térbeli leírásokat ábrázolnak, ahogy a t időkoordináta nő. Na már most, a relativitáselmélet egyik sajátsága az, hogy egy anyagi részecske nem mozoghat gyorsabban a fénynél (erről többet később). A robbanásból jövő minden anyagi részecske le kell maradjon a fény mögött. A téridőképben ez azt jelenti, hogy a robbanásban kibocsátott összes részecske világvonalának a fénykúpon belül kell feküdnie.

A fényt gyakran kényelmes — fotonoknak nevezett — részecskék segítségével leírni. Pillanatnyilag gondolhatunk úgy egy „fotonra”, mint az elektromágneses mező nagyfrekvenciás oszcillációjának egy kis „csomagjára”.

*A térkoordinátákat azért osztjuk el c-vel — a fény sebességével —, hogy a fotonok világvonalai kényelmes szögben dőljenek: a függőlegessel 45°-ot zárjanak be; lásd később.

 

5.16. ábra. A Minkowski-féle téridő fénykúpja (két térbeli dimenzióval) egy robbanás felvillanásának történetét írja le, amely a téridő kezdőpontjában lévő O eseménynél következik

be

 

A fotonkép fizikailag megfelelőbb a kvantumos leírás összefüggéseiben, erről a következő fejezetben lesz szó, de most a „klasszikus” fotonok is segítségünkre lesznek. A fotonok szabad térben mindig egyenes vonalakon mozognak a c alapsebességgel. Ez azt jelenti, hogy a Minkowski-féle téridőképben egy foton világvonala mindig egy a függőlegessel 45°-os szöget bezáró, egyenes vonal. Az O-ban történt robbanásban keletkezett fotonok rajzolják meg az O középpontú fénykúpot.

Ezek a tulajdonságok általánosan, a téridő minden pontjára érvényesek kell legyenek. A kezdőpontot nem tünteti ki semmi: az O pont nem különbözik semelyik másik ponttól. Ezért a téridő minden pontjában kell legyen egy fénykúp, amelynek ugyanaz a jelentése, mint a kezdőpontbeli fénykúpnak. Minden fényfelvillanás története — vagy ha jobban szeretjük a fény részecske leírását, akkor a fotonok világvonalai — mindig minden pontban a fénykúp mentén halad(nak), míg egy anyagi részecske története mindig minden pontban a fénykúpon belül kell legyen. Ezt mutatja az 5.17. ábra. A pontokhoz tartozó fénykúpok családja a téridő Minkowski-geometriája részének tekinthető.

5.17. ábra. A Minkowski-geometria egy képe

Mi a Minkowski-geometria? Legfontosabb vonása a fénykúpszerkezet, de több annál. Van benne egy „távolság”-fogalom, amely figyelemre méltó hasonlóságokat mutat az euklideszi geometria távolságával. A háromdimenziós euklideszi geometriában egy pontnak a kezdőponttól mért r távolsága, a szokásos derékszögű koordinátákkal kifejezve, a következő:

r² = x² + y² + z².

(Lásd 5.18a. ábra. Ez éppen a Pitagorasz-tétel — kétdimenziós alakja talán jobban megszokott.) Háromdimenziós Minkowski-geometriánkban a kifejezés formailag nagyon hasonló (5.18b. ábra), a lényeges különbség az, hogy most két mínuszjel van benne:

s² = t² - (x/c)² - (z/c)².

Helyesebben szólva, Minkowski-geometriánk természetesen négydimenziós, és a „távolság” kifejezése a következő:

s² = t² - (x/c)² - (y/c)² - (z/c)².

Mi a fizikai jelentése az s „távolság”-mennyiségnek ebben a kifejezésben? Tegyük fel, hogy a kérdéses pont — azaz a {t,x/c,y/c,z/c} (vagy a három-dimenziós esetben a {t, x/c, z/c}) koordinátákkal adott P pont — O (jövőbe mutató) fénykúpján belül fekszik. Ekkor az OP egyenes' szakasz egy anyagi részecske — mondjuk a robbanásban keletkező valamelyik részecske — történetének egy szakaszát ábrázolhatja. Az OP szakasz s Minkowski-„hosszának” közvetlen fizikai értelmezése van. Ez az az időtartam, amelyet a részecske valójában átélt az O és P események között!

5.18. ábra. Az euklideszi geometria (a) és a Minkowski-geometria (b) „távolság”-mertékének összehasonlítása (a „távolság” az „átélt időt" jelenti)

 

Azaz ha volna egy, a részecskéhez rögzített, nagyon tartós és pontos óra,¹⁵ akkor az O-ban és P-ben észlelt idők közötti különbség pontosan s volna. A várakozásokkal ellentétben maga a t koordináta mennyiség nem adja meg a pontos óra által mért időt, hacsak az nincs koordináta-rendszerünkben „nyugalomban” (azaz x/c,y/c,z/c koordinátái rögzítettek), ami azt jelenti, hogy az óra világvonala a diagramon „függőleges”. Így „t” csak a nyugalomban lévő (azaz „függőleges” világvonalú) megfigyelők számára jelent „időt”. Mozgó (az 0 kezdőponttól egyenletesen távolodó) megfigyelőnél az idő helyes mértékét a speciális relativitáselmélet szerint az s mennyiség adja.

Ez nagyon figyelemreméltó — és teljesen eltér az idő „hétköznapi”, Galilei - Newton-féle mértékétől, ami egyszerűen a t koordinátaérték volna. Jegyezzük meg, hogy az s relativisztikus (Minkowski-féle) időmérték valamivel mindig kisebb, mint t, ha egyáltalán van mozgás (mert a fenti képlet szerint s² kisebb, mint t², amikor csak x/c, y/c és z/c nem mind nulla). A mozgás (azaz, ha OP nincs a t-tengely mentén) „lelassítja” az órát t-hez képest, azaz koordináta-rendszerünkből nézve. Ha a mozgás sebessége c-hez képest kicsi, akkor 5 és t majdnem azonos, ami megmagyarázza, miért nem vagyunk közvetlenül tudatában annak, hogy „a mozgó órák késnek”. A másik szélsőséges esetben, amikor a sebesség maga a fénysebesség, P a fénykúpon fekszik; és azt találjuk, hogy s = 0. A fénykúp pontosan azon pontok halmaza, amelyeknek O-tól mért „Minkowski-távolsága” (azaz „ideje”) éppen nulla. Így egy foton egyáltalán nem „tapasztalja” az idő múlását! (A még szélsőségesebb eset, amikor P a kúpon kívülre esik, nincs megengedve, mert ez képzetes s-hez vezetne — negatív szám négyzetgyöke képzetes — és sértené azt a szabályt, hogy anyagi részecskék vagy fotonok nem mozoghatnak gyorsabban, mint a fény.*)

A Minkowski-féle „távolság”-fogalom egyformán jól alkalmazható a téridő „bármely” pontpárjára, amelyeknél az egyik a másik fénykúpjában fekszik — vagyis egy részecske elmehetne az egyikből a másikba. Helyezzük át O-t a téridő egy másik pontjába. A pontok közötti Minkowski-távolság ismét azt az időtartamot méri, amelyet az egyikből a másikba egyenletesen mozgó óra tapasztal. Ha megengedjük, hogy a részecske foton legyen, és így a Minkowski- távolság zérussá váljon, akkor két olyan pontot kapunk, amelyek közül az egyik rajta van a másik fénykúpján — ez a körülmény szolgál egy pont fénykúpjának definiálására.

A Minkowski-geometria alapvető szerkezete a „hossz” e furcsa mértékével a világvonalakon — amit a fizikai órák által mért (vagy „tapasztalt”) időként értelmezünk — tartalmazza a speciális relativitáselmélet igazi lényegét. Megismerkedhet az Olvasó például a relativitás ún. ikerparadoxonával: egy ikerpár egyik tagja a Földön marad, a másik kirándulást tesz egy közeli csillagra, a fénysebességet megközelítő nagy sebességgel utazik oda és vissza. Visszaérkezésekor az ikrek úgy találják, hogy különbözőképpen öregedtek meg, az utazó még életerős ifjú, míg otthon maradt testvére öregember. A Minkowski-geometria segítségével ez könnyen leírható — és látható, hogy bár a jelenség rejtélyes, valójában miért nem paradoxon. Az AC világvonal az otthon maradó ikret ábrázolja, míg az utazó világvonala az AB és BC szakaszokból tevődik össze, ezek ábrázolják az utazás odafelé és visszafelé tartó részét (lásd 5.19. ábra). Az otthon maradó iker az AC Minkowski-távolsággal mért idő elmúlását tapasztalja, míg az utazó a két Minkowski-távolság, AB és BC összegével¹⁶ adott időét. Ezek az idők nem egyenlőek, azt találjuk, hogy

AC > AB + BC,

ami mutatja, hogy az otthon maradó által tapasztalt idő nagyobb, mint az utazó által megélt.

A fenti egyenlőtlenség eléggé hasonlít a közönséges euklideszi geometria jól ismert háromszög-egyenlőtlenségéhez, amely szerint (A, B és C most az euklideszi tér három pontja):

AC < AB + BC,

ami azt állítja, hogy egy háromszög két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik.

 

*Azonban az s² negatív értékeivel elválasztott eseményekre a c*gyök(-s²) mennyiségnek van jelentése, nevezetesen a közönséges távolság — azon megfigyelő számara, akinek az események egyidejűnek látszanak (vö. később).

 

5.19. ábra. A speciális relativitáselmélet ún. „ikerparadoxona" megérthető a Minkowski-féle háromszög-egyenlőtlenség alapján. (Összehasonlításképpen az euklideszi esetet is

feltüntetjük.)

 

Ezt nem tekintjük paradoxonnak! Ahhoz teljesen hozzászoktunk, hogy egy út mentén két pont (most A és C) közötti távolság euklideszi mértéke a valóságosan megtett úttól függ. (Esetünkben az egyik AC, a hosszabb, megtört út ABC.) Ez a példa speciális esete annak a ténynek, hogy két pont (most A és C) között a legrövidebb távolságot az őket összekötő egyenes vonal (az AC vonal) mentén mérjük. Az egyenlőtlenség irányának megfordulása a Minkowski-esetben a „távolság” definíciójában fellépő előjelváltásból származik, ezért a Minkowski-féle AC Rosszabb”, mint az ABC egyesített út. E Minkowski-féle „háromszög-egyenlőtlenség” is egy általánosabb eredmény speciális példája: két eseményt összekötő világvonalak között a leghosszabb (a legnagyobb észlelt idő értelmében) az egyenes (azaz a gyorsulás nélküli). Ha két iker ugyanattól az A eseménytől indul és ugyanannál a C eseménynél fejezi be útját, közben az első közvetlenül, gyorsulás nélkül mozog A-tól C-ig, a másik viszont gyorsul, akkor az első mindig hosszabb idő elteltét tapasztalja, amikor újra találkoznak.

