EL TEOREMA DE JOHN BELL

John Bell, un hombre pelirrojo y pecoso que era tranquilo, educado e introspectivo, nació en Belfast, Irlanda del Norte, en 1928, en el seno de una familia de la clase trabajadora cuyos miembros eran herreros y granjeros. Sus padres fueron John y Annie Bell, cuyas familias habían vivido en Irlanda del Norte durante varias generaciones. El segundo nombre de John, Stewart, era el nombre de familia escocés de su madre, y en su casa le llamaron Stewart hasta que fue al colegio. La familia Bell era anglicana (miembros de la Iglesia de Irlanda), pero John cultivó amistades más allá de la religión o de la etnia, y muchos de sus amigos eran miembros de la comunidad católica. Los padres de Bell no eran ricos, pero valoraban la educación. Trabajaron duro a fin de ahorrar suficiente dinero para enviar a sus hijos a la escuela, aunque los hermanos de Bell la dejaron pronto para empezar a trabajar. Sus dos hermanos eran autodidactas, uno se hizo profesor y el otro llegó a ser un notable hombre de negocios.

Cuando tenía once años, John, que era un lector empedernido, decidió que deseaba llegar a ser científico. Tuvo mucho éxito en los exámenes de ingreso al bachillerato, pero desgraciadamente su familia no podía costear el enviarlo a una escuela con especial dedicación a la ciencia y tuvo que contentarse con su admisión en el Instituto Técnico de Belfast, donde fue educado a la vez académicamente y en áreas prácticas. Se graduó en 1944, a la edad de 16 años, y encontró un empleo como ayudante técnico en el departamento de física de la Queen’s University de Belfast. Allí trabajó bajo la supervisión del profesor Karl Emeleus, quien se dio cuenta del gran talento científico de su ayudante y le prestó libros e incluso le permitió asistir a cursos de primer año sin necesidad de matricularse en la universidad.

Tras un año como técnico, John fue aceptado como estudiante universitario y le concedieron una modesta beca que le permitió obtener una diplomatura en física. Se diplomó en 1948 en física experimental y permaneció un año más, al final del cual obtuvo una segunda diplomatura, esta vez en física matemática. Tuvo la suerte de estudiar con el físico Paul Ewald, un dotado refugiado alemán, que fue un pionero en el área de la cristalografía de rayos X. John sobresalía en física, pero no estaba contento con la manera en que se explicaba la teoría cuántica en la universidad. La profundidad de su mente comprendía que había algunos misterios en esa teoría que se habían pasado por alto en clase. No sabía, entonces, que nadie entendía esas inexplicadas ideas y que sería su propio trabajo lo que en su momento arrojaría luz sobre esos problemas.

Después de trabajar durante algún tiempo en el laboratorio de física del Queen’s College de Belfast, Bell entró en la Universidad de Birmingham, donde obtuvo el doctorado en física en 1956. Se especializó en física nuclear y teoría cuántica de campos, y tras recibir el grado de doctor trabajó durante varios años para la Agencia Británica de Energía Atómica.

Cuando estaba investigando en física de aceleradores en Malvern (Gran Bretaña), John conoció a Mary Ross, una compañera de trabajo especialista en esa área. Se casaron en 1954, y siguieron carreras en común, trabajando frecuentemente en el mismo proyecto. Tras haber conseguido sus títulos de doctor (ella lo obtuvo en física matemática por la Universidad de Glasgow) y trabajado durante varios años en Harwell para el establishment nuclear británico, comenzó a desilusionarles la dirección que el centro de investigación estaba tomando; abandonaron sus puestos estables en Harwell para ocupar plazas no permanentes en el Centro Europeo de Investigación Nuclear (CERN), en Ginebra. Allí, John trabajaba en la División de Teoría y Mary formaba parte del Grupo de Investigación en Aceleradores.

Toda la gente que conocía a John Bell quedaba impactada por su brillantez, honradez intelectual y modestia personal. Publicó muchos artículos y escribió muchos memorandos internos importantes, y para quienes le conocían estaba claro que era una de las mayores mentes de la época. Como investigador, Bell desarrolló tres carreras separadas: una fue el estudio de los aceleradores de partículas con los que trabajaba; otra, la física teórica de partículas que llevó a cabo en el CERN; y la tercera, la que al final hizo su nombre famoso más allá de la comunidad de físicos, fue su investigación sobre los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica.

