Intermezzo

De wiskundige kant van het niets

In de wiskunde is er een naam voor niets, namelijk ‘nul’. De stam van het Engelse woord voor nul, zero, is een Hindi woord, sunya, dat ‘leegte’ betekent. Het concept van de nul is dan ook afkomstig van Indiase wiskundigen.

Voor de Grieken en de Romeinen was het hele idee van de nul volstrekt onvoorstelbaar: hoe kon niets iets zijn? Zij hadden er geen symbool voor in hun getallenstelsels, en dus konden ze ook niet hun voordeel doen met die handige positionele notatie (waarin 307 bijvoorbeeld staat voor drie honderden, nul tienen en zeven enen). Daarom is het ook zo verduveld lastig om te vermenigvuldigen met Romeinse cijfers.

Indiase wiskundigen waren vertrouwd met het idee van het niets vanuit de boeddhistische filosofie. Zij hadden geen problemen met een abstract symbool dat voor het niets stond. Hun notatie werd in de middeleeuwen naar West-Europa meegenomen door Arabische geleerden – vandaar dat wij onze cijfers Arabisch noemen. Het Hindi woord sunya werd in het Arabisch sifr, waarvan ons woord cijfer is afgeleid.

Europese wiskundigen waren weliswaar blij met de nul als notationeel hulpmiddel, maar aanvankelijk nogal op hun hoede voor het concept erachter. In het begin werd de nul eerder beschouwd als een leesteken dan als cijfer, maar algauw won ze aan geloofwaardigheid. Opmerkelijk genoeg had de opkomst van de handel daar iets mee te maken. Toen omstreeks 1340 in Italië de dubbele boekhouding werd uitgevonden, beschouwde men op den duur de nul als een soort natuurlijke afscheiding tussen krediet en debet.

Of de nul nu is ontdekt of uitgevonden, in elk geval werd het duidelijk een getal om rekening mee te houden. Filosofische twijfels over de aard van het cijfer verdwenen dankzij de virtuoze berekeningen van wiskundigen als Fibonacci en Fermat. Bij het oplossen van vergelijkingen was de nul een waar geschenk voor algebrabeoefenaren: als de vergelijking kon worden geformuleerd in de vorm ab = 0, kon daaruit worden afgeleid dat ofwel a ofwel b gelijk was aan 0.

De oorsprong van de schrijfwijze van het cijfer 0 hebben de historici tot nu toe niet kunnen achterhalen. Volgens een inmiddels door de geleerden onderuit gehaalde theorie is het cijfer ontleend aan de eerste letter van het Griekse woord voor ‘niets’, ouden. Een andere, fantasievolle theorie luidt dat de vorm is ontleend aan de cirkelvormige afdruk van een fiche in het zand: de aanwezigheid van een afwezigheid.

Laten we 0 nu eens opvatten als niets en 1 als iets. Dan krijg je een soort speelgoedversie van het raadsel van het bestaan: hoe kom je van 0 naar 1?

In de hogere wiskunde bestaat in zekere zin geen eenvoudige manier waarop de overgang van 0 naar 1 mogelijk is. Volgens wiskundigen is een getal ‘regulier’ als het niet kan worden bereikt met behulp van de numerieke middelen eronder. Of om preciezer te zijn: het getal n is regulier als het niet kan worden bereikt door minder dan n getallen op te tellen die zelf kleiner zijn dan n.

Dan is meteen duidelijk dat 1 een regulier getal is. Het is niet van onderaf benaderbaar, omdat het enige waarmee je daar kunt werken de 0 is. De som van nul 0’en is 0, en daarmee uit. Kortom: je kunt niet van niets naar iets komen.

Merkwaardig genoeg is 1 niet het enige getal dat op deze manier onbereikbaar is. Het getal 2 blijkt ook regulier te zijn, aangezien je dat evenmin kunt krijgen door minder dan twee getallen die minder dan 2 zijn op te tellen. Probeer het maar eens. Dus je kunt niet van eenheid naar pluraliteit komen.