Erőszakoknak tűnhet, hogy intuitív fogalmainktól eltérően ilyen különös időmérést vezetünk be. Mára azonban már nagy mennyiségű kísérleti bizonyíték gyűlt össze ennek alátámasztására. Van például sok szubatomi részecske, amelyek bomlásainak (azaz más részecskékre való széteséseinek) ideje meghatározott. Ezek a részecskék olykor a fénysebességhez nagyon közeli sebességgel mozognak (például a kozmikus sugarakban, amelyek a világűrből érkeznek a Földre, vagy az ember készítette részecskegyorsítókban) és bomlásidejük pontosan úgy növekszik meg, ahogy azt a fenti meggondolásokból levezethetjük. Még meggyőzőbb az a tény, hogy ma már olyan pontos órák („nukleáris órák”) készíthetők, hogy ezek az időlassító hatások közvetlenül észlelhetők gyors, alacsonyan szálló repülőkön vitt órák segítségével — ezek a Minkowski-féle s „távolság”-mértéket erősítik meg és nem t-t! (Figyelembe véve a repülőgép magasságát, szigorúan számítva az általános relativitáselmélet kis, járulékos gravitációs hatásai is közbeszólnak, de ezek is egyeznek a megfigyeléssel; lásd a következő fejezetet.) Van még sok más, a speciális relativitás egész szerkezetével szoros kapcsolatban álló jelenség, amelyek folyamatosan részletes igazolást nyernek. Ezek egyikének, Einstein híres

E = mc²

összefüggésének, amely hatásosan fejezi ki az energia és a tömeg egyenértékűségét, e fejezet vége felé tantaluszi kínokat okozó következményei lesznek számunkra!

Nem magyaráztam még el, hogyan illeszkedik be a relativitás elve a dolgoknak ebbe a rendjébe. Hogyan van az, hogy a különböző nagyságú, egyenletes sebességgel mozgó megfigyelők a Minkowski-geometriát illetően egyenértékűek lehetnek? Hogyan lehet az 5.16. ábra időtengelye („nyugvó megfigyelő”) teljesen egyenértékű egy másik egyenes világvonallal, mondjuk a meghosszabított OP-vel („mozgó megfigyelő”)? Gondoljunk először az euklideszi geometriára. Bármely két egyenes vonal nyilvánvalóan teljesen egyenértékű egymással a geometria mint egész szempontjából. Elképzelhetjük, hogy az egész euklideszi teret „önmaga fölött mereven elcsúsztatjuk” addig, amíg az egyik egyenes a másik helyzetét veszi fel. Gondoljunk a kétdimenziós esetre, az euklideszi síkra. Képzeljük el, hogy egy darab papírt mozgatunk mereven egy síkfelületen úgy, hogy a papírra rajzolt tetszőleges egyenes vonal egybeesik a felület egy adott egyenes vonalával. Ez a merev mozgás megőrzi a geometria szerkezetét. Bár kevésbé nyilvánvalóan, de valami hasonló érvényes a Minkowski-geometriára, óvatosan kell viszont bánni a „merev” szóval. A csúsztatott papírdarab helyébe most egy sajátos anyagot kell gondolnunk — az egyszerűség kedvéért vegyük először a kétdimenziós esetet —, amelyben a 45°-os vonalak 45°-osak maradnak, az anyag ki tud nyúlni az egyik 45°-os irányban és megfelelően összehúzódni a másikban. Ezt mutatja az 5.20. ábra. Az 5.21. ábrán megpróbáltam érzékeltetni, mi történik a háromdimenziós esetben.

5.20. ábra. Poincaré-mozgás két téridő-dimenzióban

 

5.21. ábra. Poincaré-mozgás három téridő-dimenzióban. A bal oldali kép N, a jobb oldali M számára egyidejű tereket mutat. Jegyezzük meg, hogy N szerint R megelőzi Q-t, míg M szerint Q előzi meg R-et. (A mozgást itt annyira passzívnak gondoljuk, hogy csak a különböző leírásokat befolyásolja, amelyeket a két megfigyelő, N és M adna ugyanarról a téridőről)

 

A Minkowski-térnek ez a fajta „merev mozgása” — amelyet Poincaré-mozgásnak (vagy inhomogén Lorentz-mozgásnak) hívnak —, bár nem néz ki nagyon „merevnek”, de megőriz minden Minkowski-távolságot, és „megőrizni minden távolságot”, éppen ez az, amit a „merev” szó az euklideszi esetben jelent. A speciális relativitás elve azt állítja, hogy a fizika a téridő ilyen Poincaré-mozgásai során nem változik. Speciálisan az N „nyugvó” megfigyelő, akinek világvonala az 5.16. ábrán látható eredeti Minkowski-képünk időtengelye, tökéletesen egyenértékű fizikát lát az OP világvonalú M „mozgó” megfigyelő fizikájával.

Minden t = állandó koordinátasík a „teret” ábrázolja egy „időpontban” az N megfigyelő számára, azaz események egy családját, amelyeket ő egyidejűnek (azaz mindegyiket „azonos időpontban” bekövetkezőnek) tekint. Nevezzük ezeket a síkokat N egyidejű tereinek. Amikor áttérünk egy másik M megfigyelőhöz, akkor egyidejű tereink eredeti családját egy új családba kell Poincaré-mozgással átvinnünk, hogy megkapjuk az M számára egyidejű tereket.¹⁷ Vegyük észre, hogy M egyidejű terei az 5.21. ábrán „felbillenteknek” látszanak. Ez a billenés rossz irányúnak tűnhet, ha az euklideszi geometria merev mozgásaiban gondolkodunk, de a Minkowski-esetben ezt kell várnunk. Amíg N azt gondolja, hogy tetszőleges t = állandó síkon minden esemény egy időben következik be, addig M másként látja a dolgokat: számára az ezekben a „felbillent” egyidejű terekben bekövetkező események látszanak egyidejűeknek! A Minkowski-geometriában önmagában nincs általános „egyidejűség” fogalom; minden egyenletesen mozgó megfigyelőnek saját elképzelése van arról, mit jelent az, hogy „egyidejű”.

5.22. ábra. Két ember, A és B lassan sétál el egymás mellett, de egymástól eltérően látják azt, hogy az Androméda űrhajó találkozásuk pillanatában elindult-e már

Tekintsük az 5.21. ábra két eseményét, R-et és Q-t. N szerint az R esemény megelőzi a Q-t, mert R korábbi egyidejű térben fekszik, mint Q; M szerint azonban más a helyzet, Q fekszik R-nél korábbi egyidejű térben. Így az egyik megfigyelő számára az R esemény megelőzi a Q-t, de a másik számára a Q előzi meg az R-et! (Ez csak azért történhet meg, mert R és Q térszerűen elválasztottak, ami azt jelenti, hogy mindkettő a másik fénykúpján kívül fekszik, anyagi részecske vagy foton nem utazhat át egyik eseménytől a másikig.) Nagy távolságra lévő eseményeknél, még egészen csekély relatív sebességek mellett is, jelentős különbségek lépnek fel az időrendezésben. Képzeljünk el két embert, amint lassan elsétálnak az utcán egymás mellett. Azok az Androméda-galaxisban (a Tejútunkhoz legközelebbi nagy galaxisban, kb. 20 000 000 000 000 000 000 km távolságban) lezajló események, amelyeket a két ember egymás melletti elhaladásukkal egyidejűnek ítél meg, több napnyi különbséget is mutathatnak (5.22. ábra). Az egyik ember szerint az űrhajó, amely azzal a szándékkal indul, hogy a Földön megsemmisítse az életet, már úton van; míg a másik szerint még a döntés sem született meg arról, hogy elindítsák-e az űrhajót vagy sem!

Einstein általános relativitáselmélete

Idézzük fel Galilei nagy meglátását, mely szerint gravitációs mezőben minden test egyenlő gyorsan esik. (Ez meglátás volt, és nem teljes mértékben közvetlen megfigyelés, mert a levegő ellenállása miatt a toll és a kő nem esik egyformán! Galilei azt ismerte fel, hogy ha a levegő ellenállását nullára lehetne csökkenteni, akkor egyformán esnének.) Három évszázad telt el, míg e meglátás mély jelentőségét igazán felismerték és sarokkőként illesztették be egy nagy elméletbe. Ez az elmélet Einstein általános relativitáselmélete — a gravitáció rendkívüli módon való leírása. Amint rövidesen megértjük, ennek megvalósításához a görbült téridő fogalmára volt szükség!

Mi köze van Galilei meglátásának a „téridőgörbület” elképzeléséhez? Hogyan lehetséges, hogy egy ilyen elképzelés, láthatóan annyira különböző Newton rendszerétől, amelyben a részecskék a közönséges gravitációs erő hatására gyorsulnak, képes reprodukálni, sőt megjavítani annak az elméletnek minden szuper pontosságát? Továbbmenve, valóban igaz lehet-e, hogy Galilei régi meglátása tartalmazott valamit, ami Newton elméletébe nincs beépítve?

