6a. Электродинамика
Глава 22
ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
§ 1. Импедансы
§ 2. Генераторы
§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа
S 4. Эквивалентные контуры
§ 5. Энергия
§ 6. Лестничная сеть
§ 7. Фильтры
§ 8. Другие элементы цепи
Повторить: гл.2 (вып. 2) «Алгебра»; гл. 23 (вып. 2) «Резонанс»;
гл. 25 (вып. 2) «Линейные системы и обзор»
§ 1. Импедансы
В основном наши усилия при чтении этих лекций были направлены на то, чтобы получить полные уравнения Максвелла. В предыдущих двух главах мы обсудили следствия этих уравнений. Выяснилось, что они содержат объяснение всех статических явлений, которые мы изучали раньше, и явлений электромагнитных волн и света — вопроса, подробно изучавшегося в самом начале нашего курса. Уравнения Максвелла дают и то и другое, смотря по тому, где эти поля вычисляются: поблизости от токов и зарядов или же вдали от них. Есть и промежуточная область, но о ней ничего интересного сказать нельзя; там никаких особых явлений не происходит.
Но в электромагнетизме остается еще несколько вопросов, которые стоит осветить. Надо будет обсудить вопрос связи относительности и уравнений Максвелла, т. е. выяснить, что произойдет, если на уравнения Максвелла посмотреть из движущейся системы координат. Важен еще и вопрос о сохранении энергии в электромагнитных системах. Кроме того, существует обширная область электромагнитных свойств материалов; до сих пор мы рассматривали только электромагнитные поля в пустом пространстве, если не считать изучения свойств диэлектриков. Да и при изучении света все еще оставалось несколько вопросов, которые хотелось бы рассмотреть еще раз с точки зрения уравнений поля.
В частности, надо бы еще раз вернуться к вопросу о показателе преломления (особенно у плотных веществ). Наконец, интересны явления, связанные с волнами, заключенными внутри ограниченной области пространства. Мы кратко коснулись этой проблемы, когда изучали звуковые волны. Но уравнения Максвелла тоже приводят к решениям, которые представляют волны электрических и магнитных полей, замкнутые в некотором объеме. В одной из последующих глав мы рассмотрим этот вопрос, имеющий важные технические применения. И чтобы подойти к нему, мы начнем с того, что изложим свойства электрических цепей при низких частотах. После этого мы сможем сравнить такие системы, когда к уравнениям Максвелла применимо почти статическое приближение, и системы, в которых преобладают высокочастотные эффекты.
Итак, снизойдем с величественных и труднодоступных высот последних нескольких глав и обратим свой взор на сравнительно низменную задачу — задачу об электрических цепях. Впрочем, мы убедимся в том, что даже столь мирские дела оказываются весьма запутанными, если в них вникнуть достаточно глубоко.
В гл. 23 и 25 (вып. 2) мы уже обсуждали некоторые свойства электрических цепей (контуров). Теперь мы повторим часть изложенного там материала, но более подробно. Мы по-прежнему будем иметь дело с линейными системами и с напряжениями и токами, которые меняются синусоидально; поэтому мы можем представить все напряжения и токи в виде комплексных чисел, пользуясь экспоненциальными обозначениями, введенными в гл. 22 (вып. 2). Так, меняющееся во времени напряжение V(t) будет записываться в виде
(22.1)
где
— комплексное число, не зависящее от t. При этом, конечно, подразумевается, что настоящее переменное по времени напряжение V(t) представляется действительной частью комплексной функции в правой части уравнения.
Подобным же образом и все другие меняющиеся во времени величины будут считаться изменяющимися синусоидально с той же частотой w. Мы будем писать
(22.2)
и т. д.
Большей частью мы будем писать уравнения, пользуясь обозначениями V, I, e, ...
(вместо
...), помня при этом, что они изменяются со временем всегда так, как в (22.2).
В прежних наших рассуждениях об электрических цепях мы полагали, что такие вещи, как индуктивность, емкость и сопротивление, вам знакомы. Сейчас мы немного подробнее объясним, что понимают под этими идеализированными элементами схем. Начнем с индуктивности.
Фиг. 22.1. Индуктивность.
Индуктивность — это навитая в несколько рядов проволока в форме катушки, два конца которой выведены к зажимам на некотором расстоянии от катушки (фиг. 22.1). Предположим, что магнитное поле, создаваемое токами в катушке, не очень распространяется на все пространство и не воздействует на другие части цепи. Обычно этого добиваются, придав катушке форму лепешки или намотав ее на подходящий железный сердечник (это сжимает магнитное поле); можно еще поместить катушку внутрь металлической коробочки: схематически это показано на фиг. 22.1. В любом случае предполагается, что во внешней области у зажимов а и b магнитным полем можно пренебречь. Кроме того, мы будем считать, что электрическое сопротивление проводов в катушке можно не учитывать. И наконец, полагают, что можно пренебречь и электрическим зарядом, возникающим на поверхности провода, когда создаются электрические поля.
С учетом всех этих приближений и возникает то, что называют «идеальной» индуктивностью. (Позже мы вернемся к этому пункту и поговорим о том, что бывает в реальных индуктивностях.) Про идеальную индуктивность говорят, что напряжение на ее зажимах равно L(dl/dt). Почему? Когда через индуктивность идет ток, то внутри катушки создается магнитное поле, пропорциональное силе тока. Если ток во времени меняется, то меняется и магнитное поле. Вообще говоря, ротор Е равен —dB/dt; можно сказать и по-другому: контурный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен (с минусом) быстроте изменения потока В через контур. Представьте теперь себе следующий путь: начинается он на зажиме а и тянется вдоль катушки (оставаясь все время внутри провода) к зажиму b; затем возвращается от зажима b к а по воздуху в пространстве вне катушки. Контурный интеграл от Е по этому замкнутому пути можно записать в виде суммы двух частей:
(22.3)
Как мы уже выяснили раньше, внутри идеального проводника электрических полей существовать не может. (Малейшие поля вызвали бы бесконечно большие токи.) Поэтому интеграл от зажима а до bчерез катушку равен нулю. Весь вклад в контурный интеграл от Е приходится на путь снаружи индуктивности, от зажима bк зажиму а. А так как было предположено, что в пространстве вне «коробки» нет никаких магнитных полей, то эта часть интеграла не зависит от выбора пути. Значит, можно определить понятие потенциала обоих зажимов. Разность этих двух потенциалов и есть то, что называют напряжением V, так что
Полный интеграл по контуру — это то, что мы раньше называли э. д. с. e. Он, естественно, равен скорости изменения магнитного поля в катушке. Мы уже знаем, что эта э. д. с. равна (со знаком минус) быстроте изменения тока, так что
где L — индуктивность катушки. Поскольку dI/dt=iwI, то мы имеем
(22.4)
Тот способ, которым мы описали идеальную индуктивность, иллюстрирует общий подход к другим идеальным элементам цепи — обычно их называют «сосредоточенными» элементами. Свойства элемента полностью описываются на языке токов и напряжений, возникающих на его зажимах. Прибегнув к подходящим приближениям, можно игнорировать огромную сложность тех полей, которые возникают внутри объекта. То, что происходит внутри, отделяется от того, что происходит снаружи.
Для всех элементов цепи мы намерены сейчас найти соотношения, подобные формуле (22.4). В ней напряжение пропорционально силе тока с константой пропорциональности, которая, вообще говоря, есть комплексное число. Этот комплексный коэффициент пропорциональности называется импедансом, и его привыкли обозначать через z (не следует путать с координатой z). В общем случае это функция частоты w. Стало быть, для каждого сосредоточенного элемента мы напишем
(22.5)
Для индуктивности мы имеем
(22.6)
Фиг. 22.2. Емкость (или конденсатор).
Рассмотрим с этой точки зрения емкость . Она состоит из двух проводящих пластин (обкладок), от которых к нужным зажимам отходят два провода. Пластины могут быть любой формы и часто отделяются друг от друга каким-нибудь диэлектриком. Это схематически изображено на фиг. 22.2. Мы снова делаем несколько упрощающих предположений. Мы считаем, что пластины и провода — идеальные проводники, а изоляция между пластинами тоже идеальна, так что через нее никакие заряды с пластины на пластину перейти не могут. Затем мы предполагаем, что проводники находятся близко друг от друга, но зато аначительно удалены ото всех остальных проводников, так что все линии поля, выйдя из одной пластины, непременно оканчиваются на другой. И тогда заряды на пластинах всегда равны и противоположны друг другу, причем по величине намного превосходят величину заряда на поверхности проводов. И наконец, мы считаем, что поблизости от конденсатора магнитных полей нет.
Рассмотрим теперь контурный интеграл от Е вдоль замкнутой петли, которая начинается на клемме а, проходит внутри провода до верхней обкладки конденсатора, перескакивает промежуток между пластинами, проходит с нижней обкладки на клемму b и возвращается к клемме а по пространству снаружи конденсатора. Раз магнитного поля нет, контурный интеграл от Е по этому замкнутому пути равен нулю. Интеграл можно разбить на три части:
Интеграл вдоль проводов равен нулю, потому что внутри идеальных проводников электрического поля не бывает. Интеграл от зажима b до а снаружи конденсатора равен разности потенциалов между клеммами со знаком минус. А поскольку мы считаем, что обкладки как-то изолированы от прочего мира, то общий заряд двух обкладок должен быть равен нулю; и если на верхней обкладке есть заряд Q, то на нижней имеется заряд —Q. Раньше мы уже видели, что если заряды двух проводников равны и противоположны, +Q и -Q, то разность потенциалов между ними есть Q/C, где С — емкость этих проводников. Из (22.7) следует, что разность потенциалов между зажимами а и b равна разности потенциалов между обкладками. Поэтому
Электрический ток I, втекающий в конденсатор через клемму а (и покидающий его через клемму b), равен dQ/dt — быстроте изменения электрического заряда на обкладках. Записывая dV/dt в виде iwV, можно связь между током и напряжением для конденсатора дать в следующем виде:
или
(22.8)
Тогда импеданс z конденсатора равен
(22.9)
Третий элемент, который нужно рассмотреть,— это сопротивление. Но, поскольку мы пока еще не рассматривали электрических свойств реальных веществ, мы не готовы обсуждать то, что творится внутри реального проводника. Придется просто принять как факт, что внутри реальных веществ могут существовать электрические ноля, что эти поля порождают поток электрического заряда (т. е. ток) и что этот ток пропорционален интегралу электрического поля от одного конца проводника до другого. Затем надо представить себе идеальное сопротивление, сделанное так, как показано на фиг. 22.3. Два провода, которые мы считаем идеальными проводниками, тянутся от клемм а и b к двум концам бруска, сделанного из материала, оказывающего сопротивление току. Следуя нашей обычной линии рассуждений, приходим к выводу, что разность потенциалов между зажимами а и b равна контурному интегралу от внешнего электрического поля, равному также контурному интегралу от электрического поля по пути, проходящему через брусок.
Фиг. 22.3. Сопротивление.
Отсюда следует, что ток I через сопротивление пропорционален напряжению V на зажимах:
где R называется сопротивлением. Позже мы убедимся, что связь между силой тока / и напряжением V для реальных проводящих материалов только приближенно можно считать линейной. Мы убедимся также, что считать эту приближенную пропорциональность не зависящей от частоты изменений тока и напряжения можно лишь тогда, когда частота не слишком высока. И тогда для переменных токов напряжение на зажимах оказывается в фазе с током, а это значит, что сопротивление — число действительное:
(22.10)
Результаты наших рассуждений о трех сосредоточенных элементах цепи — индуктивности, емкости, сопротивлении — подытожены фиг. 22.4. На этом рисунке, как и на предыдущих, напряжение отмечено стрелкой, направленной от одной клеммы к другой. Если напряжение «положительно», т. е. если на клемме а потенциал выше, чем на клемме b, то стрелка указывает направление «падения напряжения».
Хотя мы сейчас говорим о переменных токах, конечно, можно включить сюда и особый случай цепей постоянного тока, если перейти к пределу, когда частота w стремится к нулю.
Фиг. 22.4. Идеальные сосредоточенные элементы цепи (пассивные).
При нулевой частоте, т. е. при постоянном токе, импеданс индуктивности стремится к нулю; между клеммами наступает короткое замыкание. Импеданс же емкости при постоянном токе стремится к бесконечности; цепь между клеммами размыкается. Принимать в расчет при постоянных токах нужно только обычные сопротивления: они не зависят от частоты.
В описанных до сих пор элементах цепи ток и напряжение были пропорциональны друг другу. Если одно равно нулю, то и другое равно нулю. Обычно мы мыслим на таком языке: приложенное напряжение «ответственно» за ток или ток «создает» напряжение на клеммах. Элемент словно в некотором смысле «отвечает» на «приложенные» внешние условия. По этой причине такие элементы называются пассивными. Тем самым их можно противопоставить активным элементам, таким, как генераторы, которые мы рассмотрим в следующем параграфе и которые представляют собой источники колебаний токов или напряжений в цепи.
§ 2. Генераторы
Поговорим теперь об активном элементе цепи, источнике и токов и напряжений в ней, т. е. о генераторе.
Пусть у нас имеется катушка, наподобие катушки самоиндукции, но только витков у нее немного и на магнитное поле ее собственного тока можно внимания не обращать. Эта катушка, однако, находится в переменном магнитном поле, подобном тому, какое создается вращающимся магнитом (фиг. 22.5). (Мы уже видели ранее, что такое вращающееся магнитное поле можно также создать с помощью подходящей совокупности катушек с переменными токами.) Сделаем снова несколько упрощающих допущений. Это все те же допущения, которые мы делали, говоря об индуктивности. В частности, мы предполагаем, что меняющееся магнитное поле ограничено лишь небольшой областью поблизости от катушки и за пределами генератора, в пространстве
между клеммами, оно не чувствуется.
Фиг. 22.5. Генератор, состоящий из закрепленной катушки и вращающегося магнитного поля.
Фиг. 22.6. Обозначение идеального генератора.
Повторяя опять в точности тот же анализ, что и для индуктивности, рассмотрим контурный интеграл от Е вдоль замкнутой петли, которая начинается на зажиме а, проходит по катушке до зажима bи возвращается к началу по пространству между зажимами. Снова заключаем, что разность потенциалов между зажимами а и bравна всему интегралу от Е вдоль петли:
Этот контурный интеграл равен э.д.с. в цепи, и поэтому разность потенциалов V между выводами генератора тоже равна скорости изменения магнитного потока сквозь катушку:
(22.11)
Предполагается далее, что у идеального генератора магнитный поток через катушку определяется внешними условиями (такими, как угловая скорость вращающегося магнитного поля) и что на него никак не влияют токи, текущие через генератор. Таким образом, генератор (по крайней мере рассматриваемый нами идеальный) — это не импеданс. Разность потенциалов на его зажимах определяется произвольно задаваемой э.д.с. e(t). Такой идеальный генератор представляют символом, показанным на фиг. 22.6. Маленькая стрелка дает направление положительной э.д.с. Положительная э.д.с. в генераторе, изображенном на фиг. 22.6, создает напряжение V=e с более высоким потенциалом на зажиме а.
Можно сделать генератор и по-другому. Внутри он будет устроен совершенно иначе, но снаружи, на зажимах, он ничем не будет отличаться от только что описанного. Представим катушку, которая вращается в неподвижном магнитном поле (фиг.22.7).
Мы изобразили магнитную палочку, чтобы показать наличие магнитного поля, но его можно, конечно, заменить любым другим источником постоянного магнитного поля, скажем добавочной катушкой, по которой течет постоянный ток. Как показано на рисунке, вращающаяся катушка связана с внешним миром скользящими контактами, или «кольцами». Нас опять интересует разность потенциалов, которая появляется между клеммами а и b, т. е. интеграл от электрического поля между а и b по пути снаружи генератора.
Теперь в этой системе уже нет изменяющихся магнитных полей и на первый взгляд кажется удивительным, откуда на зажимах генератора берется напряжение. Действительно, ведь нигде же внутри генератора нет никаких электрических полей. Мы, как обычно, предполагаем для наших идеальных элементов, что внутри них провода сделаны из идеально проводящего материала; а, как уже неоднократно повторялось, электрическое поле внутри идеального проводника равно нулю. Но это не всегда верно. Это неверно тогда, когда проводник движется в магнитном поле. Правильное утверждение таково: общая сила, действующая на произвольный заряд внутри идеального проводника, должна быть равна нулю. Иначе в нем возник бы бесконечный ток свободных зарядов. Так что надо брать сумму электрического поля Е и векторного произведения скорости проводника v на магнитное поле В; это есть полная сила, действующая на единичный заряд, и вот она-то всегда равна нулю:
F=E+vXB=0 (в идеальном проводнике). (22.12)
А наше прежнее утверждение о том, что внутри идеальных проводников электрических полей не бывает, верно лишь тогда, когда скорость проводника v равна нулю; в противном случае справедливо выражение (22.12).
Вернемся к нашему генератору, показанному на фиг. 22.7. Теперь мы видим, что контурный интеграл от электрического поля Е между зажимами а и bпо проводящим путям генератора должен быть равен контурному интегралу от vXB по тому же пути;
Фиг. 22.7. Генератор, состоящий из катушки, вращающейся в неподвижном магнитном поле.
Однако по-прежнему остается верным, что контурный интеграл от Е по замкнутой петле, включая возвращение от зажима b к а вне генератора, должен быть равен нулю, потому что меняющиеся магнитные поля отсутствуют. Так что первый интеграл в (22.13) по-прежнему равен V — напряжению на зажимах. Оказывается, что интеграл в правой части (22.13) просто равен быстроте изменения потока через катушку, а значит, по правилу потока, равен э.д.с. катушки. И опять получается, что разность потенциалов между зажимами равна э.д.с. цепи в согласии с уравнением (22.11). Так что все равно, какой у нас генератор: меняется ли в нем магнитное поле возле закрепленной катушки, вертится ли в закрепленном магнитном поле катушка,— внешние свойства генераторов одни и те же. На клеммах всегда существует напряжение V, которое не зависит от тока в цепи, а определяется только условиями внутри генератора, формируемыми по нашему произволу.
Поскольку мы пытаемся понять работу генератора, основываясь на уравнениях Максвелла, может возникнуть вопрос об обычном химическом элементе, о батарейке для карманного фонарика. Это тоже генератор, т. е. источник напряжения, хотя и применяется он только в цепях постоянного тока. Проще всего разобраться в элементе, изображенном на фиг. 22.8. Представьте две металлические пластинки, погруженные в какой-то химический раствор. Пусть раствор содержит в себе положительные и отрицательные ионы. Мы предположим еще, что ионы одного сорта, скажем отрицательные, много массивнее ионов, имеющих противоположную полярность, так что их движение в растворе (диффузия) происходит намного медленнее.
Фиг. 22.8. Химический элемент.
Наконец, положим, что тем или иным способом удалось добиться изменения концентрации раствора от места к месту, так что число ионов обеих полярностей, скажем у нижней пластинки, становится намного больше концентрации ионов у верхней пластинки. Благодаря большей подвижности положительные ионы легче проникнут в область низких концентраций, так что будет наблюдаться легкий избыток положительных зарядов, достигающих верхней пластинки. Она зарядится положительно, а нижняя будет обладать избытком отрицательного заряда. По мере того как все больше и больше зарядов диффундирует к верхней пластинке, потенциал ее будет расти, пока возникающее между пластинками электрическое поле не создаст силу, действующую на ионы, которая компенсирует их избыточную подвижность. Два электрода быстро достигают разности потенциалов, характерной для внутреннего устройства этого элемента.
Рассуждая так же, как это мы делали, когда говорили об идеальном конденсаторе, мы убедимся, что, если нет избытка диффузии ионов какого-либо знака, разность потенциалов между зажимами а и b равна просто контурному интегралу от электрического поля между электродами. Конечно, между конденсатором и таким химическим элементом есть существенная разница. Если на мгновение закоротить выводы конденсатора, он разрядится и разности потенциалов между выводами уже не будет. В случае же химического элемента ток с зажимов можно снимать непрерывно, никак не изменяя при этом э.д.с., пока, конечно, реактивы в элементе не израсходуются. Известно, что в реальном элементе разность потенциалов на зажимах убывает по мере возрастания снимаемого с него тока. Но при нашей идеализации задачи легко себе представить, что у нас есть идеальный элемент, в котором напряжение на электродах не зависит от силы тока. Тогда реальный элемент можно рассматривать как идеальный, соединенный последовательно с сопротивлением.
§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа
Как мы видели в предыдущем параграфе, очень просто описывать идеальные элементы схем, говоря лишь о том, что происходит вне элемента. Ток и напряжение связаны линейно. Но очень сложно описать все то, что на самом деле происходит внутри элемента, и весьма трудно при этом пользоваться языком уравнений Максвелла. Представьте, что вам нужно точно описать электрические и магнитные поля внутри радиоприемника, состоящего из сотен сопротивлений, емкостей и самоиндукций
Фиг. 22.9. Сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого пути равна нулю.
Было бы непосильным делом проанализировать такую мешанину, пользуясь уравнениями Максвелла. Но, делая множество приближений, которые мы описали в § 2, и переводя существенные черты реальных элементов схем на язык идеализации, можно проанализировать электрическую цепь сравнительно просто. Сейчас мы покажем, как это делается. Пусть имеется цепь, которая состоит из генератора и нескольких импедансов, между собой так, как показано на фиг. 22.9. Согласно нашим приближениям, в областях между отдельными элементами цепи магнитного поля нет. Поэтому интеграл от Е вдоль любой кривой, которая не проходит ни через один из элементов, равен нулю. Рассмотрим кривую Г, показанную штрихом на фиг. 22.9, которая обходит по цепи кругом. Контурный интеграл от Е вдоль этой кривой состоит из нескольких частей. Каждая часть — это интеграл от одного зажима элемента цепи до следующего. Мы назвали этот контурный интеграл падением напряжения на элементе цепи. Тогда весь контурный интеграл равен просто сумме падений напряжения на всех элементах цепи порознь:
А поскольку контурный интеграл равен нулю, то получается, что сумма разностей потенциалов вдоль всего замкнутого контура цепи равна нулю:
(22.14)
Этот результат следует из одного из уравнений Максвелла, утверждающего, что в области, где нет магнитных полей, криволинейный интеграл от Е по замкнутому контуру равен нулю. Теперь рассмотрим другую цепь (фиг. 22.10). Горизонтальная линия, соединяющая выводы а, b, с и d, нарисована для того, чтобы показать, что эти выводы все связаны менаду собой или что они соединяются проводами с ничтожным сопротивлением. Во всяком случае такой чертеж означает, что все выводы а, b, с, d находятся под одним потенциалом, а выводы е, f, g и h — тоже под одним. Тогда падение напряжения V на любом из четырех элементов одинаковое.
Но одна из наших идеализации состояла в том, что на выводах импедансов сосредоточиваются пренебрежимо малые количества электричества. Предположим теперь, что и электрическим зарядом, накапливаемым на соединительных проводах, тоже можно пренебречь. Тогда сохранение заряда требует, чтобы любой заряд, покинувший один из элементов цепи, немедленно входил в какой-либо другой элемент цепи. Или, что то же самое, чтобы алгебраическая сумма токов, входящих в любую из точек соединения, была равна нулю. Под точкой соединения мы понимаем любую совокупность выводов, таких, как а, b, с, d, которые соединены друг с другом. Такая совокупность соединенных между собой выводов обычно называется «узлом». Сохранение заряда, стало быть, требует, чтобы в цепи, показанной на фиг. 22.10, было
(22.15)
Сумма токов, входящих в узел, состоящий из четырех выводов е, f, g, h, тоже должна быть равна нулю:
(22.16)
Ясно, что это то же самое уравнение, что и (22.15). Оба эти уравнения не независимы. Общее правило гласит, что сумма токов, втекающих в любой узел, обязана быть равна нулю:
(22.17)
Наше прежнее заключение о том, что сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура равна нулю, должно выполняться для каждого контура сложной цепи. Точно так же наш результат, что сумма сил токов, втекающих в узел, равна нулю, тоже должен выполняться для любого узла. Эти два уравнения известны под названием правил Кирхгофа.
Фиг, 22.10. Сумма токов, входящих в любой узел, равна нулю.
Фиг. 22.11. Анализ цепи с помощью правил Кирхгофа.
С их помощью можно найти силы токов и напряжения в какой угодно цепи.
Рассмотрим, например, цепь посложнее (фиг. 22.11). Как определить токи и напряжения в ней? Прямой путь решения таков. Рассмотрим каждый из четырех вспомогательных контуров цепи. (Скажем, один контур проходит через клеммы а, b, е, d и обратно к а.) Для каждого замкнутого контура напишем уравнение первого правила Кирхгофа — сумма падений напряжения вдоль всякого контура равна нулю. Нужно помнить, что падение напряжения считается положительным, если направление обхода совпадает с направлением тока, и отрицательным, если направление обхода противоположно направлению тока; и надо еще помнить, что падение напряжения на генераторе равно отрицательному значению э.д.с. в этом направлении. Так что для контура abeda получается
z1I1+ z3I3+z4I4-e1=0.
Прилагая те же правила к остальным контурам, получим еще три сходных уравнения.
После этого нужно написать уравнения для токов в каждом узле цепи. Например, складывая все токи в узле b, получаем
I1-I3-I2=0.
Аналогично, в узле е уравнение для токов принимает вид
I3-I4+I8-I5=0.
В изображенной схеме таких уравнений для токов пять. Оказывается, однако, что любое из этих уравнений можно вывести из остальных четырех, поэтому независимых уравнений только четыре. Итого в нашем распоряжении восемь независимых линейных уравнений: четыре для напряжений, четыре для токов. Из них можно получить восемь независимых токов. А если станут известны токи, то определится и вся цепь. Падение напряжения на любом элементе дается током через этот элемент, умноженным на его импеданс (а для источников напряжения они вообще известны заранее).
Мы видели, что одно из уравнений для тока зависит от остальных. Вообще-то уравнений для напряжения тоже можно написать больше, чем нужно. Хотя в схеме фиг. 22.11 и рассматривалась только четверка самых маленьких контуров, но ничего не стоило взять другие контуры и выписать для них уравнения для напряжений. Можно было взять, скажем, путь abcfeda. Или сделать обход по пути abcfehgda. Вы видите, что контуров — множество. И, анализируя сложные схемы, ничего не стоит получить слишком много уравнений. Но хоть есть правила, которые подсказывают, как надо поступать, чтобы вышло наименьшее количество уравнений, обычно и так бывает сразу понятно, как выписать нужное число простейших уравнений. Кроме того, одно-два лишних уравнения вреда не приносят. К неверному ответу они не приведут, разве только немного запутают выкладки.
В гл. 25 (вып. 2) мы показали, что, если два импеданса z1 и z2 соединены последовательно, они эквивалентны одиночному импедансу zs, равному
zs = zl + z2. (22.18)
Кроме того, было показано, что, когда два импеданса соединены параллельно, они эквивалентны одиночному импедансу zp , равному
(22.19)
Если вы теперь оглянетесь назад, то увидите, что, выводя эти результаты, на самом деле вы пользовались правилами Кирхгофа. Часто можно проанализировать сложную схему, повторно применяя формулы для последовательного и параллельного импедансов.
Фиг. 22.12, Цепь, которую можно проанализировать с помощью последовательных и параллельных комбинаций.
Фиг. 22,13. Цепь, которую нельзя проанализировать с помощью последовательных и параллельных комбинаций.
Скажем, таким способом можно проанализировать схему, показанную на фиг. 22.12. Импедансы z4 и z5 можно заменить их параллельным эквивалентом, то же можно сделать с импедансами z6 и z7. Затем импеданс z2 можно скомбинировать с параллельным эквивалентом z6 и z7, по правилу последовательного соединения импедансов. Так постепенно можно свести всю схему к генератору, последовательно соединенному с одним импедансом Z. И тогда ток через генератор просто равен e/Z. А действуя в обратном порядке, можно найти токи в каждом импедансе.
Однако бывают совсем простые схемы, которые этим методом не проанализируешь. Например, схема фиг. 22.13. Чтобы проанализировать эту цепь, надо расписать уравнения для токов и напряжений по правилам Кирхгофа. Давайте проделаем это. Имеется только одно уравнение для токов:
I1 + I2 + I3=0, откуда
I3=-(I1+I2).
Выкладки можно сэкономить, если этот результат сразу же подставить в уравнения для напряжений. В этой схеме таких уравнений два:
-El + I2z2-Ilzl=0 и Ј2-(Il + I2)z3-I2z2=0.
На два уравнения приходится два неизвестных тока. Решая их, получаем 11и I2:
(22.20)
и
(22.21)
А третий ток получается как сумма первых двух.
Вот еще пример цепи, которую по правилам параллельных и последовательных импедансов рассчитывать нельзя
Фиг. 22.14. Мостиковая схема.
(фиг. 22.14). Такую схему называют «мостик». Она встречается во многих приборах, измеряющих импедансы. В таких схемах обычно интересуются таким вопросом:
как должны соотноситься различные импедансы, чтобы ток через импеданс zsбыл равен нулю? Вам предоставляется право найти те условия, при которых это действительно так,
§ 4. Эквивалентные контуры
Положим, мы подключили генератор Ј к цепи, в которой есть множество сложных переплетений импедансов (схематически это показано на фиг. 22.15, а). Все уравнения, вытекающие из правил Кирхгофа, линейны, и поэтому, вычислив из них ток I через генераторы, мы получим величину I, пропорциональную e. Можно написать
где теперь zэфф— это некоторое комплексное число, алгебраическая функция всех элементов цепи. (Если в цепи нет никаких
генераторов, кроме упомянутого, то в формуле не будет добавочной части, не зависящей от e.) Но получившееся уравнение — это как раз то, которое нужно было бы написать для схемы фиг. 22.15, б. И покуда нас интересует только то, что происходит слева от зажимов а и b, до тех пор обе схемы фиг. 22.15 эквивалентны.
Фиг. 22.15. Любая сеть пассивных элементов с двумя выводами эквивалентна эффективному импедансу.
Фиг. 22.16. Любую сеть с двумя выводами можно заменить генератором, последовательно соединенным с импедансом.
И поэтому можно сделать общее утверждение, что любую цепь пассивных элементов с двумя выводами можно заменить одним-единственным импедансом zэфф не изменив в остальной части цепи ни токов, ни напряжений. Утверждение это, естественно, всего лишь мелкое замечание о том, что следует из правил Кирхгофа, а в конечном счете — из линейности уравнений Максвелла.
Идею эту можно обобщить на схемы, в которые входят как генераторы, так и импедансы. Представьте, что мы глядим на эту схему «с точки зрения» одного из импедансов, который мы обозначим zn (фиг. 22.16, а). Если бы решить уравнение для тока, мы бы увидели, что напряжение Vnмежду зажимами а и b есть линейная функция I, которую можно записать в виде
(22.22)
Здесь А и В зависят от генераторов и импедансов в цепи слева от зажимов. Например, в схеме, показанной на фиг. 22.13, мы находим V1=I1zl. Это можно переписать [используя (22.20)] в виде
(22.23)
Тогда полное решение мы получаем, комбинируя это уравнение с уравнением для импеданса z1 т. е. с V1=I1z1, или в общем случае комбинируя (22.22) с
Если мы рассмотрим теперь случай, когда zn подключается к простой цепи из последовательно соединенных генератора и импеданса (см. фиг. 22.15, б), то уравнение, соответствующее (22.22), примет вид
что совпадает с (22.22), если принять Sэфф=A и zэфф=B. Значит, если нас интересует лишь то, что происходит направо от выводов а и b, то произвольную схему фиг. 22.16 можно всегда заменить эквивалентным сочетанием генератора, последовательно соединенного с импедансом.
§ 5. Энергия
Мы видели, что для создания в индуктивности тока I надо из внешней цепи доставить энергию U=1/2LI2. Когда ток спадает до нуля, эта энергия уводится обратно во внешнюю цепь.
В идеальной индуктивности механизма потерь энергии нет. Когда через индуктивность течет переменный ток, энергия перетекает то туда, то сюда — от индуктивности к остальной части цепи и обратно, но средняя скорость, с какой энергия передается в цепь, равна нулю. Мы говорим, что индуктивность — недиссипативный элемент, в ней не растрачивается (не «диссипирует») электрическая энергия.
Точно так же возвращается во внешнюю цепь и энергия конденсатора U=1/2СV2, когда он разряжается. Когда он стоит в цепи переменного тока, то энергия течет то в него, то из него, но полный поток энергии за каждый цикл равен нулю. Идеальный конденсатор — тоже недиссипативный элемент.
Мы знаем, что э. д. с.— это источник энергии. Когда ток I течет в направлении э.д.с., то энергия поставляется во внешнюю цепь со скоростью dU/dt=eI. Если электричество гонят против э.д.с. (с помощью других генераторов), то э. д. с. поглощает энергию со скоростью eI; поскольку I отрицательно, то и dU/dt отрицательно.
Если генератор подключен к сопротивлению R, то ток через сопротивление равен I=e/R. Энергия, поставляемая генератором со скоростью eI, поглощается сопротивлением. Эта энергия тратится на нагрев сопротивления и для электрической энергии цепи фактически уже потеряна. Мы говорим, что электрическая энергия рассеивается, диссипирует в сопротивлении. Скорость, с какой она рассеивается, равна dU/dt=RI2.
В цепи переменного тока средняя скорость потерь энергии в сопротивлении — это среднее значение RI2 за цикл. Поскольку I=I'eiwt (что, собственно, означает, что I меняется как coswt), то среднее значение I2 за цикл равно |I'|2/2, потому что ток в максимуме — это |I'[, а среднее значение cos2 cat равно 1/2.
Фиг. 22.17. Любой импеданс эквивалентен последовательному соединению чистого сопротивления и чистого реактанса.
А что можно сказать о потерях энергии, когда генератор подключен к произвольному импедансу z? (Под «потерями» мы, конечно, понимаем превращение электрической энергии в тепловую.) Всякий импеданс z может быть разбит на действительную и мнимую части, т. е.
z = R + iX, (22.24)
где R и X — числа действительные. С точки зрения эквивалентных схем можно сказать, что всякий импеданс эквивалентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мнимым импедансом, называемым реактансом
(фиг. 22.17).
Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только L и C, обладает импедансом, выражаемым чисто мнимым числом. А раз в любом из L и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только L и С, потерь энергии не бывает. Можно показать, что это должно быть верно для всякого реактанса.
Если генератор с э. д. с. e подсоединен к импедансу z (см. фиг. 22.17), то его
э. д. с. должна быть связана с током I из генератора соотношением
e = I(R + iX). (22.25)
Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усреднить произведение eI. Но теперь следует быть осторожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами e(t) и I(t). (Действительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравнения линейны; сейчас же речь идет о произведении, а это, несомненно, вещь нелинейная.)
Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда I' оказалась действительным числом, скажем I0; тогда истинное изменение I во времени дается формулой
I=I0coswt.
.
Входящая в уравнение (22.25) э.д.с.— это действительная часть
или
(22.26)
Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.
Средняя скорость потерь энергии <Р>ср, текущей от генератора, есть интеграл от произведения eIза один цикл, деленный на период Т; иными словами,
Первый интеграл равен 1/2I20R, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе z—R+iX зависит лишь от действительной части z и равна I20R/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивлении. В реактивной части потерь энергии не бывает.
§ 6. Лестничная сеть
А теперь мы рассмотрим интереснейшую цепь, которую можно выражать через параллельные и последовательные сочетания. Начнем с цепи, изображенной на фиг. 22.18, а. Сразу видно, что импеданс между зажимами а и bпросто равен z1+z2. Возьмем теперь цепь потруднее (фиг. 22.18, б). Ее можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа, но нетрудно обойтись и последовательными и параллельными комбинациями. Два импеданса на правом конце можно заменить одним z3=z1+z2 (см. фиг. 22.18, в). Тогда два импеданса z2 и z3 можно заменить их эквивалентным параллельным импедансом z4 (фиг. 22.18, г). И наконец, z1и z4 эквивалентны одному импедансу z5 (фиг. 22.18, д).
А теперь можно поставить забавный вопрос: что произойдет, если к цепи, показанной на фиг. 22.18, б, бесконечно подключать все новые и новые звенья (штриховая линия на фиг. 22.19, а)? Можно ли решить задачу о такой бесконечной цепи? Представьте, это совсем не трудно. Прежде всего мы замечаем, что такая бесконечная цепь не меняется, если новое звено подключить к «переднему» концу. Ведь если к бесконечной цепи добавляется одно звено, она остается все той же бесконечной цепью.
Фиг. 22.18. Эффективный импеданс лестницы.
Пусть мы обозначили импеданс между зажимами а и b бесконечной цепи через z0; тогда импеданс всего того, что справа от зажимов с и d, тоже равен z0. Поэтому если смотреть с переднего конца, то вся цепь представляется в виде, показанном на фиг. 22.19, б. Заменяя два параллельных импеданса z2 и z0 одним и складывая его с z1? сразу же получаем импеданс всего сочетания
Но этот импеданс тоже равен z0. Получается уравнение
Найдем из него z0:
(22.27)
Фиг. 22.19. Эффективный импеданс бесконечной лестницы.
