11. A tér szövedékének szakadásai

Ha egyre jobban kifeszítünk egy gumimembránt, az előbb-utóbb elszakad. Ez az egyszerű tény éveken keresztül arra ösztönözte a fizikusok jórészét, hogy feltegye a kérdést: vajon hasonló történik-e az Univerzum szövedékével is? Széthasadhat-e a tér szövedéke, vagy ez csak egy félrevezető fogalom, amely abból adódik, hogy a gumimembrán hasonlatot túl komolyan vesszük?

Einstein általános relativitáselméletének válasza az, hogy a téridő szövedéke nem repedhet, nem hasadhat.¹ Az általános relativitáselmélet egyenletei a Riemann-geometriára épülnek, melyben csupán a tér közeli pontjai közötti távolságok változhatnak meg, mint azt az előző fejezetben megjegyeztük. Ahhoz, hogy a távolságokkal kapcsolatos értelmes kijelentéseket tegyünk, a téridő szövedékének simának kell lennie - ez egy technikai jellegű matematikai fogalom, azonban mindennapos értelme is jól kifejezi, mit takar: az átszúródások, lyukadások, repedések, szakadások, a különálló részek összefoltozásának hiányát. Ott, ahol a téridő szövedékében ilyen szabálytalanságok alakulnak ki, az általános relativitáselmélet egyenletei csődöt mondanak, valamiféle kozmikus katasztrófa sötét előérzetét vetítve fel - olyan szerencsétlenségét, melyet látszólag jól viselkedő Univerzumunk elkerül.

Azonban az évek során ez nem akadályozta meg a nagy képzelőerő- vei megáldott elméleti fizikusoknak a fizika olyan új megfogalmazásain való töprengését, melyek túllépnek Einstein klasszikus elméletén és magukban foglalják a kvantumfizikát is. Az ilyen elméletben a tér szövedékének repedései, szakadásai és összefércelései is előfordulhatnak. Tulajdonképpen annak felismerése, hogy a kvantumfizika heves, rövid távú hullámzásokhoz vezet, némelyeket arra késztetett, hogy a repedéseket és hasadásokat a téridő mikroszkopikus szerkezetének velejáróiként könyveljék el. A féreglyukak fogalma (amellyel a Star Trek sorozat nézői gyakran találkozhatnak) is ilyen álmodozások következménye. Az ötlet egyszerű: képzeljük el, hogy New Yorkban, a World Trade Center tornyainak egyikében*, a kilencvenedik emeleten székelő cég vezetője napi üzleti kapcsolatban áll a másik torony kilencvenedik emeletén működő leányvállalatának vezetőjével. Mivel egyik iroda átköltöztetése sem lenne szerencsés, magától adódik az ötlet: hidat kell építeni a két iroda között. így az alkalmazottak szabadon mozoghatnak a két munkahely között, nem kényszerülnek a kilencvenedik emeletről le- és újból felmenni, valahányszor találkozniuk kell.

A féreglyuk hasonló szerepet tölt be. Hidat vagy alagutat képez az univerzum valamely tartományából a másikba. Az univerzum kétdimenziós modellje a 11.1 ábrán látható. Ha a cégvezetői irodánk a 11.1 (a) ábra alsó lebenyén található, csak a teljes U alakú univerzum bejárása után juthatnánk el a felső lebenyre. Azonban, ha a tér szövedéke hasadásra képes, és a 11.1 (b) ábrán látható csápokat növeszti, térszerű híd alakul ki, mely összeköti a korábban egymástól távol fekvő régiókat. Féreglyuk keletkezik. A féreglyuk hasonlatos a World Trade Centertornyait összekötő, képzelt hídhoz, de egy lényeges különbség azért marad. A World Trade Center hídja a létező tér tartományát hidalná át, mégpedig a tornyok közötti részt. A féreglyuk viszont a tér új részét hozná létre, hiszen korábban a 11.1 (a) ábra görbült kétdimenziós lapja jelentette az egész világot. Az ábra membránon kívüli részének létezése egyszerűen csak azt a tényt fejezi ki, hogy képtelenek vagyunk görbült kétdimenziós felületeket a háromdimenziós térbe való beágyazás nélkül ábrázolni. A féreglyuk új teret hoz létre.

Léteznek-e féreglyukak az Univerzumban? Senki sem tudja. Amennyiben léteznek is, nem világos, hogy csupán mikroszkopikus formában fordulnak-e elő, vagy pedig kiterjedt tartományait hidalják-e át a térnek (akár a StarTrek sorozatban). Megbizonyosodni arról, hogy léteznek-e vagy sem, egyenértékű annak megállapításával, hogy szakadhat-e átér.

A fekete lyukak szintén példát szolgáltatnak olyan helyzetekre, amikor a téridő a végletekig el van torzulva. A 3.7 ábrán láttuk, hogy a fekete lyuk hatalmas gravitációs tere olyan szélsőséges görbületet eredményez, melyben a téridő legalábbis lyukasnak vagy átszúrtnak látszik a központban. A féreglyukaktól eltérően, a fekete lyukak létezését komoly kísérleti tények támasztják alá, így az a kérdés, hogy mi történik középpontjukban, a tudomány és nem a spekuláció világába tartozik. Az általános relativitáselmélet egyenletei mindenesetre már nem érvényesek ilyen szélsőséges körülmények között. A fizikusok közül sokan azt sugallják, hogy ott a valóságban is kilyukad a téridő, de mi valamennyien védve vagyunk ettől a kozmikus „szingularitástól" a fekete lyuk eseményhorizontja által, hiszen ez a gravitációs csapda semmit sem enged kifelé. Ilyen megfontolások késztették Roger Penrose-t (Oxfordi Egyetem) arra, hogy megfogalmazza a „kozmikus cenzúra hipotézisét", mely szerint a tér említett szabálytalanságai csupán olyankor alakulhatnak ki, ha egy eseményhorizont jótékonyan elrejti őket tekintetünk elől. Másfelől, a húrelmélet felfedezése előtt a fizikusok közül néhány úgy gondolta, hogy az általános relativitáselmélet és a kvantummechanika egyesítése a tér látszólagos kilyukadását valamiképpen elkeni majd a kvantumos megfontolásoknak köszönhetően.