Hadd kezdjem az utolsó kérdéssel, mert ezt a legkönnyebb megválaszolni. Mi szabja meg a gravitáció hatása alatt álló test gyorsulását a Newton-elmélet szerint? Először: van a testre ható gravitációs erő, amelyről a gravitációs vonzás Newton-törvénye azt mondja, hogy arányos a test tömegével. Másodszor: adott erő mellett a test gyorsulása Newton második törvénye szerint fordítva arányos a test tömegével. Galilei meglátása azon a tényen alapul, hogy a Newton-féle gravitációs erőtörvényben szereplő „tömeg” ugyanaz, mint a Newton második törvényében szereplő „tömeg”. (Az azonosság helyett elegendő az arányosság.) Ez biztosítja, hogy a gravitáció hatására a test gyorsulása valóban független a tömegétől. Newton általános rendszerében semmi olyan nincs, ami megkövetelné, hogy ez a két tömegfogalom azonos legyen. Ezt Newton egyszerűen posztulálta. Az elektromos erők hasonlóak a gravitációsokhoz annyiban, hogy mindkettő inverz négyzetes erő, de előbbiek az elektromos töltéstől függnek, ami teljesen más, mint a Newton második törvényében szereplő tömeg. „Galilei meglátása” az elektromos erőkre nem alkalmazható: elektromos mezőben „elejtett” (töltött) tárgyak egyáltalán nem azonos sebességgel „esnek”!

Most egyelőre egyszerűen fogadjuk el Galilei meglátását — a gravitációs mozgásra —, és keressük annak következményeit. Képzeljük el, hogy Galilei a pisai Ferde Toronyból leejt két szikladarabot. Ha az egyiken lenne egy videókamera a másikra irányítva, akkor a képen, amelyet mutatna, egy térben lebegő kő volna, látszólag nem befolyásolva a gravitációtól (5.23. ábra)! Ez pontosan azért van így, mert gravitáció hatására minden tárgy azonos sebességgel esik.

A levegő ellenállását most figyelmen kívül hagytuk. Az űrrepülés ma az elképzelések jobb ellenőrzését kínálja, mert a világűrben valóban nincs levegő. Ott az „esés” a megfelelő gravitációs pályán való mozgást jelenti. Nem kell, hogy ez az „esés” lefelé, a Föld középpontja felé irányuljon. A mozgásnak vízszintes összetevője is lehet. Ha ez a vízszintes összetevő elég nagy, akkor lehet úgy „esni” a Föld körül, hogy a talajhoz semmivel nem jutunk közelebb! Gravitáció hatására szabad pályán mozogni, az „esés” egy finom (és nagyon drága!) módja. Na már most, éppen úgy, mint az előző videókamera esetében, egy „űrsétát” végző űrhajós járművét úgy látja, hogy az előtte lebeg, az alatta lévő hatalmas Földgolyó gravitációs erejétől nem befolyásolva! (Lásd az 5.24. ábrát.) Így a gravitáció hatásait lokálisan ki lehet küszöbölni oly módon, hogy áttérünk a szabadesés „gyorsuló vonatkoztatási rendszerére”.

5.23. ábra. Galilei két sziklát (és egy videókamerát) ejt ki a pisai Ferde Toronyból

5.24. ábra. Az űrhajós járművét lebegni látja maga előtt, látszólag nem befolyásolva a gravitációtól

A gravitáció a szabadeséssel ily módon kioltható, mert a gravitációs mező hatásai éppen olyanok, mint a gyorsulásé. Valóban, a felfelé gyorsuló lift belsejében a gravitációs mező növekedését érezzük, a lefelé gyorsulóban csökkenését. Ha a liftet tartó kötél elszakadna, akkor (a légellenállást és a súrlódást elhanyagolva) a létrejövő lefelé irányuló gyorsulás teljesen megszüntetné a gravitáció hatását, és a lift utasai — mint előbb az űrhajós — szabadon lebegnének, míg a lift be nem csapódna a földbe! A gyorsulás még egy vonatban vagy repülőgépen is lehet olyan, hogy a gravitáció nagyságát és irányát nem úgy érezzük, mint ahogy vizuális tapasztalatunk sugallná. Ez azért van így, mert a gyorsulás és a gravitáció hatásai hasonlóak, ezért érzékeink képtelenek azokat megkülönböztetni egymástól. Ezt a tényt — hogy a gravitáció lokális hatásai egyenértékűek egy gyorsuló vonatkoztatási rendszeréivel — Einstein az ekvivalencia elvének nevezte.

Á fenti megfontolások „lokálisak”. Ám ha elegendően pontos (és nem egészen lokális) méréseket tudunk végezni, akkor elvileg kideríthetünk egy különbséget az „igazi” gravitációs mező és az egyszerű gyorsulás között. Az 5.25. ábrán kissé eltúlozva azt mutatom be, hogyan kezdené befolyásolni a (newtoni) gravitációs mező nemegyenletessége a Föld gravitációs mezőjében szabadon eső részecskék kezdeti stacionárius, gömbszimmetrikus elrendezését. A mező két okból nem egyenletes. Először azért, mert a Föld középpontja véges távolságban van, a Föld felszínéhez közelebbi részecskék jobban gyorsulnak lefelé, mint azok, amelyek magasabban vannak (emlékezzünk Newton inverz négyzetes törvényére). Másodszor azért, mert ugyanezen okból a gyorsulás irányában is lesznek csekély különbségek a vízszintesen eltérő helyzetű részecskéknél. E nemegyenletesség következtében a gömbalak kissé torzulni kezd: egy „ellipszoidba”. A Föld középpontjának irányában (és az ellentétes irányban) megnyúlik, mert a középponthoz közelebbi részecskék valamivel nagyobb gyorsulást tapasztalnak, mint a távolabbiak; vízszintes irányban összehúzódik annak következtében, hogy a gyorsulás egy kissé befelé, a Föld középpontjának irányába mutat.

5.25. ábra. Az árapályjelenség. A kettős nyilak a relatív gyorsulást mutatják (WEYL)

 

Ez a torzító hatás úgy ismert, mint a gravitáció árapályjelensége. Ha a Föld középpontját a Holddal, a részecskegömböt pedig a Föld felületével helyettesítjük, akkor pontosan előttünk áll a Hold árapályt előidéző hatása, mind a Hold irányában, mind az ellentétes irányban kidagadás jön létre. Az árapályjelenség a gravitációs mezőknek általános tulajdonsága, amelyet szabadeséssel nem lehet „kioltani”. Ez a jelenség a newtoni gravitációs mező nemegyenletességét méri. (Az árapálytorzítás nagysága a vonzócentrumtól mért távolság inverz köbe és nem inverz négyzete szerint csökken.)

Newton inverz négyzetes erőtörvényét az árapályjelenség segítségével egyszerűen lehet értelmezni: annak az ellipszoidnak a térfogata, amellyé a gömb kezdetben¹⁸ torzul, egyenlő az eredeti gömb térfogatával — ha a gömb vákuumot vesz körül. Ez a térfogat tulajdonság az inverz négyzetes törvényre jellemző; más erőtörvényre nem érvényes. Tegyük most fel, hogy a gömb nem vákuumot, hanem M össztömegű anyagot vesz körül. Az anyag gravitációs vonzásának következtében a gyorsulásnak most lesz egy további, befelé mutató összetevője. Az ellipszoid térfogata, amelybe részecskegömbünk kezdetben átmegy, összehúzódik — M-mel arányos mértékben. Egy példa a térfogatcsökkentő hatásra, ha gömbünkkel a Földet vesszük körbe állandó magasságban (5.26. ábra). Ekkor a Föld gravitációja által okozott, szokásos lefelé (azaz befelé) mutató gyorsulás okozza gömbünk térfogatának csökkenését. Ez a térfogatcsökkentő tulajdonság szabja meg Newton gravitációs erőtörvényének maradék részét, nevezetesen azt, hogy az erő arányos a vonzó test tömegével.

5.26. ábra. Amikor a gömb anyagot vesz körül (itt a Földet), akkor van befelé mutató gyorsulás (RICCI)

Próbáljunk téridőképet készíteni a helyzetről. Az 5.27. ábrán (az 5.25. ábrán körrel ábrázolt) gömbfelületünk részecskéinek világvonalait tüntettem fel, a leírást abban a rendszerben végzem, amelyben a gömb középpontja nyugalomban van („szabadon esik”). Az általános relativitáselmélet a szabadesést „természetes mozgásnak” tekinti — a gravitációmentes fizika „egyenesvonalú, egyenletes mozgásának” mintájára. Ezért úgy próbálunk gondolni a szabadesésre, mint amelyet „egyenes” világvonal ír le a téridőben! Ám az 5.27. ábra tanúsága szerint zavaró az „egyenes” szó használata, és a terminológiát követve a szabadon eső részecskék világvonalait a téridő geodetikusainak fogjuk nevezni.

5.27. ábra. Téridőgörbület: az árapály-jelenség a téridőben ábrázolva

Jó-e ez a terminológia? Mit értünk rendesen „geodetikuson”? Vizsgáljunk meg egy hasonló helyzetet egy kétdimenziós görbült felületen. A geodetikusok azok a görbék a felületen, amelyek (lokálisan) a „legrövidebb utak”. Ha gondolatban egy rugót húzunk ki a felületen (nem túl hosszút, mert akkor elcsúszhat), akkor az a felület egy geodetikusa mentén fog elhelyezkedni. Az 5.28. ábrán két példát mutatok a felületekre, az elsőt „pozitív görbületűnek” nevezik (a gömb felületéhez hasonló), a második „negatív görbületű” (nyeregszerű felület). A pozitív görbületű felületen két szomszédos geodetikus, amelyek egymással párhuzamosan indulnak, egymás felé kezdenek hajlani; a negatív görbületűn egymástól szét hajlanak. Ha elképzeljük, hogy a szabadon eső részecskék világvonalai valamilyen értelemben olyanok, mint egy felület geodetikusai, akkor látjuk, hogy közeli a hasonlóság az előbb tárgyalt gravitációs árapály-jelenség és egy felület görbületi hatásai között — most azonban a pozitív és negatív görbületi hatások egyaránt jelen vannak. Nézzünk az 5.25. és 5.27. ábrákra. Látjuk, hogy téridő-„geodetikusaink” az egyik irányban kezdenek szerváim egymástól (amikor a Föld irányába haladnak) — mint a negatív görbületű felületen az 5.28. ábrán —, a másik irányban egymás felé kezdenek hajlani — mint az 5.28. ábra pozitív görbületű felületén. Valóban úgy látszik, hogy téridőnknek „görbülete” van, hasonlóan kétféle felületünkhöz, de a magasabb dimenzió miatt azoknál bonyolultabb, és különböző elmozdulásoknál pozitív és negatív görbületek összekeveredve jelentkeznek.