Таким образом, мы нашли решение для импеданса бесконечной лестницы повторяющихся параллельных и последовательных импедансов. Импеданс z0называется характеристическим импедансом такой бесконечной цепи.
Рассмотрим теперь частный пример, когда последовательный элемент — всегда индуктивность L, а шунтовой элемент — емкость С (фиг. 22.20, а). В этом случае импеданс бесконечной сети получается, если положить z1=iwL и z2=1/iwС. Заметьте, что первое слагаемое z1/2 в (22.27) равно просто половине импеданса первого элемента. Естественнее было бы поэтому (или по крайней мере проще) рисовать нашу бесконечную сеть так, как показано на фиг. 22.20, б. Глядя на бесконечную сеть из зажима a', мы бы увидали характеристический импеданс
(22.28)
Смотря по тому, какова частота w, наблюдаются два интересных случая. Если w2 меньше 4/LC, то второе слагаемое под корнем меньше первого, и импеданс z0 станет действительным числом. Если же w2 больше 4/LС, то импеданс z0 станет чисто мнимым числом и его можно записать в виде
Раньше мы сказали, что цепь, составленная из одних только мнимых импедансов, таких, как индуктивности и емкости, будет иметь чисто мнимый импеданс. Но как же тогда выходит, что в той цепи, которую мы сейчас рассматриваем (а в ней есть только одни L и С), импеданс при частотах ниже Ц4/LC представляет собой чистое сопротивление?
Фиг. 22.20. Лестница L—C, изображенная двумя эквивалентными способами.
Для высоких частот импеданс чисто мнимый, в полном согласии с нашим прежним утверждением. Для низких же частот импеданс — чистое сопротивление и поэтому поглощает энергию. Но как может цепь, подобно сопротивлению, непрерывно поглощать энергию, если она составлена только из индуктивностей и емкостей? Ответ состоит в том, что этих емкостей и самоиндукций бесконечное множество, и получается, что, когда источник соединен с цепью, он обязан сперва снабдить энергией первую индуктивность и емкость, затем вторую, третью и т. д. В цепях подобного рода энергия непрерывно и с постоянной скоростью отсасывается из генератора и безостановочно течет в цепь. Энергия запасается в индуктивностях и емкостях вдоль цепи.
Эта идея подсказывает интересную мысль 0 том, что фактически происходит внутри цепи. Следует ожидать, что если к переднему концу цепи подключить источник, то действие этого источника начнет распространяться вдоль по цепи к бесконечному концу. Распространение волн вдоль линии очень похоже на излучение от антенны, которая отбирает энергию от питающего ее источника; точнее, можно ожидать, что такое распространение происходит, когда импеданс действителен, т. е. когда co меньше Ц4/LC. Но когда импеданс чисто мнимый, т. е. при co, больших Ц4/LC, то такого распространения ожидать не следует.
§ 7. Фильтры
В предыдущем параграфе мы видели, что бесконечная лестничная сеть (см. фиг. 22.20) непрерывно поглощает энергию, если эта энергия подводится с частотой, которая ниже некоторого критического значения Ц4/LC, называемого граничной частотой w0. У нас возникла мысль, что этот эффект можно понять, основываясь на представлении о непрерывном переносе энергии вдоль линии. С другой стороны, на высоких частотах (при w >w0) непрерывного поглощения энергии не бывает; тогда следует ожидать, что токи, видимо, не смогут «проникнуть» далеко вдоль линии. Поглядим, верны ли эти представления.
Пусть передний конец лестницы соединен с каким-то генератором переменного тока, и нас интересует, как выглядит напряжение, скажем, в 754-м звене лестницы. Поскольку сеть бесконечна, при переходе от одного звена к другому происходит всегда одно и то же; так что можно просто посмотреть, что случается, когда мы переходим от n-го звена к (n+1)-му. Токи In и напряжения Vn мы определим так, как показано на фиг. 22.21,а.
Фиг. 22.21. Нахождение фактора распространения лестницы.
Напряжение Vn+1можно получить из Vn, если вспомнить, что остаток лестницы (за n-м звеном) всегда можно заменить ее характеристическим импедансом z0; и тогда достаточно проанализировать только схему фиг. 22.21, б. Мы прежде всего замечаем, что каждое Vn, поскольку это напряжение на зажимах сопротивлеиия z0, должно быть равно Inz0. Кроме того, разность между Vnи Vn+lравна просто Inz1:
Получается отношение
которое можно назвать фактором распространения для одного звена лестницы; обозначим его a. Для всех звеньев
(22.29)
и напряжение за n-м звеном равно
Теперь ничего не стоит найти напряжение за 754-м звеном; оно просто равно произведению e на 754-ю степень a.
Как выглядит a для лестницы L—С на фиг. 22.20, а? Взяв z0 из уравнения (22.27) и г1 =iwL, получим
Если частота на входе ниже граничной частоты w0=Ц4/LС, то корень — число действительное, и модули комплексных чисел в числителе и знаменателе одинаковы. Поэтому значение a по модулю равно единице; можно написать
а это означает, что величина (модуль) напряжения в каждом звене одна и та же; меняется только фаза. Она меняется на число d; оно на самом деле отрицательно и представляет собой «задержку» напряжения по мере того, как последнее проходит по сети. А для частот выше граничной частоты w0 лучше вынести в числителе и знаменателе (22.31) множитель i и переписать его в
(22.32)
Теперь фактор распространения a — число действительное, притом меньшее единицы. Это означает, что напряжение в некотором звене всегда меньше напряжения в предыдущем звене; множитель пропорциональности равен а. При частотах выше w0 напряжение быстро спадает по мере движения вдоль сети. Кривая модуля a как функции частоты похожа на график, приведенный на фиг. 22.22.
Мы видим, что поведение а как выше, так и ниже w0 согласуется с нашим представлением о том, что сеть передает энергию при w<w0 и задерживает ее при w>w0. Говорят, что сеть «пропускает» низкие частоты и «отбрасывает», или «отфильтровывает», высокие. Всякая сеть, устроенная так, чтобы ее характеристики менялись указанным образом, называется «фильтром». Мы проанализировали «фильтр низкого пропускания», или «низких частот».
Вас может удивить — к чему все это обсуждение бесконечных сетей, если на самом деле они невозможны? Но вся хитрость в том и заключается, что те же характеристики вы обнаружите и в конечной сети, если заключите ее импедансом, совпадающим с характеристическим импедансом z0. Практически, конечно, невозможно точно воспроизвести характеристический импеданс несколькими простыми элементами, такими, как R, L и С. Но в некоторой полосе частот нередко этого можно добиться в хорошем приближении. Этим способом можно сделать конечную фильтрующую сеть со свойствами, очень близкими к тем, которые проявляются в бесконечном фильтре. Скажем, лестница L—С будет во многом вести себя так, как было описано, если на конце ее помещено чистое сопротивление R=ЦL/C.
А если в нашей лестнице L—С мы поменяем местами L и С, чтобы получилась лестница, показанная на фиг. 22.23,а, то получится фильтр, который пропускает высокие частоты и отбрасывает низкие.
Фиг. 22.22. Фактор распространения одного звена лестницы.
Фиг. 22.23. Высокочастотный фильтр (а) и его фактор распространения как функция 1/w (б).
Пользуясь уже полученными результатами, легко понять, что происходит в этой сети. Вы уже, наверно, заметили, что всегда, когда L заменяется на С и наоборот, то и in заменяется на 1/iw и наоборот. Значит, все, что происходило раньше с w, теперь будет происходить с 1/w. В частности, можно узнать, как меняется а с частотой, взяв фиг. 22.22 и повсюду вместо со написав 1/w (фиг. 22.23,6).
У описанных фильтров высоких и низких частот есть многочисленные технические приложения. Фильтр L—С низких частот часто используется как «сглаживающий» фильтр в цепях постоянного тока. Если нам нужно получить постоянный ток от источника переменного тока, мы включаем выпрямитель, который позволяет течь току только в одну сторону. Из выпрямителя выходит пульсирующий ток, график которого выглядит как функция V(t), показанная на фиг. 22.24 Постоянство такого тока — никудышное: он шатается вверх и вниз, а нам нужен постоянный ток, чистенький, гладенький, как от батареи аккумуляторов. Этого можно добиться, включив фильтр низких частот между выпрямителем и нагрузкой.
Из гл. 50 (вып. 4) мы уже знаем, что временная функция на фиг. 22.24 может быть представлена в виде наложения постоянного напряжения на синусную волну плюс синусную волну большей частоты плюс еще более высокочастотную синусоиду и т. д., т. е. как ряд Фурье.
Фиг. 22.24. Напряжение на выходе всеволнового выпрямителя.
Если наш фильтр — линейный (т. е. если, как мы предполагали, L и С при изменении токов или напряжений не меняются), то то, что выходит из фильтра, представляет собой тоже наложение выходов от каждой компоненты на входе. Если устроить так, чтобы граничная частота w0 нашего фильтра была значительно ниже наинизшей из частот функции V(t), то постоянный ток (у которого w=0) прекрасно пройдет через фильтр, а амплитуда первой гармоники будет крепко срезана; ну, а амплитуды высших гармоник — тем более. Значит, на выходе можно получить какую угодно гладкость, смотря по тому, на сколько звеньев фильтра у вас хватит денег.
Высокочастотный фильтр нужен тогда, когда необходимо срезать некоторые низкие частоты. Например, в граммофонном усилителе высокочастотный фильтр можно использовать, чтобы музыка не искажалась: он задержит низкочастотное громыхание моторчика и диска.
Можно еще делать и «полосовые» фильтры, отбрасывающие частоты ниже некоторой частоты w1и частоты выше некоторой другой частоты w2 (большей w1), но зато пропускающие все частоты от w1 до w2. Это можно сделать просто, совместив высокочастотный и низкочастотный фильтры, но обычно делают лестничную схему, в которой импедансы z1 и z2 имеют более сложный вид — они сами суть комбинации L и С. У такого полосового фильтра постоянная распространения может выглядеть так, как на фиг. 22.25,а. Его можно использовать, скажем, чтобы отделять сигналы, которые занимают только некоторый интервал частот, например каждый из каналов телефонной связи в высокочастотном телефонном кабеле или модулированную несущую частоту при радиопередаче.
В гл. 25 (вып. 2) мы видели, что такое фильтрование можно производить еще, используя избирательность обычной резонансной кривой (для сравнения она приведена на фиг. 22.25,6). Но резонансный фильтр для некоторых целей подходит хуже, чем полосовой. Вы помните (это было в гл. 48, вып. 4), когда несущая частота wс модулирована «сигнальной» частотой ws, то общий сигнал содержит не только несущую, но и две боковые частоты wc+ws и wc-ws. В резонансном фильтре эти боковые полосы всегда как-то ослабляются, и чем выше сигнальная частота, тем, как видно из рисунка, больше это ослабление. Поэтому «отклик на частоту» здесь неважный. Высшие музыкальные тоны и вовсе не проходят. Но если взять полосовой фильтр, устроенный так, что ширина w2-w1по крайней мере вдвое больше наивысшей сигнальной частоты, то отклик на частоту будет для интересующих нас сигналов плоским.
Еще одно замечание о лестничном фильтре: лестница L—С на фиг. 22.20 — это также приближенное представление передающей линии (фидера). Если имеется длинный проводник, расположенный параллельно другому проводнику (скажем, провод, помещенный в коаксиальном кабеле или подвешенный над землей), то между ними существует какая-то емкость и некоторая индуктивность (из-за магнитного поля между ними). Если представить эту линию составленной из небольших участков Dl, то каждый участок похож на одно звено лестницы L — С с последовательной индуктивностью DL и шунтирующей емкостью DС. Поэтому мы вправе применять здесь наши результаты для лестничного фильтра. Перейдя к пределу при Dl®0, мы получим хорошее описание передающей линии. Заметьте, что, когда Dl становится все меньше и меньше, уменьшаются и DL и DС, но они уменьшаются в одной и той же пропорции, так что отношение DL/DC не падает. Поэтому, перейдя в уравнении (22.28) к пределу при DL, и DС, стремящихся к нулю, мы увидим, что характеристический импеданс z0 — это чистое сопротивление, величина которого равна ЦDL/DС. Отношение DL/DС можно записать также в виде L0/С0, где L0и С0— индуктивность и емкость единицы длины линии; тогда
(22.33)
Заметьте еще, что, когда DL и DС стремятся к нулю, граничная частота w0=Ц4/LC уходит в бесконечность. У идеальной передающей линии нет граничной частоты.
§ 8. Другие элементы цепи
До сих пор мы определили только идеальные импедансы цепи — индуктивность, емкость и сопротивление, а также идеальный генератор напряжения. Теперь мы хотим показать, что другие элементы, такие, как взаимоиндукция, или транзисторы, или радиолампы, можно описать, пользуясь теми же основными элементами.
Фиг. 22.26. Эквивалентная схема взаимной индукции.
Пусть имеются две катушки, и пусть (это сделано нарочно или как-нибудь иначе) поток от одной из катушек пересекает другую (фиг. 22.26,а). Тогда возникает взаимная индукция М двух катушек, так что, когда ток в одной катушке меняется, в другой генерируется напряжение. Можно ли в наших эквивалентных контурах учесть такой эффект? Можно, поступив следующим образом. Мы видели, что наведенная в каждой из двух взаимодействующих катушек э. д. с. может быть представлена в виде суммы двух частей:
(22.34)
Первое слагаемое возникает из самоиндукции катушки, а второе — из ее взаимоиндукции с другой катушкой. Перед вторым слагаемым может стоять плюс или минус, смотря по тому, как поток от одной катушки пронизывает вторую. Делая те же приближения, как и тогда, когда мы описывали идеальную индуктивность, мы можем сказать, что разность потенциалов на зажимах каждой катушки равна э. д. с. катушки. И тогда оба уравнения (22.34) совпадут с теми, которые получились бы из цепи фиг. 22.26, б, если бы э. д. с. в каждом из двух начерченных контуров зависела от тока в противоположном контуре следующим образом:
(22.35)
Фиг. 22.27. Эквивалентная схема взаимной емкости.
Значит, можно представить действие самоиндукции нормальным образом, а действие взаимной индукции заменить вспомогательным идеальным генератором напряжения. Надо, конечно, иметь еще уравнение, связывающее эту з. д. с. с током в какой-то другой части цепи; но, поскольку это уравнение линейно, мы просто добавляем к нашим уравнениям цепи еще одно линейное уравнение, и все наши прежние выводы насчет эквивалентных схем и тому подобного все равно остаются правильными.
Кроме взаимной индукции, можно еще говорить и о взаимной емкости. До сих пор, говоря о конденсаторах, мы всегда представляли, что у них только по два электрода, но во многих случаях (скажем, в радиолампах) могут быть и по нескольку электродов, расположенных вплотную друг к другу. Если на один из них поместить электрический заряд, то его электрическое поле наведет заряды на всех остальных электродах и повлияет на их потенциал. В качестве примера рассмотрим расположение четырех пластин (фиг. 22.27, а). Представим, что эти четыре пластины соединяются с внешней цепью проводами А, В, С и D. Так вот, пока нас интересуют только электростатические эффекты, эквивалентную схему такого расположения электродов можно считать такой, как на фиг. 22.27,6. Электростатическое взаимодействие электродов (всякого со всяким) эквивалентно емкости между этой парой электродов.
И, наконец, посмотрим, как нужно представлять в цепях переменного тока такие сложные устройства, как транзисторы или радиолампы. Надо сначала подчеркнуть, что эти устройства часто действуют так, что связь между токами и напряжениями отнюдь не линейна. В этих случаях часть сделанных нами раньше утверждений, а именно те, которые зависят от линейности уравнений, естественно, перестают быть правильными. Но во многих приложениях рабочие характеристики в достаточной мере линейны — так что и транзисторы и лампы можно считать линейными устройствами.
Фиг. 22.28. Низкочастотная эквивалентная схема вакуумного триода.
Под этим подразумевается, что переменные токи, скажем в анодной цепи радиолампы, прямо пропорциональны разности потенциалов на других электродах, например потенциала сетки и анодного потенциала. Когда же такие линейные соотношения существуют, то к устройствам можно применять представление об эквивалентных схемах.
Как и в случае взаимной индукции, это описание должно включать в себя добавочные генераторы напряжения, которые описывают влияние напряжений или токов в одной части устройства на токи или напряжения в другой его части. К примеру, анодный контур триода, как правило, можно представить сопротивлением, последовательно соединенным с идеальным генератором напряжения, у которого сила источника пропорциональна напряжению на сетке. Получится эквивалентный контур, изображенный на фиг. 22.28. Подобным же образом контур коллектора транзистора удобно представлять в виде сопротивления, последовательно соединенного с идеальным генератором напряжения, сила источника которого пропорциональна силе тока, текущего от эмиттера к базе транзистора. Эквивалентный контур тогда похож на изображенный на фиг. 22.29. До тех пор пока уравнения, описывающие их действие, остаются линейными, мы имеем полное право пользоваться таким представлением для ламп или транзисторов. И тогда, даже если они входят в сложную сеть, все равно наше общее заключение об эквивалентном представлении любого произвольного соединения элементов остается верным.
Контур транзистора и радиолампы имеет одну замечательную способность, которой лишены контуры, включающие одни импедансы: действительная часть эффективного импеданса zэфф может стать отрицательной. Мы видели, что действительная часть z представляет потери энергии.
Фиг. 22.29. Низкочастотная эквивалентная схема транзистора.
Но важная характеристика транзисторов и радиоламп состоит в том, что они снабжают контур энергией. (Конечно, они ее не «вырабатывают»; они берут энергию у цепи постоянного тока, у источника тока, и превращают ее в энергию переменного тока.) Стало быть, появляется возможность получить контур с отрицательным сопротивлением. Такой контур имеет интересное свойство: если подключить его к импедансу с положительной действительной частью, т. е. к положительному сопротивлению, и устроить все так, чтобы сумма двух действительных частей обратилась в нуль, то в этом объединенном контуре рассеяния энергии не будет. А раз нет потерь энергии, то любое переменное напряжение, стоит его однажды включить, никогда больше не исчезнет. Это основная идея работы осциллятора или генератора сигналов, который можно использовать в качестве источника переменного тока какой угодно частоты.
* Кое-кто говорит, что предметы мы обязаны называть словами «катушка» и «конденсатор», а их свойства — соответственно «индуктивность» и «емкость». Но я предпочитаю пользоваться словами, какие слышу в лаборатории, где почти всегда и про физическую катушку, и про ее самоиндукцию L говорят «индуктивность». Точно так же предпочитают говорить «емкость», «сопротивление», хотя часто можно услышать и слово «конденсатор».
*Эта эквивалентная схема годится только для низких частот. На высокой частоте эквивалентная схема усложняется, в нее надо включить различные, так называемые «паразитические», емкости и индуктивности.
Глава 23
ПОЛЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
§ 1. Реальные элементы цепи
§ 2. Конденсатор на больших частотах
§ 3. Резонансная полость
§ 4. Собственные колебания полости
§ 5. Полости и резонансные контуры
Повторить; гл. 2. (вып. 2) «Резонанс»; гл. 49 (вып. 4)
«Собственные колебания».
§ 1. Реальные элементы цепи
Если посмотреть на любую цепь, состоящую из идеальных импедансов и генераторов, со стороны какой-нибудь пары клемм, то при данной частоте она будет эквивалентна генератору $, последовательно соединенному с импедансом z. Если приложить к этим клеммам напряжение V и вычислить из уравнений силу тока, то между током и напряжением должна получиться линейная зависимость. Поскольку все уравнения линейны, то и I должно зависеть от V линейно и только линейно. А самое общее линейное выражение можно записать в виде
(23.1)
Вообще-то и z и eмогут как-то очень сложно зависеть от частоты w. Однако соотношение (23.1) — это то соотношение, которое получилось бы, если бы за клеммами находился просто генератор e(w), последовательно соединенный с импедансом z(w).
Можно поставить и обратный вопрос: имеется какое-то электромагнитное устройство с двумя полюсами (выводами) и нам известна связь между I и V, т. е. известны eи z как функции частоты; можно ли всегда найти такую комбинацию идеальных элементов, которая даст эквивалентный внутренний импеданс z? Ответ на это таков: для любой разумной, т. е. физически осмысленной функции z(w), действительно возможно построить с любой степенью точности модель с помощью контура, составленного из конечного числа идеальных элементов. Мы не собираемся изучать общую задачу, а только посмотрим, основываясь на физических соображениях, чего можно ожидать в отдельных случаях.
Фиг. 23.1. Эквивалентная схема реального сопротивления.
Известно, что ток, протекающий через реальное сопротивление, создает магнитное поле. Значит, каждое реальное сопротивление должно обладать и некоторой индуктивностью. Далее, если к сопротивлению приложена некоторая разность потенциалов, то на его концах должны возникнуть заряды, создающие нужные электрические поля. При изменении напряжения пропорционально меняется и заряд, так что у сопротивления имеется и какая-то емкость. Следует ожидать, что эквивалентная схема реального сопротивления должна иметь такой вид, как на фиг. 23.1. Если сопротивление хорошее, то его так называемые «паразитические элементы» L и С малы, так что при тех частотах, для которых оно предназначено, wL много меньше R, а l/wC — много больше R. Поэтому «паразитическими» элементами можно пренебречь. Когда же частота повышается, то не исключено, что значение этих элементов возрастет и сопротивление станет похожим на резонансный контур.
Реальная индуктивность также не совпадает с идеальной, импеданс которой равен iwL. У реальной проволочной катушки бывает какое-то сопротивление, и при низких частотах она фактически эквивалентна индуктивности, последовательно соединенной с сопротивлением (фиг. 23.2,а). Вы можете подумать, что в реальной катушке сопротивление и индуктивность объединены, что сопротивление распределено вдоль всего провода и перемешано с его индуктивностью.
Фиг. 23.2. Эквивалентная схема реальной индуктивности на малых частотах.
Фиг. 23.3. Эквивалентная схема реальной индуктивности на больших частотах.
Может быть, надо пользоваться контуром, смахивающим скорее на фиг. 23.2,6, где последовательно расставлено несколько маленьких R и L? Однако общий
импеданс такого контура просто равен SR+SiwL, а это то же самое, что дает более простая диаграмма, изображенная на фиг. 23.2, а.
Когда же частота повышается, то уже нельзя представлять реальную катушку в виде индуктивности плюс сопротивление. Начинают играть роль заряды, которые возникают на проводах, чтобы создать напряжение. Дело выглядит так, как будто между витками провода нанизаны маленькие конденсаторчики (фиг. 23.3, а). Можно попробовать приближенно представить реальную катушку в виде схемы фиг. 23.3, б. На низких частотах эту схему очень хорошо имитирует более простая (фиг. 23.3, в); это опять тот же резонансный контур, который давал нам высокочастотную модель сопротивления. Однако для более высоких частот более сложный контур фиг. 23.3, б подходит лучше. Так что чем точнее вы хотите представить истинный импеданс реальной физической индуктивности, тем больше надо взять идеальных элементов для построения искусственной модели.
Посмотрим теперь повнимательнее на то, что происходит в реальной катушке. Импеданс индуктивности изменяется как wL, значит, он на низких частотах обращается в нуль — «замыкается накоротко», и мы замечаем только сопротивление провода. Если частота начинает расти, то wL вскоре становится больше R и катушка выглядит почти как идеальная индуктивность. А если подняться по частоте еще выше, то начнут играть роль и емкости. Их импеданс пропорционален 1/wС; он велик на низких частотах. На достаточно низких частотах конденсатор выглядит как «разрыв в цепи», и если его с чем-нибудь запараллелить, то ток через него не пойдет. Но на высоких частотах ток предпочитает течь через емкости между витками, а не через индуктивность. Оттого-то ток в катушке прыгает с одного витка на другой, вовсе не помышляя крутить петлю за петлей там, где ему приходится преодолевать э. д. с. Хоть нам, может быть, и хотелось бы, чтобы ток шел по виткам катушки, но сам-то он выбирает путь полегче, переходя на дорогу наименьшего импеданса. Если это было бы нужно, то такой эффект можно было бы назвать «высокочастотным барьером» или чем-нибудь в этом роде. Похожие вещи происходят и в других науках. В аэродинамике, скажем, если вы захотите заставить что-то двигаться быстрее звука, а движение рассчитано на малые скорости, то у вас ничего не выйдет. Это не значит, что возник какой-то непроходимый «барьер»; просто надо изменить конструкцию. Точно так же наша катушка, которую первоначально сконструировали как «индуктивность», на очень высоких частотах работает не как индуктивность, а как что-то другое. Для больших частот надо изобретать уже новое устройство.
§ 2. Конденсатор на больших частотах
А теперь обсудим подробнее поведение конденсатора — геометрически идеального конденсатора,—когда частота становится все выше и выше. Мы проследим за изменением его свойств. (Мы предпочли рассматривать конденсатор, а не индуктивность, потому что геометрия пары обкладок много проще геометрии катушки.) Итак, вот конденсатор (фиг. 23.4, а), состоит он из двух параллельных круговых обкладок, соединенных с внешним генератором парой проводов. Если зарядить конденсатор постоянным током, то на одной из обкладок появится положительный заряд, на другой — отрицательный, а между обкладками будет однородное электрическое поле.
Фиг. 23.4. Электрическое и магнитное поля между обкладками конденсатора.
Представим теперь, что вместо постоянного тока к обкладкам приложено переменное напряжение низкой частоты. (После мы увидим, какая частота «низкая», а какая «высокая».) Конденсатор, скажем, соединен с низкочастотным генератором. Когда напряжение меняется, то с верхней обкладки положительный заряд убирается и прикладывается отрицательный. В момент, когда это происходит, электрическое поле исчезает, а потом восстанавливается, но уже в обратную сторону. Заряд медленно плещется туда-сюда, и поле поспевает за ним. В каждый момент электрическое поле однородно (фиг. 23.4, б); есть, правда, небольшие краевые эффекты, но мы намерены ими пренебречь. Величину электрического поля можно записать в виде
(23.2)
где Е0— постоянно. Но останется ли это справедливым, когда частота возрастет? Нет, потому что при движении электрического поля вверх и вниз через произвольную петлю Г1 проходит поток электрического поля (фиг. 23.4, а). А, как вам известно, изменяющееся электрическое поле создает магнитное. Согласно одному из уравнений Максвелла, при наличии изменяющегося электрического поля (как в нашем случае) обязан существовать и криволинейный интеграл от магнитного поля. Интеграл от магнитного поля по замкнутому кругу, умноженный на с2, равен скорости изменения во времени электрического потока через поверхность внутри круга (если нет никаких токов):
(23.3)
Итак, сколько же здесь этого магнитного поля? Это узнать нетрудно. Возьмем в качестве петли Г1 круг радиуса r. Из симметрии ясно, что магнитное поле идет так, как показано на рисунке. Тогда интеграл от В равен 2prВ. А поскольку электрическое поле однородно, то поток его равен просто Е, умноженному на pr2, на площадь круга:
(23.4)
Производная Е по времени в нашем переменном поле равна iwE0eiwt, Значит, в нашем конденсаторе магнитное поле равно
(23.5)
Иными словами, магнитное поле тоже колеблется, а его величина пропорциональна w и r.
К какому эффекту это приведет? Когда существует магнитное поле, которое меняется, то возникнут наведенные электрические поля, и действие конденсатора станет слегка похоже на индуктивность. По мере роста частоты магнитное поле усиливается: оно пропорционально скорости изменения Е, т. е. w. Импеданс конденсатора больше не будет просто равен 1/iwС.
Будем увеличивать частоту и посмотрим повнимательнее, что происходит. У нас есть магнитное поле, которое плещется то туда, то сюда. Но тогда и электрическое поле не может, как мы раньше предполагали, остаться однородным! Если имеется изменяющееся магнитное поле, то по закону Фарадея должен существовать и контурный интеграл от электрического поля. Так что если существует заметное магнитное поле (а так и бывает на высоких частотах), то электрическое поле не может быть на всех расстояниях от центра одинаковым. Оно должно так меняться с r, чтобы криволинейный интеграл от него мог быть равен изменяющемуся потоку магнитного поля.
Посмотрим, сможем ли мы представить себе правильное электрическое поле. Это можно сделать, подсчитав «поправку» к тому, что было на низких частотах,— к однородному полю. Обозначим поле при низких частотах через Е1, и пусть оно по-прежнему равно Е0еiwt, а правильное поле запишем в виде
где E2— поправка из-за изменения магнитного поля. При любых w мы будем задавать поле в центре конденсатора в виде E0eiwt(тем самым определяя Е0), так что в центре поправки не будет: E2=0 при r=0.
Чтобы найти Е2, можно использовать интегральную форму закона Фарадея
Интегралы берутся просто, если вычислять их вдоль линии Г2, показанной на фиг. 23.4,б и идущей сперва по оси, затем по радиусу вдоль верхней обкладки до расстояния r, потом вертикально вниз на нижнюю обкладку и обратно к оси по радиусу. Контурный интеграл от Е1вдоль этой кривой, конечно, равен нулю; значит, в интеграл дает вклад только Е2, и интеграл равен просто —Ez(r)h, где h — зазор между обкладками. (Мы считаем Е положительным, когда оно направлено вверх.) Это равно скорости изменения потока В, который получится, если вычислить интеграл по заштрихованной площади S внутри Г2 (фиг. 23.4,6). Поток через вертикальную полосу шириной dr равен B(r)hdr, а суммарный поток
Полагая — d/dt от потока равным контурному интегралу от E2, получаем
Фиг. 23.5. Электрическое поле между обкладками конденсатора на высоких частотах. Краевыми аффектами пренебрегли.
Заметьте, что h выпало: поля не зависят от величины зазора между обкладками.
Используя для В(r) формулу (23.5), получаем
Дифференцирование по времени даст нам просто еще один множитель iw:
(23.7)
Как и ожидалось, наведенное поле стремится свести на нет первоначальное электрическое поле. Исправленное поле Е = Е1+Е2тогда равно
(23.8)
Электрическое поле в конденсаторе больше уже не однородно; оно имеет параболическую форму (штриховая линия на фиг. 23.5). Вы видите, что наш простенький конденсатор уже слегка усложняется.
Наши результаты можно использовать для того, чтобы подсчитать импеданс конденсатора на больших частотах. Зная электрическое поле, можно подсчитать заряд обкладок и узнать, как ток через конденсатор зависит от частоты оз. Но эта задача нас сейчас не интересует. Нас больше интересует другое: что станется, если частота будет продолжать повышаться, что произойдет на еще больших частотах? Но разве мы уже не кончили наш расчет? Нет, потому что раз мы исправили электрическое поле, то, значит, магнитное поле, которое мы раньше подсчитали, больше уже не годится. Приближенно магнитное поле (23.5) правильно, но только в первом приближении. Обозначим его В1, а (23.5) перепишем в виде
(23.9)
Вспомните, что это поле появилось от изменения Е1 . А правильное магнитное поле будет создаваться изменением суммарного электрического поля Е1+Е2 . Если магнитное поле представить в виде В=В1+В2 , то второе слагаемое — это просто добавочное поле, создаваемое полем Ег. Чтобы узнать В2 , надо повторить все те же рассуждения, которые приводились, когда подсчитывали В1: контурный интеграл от B2 вдоль кривой Г1 равен скорости изменения потока Е2 через Г1. Опять получится то же уравнение (23.4), но В в нем надо заменить на В2 , а Е — на E2:
Поскольку Е2 с радиусом меняется, то для получения его потока надо интегрировать по круговой поверхности внутри Г1 . Беря в качестве элемента площади 2prdr, напишем этот интеграл в виде
Значит, В2(r) выразится так:
(23.10)
Подставляя сюда Е2(r) из (23.7), получаем интеграл от r3dr, который равен, очевидно, r4/4. Наша поправка к магнитному полю окажется равной
(23.11)
Но мы еще не кончили! Раз магнитное поле В вовсе не такое, как мы сперва думали, то мы, значит, неверно подсчитывали Е2. Надо найти еще поправку к Е, вызываемую добавочным магнитным полем В2. Эту добавочную поправку к электрическому полю назовем Е3. Она связана с магнитным полем В2 так же, как E2 была связана с В1. Можно опять прибегнуть к тому же самому соотношению (23.6), изменив в нем только индексы:
(23.12)
Подставляя сюда наш новый результат (23.11), получаем новую поправку к электрическому полю:
(23.13)
Если теперь наше дважды исправленное поле записать в виде Е=Е1+Е2+Е3, то мы получим
(23.14)
Изменение электрического поля с радиусом происходит уже не по параболе, как было на фиг. 23.5; на больших радиусах значение поля лежит чуть выше кривой (E1+E2).
Мы пока еще не дошли до конца. Новое электрическое поле вызовет новую поправку к магнитному полю, а заново подправленное магнитное поле вызовет необходимость дальнейшей поправки к электрическому и т. д. и т. д. Но у нас уже есть все нужные формулы. Для В3можно использовать (23.10), изменив индексы при В и Е с 2 до 3.
Очередная поправка к электрическому полю равна
С этой степенью точности все электрическое поле дается, стало быть, формулой
где численные коэффициенты написаны в таком виде, что становится ясно, как продолжить ряд.
Окончательно получается, что электрическое поле между обкладками конденсатора на любой частоте дается произведением E0eiwt на бесконечный ряд, который содержит только переменную wr/с. Можно, если мы захотим, определить специальную функцию, обозначив ее через J0(x), как бесконечный ряд в скобках формулы (23.15):
Тогда искомое решение есть произведение E0eiwt на эту функцию при x=wr/c:
(23.17)
Мы обозначили нашу специальную функцию через J0 потому, что, естественно, не мы первые с вами занялись задачей колебаний в цилиндре. Функция эта появилась давным-давно, и ее уже привыкли обозначать J0. Она всегда возникает, когда вы решаете задачу о волнах, обладающих цилиндрической симметрией. Функция J0 по отношению к цилиндрическим волнам — это то же, что косинус по отношению к прямолинейным волнам. Итак, это очень важная функция. И изобретена она очень давно. Затем с нею связал свое имя математик Бессель. Индекс нуль означает, что Бессель изобрел целую кучу разных функций, а наша — самая первая из них.
Другие функции Бесселя — J1? J2 и т. д.— относятся к цилиндрическим волнам, сила которых меняется при обходе вокруг оси цилиндра.
Полностью скорректированное электрическое поле между обкладками нашего кругового конденсатора, даваемое формулой (23.17), изображено на фиг. 23.5 сплошной линией. Для не очень больших частот нашего второго приближения вполне хватает. Третье приближение было бы еще лучше — настолько хорошо, что если его начертить, то вы бы не заметили разницы между ним и сплошной линией. В следующем параграфе вы увидите, однако, что может понадобиться и весь ряд, чтобы получилось аккуратное описание поля на больших радиусах или на больших частотах.
§ 3. Резонансная полость
Посмотрим теперь, что даст наше решение для электрического поля между обкладками конденсатора, если продолжать увеличивать частоту все выше и выше. При больших w параметр х=wr/с тоже становится большим, и первые несколько слагаемых ряда для J0 от х быстро возрастают. Это означает, что парабола, которую мы начертили на фиг. 23.5, на больших частотах изгибается книзу круче.
В самом деле, она выглядит так, как будто поле на высокой частоте все время старается обратиться в нуль где-то при с/w, примерно равном половине а. Давайте посмотрим, действительно ли функция J0 проходит через нуль и становится отрицательной. Сперва испытаем х=2:
Это еще не нуль; но попробуем число побольше, скажем x=2,5. Подстановка дает
В точке x=2,5 функция J0 уже перешла через нуль. Результаты при х=2 и при х=2,5 выглядят так, как будто J0 прошла через нуль на одной пятой пути от 2,5 до 2. Поэтому надо проверить число 2,4:
Фиг. 23.6. Функция Бесселя J0(x).
С точностью до двух знаков после запятой получился нуль. Если рассчитывать точнее (или, поскольку функция J0 известна, если разыскать ответ в книжке), то обнаружится, что J0 " проходит через нуль при x=2,405. Мы провели расчет собственноручно, чтобы показать вам, что вы тоже способны открывать подобные вещи, а не заимствовать их из книг.
А если уж вы посмотрели про J0 в книжке, то интересно выяснить, как она идет при больших значениях х; она напоминает кривую на фиг. 23.6. Когда х возрастает, J0(x) колеблется от положительных значений к отрицательным и обратно, постепенно уменьшая размах колебаний.