A húrelmélet felfedezésével, melyben a kvantummechanika és gravitáció harmonikusan egymásra talál, végre érdemben tanulmányozhatjuk ezeket a kérdéseket. Bár a húrelmélet kutatói eddig még nem tudtak teljes válaszokat adni, az elmúlt néhány év során a fentiekkel kapcsolatos problémák részleges megoldást nyertek. Ebben a fejezetben ismertetjük, miként mutatta ki elsőként a húrelmélet, hogy bizonyos fizikai körülmények közepette - melyek néhány tekintetben mind a féreglyukaktól, mind a fekete lyukaktól különböznek- a tér szövedéke elhasadhat.

Nyugtalanító lehetőség

1987-ben Shing-TungYau és diákja, Gang Tian, aki jelenleg a massachusettsi Technológiai Intézetben dolgozik, érdekes matematikai észrevételt tett. Jól ismert matematikai eljárást használva, azt találták, hogy bizonyos Calabi-Yau alakzatok másokba transzformálhatók át, ha kilyukasztjuk felületüket, majd egy pontos matematikai eljárás segítségével összevarrjuk az így keletkezett lyukat². Lényegében kiválasztottak az eredeti Calabi-Yau alakzat belsejében egy kétdimenziós gömböt - képzeljük el egy strandlabda felszínét -, mint amilyen a 11.2 ábrán látható. (Bár a labda 3 dimenziós, itt csupán a felszínére gondolunk, ami kétdimenziós, és nem foglalkozunk sem a körbezárt térdarabbal, sem a labda vastagságával.

11.2 ábra A Calabi-Yau alakzat kiemelt része egy gömböt tartalmaz.

A labda felszínének pontjait két szám - a „szélesség" és a „hosszúság" - megadásával jellemezzük. így, a locsolócsőhöz hasonlóan, a labda felszíne is kétdimenziós.) A kiválasztott gömböt addig zsugorították, míg egyetlen ponttá ment össze. Ezt a 11.3 ábra mutatja be. Az ábrát (és néhány következőt a jelen fejezetben) azzal egyszerűsítettük, hogy csupán a Calabi-Yau alakzat tárgyalásunk szempontjából legfontosabb részét rajzoltuk be. Végül Tian és Yau a pontszerű lyukat finoman felhasítva (11.4 (a) ábra) fokozatosan kitágították, majd peremét labda alakúvá ragasztották össze (11.4 (b) ábra), végül felfújták a labdát szép feszesre (11.4 (c) és (d) ábrák). A matematikusok a transzformáció-sorozatot flopátmenetnek nevezik.

Ez olyan, mintha az eredeti labda alakzat másképpen jelenne meg a Calabi-Yau alakzatban. Yau, Tian és mások észrevették, hogy bizonyos feltételek mellett az ily módon keletkezett új Calabi-Yau alakzat topológiailag különbözik az eredetitől. Azaz, nem tudjuk az eredeti 11.3 (a) alakzatot a végső, 11.4 (d) alakzatba deformálni anélkül, hogy a Calabi-Yau alakzat szövedékét a transzformáció során el ne szakítanánk.

11.3 ábra  A Calabi-Yau tér gömbje ponttá zsugorodik, átszúrva a ter szövedéket. A jelenlegi egyszerűsített ábra ezt a Calabi-Yau alakzat részleges ábrázolásán mutatja be. A következő ábrákon szintén ezt a részleges ábrázolást alkalmazzuk.

11.4 ábra Egy kilyukadt Calabi-Yau tér létrehoz, majd megnöveszt egy kisimult felszínű gömböt. A 11.3 ábra eredeti gömbje, kissé módosult helyzetben, újból megjelenik.

Matematikai szempontból Yau és Tian eljárása azért érdekes, mert új Calabi-Yau terek előállítását teszi lehetővé a már ismertekből. Igazi jelentősége azonban a fizika birodalmában ragyog fel, ahol a következő nyugtalanító kérdéshez vezet. Absztrakt matematikai létezésén túlmenően, a 11.3 (a) ábrával kezdődő és 11.4 (d) ábrával végződő transzformáció-sorozat előfordulhat-e a természetben? Megtörténhet-e, Einstein várakozásaival ellentétben, hogy szétszakad a tér szövedéke, majd a leírt módon sérülése kijavul?

A tükör perspektíva

Az 1987-es észrevételt követő években Yau gyakran bátorított arra, hogy a flopátmenetek fizikai alkalmazásain gondolkodjak. Nem tettem meg. Olybá tűnt nekem, hogy a flopátmenetek csupán matematikai absztrakciók, melyek nincsenek hatással a húrok fizikájára. Tulajdonképpen a 10. fejezetben tárgyaltak értelmében, ahol láttuk, hogy a körkörös dimenziók minimális sugárral rendelkeznek, mondhatnánk, hogy a húrelmélet nem engedi meg a 11.3 ábra gömbjének egyetlen pontba való összehúzódását. Azonban amint azt a 10. fejezetben már említettük, ha egy térdarab összeomlik - jelen esetben egy gömbszerű tartomány -, a teljes térdimenzió összeomlásával ellentétben, a kis és nagy kiterjedések azonosítását lehetővé tevő érv már nem alkalmazható fenntartások nélkül. De még ha az érv jogossága a flopátmenetek kizárásában nem is bizonyosodik be, a tér szövedékének szakadása akkor is roppant valószínűtlennek tűnik.