5.28. ábra. Geodetikusok egy görbült felületen. Pozitív görbület esetén a geodetikusok összetartanak, negatív görbület esetén pedig széttartanak

Ez mutatja, hogyan használható a „görbület” fogalma a téridőben a gravitációs mezők hatásának leírására. Az ilyen leírás használatának lehetősége végül is Galilei meglátásából (az ekvivalencia elvéből) következik, és megengedi, hogy a szabadeséssel kiküszöböljük a gravitációs „erőt”. Amit eddig mondtam, az nem követeli meg, hogy túlmenjünk Newton elméletén. Az új kép csak átfogalmazása az elméletnek.¹⁹ Új fizika keletkezik azonban, amikor ezt a képet megpróbáljuk összekombinálni azzal, amit megtanultunk a speciális relativitás Minkowski-féle leírásából — a téridő geometriájából, amelyről már tudjuk, hogy gravitáció hiányában alkalmazható. A kombináció eredménye Einstein általános relativitáselmélete.

Emlékezzünk rá, mit tanított nekünk Minkowski. Van egy téridőnk (gravitáció nélkül), amelynek két pontja között egy sajátos „távolság”-mértéket definiáltunk: ha van a téridőben egy részecske történetét leíró világvonal, akkor a világvonal mentén mért „Minkowski-távolság” azt az időt adja meg, amely a részecske tapasztalata szerint ténylegesen eltelik. (Az előző szakaszban ezt a „távolságot” csak egyenes darabokból álló világvonalak mentén értelmeztük, de az állítás görbült világvonalakra is érvényes, amelyeknél a „távolságot” a görbe mentén mérjük.) Minkowski geometriáját egzaktnak vesszük, ha nincs gravitációs mező — azaz nincs téridő görbület. Amikor azonban gravitáció van jelen, akkor a Minkowski-geometriát csak közelítőnek tekintjük — ugyanúgy, ahogy egy sima felület csak közelítő leírását adja egy görbült felület geometriájának. Ha elképzeljük, hogy egyre erősebb mikroszkóppal vizsgálunk egy görbült felületet — ekkor a felület geometriája egyre nagyobb mértékben látszik megnyújtottnak —, akkor a felület egyre simábbnak látszik. Azt mondjuk, hogy egy görbült felület lokálisan olyan, mint egy euklideszi sík.²⁰ Ugyanígy azt mondhatjuk, hogy gravitáció jelenlétében a téridő lokálisan Minkowski-geometriához hasonló (ami sima téridő), de nagyobb skálán megengedünk bizonyos „görbültséget” (lásd az 5.29. ábrát). A téridő minden pontja egy fénykúp csúcsa, éppen úgy, mint a Minkowski-térben, de ezek a fénykúpok nem teljesen egyformán állnak, nem olyan egyenletesen, mint a Minkowski-térben. A 7. fejezetben látni fogjuk a téridőmodellek néhány példáját, amelyekben ez a nemegyenletesség szemmel látható (vö. a 7.13, 7.14. ábrákat a 361. oldalon). Az anyagi részecskék világvonalai olyan görbék, amelyek mindig a fénykúpok belsejében haladnak, a fotonok görbéi a fénykúpok mentén. Bármelyik görbe mentén van „Minkowski-távolság”, amely a részecskék által átélt időt méri éppúgy, mint a Minkowski-térben. E távolságmérték a görbült felületekhez hasonlóan egy geometriát definiál a felületen, amely különbözhet a sík geometriájától.

A téridő-geodetikusoknak most hasonló értelmezés adható, mint a kétdimenziós felületek előbb vizsgált geodetikusainak, de nem szabad elfelejtkeznünk a Minkowski- és euklideszi helyzetek különbségeiről. Így geodetikus világvonalaink a téridőben nem (lokálisan) minimális hosszúságú görbék, hanem olyanok, amelyek (lokálisan) maximálják a „távolságot” (azaz időt) a világvonal mentén. A gravitáció hatására szabad mozgást végző részecskék világvonalai e szabály szerint valóban geodetikusok. Így speciálisan e geodetikusok jól leírják a gravitációs mezőben mozgó égitesteket. Továbbmenve: az üres térben a fénysugarak (a fotonok világvonalai) szintén geodetikusok, de ezek zérus „hosszúságúak”.21 Példaként az 5.30. ábrán vázlatosan felrajzoltam a Föld és a Nap világvonalait: a Föld Nap körüli mozgása egy „dugóhúzó”-szerű geodetikus a Nap világvonala körül. Bejelöltem egy fotont is, amely egy távoli csillagból jut a Földre. Ennek világvonala kissé „íveltnek” látszik annak következtében, hogy a fényt Einstein elmélete szerint a Nap gravitációs mezője elhajlítja.

5.30. ábra. A Föld és a Nap világvonalai és egy távoli csillagból érkező fénysugár, amelyet a Nap elhajlít

Azt kell még megnéznünk, hogyan kell Newton inverz négyzetes törvényét beépíteni — és megfelelően módosítani, hogy összhangban legyen Einstein relativitásával. Térjünk vissza a gravitációs mezőben eső részecskegömbhöz. Emlékezzünk arra, hogy ha a gömb csupán a vákuumot veszi körül, akkor térfogata a Newton-elmélet szerint kezdetben nem változik, de ha M össztömegű anyagot vesz körül, akkor M-mel arányos térfogatcsökkenés lép fel. Az Einstein-elméletben a szabályok (egy kis gömbre) éppen ugyanezek, kivéve hogy nem pontosan M határozza meg a térfogatváltozást; van egy további (rendesen nagyon kicsi) járulék, amely a körülvett anyag nyomásától származik.

A négydimenziós téridő görbületének teljes matematikai kifejezését (amelynek egy adott pontban minden lehetséges irányban mozgó részecskékre le kell írnia az árapályjelenséget) az ún. Riemann-féle görbületi tenzor adja meg. Ez eléggé bonyolult valami, megadásához minden pontban húsz valós szám szükséges. Ezt a húsz számot a tenzor komponenseinek nevezzük. A különböző komponensek a téridő különböző irányainak különböző görbületeire vonatkoznak. A Riemann-féle görbületi tenzorra rendszerint az R_ijkl jelölést használják, de az egyszerűség kedvéért azt fogom írni, hogy

RIEMANN.

E tenzort egy bizonyos módon két részre lehet bontani, Weyl-tenzornak nevezik az egyik részt, Ricci-tenzornak a másikat (mindkettőnek tíz komponense van). E szétbontást jelképesen így fogom írni:

RIEMANN = WEYL + RICCI.

(A részletes kifejezések különösebben nem segítenének bennünket.) A WEYL Weyl-tenzor szabadon eső részecskegömbünk árapálytorzítását méri (a kezdeti alakváltozást és nem a méretváltozást), a RICCI Ricci-tenzor pedig a kezdeti térfogatváltozást.²² Emlékezzünk vissza, hogy a newtoni gravitációs elmélet szerint az eső gömb által körülvett tömeg arányos e kezdeti térfogatcsökkenéssel. Ez durván szólva azt mondja nekünk, hogy az anyag tömegsűrűségét — vagy ami ezzel egyenértékű, energiasűrűségét (mert E = mc²) — a Ricci-tenzorral kell egyenlővé tenni.

Alapvetően ennyit állítanak az általános relativitáselmélet mezőegyenletei nevezetesen az Einstein-féle mezőegyenletek?³ Vannak azonban ezzel kapcsolatban bizonyos technikai dolgok, amelyeket most jobb nem firtatni. Elég lesz annyi, hogy van egy energia-impulzus tenzornak nevezett mennyiség, amely összefogja az anyag és az elektromágneses mezők energiájára, nyomására és impulzusára vonatkozó összes lényeges információt. Ezt a tenzort úgy fogom jelölni, hogy ENERGIA. Az Einstein-egyenletek nagyon formálisan a

RICCI = ENERGIA

alakban írhatók. (A „nyomás” jelenléte az ENERGIA tenzorban, valamint az egész egyenletrendszerre vonatkozó konzisztenciakövetelmények — ezek együttes következménye, hogy a nyomás szintén hozzájárul az előbb leírt térfogatcsökkentő hatáshoz.)

Az egyenlet, úgy látszik, semmit nem mond a Weyl-tenzorról. Ez azonban fontos mennyiség. Az üres térben tapasztalt árapályjelenség teljesen a WEYL következménye. A fenti Einstein-egyenletek valójában maguk után vonják, hogy vannak differenciálegyenletek, amelyek a WEYL-t kötik össze az ENERGIÁ-val, eléggé hasonlóak, mint a korábban megismert Maxwell- egyenletek.²⁴ Valóban gyümölcsöző nézőpont úgy tekinteni WEYL-t, mint az (E, B) párral leírt elektromágneses mezőmennyiségek egyfajta gravitációs analogonját (ténylegesen ezek is tenzort alkotnak — a Maxwell-tenzort). Így bizonyos értelemben WEYL a gravitációs mezőt méri. A WEYL „forrása” az ENERGIA tenzor, ami analóg azzal, hogy az (E, B) elektromágneses mező forrása (p, j), tehát a Maxwell-elmélet töltései és áramai. Ez a nézőpont segítségünkre lesz a 7. fejezetben.

Ha a megfogalmazás és az alapul szolgáló ideák ilyen meglepő különbségeire gondolunk, akkor figyelemre méltó lehet, hogy nehéz megfigyelhető különbségeket találni az Einstein-elmélet és ama másik között, amelyet Newton állított fel két és fél évszázaddal korábban. Feltéve azonban, hogy a szóban forgó sebességek a fény c sebességéhez képest kicsik, és hogy a gravitációs mezők nem túl erősek (a szökési sebességek sokkal kisebbek, mint c; vö. 7. fejezet, 359. o.), az Einstein-elmélet a Newtonéval tulajdonképpen azonos eredményeket ad. Ám azokban az esetekben, amelyekben a két elmélet jóslatai különböznek, az Einstein-elmélet a pontosabb. Ma már van néhány ilyen, nagyon meggyőző kísérleti ellenőrzés, amelyek teljesen igazolják Einstein modernebb elméletét. Az órák gravitációs mezőben, ahogy Einstein állította, nagyon picit késnek. Ezt a jelenséget mára már sok különböző módon közvetlenül megmérték. A Nap valóban eltéríti a fényt és a rádiójeleket, és e találkozás kissé lelassítja azokat — ezek is jól ellenőrzött hatásai az általános relativitásnak. Az űrszondák és bolygók mozgásában a newtoni pályákhoz kis korrekciók járulnak, amint azt Einstein elmélete megköveteli; kísérletileg ezt is igazolták. (A Merkúr bolygó mozgásában fellelhető, „perihéliumelfordulás” néven ismert anomáliát, amely a csillagászokat 1859 óta foglalkoztatja, Einstein 1915-ben megmagyarázta.) Mindközül talán a legmeggyőzőbb a két kicsi, nagy tömegű csillagból (feltehetően „neutroncsillagokból”, vö. 358. o.) álló, kettős pulzárnak nevezett rendszeren végzett megfigyeléssorozat, amely nagyon jól egyezik Einstein elméletével, és közvetett módon igazol egy olyan jelenséget, a gravitációs hullámok kibocsátását, amely Newton elméletéből teljesen hiányzik. (A gravitációs hullám az elektromágneses hullám gravitációs analogonja, amely a fény c sebességével terjed.) Nincs olyan megerősített megfigyelés, amely ellentmond Einstein általános relativitáselméletének. Minden kezdeti furcsasága ellenére Einstein elmélete határozottan a mi kincsünk!