Мы получили интересный результат: если достаточно увеличить частоту, то электрические поля в центре конденсатора и у его края могут быть направлены в противоположные стороны. Например, пусть w так велико, что x=wr/с на внешнем краю конденсатора равно 4; тогда на фиг. 23.6 краю конденсатора отвечает абсцисса x=4. Это означает, что наш конденсатор работает при частоте w=4с/а. И на краю обкладок электрическое поле будет довольно велико, но направлено не туда, куда можно было ожидать, а в обратную сторону. Эта ужасная вещь может произойти с конденсатором на больших частотах. При переходе к очень большим частотам электрическое поле по мере удаления от центра конденсатора много раз меняет свое направление. Кроме того, имеется еще связанное с этими электрическими полями магнитное поле. Не удивительно, что наш конденсатор при высоких частотах уже не напоминает идеальной емкости. Можно даже задуматься над тем, на что похож он сильнее: на емкость или на индуктивность. Надо к тому же подчеркнуть, что на краях конденсатора происходят и более сложные эффекты, которыми мы пренебрегли. Например, там происходит еще излучение волн за края конденсатора, так что настоящие поля куда сложнее тех, которые мы рассчитали. Впрочем, мы не будем сейчас заниматься этими эффектами.
Можно было бы, конечно, попробовать представить себе для конденсатора эквивалентную цепь, но, вероятно, будет лучше, если мы просто примем, что тот конденсатор, который мы сконструировали для низкочастотных полей, больше не годится, когда частоты слишком велики.
Фиг. 23.7. Электрическое и магнитное поля в закрытой цилиндрической банке.
И если мы хотим изучить, как действует такой объект на высоких частотах, нам нужно оставить те приближения к уравнениям Максвелла, которые мы делали, изучая цепи, и вернуться к полной системе уравнений, полностью описывающей поля в пространстве. Вместо того чтобы манипулировать о идеализированными элементами цепи, надо оперировать с реальными проводниками, с такими, какие они есть на самом деле, учитывая все поля в пространстве между ними. Например, если нам нужен резонансный контур на высокие частоты, то не нужно пытаться его сконструировать с помощью одной катушки и плоского конденсатора.
Мы уже упомянули, что плоский конденсатор, который мы рассматривали, похож, с одной стороны, на емкость, а с другой— на индуктивность. От электрического поля возникают заряды на поверхностях обкладок, а от магнитного — обратные э.д.с. Не может ли оказаться, что перед нами уже готовый резонансный контур? Оказывается, да. Представьте, что мы выбрали такую частоту, при которой картина электрического поля падает до нуля на каком-то расстоянии от края диска; иначе говоря, мы выбрали wa/с большим, чем 2,405. Всюду на окружности, центр которой лежит на оси обкладок, электрическое поле обратится в нуль. Возьмем кусок жести и вырежем полоску такой ширины, чтобы она как раз поместилась между плоскими обкладками конденсатора. Затем изогнем ее в форме цилиндра такого радиуса, на котором электрическое поле равно нулю. Раз там нет электрического поля, то по вставленному в конденсатор цилиндру никаких токов не потечет, и ни электрические, ни магнитные поля не изменятся. Мы, стало быть, смогли закоротить друг на друга обкладки конденсатора, ничего не изменив в нем. И посмотрите, что получилось: вышла настоящая цилиндрическая банка с электрическим и магнитным полями внутри, причем никак не связанная с внешним миром. Поля внутри не изменятся, даже если отрезать выступающие края обкладок и провода, ведущие к конденсатору. Останется только закрытая банка с электрическим и магнитным полями внутри нее (фиг. 23.7,а). Электрические поля колеблются то вперед, то назад с частотой w, которая, не забывайте, определила собою диаметр банки. Амплитуда колеблющегося поля Е меняется с расстоянием от оси банки так, как показано на фиг. 23.7,6. Кривая эта — просто первая дуга функции Бесселя нулевого порядка. В банке есть еще и круговое магнитное поле, которое колеблется во времени со сдвигом по фазе на 90° относительно электрического поля.
Магнитное поле можно тоже разложить в ряд и изобразить на графике, как это сделано на фиг. 23.7,е.
Но как же это получается, что внутри банки могут существовать электрические и магнитные поля, не соединенные с внешним миром? Оттого, что электрическое и магнитное поля сами себя поддерживают: изменение Е создает В, а изменение В создает Е,— все в согласии с уравнениями Максвелла. Магнитное поле ответственно за индуктивность, электрическое — за емкость; вместе они создают нечто, похожее на резонансный контур. Заметьте, что описанные нами условия возникают лишь тогда, когда радиус банки в точности равен 2,405 с/w. В банке заданного радиуса колеблющиеся электрическое и магнитное поля будут поддерживать друг друга (описанным способом) лишь при этой определенной частоте. Итак, цилиндрическая банка радиуса r резонирует при частоте
(23.18)
Мы сказали, что если банка совершенно закрыта, то поля продолжают колебаться так же, как и раньше. Это не совсем так. Это было бы так, если бы стенки банки были идеальными проводниками. В реальной банке, однако, колеблющиеся токи, текущие по стенкам, могут из-за сопротивления материала терять энергию. Колебания полей постепенно замрут. Из фиг. 23.7 ясно, что там должны существовать сильные токи, связанные с электрическими и магнитными полями внутри полости. Из-за того, что вертикальное электрическое поле внезапно исчезает на верхнем и нижнем торцах банки, у него возникает там сильная дивергенция; значит, на внутренней поверхности банки должны появляться положительные и отрицательные заряды (фиг. 23.7, а). Когда электрическое поле меняет направление на обратное, должны менять знак и заряды, так что между верхним и нижним торцами банки должен течь переменный ток.
Фиг. 23.8. Подключение резонансной полости.
Он будет течь по боковой поверхности банки, как показано на рисунке. То, что по бокам банки должны течь токи, можно понять ещё, рассмотрев то, что происходит в магнитном поле. Кривая на фиг. 23.7, в сообщает нам, что магнитное поле на краю банки внезапно обращается в нуль. Такое внезапное изменение магнитного поля может произойти лишь оттого, что по стенке течет ток. Этот ток как раз и создает переменные электрические заряды на верхней и нижней обкладках банки.
Вас может удивить наше открытие — обнаружение токов на боковых сторонах банки. А как же с нашим прежним утверждением, что ничего не изменится, если в области, где электрическое поле равно нулю, поставить эти боковые стенки? Вспомните, однако, что, когда мы впервые вставляли в конденсатор эти боковые стенки, верхняя и нижняя обкладки выступали за них, так что магнитные поля оказывались и снаружи нашей банки. И только когда мы отрезали выступающие за края банки части конденсатора, на внутренней части боковых стенок появились какие-то токи.
Хоть электрические и магнитные поля в абсолютно закрытой банке из-за потерь энергии постепенно исчезнут, можно сделать так, чтобы этого не было. Для этого надо провертеть в банке сбоку дырочку и понемножку подбавлять энергию, чтобы возмещать потери. Надо взять проволочку, просунуть ее через дырочку в банке и припаять ее к внутренней части стенки, чтобы получилась петля (фиг. 23.8). Если подсоединить эту проволочку к источнику высокочастотного переменного тока, то этот ток будет снабжать энергией электрическое и магнитное поля полости и поддерживать колебания. Это произойдет, конечно, лишь в том случае, если частота источника энергии совпадет с резонансной частотой банки.
Фиг. 23.9. Устройство для наблюдения резонанса в полости.
Фиг. 23.10. Кривая отклика, на частоту для резонансной полости.
Если частота у источника не та, то электрические и магнитные поля резонировать не будут и поля в банке окажутся слабенькими.
Резонансное поведение легко наблюдать, если в банке проделать другую дырку и продеть в нее другую петлю (фиг. 23.8). Изменяющееся магнитное поле, проходящее через эту вторую петлю, будет генерировать в ней э. д. с. индукции. Если теперь эту петлю соединить с внешним измерительным контуром, то токи в нем будут пропорциональными напряженности полей в полости. Представьте теперь, что входная петля нашей полости соединена с радиочастотным сигнал-генератором (фиг. 23.9). Сигнал-генератор состоит из источника переменного тока, частоту которого можно менять, поворачивая ручку на панели генератора. Соединим затем выходную петлю полости с «детектором» — прибором, измеряющим ток от выходной петли. Отсчеты на его шкале пропорциональны этому току. Если затем измерить ток на выходе как функцию частоты сигнал-генератора, то получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 23.10. Ток на выходе невелик на всех частотах, кроме тех, которые близки к w0— резонансной частоте полости. Резонансная кривая очень похожа на ту, о которой говорилось в гл. 23 (вып. 2). Однако ширина резонанса меньше, нежели обычно получается в резонансных контурах, составленных из индуктивностей и емкостей; иначе говоря, Q (добротность) полости очень высока. Зачастую встречаются даже Q порядка 100 000 и выше, особенно если внутренние стенки полости сделаны из очень хорошо проводящего материала, например из серебра.
§ 4. Собственные колебания полости
Предположим, что мы пытаемся проверить свою теорию и делаем измерения с настоящей банкой. Мы берем банку в форме цилиндра диаметром 7,5 см и высотой около 6,3 см. К ней приделываются входная и выходная петли (см. фиг. 23.8). Если рассчитать ожидаемую для этой банки резонансную частоту по формуле (23.18), то получится f0=w0/2p=3010 Мгц. Мы берем сигнал-генератор с частотой около 3000 Мгц и начинаем слегка ее варьировать, пока не появляется резонанс; мы замечаем, что наибольший ток на выходе возникает, скажем, при частоте 3050 Мгц. Это очень близко к предсказанной резонансной частоте, но до конца не совпадает. Можно привести несколько мыслимых причин расхождения. Может быть, резонансная частота немного изменилась, потому что мы прорезали несколько дырок, чтобы вставить соединительные петли. Но это вряд ли: дырки должны были бы слегка понизить резонансную частоту, так что причина не в этом. Тогда, может быть, в калибровке частоты сигнал-генератора допущена небольшая ошибка или измерения диаметра полости недостаточно точны. Во всяком случае, согласие довольно хорошее.
Но гораздо важнее то, что произойдет, когда частота нашего сигнал-генератора уже значительно удалится от 3000 Мгц. Тогда мы получим такой результат, как на фиг. 23.11. Если начать сильнее менять частоту, то получится, что, кроме ожидавшегося резонанса близ 3000 Мгц, имеется еще другой резонанс возле 3300 Мгц и третий возле 3820 Мгц. Что означают эти добавочные резонансы? Разгадку дает фиг. 23.6. Там мы предположили, что на край банки приходится первый нуль функции Бесселя. Но ведь не исключено, что краю банки отвечает второй нуль функции Бесселя, так что в промежутке от центра банки до ее края происходит одно полное колебание электрического поля (фиг. 23.12, а). Такой тип колебаний полей вполне допустим, и естественно ожидать, что банка начнет резонировать на такой частоте. Но заметьте: второй нуль функции Бесселя наблюдается при x=5,52 (фиг. 23.12,6), т. е. более чем вдвое дальше, чем первый нуль. Значит, резонансная частота колебаний этого типа превышала бы 6000 Мгц. Ее, без сомнения, можно заметить, но это не объясняет нам резонанса при 3300 Мгц.
Все дело в том, что в своем анализе поведения резонансной полости мы рассмотрели лишь одно возможное геометрическое расположение электрических и магнитных полей. Мы считали,
Фиг. 23.11. Наблюдаемые резонансные частоты цилиндрической полости.
Фиг. 23.12. Более высокочастотный тип колебаний.
что электрическое поле вертикально, а магнитное расположено горизонтальными кругами. Но мыслимы и другие поля. От них требуется лишь, чтобы они удовлетворяли уравнениям Максвелла и чтобы электрическое поле входило в стенки под прямым углом к ним. Мы взяли случай, когда верх и низ банки плоские, но все не очень бы изменилось, если бы верх и низ были изогнутыми. Да и вообще, откуда банке «знать», где у нее верх,
где низ, а где бока? И действительно, можно доказать, что существует такой тип колебаний полей внутри банки, при котором электрическое поле идет более или менее вдоль ее диаметра (фиг. 23.13).
И не так уж трудно понять, почему собственная частота колебаний этого типа не будет сильно отличаться от собственной частоты первого рассмотренного нами типа колебаний. Представьте, что вместо цилиндрической полости мы взяли бы полость в виде куба со стороной 7,5 см. Ясно, что у нее будет три разных типа колебаний, но с одной и той же частотой. Тип колебаний, при котором электрическое поле направлено примерно вертикально, будет иметь ту же частоту, что и тип колебаний, при котором электрическое поле направлено вправо и влево. Если теперь этот куб переделать в цилиндр, то частоты как-то изменятся. Но все же можно ожидать, что изменение не будет большим, если размеры полости изменятся очень мало.
Фиг. 23.13. Поперечный тип колебаний цилиндрической полости.
Фиг. 23.14. Еще один тип колебаний цилиндрической полости.
Значит, частота того типа колебаний, что на фиг. 23.13, не должна сильно отличаться от частоты на фиг. 23.8. Можно было бы подробно рассчитать собственную частоту того типа колебаний, который показан на фиг. 23.13, но мы этого сейчас делать не будем. Если бы вычисления были проделаны, мы обнаружили бы, что при предположенных размерах резонансная частота получается совсем близко от наблюденного резонанса при 3300 Мгц. С помощью подобных расчетов можно показать, что должен существовать еще другой тип колебаний при другой замеченной нами резонансной частоте — 3800 Мгц. Электрические и магнитные поля, характерные для этого типа колебаний, показаны на фиг. 23.14. Электрическое поле здесь больше не пытается тянуться через всю полость. Оно направлено от боков к торцам.
Теперь, надеюсь, вы уже поверите мне, что при дальнейшем повышении частоты следует ожидать появления все новых и новых резонансов. Существует множество различных типов колебаний; у каждого из них своя частота, отвечающая какому-то частному расположению электрических и магнитных полей. Каждое такое расположение полей называют собственным колебанием (или модой). Резонансную частоту каждого типа колебаний можно подсчитать, найдя из уравнений Максвелла электрические и магнитные поля в полости.
Как можно узнать, наблюдая резонанс при некоторой определенной частоте, что за тип колебаний при этом возбуждается? Один способ такой: надо в полость через отверстие просунуть проволочку.
Фиг. 23.15. Небольшая проволочка, введенная в полость, если она параллельна к Е, сильней исказит ревонанс, чем та, которая расположена поперек Е.
Если электрическое поле направлено вдоль проволочки (фиг. 23.15, а), в ней возникнут сравнительно сильные токи. Они начнут сильно сосать энергию из полей, и резонанс будет подавлен. Если же электрическое поле будет такое, как на фиг. 23.15,6, то проволочка создаст гораздо меньший эффект. В какую сторону в этом месте направлено поле при этом типе колебаний, можно узнать, согнув проволочку так, как показано на фиг. 23.15,в. Поворачивая проволочку, вы увидите, что она сильно изменяет силу резонанса, когда ее конец параллелен Е, и мало влияет на резонанс, если он повернут поперек Е.
§ 5. Полости и резонансные контуры
Хотя описанная нами резонансная полость с виду очень непохожа на обычный, состоящий из катушки и конденсатора резонансный контур, однако обе резонансные системы тесно между собой связаны. Обе они — члены одной семьи; это всего лишь два крайних примера электромагнитных резонаторов, и между ними можно поместить немало промежуточных стадий. Начнем, скажем, с того, что подключим конденсатор в параллель с индуктивностью и образуем резонансный контур (фиг. 23.16, а). Этот контур будет резонировать на частоту w0=ЦLC. Если мы захотим поднять частоту в этом контуре, то этого можно достичь, понизив индуктивность L, например уменьшив число витков в катушке. Но далеко на таком пути мы не уйдем. Мы дойдем до последнего витка и тогда останется просто кусок провода, соединяющий верх и низ конденсатора. Можно было бы продолжать повышать резонансную частоту, уменьшая емкость; однако можно и дальше уменьшать индуктивность, запараллеливая рядом несколько индуктивностей. Две одновитковые индуктивности, включенные в параллель друг у друга, приведут к половине индуктивности одного витка. Так что, даже доведя катушку до одного витка, можно продолжать повышать резонансную частоту, добавляя отдельные петли, соединяющие верхнюю обкладку конденсатора с нижней. На фиг. 23.16, б показаны обкладки конденсатора, соединенные шестью подобными «одновитковыми индуктивностями». Продолжая прибавлять новые куски провода, мы постепенно перейдем к совершенно замкнутой резонансной системе. Такая система (вернее, ее осевое сечение) показана на фиг. 23.16,в. Теперь индуктивность— это пустотелый цилиндр, припаянный к краям обкладок конденсатора. Электрические и магнитные поля будут иметь направление, показанное на рисунке. Такой предмет — это, в сущности, уже резонансная полость. Ее называют «нагруженной» полостью. Но можно ее также все еще рассматривать как L—С-контур, в котором емкостная часть — область, где находится большая часть электрического поля, а индуктивная — где помещается большая часть магнитного поля.
Фиг. 23.16. Резонаторы с возрастающей резонансной частотой.
Если мы захотим повысить частоту резонатора на фиг. 23.16,в сильнее, то надо еще уменьшить индуктивность L. Чтобы этого добиться, следует уменьшить геометрические размеры индуктивной секции, скажем, уменьшить на чертеже высоту h. При уменьшении h резонансная частота растет. И в конце концов можно, конечно, дойти до такого положения, при котором высота h сравняется с промежутком между обкладками. Получится обычная цилиндрическая банка; наш резонансный контур превратится в полый резонатор, показанный на фиг. 23.7.
Заметьте теперь, что в первоначальном резонансном L—С-контуре (фиг. 23.16) электрические и магнитные поля были совершенно разделены. Когда мы постепенно видоизменяли резонансную систему, все повышая ее частоту, то магнитное поле теснее и теснее сближалось с электрическим, пока в полом резонаторе окончательно не перемешалось с ним.
Хотя все полые резонаторы, о которых в этой главе говорилось, были цилиндрическими, ничего волшебного в самой цилиндрической форме нет. Банка любого вида все равно будет обладать резонансными частотами, отвечающими различным допустимым типам колебаний электрических и магнитных полей. К примеру, у «полости» на фиг. 23.17 будет своя личная совокупность резонансных частот, хотя их и трудно рассчитать.
Фиг, 23.17. Еще одна резонансная полость.
Глава 24
ВОЛНОВОДЫ
§ 1. Передающая линия
§ 2. Прямоугольный волновод
§ 3. Граничная частота
§ 4. Скорость волн в волноводе
§ 5. Как наблюдать волны в волноводе
§ 6. Сочленение волноводов
§ 7. Типы волн в волноводе
§ 8. Другой способ рассмотрения волн в волноводе
§ 1. Передающая линия
В предыдущей главе мы выяснили, что случится с сосредоточенными элементами цепи, если на них подать очень высокую частоту. Мы пришли к выводу, что резонансный контур можно заменить полостью, внутри которой поля вступают друг с другом в резонанс. Но есть и другой интересный технический вопрос: как связать между собой два предмета, чтобы можно было передать электрическую энергию от одного к другому? В цепях низкой частоты эта связь осуществляется по проводам, но этот способ на высоких частотах не очень хорош, потому что энергия рассеивается во все стороны и трудно контролировать, куда она потечет. От проводов во все стороны разбегаются поля; к тому же токи и напряжения высокой частоты не очень хорошо «проводятся» проводами. В этой главе мы и хотим разобраться в том, как можно соединять между собой предметы на большой частоте. Таков по крайней мере один подход к теме нашей лекции.
Но можно к ней подойти и по-другому, можно сказать, что мы пока обсуждали поведение волн в пустом пространстве, а теперь пришло время посмотреть, что случится, если колеблющиеся поля ограничить в одном или двух измерениях. Мы обнаружим новое интересное явление: если поля ограничить в двух измерениях и дать им свободу в третьем, они распространяются в виде волн. «Волны в волноводе» и будут предметом нашей лекции.
Начнем с разработки общей теории линии передачи. Обычная линия электропередачи, которая тянется от мачты к мачте по полям и лесам, тратит часть своей мощности на излучение, но частота здесь так мала (50—60 гц), что эти потери почти незаметны.
Фиг. 24.1. Коаксиальная передающая линия.
От излучения можно избавиться, поместив провод в металлическую трубу, но это непрактично, потому что при таких токах и напряжениях в сети без больших, тяжелых и дорогих труб не обойтись. Так что в ходу обычно «открытые линии».
На частотах чуть повыше (порядка нескольких килогерц) излучение уже вполне заметно. Но его можно уменьшить, пользуясь «двухжильной» линией передачи, как это делается при телефонной связи на малые расстояния. Однако при дальнейшем повышении частоты излучение вскоре становится нетерпимо сильным либо за счет потерь энергии, либо из-за того, что энергия перетекает в другие контуры, где она совсем не нужна. На частоте от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц электромагнитные сигналы и электромагнитная энергия обычно передаются по коаксиальным линиям, т. е. по проводу, помещенному внутрь цилиндрического «внешнего проводника», или «защиты». Хотя дальнейшие рассуждения годятся для линии передачи из двух параллельных проводников любого сечения, речь будет идти о коаксиальном кабеле.
Возьмем простейшую коаксиальную линию, состоящую из центрального проводника (пусть это будет тонкостенный полый цилиндр) и внешнего проводника — тоже тонкостенного цилиндра, ось которого совпадает с осью внутреннего проводника (фиг. 24.1). Для начала представим себе, как примерно ведет себя эта линия при относительно низких частотах. Мы уже кое-что говорили о поведении при низких частотах, когда утверждали, что у двух таких проводников на каждую единицу длины приходится сколько-то там индуктивности и сколько-то емкости. И действительно, поведение любой передающей линии при низких частотах можно описать, задав ее индуктивность на единицу длины L0 и ее емкость на единицу длины С0. Тогда линию можно было бы рассматривать как предельный случай фильтра L—С (см. гл. 22, § 7). Можно создать такой фильтр, который будет имитировать линию, если последовательно соединить между собой маленькие элементы индуктивности L0Ax и зашунтировать их маленькими емкостями С0Dx; (где Dx; — элемент длины линии). Применяя к бесконечному фильтру наши прежние результаты, мы бы увидали, что вдоль линии должны распространяться электрические сигналы. Но поступим иначе и вместо этого изучим свойства линии, опираясь на дифференциальные уравнения.
Фие. 24.2. Токи и напряжения в передающей линии.
Предположим, мы наблюдаем за происходящим в двух соседних точках передающей линии, скажем, на расстояниях х и х+Dх от начала линии. Обозначим напряжение между проводниками через V(x), а ток в верхнем проводнике I(х} (фиг. 24.2). Если ток в линии меняется, то индуктивность вызовет падение напряжения вдоль небольшого участка линии от х до x+Dx
Или, беря предел при Dx®0, получаем
(24.1)
Изменение тока приводит к перепаду напряжения.
Теперь еще раз взгляните на рисунок. Если напряжение в х меняется, то должны появляться заряды, которые на этом участке передаются емкости. Если взять небольшой участок линии от х до x+Dx, то заряд на нем равен q = C0DxV. Скорость изменения этого заряда равна C0DxdV/dt, но заряд меняется только тогда, когда ток I(х), входящий в элемент, отличается от выходящего тока I(х+Dх), Обозначая разность через DI,
Если перейти к пределу при Dx®0, получается
(24.2)
Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока пропорционален скорости изменения напряжения во времени. Уравнения (24.1) и (24.2) — это основные уравнения линии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядов через изоляцию между проводниками, но пока нам достаточно самого простого примера.
Оба уравнения передающей линии можно объединить, продифференцировав первое по t, а второе по x; и исключив V или I. Получится либо
(24.3)
либо
(24.4)
Мы снова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (и ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет следовать закону V(x, t)=f(x-vt) или V(x, t)=g(x+vt) или их сумме. А что такое здесь v? Мы знаем, что коэффициент при d2/dt2 — это просто 1/v2. так что
(24.5)
Покажите самостоятельно, что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны и что коэффициент пропорциональности — это просто характеристический импеданс z0. Обозначив через V+ и I+ напряжение и ток для волны, бегущей в направлении +x, вы должны будете получить
(24.6)
Равным образом, для волны, бегущей в направлении -х, получится
Характеристический импеданс, как мы уже видели из наших уравнений для фильтра, дается выражением
(24.7)
и поэтому есть чистое сопротивление.
Чтобы найти скорость распространения v и характеристический импеданс z0 передающей линии, нужно знать индуктивность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального кабеля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При расчете индуктивности мы будем следовать идеям, изложенным в гл. 17, § 8, и положим 1/2 LI2равным магнитной энергии, в свою очередь получаемой интегрированием e0с2B2/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток I; тогда мы знаем, что B=I/2pe0с2r, где r — расстояние от оси. Беря в качестве элемента объема цилиндрический слой толщины dr и длины l,
получаем для магнитной энергии
где а и b — радиусы внутреннего и внешнего проводников, Интегрируя, получаем
(24.8)
Приравниваем эту энергию к 1I2LI2и находим
(24.9)
Как и следовало ожидать, L пропорционально длине l линии, поэтому L0(индуктивность на единицу длины) равна
(24.10)
Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конденсаторе [гл. 12, § 2 (вып. 5)]. Деля теперь этот заряд на разность потенциалов, получаем
Емкость же на единицу длины С0— это С/l. Сопоставляя этот результат с (24.10), мы убеждаемся, что произведение L0C0равно просто 1/с2, т. е. v=1ЦL0C0равно с. Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот результат зависит от сделанных предположений: а) что в промежутке между проводниками нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; б) что все токи текут только по поверхности проводников (как это бывает в идеальных проводниках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хороших проводников, словно они идеальные проводники, так что это предположение правильно.
Любопытно, что в этих двух предположениях произведение L0C0равно 1/с2для любой параллельной пары проводников, даже в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный проводник тянется как-то вдоль эллиптического внешнего. Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны распространяются со скоростью света.
Подобных общих утверждений по поводу характеристического импеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен
(24.11)
Множитель 1/e0c имеет размерность сопротивления и равен 120p ом. Геометрический фактор In(b/a) только логарифмически зависит от размеров, так что коаксиальная линия (и большинство других линий), как правило, обладает характеристическим импедансом порядка 50 ом или что-то около этого, до нескольких сот ом.
§ 2. Прямоугольный волновод
То, о чем мы сейчас будем говорить, на первый взгляд кажется поразительным явлением: если из коаксиального кабеля убрать внутреннюю жилу, он все равно будет проводить электромагнитную энергию. Иными словами, на достаточно высокой частоте полая труба действует ничуть не хуже, чем труба, внутри которой имеется провод. Связано это с другим таинственным явлением, о котором мы уже знаем,— на высоких частотах резонансный контур (конденсатор с катушкой) можно заменить простой банкой.
Это выглядит очень странно, если пользоваться представлением о передающей линии, как о распределенных индуктивности и емкости. Но ведь все мы знаем, что внутри пустой металлической трубы могут распространяться электромагнитные волны. Если труба прямая, через нее все видно! Значит, электромагнитные волны через трубу бесспорно проходят. Но мы знаем также, что нет возможности передавать волны низкой частоты (переменный ток или телефонные сигналы) через одну-единственную металлическую трубу. Выходит, электромагнитные волны проходят через нее только тогда, когда их длина волны достаточно мала. Поэтому мы рассмотрим предельный случай самых длинных волн (или самых низких частот), способных проходить через трубу данного размера. Эту трубу, служащую для прохождения волн, называют волноводом.
Начнем с прямоугольной трубы, ее проще всего анализировать. Сперва изложим все математически, а потом еще раз вернемся назад и рассмотрим вопрос более элементарно. Но этот более элементарный подход легко применить лишь к прямоугольным трубам. Основные же явления в любой трубе одни и те же, так что математические доводы звучат более основательно.
Поставим перед собой следующий вопрос: какого типа волны могут существовать в прямоугольной трубе? Выберем сначала удобные оси координат: ось z направим вдоль трубы, а оси х и у — вдоль стенок (фиг. 24.3).
Известно, что когда волны света бегут по трубе, их электрическое поле поперечно; поэтому начнем с поиска таких решений, в которых Е перпендикулярно z, скажем решений с одной только y-компонентой Еy (фиг. 24.4,а). Это электрическое поле должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля.
Фиг, 24.3. Выбор осей координат для прямоугольного волновода.
Значит, график Еy от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической симметрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sinkxx.
Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между положительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что должно как-то меняться поперек волновода; действительно, ведь оно должно обратиться в нуль на сторонах, параллельных оси у: токи и заряды в проводнике устраиваются всегда так, чтобы на его поверхности не осталось никаких касательных составляющих электрического поля.
Фиг. 24.4. Электрическое поле в волноводе при некотором значении z.
Фиг. 24.3. Выбор осей координат для прямоугольного волновода.
Значит, график Еy от х должен напоминать некоторую дугу (фиг. 24.4,6). Может быть, это найденная нами для полости функция Бесселя? Нет, функции Бесселя появляются только в задачах с цилиндрической симметрией. При прямоугольных сечениях волны — это обычные гармонические функции, что-нибудь вроде sinkxx.
Раз мы ищем волны, которые бегут вдоль трубы, то следует ожидать, что поле как функция z будет колебаться между положительными и отрицательными значениями (фиг. 24.5) и что
Фиг. 24,4. Электрическое поле в волноводе при некотором значении z.
Фиг. 24.5. Зависимость поля в волноводе от z.
эти колебания будут бежать вдоль трубы с какой-то скоростью v. Если имеются колебания с определенной частотой w, то надо испытать, может ли волна меняться по z как cos(wt—kzz) или, в более удобной математической форме, как еi(wt-k2z). Такая зависимость от z представляет волну, бегущую со скоростью v=w/kz [см. гл. 29 (вып. 3)].
Значит, можно допустить, что волна в трубе имеет следующую математическую форму:
(24.12)
Давайте-ка поглядим, можно ли при таком допущении удовлетворить правильным уравнениям поля. Во-первых, электрическое поле не должно иметь составляющих, касательных к проводнику. Для этого наше поле подходит; вверху и внизу оно направлено поперек стенок, а с боков равно нулю. Впрочем, для последнего необходимо, чтобы полволны sin kxx как раз укладывалось на всей ширине волновода, т. е. чтобы было
(24.13)
Это условие определяет kx. Есть и иные возможности, например kxa=2p, Зp, ... или в общем случае
(24.14)
где n — целое. Все они представляют различные сложные расположения полей, но мы дальше будем говорить о самом простом, когда kx=p/a, a a — внутренняя ширина трубы.
Далее, дивергенция Е в пустом пространстве внутри трубы должна быть равна нулю, потому что в трубе нет зарядов. У нашего Е есть только y-компонента, но по у она не меняется, так что действительно V·Е=0.
Наконец, наше электрическое поле должно согласовываться с остальными уравнениями Максвелла для пустого пространства внутри трубы. Это все равно, что потребовать, чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению
(24.15)
Нам надо проверить, подойдет ли сюда выбранная нами форма (24.12). Вторая производная Еy по х просто равна —k2хЕу. Вторая производная по у равна нулю, потому что от у ничего не зависит. Вторая производная по z есть —k2zEy, а вторая производная по t это —w2Еy . Тогда уравнение (24.15) утверждает, что
Если Еyне обращается всюду в нуль (этот случай нас не очень интересует), то это уравнение выполняется всегда, если
(24.16)
Число kxмы уже закрепили, так что это уравнение говорит нам, что волны предположенного нами типа возможны лишь тогда, когда kzсвязано с частотой w условием (24.16), т. е. когда
(24.17)
Волны, которые мы описали, распространяются в направлении z с таким значением kz.
Волновое число kz, которое мы получили из (24.17), дает нам при данной частоте w скорость, с которой бегут вдоль трубы узлы волны. Фазовая скорость равна
(24.18)
Вспомните теперь, что длина l, бегущей волны дается формулой l=2pv/w, так что kzтакже равняется 2p/lg, где lg— длина волны осцилляции в направлении z — «длина волны в волноводе». Длина волны в волноводе, конечно, отличается от длины электромагнитных волн той же частоты, но в пустом пространстве. Если длину волны в пустом пространстве обозначить l0 (что равно 2pс/w), то (24.17) можно переписать в таком виде:
(24.19)
Фиг. 24.6. Магнитное поле в волноводе.
Кроме электрических полей, существуют и магнитные поля, которые тоже движутся волнообразно. Мы не будем сейчас заниматься выводом выражений для них. Ведь c2СXВ = dE/dt, и линии В циркулируют вокруг областей, где dE/dt — наибольшее, т. е. на полпути между максимумом и минимумом Е. Петли В лежат параллельно плоскости xz и между гребнями и впадинами Е (фиг. 24.6).
§ 3. Граничная частота
Уравнение (24.16) для kz на самом деле имеет два корня — один с плюсом, другой с минусом. Ответ следует писать так:
(24.20)
Смысл этих двух знаков просто в том, что волны в волноводе могут бежать и с отрицательной фазовой скоростью (в направлении —z), и с положительной. Волны, естественно, должны иметь возможность бежать в любую сторону. И раз одновременно могут существовать оба типа волн, то решение в виде стоячих волн тоже возможно.
Наше уравнение для kzсообщает нам также, что высшие частоты приводят к большим значениям kg, т. е. к более коротким волнам, пока в пределе больших w величина k не станет равной w/с — тому значению, которое бывает, когда волна бежит в пустоте. Свет, который мы «видим» сквозь трубу, все еще бежит со скоростью с. Но посмотрите зато, какая странная вещь получается, когда частота убывает. Сперва волны становятся все длиннее и длиннее. Но если частота w станет чересчур малой, то под корнем в (24.20) внезапно появится отрицательное число. Это произойдет, когда w перевалит через pс/а или когда l0 станет больше 2а. Иначе говоря, когда частота становится меньше некоторой критической частоты wc=pс/а, волновое число kz(а также lg) становится мнимым и никакого решения у нас не остается. Или остается? Кто, собственно, сказал, что kzдолжно быть действительным? Что случится, если оно станет мнимым? Уравнения-то поля по-прежнему ведь будут удовлетворяться. Может быть, и мнимые kzтоже представляют какую-то волну?
Предположим, что w действительно меньше wc; тогда можно написать
(24.21)
где k' — действительное положительное число
(24.22)
Если теперь вернуться к нашей формуле (24.12) для Еy, то надо будет написать
(24.23)
что можно также представить в виде
(24.24)
Это выражение приводит к полю Е, которое во времени колеблется как eiwt, a no z меняется как e±k'z. Оно плавно убывает или возрастает с z, как всякая действительная экспонента. В нашем выводе мы не думали о том, откуда взялись волны, где их источник, но, конечно, где-то в волноводе он должен быть. И знак, который стоит при k', должен быть таков, чтобы поле убывало при удалении от источника волн.
Итак, при частотах ниже wс—pс/а волны вдоль трубы не распространяются; осциллирующее поле проникает в трубу лишь на расстояние порядка i/k'. По этой причине частоту wсназывают «граничной частотой» волновода. Глядя на (24.22), мы видим, что для частот чуть пониже wc число k' мало, и поля могут проникать в трубу довольно далеко. Но если со намного меньше wс, коэффициент k' в экспоненте равняется p/а, и поле отмирает чрезвычайно быстро (фиг. 24.7). Поле убывает в е раз на расстоянии а/p, т. е. на трети ширины волновода. Поля проникают в волновод на очень малое расстояние от источника.
Мы хотим еще раз подчеркнуть эту характерную черту нашего анализа прохождения волн по трубе — появление мнимого волнового числа kz. Когда, решая уравнение в физике, мы получаем мнимое число, то это обычно ничего физического не означает. Для волн, однако, мнимое волновое число действительно нечто означает. Волновое уравнение по-прежнему удовлетворяется; оно только означает, что решение приводит к экспоненциально убывающему полю вместо распространяющихся волн
Фиг. 24.7. Изменение Еy с ростом z при w<<wc.
Итак, если в любой задаче на волны k при какой-то частоте становится мнимым, это означает, что форма волны меняется — синусоида переходит в экспоненту.
§ 4. Скорость волн в волноводе
Та скорость волн, о которой мы пока говорили,— это фазовая скорость, т. е. скорость узлов волны; она есть функция частоты. Если подставить (24.17) в (24.18), то можно написать
(24.25)
Для частот выше граничной (для которых бегущая волна существует) wc/w меньше единицы, vфаз— действительное число, большее скорости света. Мы уже видели в гл. 48 (вып. 4), что фазовые скорости, большие скорости света, возможны, потому что это просто движутся узлы волн, а не энергия и не информация. Чтобы узнать, как быстро движутся сигналы, надо подсчитать быстроту всплесков или модуляций, вызываемых интерференцией волн одной частоты с одной или несколькими волнами слегка иных частот [см. гл. 48 (вып. 4)]. Скорость огибающей такой группы волн мы назвали волновой скоростью; это не w/k, a dw/dk:
(24.26)
Дифференцируя (24.17) по w и переворачивая, чтобы получить dw/dk, получаем
(24.27)
Это меньше скорости света.