És akkor, 1991-ben Andy Lütken norvég fizikus Paul Aspinwall-lal együtt (aki doktorandusz társam volt Oxfordban, jelenleg pedig a Duke Egyetem professzora) a későbbiek során roppant érdekesnek bizonyult kérdést tettek fel. Ha a mi Univerzumunk Calabi-Yau tartományának valamely darabkája egy térszaggató flopátmeneten esne át, hogyan festene mindez a tükör Calabi-Yau alakzat perspektívájából? Hogy megérthessük a kérdés motivációját, emlékezetünkbe kell idézni, hogy a tükörpárost alkotó Calabi-Yau alakzatok (amennyiben az extra dimenziót írják le) azonos fizikához vezetnek, azonban a két alakzatból nyerhető információkhoz távolról sem azonos nehézségi fokú számolások vezetnek el. Aspinwall és Lütken abban bíztak, hogy a 11.3 és 11.4 ábrákon feltüntetett transzformációk tükörképe jóval egyszerűbb - így a hozzátartozó fizika is átláthatóbbá válna.

Munkájuk idején a tükrözési szimmetriát még nem értették olyan mélységében, mely a kérdés megválaszolását lehetővé tette volna. Ennek ellenére Aspinwall és Lütken megállapíthatta, hogy a tükörleírásban semmi sem utal a flopátmenetek által okozott térlyukadásokkal kapcsolatos fizikai következmények borzalmas voltára. Akkoriban történt, hogy a Plesserrel együtt kifejtett Calabi-Yau tükörpárosokkal kapcsolatos munkásságunk (lásd a 10. fejezetet) váratlanul a flopátmenetek környékére vezetett bennünket is. Jól ismert matematikai tény, hogy a tér pontjainak a 10.4 ábrához hasonló összeragasztása - ezt az eljárást használtuk fel a tükörpárosok megalkotásához - a 11.3 és 11.4 ábrákon bemutatott kilyukadáshoz vezethet.

Fizikai szempontból azonban Plesser és én nem találtunk a lyukadással együtt járó semmilyen természeti csapást. Mi több, Aspinwall és Lütken megfigyelésétől (valamint egy Graham Ross-szal közösen írt korábbi cikküktől) megihletetten, Plesser és én rájöttünk, hogy matematikai szempontból a lyukat két különböző módon is kijavíthatjuk. Egyik módszer a 11.3 (a) ábra Calabi-Yau teréhez vezetett, míg a másik a 11.4 (d) ábráéhoz. Ez számunkra erős jelzés volt arra nézve, hogy a 11.3 (a) ábrából a 11.4 (d) ábrába való fejlődés akár a természetben is bekövetkezhet.

1991 végére néhány húrelméleti kutató erősen gyanította már, hogy a tér szövedéke hasadhat. Azonban egyikük sem rendelkezett azon technikai eszköztárral, melynek segítségével akár a megdöbbentő állítást, akár az ellenkezőjét bizonyíthatná.

Továbbaraszolás

1992 folyamán Plesser és jómagam azon fáradoztunk, hogy kimutassuk: a tér szövedéke elszenvedheti a szakadásokat okozó flopátmene- teket. Számításaink apró biztató jelzéseket villantottak fel, de végleges bizonyítékot nem találtunk. Valamikor a tavasz folyamán Plessert meghívták előadást tartani a princetoni Advanced Study Intézetbe. Wittennek magánbeszélgetésben számolt be legfrissebb próbálkozásainkról, melyek a térszakító flopátmenetek matematikájának beépítését célozták meg a húrelmélet fizikájába. Miután összefoglalta elképzeléseinket, Plesser Witten válaszát várta. Witten elfordult a táblától és kifele révedt irodája ablakán. Úgy egy-, talán kétpercnyi csönd után visszafordult Plesserhez és közölte vele, hogy amennyiben ötletünk működni fog, az „látványos lenne". Válasza szárnyakat adott nekünk. De egy idő után, ahogy haladásunk a témában ellankadt, mindketten más húrelméleti terveken kezdtünk dolgozni.

Mégsem tudtam szabadulni a térhasító floptranszformációk felkavaró lehetőségétől. Amint a hónapok teltek, egyre nőtt bennem a bizonyosság, hogy a húrelmélet szerves részévé kell válniuk. A Plesser és általam végzett előzetes számolások, valamint a Duke Egyetem matematikusával, Dávid Morrisonnal való mélyenszántó beszélgetéseink erősítették meg bennem, hogy a tükrözési szimmetriából csakis ez következhet. Egyik látogatásomkor a Duke-on, az Oklahomai Állami Egyetemen dolgozó Sheldon Katz - aki akkoriban szintén a Duke-on vendégeskedett - néhány hasznos megfigyelésével felfegyverkezve, Morrison és én kidolgoztuk a flopatmenetek húrelméletben való bekövetkeztének bizonyítási stratégiáját. Amikor azonban nekiültünk elvégezni a konkrét számolásokat, rendkívül nehezeknek találtuk őket. Még a világ leggyorsabb számítógépén is egy évszázadnál hosszabb ideig futottak volna.

Valamekkora haladást elértünk ugyan, de teljesen világos volt, hogy friss ötletre lesz szükség, olyanra, mely drámai módon feljavíthatja számolási módszerünket. Bár tudtán kívül, az esseni egyetem egyik matematikusa, Victor Batyrevpontosan ilyen ötlettel látott el bennünket 1992 tavaszán nyilvánosságra hozott néhány cikkében.