Relativisztikus kauzalitás és determinizmus

Emlékezzünk arra, hogy a relativitáselméletben az anyagi testek nem mozoghatnak a fénynél gyorsabban — abban az értelemben, hogy világvonalaiknak mindig a fénykúpokon belül kell haladniuk (vö. 5.29. ábra). (Az általános relativitáselméletben a dolgokat ilyen lokális módon kell megfogalmaznunk. A fénykúpok nem rendeződnek el egyenletesen, így nem volna sok értelme azt mondani, hogy egy nagyon távoli részecske sebessége felülmúlja-e az itteni fénysebességet.) A fotonok világvonalai a fénykúpok mentén fekszenek, de semmilyen részecske világvonala nem haladhat a kúpokon kívül. Valójában egy általánosabb állításnak kell igaznak lennie, nevezetesen annak, hogy semmilyen jel nem mehet a fénykúpon kívül.

5.31. ábra. Egy jel, amely a W megfigyelő szerint gyorsabb, mint a fény, az U megfigyelő szerint hátrafelé mozog az időben. A jobb oldali (b) kép nem más, mint a bal oldali (a) kép U szempontjából felrajzolva. (Ez az átrajzolás egy Poincaré-mozgásnak gondolható. Hasonlítsuk össze az 5.21. ábrával — itt azonban az (a)-ról (b)-re való transzformációt aktív és nem passzív értelemben kell vennünk)

Hogy megértsük, miért kell ennek így lennie, nézzük meg a Minkowski-térről rajzolt képeket (5.31. ábra). Tegyük fel, hogy készítettünk egy eszközt, amely a fényénél kicsit nagyobb sebességű jelet képes küldeni. A W megfigyelő jelet küld ezzel az eszközzel a világvonalán lévő A eseményből egy távoli B eseményhez, amely valamivel A fénykúpja alatt fekszik. Az 5.31a. ábrán ezt W nézőpontjából rajzoltuk le, de az 5.31b. ábrán az egészet újrarajzoltuk egy második, U megfigyelő nézőpontjából, aki gyorsan távolodik W-től (mondjuk egy A és B közötti ponttól), és akinek számára a B esemény korábbinak látszik, mint az A! (Ez az „átrajzolás” egy Poincaré-mozgás, amint azt korábban már leírtuk, 225. o.) U egyidejű terei W nézőpontjából „megbillenteknek” látszanak, ezért láthatja U korábbinak a B eseményt, mint az A-1. Így a W által kibocsátott jelet U az időben visszafelé mozgónak látná!

Ez még nem teljesen ellentmondás. Ám nézzük most a dolgokat U nézőpontjából, szimmetrikusan (a speciális relativitás elve szerint). Egy harmadik, megfigyelő U-tól W-vel ellentétes irányban távolodva, ugyanolyan eszközzel felszerelve, mint W, szintén ki tudna bocsátani egy a fénynél valamivel gyorsabb jelet az ő (azaz V) nézőpontjából hátrafelé, U irányába. U ezt a jelet is az időben hátrafelé mozgónak látná, most az ellentétes térbeli irányban. V leadhatna ezt a második jelet W felé hátra abban a pillanatban (B), amikor ő megkapja a W által küldött eredeti jelet. A második jel W-t egy C eseménynél éri el, amely U megítélése szerint korábbi, mint az eredeti kibocsátás A eseménye (5.32. ábra). Ám ennél még rosszabb, hogy a C esemény W saját világvonalán korábbi, mint az A, így W a C esemény bekövetkeztét valójában előbb tapasztalja, mint ahogy A-nál a jelet ő kibocsátja! Az üzenet, amelyet a megfigyelő visszaküld W-hez, előzetes megegyezés alapján egyszerűen megismételhetné a P-ben kapott üzenetet. Így W világvonalán korábbi időpontban kapja meg ugyanazt az üzenetet, mint amelyet ő küld később! A két megfigyelőt elegendően nagy távolságra szétválasztva elérhető, hogy a visszatérő jel olyan nagy időkülönbséggel előzze meg az eredeti jelet, amilyennel csak akarjuk. W eredeti üzenete talán az, hogy eltörte a lábát. A visszaküldött üzenetet még azelőtt megkaphatná, mielőtt a baleset bekövetkezne, és így (feltehetően) szabad akaratából elkerülhetné azt!

Így a „fénynél gyorsabb” jeladás és Einstein relativitási elve együtt ordító ellentmondáshoz vezet normális „szabad akarat” érzésünkkel. A dolog ennél valójában még komolyabb.

5.32. ábra. Ha V és W fel vannak szerelve ugyanolyan, a fénynél gyorsabb jelet kibocsátó eszközzel, és ezeket ellentétes irányba állítják be, akkor W üzenetet küldhet a saját múltjába!

Elképzelhetnénk, hogy talán a „W megfigyelő” csupán egy úgy programozott mechanikus eszköz, hogy „IGEN” üzenetet küldjön, ha „NEM”-et kap és fordítva. V is lehet mechanikus eszköz, de úgy programozva, hogy ha „NEM”-et kap, küldje vissza a „NEM”-et, ha „IGEN”-t kap, küldje vissza az „IGEN”-t. Ez ugyanahhoz a lényeges ellentmondáshoz vezet, amelyet az előbb láttunk,²⁵ most látszólag függetlenül attól a kérdéstől, van-e vagy nincs a W megfigyelőnek „szabad akarata”, és azt mondja nekünk, hogy egy fénynél gyorsabb jelet kibocsátó eszköz „nem működhet” mint fizikai lehetőség. Ennek a későbbiekben még lesznek rejtélyes következményei (6. fejezet, 314. o.).

Fogadjuk tehát el, hogy semmiféle jel — nem csupán a közönséges fizikai részecskék által hordozottak — nem kerülhet a fénykúpokon kívülre. Az előző érvelés a speciális relativitást használja, de a speciális elmélet szabályai lokálisan érvényesek maradnak az általános relativitáselméletben. A speciális relativitás lokális érvényessége mondja azt, hogy a fénykúpok magukba zárnak minden jelet, ezért ez igaz kell legyen az általános elméletben is. Látni fogjuk, hogyan befolyásolja ez a determinizmus kérdését ezekben az elméletekben. Emlékezzünk vissza, hogy a newtoni (vagy hamiltoni stb.) rendszerben a „determinizmus” azt jelenti, hogy „egy speciális időpontbeli kezdeti adatok” teljesen meghatározzák a viselkedést minden más időpontban. Ha a newtoni elméletben téridő-leírásmódot alkalmazunk, a „speciális időpont”, amelyben az adatokat előírjuk, a négydimenziós téridő valamely háromdimenziós „metszete” volna (azaz az egész tér abban az egy időpontban). A relativitáselméletben nincs globális „idő”, ami erre a célra kiválasztható volna. A szokásos eljárás az, hogy rugalmasabb hozzáállást fogadunk el. Bárki „ideje” megteszi. A speciális relativitáselméletben a kezdeti adatok előírására az előbbi „metszetnek” bármelyik megfigyelő egyidejű terét vehetjük. Az általános relativitáselméletben azonban az „egyidejű tér” fogalom nem jól meghatározott. Helyette a térszerű felület általánosabb fogalmát használhatjuk.²⁶ Egy ilyen felület látható az 5.33. ábrán; az jellemzi, hogy minden pontjánál teljesen kívül van az ottani fénykúpon — így lokálisan egy egyidejű térre emlékeztet.

A speciális relativitáselméletben a determinizmus úgy fogalmazható meg, hogy a tetszőlegesen adott S egyidejű téren rögzített kezdeti adatok meghatározzák a viselkedést az egész téridőben. (Ez a Maxwell-elméletre is igaz, amely valójában „speciális-relativisztikus” elmélet.) Lehet azonban erősebb állítást is tenni. Ha tudni akarjuk, mi fog történni az S jövőjében fekvő valamely P eseménynél, ahhoz a kezdeti adatokat nem kell az egész S-ben tudnunk, csak egy korlátos (véges) tartományában. Ennek oka az, hogy az „információ” nem terjedhet gyorsabban, mint a fény, így S-nek azok a pontjai, amelyek túl messze fekszenek ahhoz, hogy belőlük fényjel érje el P-t, nem lehetnek hatással P-re (lásd az 5.34. ábrái).*

5.33. ábra. Egy térszerű felület a kezdeti adatok előírására az általános relativitáselméletben

Ez sokkal kielégítőbb, mint a newtoni esetben létrejövő helyzet, ahol elvileg tudnunk kellene, mi történt a teljes végtelen „metszeten”, hogy egyáltalán jóslatot tehessünk, mi fog történni tetszőleges pontban egy pillanattal később. Nincs megszorítás arra, milyen sebességgel terjedhet a newtoni információ, a newtoni erők valójában pillanatszerűek.