Среднее геометрическое между vфази vгр в точности равно с — скорости света:
(24.28)
Это любопытно, ведь сходное соотношение мы встречали и в квантовой механике. У частицы с любой скоростью (даже у релятивистской) импульс р и энергия U связаны соотношением
(24.29)
Но в квантовой механике энергия — это hw, а импульс —это h/l’, или hk; значит, (24.29) можно записать так:
(24.30)
или
(24.31)
а это очень похоже на (24.17). . . Интересно, не правда ли? Групповая скорость волн — это также скорость, с какой энергия передается по трубе. Если вам нужно найти поток энергии сквозь волновод, надо умножить плотность энергии на групповую скорость. Если среднее квадратичное электрическое поле равно Е0, то средняя плотность электрической энергии равна e0Е20/2. Кроме этого, часть энергии связана с магнитным полем. Мы не будем здесь это доказывать, но в любой полости или трубе магнитная и электрическая энергии равны между собой, так что полная плотность электромагнитной энергии равна e0Е20. А мощность dU/dt, передаваемая волноводом, поэтому равна
(24.32)
(Позже мы рассмотрим другой, более общий способ вычисления потока энергии.)
§ 5. Как наблюдать волны в волноводе
Энергию в волновод можно ввести своего рода «антенной», воспользовавшись для этого, например, вертикальной проволочкой, или «штырем». В наличии волн в волноводе можно убедиться, отведя из него часть электромагнитной энергии с помощью приемной «антенки» — тоже какого-нибудь проволочного штыря или петельки. На фиг. 24.8 показан волновод, часть стенок на рисунке выхвачена, чтобы были видны входной штырь и приемный «пробник».
Фиг. 24.8. Волновод с входным штырем и пробником.
Входной штырь можно подключить через коаксиальный кабель к генератору сигналов, а приемный пробник таким же кабелем можно соединить с детектором. Обычно удобнее вводить пробник через длинную прорезь в стенке волновода. Тогда можно им водить вдоль волновода и замерять поле в разных местах.
Если подать с сигнал-генератора частоту w, большую, чем граничная частота wс, то по волноводу от штыря побегут волны. Если волновод бесконечной длины, то никаких волн, кроме этих, не будет (чтобы сделать его бесконечным, надо на конце его поставить тщательно сконструированный поглотитель, который не допустит отражения от этого конца). Тогда поскольку детектор измеряет поле близ пробника, усредненное по времени, то он будет воспринимать сигнал, не зависящий от положения в волноводе; на выходе будет регистрироваться величина, пропорциональная передаваемой мощности.
Если же сделать так, чтобы от дальнего конца волновода отражалась волна (предельный случай: если закрыть его металлической пластинкой), то вдобавок к первоначальной волне появится отраженная. Эти две волны будут интерферировать и создадут в волноводе стоячую волну, похожую на стоячие волны в струне, о которых говорилось в гл. 49 (вып. 4). В этом случае, по мере того как пробник передвигается вдоль трубы, отсчеты детектора будут периодически повышаться и падать; максимум поля будет отмечать подъемы волны, а минимум — узлы. Расстояние между двумя последовательными узлами (или гребнями) равно lg/2. Это дает нам удобный способ измерять длину волны в волноводе. Если сдвигать частоту ближе к wс, то расстояние между узлами увеличится, показывая тем самым, что длина волны в волноводе изменяется по закону (24.19).
Пусть теперь наш сигнал-генератор включен на частоту, чуть-чуть меньшую, чем wс. Тогда показания детектора будут постепенно падать по мере того, как пробник удаляется вдоль волновода. Если еще понизить частоту, напряженность поля начнет убывать быстрее, следуя кривой фиг. 24.7 и показывая, что волны не распространяются.
§ 6. Сочленение волноводов
Важное практическое применение волноводов состоит в передаче высокочастотной мощности. Ими, например, соединяют высокочастотный осциллятор или выходной усилитель радиолокатора с антенной. Сама же антенна обычно состоит из параболического рефлектора, в фокус которого подается энергия от волновода, расширяющегося на конце в виде «рога», который излучает волны, приходящие по волноводу. Хотя высокую частоту можно передавать и по коаксиальному кабелю, волновод все же лучше — по нему можно передавать большую мощность. Во-первых, передаваемая по кабелю мощность ограничена опасностью пробоя изоляции (твердой или газообразной) между проводниками. Напряженности полей в волноводе при данной мощности обычно не столь велики, как в кабеле, так что можно передавать большие мощности, не опасаясь пробоя. Во-вторых, потери мощности в коаксиальном кабеле обычно больше, чем в волноводе. В кабель приходится ставить изоляционный материал, чтобы поддержать внутренний проводник, и в этом материале возникают потери энергии, особенно при высоких частотах. Кроме того, плотности тока во внутреннем проводе весьма высоки, а поскольку потери пропорциональны квадрату плотности тока, то чем слабее ток в стенках волновода, тем меньше потери энергии. Чтобы свести эти потери к минимуму, внутреннюю поверхность волновода часто покрывают хорошо проводящим материалом, скажем серебром.
Проблема соединения «контуров» с волноводами резко отличается от аналогичной задачи при низких частотах. Ее часто называют микроволновым «сочленением». Для этой цели было придумано много приборов. Например, две секции волновода обычно связываются при помощи фланцев (фиг. 24.9), но такое соединение может повлечь за собой серьезные потери энергии, потому что через соединение потекут поверхностные токи, а их сопротивление довольно велико. Один из способов избежать потерь — это сделать фланцы так, как показано на фиг. 24.10. Между соседними секциями волновода оставляют небольшой зазор, а на торце одного из фланцев делается желобок. Получается небольшая полость (ср. с фиг. 23.16,в), размеры которой выбирают так, чтобы ее резонансная частота совпадала с частотой волн в волноводе. У такой резонансной полости «импеданс» очень высок, поэтому через металлическое соединение (точка а на фиг. 24.10) идет сравнительно слабый ток. Сильные токи в волноводе попросту заряжают и разряжают «емкость» щели (в точке b), где энергия рассеивается слабо.
Теперь представьте, что вам нужно закрыть волновод так, чтобы не возникло никаких отраженных волн. Значит, надо в конце поставить что-нибудь такое, что сможет имитировать бесконечность волновода.
Фиг. 24.9. Секции волновода, соединенные фланцами.
Нужно такое «конечное» устройство, которое действовало бы на волновод так, как действует на передающую линию ее характеристический импеданс — что-то, что только поглощает набегающие волны, но не отражает их. Тогда волновод будет действовать так, будто он бесконечный. Такие окончания получаются, если поставить внутрь трубы тщательно изготовленные клинья из проводящего материала. Они только поглощают энергию и почти не генерируют отраженных волн. Если вам нужно соединить между собой три элемента, скажем один источник и две антенны, то для этого годится устройство в виде «Т», как показано на фиг. 24.11. Мощность, подводимая центральной секцией этого «Т», расщепляется и расходится по двум рукавам (здесь еще может произойти и отражение волн). Из схемы, представленной на фиг. 24.12, можно качественно увидеть, что поля на конце входной секции могут разойтись и создать электрические поля, которые дадут начало волнам, разбегающимся по рукавам. Смотря по тому, перпендикулярны ли электрические поля «верхушке» нашего «Т» или параллельны ей, поля в месте сочленения могут оказаться либо такими, как на фиг. 24.12, а, либо как на фиг. 24.12, б.
Фиг. 24.10. Сочленение двух секций волновода, дающее малые потери.
Фиг. 24.11.Волновод «Т». На фланцы надеты пластмассовые колпачки, предохраняющие внутреннюю часть «Т» от загрязнения в неработающем состоянии.
Наконец, хотелось бы описать прибор, именуемый «направленным ответвителем». Это очень полезное устройство, когда нужно узнать, что получилось после того, как вы сочленили между собой какое-то сложное расположение волноводов. Например, нужно узнать, в какую сторону бегут волны в той или иной секции трубы; скажем, необходимо представить себе, насколько сильна в ней отраженная волна. Направленный ответвитель отбирает немножко мощности у волновода, если по нему бежит волна в одну сторону, и не отбирает ничего, если она бежит в другую. Подключив выход соединителя к детектору, можно измерить «одностороннюю» мощность в волноводе. Направленный ответвитель (фиг. 24.13) — это кусок волновода АВ, к одной из сторон которого припаян другой кусок волновода CD. Труба CD отогнута в сторону так, чтобы поместился соединительный фланец. Прежде чем спаять трубы, через соседние их стенки насквозь просверлили пару (или несколько) отверстий, чтобы через них часть полей в главном волноводе АВ могла пройти во вторичный волновод CD. Каждое отверстие действует как антенна — генерирует волны во вторичном волноводе.
Фиг. 24.12. Электрические поля в волноводе «Т» при двух возможных ориентациях поля.
Фиг. 24.13. Направленный ответвитель.
Если бы отверстие было одно, то волны расходились бы в обе стороны и были бы одинаковы независимо от того, куда направлены волны в первичном волноводе. Но когда отверстий два и когда расстояние между ними равно четверти длины волны в волноводе, то они представляют собой два источника, сдвинутые по фазе на 90°. А вы помните, мы рассматривали в гл. 29 (вып. 3) интерференцию волн от двух антенн, раздвинутых на Х/4 и возбуждаемых со сдвигом 90° по фазе? Мы установили тогда, что в одном направлении волны вычитаются, а в другом складываются. То же самое происходит и здесь. Волна, генерируемая в CD, будет бежать в ту же сторону, что и АВ.
И если волна в первичном волноводе бежит от А к В, то на выходе D вторичного волновода мы тоже заметим волну. Если же волна в первичном волноводе бежит от В к А, то во вторичном волноводе волна побежит к С. А на этом конце стоит такое окончание, что эта волна в нем поглотится и на выходе ответвителя волн вообще не будет.
§ 7. Типы воли в волноводе
Выбранная нами для анализа волна — всего лишь одно из решений уравнений поля. Их на самом деле куда больше. Каждое решение представляет собой свой «тип волны» в волноводе. Скажем, в нашей волне вдоль направления х укладывалось только полсинусоиды. Ничуть не хуже решение, в котором вдоль х укладывается вся синусоида; изменение Еy с х тогда показано на фиг. 24.14. У этого типа волн kxвдвое больше и граничная частота много выше. Кроме того, изученная нами волна Е имеет лишь y-компоненту, но бывают и типы волн с более сложными электрическими полями. Если у электрического поля есть только х- и y-компоненты, так что оно всегда перпендикулярно к оси z, то такой тип волн называется «поперечным электрическим» (или сокращенно ТЕ) типом волн. Магнитное поле в волне такого типа всегда обладает z-компонентой. Далее, оказывается, что когда у Е есть z-компонента (вдоль направления распространения), то у магнитного поля есть только поперечные
Фиг. 24.14. Еще одна возможная зависимость Еу от х.
компоненты. Такие поля называются «поперечными магнитными» (сокращенно ТМ) типами волн. В прямоугольном волноводе все типы обладают более высокой граничной частотой, чем описанный нами простой TE-тип. Поэтому всегда возможно (и так обычно делают) использовать такой волновод, в котором частота немного превышает граничную частоту этого наинизшего типа колебаний, но находится ниже граничных частот всех других типов. В таком волноводе распространяется волна только одного типа. В противном случае поведение волн усложняется и его трудно контролировать.
§ 8. Другой способ рассмотрения волн в волноводе
Теперь я хочу по-другому объяснить вам, почему волновод так сильно ослабляет поля, частота которых ниже граничной частоты wс. Я хочу, чтобы вы получили более «физическое» представление о том, почему так резко меняется поведение волновода при низких и при высоких частотах. Для прямоугольного волновода это можно сделать, анализируя поля на языке отражений (или изображений) в стенках волновода. Такой подход годится, однако, только для прямоугольных волноводов; вот почему мы начали с математического анализа, который в принципе годится для волноводов любой формы.
Для описанного нами типа колебаний вертикальные размеры (по у) не имели никакого значения, поэтому можно не обращать внимания на верх и низ волновода и представлять себе, что волновод в вертикальном направлении простирается бесконечно. Пусть он просто состоит из двух вертикальных пластин, удаленных друг от друга на расстояние а.
Давайте возьмем в качестве источника полей вертикальный провод между пластинами; по нему течет ток, который меняется
Фиг. 24.15, Линейный источник S0 между проводящими плоскими стенками W1 и W2 . Стенки можно заменить бесконечной последовательностью изображений источников.
с частотой w. Если бы волновод не имел стенок, то от такого провода расходились бы цилиндрические волны.
Представим, что стенки волновода сделаны из идеального проводника. Тогда, в точности как в электростатике, условия на поверхности будут выполнены, если к полю провода мы добавим поле одного или нескольких правильно подобранных его изображений. Представление об изображениях работает в электродинамике ничуть не хуже, чем в электростатике, при условии, конечно, что мы учитываем запаздывание. Мы знаем, что это так, потому что мы много раз видели в зеркале изображение источника света. А зеркало — это и есть «идеальный» проводник для электромагнитных волн оптической частоты.
Рассечем наш волновод горизонтально, как показано на фиг. 24.15, где W1и W2 — стенки волновода, a S0 — источник (провод). Обозначим направление тока в проводе знаком плюс. Будь у волновода лишь одна стенка, скажем Wl, , ее можно было бы убрать, поместив изображение источника (с противоположной полярностью) в точке S1 . Но при двух стенках появится также изображение Suв стенке W2; обозначим его S2. Этот источник также будет обладать своим изображением в W1; обозначим его S3 . Дальше, сами S1и S3изобразятся в W2 точками S4 и S6и т. д. И для нашей пары плоских проводников с источником посредине поле между проводниками совпадет с нолем, генерируемым бесконечной цепочкой источников на расстоянии а друг от друга. (Это на самом деле как раз то, что вы увидите, посмотрев на провод, расположенный посредине между двумя параллельными зеркалами.) Чтобы поля обращались в нуль на стенках, полярности токов в изображениях должны меняться от одного изображения к следующему. Иначе говоря, их фаза меняется на 180°. Поле волновода — это просто суперпозиция полей всей этой бесконечной совокупности линейных источников.
Известно, что вблизи от источников поле очень напоминает статические поля. В гл. 7, § 5 (вып. 5) мы рассматривали статическое поле сетки линейных источников и нашли, что оно похоже на поле заряженной пластины, если не считать членов ряда, убывающих по мере удаления от сетки экспоненциально. У нас средняя сила источников равна нулю, потому что у каждой пары соседних источников знаки противоположны. Любые поля, существующие здесь, должны с расстоянием убывать экспоненциально. Вплотную к источнику мы в основном воспринимаем поле этого ближайшего источника; на больших расстояниях уже воздействует несколько источников, и их суммарное влияние дает нуль. Мы теперь понимаем, отчего волновод ниже граничной частоты дает экспоненциально убывающее поле. При низких частотах годится статическое приближение, и оно предсказывает быстрое ослабление полей с расстоянием.
Теперь зато возникает противоположный вопрос: отчего же в таком случае волны вообще распространяются? Теперь уже это выглядит таинственно! А причина-то в том, что при высоких частотах запаздывание полей может внести в фазу добавочные изменения, которые могут привести к тому, что поля источников с противоположной фазой будут усиливать, а не гасить друг друга. В гл. 29 (вып. 3) мы уже изучали как раз для этой задачи поля, создаваемые системой антенн или оптической решеткой. Тогда мы обнаружили, что соответствующее
расположение нескольких радиоантенн может привести к такой интерференционной
^ картине, что в одном направлении сигнал будет очень сильный, а в других сигналов вообще не будет.
Вернемся к фиг. 24.15
и посмотрим на поля на большом расстоянии от линии изображений источников.
Фиг. 24.16. Одна совокупность когерентных волн от вереницы
линейных источников.
Ф us. 24.17. Поле в волноводе можно рассматривать как наложение двух верениц плоских волн.
Поля будут велики лишь в некоторых направлениях, зависящих от частоты, именно в тех направлениях, в каких поля всех источников попадают в фазу друг к другу и складываются. На заметном расстоянии от источников поле в этих специальных направлениях распространяется как плоские волны. Мы изобразили такую волну на фиг. 24.16, где сплошными линиями даны гребни волн, а штрихом — впадины. Направление волны должно быть таким, чтобы разность запаздываний от двух соседних источников до гребня волны отвечала полупериоду колебания. Иными словами, разность между r2 и r0на рисунке равна половине длины волны в пустом пространстве:
Тогда угол q дается условием
(24.33)
Имеется, конечно, и другая совокупность волн, бегущих вниз под симметричным углом по отношению к линии источников. А полное поле в волноводе (не слишком близко к источнику) является суперпозицией этих двух совокупностей волн (фиг. 24.17). Конечно, в действительности картина истинных полей совпадает с изображенной лишь в пространстве между стенками волновода.
В таких точках, как А к С, гребни двух волновых картин совпадут, и у поля будет максимум; в точках же наподобие В пики обеих волн направлены в отрицательную сторону, и поле обладает минимумом (наименьшим отрицательным значением). С течением времени поле в волноводе будет двигаться вдоль него. Длина волны будет равна lg — расстоянию от A go С. Она связана с q формулой
(24.34)
Подставляя (24.33) вместо q, получаем
(24.35)
что в точности совпадает с (24.19).
Теперь нам становится понятно, почему волны распространяются только выше граничной частоты wс. Если длина волн в пустом пространстве больше 2а, то не существует угла, под которым может появиться волна, показанная на фиг. 24.16. Необходимая для этого конструктивная интерференция возникает внезапно, едва X0 оказывается меньше 2а, или, что то же самое, когда w0=pс/а.
А если частота достаточно высока, то может появиться два
или больше возможных направления распространения волн.
2 В нашем случае это произойдет при l0 <2/3 а. Но вообще-то это может происходить и при l0<а. Эти добавочные волны отвечают высшим типам волн, о которых мы говорили.
После нашего анализа становится также ясно, отчего фазовая скорость волн, бегущих по трубе, превышает с и зависит от со. Когда w меняется, меняется и угол на фиг. 24.16, под которым в пустом пространстве распространяются волны, а вместе с этим меняется и скорость вдоль трубы.
Хотя мы описали волны в волноводе в виде суперпозиции полей бесконечной совокупности линейных источников, но можно убедиться в том, что тот же результат можно было бы получить, представив себе две совокупности волн в пустом пространстве, многократно отражаемых от двух идеальных зеркал вперед и назад, и вспоминая, что подобное отражение означает перемену знака фазы. Эти совокупности отражаемых волн гасили бы друг друга под всеми углами, кроме угла q [см. (24.33)]. Одну и ту же вещь можно рассматривать многими способами.
Глава 25
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
В РЕЛЯТИВИСТСКИХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
§ 1. Четырехвекторы
§ 2. Скалярное произведение
§ 3. Четырехмерный градиент
§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях
§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики
В этой главе с=1
Повторить: гл. 15 (вып. 2) «Специальная теория относительности» ; гл. 16 (вып. 2) «Релятивистская энергия и импульс»;
гл. 17 (вып. 2} «Пространство - время»; гл. 13 (вып. 5) «Магнитостатика»
§ 1. Четырехвекторы
В этой главе мы рассмотрим применение специальной теории относительности к электродинамике. Мы изучали теорию относительности довольно давно (гл. 15—17, вып. 2), поэтому я здесь коротко напомню основные идеи.
Экспериментально установлено, что законы физики при равномерном движении не изменяются. Если вы находитесь внутри звездолета, летящего с постоянной скоростью по прямой линии, то не можете установить самого факта движения корабля: для этого надо выглянуть наружу или по крайней мере провести какие-то наблюдения, связанные с внешним миром. Любой написанный нами истинный закон физики должен быть сформулирован так, чтобы этот факт природы был «встроен» в него.
Соотношение между пространством и временем в двух системах координат (одна из которых 6" равномерно движется относительно другой 5 в направлении оси х со скоростью v) определяется преобразованиями Лоренца
(25.1)
Законы физики должны быть таковы, чтобы после преобразований Лоренца они в новой форме выглядели абсолютно так же, как и раньше. Это в точности напоминает принцип независимости законов физики от ориентации нашей системы координат. В гл. 11 (вып. 1) мы видели, что способом математического описания этой инвариантности относительно вращения является запись уравнений в векторном виде.
Там мы обнаружили, что если, скажем, взять два вектора
то комбинация
при повороте системы координат не меняется. Таким образом, если с обеих сторон уравнения мы видим скалярное произведение, подобное А·В, то уравнение будет иметь в точности ту же форму в любой повернутой системе координат. Кроме того, мы открыли оператор (см. гл. 2)
который, будучи применен к скалярной функции, дает три величины, преобразующиеся в точности как вектор. С помощью этого оператора был определен градиент, а в комбинации с другими векторами — дивергенция и лапласиан. И, наконец, мы обнаружили, что, составляя суммы некоторых попарных произведений компонент двух векторов, можно получить три величины, которые ведут себя подобно новому вектору. Мы назвали это векторным произведением двух векторов. Используя затем векторное произведение с оператором V, мы определили ротор вектора. В дальнейшем нам часто придется ссылаться на то, что было нами сделано в векторном анализе, поэтому все важнейшие векторные операции в трехмерном пространстве, которые использовались в прошлом, мы собрали в табл. 25.1.
Пользуясь ею, можно так записать любое уравнение физики, что обе его части преобразуются при вращениях одинаковым образом. Если одна его часть — вектор, то вектором должна быть и другая часть, и обе они при вращении системы координат изменяются в точности одинаково. Аналогично, если одна часть скаляр, то скаляром должна быть и другая часть, так что ни та, ни другая не изменяется при вращении системы координат и т. д.
В теории относительности пространство и время неразделимо связаны друг с другом, поэтому то же самое придется проделать и для четырех измерений. Мы хотим, чтобы наши уравнения оставались неизменными не только при вращениях, но и при переходе в любую инерциальную систему. Это означает, что наши уравнения должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (25.1). Цель настоящей главы — показать, как этого можно добиться. Но прежде чем начать, примем соглашение, которое значительно облегчит нашу работу (и к тому же поможет избежать путаницы). Заключается оно в таком выборе единиц измерения длины и времени, чтобы скорость света с оказалась равной единице. Вы можете считать, например, что в качестве единицы времени взят интервал, за который свет проходит отрезок в один метр (это составляет около 3·10-9 сек). Можно даже так и назвать эту единицу времени: «один световой метр». Использование этой единицы еще ярче оттеняет симметрию пространства и времени. Кроме того, из наших релятивистских уравнений исчезнут все с. (Если это почему-либо вас смущает, то вы можете в любом уравнении восстановить их или заменить каждое t на ct, а еще лучше вставить с повсюду, где это необходимо для правильной размерности уравнения.) Теперь, после такой подготовки, мы можем двинуться дальше.
Наша программа состоит в том, чтобы повторить в четырехмерном пространстве-времени все то, что мы делали с векторами в трех измерениях. Дело это нехитрое — мы просто будем действовать аналогично. Единственное затруднение встретится только при обозначениях (символ вектора у нас уже занят трехмерными векторами), и несколько изменятся знаки в скалярном произведении.
Прежде всего, по аналогии с векторами в трехмерном пространстве, введем четырехвектор как набор четырех величин at, ах, ауи аz, которые при переходе в движущуюся систему координат преобразуются подобно t, x, у и z. Для обозначения четырехвектора используется несколько различных способов. Мы же будем писать просто аm, понимая под этим группу четырех величин (at, ax, ay, az); другими словами, значок m принимает какое-либо из четырех «значений»: t, x, у и г. Иногда нам будет удобно обозначать три пространственные компоненты в виде трехмерного вектора, т. е. писать am=(at, а).
Мы уже сталкивались с одним таким четырехвектором, состоящим из энергии и импульса частицы (см. гл. 17, вып. 2). В наших новых обозначениях он запишется так:
pm=(Е, p), (25.2)
т. е. четырехвектор pmсостоит из энергии Е и трех компонент трехмерного импульса частицы р.
Похоже, что игра действительно оказывается нехитрой: единственное, что мы должны сделать,— это найти для каждого трехмерного вектора недостающую компоненту и получить четырехвектор. Однако все же эта задача потруднее, чем кажется на первый взгляд. Возьмем, например, вектор скорости с компонентами
Что будет его временной компонентой? Инстинкт подсказывает нам, что поскольку четырехвектор подобен t, x, у, z, то временной компонентой как будто должно быть
Но это неверно. Дело в том, что время t в каждом знаменателе не инвариантно при преобразованиях Лоренца. Числитель имеет правильное поведение, a dt в знаменателе портит все дело: оно не одинаково в двух различных системах.
Оказывается, что четыре компоненты «скорости», которые нам нужно выписать, превратятся в компоненты четырехвектора, если мы попросту поделим их на Ц(1-v2). В правильности этого можно убедиться, взяв
четырехвектор импульса
(25.3)
и поделив его на массу покоя, которая в четырехмерном пространстве является скаляром. Мы получим при этом
(25.4)
что по-прежнему должно быть четырехвектором. (Деление на скаляр не изменяет трансформационных свойств.) Так что четырехвектор скорости vmможно определить так:
(25.5)
Это очень полезная величина; мы можем теперь написать, например,
(25.6)
Таков типичный вид, который должен иметь правильное релятивистское уравнение: каждая сторона его должна быть четырехвектором. (В правой части стоит произведение инварианта на четырехвектор, которое по-прежнему есть четырехвектор.)
§ 2. Скалярное произведение
То, что расстояние от некоторой точки до начала координат не изменяется при повороте, если хотите,— счастливая случайность. Математически это означает, что r2=x2+y2+z2 является инвариантом. Другими словами, после поворота r'2=r2 или
Возникает вопрос: существует ли подобная величина, которая инвариантна при преобразованиях Лоренца? Да, существует. Из (25.1) вы видите, что
Она была бы всем хороша, если бы только не зависела от нашего выбора оси х. Но этот недостаток легко исправить вычитанием y/2 и z2. Тогда преобразование Лоренца плюс вращение оставляют ее неизменной. Таким образом, роль величины, аналогичной трехмерному r2 в четырехмерном пространстве, играет комбинация
Она является инвариантом так называемой «полной группы Лоренца», которая включает как перемещения с постоянной скоростью, так и повороты.
Далее, поскольку эта инвариантность представляет собой алгебраическое свойство, зависящее только от правил преобразования (25.1) плюс вращение, то она справедлива для любого четырехвектора. (Все они, по определению, преобразуются одинаковым образом.) Так что для любого четырехвектора аm
Эту величину мы будем называть квадратом «длины» четырехвектора ам. (Будьте внимательны! Иногда берут обратные знаки у всех слагаемых и квадратом длины называют число a2x+a2y+a2z -a2t)
Если теперь у нас есть два вектора аm и bm, то их одноименные компоненты преобразуются одинаково, поэтому комбинация
также будет инвариантной (скалярной) величиной. (Фактически мы доказали это уже в гл. 17, вып. 2.) Получилась величина, совершенно аналогичная скалярному произведению векторов. Мы так и будем называть ее скалярным произведением двух четырехвекторов. Логично, казалось бы, и записывать его аm·bm, чтобы оно даже выглядело похожим на скалярное произведение. Но обычно, к сожалению, так не делают и пишут его без точки.
И мы тоже будем придерживаться этого порядка и записывать скалярное произведение просто ambm. Итак, по определению,
(25.7)
Помните, что повсюду, где вы видите два одинаковых значка (вместо m мы иногда будем пользоваться v или другими буквами), необходимо взять четыре произведения и сложить их, не забывая при этом о знаке минус перед произведениями пространственных компонент. С учетом такого соглашения инвариантность скалярного произведения при преобразованиях Лоренца можно записать как
Поскольку последние три слагаемых в формуле (25.7) представляют просто трехмерное скалярное произведение, то часто удобнее принять такую запись:
Очевидно, что введенную выше четырехмерную длину можно записать как аmаm:
(25.8)
Но иногда удобно эту величину записать как а2m:
Продемонстрируем теперь плодотворность четырехмерного скалярного произведения. Антипротоны (р') получают на больших ускорителях из реакции
Иначе говоря, высокоэнергетический протон сталкивается с покоящимся протоном (например, с помещенной в пучок водородной мишенью), и если падающий протон обладает достаточной энергией, то вдобавок к двум первоначальным протонам может родиться пара протон—антипротон.
Какой энергией должен обладать падающий протон, чтобы эта реакция стала энергетически возможной?
Ответ легче всего получить, рассмотрев эту реакцию в системе центра масс (ц. м.) (фиг. 25.1). Назовем падающий протон протоном а, а его четырехимпульс обозначим через рam. Аналогично, протон мишени назовем b, а его четырехимпульс обозначим через рbm. Если энергии падающего протона как раз достаточно для реакции, то в конечном состоянии (т. е. в состоянии после соударения) образуется система, содержащая три протона и антипротон, покоящиеся в системе ц. м. Если энергия падающего протона будет несколько выше, то частицы в конечном состоянии вылетят с некоторой кинетической энергией и будут разлетаться в стороны; если же она немного ниже, то ее будет недостаточно для образования четырех частиц.
Пусть рсm — полный четырехимпульс всей системы в конечном состоянии, тогда, согласно закону сохранения энергии и
а комбинируя эти два выражения, можно написать
(25.9)
Теперь еще одно важное обстоятельство: поскольку мы получили уравнение для четырехвекторов, то оно должно выполняться в любой инерциальной системе. Этим фактом можно воспользоваться для упрощения вычислений. Напишем длины каждой из частей (25.9), которые, разумеется, тоже должны быть равны друг другу, т. е.
(25.10)
Так как рсm рсm — инвариант, то можно вычислить его в какой-то одной системе координат. В системе ц. м. временная компонента рсm равна энергии покоя четырех протонов, т. е. 4М, а пространственная часть р равна нулю, так что рсm=(4М, 0). При этом мы воспользовались равенством масс протона и антипротона, обозначив их одной буквой М.
Таким образом, уравнение (25.10) принимает вид
(25.11)
Произведения раmраm и pbmpbm, вычисляются очень быстро: «длина» четырехвектора импульса любой частицы равна просто квадрату ее массы:
Это можно доказать прямыми вычислениями или, несколько более эффектно, простым замечанием, что в системе покоя частицы рm=(М, 0), а следовательно, рmрm=М2. А так как это инвариант, то он равен М2 в любой системе отсчета. Подставляя результаты в уравнение (25.11), мы получаем
или
(25.12)
Теперь можно вычислить раmрbmв лабораторной системе. В этой системе четырехвектор рам= (Еа, ра), а рbm=(М, 0), ибо он описывает покоящийся протон. Итак, раmрbmдолжно быть равно МЕа, а мы знаем, что скалярное произведение — это инвариант, поэтому оно должно быть равно значению, найденному нами в (25.12). В результате получается
Полная энергия падающего протона должна быть по меньшей мере равна 1М (что составляет около 6,6 Гэв, так как М=938 Мэв) или после вычитания массы покоя М получаем, что кинетическая энергия должна быть равна по меньшей мере 6М (около 5,6 Гэв). Именно с тем, чтобы иметь возможность производить антипротоны, бетатрон в Беркли проектировался на кинетическую энергию ускоренных протонов около 6.2 Гэв.
Скалярное произведение — инвариант, поэтому полезно знать его величину. Что, например, можно сказать о «длине» четырехвектора скорости umum?
т. е. um — единичный четырехвектор.
§ 3. Четырехмерный градиент
Следующей величиной, которую нам следует обсудить, является четырехмерный аналог градиента. Напомним (см. гл. 14, вып. 1), что три оператора дифференцирования д/дх, д/ду, d/dz преобразуются подобно трехмерному вектору и называются градиентом. Та же схема должна работать и в четырех измерениях; по простоте вы можете подумать, что четырехмерным градиентом должны быть (d/dt, д/дх, д/ду d/dz), но это неверно.
Чтобы обнаружить ошибку, рассмотрим скалярную функцию, которая зависит только от х и t. Приращение j при малом изменении t на Dt и постоянном х равно
(25.13)
С другой стороны, с точки зрения движущегося наблюдателя
Используя уравнение (25.1), мы можем выразить Dх' и Dt' через Dt. Вспоминая теперь, что величина х постоянна, так
что Dx=0, мы пишем
Таким образом,
Сравнивая этот результат с (25.13), мы узнаем, что
(25.14)
Аналогичные вычисления дают
(25.15)
Теперь вы видите, что градиент получился довольно странным. Выражения для х и t через х' и t' [полученные решением уравнений (25.1)] имеют вид
Именно так должен преобразовываться четырехвектор. Но в уравнениях (25.14) и (25.15) знаки получились неправильными! Выход в том, что надо заменить неправильное определение четырехмерного оператора градиента (d/dt,С) правильным:
Мы его обозначим Сm . Для такого Сm трудности исчезают, и он ведет себя так, как подобает настоящему четырехвектору. (Ужасно неприятно наличие минусов, но так уж устроено в мире.) Разумеется, говоря, что Сm «ведет себя как четырехвектор», мы подразумеваем, что четырехмерный градиент скалярной функции есть четырехвектор. Если j — настоящее скалярное (лоренц-инвариантное) поле, то Сmj будет четырехвекторным полем.
Итак, все уладилось. Теперь у нас есть векторы, градиенты и скалярное произведение. Следующий на очереди — инвариант, аналогичный дивергенции в трехмерном векторном анализе. Ясно, что аналогом его должно быть выражение Сmbm, где bm — векторное поле, компоненты которого являются функциями пространства и времени. Мы определим дивергенцию четырехвектора bm=(bt, b) как скалярное произведение Сm на bm:
где С·b — обычная трехмерная дивергенция вектора b. Не забывайте внимательно следить за знаками. Один знак минус связан с определением скалярного произведения [формула (25.7)1, а другой возникает от пространственных компонент Сm [формула (25.16)]. Дивергенция, определяемая формулой (25.7), есть инвариант, и для всех систем координат, отличающихся друг от друга преобразованием Лоренца, применение ее приводит к одинаковой величине.
Остановимся теперь на физическом примере, в котором появляется четырехмерная дивергенция. Ею можно воспользоваться при решении задачи о полях вокруг движущегося проводника. Мы уже видели (гл. 13, § 7, вып. 5), что плотность электрического заряда r и плотность тока j образуют четырехвектор jm=(p, j). Если незаряженный провод переносит ток jx, то в системе отсчета, движущейся относительно него со скоростью v (вдоль оси х), в проводнике наряду с током появится и заряд [который возникает согласно закону
преобразований Лоренца (25.1)1:
Но это как раз то, что мы нашли в гл. 13. Теперь нужно подставить эти источники в уравнение Максвелла в движущейся системе и найти поля.
Закон сохранения заряда в четырехмерных обозначениях тоже принимает очень простой вид. Рассмотрим четырехмерную дивергенцию вектора jm :
(25.18)
Закон сохранения заряда утверждает, что утекание тока из единицы объема должно быть равно отрицательной скорости увеличения плотности заряда. Иными словами,
Подставляя это в (25.18), получаем очень простую форму закона сохранения заряда:
(25.19)
Благодаря тому, что Сmjm — инвариант, равенство его нулю в одной системе отсчета означает равенство нулю и во всех других. Таким образом, если заряд сохраняется в одной системе, он будет сохраняться и во всех других системах координат, движущихся относительно нее с постоянной скоростью.
В качестве последнего примера рассмотрим скалярное произведение оператора градиента Сm на себя. В трехмерном пространстве такое произведение дает лапласиан
Что получится для четырех измерений? Вычислить это очень просто. Следуя нашему правилу скалярного произведения, находим
Этот оператор, представляющий аналог трехмерного лапласиана, называется даламбертианом и обозначается специальным
символом
(25.20)
По построению он является скалярным оператором, т. е., если подействовать им, скажем, на четырехвекторное поле, возникает новое четырехвекторное поле. [Иногда даламбертиан определяется с противоположным по отношению к (25.20) знаком, так что при чтении литературы будьте внимательны!]
Итак, для большинства величин, перечисленных нами в табл. 25.1, мы нашли их четырехмерные эквиваленты. (У нас еще нет эквивалента векторного произведения, но его нахождение мы оставим до следующей главы.) А теперь соберем в одно место все важнейшие результаты и определения и составим еще одну таблицу (табл. 25.2); она поможет вам лучше запомнить, что во что переходит.
§ 4. Электродинамика в четырехмерных обозначениях
В гл. 18, § 6, мы уже сталкивались с оператором Даламбера, хотя и не знали, что он так называется. Мы нашли там дифференциальное уравнение для потенциалов, которое в новых обозначениях выглядит так:
(25.21)
С правой стороны (25.21) стоят четыре величины r, jx, j , jz, поделенные на e0 — универсальную постоянную, одинаковую во всех системах координат, если во всех системах для измерения заряда используется одна и та же единица. Таким образом, четыре величины r/jе0, jх/e0, jy/e0, jz/e0 тоже преобразуются как четырехвектор. Их можно записать в виде jz/е0. Оператор Даламбера не изменяется при переходе к другим системам координат, так что четыре величины j, Ах, Ауи Az тоже должны преобразоваться как четырехвектор, т. е. должны быть компонентами четырехвектора. Короче говоря, величина
есть четырехвектор. То, что мы называли скалярным и векторным потенциалами, оказывается только разными частями от одной и той же физической величины. Они неотделимы друг от друга. А если это так, то релятивистская инвариантность мира очевидна. Вектор Аmмы называем четырехмерным потенциалом (4-потенциалом).