Bell dedicaba sus horas de trabajo en el CERN casi exclusivamente a la física teórica de partículas y al diseño de aceleradores, de manera que sólo podía usar su tiempo libre en casa para seguir con lo que él llamaba su hobby: la exploración de los elementos básicos de la teoría cuántica. En 1963 se tomó un año de excedencia en el CERN y lo pasó en Stanford, la Universidad de Wisconsin y la Universidad de Brandeis. Fue durante ese año en el extranjero cuando empezó a abordar los problemas profundos de la teoría cuántica seriamente. Continuó su trabajo sobre estos temas tras su reincorporación al CERN en 1964, pero tuvo cuidado en mantener separada su implicación en la teoría cuántica de su trabajo «principal» de investigación en dicho organismo sobre partículas y aceleradores. La razón era que desde el principio de su carrera Bell ya se había dado cuenta de los puntos oscuros serios de la teoría cuántica. Mientras estaba de permiso en Estados Unidos, Bell tuvo la inspiración de que John von Neumann había cometido un error en sus hipótesis acerca de la teoría cuántica, pero, en sus propias palabras, «me escapé del problema».

A nadie le cabía la menor duda de que John von Neumann había sido un soberbio matemático, probablemente un genio. Y Bell no tenía nada que objetar a las matemáticas de Von Neumann; era la interfase entre matemáticas y física lo que le causaba problemas. En su libro primordial sobre los fundamentos de la teoría cuántica, Von Neumann había hecho una suposición —esencial para lo que venía después— que, a juicio de Bell, no tenía demasiado sentido físico. En su obra sobre la teoría cuántica Von Neumann supuso que el valor esperado (el promedio pesado con las correspondientes probabilidades) de la suma de varias magnitudes observables era igual a la suma de los valores esperados de dichas magnitudes por separado. [Matemáticamente, para observables A, B, C, … y operador de expectación E( ), Von Neumann creía que era natural tomar E(A + B + C + …) = E(A) + E(B) + E(C) + …] Bell sabía que esta aparentemente inocua suposición no era defendible cuando los observables A, B, C… se representan mediante operadores que no conmutan necesariamente entre sí. En un lenguaje no matemático, y de manera no muy precisa, diríamos que Von Neumann no había tenido en cuenta las consecuencias del principio de incertidumbre, puesto que los operadores que no conmutan no pueden medirse simultáneamente con exactitud debido a dicho principio.

El primer trabajo importante de Bell trató de los fundamentos cuánticos, y fue realmente su segunda publicación en esta área (un artículo escrito más tarde, que discutiremos enseguida, se publicó antes). En este artículo, «On the problem of hidden variables in quantum mechanics» (Sobre el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica), abordó el error en el trabajo de Von Neumann, así como dificultades similares con los trabajos de Jauch y Piron y de Gleason.

Andrew Gleason es un matemático de tanto prestigio como lo había sido Von Neumann. Es profesor en la universidad de Harvard, y adquirió su reputación al resolver uno de los famosos problemas de Hilbert. En 1957 escribió un artículo acerca de los operadores de proyección en el espacio de Hilbert. Sin Bell saberlo, el teorema de Gleason era relevante para el problema de las variables ocultas en mecánica cuántica. Josef Jauch, que vivía entonces en Ginebra, donde también vivían John y Mary Bell, despertó la atención de John Bell sobre dicho teorema cuando éste se hallaba investigando sobre lo que sería su primer artículo acerca de las variables ocultas. El teorema de Gleason es bastante general y no está dirigido a resolver problemas de la teoría cuántica; fue demostrado por un matemático puro con interés en matemáticas y no en física. No obstante, el teorema tiene un corolario con implicaciones importantes para la teoría cuántica. El corolario del teorema de Gleason implica que ningún sistema asociado mecanocuánticamente con un espacio de Hilbert de dimensión mayor que dos puede admitir un estado sin dispersión. Bell advirtió, sin embargo, que, si se relajan las premisas de Gleason, existe la posibilidad de una clase más general de variables ocultas, una clase de teorías que hoy día se conocen como teorías de variables ocultas «contextuales». Así pues, había un escape (para las teorías de variables ocultas) si se trataba de usar el teorema de Gleason en el contexto de la idea de EPR.

Los estados libres de dispersión son aquellos que pueden tener valores medidos con precisión absoluta. No tienen variación, ni dispersión, ni incertidumbre. Si los estados sin dispersión realmente existen, la precisión que revelan debe provenir de algunas variables ocultas no tenidas en cuenta (en la teoría cuántica) porque la teoría cuántica admite un principio de incertidumbre. En consecuencia, para escaparse de la incertidumbre remanente inherente a la mecánica cuántica a fin de obtener esos estados precisos, sin dispersión, se tendrían que usar variables ocultas.