5.34. ábra. A speciális relativitáselméletben csak egy egyidejű tér véges tartományának adataitól függ, mi történik P-ben. Ennek oka az, hogy a hatások nem terjedhetnek P felé a fénynél gyorsabban

A „determinizmus” az általános relativitáselméletben jóval bonyolultabb dolog, mint a speciálisban, és csak néhány megjegyzést fogok ezzel kapcsolatban tenni. Elsősorban egy S térszerű felületet (és nem egyidejű felületet) kell használnunk a kezdeti adatok előírására. Ekkor az a helyzet, hogy az Einstein- egyenletek a gravitációs mező lokálisan determinisztikus viselkedését adják, feltéve (mint szokásosan), hogy az ENERGIA tenzorhoz járulékot adó anyagmezők determinisztikusán viselkednek.

*Megjegyezhetjük, hogy a hullámegyenlet (vö. lábjegyzet, 212. o.) a Maxwell-egyenletekhez hasonlóan relativisztikus egyenlet. Ezért a korábban tárgyalt Pour-El — Richards-féle „nem- kiszámíthatósági jelenség” szintén csak az S korlátos tartományából származó kezdeti adatokra vonatkozik.

 

Vannak azonban jelentős bonyodalmak. Maga a téridő geometriája — fénykúp „kauzalitás”-szerkezetével együtt most része annak, ami ténylegesen meghatározásra kerül. E fénykúpszerkezetet időben előre nem ismerjük, így nem tudjuk megmondani, S mely részeire van szükség, hogy meghatározzuk a viselkedést egy jövőbeli P eseménynél. Bizonyos szélsőséges esetekben előfordulhat, hogy az egész S sem elegendő, következésképpen a globális determinizmus elvész! (Nehéz kérdések kerülnek itt elő, és az általános relativitáselmélet egy fontos megoldatlan problémájához, az ún. „kozmikus cenzúrához” kapcsolódnak — aminek köze van a fekete lyukak létrejöttéhez. Nagyon valószínűtlennek látszik, hogy a „szélsőséges” gravitációs mezőknél esetleg bekövetkező, bármiféle „determinizmuskudarcnak” közvetlen hatása volna az emberi skálájú dolgokra, de a fentiekből láthatjuk, hogy a determinizmus kérdése az általános relativitáselméletben távolról sem annyira világos, mint ahogy kívánhatnánk.

Kiszámíthatóság a klasszikus fizikában: hogyan is állunk?

E fejezetben végig próbáltam szemmel tartani a kiszámíthatóság kérdését, mint ami különbözik a determinizmusétól, és próbáltam jelezni, hogy amikor a „szabad akarat” és a szellemi jelenségek kérdéseit tárgyaljuk, akkor a kiszámíthatósági problémák legalább annyira fontosak, mint a determinizmus. Kiderült azonban, hogy a determinizmus önmagában sem egészen olyan világos a klasszikus elméletben, mint ahogy azt elhitették velünk. Láttuk, hogy a töltött részecske mozgásának klasszikus Lorentz-egyenlete zavaró problémákat vet fel. (Emlékezzünk Dirac „elfutó megoldásaira”.) Észrevettük azt is, hogy a determinizmussal az általános relativitáselméletben is vannak nehézségek. Amikor az ilyen elméletekben nincs determinizmus, akkor bizonyára nincs kiszámíthatóság sem. Mégis, egyik felidézett esetben sem látszik úgy, hogy a determinizmus hiányának számottevő közvetlen filozófiai jelentősége volna számunkra. Szabad akaratunk számára még nincs „hely” ezekben a jelenségekben: az első esetben azért, mert úgy gondoljuk, hogy pontszerű részecskére a klasszikus Lorentz-egyenlet (ahogy Dirac megoldotta) fizikailag nem megfelelő azon a szinten, ahol ezek a problémák fellépnek; a másodikban azért, mert azok a skálák, ahol a klasszikus általános relativitáselmélet ilyen problémákhoz vezethet (fekete lyukak stb.), teljesen eltérőek agyunk skáláitól.

Hogy állunk akkor most a kiszámíthatósággal a klasszikus elméletben? Ésszerű az a sejtés, hogy az általános relativitáselmélet helyzete nem különbözik jelentősen a speciálisétól — túl a kauzalitásban és a determinizmusban lévő különbségeken, amelyekről éppen az előbb beszéltem. Ahol a fizikai rendszer jövőbeli viselkedését a kezdeti adatok meghatározzák, ott ez a jövőbe viselkedés (hasonló okokból, mint amelyeket a newtoni elméletnél kifejtettem) az adatok által kiszámíthatóan meghatározottnak látszik²⁷ (eltekintve a nem-kiszámíthatóságnak attól a „nem éppen segítőkész” típusától, amelyet Pour-El és Richards a hullámegyenletnél találtak — és amely folytonosan változó adatok mellett nem lép fel). Valójában nehéz látni, hogy bármelyik eddig megvizsgált fizikai elméletben lehetnének jelentős „nem kiszámítható” elemek. Azt biztosan várnunk kell, hogy az elméletek közül sokban bekövetkezhet az a „kaotikus” viselkedés, amikor nagyon kis változások a kezdeti adatokban hatalmas különbségeket okozhatnak az eredő viselkedésben. (Ez a helyzet látszik az általános relativitásban, vö. Misner 1969, Bjelinszkij és mások 1970.) De amint az előbb említettem, nehéz azt látni, hogy a nemkiszámíthatóságnak ez a fajtája — azaz a „jósolhatatlanság” — bármilyen „hasznára” lehet egy eszköznek, amely megpróbálja „kiaknázni” a fizikai törvényekben lévő lehetséges nem kiszámítható elemeket. Ha az „értelem” bármiképp hasznosíthatja ezeket, akkor úgy látszik, a klasszikus fizikán kívül kell lenniük ezeknek az elemeknek. E kérdést később újra meg kell vizsgálnunk, miután már vetettünk egy pillantást a kvantumelméletre.

Tömeg, anyag és valóság

Tekintsük röviden át a világnak azt a képét, amelyet a klasszikus fizika nyújt számunkra. Először is van egy téridő, amely elsődleges szerepet játszik, mint az összes különböző fizikai tevékenység arénája. Másodszor vannak fizikai objektumok, amelyek átengedik magukat ennek a tevékenységnek, de pontos matematikai törvényekkel korlátozottan. A fizikai objektumok kétfélék: részecskék és mezők. A részecskék valódi természetéről és megkülönböztető jegyeiről kevés szó esik, tudjuk azt, hogy mindegyiknek van saját világvonala és egyedi (nyugalmi) tömege, esetleg elektromos töltése stb. A mezők viszont nagyon specifikusak — az elektromágneses mező a Maxwell-egyenletek tárgya, a gravitációs mező az Einstein-egyenleteké.

Van bizonyos kétértelműség abban, hogyan kell a részecskéket kezelni. Azokat, amelyek tömege olyan kicsi, hogy befolyásuk a mezőkre elhanyagolható, próbarészecskéknek nevezzük — és ezek mozgása a tereknek adott válaszként egyértelmű. A Lorentz-erő leírja a próbarészecske válaszát az elektromágneses mezőre, a geodetikus törvény a választ a gravitációs mezőre (megfelelő kombinációban, ha mindkét mező jelen van). Ehhez a részecskéket pontszerűeknek, azaz egydimenziós világvonalúaknak kell tekintenünk. Ha azonban figyelembe kell vennünk a részecskék hatásait a mezőkre (és így a többi részecskére) — azaz ha a részecskék forrásai a mezőknek —, akkor térben valamennyire kiterjedt objektumoknak kell azokat tekintenünk. Máskülönben a mezők minden részecske közvetlen közelében végtelenné válnak. Ezek a kiterjedt források szolgáltatják a (p, j) töltés—áram-eloszlást, amely a Maxwell-egyenletekhez, és az ENERGIA tenzort, amely az Einstein-egyenletekhez szükséges. Mindezekhez járul még, hogy a téridő — amelyben mind e részecskék és mezők tartózkodnak — változó szerkezetű, ami önmagában közvetlenül leírja a gravitációt. Az „aréna” csatlakozik a benne végbemenő történéshez!

Ezt tanította nekünk a klasszikus fizika a fizikai valóság természetéről. Világos, hogy jó sokat tanultunk, és az is, hogy nem kell túlságosan önelégülteknek lennünk; a képet, amelyet valamikor kialakítottunk, későbbi és mélyebb meglátások mindig felboríthatják. A következő fejezetben látni fogjuk, hogy még a relativitáselmélet által hozott forradalmi változások is szinte a jelentéktelenségbe szürkülnek a kvantumelmélet által hozottak mellett. Ám még nem végeztünk egészen a klasszikus elmélettel és azzal, amit az anyagi valóságról el kell mondania nekünk. Még tartogat egy meglepetést számunkra!

Mi az „anyag”? Az a valódi szubsztancia, amelyből a valóságos fizikai objektumok — a világ „dolgai” — összetevődnek. Ami Önt, engem, házainkat alkotja. Milyen mennyiséggel mérjük ezt a szubsztanciát? Elemi fizikai tankönyveinkben ott van Newton világos válasza. Egy objektum vagy objektumrendszer tömege méri a tartalmazott anyag mennyiségét. Ez valóban helyesnek látszik — nincs más fizikai mennyiség, amely komolyan versenyezhet a tömeggel, mint a teljes szubsztancia igazi mértéke. Mi több, ez megmarad: bármilyen rendszer tömege, és így teljes anyagi tartalma, mindig ugyanaz kell maradjon.

Einstein nevezetes képlete a speciális relativitáselméletből, az

E = mc²

mégis azt mondja nekünk, hogy a tömeg (m) és energia (E) átváltoztathatók egymásba. Például amikor egy uránatom elbomlik, kisebb részekre hasad szét, akkor e részek összes tömege, ha meg tudnánk mérni, kisebb lenne, mint az uránatom eredeti tömege; ám ha figyelembe vesszük minden egyes darab mozgásának energiáját — a kinetikus energiát, vö. 189. o.* — és c²-tel osztva tömegértékké alakítjuk át (mert E = mc²), akkor azt találjuk, hogy a teljes végösszeg változatlan. A tömeg valóban megmarad, de mert részben energiából áll, most már kevésbé világos, hogy a valóságos szubsztancia mértéke. Az energia végül is függ a sebességtől, amellyel a szubsztancia mozog. Egy expresszvonat mozgási energiája jelentős, de ha úgy adódik, hogy éppen ezen a vonaton ülünk, akkor saját nézőpontunkból a vonat egyáltalán nem mozog.