В четырехмерных обозначениях (25.21) приобретает очень простой вид:
(25.22)
Физика этого уравнения та же, что и уравнений Максвелла. Но есть своя прелесть в том, что можно переписывать их в столь элегантной форме. Впрочем, эта красивая форма содержит и кое-что более значительное — из нее непосредственно видна инвариантность электродинамики относительно преобразований Лоренца.
Напомним, что уравнение (25.21) можно получить из уравнений Максвелла только тогда, когда наложено дополнительное условие градиентной инвариантности:
(25.23)
что означает просто СmAm =0, т. е. условие градиентной инвариантности говорит, что дивергенция четырехмерного вектора Аmравна нулю. Это требование носит название условия Лоренца. Такая форма его записи очень удобна, ибо она инвариантна, а поэтому уравнения Максвелла во всех системах отсчета сохраняют вид (25.22).
§ 5. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
Теперь выпишем законы преобразования, выражающие j и А в движущейся системе через j и А в неподвижной, хотя неявно мы уже говорили о них. Поскольку Аm = (j, А) является четырехвектором, это уравнение должно выглядеть подобно (25.1), за исключением того, что t нужно заменить на j, а x — на А. Таким образом,
(25.24)
При этом предполагается, что штрихованная система координат движется по отношению к нештрихованной со скоростью v в направлении оси х.
Рассмотрим один пример плодотворности идеи 4-потенциала. Чему равны векторный и скалярный потенциалы заряда q, движущегося со скоростью v в направлении оси х! Задача очень упрощается в системе координат, движущейся вместе с зарядом, ибо в этой системе заряд покоится. Пусть заряд находится в начале координат системы S', как это показано на фиг. 25.2.
Фиг. 23.2. Система отсчета S' движется со скоростью v (в направлении оси х) по отношению к системе S.
Заряд, покоящийся в начале системы координат S', находится в системе S в точке x=vt. Потенциалы в точке Р могут быть найдены для любой системы отсчета.
Скалярный потенциал в движущейся системе задается выражением
(25.25)
причем r' — расстояние от заряда q до точки в движущейся системе, где производится измерение поля. Векторный же потенциал А', разумеется, равен нулю.
Теперь без особых хитростей можно найти потенциалы j и А в неподвижной системе координат. Соотношениями, обратными к уравнениям (25.24), будут
(25.26)
Используя далее выражение для j'[см. (25.25)] и равенство А'=0, получаем
Эта формула дает нам скалярный потенциал j, который мы увидели бы в системе S, но он, к сожалению, записан через координаты штрихованной системы. Впрочем, это дело легко поправимо; с помощью (25.1) можно выразить t', х', у', z' через t, x, у, z и получить
(25.27)
Повторяя ту же процедуру для вектора А, вы можете показать,
что
А = vj. (25.28)
Это те же самые формулы, которые мы вывели в гл. 21, но там они были получены другим методом.
§ 6. Инвариантность уравнений электродинамики
Итак, потенциалы j.и А, оказывается, образуют в совокупности четырехвектор, который мы обозначили через Аm, а волновое уравнение (полное уравнение, выражающее Аmчерез jm) можно записать в виде (25.22). Это уравнение вместе с сохранением заряда (25.19) составляют фундаментальный закон электромагнитного поля:
(25.29)
И вот, пожалуйста, все уравнения Максвелла просто и красиво записываются всего в одной строке. Достигли ли мы чего-нибудь, записав их в таком виде, кроме, разумеется, красоты и простоты? Прежде всего, есть ли здесь какое-нибудь отличие от того, что было раньше, когда мы выписывали их во всем разнообразии компонент? Можно ли из этих уравнений получить нечто, чего нельзя получить из волновых уравнений для потенциалов, содержащих заряды и токи? Ответ вполне определенный — конечно, нельзя. Единственное, что мы сделали — это изменили названия, т. е. использовали новые обозначения. Мы нарисовали квадратик для обозначения производных, но это по-прежнему не более и не менее как вторая производная по t минус вторая производная по х, минус вторая производная по у, минус вторая производная по z. А значок m, говорит, что у нас есть четыре уравнения, по одному для каждого из значений m=t, х, у или z. Какой же тогда смысл того, что уравнения можно записать в столь простой форме? С точки зрения получения чего-то нового — никакого. Хотя, возможно, простота уравнений и выражает определенную простоту природы. Сейчас я покажу вам нечто интересное, чему мы понемногу научились. Можно сказать, что все законы физики описываются
одним уравнением:
U=0. (25.30)
Не правда ли, удивительно простое уравнение! Конечно, нужно еще знать, что обозначает символ U. Это физическая величина, которую мы будем называть «несообразностью» ситуации. У нас даже есть для нее формула. Вот как вычисляется эта несообразность: вы берете все физические законы и записываете их в особой форме. Например, вы взяли закон механики F=ma и записали его в виде F-ma=0.
Теперь вы можете величину (F-mа), которая, разумеется, в нашем мире должна быть нулем, назвать «несообразностью» механики. Затем вы берете квадрат этой несообразности, обозначаете его через U1 и называете ее «механической несообразностью». Другими словами, вы берете
(25.31)
который можно назвать «гауссовой электрической несообразностью». Продолжая этот процесс, вы можете ввести U3, U4 и т. д. для каждого из физических законов.
Наконец, полной несообразностью мира U вы называете сумму Ui,- для каждого из различных явлений, т. е. U=2Ui .
И тогда «великий закон природы» гласит:
(25.32)
Этот «закон», разумеется, утверждает лишь, что сумма квадратов всех отдельных отклонений равна нулю, однако единственный способ сделать сумму квадратов множества членов равной нулю — это приравнять нулю каждое из ее слагаемых.
Таким образом, «удивительно простой закон» (25.32) эквивалентен целому ряду уравнений, которые вы писали первоначально. Поэтому совершенно очевидно, что простые обозначения, скрывающие сложности за определением символов,— это еще не истинная простота. Это только трюк. Так и в выражении (25.32) за кажущейся простотой скрывается несколько уравнений; это снова не более чем трюк. Развернув их, вы снова получите то, что было раньше.
Однако закон электродинамики, написанный в форме уравнения (25.29), содержит нечто большее, чем простую запись; в векторном анализе, кроме простоты записи, также есть нечто большее. Тот факт, что уравнения электромагнетизма можно записать в особых обозначениях, которые специально приспособлены для четырехмерной геометрии преобразований Лоренца, иначе говоря, как векторные уравнения в четырехмерном мире, означает, что они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Именно потому, что уравнения Максвелла инвариантны относительно этих преобразований, их можно записать в столь красивом виде.
В том, что законы электродинамики можно записать в форме элегантного уравнения (25.29), нет ничего случайного. Теория относительности была развита именно потому, что экспериментально подтвердилась неизменность предсказанных уравнением Максвелла явлений в любой инерциальной системе. Именно при изучении трансформационных свойств уравнений Максвелла Лоренц открыл свои преобразования как преобразования, оставляющие инвариантными эти уравнения.
Однако есть и другая причина записывать уравнения в таком виде. Было обнаружено, что все законы физики должны быть инвариантными относительно преобразований Лоренца (первый об этом догадался Эйнштейн). Таково содержание принципа относительности. Поэтому если вы изобрели обозначения, которые сразу же показывают, инвариантен ли выписанный нами закон, то можно гарантировать, что при попытке создать новую теорию вы будете писать только уравнения, согласующиеся с принципом относительности.
В простоте уравнений Максвелла в этих частных обозначениях никакого чуда нет. Обозначения специально были придуманы именно для них. Самая интересная с физической точки зрения вещь состоит в том, что любой физический закон (будь то распространение мезонных волн, или поведение нейтрино в b-распаде, или что-то другое) должен иметь ту же самую инвариантность относительно тех же преобразований. Так что если ваш звездолет движется с постоянной скоростью, то все законы природы вместе преобразуются так, что никаких новых явлений не возникает. Именно благодаря тому, что принцип относительности является законом природы, уравнения нашего мира в четырехмерных обозначениях должны выглядеть гораздо проще.
*Вас может удивить, почему же мы не пользуемся реакцией
Или даже
для которой, несомненно, требуется меньшая энергия? Все дело в принципе, называемом сохранением барионного заряда, согласно которому величина, равная числу протонов минус число антипротонов, не может измениться. В левой стороне нашей реакции эта величина равна 2. Следовательно, если мы хотим справа иметь антипротон, то ему должны сопутствовать еще три протона (или других бариона).
* В английском оригинале «unworldliness». — Прим. ред.
Глава 26
ЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ
§ 1. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью
§ 3. Релятивистское преобразование полей
§ 4. Уравнение движения в релятивистских обозначениях
В этой главе c=1
Повторить: гл. 20 «Решение уравнений Максвелла в пустом пространстве»
§ 1. Четырехмерный потенциал движущегося заряда
В предыдущей главе мы видели, что потенциал Am =(j, А) является четырехвектором. Его временной компонентой служит скалярный потенциал j, а тремя пространственными компонентами— векторный потенциал А. Используя преобразования Лоренца, мы нашли также потенциал частицы, движущейся прямолинейно с постоянной скоростью. (В гл. 21 то же самое было сделано несколько иным методом.) Для точечного заряда, координаты которого в момент t равны (vt, 0, 0), потенциалы в точке (х, у, z) имеют вид
(26.1)
Уравнения (26.1) дают потенциалы в точке х, у, z в момент t, возникающие от движущегося заряда, «истинное» положение которого (имеется в виду положение в момент времени t) x=vt. Заметьте, что в уравнение входят координаты (x-vt), у и z, которые являются координатами относительно переменного положения Р движущегося заряда (фиг. 26.1). Но, как вы знаете, истинное влияние распространяется на самом деле со скоростью с, так что поле в точке определяется на самом деле запаздывающим положением заряда Р', координата х которого равна vt' (где t'=t-r'/с — «запаздывающее» время».)
Фиг. 26.1. Определение полей в точке P от заряда q, движущегося вдоль оси x с постоянной скоростью v. (Поле в точке (x, y, z) в «настоящий момент» можно выразить как через «истинное» положение P так и через «запаздывающее» положение P’ (т. е. положение в момент t’=t-r’/c).
Нам, однако, известно, что заряд двигался с постоянной скоростью по прямой линии, поэтому естественно, что поведение в точке Р' непосредственно связано с переменным положением заряда. Фактически, если мы добавим предположение, что потенциалы зависят только от положения и скорости в запаздывающий момент, тогда уравнение (26.1) будет представлять собой полную формулу для потенциалов заряда, движущегося любым образом. Вот как все это работает. Пусть у вас имеется заряд, движущийся каким-то произвольным образом, скажем, по траектории, изображенной на фиг. 26.2, и вы пытаетесь найти потенциал в точке (х, у, z). Прежде всего вы находите запаздывающее положение Р' и скорость v' в этой точке. Вообразите затем, что заряд сохраняет свое движение с этой скоростью на весь период запаздывания (t'-t), так что он появился бы затем в воображаемом положении Рпр, которое мы будем называть «проекционным», причем двигаясь с той же скоростью v'. (На самом деле он, конечно, не делает этого; в момент t он находится в точке Р.) Тогда потенциалы в точке (х, у, z) будут как раз такими, которые дали бы уравнения (26.1) для воображаемого заряда в проекционном положении Рпр. Мы хотим здесь сказать, что, поскольку потенциалы зависят только от того, что делает заряд в запаздывающий момент, они будут одинаковы, независимо от того, продолжает ли заряд свое движение с постоянной скоростью или изменяет его после момента t', т. е. после того, как потенциалы, которые возникнут в момент t в точке (х, у, z), уже определены.
Вы понимаете, конечно, что в тот момент, когда получены формулы для потенциалов произвольно движущегося заряда, мы имеем полную электродинамику; из принципа суперпозиции мы можем получить потенциалы для любого распределения зарядов.
Фиг. 26.2. Движение заряда по произвольной траектории.
Потенциалы в точке (х, у, z) в момент t определяются положением Р' и скоростью v' в запаздывающий момент t'— t-r' /с. Их удобно выражать через координаты относительно «проекционного» положения Pпр (истинным положением в момент t является точка Р).
Следовательно, все явления электродинамики можно вывести либо из уравнений Максвелла, либо из следующего ряда замечаний. (Запомните их на случай, если вы вдруг очутитесь на необитаемом острове. Исходя из них, можно восстановить все. Преобразования Лоренца вы, конечно, помните. Не забывайте их ни на необитаемом острове, ни в каком-либо другом месте.)
Во-первых, Аm — четырехвектор. Во-вторых, кулонов потенциал любого покоящегося заряда равен q/4pe0r. В-третьих, потенциал, созданный зарядом, движущимся произвольным образом, зависит только от положения в запаздывающий момент времени. Из этих трех фактов вы можете получить все. Из того, что Аm ~ четырехвектор, мы преобразованием кулонова потенциала, который известен, получим потенциал заряда, движущегося с постоянной скоростью. Затем из последнего утверждения, что потенциал зависит только от скорости в запаздывающий момент, мы, используя проекционное положение, можем их найти. Правда, это не очень-то удобный способ рассмотрения, но интересно убедиться в том, что законы физики можно сформулировать множеством самых различных способов.
Иногда кое-кто безответственно заявляет, что вся электродинамика может быть получена только из преобразований Лоренца и закона Кулона. Это, конечно, совершенно неверно. Мы прежде всего должны предположить, что у нас имеются скалярный и векторный потенциалы, которые в совокупности образуют четырехвектор. Это говорит нам, как преобразуются потенциалы. Затем, откуда нам известно, что необходимо учитывать только эффект в запаздывающий момент? Или, еще лучше, почему потенциал зависит только от положения и скорости и не зависит, например, от ускорения? Ведь поля Е и В зависят все-таки и от ускорения. Если вы попытаетесь применить те же рассуждения к ним, то будете вынуждены признать, что они зависят только от положения и скорости в запаздывающий момент. Но тогда поле ускоряющегося заряда было бы таким же, как и поле от заряда в проекционном положении, а это неверно. Поля зависят не только от положения и скорости вдоль траектории, но и от ускорения. Так что в «великом» утверждении, что все можно получить из преобразования Лоренца, содержится еще несколько неявных дополнительных предположений. (Всегда, когда вы слышите подобное эффектное утверждение, что нечто большое можно построить на основе малого числа предположений,— ищите ошибку. Обычно неявно принимается довольно много такого, что оказывается далеко не очевидным, " если посмотреть внимательнее.)
§ 2. Поля точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью
Итак, мы нашли потенциалы точечного заряда, движущегося с постоянной скоростью. Для практических целей нам нужно найти поля. Равномерно движущиеся заряды попадаются буквально на каждом шагу, скажем проходящие через камеру Вильсона космические лучи или даже медленно движущиеся электроны в проводнике. Так что давайте хотя бы посмотрим, как выглядят эти поля для любых скоростей заряда, даже для скоростей, близких к скорости света, но предположим при этом, что ускорение вообще отсутствует. Это очень интересный вопрос.
Поля мы будем находить по обычным правилам, исходя из потенциалов
Возьмем сначала Ez:
Но компонента Azравна нулю, а дифференцирование выражения (26.1) для j дает
(26.2)
Аналогичная процедура для Еуприводит к
(26.3)
Немного больше работы с x-компонентой. Производная от j более сложна, да и Ахне равна нулю. Давайте сначала вычислим —дj/дх:
(26.4)
А затем продифференцируем Ахпо t:
(26.5)
И, наконец, складывая их, получаем
(26.6)
Бросим на минуту заниматься полем Е, а сначала найдем В. Для его z-компоненты мы имеем
Но, поскольку Аyравна нулю, у нас остается только одна производная. Заметьте, однако, что Ахпросто равна vj, а производная (d/dy)vjравна —vEy . Так что
(26.7)
Аналогично,
или
(26.8)
Наконец, компонента Вхравна нулю, поскольку равны нулю и Ауи Аг. Таким образом, магнитное поле можно записать в виде
(26.9)
Теперь посмотрим, как выглядят наши поля. Мы попытаемся нарисовать картину поля вокруг положения заряда в настоящий момент. Конечно, влияние заряда в каком-то смысле происходит из запаздывающего положения, но, поскольку мы имеем дело со строго заданным движением, запаздывающее положение однозначно определяется положением в настоящий момент. При постоянной скорости заряда поля лучше связывать с текущими координатами, ибо компоненты поля в точке х, у, z зависят только от (х-vt), у и z, которые являются компонентами вектора перемещения rpиз постоянного положения заряда в точку (х, у, z) (фиг. 26.3).
Фиг. 26.3. Электрическое поле заряда, движущегося с постоянной скоростью, направлено по радиусу от истинного положения заряда.
Рассмотрим сначала точки, для которых z= 0. Поле Е в этих точках имеет только х- и y-компоненты. Из уравнений (26.3) и (26.6) видно, что отношение этих компонент как раз равно отношению х- и y-компонент вектора перемещения. Это означает, что направление Е совпадает с направлением rp, как это показано на фиг. 26.3. Тот же результат остается справедливым и для трех измерений, поскольку Ezпропорционально z. Короче говоря, электрическое поле заряда радиально и силовые линии расходятся от заряда так же, как и в стационарном случае. Конечно, вследствие наличия дополнительного фактора (1-v2) поле не будет тем же самым, что в стационарном случае. Но здесь мы можем увидеть нечто очень интересное. Дело обстоит так, как будто вы пишете закон Кулона в особой системе координат, «сжатой» вдоль оси x множителем Ц(1-v2) Если вы сделаете это, то силовые линии впереди и позади заряда разойдутся, а по бокам сгустятся (фиг. 26.4).
Если мы связываем обычным образом напряженность поля Е с плотностью силовых линий, то видим, что поле впереди и позади заряда ослабевает, но зато по бокам становится сильнее, т. е. как раз то, о чем говорит нам уравнение. Когда вы измеряете напряженность поля под прямыми углами к линии движения, т. е. при (x-vt) = 0, расстояние от заряда будет равно y2+z2, а полная напряженность Ц(E2x+E2y) в этих точках равна
(26.10)
Она, как и в случае кулонова поля, пропорциональна квадрату расстояния, но еще усиливается постоянным множителем 1/Ц(1-v2), который всегда больше единицы. Таким образом, по бокам движущегося заряда электрическое поле сильнее, чем это следует из закона Кулона. Фактически увеличение по сравнению с кулоновым потенциалом равно отношению энергии частицы к ее массе покоя.
Впереди заряда (или позади него) у и z равны нулю, а поэтому
(26.11)
Снова поле обратно пропорционально расстоянию от заряда, но теперь оно зарезается множителем (1-v2), что согласуется с картиной силовых линий. Если v/c мало, то v2/c2еще меньше, и действие (1-v2) почти незаметно, поэтому мы снова возвращаемся к закону Кулона. Но если частица движется со скоростью, близкой к скорости света, то поле перед частицей сильно уменьшается, а поле сбоку чудовищно возрастает.
Наш результат, относящийся к электрическому полю заряда, можно представить и так. Предположим, что вы на клочке бумаги нарисовали силовые линии покоящегося заряда, а затем эту картину запустили со скоростью v2. Тогда благодаря лоренцеву сокращению рисунок сожмется, т. е. частички графита на бумаге будут казаться нам расположенными в других местах. Но чудо состоит в том, что в результате на пролетающем мимо листочке вы увидите точную картину силовых линий точечного движущегося заряда. Лоренцево сокращение сблизит их по бокам, раздвинет перед зарядом и позади него как раз настолько, чтобы получить нужную плотность. Мы уже отмечали, что силовые линии — это не реальность, а лишь способ представить себе электрическое поле. Однако здесь они ведут себя как самые настоящие реальные линии. В этом частном случае, если вы и сделали ошибку, рассматривая силовые линии как нечто реальное и преобразуя их как реальные линии в пространстве, поле в результате все равно получилось бы правильным.
Фиг. 26.4. Электрическое поле заряда.
а — неподвижного, б — летящего с постоянной скоростью v=0,9 с.
Однако от этого силовые линии не станут более реальными. Вспомните об электрическом поле, создаваемом зарядом вместе с магнитом; когда магнит движется, он создает новое электрическое поле и разрушает всю нашу прекрасную картину. Так что простая идея сокращающейся картинки, вообще говоря, не годится. Но все же это очень удобный способ запомнить, как выглядит поле быстро движущегося заряда.
Магнитное поле [из уравнения (26.9)] равно vXE. Когда вы векторно помножите скорость на радиальное поле Е, то получите поле В, силовые линии которого представляют окружности вокруг линии движения (фиг. 26.5). Если же теперь мы подставим обратно все с, то вы убедитесь, что результат получился тот же, что и для медленно движущихся зарядов. Хороший способ установить, куда должны войти с, — это вспомнить формулу для силы:
Вы видите, что произведение скорости на магнитное поле имеет ту же размерность, что и электрическое поле, так что в правой части (26.9) должен стоять множитель 1/с2, т. е.
(26.12)
Для медленно движущегося заряда (v << с) поле можно считать кулоновым, и тогда
(26.13)
Эта формула в точности соответствует магнитному полю тока, которое было найдено в гл. 14 (вып. 5).
Попутно мне хотелось бы отметить кое-что весьма интересное просто для того, чтобы вы об этом подумали. (К обсуждению этого мы еще вернемся, но несколько позже.) Представьте себе два электрона, скорости которых перпендикулярны, так что пути их пересекаются, однако электроны не сталкиваются; один из них успевает проскочить перед другим. В какой-то момент их относительное положение будет таким, как изображено на фиг. 26.6, а.
Фиг. 26.5. Магнитное поле вблизи движущегося заряда равно vXE (ср. с фиг. 26.4).
Фиг. 26.6. Силы между двумя движущимися зарядами не всегда равны и противоположны. «Действие», оказывается, не равно «противодействию».
Рассмотрим теперь силы, с которыми q2действует на q1, и наоборот. На q2 со стороны q1 действует только электрическая сила, ибо q1на линии своего движения не создает магнитного поля. Однако на q1кроме электрического поля, действует еще и магнитное, так что он движется и в магнитном поле, создаваемом зарядом q2. Все эти силы показаны на фиг. 26.6, б. Электрические силы, действующие на q1и q2, равны по величине и противоположны по направлению. Однако на q1еще действует и боковая (магнитная) сила, которой и в помине нет у q2. Равно ли здесь действие противодействию? Поломайте голову над этим вопросом.
§ 3. Релятивистское преобразование полей
В предыдущем параграфе мы вычисляли электрическое и магнитное поля, исходя из трансформационных свойств потенциалов. Но, несмотря на приведенные ранее аргументы в пользу физического смысла и реальности потенциалов, поля все же важнее. Они тоже реальны, и для многих задач было бы удобно иметь способ вычисления полей в движущейся системе, если поля в некоторой «покоящейся» системе уже известны. Мы имеем законы преобразования для j и А, поскольку Аmпредставляет собой четырехвектор. Теперь нам хотелось бы найти законы преобразования Е и В. Пусть мы знаем векторы Е и В в одной системе отсчета. Как же они выглядят в другой системе, движущейся относительно первой? Здесь-то нам и понадобятся преобразования. Конечно, мы всегда можем сделать это через потенциал, но иногда удобно уметь преобразовывать поля непосредственно. Сейчас мы увидим, как это делается.
Как можно найти закон преобразования полей? Нам известны законы преобразования j и А, и мы знаем, как выражаются поля через j и А, так что отсюда нетрудно найти преобразования для Е и В. (Вы можете подумать, что у каждого вектора есть нечто, дополняющее его до четырехвектора, так что, например, с вектором Е можно связать некую величину, которая сделает его четырехвектором. То же самое относится и к В. Увы, это не так. Все оказывается совершенно непохожим на то, что можно было бы ожидать.) Для начала возьмем магнитное поле В, которое, конечно, равно СXА. Теперь мы знаем, что х -, у- и z-компоненты векторного потенциала — это только одна часть, помимо них есть еще и t-компонента. Кроме того, мы знаем, что у аналога оператора С наряду с производными по х, у и z есть также производная по t. Давайте же попытаемся найти, что получится, если мы произведем замену у на t, или z на t, или еще что-нибудь в этом духе.
Прежде всего обратите внимание на форму слагаемых, образующих компоненты В:
В слагаемые, образующие x-компоненту В, входят только z- и y-компоненты А. Предположим, мы назвали эту комбинацию производных и компонент «zy-штукой», или сокращенно Fzy . Мы просто имеем в виду, что
(26.15)
Подобной же «штуке» равна и компонента В, но на сей раз это будет «xz-штука», а Вz, разумеется, равна «yx-штуке». Таким образом,
(26.16)
Посмотрим теперь, что получится, если мы попытаемся смастерить «штуки» типа «t», т. е. Fxtили Ftz(ведь природа должна быть красива и симметрична по х, у, z и t). Что такое, например, Ftz? Разумеется, она равна
Но вспомните, ведь At=j, поэтому предыдущее выражение равно
Такое выражение нам уже встречалось раньше. Это почти z-компонента поля Е. Почти, за исключением неверного знака. Впрочем, мы забыли, что в четырехмерном градиенте производная по t идет со знаком, противоположным производным по х, у и z. Так что на самом деле нам следует взять более умное обобщение, т. е. считать
(26.17)
Теперь она в точности равна — Ег. Так же можно построить Ftxи Ftvи получить три выражения:
А что, если оба индекса внизу будут t? Или оба будут х? Тогда мы получим выражения типа
т. е. просто нуль.
Итак, у нас есть шесть таких «F-штук». Кроме них, есть еще шесть полученных перестановкой индексов, но они не дают ничего нового, ибо
Fxy= -Fyx
и т. п. Таким образом, из шести возможных попарных комбинаций четырех значений индексов мы получили шесть различных физических объектов, которые представляют компоненты В и Е.
Чтобы записать члены F в общем виде, мы воспользуемся обобщенными индексами m и v, каждый из которых может быть 0, 1, 2 или 3, обозначающих соответственно (как и в обычных четырехвекторах) t, x, у или z. Кроме того, все будет прекрасно согласовываться с нашими четырехмерными обозначениями, если Fmvопределить как
Fmv =СmAv-СvAm, (26.19)
помня при этом, что
То, что мы нашли, можно сформулировать так: в природе существуют шесть величин, которые представляют различные стороны чего-то одного. Электрическое и магнитное поля, которые в нашем обычном медленно движущемся мире (где нас не беспокоит конечность скорости света) рассматривались как совершенно отдельные векторы, в четырехмерном пространстве уже не будут ими. Они — часть некоторой новой «штуки».
Наше физическое «поле» на самом деле шестикомпонентный объект Fmv . Вот как обстоит дело в теории относительности. Полученные результаты для Fmvсобраны в табл. 26.1.
Таблица 26.1 · компоненты fmv
Вы видите, что мы сделали фактически обобщение векторного произведения. Мы начали с ротора и с того факта, что его свойства преобразования в точности такие же, как свойства преобразования двух векторов — обычного трехмерного вектора А и оператора градиента, который, как нам известно, ведет себя подобно вектору. Возвратимся на минуту к обычному векторному произведению в трехмерном пространстве, например к моменту количества движения частицы. При движении частицы в плоскости важной характеристикой оказывается комбинация (xvy—yvx), а при движении в трехмерном пространстве появляются три подобные величины, которые мы назвали моментом количества движения:
Затем (хотя сейчас вы, может быть, об этом и забыли) мы сотворили в гл. 20 (вып. 2) чудо: эти три величины превратились в компоненты вектора. Чтобы сделать это, мы приняли искусственное соглашение: правило правой руки. Нам просто повезло. И повезло потому, что момент Ltj (i и j равны х, у или z) оказался антисимметричным объектом, т. е.
Lij= - Lji, Lii=0.
Из девяти возможных его величин независимы лишь три. И вот оказалось, что при изменении системы координат эти три оператора преобразуются в точности, как компоненты вектора.
То же свойство позволяет записать в виде вектора и элемент поверхности. Элемент поверхности имеет две части, скажем dx и dy, которые можно представить вектором da, ортогональным к поверхности. Но мы не можем сделать этого же для четырех измерений. Что будет нормалью к элементу dxdy? Куда она направлена — по оси z или по t?
Короче говоря, для трех измерений оказывается, что комбинацию двух векторов типа Lij, к счастью, снова можно представить в виде вектора, поскольку возникают как раз три члена, которые, выходит, преобразуются подобно компонентам вектора. Для четырех измерений это, очевидно, невозможно, поскольку независимых членов шесть, а шесть величин вы никак не представите в виде четырех.
Однако даже в трехмерном пространстве можно составить такую комбинацию векторов, которую невозможно представить в виде вектора. Предположим, мы взяли какие-то два вектора a=(ах, ay, az) и b=(bx, by, bz) и составили всевозможные различные комбинации компонент типа axbx, axbyи т. д. Всего получается девять возможных величин:
Эти величины можно назвать Т' ij.
Если теперь перейти в повернутую систему координат (скажем, относительно оси z), то при этом компоненты а и b изменяются. В новой системе ахдолжно быть заменено на
Аналогичные вещи происходят и с другими компонентами. Девять компонент изобретенной нами величины Tij., разумеется, тоже изменяются. Например, Txy =ахbупереходит в
или
Каждая компонента Tij — это линейная комбинация компонент tij.
Итак, мы обнаружили, что из векторов можно сделать не только векторное произведение aXb, три компоненты которого преобразуют подобно вектору. Искусственно мы из двух векторов tij . можем сделать «произведение» другого сорта. Девять его компонент преобразуются при вращении по сложным правилам, которые можно выписать. Подобный объект, требующий для своего описания вместо одного индекса два, называется тензором. Мы построили тензор «второго ранга», но так же можно поступить и с тремя векторами и получить тензор третьего ранга, а из четырех векторов — тензор четвертого ранга и т. д. Тензором первого ранга является вектор.
Суть всего этого разговора в том, что наше электромагнитное поле Fmv— тоже тензор второго ранга, так как у него два индекса. Однако это уже тензор в четырехмерном пространстве. Он преобразуется специальным образом, и через минуту мы найдем его. Это просто произведение векторных преобразований. Если у тензора F mv вы переставите индексы, то он изменит свой знак. Это особый вид тензора, и называется он антисимметричным. Иначе говоря, электрическое и магнитное поля являются частью антисимметричного тензора второго ранга в четырехмерном пространстве.
Вот какой мы прошли длинный путь. Помните, мы начали с определения, что такое скорость? А теперь мы уже рассуждаем о «тензоре второго ранга в четырехмерном пространстве».
Теперь нам нужно найти закон преобразования Fmv. Сделать это нетрудно — мороки только много,— шевелить мозгами особенно не нужно, а вот потрудиться все же придется. Единственное, что мы должны найти,— это преобразование Лоренца величины Сm Av— СvAm . Так как Сm — просто специальный случай вектора, то мы будем работать с общей антисимметричной
комбинацией векторов, которую можно назвать Gmv :
(26.20)
(Для наших целей амследует, в конце концов, заменить на Сm, а bm —на потенциал Аm .) Компоненты аm и bmпреобразуются по формулам Лоренца:
(26.21)
Теперь преобразуем компоненты Gm v . Начнем с Gtx:
Но ведь это просто Gtx. Таким образом, мы получили простой
результат G’tx=Gtx.
Возьмем еще одну компоненту:
Итак, получается
И, конечно, точно таким же образом
А теперь ясно, как ведут себя все остальные компоненты. Давайте составим таблицу преобразований всех шести членов; только теперь мы будем все писать для величин Fmv:
(26.22)
Разумеется, по-прежнему у нас Fmv=—f'mv, a F'mm=0.
Итак, мы имеем преобразования электрических и магнитных полей. Единственное, что нам нужно сделать,— это заглянуть в табл. 26.1 и узнать, что означает для векторов Е и В преобразование, записанное для Fмv. Речь идет о простой подстановке. Чтобы можно было видеть, как это все выглядит в обычных символах, перепишем наши преобразования компонент поля в виде табл. 26.2.
Таблица 26.2 · ЛОРЕНЦЕВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Уравнения в этой таблице говорят нам, как изменяются Е и В при переходе от одной инерциальной системы к другой. Если известны Е и В в одной системе, то мы можем найти, чему они равны в другой, движущейся относительно нее со скоростью v.
Можно переписать эти уравнения в форме, более легкой для запоминания. Для этого заметьте, что поскольку скорость v направлена по оси х, то все компоненты с v представляют собой векторные произведения vXE и vXB. Так что преобразования можно записать в виде табл. 26.3.
Таблица 26.3 · ДРУГАЯ ФОРМА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛЕЙ
Теперь легко запомнить, какая компонента куда идет. Фактически эти преобразования можно записать даже еще проще, если ввести компоненты поля, направленные по оси х, т. е. «параллельные» компоненты E║ и В║(которые параллельны относительной скорости систем S и S') и полные поперечные или «перпендикулярные» компоненты Е┴ и В┴, т. е. векторную сумму у- и z-компонент. В результате мы получим уравнения, сведенные в табл. 26.4. (Для полноты мы восстановили все с.)
Таблица 26.4 · ЕЩЕ ОДНА ФОРМА ЛОРЕНЦЕВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛЕЙ Е И В
Преобразования поля позволяют по-другому решить задачи, которыми мы занимались прежде, например найти поле движущегося точечного заряда. Раньше мы вычисляли поля, дифференцируя потенциалы. Но теперь то же самое можно сделать, преобразуя кулоново поле. Если у нас в системе S находится покоящийся заряд, то он создает только простое радиальное поле Е. В системе S', движущейся относительно системы S со скоростью v=-u, точечный заряд будет казаться нам летящим со скоростью и. Покажите сами, что преобразования табл. 26.3 и 26.4 дают те же самые электрические и магнитные поля, которые мы получили в § 2.
Преобразования табл. 26.2 дают нам очень интересный и простой ответ на вопрос: что мы видим, если движемся мимо любой системы фиксированных зарядов?
Фиг. 26.7. Система координат S' движется в статическом электрическом поле.
Пусть нам хочется узнать поля в нашей системе S', если мы движемся между пластинами конденсатора вдоль него, как показано на фиг. 26.7. (Но, разумеется, все равно, если бы заряженный конденсатор двигался мимо нас.) Что же мы увидим? Преобразования в этом случае облегчаются тем, что в первоначальной системе поле В отсутствует. Предположим сначала, что наше движение перпендикулярно к направлению Е, при этом мы увидим поле Е'=Е/Ц(1-v2/с2), которое остается полностью поперечным. Но мы еще увидим и магнитное поле В'=-vXE'/c2. (He удивляйтесь, что в этой формуле нет Ц(1-v2); ведь мы записали ее через Е', а не через Е; так тоже можно делать.) Итак, когда мы движемся в направлении, перпендикулярном к статическому полю, то видим измененное Е и вдобавок еще поперечное поле В. Если наше движение не перпендикулярно вектору Е, то мы разбиваем Е на Е║ и Е┴. Параллельная часть остается неизменной, е'║=е┴, а что происходит с перпендикулярной компонентой, мы уже описали.
Давайте разберем противоположный случай и вообразим, что мы движемся через чисто статическое магнитное поле. На этот раз мы бы увидели электрическое поле Е', равное vXB', и магнитное поле, усиленное множителем 1/Ц(1-v2/с2) (предполагая, что оно поперечное). До тех пор, пока v много меньше с, изменением магнитного поля можно пренебречь, и основным эффектом будет появление электрического поля. В качестве примера этого эффекта рассмотрим некогда знаменитую проблему определения скорости самолета. Сейчас она уже больше не знаменита, поскольку для определения скорости можно использовать отражение от Земли сигналов радиолокатора. Но раньше в плохую погоду скорость самолета было очень трудно определить. Ведь вы не видите Землю и не можете сказать куда вы летите. А знать, насколько быстро вы движетесь относительно Земли, было важно. Как же это можно сделать, не видя ее? Те, кому были знакомы уравнения преобразования, считали, что нужно использовать тот факт, что самолет движется в магнитном поле Земли. Предположим, что самолет летит там, где магнитное поле нам более или менее известно. Возьмем простейший случай, когда магнитное поле вертикально. Если мы летим через него с горизонтальной скоростью v, то в соответствии с нашей формулой должны наблюдать электрическое поле vXB, т. е. перпендикулярное к направлению движения. Если поперек самолета подвесить изолированный провод, то электрическое поле на его концах будет индуцировать заряды. Ну в этом ничего нового нет. С точки зрения наблюдателя на Земле, мы просто передвигаем провод в магнитном поле, а сила q(vXB) заставляет заряд двигаться к концу провода. Уравнения преобразования говорят то же самое, но другими словами. (То, что одну и ту же вещь можно получить не одним, а несколькими способами, вовсе не означает, что один способ лучше другого. Мы овладели столькими методами и приемами, что один и тот же результат можем получать какими хотите способами!)
Итак, единственное, что мы должны сделать для определения скорости v,— это измерить напряжение между концами провода. Хотя для этой цели мы не можем воспользоваться вольтметром, ибо то же самое поле будет действовать и на провода внутри вольтметра, способы измерения таких полей все же существуют. О некоторых из них мы уже говорили в гл. 9 (вып. 5), когда рассказывали об атмосферном электричестве. Так что измерить скорость самолета, казалось бы, можно.