Batyrevet roppantul érdekelte a tükrözési szimmetria, főként miután Candelas és munkatársai megoldották a 10. fejezet végén ismertetett gömbszámlálási problémát. A matematikus szemszögéből mégsem lehetett elégedett a Plesser és általam kidolgozott módszerekkel, melyekkel a Calabi-Yau alakzatok tükörpárosait találtuk meg. Bár a mi eljárásunk a húrelmélet kutatói számára ismerős eljárásokat használt fel, Batyrev később bevallotta nekem, hogy számára cikkünk nem volt több „fekete mágiánál". Megnyilatkozása jól fejezi ki a matematikai és fizikai tudományok közötti kulturális vízválasztót. Ahogy a húrelmélet szétrobbantja meglévő korlátaikat, a nyelvezetbeli, módszerbeli, stílusbeli hatalmas különbségek fokozottan tűnnek szembe. A fizikusok leginkább az avantgárd zeneszerzőkre emlékeztetnek, akik a hagyományos szabályokat szeretnék módosítani, és az elfogadhatóság határát odébb tolni, csakhogy megoldást találjanak a bensőjüket szétfeszítő problémákra. A matematikusokat inkább a klasszikus zeneszerzőkhöz hasonlítanám, akik tipikusan sokkal szigorúbb keretrendszerben tevékenykednek, és akik nem lépnek tovább mindaddig, míg az összes korábbi lépést nem tisztázták megnyugtató módon. Mindkét eljárás előnyökkel és hátrányokkal jár, és mindkettő a maga módján képes alkotó felfedezésekhez vezetni. Akár a modern és klasszikus zene esetén, nem lehet azt mondani, hogy egyik eljárás helyes, a másik helytelen volna - a választott módszer nagymértékben függ az egyéni ízléstől és felkészültségtől.

Batyrev sokkal hagyományosabb módon veselkedett neki a tükörsokaságokat megalkotó matematikai módszernek, és sikerrel járt. A tajvani Shi-Shyr Roan matematikus korábbi munkáját felhasználva, módszeres eljárást talált olyan Calabi-Yau párosok előállítására, melyek egymás tükörképei. Konstrukciója egybeesik a Plesser és általam felállítottál az általunk is vizsgált esetekben, de sokkal általánosabb és a matematikusok számára érthetőbb nyelvezeten íródott.

Érdekes módon Batyrev cikkei olyan matematikát tartalmaztak, amivel a fizikusok többsége sohasem találkozott korábban. Nekem például sikerült megértenem a lényeges gondolatokat, de nehézségeim támadtak sok részlet megértésében. Valami mindenesetre világossá vált. A cikk által használt módszerek, megfelelő megértésük és alkalmazásuk után a térszaggató flopátmenetek elméletének új eszközévé válhatnak.

Nyár végére, a fejlemények által felvillanyozva, úgy döntöttem, hogy vissza szeretnék térni a flopok témaköréhez, mégpedig teljes erőbedobással. Megtudtam Morrisonról, hogy egy évre elhagyja Duke-ot és az Advanced Study Intézetbe látogat, tudtam azt is, hogy Aspinwall szintén ott lesz posztdoktori állásban. Néhány telefonhívás és e-mail után sikerült elintéznem, hogy én is elmehessek az intézetbe a Cornellről.

A stratégia megszületik

Nehezen találhatnánk alkalmasabb helyet az órákig tartó intenzív koncentrációra az Advanced Study Intézetnél. Az 1930-ban megalapított intézmény a princetoni egyetem kampuszától néhány mérföldnyire egy idilli erdő szélén fekszik. Azt szokták mondani, hogy ebben az intézetben semmi sem terelheti el az ember figyelmét a munkáról, egyszerűen nincsenek zavaró tényezők.

Miután 1933-ban elhagyta Németországot, Einstein az intézetbe érkezett és életének hátralévő részében ott is maradt. Nem nehéz elképzelni, amint az intézet csöndes, szinte már aszkétikus környezetében az egyesített térelméletről töpreng. A mély gondolatok hagyománya áthatja az intézetet, ami lelkesítő vagy éppen nyomasztó is lehet attól függően, hogy a látogató saját munkájában milyen haladást ért el.

Röviddel az intézetbe érkezésem után, Aspinwall-lal a Nassau utcán sétáltunk (ez Princeton fő kereskedelmi utcája) és próbáltunk megegyezni az ebédünk színhelyében. Ez nem volt egyszerű feladat, mert Paul éppen olyan elkötelezett húsevő, amennyire én meggyőződéses vegetáriánus vagyok. Miközben igyekeztünk dűlőre jutni az ebéd ügyében, a séta közepén hirtelen megkérdezte, van-e valamilyen új ötletem, amin dolgozhatnánk. Erre beszámoltam neki meggyőződésemről, hogy amennyiben az Univerzumot valóban a húrelmélet íija le, a térszakító flopátmenetek a valóságban is bekövetkezhetnek. A meggyőződés bizonyítására elképzelt stratégiát is felvázoltam neki, valamint a legújabb reményeimet, hogy Batyrev munkája segítségünkre lehet a hézagok befoltozásában. Azt hittem, Paul fellelkesedik az ötlettől, azonban nem így történt. Visszagondolva már látom, hogy fenntartásai a kettőnk hosszú és gyümölcsöző intellektuális kapcsolatának azon sajátosságából eredtek, hogy mindketten az ördög ügyvédjének szerepét játsszuk a másik ötleteivel szemben. Néhány nap elteltével megváltoztatta álláspontját és teljes lelkesedéssel a flopoknak szenteltük figyelmünket.

11.5 ábra A térszakító flopátmenet (felső sor) és a tükörkép újrafogalmazása (alsó sor).