*A Newton-elméletben a kinetikus energia ½ mv², ahol m a tömeg, v a sebesség; a speciális relativitáselméletben a kifejezés valamivel bonyolultabb.

 

A mozgás energiáját (bár az egyes részecskék véletlenszerű mozgásából származó hőenergiát nem) a nézőpont alkalmas megválasztásával „nullára csökkentettük”. Egy meglepő példaként, ahol az Einstein-féle tömeg-energia összefüggés hatása a legszélsőségesebb, tekintsük a szubatomi részecskék egyik típusának, a π⁰-mezonnak a bomlását. Ez biztosan anyagi részecske, jól meghatározott (pozitív) tömege van. Úgy 10^-16 másodperc után szétbomlik (mint előbb az uránatom, csak annál sokkal gyorsabban) — majdnem mindig két fotonra (5.35. ábra). A π⁰-mezonhoz képest nyugvó megfigyelő szerint mindkét foton az energia felét, és valójában a π⁰-mezon tömegének felét viszi el. Ez a „fotontömeg” olyan bizonytalan fajta: tiszta energia. Ha gyorsan utaznánk az egyik foton irányában, akkor tömeg-energiáját olyan kis értékre csökkenthetnénk, amilyenre csak akarjuk — lévén egy foton belső tömege (vagy nyugalmi tömege, mint azt rövidesen tárgyaljuk) nulla. Mindez hozzájárul a megmaradó tömeg konzisztens képéhez, amely azonban nem egészen az, mint korábban volt. A tömeg egyfajta értelemben még mindig mérheti az „anyag mennyiségét”, de a nézőpont világosan megváltozott: mivel a tömeg egyenértékű az energiával, egy rendszer tömege, az energiához hasonlóan, függ a megfigyelő mozgásától!

5.35. ábra. Egy tömeggel rendelkező π⁰-mezon két tömeg nélküli fotonra bomlik. A téridőkép mutatja, hogyan marad meg az energia-impulzus négyesvektor: a π⁰-mezon négyesvektora a két foton négyesvektorainak összege a paralelogrammaszabály szerint (amit a pontozás mutat) végezve az összeadást

 

Érdemes valamivel világosabban kifejteni a nézőpontot, amelyhez eljutottunk. A megmaradó mennyiség, amely átveszi a tömeg szerepét, egy energia- impulzus négyesvektornak nevezett valami. A Minkowski-tér O kezdőpontjában nyíllal (vektorral) ábrázolható, O jövőbe mutató fénykúpjának belsejébe (vagy a foton szélsőséges esetében a kúpra) mutat; lásd 5.36. ábra.

Ez a nyíl, amely ugyanabba az irányba mutat, mint az objektum világvonala, minden információt tartalmaz energiájáról, tömegéről és impulzusáról. Így a nyíl hegyének „t értéke” (vagy „magassága”) valamely megfigyelő rendszerében mérve megadja az objektum tömegét (vagy c²-tel osztott energiáját) a megfigyelő szerint, míg a térbeli összetevő az impulzust (c-vel osztva).

E nyíl „Minkowski-hossza” a nyugalmi tömeg néven ismert, fontos mennyiség, amely a tömeget adja meg az objektumhoz képest nyugvó megfigyelő számára. Próbálkozhatnánk azzal, hogy ezt válasszuk az „anyagmennyiség” jó mértékének. Azonban nem additív: ha egy rendszer kétfelé hasad, akkor az eredeti nyugalmi tömeg nem a két új nyugalmi tömeg összege. Emlékezzünk a π⁰-mezon előbb vizsgált bomlására. A π⁰-mezon nyugalmi tömege pozitív, míg a keletkező fotonoké nulla. Az egész nyílra (négyesvektorra) azonban érvényes az additivitási tulajdonság, de most az 5.6. ábrán bemutatott vektorösszegzési szabály értelmében kell „összeadnunk”. Most ez a teljes nyíl az „anyag mennyiségére” vonatkozó mértékünk!

Gondoljunk most Maxwell elektromágneses mezőjére. Megfigyeltük, hogy energiát hordoz. Az E = mc² szerint tömegének is kell lennie. Így Maxwell mezője szintén anyag! Ezt most biztosan el kell fogadnunk, mert a Maxwell-mezőnek szoros köze van az erőkhöz, amelyek a részecskéket összetartják. Bármely test tömegéhez lényeges járulékot²⁸ kell adjanak a belsejében lévő elektromágneses mezők.

Mi a helyzet Einstein gravitációs mezőjével? Sok tekintetben Maxwell mezőjére emlékeztet. Hasonlóan ahhoz, ahogy Maxwell elméletében a mozgó, töltött részecskék elektromágneses hullámokat tudnak kibocsátani, a mozgó, tömeggel rendelkező testek (Einstein elmélete szerint) gravitációs hullámokat bocsátanak ki — amelyek, az elektromágneses hullámokhoz hasonlóan, a fény sebességével terjednek és energiát hordoznak. Ezt az energiát mégsem a szokásos módon, az ENERGIA tenzorral mérjük, amelyre korábban utaltam. (Tiszta) gravitációs hullámban ez a tenzor mindenhol nulla! Mindazonáltal helyezkedhetünk arra a nézőpontra, hogy valahogy a téridő görbülete (amit most teljesen a WEYL tenzor ad meg) mutathatja a gravitációs hullámok „szövedékét”. A gravitációs energia azonban nemlokális, ami azt jelenti, hogy a téridő görbületének csupán korlátos tartományban való vizsgálatával nem lehet meghatározni az energia mértékét. A gravitációs mező energiája — és ezért tömege — sikamlós angolna, nem hagyja magát egy adott helyen elcsípni. Mindazonáltal komolyan kell venni. Biztosan ott van, és számításba kell venni, hogy a tömeg általánosan megmaradhasson. Van a tömegnek egy jó (és pozitív) mértéke, amely alkalmazható a gravitációs hullámokra, de a nemlokalitás olyan, hogy ez a mérték olykor nemzérus lehet a téridő sík tartományaiban — a sugárzás két hulláma között (hasonlóan, mint a hurrikán magján belüli csend) —, ahol a téridő teljesen görbületmentes, azaz WEYL és RICCI egyaránt zérus! Ilyen esetekben, úgy látszik, arra kell következtenünk, hogy ha ez a tömeg-energia egyáltalán megfogható, akkor ebben a sík üres térben kell legyen — minden anyagtól vagy mezőtől tökéletesen mentes tartományban. Ilyen furcsa körülmények között „anyagmennyiségünk” most vagy ott van az üres tartományok legüresebbjében, vagy egyáltalán nincs sehol!

Ez igazi paradoxonnak látszik. Mégis határozott velejárója annak, amit legjobb klasszikus elméleteink — és ezek valóban szuperelméletek — világunk „valóságos” anyagának természetéről mondanak. Az anyagi valóság a klasszikus elmélet szerint, nem is beszélve a kvantumelméletről, amelyet éppen kifejteni készülünk, sokkal ködösebb dolog, mint azt gondoltuk. Mennyiségi meghatározása — sőt hogy vajon ott van-e vagy sem — határozottan kényes kérdésektől függ, és nem lehet csupán lokálisan megállapítani! Ha ez a nemlokalitás rejtélyesnek látszik, akkor készüljünk fel még sokkal nagyobb megrázkódtatásokra.