Однако эта важная проблема не была решена таким методом. Дело в том, что величина электрического поля, которое при этом развивается,— порядка нескольких милливольт на метр. Измерить такие поля, конечно, можно, но вся беда в том, что они ничем не отличаются от любых других электрических полей. Поля, создаваемые движением через магнитное поле, нельзя отличить от электрических полей, возникающих в воздухе по каким-то другим причинам (скажем, от электростатических зарядов в воздухе или на облаках). В гл. 9 мы говорили, что обычно над поверхностью Земли существуют электрические поля с напряженностью около 100 в/м, но они совершенно нерегулярные. Так что самолет во время полета будет наблюдать флуктуации атмосферных электрических полей, которые огромны по сравнению со слабенькими полями, возникающими из-за множителя vXB. Ввиду этих чисто практических причин измерить скорость самолета, используя его движение в магнитном поле Земли, невозможно.
§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях
Полученные из уравнений Максвелла электрические и магнитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, что эти поля могут делать, на что они способны.
Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахождения действующих на заряды сил и что именно эти силы определяют их движение. Так что связь движения зарядов с силами, разумеется, тоже есть часть электродинамики.
На отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, действует
(26.23)
При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых скоростях, гласит: сила равна dp/dt. Подставляя p=m0v/Ц(1-v2/c2), находим релятивистское уравнение движения заряда:
(26.24)
Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения теории относительности. Поскольку уравнения Максвелла записаны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движения. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четырехмерных обозначениях.
Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора pm с энергией m0/Ц(1-v2/с2) в качестве временной компоненты, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на dpm/dt. Теперь нам нужно найти только четвертую компоненту силы F. Эта компонента должна быть равна скорости изменения энергии или скорости совершения работы, т. е. F·v. Так что правую часть уравнения (26.24) желательно было бы записать в виде четырехвектора типа (F·v, Fx, Fy , Fz), Однако эти величины не составляют четырехвектора.
Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как d/dt требует для измерения t некоторой специальной системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивались раньше, когда пытались сделать четырехвектор из скорости v. Тогда мы попытались считать, что роль временной компоненты скорости играет cdt/dt=c. Но на самом деле величины
(26.25)
не образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить в компоненты четырехвектора, если помножить каждую на 1
/Ц(1-v2/с2). «Четырехмерной скоростью» umоказался вектор
(26.26)
Вот в чем фокус! Нужно умножать производную d/dt на 1/Ц(1-v2/с2), если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор.
Итак, вторая гипотеза: четырехвектором должна быть величина
(26.27)
Но что такое v? Это уже скорость частицы, а не скорость системы координат! Таким образом, обобщением силы на четырехмерное пространство будет величина fm:
(26.28)
которую мы назовем «4-силой». Она уже четырехвектор, и ее пространственными компонентами будут уже не F, а
F/Ц(1-v2/c2).
Почему же fm четырехвектор? Неплохо бы понять, что это за таинственный множитель 1/Ц(1-v2/с2). Так как мы встречаемся с ним уже второй раз, то самое время посмотреть, почему производная d/dt всегда должна входить с одним и тем же
множителем. Ответ заключается вот в чем. Когда мы берем производную по времени некоторой функции х, то подсчитываем приращение Dх за малый интервал Dt переменной t. Но в другой
системе отсчета интервал At может соответствовать изменению как t', так и х', так что при изменении только t' изменение х будет другим. Для наших дифференцирований следовало бы найти такую переменную, которая была бы мерой «интервала» в пространстве-времени и оставалась бы той же самой во всех системах отсчета. Когда в качестве этого интервала мы принимаем приращение Dх, то оно будет тем же во всех системах отсчета. Когда частица «движется» в четырехмерном пространстве, то возникают приращения как Dt, так и Dх, Dy, Dz. Можно ли из них сделать интервал? Да, они образуют компоненты приращения четырехвектора хm=(сt, х, у, г), так что, если определить величину Ds через
что представляет четырехмерное скалярное произведение, то в ней мы приобретаем настоящий скаляр и можем пользоваться им для измерения четырехмерного интервала. Исходя из величины As или ее предела ds, мы можем определить параметр
Хорошим четырехмерным оператором будет и производная по s, т. е. d/ds, так как она инвариантна относительно преобразований Лоренца.
Для движущейся частицы ds легко связывается с dt. Для точечной частицы
(26.30)
а
Таким образом, оператор
есть инвариантный оператор. Если подействовать им на любой четырехвектор, то мы получим другой четырехвектор. Например, если мы действуем им на (ct, x, у, z), то получаем четырехвектор скорости
Теперь мы видим, почему Ц(l-v2/c2)поправляет дело.
Инвариантная переменная s — очень полезная физическая величина. Ее называют «собственным временем» вдоль траектории частицы, ибо в системе, в любой момент движущейся вместе с частицей, ds просто равно интервалу времени. (В этой системе Dx=Dy=Dz=0, a Ds=Dt.) Если вы представите себе часы, скорость хода которых не зависит от ускорения, то, двигаясь вместе с частицей, такие часы будут показывать время s.
Теперь можно вернуться назад и записать закон Ньютона (подправленный Эйнштейном) в изящной форме:
(26.32)
где fm определяется формулой (26.28). Импульс же рmможет быть записан в виде
(26.33)
где координаты xm=(ct, х, у, z) описывают теперь траекторию частицы. Наконец, четырехмерные обозначения приводят нас к очень простой форме уравнений движения:
(26.34)
напоминающей уравнения F=ma. Важно отметить, что уравнения (26.34) и F=ma — вещи разные, ибо четырехвекторная форма уравнения (26.34) содержит в себе релятивистскую механику, которая при больших скоростях отличается от механики Ньютона. Это абсолютно непохоже на случай уравнений Максвелла, где нам нужно был о переписать уравнения в релятивистской форме, совершенно не изменяя их смысла, а изменяя лишь обозначения.
Вернемся теперь к уравнению (26.24) и посмотрим, как в четырехвекторных обозначениях записывается правая часть.
Три компоненты F, поделенные на Ц(1-v2/c2), составляют пространственные компоненты fm , так что
Теперь мы должны подставить все величины в их релятивистских обозначениях. Прежде всего c/Ц(1-v2/c2), vy/Ц(1-v2/c2) и vz/Ц(1-v2/c2) представляют t-, у- и z-компоненты 4-скорости um. Компоненты же Е и В входят в электромагнитный тензор второго ранга Fmv. Отыскав в табл. 26.1 компоненты Fmv, соответствующие Ех, Вги Вv , получим
здесь уже начинает вырисовываться что-то интересное. В каждом слагаемом есть индекс х, и это разумно, ибо мы находим х-компоненту силы. Все же остальные индексы появляются в парах tt, yy, zz — все, кроме слагаемого с хх, которое куда-то делось. Давайте просто вставим его и запишем
Этим мы ничего не изменили, так как благодаря антисимметрии Fmvслагаемое Fxxравно нулю. Причиной же нашего желания восстановить его является возможность сокращенной записи уравнения (26.36):
(26.37)
Это по-прежнему уравнение (26.36), если предварительно мы примем соглашение: когда какой-то индекс встречается в произведении дважды (подобно v), нужно автоматически суммировать все слагаемые с одинаковыми значениями этого индекса точно так же, как и в скалярном произведении, т. е. пользуясь тем же самым правилом знаков.
Нетрудно поверить, что уравнение (26.37) так же хорошо работает и для m=y, и для m=z. Но как обстоит дело с m=t? Посмотрим для забавы, что дает формула
Теперь мы снова должны перейти к Е и В. После этого получается
или
Но в (26.28) ftбралось равным
А это одно и то же, что (26.38), ибо v·(vXB) равно нулю. Так что все идет как нельзя лучше.
В результате наше уравнение движения записывается в элегантном виде:
(26.39)
Как ни приятно видеть столь красиво записанное уравнение, форма эта не особенно полезна. При нахождении движения частицы обычно удобнее пользоваться первоначальным уравнением (26.24), что мы и будем делать в дальнейшем.
*Штрих используется здесь для обозначения запаздывающего положения и времени; не путайте его со штрихом в предыдущей главе, обозначавшим систему отсчета, подвергнутую преобразованиям Лоренца.
*В этом параграфе мы не будем принимать с за единицу.
Глава 27
ЭНЕРГИЯ ПОЛЯ И ЕГО ИМПУЛЬС
§ 1. Локальные законы сохранения
§ 2. Сохранение энергии и электромагнитное поле
§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле
§ 4. Неопределенность энергии поля
§ 5. Примеры потоков энергии
§ 6. Импульс поля
§ 1. Локальные законы сохранения
То, что энергия вещества не всегда сохраняется, ясно как день. При излучении света объект теряет энергию. Однако потерянную энергию можно представить в какой-то другой форме, скажем, в форме энергии света. Поэтому закон сохранения энергии не полон, если не рассмотреть энергию, связанную со светом, в частности, и с электромагнитным полем вообще. Сейчас мы подправим его, а заодно и закон сохранения импульса с учетом электромагнитного поля. Мы, разумеется, не можем обсуждать их порознь, ибо, согласно теории относительности, это различные проявления одного и того же четырехвектора.
С сохранением энергии мы познакомились еще в начале нашего курса; тогда мы просто сказали, что полная энергия в мире остается постоянной. Теперь же мы хотим сделать очень важное обобщение идеи закона сохранения энергии, которое скажет нам нечто о деталях того, как это происходит. Новый закон будет говорить, что если энергия уходит из какой-то области, то это может происходить только за счет ее вытекания через границы рассматриваемой области. Это утверждение сильнее, чем просто сохранение энергии без подобных ограничений.
Чтобы легче понять смысл этого утверждения, посмотрим, как работает закон сохранения заряда. У нас есть плотность тока j и плотность заряда r, а сохранение заряда описывается тем, что если в каком-то месте заряд уменьшается, то оттуда должен происходить отток зарядов. Мы называем это сохранением заряда. Математически закон сохранения записывается в виде
(27.1)
Как следствие этого закона полный заряд всего мира остается постоянным. Заряды никогда не рождались и не уничтожались; в мире как целом нет никакой чистой прибыли зарядов, как нет и никаких потерь. Однако полный заряд мира можно сделать постоянным и другим способом. Пусть вблизи точки (1) находится заряд Q1 , а вблизи точки (2), расположенной от нее на некотором расстоянии, никакого заряда нет (фиг. 27.1). Предположим теперь, что с течением времени заряд Q1постепенно исчезает, но что одновременно с уменьшением Q1 вблизи точки (2) появляется заряд Q2, причем так, что в любой момент сумма Qtи Q2остается постоянной. Другими словами, в любой промежуточный момент количество заряда, теряемое Q1 , прибавляется к Q2. При этом в мире полное количество заряда сохраняется. Хотя это тоже «всемирное» сохранение заряда, мы не будем его называть «локальным» сохранением, ибо для того, чтобы заряд перебрался из точки (1) в точку (2), ему не обязательно появляться где-то в пространстве между этими точками. Локально заряд просто «теряется».
Однако такой «всемирный» закон сохранения встречает в теории относительности большие трудности. Понятие «одновременно» для точек, разделенных расстоянием, неэквивалентно для разных систем. Два события, происходящие одновременно в одной системе, не будут одновременными в системе, движущейся относительно нее. Для «всемирного» сохранения только что описанного типа требуется только одно—чтобы заряд, теряемый Q1, одновременно появлялся в Q2. В противном случае будут такие моменты, когда заряд не сохраняется. По-видимому, способа сделать закон сохранения заряда релятивистски инвариантным, не делая его «локальным», не существует.
Фиг. 27.1. Два способа описания сохранения заряда
Суть в том, что требование лоренцевой инвариантности, как оказывается, удивительнейшим образом ограничивает возможные законы природы. В современной квантовой теории поля, например, теоретики часто пытаются изменить теорию, допустив то, что мы называем «нелокальным» взаимодействием, когда нечто, находящееся здесь, непосредственно влияет на нечто, находящееся там, но мы всегда наталкиваемся на трудности, связанные с принципами относительности.
«Локальные» же законы сохранения основаны на другой идее. Они утверждают, что заряд может перейти из одного места в другое только при том условии, что нечто такое происходит в пространстве между ними. Чтобы описать такой закон, нам нужна не только плотность заряда r, но и величина другого сорта, именно вектор j, задающий скорость потока заряда через поверхность. При этом поток связан со скоростью изменения заряда уравнением (27.1). Это более сильная формулировка закона сохранения. Она говорит, что заряд сохраняется особым образом, сохраняется «локально».
Сохранение энергии, оказывается, тоже локальный процесс. В мире существует не только плотность энергии в данной области, но и вектор, представляющий скорость потока энергии через поверхность. Например, когда источник излучает свет, мы можем найти энергию света, излучаемого им. Если мы вообразим некую математическую поверхность, окружающую источник света, то потеря энергии этого источника равна потоку энергии через окружающую его поверхность.
§ 2. Сохранение анергии и электромагнитное поле
Нам надо теперь описать сохранение энергии в электромагнитном поле количественно. Для этого нужно выяснить, сколько энергии находится в единице объема, а также какова скорость ее потока. Рассмотрим сначала энергию только электромагнитного поля. Пусть и обозначает плотность энергии поля, т. е. количество энергии в единице объема пространства, а вектор S — поток энергии поля (т. е. количество энергии, прошедшее в единицу времени через единичную поверхность, перпендикулярную к потоку). Тогда, аналогично сохранению заряда (27.1), можно написать «локальный» закон сохранения энергии поля в виде
(27.2)
Конечно, этот закон, вообще говоря, не верен; энергия поля не сохраняется. Представьте, что вы находитесь в темной комнате, а затем поворачиваете выключатель. Комната внезапно наполняется светом, т. е. в ней оказывается энергия поля, которой раньше не было. Уравнение (27.2) не составляет полного закона сохранения, ибо энергия одного только поля не сохраняется, а существует еще энергия вещества; сохраняется лишь полная энергия во всем мире. Энергия поля будет изменяться, если оно производит работу над веществом или вещество производит работу над полем.
Однако если внутри интересующего нас объема находится вещество, то мы знаем, сколько энергии оно несет в себе: энергия каждой частицы равна m0c2/Ц(l-v2/c2). Полная же энергия вещества равна просто сумме энергий всех частиц, а поток ее через поверхность равен просто сумме энергий, переносимой каждой частицей, пересекающей эту поверхность. Но сейчас мы будем иметь дело только с энергией электромагнитного поля: Так что мы должны написать уравнение, которое говорит, что Г полная энергия поля в данном объеме уменьшается либо в результате вытекания ее из объема, либо потому, что поле передает свою энергию веществу (или приобретает ее, что означает просто отрицательную потерю). Энергия поля в объеме V равна
а скорость ее уменьшения равна производной этого интеграла по времени со знаком минус. Поток энергии поля из объема V равен интегралу от нормальной компоненты S по поверхности 2, ограничивающей объем V:
Таким образом,
Раньше мы видели, что над каждой единицей объема вещества поле в единицу времени производит работу Е·j. [Сила, действующая на частицу, равна F=q(E+vXB), а мощность равна F-v=qE·v. Если в единице объема содержится N частиц, то эта мощность в единице объема равна NqE·v, a Nqv=j·I Таким образом, величина Е·j должна быть равна энергии, теряемой полем в единице объема за единицу времени. Уравнение (27.3) при этом приобретает вид
(27.4)
Вот как выглядит наш закон сохранения энергии в поле. Его можно записать как дифференциальное уравнение, подобное (27.2); для этого второе слагаемое нужно превратить в интеграл по объему, что легко делается с помощью теоремы Гаусса. Поверхностный интеграл от нормальной компоненты S равен интегралу от дивергенции S по объему, ограниченному этой поверхностью, так что уравнение (27.3) эквивалентно следующему:
где производную по времени от первого слагаемого мы внесли под интеграл. Поскольку это уравнение верно для любого объема, то интегралы можно отбросить и получить уравнение для энергии электромагнитного поля:
(27.5)
Однако это уравнение не даст нам ничего хорошего, пока мы не узнаем, что такое u и S. Быть может, мне следовало бы просто сказать вам, как они выражаются через Е и В, поскольку это единственное, что нам, собственно, нужно. Однако мне очень хочется изложить вам все те рассуждения, которыми в 1884 г. воспользовался Пойнтинг, чтобы получить формулы для S и u, с тем, чтобы вы понимали, откуда они взялись. (Для дальнейшей работы, впрочем, вам этот вывод не потребуется.)
§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле
Идея заключается в том, что должны существовать плотность энергии u и поток S, которые зависят только от полей Е и В. [В электростатике, например, плотность энергии, как мы знаем, можно записать в виде 1/2e0(Е·Е).] Разумеется, u и S могут зависеть от потенциалов и чего-то другого, но давайте лучше посмотрим, что мы можем написать. Попытаемся переписать величину Е·j в таком виде, чтобы она стала суммой двух слагаемых, одно из которых было бы производной по времени от некоторой величины, а второе — дивергенцией. Тогда первую величину мы бы назвали и, а вторую — S (разумеется, с надлежащими знаками). Обе величины должны быть выражены только через поля, т. е. мы хотим записать наше равенство в виде
(27.6)
причем левая часть уравнения должна выражаться только через поля. Как это сделать? Разумеется, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Из уравнения для ротора В имеем
Подставляя это в (27.6), получаем выражение его только через Е и В:
(27.7)
Работа частично нами уже закончена. Последнее слагаемое есть производная по времени — это (д/дt)(1/2e0Е·Е).
Итак, 1/2e0Е·Е должно быть по крайней мере частью u. Такое же выражение получалось у нас и в электростатике. А теперь единственное, что нам остается сделать,— это превратить в дивергенцию чего-то второе слагаемое.
Заметьте, что первое слагаемое в правой части (27.7) переписывается в виде
(27.8)
вы знаете из векторной алгебры, что (aXb)·c равно а·(bXc), поэтому первое слагаемое принимает вид
(27.9)
т. е. получилась дивергенция «чего-то», к которой мы так стремились. Получилась, но только все это неверно! Я предупреждал вас, что оператор С только «похож» на вектор, а на самом деле он не «настоящий» вектор. Вспомните, что в дифференциальном исчислении существует дополнительное соглашение: когда оператор производной стоит перед произведением, он действует на все стоящее правее него. В уравнении (27.7) оператор С действует только на В и не затрагивает Е. Но если бы мы записали его в форме уравнения (27.9), то общепринятое соглашение говорило бы, что Сдействует как на В, так и на Е. Так что это не одно и то же. В самом деле, если расписать С·(ВXЕ) по компонентам, то можно убедиться, что оно равно E· (СXB) плюс какие-то другие слагаемые. Это напоминает взятие производной от произведения в обычном анализе. Например,
Вместо того чтобы выписать все компоненты С· (BXE), мне бы хотелось показать вам один трюк, очень полезный в задачах такого рода. Он позволит вам всюду в выражениях, содержащих оператор С, пользоваться правилами векторной алгебры, не попадая впросак. Трюк состоит в отбрасывании (по крайней мере на время) правил дифференциального исчисления относительно того, на что действует оператор производной. Вы знаете, что порядок сомножителей важен в двух различных случаях. Во-первых, в дифференциальном исчислении: f(d/dx)g не то же самое, что g(d/dx)f; и, во-вторых, в векторной алгебре: aXb отличается от bXа. Мы можем, если захотим, на минуту отказаться от правил дифференциального исчисления. Вместо того чтобы говорить, что производная действует на все стоящее правее от нее, мы примем новое правило, избавляющее нас от порядка, в котором записаны сомножители. После этого мы можем крутить ими, как хотим, без всяких помех.
Вот наше новое правило: с помощью индекса мы будем указывать, на что же именно действует дифференциальный оператор; при этом порядок сомножителей не имеет никакого значения. Допустим, что оператор д/дх мы обозначили через D. Тогда символ Dfговорит, что берется производная только функции
Но если мы имеем выражение Dffg, то оно означает
Заметим теперь, что, согласно нашему новому правилу, fDfg означает то же самое. Одно и то же выражение можно записать любым из следующих способов:
Вы видите, что Dfможет стоять даже после всего. (Странно, почему такому удобному обозначению обычно не учат в книгах по математике и физике.)
Вы, пожалуй, удивитесь: а что, если я хочу написать производную от fg? Если мне нужна производная от обоих членов? Это очень легко: вы пишете Df(fg)+Dg(fg),т.e.g(df/dx)+f(dg/dx), что в старых обозначениях как раз равно d(fg)/dx.
Вы сейчас увидите, как просто теперь получить новое выражение для С·(ВXЕ). Начнем с перехода к новому обозначению и напишем
(27.10)
Как только мы сделали это, уже нет больше нужды придерживаться строгого порядка. Мы всегда знаем, что СE действует только на Е, a СB действует только на В. При этих обстоятельствах оператором С можно пользоваться как обычным вектором. (Разумеется, после того как все будет окончено, нам захочется вернуться к «стандартным» обозначениям, которые обычно используются.) Таким образом, теперь мы можем делать различные перестановки сомножителей. Так, средний сомножитель в уравнении (27.10) можно переписать как Е·(СBXВ). [Надеюсь, вы помните, что a·(bXc) = b·(cXa).] А последний — как В·(EXСE). Хотя это выглядит несколько странно, но тем не менее здесь все в порядке. Если же мы теперь попытаемся вернуться к старым обозначениям, то должны будем расположить операторы С так, чтобы они действовали на свои «собственные» переменные. В первом из них все в порядке, так что мы можем просто опустить индекс у С. Второй же требует некоторой реорганизации, чтобы оператор С поставить перед Е. Этого можно
добиться, переставляя сомножители в векторном произведении и меняя знак:
Теперь все стоит на своем месте и можно вернуться к обычным обозначениям. Формула (27.10) эквивалентна следующему равенству:
(В этом специальном случае быстрее было бы использовать компоненты, но, право же, стоило потратить время ради того, чтобы показать вам математический трюк. Может случиться, что вы больше нигде его не встретите, а он очень удобен тогда, когда в векторной алгебре нужно освободиться от правила порядка членов при дифференцировании.)
Вернемся теперь к нашему закону сохранения энергии, причем для преобразования СXB в (27.7) мы используем новый результат — равенство (27.11). Вот что оно дает:
Теперь вы видите, что мы почти у цели. Одно из наших слагаемых — настоящая производная no t, ее мы используем при образовании и, а другое (превосходная дивергенция) войдет в S. К несчастью, справа в середине осталось еще одно слагаемое, которое не является ни дивергенцией, ни производной по t. Так что пока еще не все закончено. После некоторых размышлений мы опять обращаемся к уравнениям Максвелла и, к счастью, обнаруживаем, что (СXE) равно —dB/dt.
Это позволяет превратить дополнительный член в чистую производную чего-то по времени:
Вот теперь у вас получилось то, что нужно. Уравнение для энергии переписывается в виде
А это, если мы определим u и S как
(27.14)
и
(27.15)
в точности напоминает уравнение (27.6). (Перестановкой сомножителей в векторном произведении мы добиваемся правильного знака.)
Итак, наша программа успешно выполнена. Из выражения для плотности энергии мы видим, что она представляет сумму «электрической» и «магнитной» плотностей энергии, которые в точности равны выражениям, полученным нами в статике, когда мы находили выражение для энергии через поля. Кроме того, мы получили выражение для вектора потока энергии электромагнитного поля. Этот новый вектор S=e0c2EXB по имени своего первооткрывателя называется «вектором Пойнтинга». Он говорит нам о скорости, с которой энергия движется в пространстве. Энергия, протекающая в секунду через малую поверхность da, равна S·nda, где n — вектор, перпендикулярный к поверхности da. (Теперь, когда у нас есть формулы для u и S, можете, если хотите, забыть все выкладки.)
§ 4. Неопределенность энергии поля
Прежде чем заняться некоторыми приложениями формул Пойнтинга [т. е. выражений (27.14) и (27.15)], я хотел бы заметить, что на самом деле мы их не «доказали». Все, что мы сделали,— это нашли только возможное u и возможное S. Но откуда же нам известно, что, покрутив формулами, мы не придем к другому выражению для u и другому выражению для S? Новое S и новое и будут отличаться от старых, но по-прежнему будут удовлетворять уравнению (27.6). Такое вполне может случиться. Однако в формулы, которые получаются при этом, всегда входят различные производные полей (причем это всегда члены второго порядка типа второй производной или квадрата первой производной). Для u и S можно фактически написать бесконечное число различных выражений, и до сих пор никто не думал над экспериментальной проверкой того, которое же из них истинное. Люди полагают, что простейшее выражение, по-видимому, и должно быть истинным, но надо сознаться, что мы так и не знаем, как же на самом деле распределена энергия в электромагнитном поле. Пойдем по тому же легчайшему пути и постулируем, что энергия поля определяется выражением (27.14). При этом вектор потока S должен задаваться уравнением (27.15).
Самое интересное то, что единого способа избавиться от неопределенности энергии поля, по-видимому, вообще нет. Иногда утверждают, что эту проблему можно разрешить, используя теорию гравитации; при этом приводятся такие доводы. В теории гравитации источником гравитационного притяжения является вся энергия. Поэтому если нам известно, какие гравитационные силы действуют на свет, то можно правильно определить плотность энергии электричества. До сих пор, однако, такими тонкими экспериментами, которые позволили бы точно определить гравитационное влияние на электромагнитное поле, никто не занимался. Впрочем, установлено, что свет при прохождении около Солнца отклоняется, поэтому мы можем говорить, что Солнце притягивает к себе свет. Во всяком случае, найденные нами выражения для электромагнитной энергии и потока всегда всеми признавались. И хотя иногда результаты, полученные с их использованием, казались странными, никто никогда не обнаружил в них чего-то невероятного, какого-то расхождения с экспериментом. Согласимся со всеми и будем считать, что, по-видимому, здесь все в порядке.
Мне хотелось бы сделать еще одно замечание о формуле для энергий. Прежде всего формула для энергии поля в единице объема очень проста — это сумма электрической и магнитной энергий, если электрическую энергию мы определим как Е2, а магнитную — как В2. Эти выражения были найдены нами как возможные выражения для энергии при рассмотрении статических задач. Кроме него, мы нашли для энергии электростатического поля и несколько других выражений, например j, которое в электростатическом случае равно интегралу от Е·Е. Однако в электродинамическом случае это равенство нарушается, и нет критерия, позволяющего установить, которая из формул правильна. Но теперь мы это знаем. Аналогично, мы нашли выражение для магнитной энергии, которое верно в самом общем случае.
§ 5. Примеры потоков энергии
Наша формула для вектора потока энергии S представляет нечто новое. Теперь следует посмотреть, насколько она годится в некоторых специальных случаях, а также проверить ее на том, что мы знали раньше. Первым нашим примером будет свет. В световой волне векторы Е и В направлены под прямым углом друг к другу и направлению распространения волны (фиг. 27.2). В электромагнитной волне величина В равна (1/с)Е, а поскольку они направлены под прямым углом, то величина (ЕXE) равна просто Е2/с. Таким образом, для света поток энергии в секунду через единичную поверхность равен
(27.16)
Фиг. 27.2. Векторы Е, В и S световой волны.
В световой волне, где E=E0cosw(t-х/с), средняя скорость потока энергии через единичную площадь <S>ср, которая называется «интенсивностью» света, равна среднему значению электрического поля, помноженному на eас:
(27.17)
Этот результат, как ни странно, мы уже получали в гл. 31, § 5 (вып. 3), когда изучали свет. Мы получили его совсем другим путем и поэтому можем сейчас в него поверить. Когда у нас есть пучок света, то плотность энергии в пространстве задается уравнением (27.14). Воспользовавшись теперь тем, что в световой волне сВ=Е, получаем
Однако вектор Е изменяется в пространстве, поэтому средняя плотность энергии равна
(27.18)
Далее, свет распространяется со скоростью с, поэтому можно думать, что энергия, проходящая в секунду через квадратный метр, равна произведению с на количество энергии в кубическом метре, т. е.
Все в порядке. Мы снова получили выражение (27.17).
Возьмем теперь другой пример, на этот раз очень любопытный. Рассмотрим поток энергии в медленно заряжающемся конденсаторе. (Мы не хотим сейчас иметь дело со столь высокими частотами, при которых конденсатор становится похожим на резонансную полость, но нам не нужен и постоянный ток.) Возьмем обычный конденсатор с круглыми параллельными пластинами (фиг. 27.3). Между ними создается почти однородное электрическое поле, которое изменяется с течением времени. Полная электромагнитная энергия внутри конденсатора в любой момент равна произведению плотности энергии и на объем. Если радиус пластин равен а, а расстояние между ними h, то полная энергия, заключенная между пластинами, будет
(27.19)
С изменением напряженности Е эта энергия тоже меняется. Когда конденсатор заряжается, внутренний объем приобретает энергию со скоростью
(27.20)
Так что должен существовать поток энергии, направленный откуда-то со стороны внутрь объема. Вы, конечно, думаете, что он идет от проводов, заряжающих конденсатор,— а вот и нет! Поток внутрь никоим образом не может идти с этой стороны, так как Е перпендикулярно к пластинам, а поэтому ЕXВ должно быть параллельно им.
Вы, вероятно, помните, что при зарядке конденсатора возникает магнитное поле, которое направлено по окружности вокруг оси. Об этом говорилось в гл. 23. Воспользовавшись последним уравнением Максвелла, мы там нашли, что магнитное поле на краю конденсатора определяется выражением
или
Направление его показано на фиг. 27.3. Таким образом, на краях конденсатора, как видно из рисунка, возникает поток энергии, пропорциональный ЕXВ. Так что энергия на самом деле втекает в конденсатор не со стороны проводов, а со стороны окружающего его пространства.
Фиг. 27.3. Вблизи заряженного конденсатора вектор Пойнтинга S направлен внутрь него
Фиг. 27.4. Поле вне конденсатора, заряженного двумя очень удаленными зарядами.
Давайте проверим, согласуется ли полный поток через всю поверхность между краями пластин со скоростью изменения внутренней энергии. Для этого лучше всего повторить весь путь, проделанный нами при выводе выражения (27.15). Посмотрим, к чему он приведет. Площадь поверхности равна 2pah, а абсолютная величина S=e0c2(EXB) равна
так что полный поток энергии будет
Это совпадает с уравнением (27.20). Удивительная вещь! Оказывается, при зарядке конденсатора энергия идет туда не через провода, а через зазор между краями пластин. Вот что говорит нам эта теория!
Как это может быть? Вопрос не из легких, но вот вам один из способов рассуждения. Предположим, у нас есть заряды, расположенные над и под конденсатором вдали от него. Когда такие заряды расположены вдалеке, то конденсатор окружает хотя и слабое, но необычайно протяженное поле (фиг. 27.4). Затем, когда заряды подходят все ближе и ближе, поле становится все сильнее и сильнее и все теснее «обнимает» конденсатор. Так что энергия поля, которая вначале была далеко, движется «по направлению» к конденсатору и в конце концов входит в пространство между пластинами.
В качестве следующего примера давайте посмотрим, что происходит с кусочком провода (с ненулевым сопротивлением), по которому течет ток. Поскольку провод обладает каким-то сопротивлением, то вдоль него действует электрическое поле, которое порождает ток, а в результате падения потенциала вдоль провода существует также параллельное его поверхности электрическое поле вне провода (фиг. 27.5). Кроме того, наличие тока порождает также магнитное поле, направленное по окружности вокруг провода.
Фиг. 27.5. Вектор Пойнтинга S вблизи провода с током.
Векторы Е и В направлены под прямым углом, а поэтому вектор Пойнтинга направлен радиально, как это показано на рисунке. Внутрь проводника со всех сторон втекает энергия. Она, разумеется, должна быть равна энергии, теряемой проводником в виде тепла.
Таким образом, наша «сумасшедшая» теория говорит, что электроны получают свою энергию, растрачиваемую ими на создание теплоты извне, от потока энергии внешнего поля внутрь провода. Интуиция нам подсказывает, что электрон пополняет свою энергию за счет «давления», которое толкает его вдоль провода, так что энергия как будто должна течь вниз (или вверх) по проводу. А вот теория утверждает, что на самом деле на электрон действует электрическое поле, создаваемое очень далекими зарядами, и электроны теряют свою энергию, расходуемую на тепло именно из этих полей. Энергия отдаленных зарядов каким-то образом растекается по большой области пространства и затем втекает внутрь провода.
Наконец, чтобы окончательно убедить вас в том, что это явно ненормальная теория, возьмем еще один пример, когда электрический заряд и магнит покоятся — сидят себе рядышком и не шевелятся. Представьте, что мы взяли точечный заряд, покоящийся вблизи центра магнитного бруска (фиг. 27.6). Все находится в покое, так что энергия тоже не изменяется со временем; Е и В постоянны. Но вектор Пойнтинга утверждает, что здесь есть поток энергии, так как ЕXВ не равно нулю. Если вы понаблюдаете за потоком энергии, то убедитесь, что он циркулирует вокруг этой системы. Но никакого изменения энергии не происходит; все, что втекает в любой объем, снова вытекает из него.
Фиг. 27.6. Заряд и магнит дают вектор Пойнтинга. циркулирующий по замкнутой петле.
Это напоминает круговой поток несжимаемой воды. Итак, в такой, казалось бы, статической ситуации есть поток энергии. Выглядит, прямо скажем, абсурдно!
А, может быть, это все-таки не так уж удивительно, если вспомнить, что так называемый «статический» магнит представляет на самом деле непрерывно циркулирующий ток. Внутри постоянного магнита электроны все время крутятся. Так что, может быть, циркуляция энергии не так уж удивительна.
У вас, без сомнения, начинает создаваться впечатление, что теория Пойнтинга, по крайней мере частично, опровергает вашу интуицию относительно того, где находится энергия электромагнитного поля. Вам может показаться, что необходимо заняться «починкой» своей интуиции, отработкой ее на множестве примеров. Однако в этом, по-видимому, никакой необходимости нет. Не думаю, чтобы вы оказались в большом затруднении, забыв на время, что энергия втекает внутрь провода извне, а не течет вдоль него. Не так уж важно, используя идею сохранения энергии, указать во всех деталях, какой путь избирает энергия. Циркуляция энергии вокруг магнита и заряда в большинстве случаев, по-видимому, совершенно несущественна. Хотя это и не так уж важно, однако ясно, что повседневная интуиция нас обманывает.
§ 6. Импульс поля
Теперь мне бы хотелось поговорить об импульсе поля. Поле обладает энергией; точно так же в единице объема оно обладает каким-то импульсом. Обозначим плотность импульса через g. Импульс, разумеется, может иметь различные направления, поэтому g должно быть вектором. Временно мы будем говорить об одной компоненте и для начала возьмем x-компоненту. Поскольку любая компонента импульса сохраняется, то мы можем сразу написать закон примерно такого вида:
Левая часть тривиальна. Скорость изменения импульса вещества равна просто действующей на него силе. Для частиц F=q(E+vXB), а для распределенных зарядов на единицу объема действует сила F=(rE+jXB). Однако слагаемое «поток импульса» несколько странно. Оно не может быть дивергенцией какого-то вектора, ибо это не скаляр, а скорее x-компонента некоторого вектора. Но как бы то ни было оно должно иметь вид
поскольку x-компонента импульса должна течь в каком-либо из трех направлений. Во всяком случае, каковы бы ни были а, b и с, такая комбинация предполагается равной потоку x-компоненты импульса.
Дальше по правилам той же самой игры напишем rЕ+jXB только через Е и В, исключив плотность заряда r и плотность тока j и затем жонглируя слагаемыми и произведя подстановку, получаем
Сопоставляя затем разные слагаемые, мы должны найти выражения для gx, a, b и с. В общем, здесь масса работы, но мы не собираемся заниматься ею. Вместо этого мы найдем только выражение для плотности импульса g и притом совсем другим способом.
В механике есть очень важная теорема, которая говорит: каков бы ни был поток энергии любого вида (энергия поля или какой-то другой сорт энергии), произведение ее количества, прошедшего через единицу площади в единицу времени, на 1/с2 равно импульсу в единице объема пространства. В случае электродинамики эта теорема говорит, что g равно вектору Пойнтинга, поделенному на с2:
(27.21)
Так что вектор Пойнтинга дает нам не только поток энергии, но после деления на с2 и плотность импульса. Этот же результат получился бы из анализа, который мы только что предполагали проделать, однако более заманчиво воспользоваться общей теоремой. Сейчас мы рассмотрим несколько интересных примеров и рассуждений, призванных убедить вас в справедливости этой общей теоремы.
Первый пример: возьмем множество заключенных в ящик частиц. Пусть, скажем, их будет Nштук на кубический метр, и пусть они движутся вдоль ящика со скоростью v. Рассмотрим теперь воображаемую плоскость, перпендикулярную к v. Поток энергии через единицу площади этой плоскости в секунду равен Nv (т. е. числу частиц, пересекающих плоскость за секунду), умноженному на энергию каждой частицы. Энергия же каждой частицы будет m0c2/Ц(l-v2/c2). Так что поток энергии равен
Но импульс каждой частицы равен m0vЦ(1-v2/c2), откуда плотность импульса будет
Фиг. 27.7. Порция энергии U, двигаясь со скоростью с, несет импульс, равный U/c.