Akkoriban érkezett meg Morrison is, és hármasban az intézet teázó- jában találkoztunk, hogy kidolgozzuk a stratégiát. Megegyeztünk abban, hogy a legfontosabb cél annak a meghatározása, hogy a 11.3 (a) ábrától a 11.4 (d) ábrához vezető transzformáció-sorozat bekövetkezhet-e az Univerzumban? A probléma közvetlen kezelése borzasztó nehéznek tűnt, az átalakulást jellemző egyenletek bonyolultsága miatt, mely éppen a szakításkor válik a leghangsúlyosabbá. Ezért a problémát tükörleírásban szerettük volna megvizsgálni, annak reményében, hogy az előálló egyenletek kezelhetőek lesznek. Ezt vázlatosan a 11.5 ábra mutatja be: a felső sor az eredeti 11.3 (a)-ból a 11.4 (d)-be vezető fejlődést, az alsó sor pedig a tükör Calabi-Yau alakzat szempontjából ábrázolja ugyanazt a transzformációt. Mint néhányan közülünk már észrevehették, a tükörleírásban a húrok fizikája teljesen jól viselkedik, semmilyen katasztrófa nem következik be. Láthatjuk, hogy az ábra alsó sora semmilyen becsípődést vagy szakadást nem tartalmaz. A megfigyelésből számunkra következő igazi kérdés azonban az volt, hogy a tükrözési szimmetriát vajon nem alkalmazhatósági területén kívül próbáljuk-e felhasználni? Bár a felső és alsó sor bal oldalain álló Calabi-Yau alakzatok azonos fizikához vezetnek, igaz-e az, hogy különböző' fejlődéseik - melyek közül a felső sor a becsípődés, szakadás, javítás szakaszain is kényszerűen átmegy - nyomán megmarad az eredeti és tükör perspektívák azonossága?

Bár nyomós okaink voltak arra, hogy higgyünk a tükrözési kapcsolatban mindaddig, míg a felső sorban a becsípődés és a szakadás bekövetkezik, rá kellett jönnünk, hogy semmi sem biztosítja az ábrák szakadás utáni részein bemutatott Calabi-Yau alakzatok tükörpáros jellegét. Ez kulcsfontosságú kérdés, hiszen amennyiben egymás tükörképeinek bizonyulnak, a katasztrófamentes tükörleírás azt jelentené, hogy az eredeti is katasztrófamentes, vagyis a húrelmélet megengedi a tér szakadását. Rájöttünk arra is, hogy a kérdést a következő számolásra egyszerűsíthetjük: következtessük ki a felső sor Calabi-Yau alakzatához tartozó univerzum fizikai tulajdonságait a szakadás után, majd járjunk el ugyanúgy az alsó sor esetében (a sorok jobb oldali alakzatait használva), végül döntsük el, hogy a fizikai tulajdonságok azonosak-e?

Ez volt az a számolás, melybe Aspinwall, Morrison és én belemerültünk 1992 őszén.

Késő éjszakák Einstein utolsó szórakozóhelyén

Edward Witten borotvaéles intellektusa szelíd viselkedés mögé rejtőzik, mely gyakran fintorgó, szinte ironikus éllel párosul. Sokak szerint ő Einstein utóda a világ legjelentősebb élő fizikusaként. Némelyek tovább lépnek és minden idők legnagyobb fizikusának nevezik. Csillapíthatatlan étvággyal veselkedik neki a fizika legélesebb problémáinak és hatalmas befolyást gyakorol a húrelmélet kutatási irányzatainak kijelölésében.

Witten termékeny munkásságának szélessége és mélysége legendás. Felesége, Chiara Nappi, aki szintén az intézet fizikusa, úgy festi le Wittent, amint a konyhaasztalnál ülve fejben feszegeti a húrelméleti tudás határait és csak néha ragad tollat és papírt egy-két részlet ellenőrzéséhez.³ Egy másik történet egy posztdoktori ösztöndíjastól származik, aki valamelyik nyáron a Witten irodájával szomszédos irodában dolgozott. Elmeséli, hogy miközben ő fáradságosan küzd a komplex húrelméleti számolásokkal, Witten számítógép-billentyűzetének ritmikus kopogását hallja, amint elméjéből egyenesen fájlba önti egyik forradalmi ötletet tartalmazó cikkét a másik után.

Úgy egy héttel érkezésem után Wittennel csevegtünk az intézet udvarán és ő kutatási terveimről kérdezgetett. Beszámoltam a térszakító flopokról és a stratégiáról, melyet követni kívántunk. Az ötlet felvillanyozta, azonban figyelmeztetett, hogy úgy gondolja, a számolások borzalmasan nehezek lesznek. Ezenkívül felhívta a figyelmet a lehetséges kapcsolatra egy másik munkámmal, melyen évekkel korábban Vafával és Warnerrel dolgoztam együtt. A felvetett ötlet később csupán érintőlegesnek bizonyult a flopok megértésének szempontjából, azonban gondolkodásra késztették őt olyan dolgokról, melyek idevágó és kiegészítő jellegűnek bizonyultak.

Aspinwall, Morrison és én felosztottuk a számolást két részre. Első látásra természetesnek tűnt, hogy elsőként a felső sor jobb oldali Calabi- Yau alakzatához tartozó univerzum fizikai tulajdonságait határozzuk meg, majd ugyanezt tegyük a 11.5 ábra alsó sorának jobb oldali Calabi- Yau alakzatával is. Amennyiben a tükrözési viszonyt nem rontja el a felső Calabi-Yau szakadása, a két Calabi-Yau azonos fizikához kell, hogy vezessen, akárcsak a két eredeti Calabi-Yau alakzat, amiből kialakultak. (A probléma ilyen kezelése megkímél bennünket a felső Calabi-Yau alakzat szakadásakor elvégzendő nehéz számolásoktól.) Azonban kiderült, hogy a felső sor végső Calabi-Yau alakzatával kapcsolatos számolás eléggé egyszerű és az igazi nehézséget az alsó sor végső Calabi-Yau alakzatának - a felső tükörképének -pontos meghatározása és a belőle származó fizika levezetése jelentik.

Évekkel korábban Candelas kidolgozott egy eljárást a második feladat megvalósítására (kikövetkeztetni a fizikai tulajdonságokat az alsó sor végső Calabi-Yau alakzatából, mihelyt utóbbit sikerül meghatározni). Az eljárás azonban roppant számolásigényes és rájöttünk, hogy egy ügyes számítógépes programra lenne szükség, ahhoz hogy a bennünket érdeklő esetre alkalmazható legyen. Aspinwall, aki amellett, hogy kiváló fizikus, egy számítógépes zseni, vállalta a kihívást. Morrisonra és rám hárult az első feladat megoldása, a leendő végső tükör Calabi-Yau alakzat meghatározása.

Éppen itt számítottam a Batyrev munkájából leszűrhető segítségre. Azonban a matematikusok és fizikusok közötti - ebben az esetben a Morrison és énköztem fennálló - kulturális választóvonal újból lelassította a dolgokat. Egyesítenünk kellett a két tudományterület erejét, hogy meghatározhassuk az alsó sor azon Calabi-Yau alakzatának matematikai formáját, amely - amennyiben a flopszakadások a természet eszközeinek bizonyulnak - ugyanazt a fizikát adja, mint a felső sor végső Calabi-Yau alakzata. Azonban egyikünk sem volt eléggé tárgyalóképes a másik nyelvezetében ahhoz, hogy célt érhessünk. Világossávált mindkettőnk számára, hogy fejlesztenünk kell tudásunkat, így elkezdtünk mindketten előadásokat hallgatni a másik szakterületéről. Nappal a számolásokban próbáltunk legjobb tudásunk szerint haladást elérni, esténként pedig egyszerre voltunk professzorok és diákok egyszemélyes osztályokban: én Morrisont egy-két órán keresztül a vonatkozó fizikára tanítottam, ő pedig egy-két órás előadást tartott nekem a vonatkozó matematikáról. A tanítás általában este 11-kor ért véget.

Naphosszat egyebet sem csináltunk. A haladás nem volt gyors, de éreztük, hogy lassacskán a dolgok a helyükre kerülnek. Ezalatt Witten lényegesen előrelépett a korábban általa talált kapcsolat újrafogalmazása ügyében. Munkája új és erőteljes kapcsolatot létesített a húrelmélet fizikája és a Calabi-Yau alakzatok matematikája között. Aspinwall, Morrison és én szinte naponta tárgyaltunk Wittennel, aki új közelítéséből fakadó meglátásait megosztotta velünk. Amint a hetek teltek, világossá vált, hogy a miénktől teljesen különböző felfogásból kiindulva, munkája szintén a flopátmenetek irányába vezet. Aspinwall, Morrison és én rádöbbentünk, hogy amennyiben nem fejezzük be hamarosan számolásainkat, Witten hamarabb ér célba.

Munkás hétvégek és hat doboz sör

Semmi sem élezi ki annyira a fizikus intellektusát, mint egy adag egészséges versengés. Aspinwall, Morrison és én magasabb fokozatra kapcsoltunk. Ez mást jelentett Morrisonnak és nekem, megint mást Aspinwall számára. Aspinwall érdekes keveréke a felsőosztálybeli brit érzékenységnek, melyet az Oxfordban diákként majd doktoranduszként eltöltött évtizednek és a csavargó kópéságának köszönhet. A munka szempontjából valószínűleg ő a legcivilizáltabb fizikus mindazok közül, akiket ismerek. Míg sokunk éjszakába nyúlóan dolgozik, délután 5 után Aspinwall sohasem. Míg sokan hétvégén is dolgozunk, Aspinwall nem. Megteheti, mert pontos és hatékony. Magasabb sebességre kapcsolni számára csak annyit jelent, hogy még hatékonyabban használja ki munkaidejét.

December eleje volt. Morrison és én már hónapok óta tanítottuk egymást és ez kezdett megtérülni. Nagyon közel álltunk a végső Calabi- Yau alakzat meghatározásához. Ráadásul Aspinwall éppen befejezte számítógépes programját és most csak a mi eredményünkre várt, mely programjához a bemenő információt adja. Csütörtök este volt, amikor Morrison és én végre megbizonyosodtunk a módszerről, melynek segítségével a keresett Calabi-Yau alakzatot beazonosíthattuk. A módszer egy másik, egyszerűbb számítógépes programot használt fel. Péntek délutánra ez a program is készen állt, hibáit kijavítottuk. Péntek éjszakára meglett az eredményünk.

De ez délután 5 után volt és pénteken. Aspinwall hazament és hétfő reggelig már be sem jön. Semmit sem tehettünk az ő számítógépprogramja nélkül. Sem Morrison, sem én nem tudtuk volna elképzelni, hogy az egész hétvégét tehetetlen várakozással töltsük el. A régóta keresett válasz közelében voltunk, egy hajszálra attól, hogy megtudjuk, lehetségesek-e térszakadások a kozmosz szövedékében? A feszültség túlságosan nagy volt. Rácsörögtünk Aspinwallra otthonában. Először visszautasította kérésünket, hogy munkába jöjjön másnap reggel. Végül, hosszas fontolgatás után megígérte, hogy csatlakozik hozzánk, amennyiben kap tőlünk hat doboz sört. Beleegyeztünk.

Az igazság pillanata

Szombaton reggel a tervek szerint mindannyian az intézetben voltunk. Napfényes idő volt, a hangulatunk tréfás és könnyed. Én legalábbis félig-meddig attól tartottam, hogy Aspinwall mégsem jön el. Amint megjelent, jó 15 percet szántam arra, hogy elmagyarázzam a legelső munkában töltött hétvégéjének a jelentőségét. Biztosított róla, hogy másodszor nem fordulhat elő.

Valamennyien bezsúfolódtunk Morrison számítógépe elé a kettőnk irodájában. Aspinwall elmagyarázta Morrisonnak, hogyan varázsolhatja programját a képernyőre és megmutatta, milyennek kell lennie a bemenetnek. Morrison alkalmas alakra hozta az előző éjszaka talált eredményünket és készen álltunk a futtatásra.

A számítás bizonyos részecskék - a húr sajátos rezgési mintázatai - tömegének meghatározását célozta meg egy olyan univerzumban, melyhez tartozó Calabi-Yau alakzat meghatározásával töltöttük el az egész őszt. A korábban tárgyalt stratégia értelmében azt reméltük, hogy ez a tömeg egyezni fog a térhasító flopátmeneten átesett Calabi-Yau alakzaton végzett hasonló számolás eredményével. Utóbbi volt az az aránylag egyszerű számítás, amelyet hetekkel korábban fejeztünk be, es eredménye 3 lett, az általunk használt mértékegységrendszerben. Mivel reményeink szerint éppen a tükörszámolást hajtjuk végre numerikusan, arra számítottunk, hogy valami nagyon közeli értéket, mondjuk, 2,999999-et vagy 3,000001-et kapunk, de nem pontosan 3- at. A kis különbséget a kerekítések okozhatják.

Morrison a gép előtt ült, ujja tétován az Enter billentyűn. A feszültség nőttön-nőtt, aztán kimondta: rajta, és elindította a programot. Néhány másodperc elmúltával a számítógép a következő eredményt adta: 8,999999. A szívverésem kihagyott. Lehetséges lenne, hogy a térszakító flopátmenetek meghiúsítják a tükrözési kapcsolatot, vagyis be sem következhetnek?

De azon nyomban rájöttünk mindhárman, hogy valami érdekes történt. Ha a kétféle alakzatból következő fizikák között igazi különbség lenne, roppant valószínűtlen, hogy a számítógépes számolás egész számhoz annyira közelálló értéket eredményezzen. Ha elképzeléseink rosszak, számjegyek véletlenszerű sorozatát várhattuk volna. Helytelen választ kaptunk ugyan, de talán csak azért, mert valahol egy egyszerű aritmetikai hibát követtünk el. Aspinwall és én a táblához lépve, egyetlen szempillantás alatt találtuk meg a hiba forrását: elhagytunk egy 3-as szorzót a hetekkel korábban végzett „egyszerűbb" számolásból. A helyes eredmény 9 volt. A számítógép válasza így pontosan az lett, amit szerettünk volna.

Persze, a másodszori próbálkozásból született egyezés csak részben volt meggyőző. Amikor az ember már tudja a választ, az gyakran egyszerűen is levezethető'. Szükségünk volt egy újabb példára. Mivel szinte az összes számítógépes program rendelkezésre állt, ez nem volt különösebben nehéz feladat. A fenti Calabi-Yau alakzatból egy másik részecske tömegét is kiszámoltuk, vigyázva, hogy ne kövessünk el újabb hibát. Az eredmény 12 lett. Újból a számítógép köré sereglettünk és lefuttattuk a programot. Néhány másodperc után megjött az eredmény: 11,999999. Egyezés! Kimutattuk, hogy a feltételezett tükörkép valóban tükörkép, így a térhasító flopátmenetek a húrelmélet részét képezik.

Ekkor felugrottam székemből és feltartózhatatlan diadalkört futottam az irodámban. Morrison arca ragyogott a számítógép mögött. Aspinwall reakciója azonban teljesen más volt. „Szép-szép, bár tudtam, hogy működni fog", jelentette ki nyugodtan. „Egyébként hol a söröm?"

Witten eljárása

A következő hétfőn diadalittasan vonultunk Wittenhez, beszámolni sikerünkről. Nagyon elégedett volt eredményünkkel. És, mint kiderült, ő is talált egy módszert annak kimutatására, hogy a flopátmenetek előfordulnak a húrelméletben. Az ő érve teljességgel különbözött a miénktől, és mikroszkopikus közelítésben világítja meg, miért nem okoznak katasztrófát a tér szakadásai.

Eljárása kihangsúlyozza a pontrészecske-elmélet és a húrelmélet közötti különbségeket, melyek a szakadások bekövetkeztekor fokozottan nyilvánulnak meg. A kulcsfontosságú különbség abban áll, hogy a szakadás környezetében kétféle húrmozgás, de csupán egyetlen részecskemozgás lehetséges. Egész pontosan, a húr, a részecskéhez hasonlóan, elmozdulhat a szakadás mentén is, de körbe is burkolhatja a szakadást mozgása közben, mint ahogyan a 11.6 ábrán látható. Lényegében Witten elemzése arra mutat rá, hogy a szakadást beburkoló húrok megvédik az Univerzumot a pontrészecske-elméletben előjövő katasztrofális következményektől. Olyan ez, mintha a húr kétdimenziós világfelülete - emlékezzünk a 6. fejezetből, hogy a húr egy kétdimenziós felületen seper végig térbeli mozgása során - védőburkot képezne, hogy jótékonyan elfedje a tér szövedékében bekövetkező geometriai degenerációt.

Jogosan kérdezhetnénk: mi van akkor, ha nincsenek a közelben a kialakuló szakadást jótékonyan eltakaró húrok? Szintén aggasztó az a kérdés is, hogy a szakadás kialakulásának pillanatában a húr - ami végtelenül vékony hurok - hatékonyabb védelmet biztosítana-e, mint mondjuk egy hulahoppkarika egy robbanássorozat körül? Mindkét kérdésre a választ a kvantummechanika 4. fejezetben tárgyalt központi sajátossága adja meg. Láthattuk, hogy Feynman kvantummechanikai felfogásában minden tárgy, legyen az részecske vagy húr, egyik helyről a másikra az összes lehetséges pályát bejárva jut el. A megfigyelt eredő mozgás az összes lehetséges pálya kombinációjából áll elő, az egyes pályák hozzájárulásának súlyát a kvantummechanika matematikája pontosan meghatározza. Amikor a tér szövedékében kialakul egy hasadás, a húrok lehetséges pályái között lesznek olyanok, melyek körbeölelik a szakadást - mint ahogyan a 11.6 ábrán látható. Még ha látszólag nincsenek is húrok a szakadás környékén, a kvantummechanikai hatásokat az összes elképzelhető húrpálya alakítja ki, és ezek között számos olyan van (tulajdonképpen végtelen számú), melyek jótékonyan megvédenek bennünket a szakadás látványától. Pontosan ezekről mutatta ki Witten, hogy megszüntetik a kozmikus katasztrófát, melyet a szakadás egyébként okozna.

1993 januárjában Witten és mi hárman egyszerre tettük fel cikkeinket az elektronikus világhálón található archívumba, ahonnan a fizikusok azon nyomban értesülhetnek a legújabb fejleményekről. A két cikk két teljesen különböző szemszögből tárgyalta a topológiaváltó átmenetek első példáit, ahogyan technikailag az általunk talált tér-hasító folyamatokat nevezik. A tér szövedékének elszakíthatóságát firtató régi kérdést a húrelmélet számítása megválaszolta.

Következmények

Beláttuk, hogy a tér szakadhat katasztrofális fizikai következmények nélkül is. De mi történik tulajdonképpen ilyenkor? Vannak-e megfigyelhető következmények? Láthattuk, hogy a körülvevő világ számos tulajdonsága a meggörbült dimenziók következménye. Ezért jogosan gondolhatnánk, hogy a 11.5 ábra első Calabi-Yau alakzatából egy másikba való transzformáció komoly fizikai következményekkel jár. Azonban az alacsony dimenziós ábrázolásainkban a helyzet valamivel bonyolultabbnak tűnik, mint amilyen a valóságban. Amennyiben a hatdimenziós geometriát ábrázolni tudnánk, azt látnánk, hogy bár a szövedék hasad, de ezt eléggé szelíd módon teszi. Inkább hasonlítható a moly rágására a gyapjúban, mint az elvásott nadrág mély térdráncára.

Hármunk munkája és a Witten eljárása megmutatta, hogy az olyan fizikai jellemzők, mind a húrvibrációk által meghatározott családok száma és a családok részecskéinek típusai nem változnak meg a transzformáció során. Amint a Calabi-Yau tér evolúciója a szakadáson átvezet, az egyes részecskék pontos tömegei - a lehetséges húrrezgések energiái - módosulhatnak. Cikkeink kimutatták, hogy a tér Calabi-Yau részének változó geometriai formájára válaszul a tömegek is folytonosan változnak, egyesek növekednek, mások pedig csökkennek. Ami elsődlegesen fontos, hogy nem lép fel semmilyen katasztrofális ugrás, megváltozás a tömegekben, amikor a szakadás bekövetkezik. A fizika szemszögéből semmi különös nem történik a szakadás pillanatában.

Itt két kérdés merül fel. Az első azzal kapcsolatos, hogy a hatdimenziós Calabi-Yau alakzatokban bekövetkező szakadásokról beszéltünk idáig. Bekövetkezhetnek-e hasonló szakadások a szokásos háromdimenziós terünkben is? A válasz majdnem bizonyosan, igen. Végül is a tér az tér - függetlenül attól, hogy fel van-e tekeredve Calabi-Yau alakzatba, vagy éppen az általunk ismert univerzum hatalmas kiterjedésű dimenzióivá simul szét, melyeket a csillagfényes éjszakákon csodálhatunk meg. Tulajdonképpen, mint korábban láttuk, fennáll a lehetősége annak, hogy a kiterjedt dimenziók önmagukba (az univerzum másik felébe) visszagörbülnek, így a felcsavarodott és fel nem csavarodott dimenziók közötti különbségtétel meglehetősen mesterkéltté válik. Bár mind a mi munkánk, mind Witten elemzése a Calabi-Yau terek speciális matematikáján alapul, az eredmény - miszerint a tér hasadhat - bizonyosan szélesebb körben alkalmazható.

Második kérdésünk: megtörténhet-e még ma vagy holnap a topológiaváltoztató transzformáció? Megtörténhetett-e a múltban? A válasz a határozott igen. Az elemi részecskék kísérleti vizsgálata azt mutatja, hogy tömegeik időben stabil állandó értéken maradnak. Azonban ha visszamegyünk az Ősrobbanást közvetlenül követő időkig, még a nem húrokra épülő elméletek is jósolnak olyan korszakokat, melyekben a részecskék tömege időben megváltozott. A húrelmélet szemszögéből ezek a periódusok bizonyosan kapcsolatban állhattak a jelen fejezetben tárgyalt térhasadásokkal. A jelenhez visszatérve, a részecskék tömegeinek megfigyelt stabilitása azt jelenti, hogy amennyiben jelenleg az univerzum topológiaváltoztató térhasadáson esne is át, ez rendkívül lassan történik, a változás kisebb a műszereink jelenlegi érzékenységi küszöbénél. Figyelemre méltó, hogy a lassúsági feltétel teljesülése mellett az univerzum akár egy térszakadás kellős közepén is lehet. Amennyiben eléggé lassan következik be, észre sem vehetnénk, mi folyik. Ez a fizikában fellelhető egyik olyan kivételes helyzet, amikor a szembetűnő jelenség hiánya nagy örömre ad okot. Az egzotikus geometriai evolúció következményeként fenyegető katasztrófák hiánya is mutatja, mennyire túlhaladta Einstein várakozásait a húrelmélet.