Jegyzetek

1. Feltűnő tény, hogy minden megállapított eltérés a newtoni képtől alapvető módon a fény viselkedésével kapcsolható össze. Először: ott vannak Maxwell elektromágneses elméletének testetlen energiahordozó mezői. Másodszor: mint látni fogjuk, az a döntő szerep, amelyet a fénysebesség játszik Einstein speciális relativitáselméletében. Harmadszor: a kis eltérések a newtoni gravitációs elmélettől, amelyeket Einstein általános relativitáselmélete ad, csak akkor válnak jelentőssé, amikor a sebességek összemérhetőek a fény sebességével. (A fény elhajlása a Nap mellett, a Merkúr mozgása, szökési sebességek összehasonlítva a fény sebességével fekete lyukaknál stb.) Negyedszer: a kvantumelmélet hullám—részecske dualitása, amelyet először a fény viselkedésében figyeltek meg. Végül a kvantumelektrodinamika, amely a fény és a töltött részecskék kvantumtérelmélete. Ésszerű úgy gondolkodni, hogy Newton maga kész lett volna elfogadni, hogy világképe számára mély problémák rejtőznek a fény titokzatos viselkedésében, vö. Newton (1730); valamint Penrose (1987a).
2. Van egy fizikailag jól megalapozott és megértett, nagyszerű anyagrész — nevezetesen Carnot, Maxwell, Kelvin, Boltzmann és mások termodinamikája —, amelyet nem osztályoztam. Ez furcsa lehet egyes olvasók számára, de az elhagyás megfontolt volt. Olyan okok miatt, amelyek a 7. fejezetben világosabbá válhatnak, magam eléggé vonakodnék a termodinamikát, úgy ahogy van, a SZUPER osztályba sorolni. Ám sok fizikus feltehetően szentségtörésnek tekintené, ha az ideák e szép és alapvető együttese olyan alacsony osztályba kerülne, hogy csupán HASZNOS lenne! Nézetem szerint a termodinamika, ahogy azt rendesen értjük, olyasmi lévén, amely csak átlagokra vonatkozik, és nem egy rendszer egyedi alkotórészeire — és lévén részben más elméletekből való következtetés —, nem egészen fizikai elmélet abban az értelemben, ahogy itt most beszélek róluk (ugyanez áll az alapot képező matematikai keretre, a statisztikus mechanikára). Ezt a körülményt annak mentségére hozom fel, hogy kitérek a probléma elől, és kihagyom az osztályozásból. Amint azt a 7. fejezetben látni fogjuk, szoros kapcsolatot vélek a termodinamika és egy olyan tárgykör között, amelyet az előbbiekben a HASZNOS osztályba tartozóként említettem meg, nevezetesen a Nagy Robbanásra (ősrobbanásra) vonatkozó standard modellt. A (részben még hiányzó) elképzelések e két sorozatának megfelelő egyesítését, azt hiszem, a megkövetelt értelemben fizikai elméletnek kellene tekintenünk — sőt a SZUPER osztályba tartozónak. Erre a későbbiekben majd vissza kell térnünk.
3. Munkatársaim megkérdeztek, hová sorolnám a „twisztorelméletet” — az elképzelések és eljárások egy alaposan kidolgozott gyűjteményét, amely hosszú éveken keresztül az én nevemhez kapcsolódott. Amennyiben a twisztorelmélet a fizikai világ egy különböző elmélete, úgy csak a KÍSÉRLETI osztályba tartozhat; tulajdonképpen nem is elmélet, lévén korábban jól megalapozott fizikai elméletek matematikai átírása.
4. Úgy tetszik azonban, hogy Galilei gyakran használt víziórát, hogy megfigyeléseit időben ütemezze; lásd Barbour (1989).
5. Newton nevét hozzákapcsolni ehhez a modellhez — és valójában a „newtoni mechanikához” mint egészhez — csupán kényelmes címkét jelent. Newton saját nézetei a fizikai világ valóságos természetéről, úgy látszik, kevésbé dogmatikusak és bizonytalanabbak voltak. [R. J. Boskovic (1711 —1787) volt az, aki a legerőteljesebben támogatta e „newtoni” modellt.]
6. Raphael Sorkin felhívta a figyelmemet arra, hogy e speciális játékmodell fejlődése egy bizonyos értelemben „kiszámítható” oly módon, amely nem nagyon különbözik attól, amit (mondjuk) a newtoni rendszerek esetében csinálunk. Elképzeljük a számítások egy C1, C2, C3 ... sorozatát, amely segítségével kiszámíthatjuk rendszerünk viselkedését egyre távolabbi időben korlát nélkül egyre növekvő pontossággal (vö. 197., 198. oldalak). Jelen példánkban ezt C_n következő definíciójával érhetjük el: engedjük futni a T_u(m) Turing-gép-műveletet N lépésig, és „higyjük” azt, hogy T_u(m) = □ ha ezalatt nem áll le. Játékmodellünket azonban nem lenne nehéz úgy módosítani, hogy ellenálljon az ilyenfajta „számításnak”, be lehetne vezetni olyan fejlődést, amely T_u(m) = □ helyén kétszeresen kvantifikált állításokat tartalmaz, mint például azt, hogy T(q) megáll minden q-ra”. (Egy példa az ilyen állításokra az a megoldatlan probléma, hogy végtelen sok ikerprímszám van, azaz olyanok, amelyek kettővel különböznek egymástól.)
7. Mint a 4. fejezetben (9. jegyzet, 172. o.) említettem, az új Blum-Shub-Smale- (1989) elmélet megoldást nyújthat e kérdések némelyikére matematikailag elfogadhatóbb módon.
8. Hamilton speciális nézőpontját talán nem egészen, egyenleteit azonban már 24 évvel korábban ismerte a nagy olasz-francia matematikus, Joseph C. Lagrange (1736 — 1813). Ugyanilyen fontos, korábbi fejlődés volt a mechanika megfogalmazása az Euler—Lagrange-egyenletekkely amely szerint Newton törvényei leszármaztathatók egy mindentudó elvből; a stacinárius hatás elvéből (P. L. M. de Maupertuis). Az Euler—Lagrange-egyenletek nagy jelentőségük mellett figyelemre méltóan hatásos és gyakorlati értékű számolási eljárásokat kínálnak.
9. A helyzet valójában rosszabb abban az értelemben, hogy Liouville fázistértérfogata csak egy a különböző dimenziójú „térfogatok” (az ún. Poincaré-invariánsok) egész családjából, amelyek a hamiltoni fejlődés során állandóak maradnak. Kissé azonban igazságtalan voltam túlzó állításaimban. El lehet képzelni olyan rendszert, amelyben valahol le lehet „vágni” fizikai szabadsági fokokat (ezek hozzájárulnak a fázistértérfogathoz), amelyek már nem érdekelnek bennünket (mint a végtelenbe kiszökő sugárzás), így csökkenteni lehet a fázistértérfogat bennünket érdeklő részét.
10. E második tény óriási szerencse a természettudomány számára, mert nélküle a nagy testek dinamikai viselkedése megfoghatatlan lehetne, és kevés útmutatást adnának a részecskékre magukra alkalmazható pontos törvényekről. Sejtésem szerint Newton többek között azért ragaszkodott olyan erősen harmadik törvényéhez, mert anélkül a dinamikai viselkedés átvitele a mikroszkopikus testekről a makroszkopikusakra egyszerűen nem menne.
    Egy másik „varázslatos” körülmény, amely alapvető volt a tudomány fejlődése szempontjából, az, hogy az inverz négyzetes törvény az egyetlen (a távolsággal csökkenő) hatványtörvény, amelynél egy központi test körüli általános pályák egyszerű geometriai alakzatok. Mit csinált volna Kepler, ha az erőtörvényben a távolság inverze vagy a köbének inverze szerepelt volna?
11. A különböző mezőkhöz olyan egységeket választottam, hogy az egyenletek alakja nagyon hasonlítson ahhoz, ahogy Maxwell eredetileg felírta azokat (kivétel az, hogy a töltéssűrűség nála az én c^-2p kifejezésemnek felelne meg). Más egységválasztásoknál a c tényezők más helyeken jelennek meg.
12. Valójában végtelen sok x_i, és p_i, van; azonban egy további bonyodalom, hogy a mező értékeit nem használhatjuk ilyen koordinátákként, egy bizonyos „potenciál” szükséges a Maxwell-mezőhöz, hogy a Hamilton-rendszer alkalmazható legyen.
13. Azaz nem kétszer differenciálhatóak.
14. A Lorentz-egyenletek megmondják, hogy elektromágneses mezőben milyen erő hat egy töltött részecskére; így ha tömegét tudjuk, Newton második törvénye megmondja nekünk a részecske gyorsulását. A töltött részecskék azonban gyakran mozognak közel fénysebességgel, és ekkor fontosak a speciális relativitáselmélet jelenségei, ezek szabják meg, mekkora tömeget is kell valójában a részecskéhez rendelni (lásd a következő szakaszt). Ilyen jellegű okok késleltették a töltött részecskékre vonatkozó helyes erőtörvény felfedezését a speciális relativitáselmélet megszületéséig.
15. Valójában, egy bizonyos értelemben, a Természet bármelyik kvantummechanikai részecskéje önmagában ilyen óraként működik. Mint azt a 6. fejezetben látni fogjuk, minden kvantumrészecskéhez egy oszcilláció társul, amelynek frekvenciája arányos a részecske tömegével; lásd 257. o. Nagyon pontos, modern órák (atomórák, nukleáris órák) ezen a jelenségen alapszanak.
16. Az Olvasó aggodalmaskodhat, hogy az utazó világvonalán B-nél, mint látható, „törés” van, ezért ott az utazó végtelen nagy gyorsuláson esik keresztül. Ez nem lényeges. Véges gyorsulás esetén a törés egyszerűen kisimul, és ez nagyon kis különbséget eredményez az általa észlelt teljes időben, amelyet a teljes világvonal „Minkowski-hossza” mér.
17. Ezek azon események terei, amelyeket M egyidejűeknek ítélne meg az egyidejűség Einstein-féle definíciója szerint, amely M által kibocsátott és a szóban forgó eseményeknél M felé visszavert fényjeleket használ. Lásd például Rindler (1982).
18. Ez az alakzat kezdeti, idő szerinti második deriváltja (vagy „gyorsulása”). Az alakzat változásának mértékét (vagy „sebességét”) kezdetben zérusnak vesszük, mert a gömb nyugalomból indul.
19. A Newton-elmélet ezen átfogalmazásának matematikai leírását először a híres francia matematikus, Élie Cartan (1923) végezte el — természetesen Einstein általános relativitáselmélete után.
20. Azokat a görbült tereket, amelyek ebben az értelemben (magasabb dimenziókban is) lokálisan euklidesziek, Riemann-sokaságoknak hívják — Bernhard Riemann (1826 — 1866) után, aki, folytatva Gauss fontos korai, a kétdimenziós esetre vonatkozó munkáját, először vizsgált ilyen tereket. Itt most Riemann elképzelésének egy lényeges módosítására van szükségünk, nevezetesen meg kell engednünk, hogy a geometria lokálisan Minkowski-féle legyen és nem euklideszi. Az ilyen tereket gyakran Lorentz-sokaságoknak hívják (amelyek a pszeudo-Riemann- vagy kevésbé logikus elnevezéssel a szemi-Riemann-sokaságok osztályába tartoznak).
21. Az Olvasó megkérdezheti, hogy ez a zérus hogyan jelentheti a „hosszúság” maximális értékét! Azt jelenti, de egyfajta üres értelemben: egy zérus hosszúságú geodetikust az jellemez, hogy semmilyen más részecske világvonala (lokálisan) nem köti össze két pontját.
22. Ez a felosztás torzító hatásokra és térfogatváltozásra nem egészen annyira világos, mint ahogy elmondtam. A Ricci-tenzor önmaga adhat bizonyos mértékű árapálytorzítást. [Fénysugarakra a felosztás teljesen világos; vö. Penrose és Rindler (1986), 7. fejezet.] A Weyl- és Ricci-tenzorok pontos definíciójára lásd például Penrose és Rindler (1984) 240., 210. oldalak. (A német születésű Hermann Weyl a század kiváló matamatikusa volt; az olasz Gregorio Ricci pedig nagyhatású geométer, aki a múlt században megalkotta a tenzorok elméletét.)
23. Az egyenletek helyes alakját Dávid Hilbert is megtalálta 1915 novemberében, de az elmélet fizikai alapgondolatai kizárólag Einsteintől származnak.
24. A dologban járatosak számára megemlítem, hogy ezeket a differenciálegyenleteket úgy kapjuk, hogy a teljes Bianchi-azonosságokba behelyettesítjük az Einstein- egyenleteket.
25. Vannak (nem túl meggyőző) utak ezen érvelés elkerülésére, vö. Wheeler és Feynman (1945).
26. Technikai szempontból a „hiperfelület” elnevezés megfelelőbb, mint a „felület”, mert három- és nem kétdimenziós.
27. Nagyon hasznosak és érdekesek lennének szigorú tételek e kérdésekre vonatkozóan. Ezek egyelőre hiányoznak.
28. A jelenlegi elméletben kiszámíthatatlan — a semmitmondó (ideiglenes) válasz: végtelen!