что в полном согласии с теоремой как раз равно 1/с2 на поток энергии. Таким образом, для пучка частиц теорема оказывается верной.
Верна она и для света. При изучении света (см. вып. 3) мы установили, что, когда происходит поглощение света, поглотителю передается некоторое количество импульса. Действительно, в гл. 34 (вып. 3) мы видели, что импульс равен поглощенной энергии, деленной на с [уравнение (34.24)]. Пусть U0будет энергией, падающей в секунду на единичную площадь, тогда переданный той же поверхности за то же время импульс равен U0/c. Но импульс распространяется со скоростью с, так что его плотность перед поглотителем должна быть равна U0/с2. Теорема снова справедлива.
Наконец, я приведу рассуждение Эйнштейна, которое еще раз продемонстрирует то же самое утверждение. Предположим, у нас есть вагон с какой-то большой массой М, который может без трения катиться по рельсам. В одном его конце расположено устройство, способное «выстреливать» какие-то частицы или световой импульс (совершенно безразлично, чем оно стреляет), которые ударяются о противоположный конец вагона. Следовательно, некоторое количество энергии, скажем U, находившееся первоначально на одном конце (фиг. 27.7,а), перелетает на противоположный конец (фиг. 27.7,в). Таким образом, энергия U перемещается на расстояние, равное длине вагона L. Этой энергии U соответствует масса U/с2, так что если вагон вначале стоял, то его центр масс должен передвинуться. Эйнштейну не понравилось заключение о том, что центр масс предмета можно переместить какими-то манипуляциями внутри него. Он считал, что никакие внутренние действия не могут изменить центр масс. Но если это так, то при перемещении энергии U с одного конца на другой сам вагон должен откатиться на расстояние х
(фиг. 27.7,в). В самом деле, нетрудно убедиться, что полная масса вагона, умноженная на х, должна быть равна произведению перемещенной энергии U/c2на длину L (при условии, что U/C2много меньше М), т. е.
(27.22)
Теперь рассмотрим конкретный случай, когда энергия переносится вспышкой света. (Все рассуждения можно повторить и для частиц, но мы будем следовать за Эйнштейном, который интересовался проблемами света.) Что заставляет вагон двигаться? Эйнштейн рассуждал так: при испускании света должна быть отдача, какая-то неизвестная отдача с импульсом р. Именно она заставляет вагон откатиться назад. Скорость вагона v при такой отдаче должна быть равна импульсу отдачи, поделенному на массу М:
Вагон движется с этой скоростью до тех пор, пока свет не достигнет противоположного конца. Ударяясь, свет отдает импульс вагону и останавливает его. Если х мало, то время, в течение которого вагон движется, равно l/c, так что мы
Подставляя х в (27.22), находим
Снова получилось соотношение между энергией и импульсом света. Деля это на с, находим плотность импульса g=p/c, и опять
(27.23)
Вас может удивить, так ли уж важна теорема о центре масс. Может быть, она нарушается? Возможно, но тогда вы теряете и закон сохранения момента количества движения. Предположим, что наш вагончик движется по рельсам с некоторой скоростью и, и мы «выстреливаем» какое-то количество световой энергии от потолка к полу, например из точки А в точку В (фиг. 27.8). Посмотрим теперь на момент количества движения относительно точки Р. До того как порция энергии U покинула точку А, у нее была масса m=U2/c и скорость v, так что ее момент количества движения был равен mvra. Когда же она прилетела в точку В, масса ее остается прежней, и если импульс всего вагона не изменился, то она по-прежнему должна иметь скорость v.
Фиг. 27.8. Для сохранения момента количества движения относительно точки Р порция энергии U должна нести импульс U/c.
Однако момент количества движения относительно точки Р будет уже mvrB. Таким образом, если вагону при излучении света не передается никакого импульса, т. е. если свет не переносит импульса U/c, то момент количества движения должен измениться. Оказывается, что в теории относительности сохранение момента количества движения и теорема о центре масс тесно связаны между собой. И если неверна теорема, то нарушается и закон сохранения момента количества движения. Во всяком случае, общий закон должен быть справедлив и для электродинамики, так что им можно воспользоваться для получения импульса поля.
Упомянем еще о двух примерах импульса в электромагнитном поле. В гл. 26, §2, мы говорили о нарушении закона действия и противодействия для двух заряженных частиц, движущихся перпендикулярно друг другу. Силы, действующие на эти частицы, не уравновешивают друг друга, так что действие и противодействие оказываются неравными, а полный импульс вещества поэтому должен изменяться. Он не сохраняется. Но в такой ситуации изменяется и импульс поля. Если вы рассмотрите величину импульса, задаваемую вектором Пойнтинга, то она оказывается непостоянной. Однако изменение импульса частицы в точности компенсируется импульсом поля, так что полный импульс частиц и поля все же сохраняется.
Второй наш пример — система заряда и магнита, изображенная на фиг. 27.6. К своему огорчению, мы обнаружили, что в этом примере энергия «бегает по кругу», но, как нам теперь известно, поток энергии и импульса пропорциональны друг другу, поэтому здесь мы имеем дело с циркуляцией импульса. Но циркуляция импульса означает наличие момента количества движения. Поле обладает моментом количества движения. Помните парадокс с соленоидом и зарядами на диске, описанный в гл. 17, § 4? Казалось, что при включении тока весь диск должен начать крутиться.
Остается загадка, откуда возникает этот момент количества движения? Ответ на этот вопрос такой: если у вас есть магнитное поле и какие-то заряды, то поле имеет и момент количества движения. Он возник еще при создании самого поля. Когда же поле выключается, момент количества движения отдается обратно. Так что диск в этом парадоксе начнет крутиться. Таинственный циркулирующий поток энергии, который сначала кажется чем-то непонятным, на самом деле абсолютно необходим. Ведь существует реальный поток импульса. Он необходим для выполнения закона сохранения момента количества движения в целом.
Глава 28
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ МАССА
§ 1. Энергия поля точечного заряда
§ 2. Импульс поля движущегося заряда
§ 3. Электромагнитная масса
§ 4. С какой силой электрон действует сам на себя?
§ 5. Попытки изменения теории Максвелла
§ 6. Поле ядерных сил
§ 1. Энергия поля точечного заряда
Синтез теории относительности и уравнений Максвелла в основном завершает наше изучение теории электромагнетизма. Разумеется, по дороге мы перескочили через некоторые детали и оставили незатронутой довольно большую область, к которой, однако, мы еще вернемся в будущем, когда займемся взаимодействием электромагнитного поля с веществом. И все же, если еще задержаться на минуту и посмотреть на фасад этого удивительного сооружения,
имевшего столь громадный успех в объяснении столь многих явлений, то можно обнаружить, что оно вот-вот завалится и рассыплется на куски.
·- Если вы поглубже вгрызетесь почти в любую из наших физических теорий, то обнаружите, что в конце концов попадаете в какую-нибудь неприятную историю. Сейчас нам предстоит обсудить серьезную трудность — несостоятельность классической электромагнитной теории. Может показаться, что это нарушение, естественно, связано с падением всей классической теории под ударами квантовомеханических эффектов. Возьмите классическую механику. Математически это вполне самосогласованная теория, хотя она и отвергается опытом. Однако самое интересное, что классическая теория электромагнетизма неудовлетворительна сама по себе. В ней до сих пор есть трудности, которые связаны с самими идеями теории Максвелла и которые не имеют непосредственного отношения к квантовой механике. Вы можете подумать: «А зачем нам заранее беспокоиться об этих трудностях. Ведь квантовая механика все равно изменит законы электродинамики. Не лучше ли подождать и посмотреть, во что превратятся эти трудности после изменений?» Однако трудности остаются и после соединения электродинамики с квантовой механикой, так что рассмотрение их сейчас не будет напрасной тратой времени; вдобавок они очень важны с исторической точки зрения. Кроме того, если вы в силах столь глубоко проникнуть в теорию, чтобы увидеть в ней все, не исключая и трудностей, то это дает вам известное чувство завершенности.
Трудность, о которой я собираюсь говорить, связана с приложением понятий электромагнитного импульса и энергии к электрону или другой заряженной частице. Понятия простых заряженных частиц и электромагнитного поля как-то не согласуются друг с другом. Описание этой трудности мы начнем с некоторых примеров вычисления энергии и импульса. Найдем сначала энергию заряженной частицы. Представьте, что мы взяли простейшую модель электрона, когда весь его заряд q равномерно распределен по поверхности сферы радиусом а. В специальном случае точечного заряда мы можем положить его равным нулю. Теперь вычислим энергию электромагнитного поля. Если заряд неподвижен, то никакого магнитного поля вокруг нет, и энергия в единице объема будет пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. Величина же напряженности электрического поля равна q/4pe0r2, поэтому плотность энергии
Чтобы получить полную энергию, нужно эту плотность проинтегрировать по всему пространству. Используя элемент объема 4pr2/dr, найдем полную энергию, которую мы обозначим через Uэл:
Это выражение интегрируется очень просто. Нижний предел интегрирования равен а, а верхний — бесконечности, поэтому
(28.1)
Если вместо q подставить заряд электрона qeи обозначить символом e2комбинацию qe2/4pe0, то получим
(28.2)
Все идет хорошо до тех пор, пока мы не переходим к точечному заряду, т. е. пока мы не положим а = 0. Но как только мы переходим к точечному заряду, начинаются все наши беды. И все потому, что энергия поля изменяется обратно пропорционально четвертой степени расстояния, интеграл по объему становится расходящимся, а количество энергии, окружающей точечный заряд, оказывается бесконечным.
Но чем, собственно, плоха бесконечная энергия? Есть ли какая-то реальная трудность в том, что энергия никуда не может уйти от заряда и обречена навсегда оставаться около него? Досадно, конечно, что величина оказалась бесконечной, но главный вопрос в том — есть ли здесь какой-нибудь наблюдаемый физический эффект? Чтобы ответить на него, нужно обратиться не к энергии, а к чему-то другому. Нас может, скажем, заинтересовать, как изменяется энергия, когда заряд движется. Если при этом окажется бесконечным изменение, то дело совсем плохо.
§ 2. Импульс поля движущегося заряда
Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадает с ней по направлению. В точке Р, находящейся на расстоянии rот центра заряда и под углом 6 к линии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно vXE/c2. Плотность же импульса, в соответствии с формулой (27.21), будет
Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна
Поле симметрично относительно линии движения заряда, поэтому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости v.
Фиг. 28.1. Поля Е и В и плотность импульса g для положительного электрона.
Для отрицательного электрона поля Е и В повернуты в обратную сторону, но g остается тем же.
Фиг. 28.2. Элемент объема 2pr2sinqdqdr, используемый при вычислении импульса поля.
Величину составляющей вектора g в этом направлении, равную gsinq, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпендикулярна v (фиг. 23.2). Объем его равен 2pr2sinqdqdr. Полный импульс будет при этом
Поскольку Е не зависит от угла q (для v<<c), то по углу можно немедленно проинтегрировать:
Интегрирование по q ведется в пределах от 0 до p, так что этот интеграл дает просто множитель 4/3, т. е.
А такой интеграл (для v<<с) мы только что вычисляли, чтобы найти энергию; он равен q2/16p2e02a, так что
или
(28.3)
Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциональным v. В частности, тоже самое выражение получилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропорциональности при v. Вот почему этот коэффициент пропорциональности мы можем назвать электромагнитной массой mэм, т. е. положить
§ 3. Электромагнитная масса
Откуда же вообще возникло понятие массы? В наших законах механики мы предполагали, что любому предмету присуще некое свойство, называемое массой. Оно означает пропорциональность импульса предмета его скорости. Теперь же мы обнаружили, что это свойство вполне понятно — заряженная частица несет импульс, который пропорционален ее скорости. Дело можно представить так, как будто масса — это просто электродинамический эффект. Ведь до сих пор причина возникновения массы оставалась нераскрытой. И вот, наконец, в электродинамике нам представилась прекрасная возможность понять то, чего мы никогда не понимали раньше. Прямо как с неба (а точнее, от Максвелла и Пойнтинга) свалилось на нас объяснение пропорциональности импульса любой заряженной частицы ее скорости через электромагнитные свойства.
Но давайте все-таки встанем на более консервативную точку зрения и будем говорить, по крайней мере временно, что имеется два сорта масс и что полный импульс предмета должен быть суммой механического и электромагнитного импульсов. Причем механический импульс равен произведению «механической» массы mмех на скорость v. В тех экспериментах, где масса частицы измеряется, например, определением импульса или «кручением на веревочке», мы находим ее полную массу. Импульс равен произведению именно полной массы (mмех+mэм) на скорость. Таким образом, наблюдаемая масса может состоять из двух (а может быть, и из большего числа, если мы учтем другие поля) частей: механической и электромагнитной. Мы знаем, что наверняка имеется электромагнитная часть; для нее у нас есть даже формула. А сейчас появилась увлекательная возможность выбросить механическую массу совсем и считать массу полностью электромагнитной.
Посмотрим, каков должен быть размер электрона, если «механическая» часть массы полностью отсутствует. Это можно выяснить, приравнивая электромагнитную массу (28.4) наблюдаемой массе электрона, т. е. mе. Получаем
(28.5)
Величина
(28.6)
называется «классическим радиусом электрона» и равна она 2,82X10=13 см,
т. е. одной стотысячной диаметра атома.
Почему радиусом электрона названа величина r0, а не а? Потому что мы можем провести те же самые расчеты с другим распределением заряда. Мы можем взять его равномерно размазанным по всему объему шара или наподобие пушистого шарика. Например, для заряда, равномерно распределенного по всему объему сферы, коэффициент 2/3 заменяется коэффициентом 4/5. Вместо того чтобы спорить, какое распределение правильно, а какое нет, было решено взять в качестве «номинального» радиуса величину r0. А разные теории приписывают к ней свой коэффициент.
Давайте продолжим наше обсуждение электромагнитной теории массы. Мы провели расчет для v<<с, а что произойдет при переходе к большим скоростям? Первые попытки вычисления привели к какой-то путанице, но позднее Лоренц понял, что при больших скоростях заряженная сфера должна сжиматься в эллипсоид, а поля должны изменяться согласно полученным нами для релятивистского случая в гл. 26 формулам (26.6) и (26.7). Если вы проделаете все вычисления для р в этом случае, то получите, что для произвольной скорости v импульс умножается еще на 1/Ц(1-v2/c2), т. е.
(28.7)
Другими словами, электромагнитная масса возрастает с увеличением скорости обратно пропорционально Ц(1-v2/c2). Это открытие было сделано еще до создания теории относительности.
Тогда предлагались даже эксперименты по определению зависимости наблюдаемой массы от скорости, чтобы установить, какая часть ее электрическая по своему происхождению, а какая — механическая. В те времена считали, что электромагнитная часть массы должна зависеть от скорости, а ее механическая часть — нет.
Но пока ставились эксперименты, теоретики тоже не дремали. И вскоре была развита теория относительности, которая доказала, что любая масса, независимо от своего происхождения, должна изменяться как m0/Ц(1-v2/c2). Таким образом, уравнение (28.7) было началом теории, согласно которой масса зависит от скорости.
А теперь вернемся к нашим вычислениям энергии поля, которые привели к выводу выражения (28.2). Энергия U в соответствии с теорией относительности эквивалентна массе U/с2, поэтому (28.2) говорит, что поле электрона должно обладать массой
(28.8)
которая не совпадает с электромагнитной массой mэм, определенной формулой (28.4). В самом деле, если бы мы просто скомбинировали выражения (28.2) и (28.4), то должны были бы написать
Эта формула была получена еще до теории относительности, и когда Эйнштейн и другие физики начали понимать, что U всегда должно быть равно mc2, то замешательство было очень велико.
§ 4. С какой силой электрон действует сам на себя?
Разница между двумя формулами электромагнитной массы особенно обидна, потому что совсем недавно мы доказали согласованность электродинамики с принципами относительности. Кроме того, теория относительности неявно и неизбежно предполагает, что импульс должен быть равен произведению энергии на v/c2. Неприятная история! По-видимому, мы где-то допустили ошибку. Конечно, не алгебраическую ошибку в наших расчетах, а где-то проглядели что-то существенное.
При выводе наших уравнений для энергии и импульса мы предполагали справедливость законов сохранения. Мы считали, что учтены все силы, учтена любая работа и любой импульс, порождаемый другими «неэлектрическими» механизмами. Но если мы имеем дело с заряженной сферой, то, поскольку все электрические силы — это силы отталкивающие, электрон стремится разорваться. А раз в системе не учтены уравновешивающие силы, то в законах, связывающих импульс и энергию, возможны любые ошибки. Чтобы картина была самосогласованной, нужно предположить, что нечто удерживает электрон от разрыва. Заряды должны удерживаться на сфере чем-то вроде «резинок», которые препятствуют их стремлению разлететься в стороны. Пуанкаре первый заметил, что подобные «резинки» или нечто в этом роде, связывающие электрон, необходимо учитывать при вычислении энергии и импульса. По этой причине дополнительные неэлектрические силы известны под именем «напряжений Пуанкаре». Если включить их в расчет, то это сразу изменит массы, полученные в обоих случаях (характер изменения зависит от детальных предположений), и результат будет согласовываться с теорией относительности, т. е. масса, полученная из вычислений импульса, становится той же самой, что и масса, полученная из энергии. Однако теперь массы будут состоять из двух частей: электромагнитной и происходящей от «напряжений Пуанкаре». И только когда обе части складываются вместе, мы получаем согласованную теорию.
Итак, наши надежды не оправдались, мы не можем всю массу сделать чисто электромагнитной. Теория, содержащая только электродинамику, незаконна. К ней необходимо прибавить что-то еще. Как бы мы ни назвали это «что-то» — «резинками» или «напряжениями Пуанкаре» или как-то по-другому,— оно все равно должно порождать новые силы, обеспечивающие согласованность теории такого рода.
Но совершенно ясно, что, как только мы вынуждены посадить внутрь электрона посторонние силы, красота всей картины тотчас исчезает. Все становится слишком сложным. Сразу же возникает вопрос: насколько сильны эти напряжения? Что происходит с электроном? Осциллирует ли он или нет? Каковы все его внутренние свойства? И т. д. и т. п. Возможно, что какие-то внутренние свойства электрона все-таки очень сложны. И если мы начнем строить электрон, следуя этому рецепту, то придем к каким-нибудь странным свойствам наподобие собственных гармоник, которые, по-видимому, еще не наблюдались. Я сказал «по-видимому», ибо в природе мы наблюдаем множество странных вещей, которым еще не можем придать никакого смысла. Возможно, что когда-нибудь в один прекрасный день окажется, что какое-то явление, из тех, что непонятны нам сегодня m-мезон, например), можно на самом деле объяснить как осцилляции «напряжений Пуанкаре». Сейчас это не кажется правдоподобным, но кто может гарантировать? Ведь мы еще столького не понимаем в мире элементарных частиц! Во всяком случае, сложная структура, предполагаемая этой теорией, весьма нежелательна, и попытка объяснить все массы только через электромагнетизм, по крайней мере описанным нами способом, завела в тупик.
Мне еще хотелось бы порассуждать немного о том, почему при пропорциональности импульса поля скорости мы говорили о массе. Очень просто! Ведь масса — это и есть коэффициент между импульсом и скоростью. Однако возможна и другая точка зрения. Можно говорить, что частица имеет массу, если для ускорения ее мы вынуждены прилагать какую-то силу. Посмотрим повнимательней на то, откуда берутся силы; это может помочь нашему пониманию. Откуда мы узнаем, что здесь должно проявиться действие сил? Да просто потому, что мы доказали закон сохранения импульса для полей. Если у нас есть заряженная частица и мы некоторое время «нажимаем» на нее, то у электромагнитного поля появится импульс. Каким-то образом он был передан электромагнитному полю. Следовательно, чтобы разогнать электрон, к нему нужно приложить силу, дополнительную к той, которая требуется механической инерцией, связанную с его электромагнитным взаимодействием. При этом должна возникнуть соответствующая обратная реакция со стороны «толкаемого» нами электрона. Но откуда берется эта сила? Картина примерно такова. Можно считать электрон заряженной сферой. Когда он покоится, то каждый его заряженный участок отталкивает любой другой, но все силы уравновешены попарно, так что результирующая равна нулю (фиг. 28. 3, а).
Фиг 28.3. Сила действия ускоряющегося электрона благодаря запаздыванию не равна нулю.
Под dF мы подразумеваем силу, действующую на элемент поверхности da, а под d2F — силу, действующую на элемент поверхности daa со стороны заряда, расположенного на элементе поверхности dab .
Однако при ускорении электрона силы больше не уравновешиваются, так как, чтобы электромагнитное влияние дошло от одного места до другого, нужно некоторое время. Например, сила, действующая на участок а (фиг. 28.3, б) со стороны участка b, расположенного на противоположной стороне, зависит от положения b в запаздывающий момент. И величина и направление силы определяются движением заряда. Если он ускоряется, то силы, действующие на разные части электрона, могут быть такими, как это показано на фиг. 28.3, в. Теперь при сложении всех этих сил они не сокращаются. Для постоянной скорости эти силы уравновешивались бы, хотя на первый взгляд кажется, что даже при равномерном движении запаздывание приведет к неуравновешенным силам. Тем не менее оказывается, что в тех случаях, когда электрон не ускоряется, равнодействующая сила равна нулю. Если же мы рассмотрим силы между различными частями ускоряющегося электрона, то действие и противодействие не компенсируют в точности друг друга и электрон действует сам на себя, стараясь уменьшить ускорение. Он тянет сам себя «за шиворот» назад.
Можно, хотя и не легко, вычислить эту силу самодействия, однако здесь мы не будем заниматься такими трудоемкими расчетами. Я просто скажу вам, что получается в специальном сравнительно простом случае движения в одном измерении, скажем вдоль оси х. Самодействие в этом случае можно записать в виде ряда. Первый член этого ряда зависит от ускорений х, следующий — пропорционален х и т. д.
Так что в результате
(28.9)
где a и g — числовые коэффициенты порядка единицы. Коэффициент ос при слагаемом x зависит от предположенного распределения зарядов; если заряды равномерно распределены по сфере, то a=2/3. Таким образом, слагаемое, пропорциональное ускорению, изменяется обратно пропорционально радиусу электрона а, что в точности согласуется с величиной, полученной для mэм в (28.4). Если взять другое распределение, то а изменится, но в точности так же изменится и величина 2/3 в (28.4). Слагаемое с х не зависит ни от радиуса а, ни от предположенного распределения заряда; коэффициент при нем всегда равен 2/3. Следующее слагаемое пропорционально радиусу а и коэффициент g при нем определяется распределением заряда. Обратите внимание, что если устремить радиус электрона к нулю, то последнее слагаемое (равно как и все высшие члены) обратится в нуль, второе остается постоянным, но первое — электромагнитная масса — становится бесконечным. Видно, что бесконечность возникает из-за действия одной части электрона на другую; по-видимому, мы допустили глупость — возможность «точечного» электрона действовать на самого себя.
§ 5. Попытки изменения теории Максвелла
Теперь мне бы хотелось обсудить, как можно изменить электродинамику Максвелла, но изменить так, чтобы сохранить понятие простого точечного заряда. В этом направлении было сделано немало попыток, а некоторые теории сумели даже так представить дело, что вся масса электрона оказалась полностью электромагнитной. Однако ни одной из этих теорий не суждено было выжить. И все же интересно обсудить некоторые из предложенных возможностей хотя бы для того, чтобы оценить борьбу человеческого разума.
Наша теория электромагнетизма началась с разговоров о взаимодействии одного заряда с другим. Затем мы построили теорию этих взаимодействующих зарядов и закончили наше изучение теорией поля. Мы настолько уверовали в нее, что пытались с ее помощью определить, как одна часть электрона действует на другую. Все трудности, возможно, происходят из-за того, что электрон не действует сам на себя; экстраполяция закона взаимодействия между отдельными электронами на взаимодействие электрона самого с собой, возможно, ничем не оправдана. Поэтому некоторые из предложенных теорий совсем исключают возможность самодействия электрона. Из-за этого в них уже не возникает бесконечностей. И никакой электромагнитной массы при этом у частиц нет, а ее масса снова полностью механическая. Однако в такой теории возникают новые трудности.
Нужно сразу же вам сказать, что такие теории требуют изменения и понятий электромагнитного поля. Как вы помните, мы говорили, что сила, действующая на частицу в любой точке, определяется просто двумя величинами: Е и В. Если мы отказываемся от идеи самодействия, то это утверждение становится уже несправедливым, ибо силы, действующие на электрон в некотором месте, больше не определяются полями Е и В, а только теми их частями, которые создаются другими зарядами. Так что мы всегда должны помнить о том, какие поля Е и В создает тот заряд, для которого вычисляется действующая сила, а какие — все остальные заряды. Это делает теорию гораздо более запутанной, хотя и позволяет избежать трудностей с бесконечностями.
Итак, если нам очень хочется, мы можем выбросить весь набор сил в уравнении (28.9), приговаривая при этом, что такое явление, как действие электрона на себя, отсутствует. Но вместе с водой мы выплескиваем и ребенка! Ведь второе-то слагаемое в (28.9), слагаемое с х, совершенно необходимо. Эта сила приводит к вполне определенному эффекту. Если вы ее выбросите — беды не миновать. Когда вы разгоняете заряд, он излучает электромагнитные волны, т. е. теряет энергию. Поэтому ускорение заряда требует большей силы, чем ускорение нейтрального объекта той же массы; в противном случае энергия не будет сохраняться. Скорость, с которой мы затрачиваем работу на ускорение заряда, должна быть равна скорости потери энергии на излучение. Мы уже говорили об этом эффекте; он был назван радиационным сопротивлением. Снова перед нами вопрос: откуда берутся те дополнительные силы, на преодоление которых затрачивается эта работа? Когда излучает большая антенна, то эти силы возникают под влиянием токов одной ее части на токи в другой. Но у отдельного ускоряющегося электрона, излучающего в пустое пространство, возможен только один источник таких сил — действие одной части электрона на другую.
В гл. 32 (вып. 3) мы обнаружили, что осциллирующий заряд излучает энергию со скоростью
(28.10)
Давайте посмотрим, какая мощность необходима для преодоления силы самодействия (28.9). Мощность, как известно, равна силе, умноженной на скорость, т. е. Fx:
(28.11)
Первый член пропорционален dx2/dt и поэтому соответствует скорости изменения кинетической энергии 1/2mv2, связанной с электромагнитной массой. А второй соответствует излучению мощности (28.10). Однако он отличается от (28.10). Разница состоит в том, что (28.11) справедливо в общем случае, тогда как (28.10) верно только для осциллирующего заряда. Мы можем доказать, что эти два выражения для периодического движения заряда эквивалентны. Перепишем для этого второй член выражения (28.11) в виде
что будет просто алгебраическим преобразованием. Если движение электрона периодическое, то величина хх периодически возвращается к одному и тому же значению. Так что если мы возьмем среднее значение ее производной по времени, то получим нуль. Однако второй член всегда положителен (как квадрат величины), так что его производная тоже положительна. Соответствующая ему мощность как раз равна выражению (28.10).
Итак, слагаемое с x"'; в выражении для силы самодействия необходимо для сохранения энергии излучающей системы и не может быть выброшено. Это было одним из триумфов теории Лоренца, доказавшего возникновение такого слагаемого в результате воздействия электрона самого на себя. Мы вынуждены поверить в идею самодействия и необходимость слагаемого с х"'. Проблема в том, как сохранить его, избавившись при этом от первого слагаемого в выражении (28.9), которое портит все дело. Этого мы не знаем. Как видите, классическая теория электрона сама себя завела в тупик.
Были предприняты и другие попытки выправить положение. Один путь был предложен Борном и Инфельдом. Состоит он в очень сложном изменении уравнений Максвелла, так что они перестают быть линейными. При этом можно сделать так, чтобы энергия и импульс оказались конечными. Но предложенные ими законы предсказывают явления, которые никогда не наблюдались. Их теория страдает еще и другим недостатком, к которому мы придем позднее и который присущ всем попыткам избежать описанную трудность.
Следующая интересная возможность была предложена Дираком. Он рассуждал так: давайте допустим, что действие электрона на себя описывается не первым слагаемым выражения (28.9), а вторым. И тогда ему пришла заманчивая идея избавиться ог первого слагаемого, сохранив при этом второе. Смотрите — сказал он,— когда мы брали только запаздывающие решения уравнений Максвелла, это условие выступало как дополнительное предположение; если бы вместо запаздывающих мы взяли опережающие волны, то ответ получился бы несколько другим. Выражение для силы самодействия приобрело бы вид
Это выражение в точности такое же, как и (28.9), за исключением знака перед вторым и некоторыми высшими членами ряда. [Замена запаздывающих волн опережающими означает просто смену знака запаздывания, что, как нетрудно видеть, эквивалентно изменению знака t. В выражении (28.9) это приводит только к изменению знака всех нечетных производных.] Итак, Дирак предложил: давайте примем новое правило, что электрон действует на себя полуразностью создаваемых им запаздывающих и опережающих полей. Полуразность выражений (28.9) и (28.12) дает
Во всех высших членах радиус а входит в числитель в положительной степени. Поэтому, когда мы переходим к пределу точечного заряда, остается только один член — как раз тот, который нам нужен. Таким путем Дирак сохранил радиационное сопротивление и избавился от силы инерции. Электромагнитная масса исчезла, классическая теория спасена, но благополучие это достигнуто ценой насилия над самодействием электрона.
Произвол дополнительных предположений Дирака был устранен, по крайней мере до некоторой степени, Уилером и Фейнманом, которые предложили еще более странную теорию. Они предположили, что точечный заряд взаимодействует только с другими зарядами, но взаимодействие идет наполовину через запаздывающие, наполовину через опережающие волны. Самое удивительное, как оказалось, что в большинстве случаев вы не видите эффекта опережающих волн, но они дают как раз нужную силу радиационного сопротивления. Однако радиационное сопротивление возникает не как самодействие электрона, а в результате следующего интересного эффекта. Когда электрон ускоряется в момент t, то он влияет на все другие заряды в мире в поздний момент t'=t+r/c (где r — расстояние до других зарядов) из-за запаздывающих волн. Но затем эти другие заряды действуют снова на первоначальный электрон с помощью опережающих волн, которые приходят к нему в момент t", равный t' минус r/c, что как раз равно t. (Они, конечно, воздействуют и с помощью запаздывающих волн, но это просто соответствует обычным «отраженным» волнам.) Комбинация опережающих и запаздывающих волн означает, что в тот момент, когда электрон ускоряется, осциллирующий заряд испытывает воздействие силы со стороны всех зарядов, которые «приготовились» поглотить излученные им волны. Вот в какой петле запутались физики, пытаясь спасти теорию электрона!
Я расскажу вам еще об одной теории, чтобы показать, до каких вещей додумываются люди, когда они увлечены. Это несколько другая модификация законов электродинамики, которую предложил Бопп.
Вы понимаете, что, решившись изменить уравнения электромагнетизма, можно делать это в любом месте. Вы можете изменить закон сил, действующих на электрон, или можете изменить уравнения Максвелла (как это будет сделано в теории, которую я собираюсь описать) или еще что-нибудь. Одна из возможностей — изменить формулы, определяющие потенциал через заряды и токи. Возьмем формулу, которая выражает потенциалы в некоторой точке через плотности токов (или зарядов) в любой другой точке в ранний момент времени. С помощью четырехвекторных обозначений для
потенциалов мы можем записать ее в виде
(28.13)
Удивительно простая идея Боппа заключается в следующем. Может быть, все зло происходит от множителя 1/r под интегралом. Предположим с самого начала, что потенциал в одной точке зависит от плотности зарядов в любой точке как некоторая функция расстояния между точками, скажем как f(r12). Тогда полный потенциал в точке 1 будет определяться интегралом по всему пространству от произведения jm на эту функцию
Вот и все. Никаких дифференциальных уравнений, ничего больше. Есть только еще одно условие. Мы должны потребовать, чтобы результат был релятивистски инвариантным. Так что в качестве «расстояния» мы должны взять инвариантное «расстояние» между двумя точками в пространстве-времени. Квадрат этого расстояния (с точностью до знака, который несуществен) равен
Так что для релятивистской инвариантности теории функция должна зависеть от s12 или, что то же самое, от s212. Таким образом, в теории Боппа
(Интеграл, разумеется, должен браться по четырехмерному объему dtzdxzdy2dz2.)
Фиг. 28,4. Функция F(s2), используемая в нелокальной теории Боппа.
Теперь остается только выбрать подходящую функцию F. Относительно нее мы предполагаем только одно, что она повсюду мала, за исключением области аргумента вблизи нуля, т. е. что график F ведет себя подобно кривой, изображенной на фиг. 28.4. Это узкий пик в окрестности s2=0, шириной которого грубо можно считать величину а2. Если вычисляется потенциал в точке 1, то приближенно можно утверждать, что заметный вклад дают только те точки 2, для которых s212 = с2(t2-t1)2-r212 отличается от нуля на ±a2. Это можно выразить, сказав, что F важно только для
(28.16)
Если понадобится, можно проделать все математически более строго, но идея вам уже ясна.
Предположим теперь, что а очень мало по сравнению с размерами обычных объектов типа электромоторов, генераторов и тому подобное, поэтому для обычных задач г12>>а. Тогда выражение (28.16) говорит, что в интеграл (28.15) дают вклад только те токи, для которых t1-t2 очень мало:
Но поскольку а2/r212<<1, то квадратный корень приближенно равен 1 ±а2/2r212, так что
В чем здесь суть? Полученный результат говорит, что для Аm. в момент t1важны только те времена t2, которые отличаются от него на запаздывание r12/c с пренебрежимо малой поправкой, ибо r12>>а. Другими словами, теория Боппа переходит в теорию Максвелла при удалении от зарядов в том смысле, что она приводит к эффекту запаздывания.
Мы можем приближенно увидеть, к чему нас приведет интеграл (28.15). Если, зафиксировав r12, провести интегрирование по t2в пределах от -Ґ до +Ґ,то s212 тоже будет изменяться от -Ґ до +Ґ. Но основной вклад даст участок по t2шириной At2=2·а2/2r12с с центром в момент t1-r12/c.Пусть функция F(s2) при s2=0 принимает значение К, тогда интегрирование по t2дает приблизительно KjmDt2, или
Разумеется, величину jm следует взять в момент t2=t1-r12/c, так что (28.15) принимает вид
Если выбрать K=q2с/4pe0а2, то мы придем прямо к запаздывающему решению уравнений Максвелла для потенциалов, причем автоматически возникает зависимость 1/r! И все это получилось из простого предположения, что потенциал в одной точке пространства-времени зависит от плотности токов во всех других точках пространства-времени с весовым множителем, в качестве которого взята некая функция четырехмерного расстояния между двумя точками. Эта теория тоже дает конечную электромагнитную массу электрона, а соотношение между энергией и массой как раз такое, какое требуется в теории относительности. Ничего другого не могло и быть, ибо теория релятивистски инвариантна с самого начала.
Однако и этой теории и всем другим описанным нами теориям можно предъявить тяжкое обвинение. Все известные нам частицы подчиняются законам квантовой механики, поэтому необходима квантовомеханическая форма электродинамики. Свет ведет себя подобно фотонам. Это уже не
100-процентная теория Максвелла. Следовательно, электродинамика должна быть изменена. Мы уже говорили, что упорное старание исправить классическую теорию может оказаться напрасной тратой времени, ибо в квантовой электродинамике трудности могут исчезнуть или будут разрешены другим образом. Однако и в квантовой электродинамике трудности не исчезают. В этом кроется одна из причин, почему люди потратили столько времени, пытаясь преодолеть классические трудности и надеясь, что если они смогут преодолеть их, то после квантового обобщения уравнений Максвелла все будет в порядке. Однако и после такого обобщения трудности не исчезают.
Квантовые эффекты, правда, приводят к некоторым изменениям. Изменяется формула для масс, появляется постоянная Планка h, но ответ по-прежнему выходит бесконечным, если вы не обрезаете как-то интегрирование, подобно тому как мы обрезали интеграл при r=а в классической теории. Ответ при этом зависит от характера обрезания. К сожалению, я не могу вам показать, что трудности в основном те же самые, ибо вы еще слишком мало знаете о квантовой механике, а о квантовой электродинамике — и того меньше. Поэтому вам придется поверить мне на слово, что и квантовая электродинамика Максвелла приводит к бесконечной массе точечного электрона.