Bell no entendía la prueba de Gleason del corolario de su teorema, así que construyó su propia demostración, que mostraba que excepto para el caso no importante de un espacio de Hilbert bidimensional, no existen estados sin dispersión y, por tanto, tampoco variables ocultas. En lo referente a Von Neumann, probó que la hipótesis empleada por éste era inapropiada y, en consecuencia, que sus resultados eran cuestionables. Tras hacer revivir la discusión sobre si existen variables ocultas en la teoría cuántica, Bell dio un paso adelante: abordó el problema de EPR y el entrelazamiento.

Bell había leído el artículo de 1935 de Einstein y sus colaboradores Podolsky y Rosen (EPR), que había sido publicado treinta años antes como un desafio a la teoría cuántica. Bohr y otros habían respondido a este artículo, y todo el mundo en física creía que la cuestión estaba resuelta y que se había demostrado que Einstein estaba equivocado. Pero Bell pensaba de otra manera.

John Bell se daba cuenta de una gran verdad acerca del argumento de EPR: sabía que Einstein y sus colegas estaban realmente en lo cierto. La «paradoja de EPR», como la llamaba todo el mundo, no era paradoja en absoluto. Lo que Einstein y sus colaboradores hallaron era algo crucial para nuestra comprensión del funcionamiento del universo. Pero ello no era que la teoría cuántica fuese incompleta, sino más bien que la mecánica cuántica y la insistencia de Einstein sobre el realismo y la localidad eran cosas que se contradecían, y ambas no podían ser ciertas. Si la teoría cuántica era cierta, la localidad no lo era; y si insistimos en la localidad, tiene que haber algo equivocado en la teoría cuántica como descripción del mundo de lo muy pequeño. Bell formuló esta conclusión como un profundo teorema matemático que contenía ciertas desigualdades. Sugirió que si estas desigualdades pudieran violarse, esta violación proporcionaría pruebas a favor de la mecánica cuántica y en contra de la hipótesis de sentido común de Einstein del realismo local. Por el contrario, si las desigualdades se satisficieran, ello probaría que la mecánica cuántica estaba equivocada y la localidad —en el sentido de Einstein— sería el punto de vista verdadero. De un modo más preciso, es posible violar ambas cosas, la mecánica cuántica y las desigualdades de Bell, pero es imposible que se satisfagan las desigualdades de Bell y las predicciones de la mecánica cuántica para ciertos estados cuánticos.

John Bell escribió dos artículos pioneros. El primero analizaba la idea de Von Neumann y otros sobre la existencia de variables ocultas, las cuales deberían hallarse y añadirse a la teoría cuántica para hacerla «completa», como habían demandado Einstein y colaboradores. En este artículo probó que el teorema de Von Neumann y otros teoremas que demostraban la imposibilidad de la existencia de variables ocultas en mecánica cuántica tenían fallos. Bell probó entonces su propio teorema, que establecía, de verdad, que las variables ocultas no podían existir. A causa de que hubo un retraso en su publicación, ese primer artículo importante de Bell se publicó en 1966, después de la aparición de su segundo artículo; éste, publicado en 1964, se titulaba «On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox» («Sobre la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen»), y en él aparecía el fundamental «teorema de Bell», que cambió nuestro modo de pensar acerca de los fenómenos cuánticos.

Bell usó una forma particular de la paradoja de EPR, la que había sido refinada y expuesta de manera más sencilla por David Bohm. Contempló el caso en el cual dos partículas entrelazadas de espín 1/2 en el estado singlete son emitidas por la misma fuente y analizó lo que sucede en tal experimento.

En el artículo, Bell decía que la paradoja de EPR había sido propuesta como un argumento a favor de que la teoría cuántica no podía ser completa y debe ser completada por medio de variables adicionales. Tales variables adicionales, según EPR, restituirían a la mecánica cuántica sus vacantes nociones de causalidad y localidad. En una nota, Bell citaba a Einstein:^[13.1]

Pero deberíamos mantener absolutamente, en mi opinión, la siguiente hipótesis: la situación real de hecho del sistema S₂ es independiente de lo que se haga con el sistema S₁ separado espacialmente de aquél.

Bell afirmaba que en su artículo demostraría matemáticamente que las ideas de Einstein sobre causalidad y localidad son incompatibles con las predicciones de la mecánica cuántica. Afirmaba además que era el requisito de localidad —que el resultado de una medida en un sistema no sea afectado por operaciones en un sistema distante con el cual ha interactuado en el pasado— lo que crea la dificultad esencial. El artículo de Bell presenta un teorema en forma de alternativa: o las variables ocultas locales son verdaderas o lo es la mecánica cuántica, pero no las dos a la vez. Y si la mecánica cuántica es la descripción correcta del micromundo, la no-localidad es una característica importante del mismo.

Bell desarrolló su importante teorema comenzando por suponer que existe algún modo de completar la mecánica cuántica con una estructura de variables ocultas, como habría demandado Einstein. Las variables ocultas llevan entonces la información que falta (en la mecánica cuántica). Las partículas están dotadas de un conjunto de instrucciones que les dice, de antemano, lo que han de hacer en cada eventualidad, es decir, en cada elección del eje respecto al cual podría medirse el espín. Por medio de esta suposición, Bell llegó a una contradicción, lo que mostraba que la mecánica cuántica no podía completarse con ningún esquema de variables ocultas. El teorema de Bell se expresa mediante una desigualdad. Esta desigualdad se refiere a la suma, S, de los resultados posibles del experimento obtenidos por Alicia y por Benito.

Dicha desigualdad se muestra en la figura siguiente.

La desigualdad de Bell es: –2 < S < 2

Según el teorema de Bell, si se viola la desigualdad anterior, esto es, la suma del resultado de Alicia y el resultado de Benito es mayor que dos o menor que menos dos, en algún experimento real con partículas o fotones entrelazados, entonces el resultado de dicho experimento constituye una prueba de la no-localidad, en el sentido de que algo que le sucede a la primera partícula afecta, instantáneamente, a lo que le sucede a la segunda, no importa lo lejos que pueda estar de aquélla. Lo que quedaba por hacer era que los experimentadores buscaran esos resultados.

Sin embargo, aquí había un problema. Bell dedujo su desigualdad a partir de una suposición de localidad haciendo uso de una hipótesis especial. Supuso que la teoría de variables ocultas está exactamente de acuerdo con la predicción de la mecánica cuántica para las dos partículas en el estado singlete, es decir, que, a lo largo de cualquier eje, el espín de la partícula 1 es opuesto al de la partícula 2 a lo largo del mismo eje. De modo que si los valores experimentales están de acuerdo con la predicción de la mecánica cuántica para la cantidad que aparece en la desigualdad de Bell, ello no implica la falsedad de la suposición de localidad salvo que haya pruebas de que la hipótesis especial de Bell es correcta, y tales pruebas son difíciles de obtener en la práctica. Este problema constituía una barrera para realizar tests experimentales definitivos. No obstante, Clauser, Horne, Shimony y Holt realizarían posteriormente una mejora que resolvería ese problema técnico y que permitiría la verificación experimental del teorema de Bell.

En cualquier caso, la conclusión del teorema de Bell era que las variables ocultas y una suposición de localidad no tenían lugar dentro de la mecánica cuántica, que era incompatible con tales suposiciones. El teorema de Bell era, así pues, un potente resultado en física.

«¿Sabe usted por qué fue Bell, y no alguna otra persona, quien abordó la paradoja de EPR y probó un teorema que establece que la no-localidad y la teoría cuántica van de la mano?», me preguntó Abner Shimony. «Todo el mundo que lo conocía tenía claro que debía ser John Bell», continuó. «Bell era un individuo único. Era curioso, tenaz y animoso. Tenía una personalidad más fuerte de lo común. Le metió mano al trabajo de Von Neumann —uno de los matemáticos más famosos del siglo XX— y, sin vacilar, demostró que la hipótesis de éste no era cierta. Después siguió con el de Einstein».

Einstein y sus colegas encontraban increíble el entrelazamiento entre sistemas bien separados espacialmente. ¿Cómo algo que ocurre en un lugar podría afectar instantáneamente a algo en un sitio diferente? Pero Bell era capaz de ver más allá de la intuición de Einstein y probar el teorema que inspiraría a los experimentadores para establecer que el entrelazamiento era un fenómeno real. Él estaba de entrada de acuerdo con Einstein, pero dejaba al experimento la verificación de si la creencia de éste sobre la localidad era correcta.

John Bell murió inesperadamente en 1990, a la edad de 62 años, debido a una hemorragia cerebral. Su muerte supuso una gran pérdida para la comunidad científica. Había continuado activo hasta sus últimos días, escribiendo y dando conferencias sobre mecánica cuántica, el experimento ideal de EPR y su propio teorema. De hecho, los físicos continúan mirando el teorema de Bell, con sus profundas implicaciones acerca de la naturaleza del espacio-tiempo y los fundamentos del cuanto, del mismo modo que lo han hecho durante las tres décadas pasadas. Casi todos los experimentos en conexión con el teorema han proporcionado un fuerte apoyo a la teoría cuántica y a la realidad del entrelazamiento y de la no-localidad.