De rest van de eindige getallen beschikt niet over deze boeiende eigenschap. Die kunnen wel degelijk van onderaf worden bereikt. (Het getal 3 kun je bijvoorbeeld krijgen door de getallen 1 en 2 op te tellen, die allebei kleiner zijn dan 3.) Maar het eerste oneindige getal, dat wordt weergegeven door de Griekse letter omega, blijkt wel weer regulier te zijn. Dat is niet te bereiken door wat voor aantal eindige getallen dan ook bij elkaar op te tellen. Dus je kunt niet van eindig naar oneindig komen.

Maar nu terug naar de 0 en de 1. Is er misschien een andere manier om de kloof daartussen te overbruggen – die rekenkundige leemte tussen niets en iets?

Het geval wil dat een genie als Leibniz dacht dat hij die brug had gevonden. Leibniz was niet alleen een belangrijke figuur in de geschiedenis van de filosofie, maar ook een groot wiskundige. Hij vond min of meer gelijktijdig met Newton de differentiaal- en integraalrekening uit. (De twee voerden een bittere strijd over de vraag wie de ware uitvinder was, maar één ding is zeker: de notatie van Leibniz was stukken beter dan die van Newton.)

De differentiaal- en integraalrekening houdt zich onder veel meer bezig met oneindige reeksen. Een van de door Leibniz afgeleide oneindige reeksen is:

1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + …

Uiterst koelbloedig voegde Leibniz het getal -1 in zijn reeks, wat het volgende opleverde:

1/2 = 1–1 + 1–1 + 1–1 + . . .

Met haakjes op de juiste plaatsen leverde dit de boeiende vergelijking op:

1/2 = (1–1) + (1–1) + (1–1) + . . .

of:

1/2 = 0 + 0 + 0 + . . .

Leibniz was verbijsterd. Dit was een wiskundige analogie voor het raadsel van het bestaan! Deze vergelijking leek het bewijs dat iets inderdaad kon voortkomen uit niets.

Helaas was hij op een dwaalspoor terechtgekomen. Al snel beseften wiskundigen dat zo’n reeks zinloos is tenzij het een convergente reeks is, dat wil zeggen, als de oneindige som in kwestie uiteindelijk in één enkele waarde uitmondt. Deze oscillerende reeks van Leibniz voldeed niet aan dat criterium, aangezien de partiële sommen voortdurend heen en weer sprongen tussen 0 en 1. En dus was zijn ‘bewijs’ ongeldig. Zijn wiskundige inborst had vast en zeker het vermoeden dat het zo zat, ook al was zijn metafysische inborst dan nog zo blij.

Maar misschien valt er nog wel iets te redden van dit conceptuele wrak. Neem deze eenvoudigere vergelijking:

0 = 1–1

Waar staat die vergelijking voor? Voor het feit dat 1 en -1 samen nul zijn, natuurlijk.

Hé, dat is interessant. Stel je even het proces in omgekeerde richting voor: niet 1 en -1 die samenkomen en 0 worden, maar 0 dat als het ware uiteenvalt in 1 en -1. Waar ooit niets was, is nu tweemaal iets! En zo te zien zijn het een soort tegenpolen. Materie en antimaterie. Yin en yang.

Een nog suggestiever idee is om -1 te beschouwen als dezelfde entiteit als 1, maar dan een die zich achterwaarts door de tijd beweegt. Deze interpretatie werd opgepikt door de scheikundige (en belijdend atheïst) Peter Atkins. ‘Tegenpolen zijn van elkaar te onderscheiden door de richting waarin ze door de tijd reizen.’ Bij ontstentenis van het element tijd vallen 1 en -1 tegen elkaar weg; ze versmelten tot nul. De tijd stelt ze in staat om zich van elkaar los te maken, en andersom is dat losmaken het moment waarop de tijd ontstaat. Op die manier, stelt Atkins, is de spontane schepping van het heelal in gang gezet. (John Updike was zo onder de indruk van dat scenario dat hij het aan het eind van zijn roman Rogers Versie gebruikte als alternatief voor een theïstische verklaring voor het bestaan.)

En dat komt dan allemaal voort uit 0 = 1-1. Deze vergelijking heeft heel wat meer ontologische lading dan je op het eerste gezicht zou zeggen.

Eenvoudige rekensommen zijn niet de enige manier waarop de wiskunde een brug kan slaan tussen niets en iets. Ook de verzamelingenleer biedt materiaal. Kinderen worden al in een beginstadium van de wiskundelessen, en soms al op de basisschool, geconfronteerd met het merkwaardige verschijnsel van de lege verzameling. Die verzameling heeft geen leden, denk aan de verzameling vrouwelijke presidenten van de vs die Barack Obama voorgingen. Zo’n verzameling wordt weergegeven als {}, een stel haakjes met niets ertussen, of met het symbool Ø.

Kinderen willen nog wel eens in opstand komen tegen zo’n lege verzameling. Hoe kan een verzameling die niets bevat nu een verzameling zijn, vragen ze dan. En ze staan niet alleen in hun bedenkingen. Een van de grootste wiskundigen uit de negentiende eeuw, Richard Dedekind, weigerde de lege verzameling te beschouwen als iets anders dan een handig stukje fictie. Een van de scheppers van de verzamelingenleer, Ernst Zermelo, noemde het ‘ongepast’. En korter geleden noemde de grote Amerikaanse filosoof David K. Lewis de lege verzameling ‘een klein vlekje nietsheid, een soort zwart gat in het weefsel van de werkelijkheid zelf […] een speciaal wezen met een zweem nietsheid om zich heen.’

Bestaat de lege verzameling? Kan iets bestaan waarvan de essentie – sterker nog: het enige kenmerk – is dat het niets bevat? Aanhangers noch sceptici hebben krachtige argumenten aangedragen voor of tegen de lege verzameling. Het is iets wat in de wiskunde gewoon wordt geaccepteerd. (Het bestaan ervan kan worden bewezen aan de hand van de axioma’s binnen de verzamelingenleer, als je aanneemt dat er op zijn minst nog één andere verzameling in het heelal bestaat.)

Laten we nu eens metafysisch ruimdenkend zijn en zeggen dat de lege verzameling inderdaad bestaat. Zelfs als er niets is, moet er een verzameling zijn die dat niets bevat.

Als je dat toegeeft, komt er een ware ontologische vloedgolf los. Want als die lege verzameling Ø inderdaad bestaat, bestaat er ook een verzameling die deze verzameling bevat: {Ø}. En ook een verzameling die zowel Ø als {Ø} bevat: {Ø, {Ø}}. En een verzameling die deze nieuwe verzameling plus Ø en {Ø} bevat: {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}. En ga zo maar door.

Uit het volmaakte niets is een opmerkelijke overdaad aan entiteiten voortgekomen. Entiteiten die niet van het een of ander zijn gemaakt. Ze zijn zuivere, abstracte structuur. Ze kunnen de structuur van getallen nabootsen. (In het vorige hoofdstuk hebben we de getallen 1, 2 en 3 uit de lege verzameling ‘geconstrueerd’.) En getallen kunnen met hun ingewikkelde web van onderlinge betrekkingen ingewikkelde werelden nabootsen, en zelfs het complete heelal. Of in elk geval kunnen ze dat op voorwaarde dat denkers als de natuurkundige John Archibald Wheeler gelijk hebben en het heelal uit wiskundig gestructureerde informatie bestaat. (Dat standpunt zit vervat in de kreet ‘it from bit’.) De complete voorstelling van de werkelijkheid kan dan worden voortgebracht uit de lege verzameling, uit het niets.

Maar dan ga je er wel van uit dat er om te beginnen niets is.