Оказывается, однако, что до сих пор никому не удалось даже приблизиться к самосогласованному квантовому обобщению на основе любой из модифицированных теорий. Идее Борна и Инфельда никогда не суждено было стать квантовой теорией. Не привели к удовлетворительной квантовой теории опережающие и запаздывающие волны Дирака и Уилера — Фейнмана. Не привела к удовлетворительной квантовой теории и идея Боппа. Так что и до сего дня нам не известно решение этой проблемы. Мы не знаем, как с учетом квантовой механики построить самосогласованную теорию, которая не давала бы бесконечной собственной энергии электрона или какого-то другого точечного заряда. И в то же время нет удовлетворительной теории, которая описывала бы неточечный заряд. Так эта проблема и осталась нерешенной.
Если вы вздумаете попытать счастья и построить теорию, полностью удалив действие электрона на себя, так чтобы электромагнитная масса не имела смысла, а затем будете делать из нее квантовую теорию, то могу вас заверить — трудностей вы не избежите. Экспериментально доказано существование электромагнитной инерции и тот факт, что часть массы заряженных частиц — электромагнитная по своему происхождению.
В старых книгах часто утверждалось, что поскольку природа не подарила нам двух одинаковых частиц, из которых одна нейтральная, а другая заряженная, то мы никогда не сможем сказать, какая доля массы является электромагнитной, а какая механической. Однако оказалось, что природа все же была достаточна щедра и подарила нам именно два таких объекта, так что, сравнивая наблюдаемую массу заряженной частицы с массой нейтральной, мы можем сказать, существует ли электромагнитная масса. Возьмем, например, нейтрон и протон. Они взаимодействуют с огромной силой — ядерной силой, детали происхождения которой нам неизвестны. Однако, как мы уже говорили, ядерные силы обладают одним замечательным свойством. По отношению к этим силам нейтрон и протон в точности одинаковы. Насколько мы сейчас можем судить, ядерные силы между двумя нейтронами, нейтроном и протоном и двумя протонами совершенно одинаковы. Отличаются эти частицы только сравнительно слабыми электромагнитными силами; по отношению к ним протон и нейтрон отличаются, как день и ночь. Вот это нам как раз и нужно. Итак, мы имеем две частицы, одинаковые с точки зрения сильных взаимодействий и различных с точки зрения электрических. И они имеют небольшую разницу в массах. Разница масс между протоном и нейтроном, выраженная в единицах энергии покоя mc2, составляет 1,3 Мэв, что соответствует 2,6 электронным массам. Классическая теория предсказывает для радиуса протона величину между 1/3 и 1/2радиуса электрона, или около 10-13 см. Конечно, на самом деле следует пользоваться квантовой теорией, но по какой-то странной случайности все константы, 2p, h, и т. д., комбинируются так, что приблизительно дают тот же самый результат, что и классическая теория. Одна беда: знак оказывается неверным! Нейтрон на самом деле тяжелее протона.
Природа дала нам еще несколько других пар и троек частиц, которые, за исключением электрического заряда, во всех остальных отношениях оказываются в точности одинаковыми. Они взаимодействуют с протонами и нейтронами посредством так называемого «сильного» взаимодействия. В таких взаимодействиях все частицы данного сорта, скажем p-мезон, ведут себя во всех отношениях как одна и та же частица, за исключением их электрического заряда.
В табл. 28.1 мы приводим список таких частиц вместе с их массами. Заряженные p-мезоны имеют массу 139,6 Мзв, а нейтральный p0-мезон на 4,6 Мэв легче. Эту разность масс мы считаем электромагнитной. Она соответствовала бы частице с радиусом от 3 до 4·10-14 см. Вы видите из таблицы, что разницы масс других частиц того же масштаба.
Фиг. 28.5. В некоторые моменты нейтрон может представлять собой протон, окруженный облаком отрицательного p-мезона.
Однако размеры этих частиц можно определить и другими методами, например по кажущемуся диаметру при высокоэнергетических соударениях. Таким образом, электромагнитная масса, по-видимому, находится в согласии с электромагнитной теорией, если мы обрезаем интеграл от энергии поля на радиусе, полученном этими другими методами. Вот почему мы верим, что разница все же обусловлена электромагнитной массой.
Вас, конечно, беспокоят разные знаки разности масс в таблице. Нетрудно понять, почему заряженная частица должна быть тяжелее нейтральной. Но что можно сказать о таких парах, как нейтрон и протон, где наблюдаемая разность масс оказывается совсем другой? Эти частицы оказываются довольно сложными, и вычисление их электромагнитной массы более хитро. Например, хотя нейтрон в целом нейтрален, у него все же есть внутреннее распределение заряда и равен нулю только суммарный заряд. Мы думаем, что нейтрон, по крайней мере в некоторые моменты времени, выглядит как протон, окруженный «облаком» отрицательного p-мезона (фиг. 28.5). И несмотря на то, что нейтрон «нейтрален», т. е. полный его заряд равен нулю, у него все же есть какая-то электромагнитная энергия (например, у него есть магнитный момент), так что без детальной теории внутренней структуры судить о знаке электромагнитной разности масс нелегко.
Мне хотелось бы подчеркнуть лишь следующие особенности:
1. Электромагнитная теория предсказывает существование электромагнитной массы, но она тут же терпит фиаско, ибо оказывается несамосогласованной. Это в равной мере относится и к квантовым модификациям.
2. Существует экспериментальное подтверждение электромагнитной массы.
3. Все разности масс по порядку величины такие же, как и масса электрона.
Итак, мы снова возвращаемся к первоначальной идее Лоренца, что масса электрона вполне может быть целиком электромагнитной, т. е. все его 0,511 Мэв обусловлены электродинамикой. Так это или нет? У нас нет теории и по сей день, поэтому мы ничего не можем сказать с уверенностью.
Мне хочется упомянуть еще об одном досадном обстоятельстве. В природе существует еще одна частица, называемая m-мезоном, или мюоном, которая, насколько нам известно сегодня, решительно ничем не отличается от электрона, за исключением своей массы (равной 206,77 электронных масс). Она во всем ведет себя так же, как электрон: взаимодействует с нейтрино и электромагнитным полем, но на нее не действуют ядерные силы. С ней не происходит ничего такого, чего не происходит с электронами, по крайней мере ничего такого, чего нельзя было бы объяснить, как простое следствие большей массы. Поэтому, если в конце концов кому-то и удается объяснить массу электрона, для него остается загадкой, откуда же берет свою массу m-мезон. Почему? Да потому, что все, что делает электрон, может делать и m-мезон, так что массы их должны получиться одинаковыми. Есть люди, которые непоколебимо верят, что m-мезон и электрон — это одна и та же частица, что в окончательной будущей теории масс формула, из которой они должны определяться, будет представлять собой квадратное уравнение с двумя корнями, один из которых даст массу m-мезона, а другой — электрона. Есть и такие, которые полагают, что это будет трансцендентное уравнение с бесконечным числом корней; они занимаются гаданием, какими должны быть массы других частиц этого ряда и почему они не открыты до сих пор.
§ 6. Поле ядерных сил
Мне бы хотелось сделать еще несколько замечаний о неэлектромагнитной части массы ядерных частиц. Откуда берется большая доля их массы? Кроме электродинамических сил, существуют еще силы другого рода — ядерные силы, у которых есть своя собственная теория поля, хотя никому неизвестно, правильна она или нет. Эта теория также предсказывает энергию поля, которая для ядерных частиц дает массу, аналогичную электромагнитной. Ее можно называть «p-мезополевой массой». Она, по-видимому, очень велика, так как ядерные силы чрезвычайно мощны, и возможно, что именно они являются причиной массы тяжелых частиц. Однако теории мезонных полей находятся в весьма зачаточном состоянии. Даже в сравнительно хорошо развитой теории электромагнетизма мы видели, что, кроме первоначальных намеков, невозможно получить объяснение массы электрона. В мезонных же теориях мы в этом месте тоже терпим неудачу.
Однако мезонная теория очень интересно связана с электродинамикой, и поэтому стоит все же уделить некоторое время изложению ее основ. Поле в электродинамике можно описать четырехвектором потенциала, удовлетворяющим уравнению
Мы видели, что поле может быть излучено, после чего оно существует независимо от источника. Это фотоны, и они описываются дифференциальным уравнением без источника:
Некоторые физики утверждают, что поле ядерных сил тоже должно иметь свои собственные «фотоны», роль которых, по-видимому, играют p-мезоны, и что они должны описываться аналогичным дифференциальным уравнением. (До чего же бессилен человеческий разум! Мы не можем придумать чего-то действительно нового и беремся рассуждать только по аналогии с тем, что знаем.) Таким образом, возможным уравнением для мезонов будет
где j может быть каким-то другим четырехвектором или, возможно, скаляром. Далее выяснилось, что у p-мезона никакой поляризации нет, поэтому j должно быть скаляром. Согласно этому простому уравнению, мезонное поле должно изменяться с расстоянием от источника как 1/r2, т. е. в точности как электрическое. Однако мы знаем, что радиус действия ядерных сил гораздо меньше, чего не может обеспечить нам это простое уравнение. Есть только один способ изменить положение вещей, не разрушая релятивистской инвариантности,— добавить или вычесть из даламбертиана произведение константы на поле j. Итак, Юкава предположил, что свободные кванты ядерных сил могут подчиняться уравнению
(28.17)
где m2 — некоторая постоянная, т. е. какой-то скаляр. (Поскольку 2 является скалярным дифференциальным оператором, то инвариантность не нарушится, если мы добавим к нему другой скаляр.)
Давайте посмотрим, что дает уравнение (28.17), когда ядерные силы не изменяются с течением времени. Мы хотим найти решение уравнения
которое было бы сферически симметрично относительно некоторой точки, скажем относительно начала координат. Если j зависит только от r, то мы знаем, что
Таким образом, получается уравнение
или
Рассматривая теперь произведение (rj) как новую функцию, мы имеем для нее уравнение, которое встречалось нам уже много раз. Решение ее имеет вид
Ясно, что при больших r поле j не может быть бесконечным, поэтому нужно отбросить знак плюс в показателе экспоненты, после чего решение примет вид
(28.18)
Эта функция называется потенциалом Юкавы. Для сил притяжения К должно быть отрицательным числом, величина которого подбирается так, чтобы удовлетворить экспериментально наблюдаемой величине ядерных сил.
Потенциал Юкавы благодаря экспоненциальному множителю угасает быстрее, чем 1/r. Как это видно из фиг. 28.6, для расстояний, превышающих 1/m, потенциал, а следовательно, и ядерные силы приближаются к нулю гораздо быстрее, чем 1/r. Поэтому «радиус действия» ядерных сил гораздо меньше «радиуса действия» электростатических. Экспериментально доказано, что ядерные силы не простираются на расстояния свыше 10-13 см, поэтому
m»1015 м-1.
Фиг. 28.6. Сравнение потенциала Юкавы. е-mr/r с кулоновым потенциалом 1/r.
И, наконец, давайте рассмотрим волновое решение уравнения (28.17). Если мы подставим в него
то получим
Связывая теперь частоту с энергией, а волновое число с импульсом, как это делалось в конце гл. 34 (вып. 3), мы найдем соотношение
которое говорит, что масса «фотона» Юкавы равна mh/с. Если в качестве m взять величину ~1015м-1, которую дает наблюдаемый радиус действия ядерных сил, то масса оказывается равной 3·10-25 г, или 170 Мэв, что приблизительно равно наблюдаемой массе p-мезона. Таким образом, по аналогии с электродинамикой мы бы сказали, что p-мезон — это «фотон» поля ядерных сил. Однако теперь мы распространили идеи электродинамики в такую область, где они на самом деле могут оказаться и неверными. Мы вышли далеко за рамки электродинамики и очутились перед проблемой ядерных сил.
* Мы пользуемся такими обозначениями x=dx/dt, x=d2x/dt2, x=d3x/dt3 и т. д.
Глава 29
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ
§ 1. Движение в однородных электрическом я магнитном полях
§ 2. Анализатор импульсов
§ 3. Электростатическая линза
§ 4. Магнитная линза
§ 5. Электронный микроскоп
§ 6. Стабилизирующие поля ускорителей
§ 7. Фокусировка чередующимся градиентом
§ 8. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях
Повторить: гл. 30 (вып. 3) «Дифракция».
§ 1. Движение в однородных электрическом и магнитном полях
Мы теперь перейдем к описанию в общих чертах движения зарядов в различных условиях. Наиболее интересные явления возникают тогда, когда зарядов движется много и все они взаимодействуют друг с другом. Так обстоит дело, когда электромагнитные волны проходят через кусок вещества или плазму; тогда легионы зарядов взаимодействуют друг с другом. Но это очень сложная картина. Позднее мы поговорим и о таких проблемах; пока же мы обсудим несравненно более простую задачу о движении отдельного заряда в заданном поле. При этом можно пренебречь всеми другими зарядами, за исключением, разумеется, тех зарядов и токов, которые создают предполагаемое нами поле.
Начать, по-видимому, нужно с движения частицы в однородном электрическом поле. Движение при небольших скоростях не представляет особенного интереса — это просто равномерно ускоренное движение в направлении поля. А вот когда частица, набрав достаточно энергии, превращается в релятивистскую, движение ее становится более сложным. Решение для этого случая я оставляю вам — потрудитесь и отыщите его сами.
Мы же рассмотрим движение в однородном магнитном поле, когда электрического поля нет. Эту задачу мы уже решали. Одним из решений было движение частиц по окружности. Магнитная сила
qv X В всегда действует под прямым углом к направлению движения, так что производная dp/dt перпендикулярна р и равна по величине vp/R, где R — радиус окружности, т. е.
Фиг. 29.1. Движение частицы в однородном магнитном поле.
Таким образом, радиус круговой орбиты равен
(29.1)
Это одно из возможных движений. Если движущаяся частица имеет только одну составляющую в направлении поля, то она не изменяется, ибо у магнитной силы отсутствует компонента в направлении поля. Общее же движение частицы в однородном магнитном поле — это движение с постоянной скоростью в направлении В и круговое движение под прямым углом к В, т. е. движение по цилиндрической спирали (фиг. 29.1). Радиус спирали определяется равенством (29.1) с заменой р на р┴ — компоненту импульса, перпендикулярную к направлению поля.
§ 2. Анализатор импульсов
Однородное магнитное поле часто применяется в «анализаторе», или «спектрометре импульсов» высокоэнергетических частиц. Предположим, что в точке А (фиг. 29.2, а) в однородное магнитное поле влетают заряженные частицы, причем магнитное поле перпендикулярно плоскости рисунка. При этом каждая частица будет лететь по круговой орбите, радиус которой пропорционален ее импульсу. Если все частицы влетают в поле перпендикулярно его краю, то они покидают его на расстоянии х от точки А, пропорциональном их импульсу р. Помещенный в некоторой точке С счетчик будет регистрировать только такие частицы, импульс которых находится где-то в интервале Dр величин p=qBx/2.
Фиг. 29.2. 180-градусный спектрометр импульсов с однородным магнитным полем.
а — траектории частиц с разными импульсами; 6 — траектории частиц, влетающих под равными углами. Магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости рисунка.
Нет необходимости, разумеется, чтобы перед регистрацией частица поворачивалась на 180°, но такой «180-градусный спектрометр» обладает особым свойством: для него совсем необязательно, чтобы частицы входили под прямым углом к краю поля. На фиг. 29.2, б показаны траектории трех частиц с одинаковым импульсом, но входящих в поле под различными углами. Вы видите, что траектории у них разные, но все они покидают поле очень близко к точке С. В подобных случаях мы говорим о «фокусировке». Преимущество такого способа фокусировки в том, что она позволяет допускать в точку А частицы, летящие под большими углами, хотя обычно, как видно из рисунка, углы эти в какой-то степени ограничены. Большое угловое разрешение обычно означает регистрацию за данный промежуток времени большего числа частиц и сокращения, следовательно, времени измерения.
Изменяя магнитное поле, передвигая счетчик вдоль оси х или же покрывая с помощью многих счетчиков целую область по оси х, можно измерить «спектр» падающего пучка [«спектр» импульсов f(p) означает, что число частиц с импульсами в интервале между р и (p+dp) равно f(p)dp]. Такие измерения проводятся, например, при определении распределения по энергиям в b-распаде различных ядер.
Имеется еще много других типов импульсных спектрометров, но я расскажу вам только об одном из них, характерном особенно большим разрешением по пространственному углу. В основе его лежат винтовые орбиты в однородном поле, как это показано на фиг. 29.1. Представьте себе цилиндрическую систему координат r, q, z, причем ось z выбрана по направлению магнитного поля. Если частица испускается из начала координат под углом
Фиг. 29.3. Спектрометр с аксиальным полем.
а к направлению оси z, то она будет двигаться по спиральной линии, описываемой выражением
входящие туда параметры а, bи k нетрудно выразить через r, a и магнитное ноле В. Если для данного импульса, но разных начальных углов отложить расстояние r от оси как функцию z, то мы получим кривые, подобные сплошным кривым на фиг. 29.3. (Вы помните — ведь это своего рода проекция винтовой траектории.) Когда угол между осью и начальным направлением велик, максимальное значение r тоже будет большим, а продольная скорость при этом уменьшается, так что выходящие под различными углами траектории стремятся собраться в своего рода фокус (точка А на рисунке). Если на расстоянии А поставить узкое кольцевое отверстие, то частицы, летящие в некоторой области углов, могут пройти через отверстие и достигнуть оси, где для их регистрации мы приготовим протяженный детектор D. Частицы, вылетающие из начала координат под тем же самым углом, но с большим импульсом, летят по пути, обозначенному нами пунктирной линией, и не могут пройти через отверстие А. Итак, прибор выбирает небольшой интервал импульса. Преимущество такого спектрометра по сравнению с описанным ранее состоит в том, что отверстия А и А' можно сделать кольцевыми, так что могут быть зарегистрированы частицы в довольно большом телесном угле. Это преимущество особенно важно для слабых источников и при очень точных измерениях, когда необходимо использовать возможно большую долю испущенных источником частиц.
Фиг. 29.4. Внутри эллипсоидальной катушки, ток которой на любом интервале оси Dx одинаков, возникает однородное поле.
Но за это преимущество приходится расплачиваться, ибо метод требует большого объема однородного магнитного поля, и он практически пригоден только для частиц с небольшой энергией. Если вы помните, один из способов получения однородного поля — это намотать провод на сферу так, чтобы поверхностная плотность тока была пропорциональна синусу угла. Вы можете доказать, что то же самое справедливо и для эллипсоида вращения. Поэтому очень часто такой спектрометр изготовляют, просто наматывая эллипсоидальные витки на деревянный или алюминиевый каркас. Единственное, что при этом требуется,— это чтобы ток на любом интервале оси Ах (фиг. 29.4) был одним и тем же.
§ 3. Электростатическая линза
Фокусировка частицы имеет множество применений. Например, в телевизионной трубке электроны, вылетающие из катода, фокусируются на экране в маленькое пятнышко. Делается это для того, чтобы отобрать электроны одинаковой энергии, но летящие под различными углами, и собрать их в небольшую точку. Эта задача напоминает фокусировку света с помощью линз, поэтому устройства, которые выполняют такие функции, тоже называются линзами.
В качестве примера электронной линзы здесь приведена фиг. 29.5. Это «электростатическая» линза, действие которой зависит от электрического поля между двумя соседними электродами. Работу ее можно понять, проследив за тем, что она делает с входящим слева параллельным пучком частиц. Попав в область а, электроны испытывают действие силы с боковой компонентой, которая прижимает их к оси. В области bэлектроны, казалось бы, должны получить равный по величине, но противоположный по знаку импульс, однако это не так. К тому времени, когда они достигнут области b, энергия их несколько увеличится, и поэтому на прохождение области bони затратят меньше времени.
Фиг. 29.5. Электростатическая линза. Показаны силовые линии, т. е. линии вектора qE.
Силы-то те же самые, но время их действия меньше, поэтому и импульс будет меньше. А полный импульс силы при прохождении областей а и bнаправлен к оси, так что в результате электроны стягиваются к одной общей точке. Покидая область высокого напряжения, частицы получают добавочный толчок по направлению к оси. В области с сила направлена от оси, а в области d — к оси, но во второй области частица остается дольше, так что снова полный импульс направлен к оси. Для небольших расстояний от оси полный импульс силы на протяжении всей линзы пропорционален расстоянию от оси (понимаете почему?), и это как раз основное условие, необходимое для обеспечения фокусировки линз такого типа.
С помощью этих же рассуждений вы можете убедиться, что фокусировка будет достигнута во всех случаях, когда потенциал в середине электрода по отношению к двум другим либо положителен, либо отрицателен. Электростатические линзы такого типа обычно используются в катоднолучевых трубках и некоторых электронных микроскопах.
§ 4. Магнитная линза
: Есть еще один сорт линз — их часто можно встретить в электронных микроскопах — это магнитные линзы. Схематически они изображены на фиг. 29.6. Цилиндрически симметричный электромагнит с очень острыми кольцевыми наконечниками полюсов создает в малой области очень сильное неоднородное магнитное поле. Оно фокусирует электроны, летящие вертикально через эту область. Механизм фокусировки нетрудно понять; посмотрите увеличенное изображение области вблизи наконечников полюсов на фиг. 29.7. Вы видите два электрона а и b, которые покидают источник S под некоторым углом по отношению к оси. Как только электрон а достигнет начала поля, горизонтальная компонента поля отклонит его в направлении от вас. Он приобретет боковую скорость и, пролетая через сильное вертикальное поле, получит импульс в направлении к оси. Боковое же движение убирается магнитной силой, когда электрон покидает поле, так что окончательным эффектом будет импульс, направленный к оси, плюс «вращение» относительно нее.
Фиг. 29.6. Магнитная линза.
Фиг. 29.7. Движение электрона в магнитной линзе.
На частицу bдействуют те же силы, но в противоположном направлении, поэтому она тоже отклоняется по направлению к оси. На рисунке видно, как расходящиеся электроны собираются в параллельный пучок. Действие такого устройства подобно действию линзы на находящийся в ее фокусе объект. Если бы теперь вверху поставить еще одну такую же линзу, то она бы сфокусировала электроны снова в одну точку и получилось бы изображение источника S.
§ 5. Электронный микроскоп
Вы знаете, что в электронный микроскоп можно «увидеть» предметы, которые недоступно малы для оптического микроскопа. В гл. 30 (вып. 3) мы обсуждали общие ограничения любой оптической системы, вызываемые дифракцией на отверстии линзы. Если отверстие объектива видно из источника под углом 2q (фиг. 29.8), то две соседние точки, расположенные около источника, будут неразличимы, если расстояние между ними
Фиг. 29.8. Разрешение микроскопа ограничивается угловым размером объектива относительно фокуса.
Фиг. 29.9. Сферическая аберрация линзы.
по порядку величины меньше
где l — длина волны света. Для лучших оптических микроскопов угол 6 приближается к теоретическому пределу 90°, так что б приблизительно равно l, или около 5000 Е.
Тe же самые ограничения применимы и к электронному микроскопу, но только длина волн в нем, т, е. длина волны электронов с энергией 50 кв, составляет 0,05 Е. Если бы можно было использовать объектив с отверстием около 30°, то мы способны были бы различить объекты величиной в 1/5 А. Атомы в молекулах обычно расположены на расстоянии 1—2 Е, следовательно, тогда вполне можно было бы получать фотографии молекул. Биология стала бы куда проще; мы бы могли сфотографировать структуру ДНК. Как это было бы замечательно! Ведь все сегодняшние исследования в молекулярной биологии — это попытки определить структуру сложных органических молекул. Если бы мы были способны их видеть!
Но к несчастью, самая лучшая разрешающая способность электронных микроскопов приближается только к 20 Е. А все потому, что до сих пор никому не удалось построить линзу с большой светосилой. Все линзы страдают «сферической аберрацией». Это означает вот что: лучи, идущие под большим углом к оси, и лучи, идущие близко к ней, фокусируются в разных точках (фиг. 29.9). С помощью специальной технологии изготовляются линзы для оптических микроскопов с пренебрежимо малой сферической аберрацией, но никому до сих пор не удалось получить электронную линзу, лишенную сферической аберрации. Можно показать, что для любой электростатической или магнитной линзы описанных нами типов сферическая аберрация неизбежна. Наряду с дифракцией аберрация ограничивает разрешающую способность электронных микроскопов ее современным значением.
Ограничения, о которых мы упоминали, не относятся к электрическим и магнитным полям, не имеющим осевой симметрии или не постоянным во времени. Вполне возможно, что в
один прекрасный день кто-нибудь придумает новый тип электронных линз, свободных от аберрации, присущей простым электронным линзам. Тогда можно будет непосредственно фотографировать атомы. Возможно, что когда-нибудь химические соединения будут анализироваться просто визуальным наблюдением за расположением атомов, а не по цвету какого-то осадка!
§ 6. Стабилизирующие поля ускорителей
Магнитные поля используются в высокоэнергетических ускорителях еще для того, чтобы заставить частицу двигаться по нужной траектории. Такие устройства, как циклотрон и синхротрон, ускоряют частицу до высоких энергий, заставляя ее многократно проходить через сильное электрическое поле. А на своей орбите частицу удерживает магнитное поле.
Мы видели, что путь частицы в однородном магнитном поле проходит по круговой орбите. Но это справедливо только для идеального магнитного поля. А представьте себе, что поле В в большой области только приблизительно однородно: в одной части оно немного сильнее, чем в другой. Если в такое поле мы запустим частицу с импульсом р, то она полетит по примерно круговой орбите с радиусом R=p/qB. Однако в области более сильного поля радиус кривизны будет несколько меньше. При этом орбита уже не будет замкнутой окружностью, а возникнет «дрейф», подобный изображенному на фиг. 29.10. Если угодно, можно считать, что небольшая «ошибка» в поле приводит к толчку, который сдвигает частицу на новую траекторию. В ускорителе же частица делает миллионы оборотов, поэтому необходима своего рода «радиальная фокусировка», которая удерживала бы траектории частиц на близкой к желаемой орбите.
Другая трудность, связанная с однородным полем, состоит в том, что частицы не остаются в одной плоскости. Если они начинают движение под небольшим углом или небольшой угол создается неточностью поля, то частицы идут по спиральному пути, который в конце концов приведет их либо на полюс магнита, либо на потолок или пол вакуумной камеры.
Фиг. 29.10. Движение частицы в слабо неоднородном поле.
Фиг. 29.11. Радиальное движение частицы в магнитном поле.
а — с большим положительным «наклоном»; б — с малым отрицательным «наклоном»; в — с большим отрицательным «наклоном».
Чтобы избежать такого вертикального дрейфа, нужны какие-то устройства; магнитное поле должно обеспечивать как радиальную, так и «вертикальную» фокусировки.
Сразу же можно догадаться, что радиальную фокусировку обеспечивает созданное магнитное поле, которое увеличивается с ростом расстояния от центра проектируемого пути. Тогда, если частица выйдет на больший радиус, она окажется в более сильном поле, которое вернет ее назад на нужную орбиту. Если она перейдет на меньший радиус, то «загибание» будет меньше и она снова вернется назад на желаемый радиус. Если частица внезапно начала двигаться под углом к идеальной орбите, она начнет осциллировать относительно нее (фиг. 29.И, а) и радиальная фокусировка будет удерживать частицу вблизи кругового пути.
Фактически радиальная фокусировка происходит даже при противоположном «наклоне». Это может происходить в тех случаях, когда радиус кривизны траектории увеличивается не быстрее, чем расстояние частицы от центра поля. Орбиты частиц будут подобны изображенным на фиг. 29.11,6. Но если градиент поля слишком велик, то частицы не вернутся на желаемый радиус, а будут по спирали выходить из поля либо внутрь, либо наружу (фиг. 29.11,в).
«Наклон» поля мы обычно характеризуем «относительным градиентом», или индексом поля n
(29.2)
Направляющее поле создает радиальную фокусировку, если относительный градиент будет больше -1.
Радиальный градиент поля приведет также к вертикальным силам, действующим на частицу. Предположим, мы имеем поле, которое вблизи центра орбиты сильнее, а снаружи слабее. Вертикальное поперечное сечение магнита под прямым углом к орбите может иметь такой вид, как показано на фиг. 29.12. (Причем протоны летят на нас из страницы.) Если нам нужно, чтобы поле было сильнее слева и слабее справа, то магнитные силовые линии должны быть искривлены подобно изображенным на рисунке. То, что это должно быть так, можно увидеть из закона равенства нулю циркуляции В в пустом прос
транстве. Если выбрать систему координат, показанную на рисунке, то
или
(29.3)
Фиг. 29.12. Вертикально фокусирующее поле.
Вид в поперечном сечении, перпендикулярном к орбите.
Поскольку мы предполагаем, что дВz/дх отрицательно, то равным ему и отрицательным должно быть и дВх/дz. Если «номинальной» плоскостью орбиты является плоскость симметрии, где Вх=0, то радиальная компонента Вхбудет отрицательной над плоскостью и положительной под ней. При этом линии должны быть искривлены так, как это изображено на рисунке.
Такое поле должно обладать вертикально фокусирующими свойствами. Представьте себе протон, летящий более или менее параллельно центральной орбите, но выше нее. Горизонтальная компонента В будет действовать на протон с силой, направленной вниз. Если же протон находится ниже центральной орбиты, то сила изменит свое направление. Таким образом, возникает эффективная «восстанавливающая сила», направленная к центру орбиты. Из наших рассуждений получается, что при условии уменьшения вертикального поля с увеличением радиуса должна происходить вертикальная фокусировка. Однако если градиент поля положительный, то происходит «вертикальная дефокусировка». Таким образом, для вертикальной фокусировки индекс поля nдолжен быть меньше нуля. Выше мы нашли, что для радиальной фокусировки значение nдолжно быть больше -1. Комбинация этих двух условий требует для удержания частиц на стабильных орбитах, чтобы
-1<n<0.
В циклотронах обычно используется величина n, приблизительно равная нулю, а в бетатронах и синхротронах типичной величиной является n=-0,6.
§ 7. Фокусировка чередующимся градиентом
Столь малые величины nдают довольно «слабую» фокусировку. Ясно, что гораздо большую радиальную фокусировку можно было бы получить для большого положительного градиента (n>>1), но при этом вертикальные силы будут сильно дефокусирующими. Подобным же образом большой отрицательный наклон (n<<-1) давал бы большие вертикальные силы, но при этом вызывал бы сильную радиальную дефокусировку. Однако примерно 10 лет назад было установлено, что чередующееся действие областей с сильной фокусировкой и область с сильной дефокусировкой в целом приводят к фокусирующему эффекту.
Чтобы объяснить, как работает такая фокусировка, разберем сначала действие квадрупольной линзы, которая устроена по тому же принципу. Представьте себе, что к магнитному полю, изображенному на фиг. 29.12, добавлено однородное отрицательное магнитное поле, сила которого подобрана так, чтобы поле на орбите было равно нулю. Результирующее поле при малых смещениях от нейтральной точки будет напоминать изображенное на фиг. 29.13. Такой четырехполюсный магнит называется «квадрупольной линзой». Положительная частица, которая входит (со стороны читателя) справа или слева от центра, снова втягивается в центр. Если же частица входит сверху или снизу от центра, то она выталкивается из него. Это горизонтально-фокусирующая линза. Если теперь обратить горизонтальный градиент, что может быть сделано переменой всех полюсов на противоположные, то знак всех сил изменится на обратный и мы получим вертикально-фокусирующую линзу (фиг. 29.14). Напряженность поля у таких линз, а следовательно, и фокусирующая сила возрастают линейно с удалением от оси линзы.
Представьте себе теперь, что мы поставили подряд две такие линзы. Если частица входит с некоторым горизонтальным смещением относительно оси (фиг. 29.15, а), то она отклонится по направлению к оси первой линзы. Когда же она подходит ко второй линзе, то оказывается ближе к оси, где выталкивающая сила меньше, поэтому меньшим будет и отклонение от оси.
Фиг. 29.13. Горизонтально фокусирующая квадрупольная линза.
Фиг. 29.14. Вертикально-фокусирующая квадрупольная линза.
В результате же получится наклон к оси, т. е. в среднем их действие окажется горизонтально-фокусирующим. С другой стороны, если мы возьмем частицу, которая отклоняется от оси в вертикальном направлении, то путь ее будет таким, как показано на фиг. 29.15, б. Частица сначала отклоняется от оси, а затем входит во вторую линзу с большим смещением, испытывая действие большей силы, в результате чего отклоняется к оси. В целом эффект снова будет фокусирующим. Таким образом, действие пары квадрупольных линз, действующих независимо в горизонтальном и вертикальном направлениях, очень напоминает действие оптической линзы. Квадрупольные линзы используются для формирования пучка частиц и контроля над ним в точности так же, как оптические линзы используются для светового пучка.
Нужно подчеркнуть, что переменно-градиентная система не всегда приводит к фокусировке. Если градиент слишком велик (по сравнению с импульсом частиц или с расстоянием между линзами), то результирующее действие будет дефокусирующим. Вы поймете, как это получается, если вообразите, что пространство между двумя линзами на фиг. 29.15 увеличилось в три или четыре раза.
А теперь вернемся к синхротронному направляющему магниту. Можно считать, что он состоит из чередующейся последовательности «положительных» и «отрицательных» линз с наложенным поверх них однородным полем. Однородное поле служит для удержания частиц в среднем на горизонтальной окружности (на вертикальное движение оно не влияет), а переменные линзы действуют на любую частицу, которая норовит сбиться с пути, подталкивая ее все время к центральной орбите (в среднем).
Существует очень хороший механический аналог, который демонстрирует, как переменная «фокусирующая и дефокусирующая» сила может привести в результате к «фокусирующему» эффекту. Представьте себе механический «маятник», состоящий из твердого стержня с грузиком, подвешенным на оси, которая с помощью кривошипа, связанного с мотором, может быстро
Фиг. 29.15. Горизонтальная и вертикальная фокусировка парой квадрупольных линз.
Фиг. 29.16. Маятник с осциллирующей осью имеет устойчивое положение с грузиком, находящимся наверху.
раскачиваться вверх и вниз. У такого маятника есть два положения равновесия. Кроме нормального положения, когда маятник свешивается вниз, у него есть еще положение равновесия, когда он торчит кверху,— грузик при этом находится над точкой опоры (фиг. 29.16).
Простые рассуждения показывают, что вертикальное движение стержня эквивалентно переменной фокусирующей силе. Когда стержень ускоряется вниз, грузик стремится двигаться по направлению к вертикали, как это показано на фиг. 29.17, а когда грузик ускоряется вверх,— все происходит в обратном порядке. Но несмотря на то, что сила все время изменяет свое направление, в среднем она действует к вертикали. Таким образом, маятник будет качаться туда и сюда около нейтрального положения, которое прямо противоположно нормальному.
Существует, конечно, более простой способ удержать маятник «вверх ногами» — например сбалансировать его на пальце. А вот попробуйте-ка так удержать два независимых маятника на одном пальце. Или даже один, но с закрытыми глазами. Балансирование означает внесение небольших поправок в то, что неверно. А если одновременно неверны несколько параметров, то балансирование в большинстве случаев невозможно. Однако в синхротроне по орбите одновременно движутся миллиарды частиц, каждая из которых имеет свою собственную «ошибку», и тем не менее описанный нами способ фокусировки действует сразу на все эти частицы.
Фиг. 29.17. Ускорение оси маятника вниз
приводит к движению его по направлению к вертикали.
§ 8. Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях
До сих пор мы говорили о частицах, находящихся только в электрическом или только в магнитном поле. Но есть интересные эффекты, возникающие при одновременном действии обоих полей. Пусть у нас имеется однородное магнитное поле В и направленное к нему под прямым углом электрическое поле Е. Тогда частицы, влетающие перпендикулярно полю В, будут двигаться по кривой, подобной изображенной на фиг. 29.18. (Это плоская кривая, а не спираль.) Качественно это движение понять нетрудно. Если частица (которую мы считаем положительной) движется в направлении поля Е, то она набирает скорость, и магнитное поле загибает ее меньше. А когда частица движется против поля Е, то она теряет скорость и постепенно все больше и больше загибается магнитным полем. В результате же получается «дрейф» в направлении (ЕXВ).
Мы можем показать, что такое движение есть по существу суперпозиция равномерного движения со скоростью vd=E/B и кругового, т. е. на фиг. 29.18 изображена просто циклоида. Представьте себе наблюдателя, который движется направо с постоянной скоростью. В его системе отсчета наше магнитное поле преобразуется в новое магнитное поле плюс электрическое поле, направленное вниз. Если его скорость подобрана так, что полное электрическое поле окажется равным нулю, то наблюдатель будет видеть электрон, движущийся по окружности. Таким образом, движение, которое мы видим, будет круговым движением плюс перенос со скоростью дрейфа vd=E/B. Движение электронов в скрещенных электрическом и магнитном полях лежит в основе магнетронов, т. е. осцилляторов, применяемых при генерации микроволнового излучения.
Есть еще немало других интересных примеров движения частиц в электрическом и магнитном полях, например орбиты электронов или протонов, захваченных в радиационных поясах в верхних слоях стратосферы, но, к сожалению, у нас не хватает времени, чтобы заниматься сейчас еще и этими вопросами.
Фиг. 29.18. Путь частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях.