5a. Электричество и магнетизм
Глава 5
ЗАКОНА ГАУССА ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1.Электростатика— это есть закон Гаусса плюс...
§2.Равновесие в электростатическом поле
§3. Равновесие с проводниками
§4. Устойчивость атомов
§5.Поле заряженной прямой линии
§6. Заряженная плоскость; пара плоскостей
§7.Однородно заряженный шар; заряженная сфера
§8.Точен ли закон Кулона?
§9. Поля проводника
§10.Поле внутри полости проводника
§ 1. Электростатика—это есть закон Гаусса плюс...
Существуют два закона электростатики: поток электрического поля из объема пропорционален заряду внутри него — закон Гаусса, и циркуляция электрического поля равна нулю — Е есть градиент. Из этих двух законов следуют все предсказания электростатики. Но одно дело высказать эти вещи математически, и совсем другое — применять их с легкостью и с нужной долей остроумия. В этой главе мы будем заниматься только такими расчетами, которые могут быть проделаны непосредственно на основе закона Гаусса. Мы докажем некоторые теоремы и опишем некоторые эффекты (в частности, в проводниках), которые на основе закона Гаусса очень легко понять. Сам по себе закон Гаусса не может дать решения ни одной задачи, потому что должны быть выполнены и какие-то другие законы. Значит, применяя закон Гаусса к решению частных задач, нужно всегда к нему что-то добавлять. Мы должны, например, заранее делать какие-то предположения о том, как выглядит поле, основываясь, скажем, на соображениях симметрии. Или должны будем особо вводить представление о том, что поле есть градиент потенциала.
§ 2. Равновесие в электростатическом поле
Рассмотрим сначала следующий вопрос: в каких условиях точечный заряд может пребывать в механическом равновесии в электрическом поле других зарядов? В качестве примера представим себе три отрицательных заряда в вершинах равностороннего треугольника, расположенного в горизонтальной плоскости.
Фиг. 5.1. Если бы точка Р0 отмечала положение устойчивого равновесия положительного заряда, то электрическое поле повсюду в ее окрестности было бы направлено к Р0 .
Останется ли на своем месте положительный заряд, помещенный в центр треугольника? (Для простоты тяжестью пренебрежем; но и учет ее влияния не изменит выводов.) Сила, действующая на положительный заряд, равна нулю, но устойчиво ли это равновесие? Вернется ли заряд в положение равновесия, если его чуть сдвинуть с этого места? Ответ гласит: нет.
Ни в каком электростатическом поле не существует никаких точек устойчивого равновесия, за исключением случая, когда заряды сидят друг на друге. Применяя закон Гаусса, легко понять почему. Во-первых, чтобы заряд пребывал в равновесии в некоторой точке Р0, поле в ней должно быть равно нулю. Во-вторых, чтобы равновесие было устойчивым, требуется, чтобы смещение заряда из Р0в любую сторону вызывало восстанавливающую силу, направленную против смещения. Векторы электрического поля во всех окрестных точках должны показывать внутрь — на точку Р0 . Но как легко видеть, это нарушает закон Гаусса, если в Р0нет заряда.
Возьмем небольшую воображаемую поверхность, окружающую точку Р0(фиг. 5.1). Если повсюду вблизи Р0электрическое поле направлено к Р0, то поверхностный интеграл от нормальной составляющей определенно не равен нулю. В случае, изображенном на фигуре, поток через поверхность должен быть отрицательным числом. Но, согласно закону Гаусса, поток электрического поля сквозь любую поверхность пропорционален количеству заряда внутри нее. Если в Р0нет заряда, то изображенное нами поле нарушит закон Гаусса. Уравновесить положительный заряд в пустом пространстве, в точке, в которой нет какого-нибудь отрицательного заряда, невозможно. Но если положительный заряд размещен в центре распределенного отрицательного заряда, то он может находиться в равновесии. Конечно, распределение отрицательного заряда должно само удерживаться на своем месте посторонними, неэлектрическими силами!
Этот вывод мы проделали для точечного заряда. Соблюдается ли он для сложной расстановки зарядов, относительное расположение которых чем-то фиксировано (скажем, стержнями)? Разберем этот вопрос на примере двух одинаковых зарядов, закрепленных на стержне. Может ли эта комбинация в каком-то электрическом поле застыть в равновесии?
Фиг. 5.2. Заряд может быть в равновесии, если имеются механические ограничения.
И опять ответ гласит: нет. Суммарная сила, действующая на стержень, не способна возвращать его к положению равновесия при любых направлениях смещения.
Обозначим суммарную силу, действующую на стержень ' в любом положении, буквой F. Тогда F — это векторное поле. Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы придем к заключению, что в положении устойчивого равновесия дивергенция F должна быть числом отрицательным. Но суммарная сила, действующая на стержень, равна произведению первого заряда на поле в том месте, где он находится, плюс произведение второго заряда на поле в том месте, где он находится:
(5.1)
Дивергенция F дается выражением
Если каждый из двух зарядов q1и q2находится в свободном пространстве, то и С·Е1, и С·Е2 равны нулю, и С·F тоже нуль, а не отрицательное число, как должно было бы быть при равновесии. Дальнейшее расширение этого доказательства покажет, что никакая жесткая комбинация любого числа зарядов не способна замереть в положении устойчивого равновесия в электростатическом поле в пустом пространстве.
Но мы не собираемся доказывать, что если заряд может скользить по стержням или опираться на другие механические связи, то равновесие все равно невозможно. Это не так. Возьмем для примера трубку, в которой заряд может свободно двигаться вперед и назад (но не в сторону). Теперь легко устроить электрическое поле, которое на концах трубки направлено внутрь нее (при этом близ центра трубки ему разрешается быть направленным наружу, в сторону). Для этого надо просто поместить по положительному заряду на каждом конце трубки (фиг. 5.2). Теперь точка равновесия существует даже в том случае, когда дивергенция Е равна нулю. Конечно, заряд не оказался бы в устойчивом равновесии, если бы не «неэлектрические» силы от стенок трубки.
§ 3. Равновесие с проводниками
В системе закрепленных зарядов устойчивого места для пробного заряда нет. А как обстоит дело с системой заряженных проводников? Может ли система заряженных проводников создать поле, в котором для точечного заряда хоть где-нибудь найдется устойчивое местечко? (Конечно, имеется в виду не место на поверхности проводника.) Вы знаете, что проводники характерны тем, что заряды по ним могут двигаться свободно. Может быть, если чуть сдвинуть точечный заряд, то прочие заряды на проводниках так сместятся, что на точечный заряд начнет действовать восстанавливающая сила? Ответ по-прежнему отрицательный, хотя из приведенного нами доказательства этого вовсе не следует. В этом случае доказательство сложнее, и мы только наметим его ход.
Во-первых, мы замечаем, что когда заряды перераспределяются по проводникам, то это возможно только тогда, когда от их движения их суммарная потенциальная энергия сокращается. (Часть их энергии, когда они движутся по проводнику, переходит в тепло.) А мы уже показали, что когда заряды, создающие поле, стационарны, то вблизи любой точки Р0, в которой поле равно нулю, существует направление, в котором смещение точечного заряда из Р0 уменьшит энергию системы (так как сила направлена от Р0). Любое перемещение зарядов по проводникам может только еще больше снизить их потенциальную энергию, так что (по принципу виртуальной работы) их движение только увеличит силу в этом указанном направлении, но никак не обратит ее знак.
Наши слова не означают, что заряд невозможно уравновесить электрическими силами. Это можно сделать, если специальными устройствами контролировать расположение или размер поддерживаемых зарядов. Вы же знаете, что стержень, стоящий в гравитационном поле на своем нижнем конце, неустойчив, но отсюда не следует, что его нельзя уравновесить на кончике пальца. Точно так же и заряд можно удержать на одном месте с помощью одних только электрических сил, если вовремя изменять эти силы. Но этого нельзя сделать с помощью пассивной, т. е. статической, системы сил.
§ 4. Устойчивость атомов
Раз заряды не могут иметь устойчивого положения, то, разумеется, неправильно представлять вещество построенным из статических точечных зарядов (электронов и протонов), управляемых только законами электростатики. Такая статическая конфигурация немыслима, она обвалится!
Фиг. 5.3. Томсоновская модель атома.
1 — однородно распределенный положительный заряд; 2 — отрицательный заряд, сконцентрированный в центре.
В свое время предлагалось считать положительный заряд атома распределенным однородно по шару, а отрицательные заряды (электроны) покоящимися внутри положительного заряда (фиг. 5.3). Это была первая атомная модель, предложенная Томсоном. Но Резерфорд из опыта, проделанного Гейгером и Марсденом, сделал вывод, что положительные заряды очень сильно сконцентрированы и образуют то, что мы называем ядром. И статическую модель Томсона пришлось отставить. Затем Резерфорд и Бор предположили, что равновесие может быть динамическим — электроны обращаются по орбитам (фиг. 5.4). Орбитальное движение в этом случае удерживало бы электроны от падения на ядро. Но мы с вами знакомы, по крайней мере, с одной трудностью, возникающей и при таком представлении об атоме. При движении по орбитам электроны ускоряются (из-за вращательного движения), и поэтому они излучали бы энергию. При этом они потеряют кинетическую энергию, необходимую для того, чтобы остаться на орбитах, и они должны будут падать, двигаясь по спирали, на ядро. Опять неустойчивость!
Сейчас стабильность атома объясняется с помощью квантовой механики. Электростатические силы притягивают электрон к ядру насколько это возможно, но электрон вынужден оставаться размазанным в пространстве на расстоянии, диктуемом принципом неопределенности. Если бы он держался в очень узком пространстве близ ядра, у него была бы большая неопределенность в импульсе. Но это означало бы, что его ожидаемая энергия высока и может быть использована для того, чтобы разорвать электрическое притяжение ядра.
Фиг. 5.4. Модель атома Резерфорда—Бора.
1 — положительные ядра в центре;
2 — отрицательные электроны на планетных орбитах.
Выходит, что в итоге электрическое равновесие не слишком отличается от идеи Томсона, но только на этот раз размазан отрицательный заряд (потому что масса электрона несравненно меньше массы протона).
§ 5. Поле заряженной прямой линии
Закон Гаусса может быть применен для решения множества задач, связанных с электрическим полем, обладающим специальной симметрией (чаще всего сферической, цилиндрической или плоской). В оставшейся части этой главы мы займемся применением закона Гаусса к некоторым задачам подобного рода. Легкость, с которой будут решаться эти задачи, может создать ошибочное впечатление о мощи метода и о возможности с его помощью перейти к решению многих других задач. К сожалению, это не так. Список задач, легко решаемых по закону Гаусса, быстро исчерпывается. В дальнейших главах мы разовьем куда более мощные методы исследования электростатических полей.
В качестве первого примера рассмотрим систему с цилиндрической симметрией. Пусть у нас имеется длинная-длинная равномерно заряженная спица. Под этим мы понимаем электрические заряды, равномерно распределенные по длине бесконечно длинной прямой, так что на единицу длины приходится заряд l,. Мы хотим определить электрическое поле. Конечно, задачу можно решить интегрированием вкладов в поле от всех частей прямой. Но мы собираемся решить ее без интегрирования, только с помощью закона Гаусса и некоторых догадок. Во-первых, легко догадаться, что электрическое поле будет направлено по радиусу. Любой осевой составляющей от зарядов, лежащих с одной стороны от некоторой плоскости, должна отвечать такая же осевая составляющая от зарядов, лежащих с другой стороны. В итоге должно остаться только радиальное поле. Кроме того, резонно полагать, что во всех точках, равноотстоящих от прямой, поле имеет одинаковую величину. Это очевидно.
Фиг. 5.5. Цилиндрическая гауссова поверхность, коаксиальная заряженной прямой.
1 — гауссова поверхность; 2 — заряженная прямая.
(Может быть, это нелегко доказать, но это верно, если пространство симметрично, а мы считаем, что это так.) Применить закон Гаусса можно следующим образом. Вообразим себе поверхность, имеющую форму цилиндра, ось которого совпадает с нашей прямой (фиг. 5.5). Согласно закону Гаусса, весь поток Е из этой поверхности равен заряду внутри нее, деленному на e0. Раз поле считается нормальным к поверхности, то его нормальная составляющая — это величина вектора поля. Обозначим ее Е. Пусть радиус цилиндра будет r, а длина его для удобства выбрана равной единице. Поток сквозь цилиндрическую поверхность равен произведению Е на площадь поверхности, т. е. на 2pr. Поток через торцы равен нулю, потому что поле касательно к ним. Весь заряд внутри нашей поверхности равен как раз l, потому что длина оси цилиндра равна единице. Тогда закон Гаусса дает
(5.2)
Электрическое поле заряженной прямой обратно пропорционально первой степени расстояния от прямой.
§ 6. Заряженная плоскость; пара плоскостей
В качестве другого примера рассчитаем поле однородно заряженного плоского листа. Предположим, что лист имеет бесконечную протяженность и заряд на единицу площади равен а. Сразу приходит в голову следующее соображение: из симметрии следует, что поле направлено всюду поперек плоскости, и если не существует поля от всех прочих зарядов в мире, то поля по обе стороны плоскости должны совпадать (по величине). На этот раз за гауссову поверхность мы примем прямоугольный ящик, пересекающий нашу плоскость (фиг. 5.6). Каждая из граней, параллельных плоскости, имеет площадь А. Поле нормально к этим двум граням и параллельно остальным четырем. Суммарный поток равен Е, умноженному на площадь первой грани, плюс Е, умноженному на площадь противоположной грани; от остальных граней никаких слагаемых
не войдет. Заряд внутри ящика равен sА. Уравнивая поток с зарядом, напишем
откуда
(5.3)
Простой, но важный результат.
Фиг. 5.6. Электрическое поле возле однородно заряженной плоскости, найденное с помощью теоремы Гаусса, применяемой к воображаемому ящику.
1 — однородно заряженная плоскость;
2 — гауссова поверхность.
Вы помните, может быть, что тот же результат был получен в первых главах интегрированием по всей плоскости. Закон Гаусса дает ответ намного быстрее (хотя он не так широко применим, как прежний метод).
Подчеркнем, что этот результат относится только к полю,
созданному зарядами, размещенными на плоскости. Если по соседству есть другие заряды, общее поле близ плоскости было бы суммой (5.3) и поля прочих зарядов. Закон Гаусса тогда только гарантировал бы, что
(5.4)
где E1и Е2 — поля, направленные на каждой стороне плоскости наружу от нее.
Задача о двух параллельных плоскостях с равными и противоположными плотностями зарядов +s и -sрешается тоже просто, если только снова предположить, что внешний мир абсолютно симметричен. Составите ли вы суперпозицию двух решений для отдельных плоскостей или построите гауссов ящик, охватывающий обе плоскости, в обоих случаях легко видеть, что поле снаружи плоскостей равно нулю (фиг. 5.7, а). Но, заключив в ящик только одну или только другую поверхность, как показано на фиг. 5.7, б или в, мы легко обнаружим, что поле между плоскостями должно быть вдвое больше поля отдельной плоскости.
Фиг. 5.7. Поле между двумя заряженными листами равно s/e0.
Итог таков:
(5.5)
Е (снаружи) =0. (5.6)
§ 7. Однородно заряженный шар; заряженная сфера
В гл. 4 мы уже применяли закон Гаусса, когда должны были найти поле вне однородно заряженной шаровой области. Тот же метод может дать нам и поле в точках внутри шара. Этот расчет, например, может быть использован для получения хорошего приближения к полю внутри атомного ядра. Вопреки тому, что протоны в ядре взаимно отталкиваются, они из-за сильного ядерного притяжения распределены по всему ядру почти однородно.
Пусть у нас имеется сфера радиуса R, однородно наполненная зарядами. Пусть заряд в единице объема равен р. Снова, используя соображения симметрии, можно предположить, что поле радиально и в точках, равноудаленных от центра, по величине одинаково.
Фиг. 5.8. Закон Гаусса можно применить для определения поля внутри однородно заряженного шара.
Чтоб определить поле в точке на расстоянии rот центра, представим сферическую гауссову поверхность радиуса r (r<R), как показано на фиг. 5.8. Поток из нее равен
Заряд внутри нее равен внутреннему объему, умноженному на r, т. е.
Применяя закон Гаусса, получаем величину поля
(5.7)
Вы видите, что при r=R эта формула дает правильный результат. Электрическое поле пропорционально расстоянию от центра и направлено по радиусу наружу.
Аргументы, которые мы только что приводили для однородно заряженного шара, можно применить и к заряженной сфере. Опять предполагая радиальность и сферическую симметрию поля, из закона Гаусса немедленно получаем, что поле вне сферы во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферы — нуль (если мы проведем гауссову поверхность внутри сферы, то внутри нее зарядов не окажется).
§ 8. Точен ли закон Кулона?
Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем произвольную точку Р внутри однородно заряженной сферической поверхности.
Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сферической оболочки поле равно нулю.
Представим узкий конус, который начинается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Dat (фиг. 5.9). В точности симметричный конус по другую сторону вершины вырежет на поверхности площадь Dа2. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r1 и r2, то площади находятся в отношении
(Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью геометрии.)
Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд Dq на каждом элементе поверхности пропорционален его площади
Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, создаваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении
Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу. Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени rв законе Кулона не равным в точности двойке.
Справедливость закона Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Если бы закон силы не подчинялся в точности зависимости 1/r2, то поле внутри однородно заряженной сферы не было бы в точности равно нулю. Например, если бы поле менялось быстрее (скажем, как 1/r3), то часть сферы, которая ближе к точке Р, создала бы в точке Р более сильное поле, чем дальняя часть. Получилось бы (для положительного поверхностного заряда) радиальное поле, направленное к центру. Эти заключения подсказывают нам элегантный путь проверки точности выполнения закона обратных квадратов. Для этого нужно только узнать, в точности ли поле внутри однородно заряженной сферы равно нулю.
Наше счастье, что такой способ существует. Ведь обычно трудно измерить физическую величину с высокой точностью. Добиться однопроцентной точности было бы нетрудно, но как быть, если нам понадобится измерить закон Кулона с точностью, скажем, до одной миллиардной? Можно почти ручаться, что измерить с такой точностью силу, действующую между двумя заряженными телами, не способны даже лучшие приборы. Но если только нужно убедиться в том, что поле внутри сферы меньше некоторого значения, то можно провести довольно точное измерение справедливости закона Гаусса и тем самым проверить обратную квадратичную зависимость в законе Кулона. В сущности происходит сравнение закона силы с идеальным законом обратных квадратов. Именно такие сравнения одинаковых, или почти одинаковых, вещей обычно становятся основой самых точных физических измерений.
Как же наблюдать поле внутри заряженной сферы? Один из способов,— это попытаться зарядить тело, дотронувшись им до внутренней части сферического проводника. Вы знаете, что если коснуться металлическим шариком заряженного тела, затем электрометра, то прибор зарядится и стрелка отклонится от нуля (фиг. 5.10, а). Шар собирает на себя заряды, потому что снаружи заряженной сферы имеются электрические поля, заставляющие заряды переходить на шарик (или с него). А если вы проделаете тот же опыт, коснувшись шариком внутренности заряженной сферы, то увидите, что к электрометру заряд не подводится. Из такого опыта сразу видно, что внутреннее поле составляет в лучшем случае несколько процентов от внешнего и что закон Гаусса верен, по крайней мере, приближенно.
Кажется, первым, заметившим, что поле внутри заряженной сферы равно нулю, был Бенджамен Франклин. Это показалось ему странным. Когда он сообщил об этом Пристли, тот заподозрил, что это связано с законом обратных квадратов, потому что было известно, что сферический слой вещества не создает внутри себя поля тяготения. Но Кулон измерил обратную квадратичную зависимость только через 18 лет, а закон Гаусса появился на свет и того позже.
Фиг. 5.10. Внутри замкнутой проводящей оболочки электрическое поле равно нулю.
Закон Гаусса был проверен очень тщательно; для этого электрометр помещали внутрь большой сферы и наблюдали, отклонится ли стрелка, когда сферу зарядят до высокого напряжения. Результат всегда получался отрицательным. Если знать геометрию аппарата и чувствительность прибора, можно рассчитать наименьшее поле, которое еще доступно наблюдению. Из этого числа можно установить верхний предел отклонения показателя степени от двух. Если записать зависимость электростатической силы от расстояния в виде r-2+e, то можно определить верхнюю границу e. Этим способом Максвелл узнал, что e меньше 1/10000. Опыт был повторен и усовершенствован в 1936 г. Плимптоном и Лафтоном. Они обнаружили, что кулонов показатель отличается от 2 меньше чем на одну миллиардную.
Это подводит нас к интересному вопросу: как точно выполняется закон Кулона в различных обстоятельствах? В только что описанных опытах измерялась зависимость поля от расстояния на расстояниях порядка десятков сантиметров. А что можно сказать о внутриатомных расстояниях, скажем внутри атома водорода, где, как мы считаем, электрон притягивается к ядру по тому же закону обратных квадратов? Конечно, для описания механической части поведения электрона нужна квантовая механика, но сила здесь — по-прежнему привычная электростатическая сила. В постановке задачи об атоме водорода известна потенциальная энергия электрона как функция расстояния от ядра, и тогда закон Кулона приводит к потенциалу, обратно пропорциональному первой степени расстояния. С какой точностью этот показатель известен на таких малых расстояниях? В итоге очень тщательных измерений относительного расположения уровней энергии водорода, проведенных в 1947 г. Лэмбом и Ризерфордом, нам теперь известно, что и на расстояниях порядка атомных, т. е. порядка ангстрема (10-8см),показатель выдерживается с точностью до одной миллиардной.
Такая точность измерений Лэмба и Ризерфорда оказалась возможной опять благодаря одной физической «случайности». Среди состояний атома водорода есть два таких, у которых энергии должны быть почти одинаковыми лишь в том случае, если потенциал меняется точно по закону 1/r. Измерялась очень малая разница в энергиях по частоте w фотонов, испускаемых или поглощаемых при переходах из одного состояния в другое (согласно формуле DE=hw). Расчеты показали, что DЁ заметно отличалась бы от наблюдавшегося значения, если бы показатель степени в законе силы 1/г2 отличался бы от 2 только на одну миллиардную.
А верен ли этот закон и на еще меньших расстояниях? В ядерной физике измерения показали, что на типично ядерных расстояниях (порядка 10-13 см) существуют электростатические силы и что меняются они все еще как обратные квадраты расстояний. Одно из свидетельств в пользу этого мы разберем в следующих главах. Мы уверены, таким образом, что закон Кулона еще выполняется и на расстояниях около 10-13 см.
А что можно сказать о расстоянии 10-14 см! Этот интервал исследовали, бомбардируя протоны очень энергичными электронами и следя за тем, как они рассеиваются. Сегодняшние данные указывают на то, что на этих расстояниях закон терпит крах. Электрические силы на расстояниях меньше 10-14 см оказываются чуть ли не в 10 раз слабее. Этому есть два объяснения. То ли закон Кулона на таких маленьких расстояниях не действует, то ли эти тела (электроны и протоны) не являются точечными зарядами. Возможно, что один из них как-то размазан (а может, и оба). Большинство физиков предпочитают думать, что размазан заряд протона. Мы знаем, что протоны сильно взаимодействуют с мезонами. Это означает, что протон время от времени существует в виде нейтрона с p+ - мезоном вокруг. Такое расположение в среднем выглядело бы как небольшой шарик положительного заряда. А мы знаем, что нельзя считать поле шара зарядов меняющимся вплоть до самого центра по закону 1/r2. Вполне вероятно, что заряд протона размазан, но теория пионов еще очень несовершенна, и не исключено, что и закон Кулона на малых расстояниях отказывает. Вопрос пока остается открытым.
Еще один каверзный вопрос: если закон обратных квадратов верен и на расстояниях порядка 1м и на расстояниях порядка 10-10 м, то остается ли тем же коэффициент 1/4pe0? Да,— гласит ответ,— по крайней мере, с точностью до 15 миллионных.
Вернемся теперь к важному вопросу, от которого мы отмахнулись, когда говорили об опытном подтверждении закона Гаусса.
Вас могло удивить, как в опыте Максвелла и Плимптона— Лафтона удалось достичь такой точности. Ведь вряд ли сферический проводник мог быть идеальной сферой. Достичь точности в одну миллиардную — это прекрасно; но резонно спросить: как могли они столь точно изготовить сферу? Наверняка на сфере были небольшие неправильности, как на всякой реальной сфере, и не могли ли эти нерегулярности создать какое-то поле внутри? Мы хотим показать теперь, что в идеальной сфере вовсе нет необходимости. Оказывается можно доказать, что внутри замкнутой проводящей оболочки любой формы поля не бывает. Иными словами, опыты зависели от 1/r2, но никак не были связаны со сферической формой поверхности (разве что со сферой легче было бы рассчитать поле, если бы закон Кулона оказался ошибочным). Итак, мы снова возвращаемся к этому вопросу. Для решения его нам нужно знать кое-какие свойства проводников электричества.
§ 9. Поля проводника
Проводник электричества — это твердое тело, в котором есть много «свободных» электронов. Электроны могут двигаться в веществе свободно, но не могут покидать поверхности. В металле бывает так много свободных электронов, что всякое электрическое поле приводит многие из них в движение. И либо возникший таким образом ток электронов должен непрерывно поддерживать свое существование за счет внешних источников энергии, либо движение электронов прекращается, как только они разрядят источники, вызвавшие ноле вначале. В условиях «электростатики» мы не рассматриваем непрерывных источников тока (о них мы будем говорить в магнитостатике), так что электроны движутся только до тех пор, пока не расположатся так, что повсюду внутри проводника создастся нулевое электрическое поле. (Как правило, это происходит в малые доли секунды.) Если бы осталось внутри хоть какое-нибудь поле, оно бы вынудило двигаться еще какие-то электроны; возможно только такое электростатическое решение, когда поле всюду внутри равно нулю.
Теперь рассмотрим внутренность заряженного проводящего тела. (Мы имеем в виду внутреннюю часть самого металла.) Так как металл — проводник, то внутреннее поле должно быть нулем, а значит, и градиент потенциала j равен нулю. Это значит, что j от точки к точке не меняется. Любой проводник — это эквипотенциальная область, и его поверхность — эквипотенциальна. Раз в проводящем материале электрическое поле повсюду равно нулю, то и дивергенция Е тоже равна нулю, и по закону Гаусса плотность заряда во внутренней части проводника обращается в нуль.
Но если внутри проводника не может быть зарядов, как же он вообще может быть заряжен? Что мы имеем в виду, когда говорим, что проводник «заряжен»? Где эти заряды? Они находятся на поверхности проводника, где существуют большие силы, не дающие им покинуть ее, так что они не вполне «свободны». Когда мы будем изучать физику твердого тела, мы увидим, что избыточный заряд в любом проводнике находится только в узком слое у поверхности, толщиной в среднем в один-два атома. Для наших нынешних целей достаточно правильно будет говорить, что любой заряд, попавший на (или в) проводник, собирается на его поверхности; внутри проводника никаких зарядов нет.
Мы замечаем также, что электрическое поле возле самой поверхности проводника должно быть нормально к поверхности. Касательной составляющей у него быть не может. Если бы она появилась, электроны двигались бы вдоль поверхности; нет сил, которые способны помешать этому. Это можно выразить и иначе: мы знаем, что линии электрического поля должны всегда быть направлены поперек эквипотенциальной поверхности.
Применяя закон Гаусса, мы можем связать напряженность поля у самой поверхности проводника с локальной плотностью заряда на поверхности. За гауссову поверхность мы примем небольшой цилиндрический стакан, наполовину погруженный в проводник, а наполовину выдвинутый из него (фиг. 5.11). Вклад в общий поток Е дает только та часть стакана, которая находится вне проводника. Тогда поле у наружной поверхности проводника равно
Вне проводника:
(5.8)
Фиг. 5.11. Электрическое поле у самой внешней поверхности проводника пропорционально локальной поверхностной плотности заряда.
1 — гауссова поверхность; 2 — локальная плотность поверхностного заряда.s.
Почему слой зарядов на проводнике создает не такое поле, как слой зарядов сам по себе! Иначе говоря, почему (5.8) вдвое больше (5.3)? Но ведь мы не утверждали, будто в проводнике нет больше никаких «других» зарядов. В действительности для того, чтобы в проводнике Е было равно 0, в нем обязательно должны присутствовать какие-то заряды. В непосредственной близости от точки Р на поверхности заряды действительно создают поле Eлок=sлок/2e0 как внутри, так и снаружи поверхности. Но все прочие заряды проводника сообща «устраивают заговор», чтобы создать в точке Р добавочное поле, равное по величине Елок. Суммарное внутреннее поле обращается в нуль, а наружное удваивается: 2Eлок=s/e0.
§ 10. Поле внутри полости проводника
Вернемся теперь к проблеме пустотелого резервуара — проводника, имеющего внутри полость. В металле поля нет, а вот есть ли оно в полости? Покажем, что если полость пуста, то поля в ней быть не может, какова бы ни была форма проводника или полости (фиг. 5.12). Рассмотрим гауссову поверхность, подобную S на фиг. 5.12, которая окружает собой полость, но остается всюду в веществе проводника. Всюду на поверхности S поле равно нулю, так что потока сквозь S быть не может, и суммарный заряд внутри S должен быть равен нулю. Затем можно вывести из симметрии, что на внутренней поверхности сферической оболочки нет никакого заряда. Но в более общем случае мы только можем сказать, что на внутренней поверхности проводника имеется равное количество положительного и отрицательного зарядов. Может быть, окажется, что на одной части имеется положительный заряд, а где-то в другом месте — отрицательный (см. фиг. 5.12)? Такие вещи законом Гаусса не исключаются.
Фиг. 5.12. Чему равно поле в пустой полости проводника произвольной формы?
На самом деле, конечно, получается, что равные, но противоположные заряды на внутренней поверхности должны были бы соскользнуть навстречу друг другу и уничтожить друг друга. Мы можем убедиться в том, что они уничтожат друг друга, применив закон о равенстве нулю циркуляции Е (электростатику). Пусть на каких-то частях внутренней поверхности оказались заряды. Мы знаем, что еще где-то должно присутствовать равное количество противоположных зарядов. Но любые линии поля Е начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (мы рассматриваем случай, когда свободных зарядов в полости нет). Представим себе теперь контур Г, пересекающий полость вдоль линии силы от какого-то положительного заряда к какому-то отрицательному и возвращающийся к исходной точке по телу проводника (см. фиг. 5.12). Интеграл вдоль такой линии сил в пределах от положительного до отрицательного заряда не был бы равен нулю, а интеграл по пути через металл
равен нулю, так как там Е = 0. Так что мы бы имели
Но криволинейный интеграл от Е по любому замкнутому контуру в электростатическом поле всегда равен нулю. Значит, внутри пустой полости не может быть никаких полей, равно как не может быть никаких зарядов на внутренней поверхности.
Заметьте, что мы все время подчеркивали, что полость пуста. Если поместить какие-то заряды в фиксированных местах полости (скажем, на изоляторе или на небольшом проводнике, изолированном от основного), то внутри полости могут быть поля. Но тогда она уже не будет «пустой».
Мы показали, что если полость целиком окружена проводником, то никакое статическое распределение зарядов снаружи никогда не создаст поля внутри. Это объясняет принцип «защиты» электрического оборудования, которое помещается в металлическую коробку. К тем же рассуждениям можно прибегнуть, если нужно показать, что никакое статическое распределение зарядов внутри замкнутого сплошного проводника не может создать поля вне его. Защита действует в обе стороны! В электростатике (но не в изменяющихся полях) поля по обе стороны сплошной проводящей оболочки полностью не зависят одно от другого.
Теперь вы понимаете, почему удалось проверить закон Кулона с такой точностью. Форма полой оболочки не имела значения. Она вовсе не должна была быть круглой, она могла быть и кубом! Если закон Гаусса точен, то поле внутри всегда равно нулю. Вы понимаете теперь, почему вполне безопасно сидеть внутри высоковольтного генератора Ван-де-Граафа в миллион вольт, не боясь, что вас ударит ток, — Вас охраняет сам Гаусс!
Глава 6
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ
§1.Уравнения электростатического потенциала
§2.Электрический диполь
§3.3амечания о векторных уравнениях
§4.Дипольный потенциал как градиент
§5.Дипольное приближение для произвольного распределения
§6.Поля заряженных проводников
§7. Метод изображений
§8.Точечный заряд у проводящей плоскости
§9.Точечный заряд у проводящей сферы
§10.Конденеаторы; параллельные пластины
§11.Пробой при высоком напряжении
§12.Ионный микроскоп
Повторить: гл. 23 (вып. 2) «Резонанс»
§ 1. Уравнения электростатического потенциала
В этой главе мы расскажем о поведении электрического поля в тех или иных обстоятельствах. Вы познакомитесь с тем, как ведет себя электрическое поле, и с некоторыми математическими методами, используемыми для определения поля.
Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:
(6.1)
(6.2)
Фактически оба эти уравнения можно объединить в одно. Из второго уравнения сразу же следует, что поле может считаться градиентом некоего скаляра (см. гл. 3, § 7):
(6.3)
Электрическое поле каждого частного вида можно, если нужно, полностью описать с помощью потенциала поля j. Дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворять j, получится, если (6.3) подставить в (6.1):
(6.4)
Расходимость градиента j—это то же, что С2, действующее на j:
(6.5)
так что уравнение (6.4) мы запишем в виде
(6.6)
Оператор С2 называется лапласианом, а уравнение (6.6) — уравнением Пуассона. Весь предмет электростатики с математической точки зрения заключается просто в изучении решений одного-единственного уравнения (6.6). Как только из (6.6) вы найдете j, поле Е немедленно получается из (6.3).
Обратимся сперва к особому классу задач, в которых r задано как функция х, у, z. Такая задача почти тривиальна, потому что решать уравнение (6.6) в общем случае мы уже умеем. Мы ведь показали, что если r в каждой точке известно, то потенциал в точке (1) равен
(6.7)
где r(2) — плотность заряда, dV2 — элемент объема в точке (2), а r12 — расстояние между точками (1) и (2). Решение дифференциального уравнения (6.6) свелось к интегрированию по пространству. Решение (6.7) нужно отметить особо, потому что в физике часто встречаются ситуации, приводящие к уравнениям, которые выглядят так:
и (6.7) является прототипом решения любой такой задачи.
Проблема расчета электростатического поля, таким образом, решается совершенно честно, если только положения всех зарядов известны. Давайте посмотрим на нескольких примерах, как действует эта формула.
§ 2. Электрический диполь
Сначала возьмем два точечных заряда +q и -q, разделенных промежутком d. Проведем ось z через заряды, а начало координат поместим посредине между ними (фиг. 6.1). Тогда по формуле (4.24) потенциал системы двух зарядов дается выражением
Мы не собираемся выписывать формулу для электрического поля, но всегда при желании можем это сделать, раз мы знаем потенциал. Так что задача двух зарядов решена.
Существует важный частный случай этой задачи, когда заряды расположены близко друг к другу, иными словами, когда нас интересует поле на таких расстояниях от зарядов, что по сравнению с ними промежуток между зарядами кажется незначительным. Такую тесную пару зарядов называют диполем. Диполи встречаются очень часто.
Фиг. 6.1. Диполь: два заряда +q и -q, удаленные друг от друга на расстояние d.
«Дипольную» антенну можно часто приближенно рассматривать как два заряда, разделенные небольшим расстоянием (если нас не интересует поле у самой антенны). (Обычно интерес представляют антенны с движущимися зарядами; уравнения статики тогда неприменимы, но для некоторых целей они все же представляют весьма сносное приближение.)
Важнее, пожалуй, диполи атомные. Если в каком-то веществе есть электрическое поле, то электроны и протоны испытывают влияние противоположных сил и смещаются друг относительно друга. Вы помните, что в проводнике некоторые электроны сдвигаются к поверхности, так что внутреннее поле обращается в нуль. В изоляторе электроны не могут сильно разойтись; им мешает притяжение ядра. И все же они как-то смещаются. Так что хотя атом (или молекула) и остается нейтральным, во внешнем электрическом поле все же возникает еле заметное разделение положительных и отрицательных зарядов, и атом становится микроскопическим диполем. Если нам нужно знать поле этих атомных диполей поблизости от предмета обычных размеров, то мы имеем дело с расстояниями, большими по сравнению с промежутками между зарядами.
В некоторых молекулах из-за самой их формы заряды несколько разделены даже в отсутствие внешних полей. В молекуле воды, например, имеется отрицательный заряд на атоме кислорода и положительный заряд на обоих атомах водорода, которые расположены несимметрично (фиг. 6.2). Хоть заряд всей молекулы равен нулю, все же имеется распределение заряда с небольшим преобладанием отрицательного заряда на одной стороне и положительного на другой. Это расположение, конечно, не такое простое, как у двух точечных зарядов, но если смотреть на него издалека, оно действует как диполь. Как мы увидим чуть позже, поле на больших расстояниях нечувствительно к мелким деталям расположения.
Фиг. 6.2. Молекула воды Н2O.
Взглянем теперь на поле двух зарядов противоположных знаков, расстояние d между которыми мало. Если d станет нулем, два заряда сойдутся в одном месте, два потенциала сократятся, поле исчезнет. Но если они не совсем слились, то можно получить хорошее приближение к потенциалу, разложив слагаемые в (6.8) в ряд по степеням малой величины d (по формуле бинома Ньютона). Оставляя только первые степени d, мы напишем
Удобно обозначить
Тогда
и
Разлагая в биномиальный ряд [1 — (zd/r2)]-1/2 и отбрасывая члены с высшими степенями d, мы получаем
Подобно этому,
Вычитая эти два члена, имеем для потенциала
(6.9)
Потенциал, а значит, и поле, являющееся его производной, пропорциональны qd — произведению заряда на расстояния между зарядами.
Фиг. 6.3. Векторные обозначения, для диполя.
Это произведение называется диполъным моментом пары зарядов, и мы обозначим его символом р (не путайте с импульсом!):
(6.10)
Уравнение (6.9) можно также записать в виде
(6.11)
так как z/r=cosq, где q — угол между осью диполя и радиус-вектором к точке (х, у, z) (см. фиг. 6.1). Потенциал диполя убывает как 1/r2 при фиксированном направлении (а у точечного заряда он убывает как 1/r). Электрическое поле Е диполя поэтому убывает как 1/r3.
Мы можем записать нашу формулу и в векторном виде, если определим р., как вектор, абсолютная величина которого равна р, а направление выбрано вдоль оси диполя от q-к q+. Тогда
(6.12)
где еr— единичный радиальный вектор (фиг. 6.3). Кроме того, точку (x, y, z) можно обозначить буквой r. Итак, Дипольный потенциал:
(6.13)
Эта формула справедлива для диполя произвольной ориентации и положения, если r — вектор, направленный от диполя к интересующей нас точке.
Если нас интересует электрическое поле диполя, то нужно взять градиент j. Например, z-компонента поля есть -dj/dz. Для диполя, ориентированного вдоль оси z, мы можем использовать (6.9):
Фиг. 6.4. Электрическое поле диполя.
или
(6.14)
А х- и y-компоненты равны
Из этих двух компонент можно составить компоненту, перпендикулярную к оси z, которая называется поперечной компонентой E^:
или
(6.15)
Поперечная компонента Е^лежит в плоскости ху и направлена прямо от оси диполя. Полное поле, конечно, равно
Поле диполя меняется обратно пропорционально кубу расстояния от диполя. На оси при 6 =0 оно вдвое сильнее, чем при 9 =90°. При обоих этих углах электрическое поле обладает только z-компонентой. Знаки ее при 2=0 и при z=90° противоположны (фиг. 6.4).
§ 3. Замечания о векторных уравнениях
Здесь, пожалуй, уместно сделать общее замечание, касающееся векторного анализа. Хотя его теоремы и доказаны в общем виде, однако, приступая к расчетам и анализу какой-либо задачи, следует с толком выбирать направление осей координат. Вспомните, что когда мы вычисляли потенциал диполя, то ось выбиралась не как попало, а мы направили ее по оси диполя.
Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат. Теперь стало возможным выбирать какую угодно систему координат, зная, что формула отныне всегда будет справедлива. Вообще нет смысла вводить произвольную систему координат, где оси направлены под каким-то сложным углом, если можно в данной задаче выбрать систему получше, а уже в самом конце выразить результат в виде векторного уравнения. Так что старайтесь использовать то преимущество векторных уравнений, что они не зависят ни от какой системы координат.
С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то вместо того, чтобы смотреть на у·Е и вспоминать, что это такое, лучше расписать это в виде
Если вы затем вычислите по отдельности х-, у- и z-компоненты электрического поля и продифференцируете, то получите искомую дивергенцию. Часто при этом испытывают такое чувство, как будто произошло что-то некрасивое — словно, расписав вектор покомпонентно, потерпели неудачу; все время кажется, будто все действия надо проделывать только с векторными операторами С. Но часто от них нет никакого проку. Когда вы впервые сталкиваетесь с какой-то новой задачей, то, как правило, полезно расписать все в компонентах, чтобы удостовериться, что вы правильно представляете себе, что происходит. Нет ничего некрасивого в том, что в уравнения подставляются числа, и нет ничего неприличного в том, чтобы подставлять производные на место причудливых символов. Наоборот, в этом-то и проявляется ваша мудрость. Конечно, в специальном журнале статья будет выглядеть гораздо приятнее (да и понятнее), если все записано в векторном виде. Но там надо экономить еще и место.
§ 4. Диполъный потенциал как градиент
Мы хотели бы теперь отметить любопытное свойство формулы диполя (6.13). Потенциал можно записать также в виде
(6.16)
Действительно, вычислив градиент 1/r, вы получите
и (6.16) совпадет с (6.13).
Фиг. 6.5. Потенциал в точке Р от точечного заряда, поднятого на Dz над началом координат, равен потенциалу в точке Р' (на Dz ниже Р) того же заряда, но помещенного вначале координат.
Как мы догадались об этом? Мы просто вспомнили, что er/r2 уже появлялось в формуле для поля точечного заряда и что поле — это градиент потенциала, изменяющегося как 1/r.
Существует и физическая причина того, что дипольный потенциал может быть записан в форме (6.16). Пусть в начало координат помещен точечный заряд q. Потенциал в точке Р(х, у, z) равен
(Множитель 1/4pe0 опустим, а в конце мы его можем снова вставить.) Если заряд +q мы сдвинем на расстояние Dz, то потенциал в точке Р чуть изменится, скажем на Dj+. На сколько же именно? Как раз на столько, на сколько изменился бы потенциал, если б заряд оставили в покое, а Р сместили на столько же вниз (фиг. 6.5). Иначе говоря,
где Dz означает то же, что и d/2. Беря j0=q/r, мы получаем для потенциала положительного заряда
(6.17)
Повторяя те же рассуждения с потенциалом отрицательного заряда, можно написать
(6.18)
А общий потенциал—просто сумма (6.17) и (6.18):
(6.19)
При других расположениях диполя смещение положительного заряда можно изобразить вектором Dг+, а уравнение (6.17) представить в виде
где Dr впоследствии надо будет заменить на d/2. Завершая доказательство так, как это было сделано выше, мы приведем уравнение (6.19) к виду
Это то же уравнение, что и (6.16). Надо только заменить qd на р и вставить потерянный по дороге множитель 1/4pe0. Взглянув на это уравнение по-иному, видим, что дипольный потенциал (6.13) можно толковать как
(6.20)
где Ф0=1/4pe0r — потенциал единичного точечного заряда.
Хотя потенциал данного распределения зарядов всегда может быть найден при помощи интегрирования, иногда можно сберечь время, применив какой-нибудь хитроумный прием. Например, на помощь часто приходит принцип наложения. Если нам дано распределение зарядов, которое можно составить из двух распределений с уже известными потенциалами, то искомый потенциал легко получить, просто сложив уже известные между собой. Наш вывод формулы (6.20) — один из примеров применения этого приема.
А вот и другой. Пусть имеется сферическая поверхность, на которой поверхностный заряд распределен пропорционально косинусу полярного угла. Интегрировать такое распределение— задача, откровенно говоря, не из приятных. Но как ни странно, на помощь приходит принцип наложения. Представьте себе шар с однородной объемной плотностью положительных зарядов и другой шар с такой же однородной объемной плотностью зарядов, но противоположного знака. Первоначально они вложены друг в друга, образуя нейтральный, т. е. незаряженный шар. Если затем положительный шар чуть сместить по отношению к отрицательному, то нутро незаряженного шара так и останется незаряженным, но на одной стороне возникнет небольшой положительный заряд, а на противоположной — такой же отрицательный (фиг. 6.6). И если относительное смещение двух шаров мало, то эти заряды эквивалентны существованию поверхностного заряда (на сферической поверхности) с плотностью, пропорциональной косинусу полярного угла.
Когда же нам понадобится потенциал этого распределения, то брать интегралы не нужно. Мы знаем, что потенциал каждого заряженного шара —- в точках вне его— совпадает с потенциалом точечного заряда. А два смещенных шара — все равно, что два точечных заряда; значит, искомый потенциал и есть как раз потенциал диполя.
Фиг. 6,6. Две равномерно заряженные сферы, вложенные друг в друга и слегка смещенные, эквивалентны неоднородному распределению
поверхностного заряда.
Таким путем можно показать, что распределение зарядов на сфере радиуса а с поверхностной плотностью
создает снаружи сферы такое же поле, как и диполь с моментом
Можно также показать, что внутри сферы поле постоянно и равно
Если q — угол с положительной осью z, то электрическое поле внутри сферы направлено по отрицательной оси z. Рассмотренный нами пример отнюдь не досужая выдумка составителя задач; он нам встретится еще в теории диэлектриков.
§ 5. Дипольное приближение для произвольного распределения
Столь же интересно и не менее важно поле диполя, возникающее при других обстоятельствах. Пусть у нас есть тело со сложным распределением заряда, скажем, как у молекулы воды (см. фиг. 6.2), а нас интересует только поле вдали от него. Мы покажем, что можно получить сравнительно простое выражение для полей, пригодное для расстояний, много больших, чем размеры тела.
Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точечных зарядов qiв некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы qiзаменим на pdV.) Пускай заряд qiудален от начала координат, выбранного где-то внутри группы зарядов, на расстояние di . Чему равен потенциал в точке Р, расположенной где-то на отлете, на расстоянии R, много большем, чем самое большое из di,? Потенциал всего нашего скопления выражается формулой
(6.21)
где ri — расстояние от Р до заряда qi(длина вектора R-di). Если расстояние от зарядов до Р (до точки наблюдения) чрезвычайно велико, то каждое из ri можно принять за R. Каждый член в сумме станет равным qi/R, и 1IR можно будет вынести из-под знака суммы. Получится простой результат
(6.22)
где Q — суммарный заряд тела. Таким образом, мы убедились, что из точек, достаточно удаленных от скопления зарядов, оно кажется просто точечным зарядом. Этот результат в общем не очень удивителен.
Но что, если положительных и отрицательных зарядов в группе окажется поровну? Суммарный заряд Qтогда будет равен нулю. Это не такой уж редкий случай; мы знаем, что большинство тел нейтрально. Нейтральна молекула воды, но заряды в ней размещаются отнюдь не в одной точке, так что, приблизившись вплотную, мы должны будем заметить какие-то признаки того, что заряды разделены. Для потенциала произвольного распределения зарядов в нейтральном теле мы нуждаемся в приближении, лучшем, чем даваемое формулой (6.22). Уравнение (6.21) по-прежнему годится, но полагать ri=R больше нельзя. Для ri нужно выражение поточнее. В хорошем приближении ri можно считать отличающимся от R (если точка Р сильно удалена) на проекцию вектора d на вектор R (см. фиг. 6.7, но вы должны только представлять себе, что Р намного дальше, чем показано). Иными словами, если er — единичный вектор в направлении R, то за следующее приближение к riнужно принять
(6.23)
Но нам ведь нужно не ri, а 1/ri; оно в нашем приближении (с учетом di<<R) равно
(6.24)
Подставив это в (6.21), мы увидим, что потенциал равен
(6.25)
Многоточие указывает члены высшего порядка по d/R, которыми мы пренебрегли. Как и те члены, которые мы выписали, это последующие члены разложения 1/riв ряд Тэйлора в окрестности 1/R по степеням di/R,
Первый член в (6.25) мы уже получили; в нейтральных телах он пропадает. Второй член, как и у диполя, зависит от 1/R2. Действительно, если мы определим
(6.26)
как величину, описывающую распределения зарядов, то второй член потенциала (6.25) обратится в
(6.27)
т. е. как раз в дипольный потенциал. Величина р называется дипольным моментом распределения. Это обобщение нашего прежнего определения; оно сводится к нему в частном случае точечных зарядов.
В итоге мы выяснили, что достаточно далеко от любого набора зарядов потенциал оказывается дипольным, лишь бы этот набор был в целом нейтральным. Он убывает, как 1/R2, и меняется, как cos 0, а величина его зависит от дипольного момента распределения зарядов. Именно по этой причине поля диполей и важны; сами же по себе пары точечных зарядов встречаются крайне редко.
У молекулы воды, например, дипольный момент довольно велик. Электрическое поле, создаваемое этим моментом, ответственно за некоторые важные свойства воды. А у многих молекул, скажем у СO2, дипольный момент исчезает благодаря их симметрии. Для таких молекул разложение нужно проводить еще точнее, до следующих членов потенциала, убывающих как 1/R3 и называемых квадрупольным потенциалом. Эти случаи мы рассмотрим позже.
§ 6. Поля заряженных проводников
Мы покончим на этом с примерами таких физических задач, в которых распределение зарядов известно с самого начала. Такие задачи решаются без особых затруднений, в худшем случае требуя нескольких интегрирований. Теперь мы обратимся
к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников.
Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по величине Q, помещены на проводнике. Теперь уже мы не можем точно сказать, где они расположатся. Они как-то растекутся по поверхности. Как же узнать, как они на ней распределятся? Распределиться они должны так, чтобы потенциал вдоль всей поверхности был одним и тем же. Если бы поверхность не была эквипотенциальной, то внутри проводника существовало бы электрическое поле и заряды вынуждены были бы двигаться до тех пор, пока поле не исчезло бы. Общую задачу такого рода можно было бы решать так. Предположим, что распределение зарядов такое-то, и рассчитаем потенциал. Если он оказывается на поверхности повсюду одинаковым, то задача решена. Если же поверхность не эквипотенциальна, то значит, мы сделали неправильное предположение о распределении зарядов; сделаем новое предположение и постараемся, чтобы оно было удачнее! Так может продолжаться без конца, разве что вы здорово набьете руку на таких пробах.
Вопрос о том, как догадываться о распределениях, математически труден. Конечно, у природы есть время решать его; заряды притягиваются и отталкиваются до тех пор, пока не уравновесятся взаимно. А когда мы пробуем решить задачу, то каждая проба занимает так много времени, что этот метод оказывается очень громоздким. Когда имеется произвольный сложный набор проводников и зарядов, задача весьма усложняется, и в общем случае не может быть решена без специально разработанных численных методов. Такие численные расчеты в наши дни выполняются на счетных машинах, которые могут все посчитать за нас, если мы им объясним, как это сделать.
С другой стороны, имеется множество мелких практических случаев, в которых, к нашему удовольствию, удается добиться решения каким-то прямым методом, не составляя программы для машины. На наше счастье, во многих случаях с помощью того или иного фокуса можно выжать ответ из природы.
Первый такой фокус, который мы хотим вам показать, состоит в использовании уже известных решений задач с фиксированным расположением зарядов.
§ 7. Метод изображений
Мы определили поле двух точечных зарядов. На фиг. 6.8 показаны некоторые линии поля и эквипотенциальные поверхности, полученные из расчетов, приведенных в гл. 5. Рассмотрим теперь эквипотенциальную поверхность А. Предположим, что мы изогнули тонкий лист металла так, что он в точности
Фиг. 6.8. Линии поля и эквипотенциальные поверхности двух точечных зарядов.
накладывается на эту поверхность. Если его действительно наложить и установить на нем правильное значение потенциала, то никто не будет даже знать, что он там лежит, потому что ничего от его появления не изменилось.
А теперь взгляните внимательнее! На самом-то деле мы решили задачу уже с новым условием: поверхность изогнутого проводника с заданным потенциалом помещена близ точечного заряда. Если наш металлический лист, уложенный на эквипотенциальную поверхность, замыкается сам на себя (или тянется очень далеко), то получается картина, рассмотренная в Гл. 5, § 10, когда пространство делится на две области: одна внутри, другая снаружи замкнутой проводящей поверхности. Там мы пришли к выводу, что поля в этих двух областях совершенно не зависят друг от друга. Так что независимо от того, каково поле внутри замкнутого проводника, снаружи поле всегда одно и то же. Можно даже заполнить всю сердцевину проводника проводящим материалом. Выходит, нам удалось найти поле при конфигурации проводников и зарядов, изображенной на фиг. 6.9. В пространстве вне проводника поле как раз такое, как у двух точечных зарядов (см. фиг. 6.8). Внутри проводника оно нуль. И, кроме того, электрическое поле, как и следовало ожидать, у самой поверхности проводника нормально к ней.
Итак, мы можем рассчитать поля на фиг. 6.9, вычисляя поле, созданное зарядом q и воображаемым точечным зарядом —q, помещенным в подходящем месте. А точечный заряд, который мы представили себе существующим за проводящей поверхностью, так и называется зарядом-изображением.
В книгах можно найти длинные перечни решений задачи электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчитать поля близ поверхностей столь ужасной формы. Но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу
Фиг. 6.9. Поле вне проводника, изогнутого вдоль эквипотенциальной поверхности А на предыдущем рисунке.
с фиксированными зарядами. А затем обнаружил, что появляются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну и написал работу, в которой указал, что поля снаружи проводника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.
§ 8. Точечный заряд у проводящей плоскости
В качестве простейшего применения этого метода используем плоскую эквипотенциальную поверхность В (см. фиг. 6.8). Она поможет нам решить задачу о заряде вблизи проводящей плоскости. Для этого зачеркнем просто левую часть фигуры. Линии поля нашего решения показаны на фиг. 6.10. Заметьте, что плоскость обладает нулевым потенциалом, потому что она находится как раз на полпути между зарядами. Мы решили задачу о положительном заряде вблизи заземленной проводящей плоскости.
Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного заряда, ими являются какие-то отрицательные заряды, наведенные на проводящей плоскости и притянутые положительным зарядом (с каких-то далеких расстояний). Но теперь пусть вам захотелось узнать (то ли для технических целей, то ли просто из любопытства), как распределены эти отрицательные заряды по поверхности. Поверхностную плотность заряда вы сможете узнать, использовав результат, полученный в гл. 5, § 6 при помощи теоремы Гаусса. Нормальная составляющая электрического поля возле самого проводника равна плотности поверхностного заряда а, деленной на e0. Мы можем узнать плотность заряда в каждой точке поверхности, отправляясь назад от нормальной составляющей электрического поля на поверхности. А ее мы знаем, потому что вообще нам известно поле в любой точке.
Фиг. 6.10. Поле заряда, помещенного близ плоской проводящей поверхности, найденное методом изображений.
Рассмотрим точку поверхности на расстоянии r от той точки, которая расположена прямо против положительного заряда (см. фиг. 6.10). Электрическое поле в этой точке нормально к поверхности и направлено внутрь нее. Составляющая поля положительного точечного заряда, нормальная к поверхности, равна
(6.28)
К ней мы должны добавить электрическое поле, созданное отрицательным зеркальным зарядом. Это удвоит нормальную составляющую (и уничтожит все прочие), так что плотность заряда 0 в произвольной точке поверхности будет равна
(6.29)
Проинтегрировав а по всей поверхности, мы сможем проверить наши расчеты. Мы должны получить весь наведенный заряд, т. е. -q.
Еще один вопрос: действует ли на точечный заряд сила? Да, потому что наведенные на плоскости отрицательные заряды должны его притягивать. А раз мы знаем, каковы эти поверхностные заряды [по формуле (6.29)], то можем с помощью интегрирования подсчитать силу, действующую на наш положительный заряд. Но мы ведь знаем также, что сила, действующая на него, в точности такая, какой она была бы, если бы вместо плоскости был один только отрицательный зеркальный заряд, потому что поля поблизости от них в обоих случаях одинаковы. Точечный заряд тем самым испытывает силу притяжения к плоскости, равную
(6.30)
Мы определили эту силу очень легко, без интегрирования по отрицательным зарядам.
§ 9. Точечный заряд у проводящей сферы
А какие еще поверхности, кроме плоскости, имеют простое решение? Самая простая из них — сфера. Попробуем определить поля вокруг металлической сферы с точечным зарядом q вблизи нее (фиг. 6.11). Придется поискать простую физическую задачу, для которой сфера есть эквипотенциальная поверхность. Если мы просмотрим те задачи, которые уже решены, то увидим, что у поля двух неравных точечных зарядов одна из эквипотенциальных поверхностей как раз и есть сфера. Отметим себе это! Если мы как следует подберем положение заряда-изображения и нужную его величину, может быть, тогда мы и сможем подогнать эквипотенциальную поверхность к нашей сфере.
Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на заземленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у заряда-изображения, помещенного в указанной точке.
Это и впрямь может быть сделано, если действовать по следующему рецепту.
Положим, что вы хотите, чтобы эквипотенциальная поверхность была сферой радиуса а с центром, отстоящим от заряда q на расстояние b. Поместите изображение заряда величины q'=-q(a/b) на радиусе, проходящем через заряд на расстоянии a2/b от центра. Потенциал сферы пусть будет нуль.
Математически причина состоит в том, что сфера есть геометрическое место точек, отношение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Как следует из фиг. 6.11, потенциал в точке Р от зарядов q и q' пропорционален сумме
и будет равен нулю во всех точках, для которых
Если мы помещаем q' на расстоянии а2!b от центра, то отношение r2/r1 равно постоянной величине a/b. Тогда если
(6.31)
то сфера станет эквипотенциалью. Потенциал ее на самом деле будет равен нулю.
А что, если нам понадобится сфера с ненулевым потенциалом? Ведь он равен нулю только тогда, когда ее суммарный заряд случайно окажется равным q'!Конечно, если ее заземлить, то наведенные на ней заряды окажутся в точности такими, как надо. Ну, а если она заизолирована и мы не снабдили ее никаким зарядом? Или снабдили ее зарядом Q№q'? Или она находится под напряжением, не равным нулю? Такие вопросы разрешаются сходу. Всегда ведь можно добавить в центр сферы точечный заряд q". По принципу наложения сфера всегда останется эквипотенциальной, а изменится только величина потенциала. Если у нас, скажем, есть проводящая сфера, предварительно разряженная и изолированная от всего, и мы поднесли к ней положительный заряд q, то суммарный заряд сферы останется равным нулю. Решение можно найти, взяв тот же, что и прежде, заряд-изображение q' и вдобавок к нему заряд в центре сферы, такой, что
(6.32)
Поля повсюду вне сферы будут получаться наложением полей от q, q'и q". Задача решена.
Теперь ясно, что между сферой и точечным зарядом qдолжна существовать сила притяжения. Она не пропадает, даже если сфера нейтральна, на ней нет никакого заряда. Откуда же берется притяжение? Когда вы подносите к проводящей сфере положительный заряд, то он притягивает отрицательные заряды на ближний конец сферы, положительные же оставляет на дальнем. А притяжение отрицательными зарядами перевешивает отталкивание положительными; в итоге остается притяжение. Силу его можно прикинуть, подсчитав силу, действующую на qв поле, созданном q'и q". Суммарная сила равна силе притяжения между зарядами qи q' = -(a/b)q на расстоянии b-(а2/b) плюс сила отталкивания q и заряда q" = +(a/b)q на расстоянии b.
Если вы в детстве любили разглядывать журнал, на обложке которого был показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого показан мальчик, разглядывающий журнал, на обложке которого..., то вас заинтересует и следующая задача. Две одинаковые сферы, одна с зарядом +Q, а другая с зарядом -Q, расположены на некотором расстоянии друг от друга. Какова сила притяжения между ними? Задача решается при помощи бесконечного количества изображений. Первое приближает каждую сферу зарядом в ее центре. Эти заряды создают свои изображения на другой сфере. У изображений в свою очередь есть свои изображения и т. д., и т. д., и т. д. Решение здесь — все равно что картинка на обложке. Сходится оно очень быстро.
§ 10. Конденсаторы; параллельные пластины
Теперь обратимся к другому роду задач, связанных с проводниками. Рассмотрим две широкие металлические пластины, параллельные между собой и разделенные узким (по сравнению с их размерами) промежутком. Предположим, что пластины наэлектризованы равными, но противоположными зарядами.
Фиг. 6.12. Плоский конденсатор.
Заряды одной пластины будут притягивать к себе заряды другой и потом равномерно распределятся на внутренней поверхности пластин. Пусть поверхностная плотность зарядов на пластинах будет +s и -sсоответственно (фиг. 6.12). Из гл. 5 мы знаем, что поле между пластинами равно s/e0, а поле снаружи пластин равно нулю. Пластины обладают неравными потенциалами j1 и j2. Их разности V удобно дать особое имя, ее часто называют «напряжением»
[некоторые обозначают буквой V потенциал, мы же его обозначили буквой j].
Разность потенциалов V — это работа (на единицу заряда), требуемая для переноса небольшого заряда с одной пластины на другую, так что
(6.33)
где ±Q — суммарный заряд каждой пластины, А — ее площадь, d — щель между пластинами.
Мы видим, что напряжение пропорционально заряду. Эта пропорциональность между V и Qсоблюдается для любых двух проводников в пространстве, если на одном из них имеется плюс-заряд, а на другом равный ему минус-заряд. Разность потенциалов между ними, т. е. напряжение, оказывается пропорциональной заряду. (Мы предполагаем, что вокруг нет никаких других зарядов.)
Почему возникает эта пропорциональность? Просто из-за принципа наложения. Пусть нам известно решение для одной совокупности зарядов, а потом мы наложим на него другое такое же решение. Заряды удвоятся, поля удвоятся, работа переноса заряда от точки к точке тоже удвоится. По этой причине разность потенциалов двух точек пропорциональна заряду. В частности, разность потенциалов двух проводников пропорциональна их зарядам. Эту пропорциональность когда-то решили записывать иначе. И стали писать
Q=CV,
где С — постоянное число. Этот коэффициент пропорциональности назвали емкостью, а систему двух проводников — конденсатором. Для нашего конденсатора из параллельных пластин
(параллельные обкладки). (6.34)
Эта формула неточна, потому что поле в противоречии с нашим предположением на самом деле не всюду однородно. Поле не кончается сразу на ребрах пластин, а похоже скорее на то, что изображено на фиг. 6.13. Суммарный заряд тоже равен не sА, как мы предположили; существует маленькая поправка на краевой эффект. Чтобы знать, какова она, надо точнее рассчитать поле и посмотреть, что происходит на краях. Это очень сложная математическая задача, однако ее можно решить при помощи техники, о которой мы, впрочем, говорить здесь не будем. Расчеты показывают, что плотность зарядов возле края пластин слегка возрастает. Это значит, что емкость пластин чуть выше, чем мы думали. [Хорошее приближение для емкости можно получить, если в уравнении (6.34) принять за А площадь, которую имели бы пластины, если б их расширили на 3/8 расстояния между ними.]
Мы говорили пока только о емкости двух проводников. Иногда люди говорят о емкости предмета самого по себе. Так, говорят, что емкость сферы радиусом а есть 4pe0а. При этом подразумевается, что вторым полюсом является сфера бесконечного радиуса, т. е. что если на сфере помещен заряд
+ Q, то противоположным зарядом -Q обладает бесконечно большая сфера. Можно говорить также о емкостях и тогда, когда проводников три или больше трех, но обсуждение этого вопроса мы отложим до лучших времен.
Пусть нам необходимо иметь конденсатор очень большой емкости. Большую емкость можно получить, взяв очень большую
площадь и очень малый промежуток. Можно проложить алюминиевые ленты провощенной бумагой и смотать их в трубку. (Поместив ее в пластмассовую упаковку, мы получим типичный радиоконденсатор.)
Фиг. 6.13. Электрическое поле у краев двух параллельных пластин.
Зачем они нужны? Они пригодны для того, чтобы накапливать заряд. Если бы мы захотели, например, собрать заряд на каком-то шаре, то его потенциал быстро подскочил бы, а вскоре так поднялся бы, что заряды стали бы стекать в воздух, и от шара посыпались бы искры. Но если тот же заряд поместить внутрь конденсатора большой емкости, то напряжение близ конденсатора будет очень малым.
Во многих электронных схемах полезно иметь устройство, способное поглощать или выделять большие количества зарядов, заметно не изменяя потенциал. Вот конденсатор (или «емкость»)— как раз такое устройство. Он имеет множество применений и в электронных приборах и в счетных машинах. Там он используется для получения определенного изменения в напряжении в ответ на то или иное изменение заряда. С подобным применением мы уже познакомились в вып. 2, гл. 23, когда описывали свойства резонансных контуров.
Из определения С мы получаем, что единица емкости есть кулон/вольт. Эту единицу называют также фарадой (ф). А вглядевшись в уравнение (6.34), мы видим, что e0 можно выразить в фарадах/метр (ф/м); эта единица обычно и применяется.
Типичные емкости конденсаторов лежат в интервале от 1 микромикрофарады (мкмкф) [или, что тоже самое, 1 пикофарады (1 пф)] до миллифарад. Небольшие конденсаторы на несколько пикофарад используются в высокочастотных контурах настройки, а емкости порядка сотен или тысяч микрофарад мы находим в силовых фильтрах. Пара обкладок с площадью 1 см2 с промежутком 1 мм имеет емкость примерно 1 пф.
§ 11. Пробой при высоком напряжении
Сейчас мы качественным образом рассмотрим некоторые характеристики полей вокруг проводников. Зарядим электричеством проводник, но на сей раз не сферический, а такой, у которого есть острие или ребро (например, в форме, изображенной на фиг. 6.14). Тогда поле в этом месте окажется намного сильнее, чем в других местах. Причина в общих чертах состоит в том, что заряды стремятся как можно шире растечься по поверхности проводника, а кончик острия всегда отстоит дальше всего от остальной поверхности. Поэтому часть зарядов на пластине течет к острию. Относительно малое количество заряда на нем может создать большую поверхностную плотность, а высокая плотность
означает сильное поле близ проводника в этом месте.
Фиг. 6.14. Электрическое поле у острого края проводника очень велико.
Вообще в тех местах проводника, в которых радиус кривизны меньше, поле оказывается сильнее. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим комбинацию из большой и маленькой сфер, соединенных проводом, как показано на фиг. 6.15. Сам провод не будет сильно влиять на внешние поля; его дело — уравнять потенциалы сфер. Возле какого шара поле окажется более напряженным? Если радиус левого шара а, а заряд Q, то его потенциал примерно равен
(Конечно, наличие одного шара скажется на распределении зарядов на другом, так что на самом деле ни на одном из них заряды не будут распределены симметрично. Но если нас интересует лишь примерная величина поля, то можно пользоваться формулой для потенциала сферического заряда.) Если меньший шар радиусом bобладает зарядом q, то его потенциал примерно равен
Но j1=j2, так что
С другой стороны, поле у поверхности [см. уравнение (5.8)] пропорционально поверхностной плотности заряда, которая в свою очередь пропорциональна суммарному заряду, деленному на квадрат радиуса. Получается, что
(6.35)
Фиг. 6.15. Поле остроконечного предмета можно приближенно считать полем двух сфер одинакового потенциала.
Значит, у поверхности меньшей сферы поле больше. Поля обратно пропорциональны радиусам.
Этот результат с технической точки зрения очень важен, потому что в воздухе возникает пробой, если поле чересчур велико. Какой-нибудь свободный заряд в воздухе (электрон или ион) ускоряется этим полем, и если оно очень сильное, то заряд может набрать до столкновения с атомом такую скорость, что вышибет из атома новый электрон. В итоге появляется все больше и больше ионов. Их движение и составляет искру, или разряд. Если вам требуется зарядить тело до высокого потенциала так, чтобы оно не разрядилось в воздух, вы должны быть уверены, что поверхность тела гладкая, что на нем нет мест, где поле чересчур велико.
§ 12. Ионный микроскоп
Сверхвысокое электрическое поле, окружающее всякий острый выступ заряженного проводника, получило интересное применение в одном приборе. Работа ионного микроскопа обусловлена мощными полями, возникающими вокруг металлического острия. Устроен этот прибор так. Очень тонкая игла, диаметр кончика которой не более 1000 Е, помещена в центре стеклянной сферы, из которой выкачан воздух (фиг. 6.16). Внутренняя поверхность сферы покрыта тонким проводящим слоем флуоресцирующего вещества, и между иглой и флуоресцирующим покрытием создана очень высокая разность потенциалов.
Посмотрим сперва, что будет, если игла по отношению к флуоресцирующему экрану заряжена отрицательно. Линии поля у кончика иглы сконцентрированы очень сильно. Электрическое поле может достигать 40·106 в на 1 см. В таких сильных полях электроны отрываются от поверхности иглы и ускоряются на участке от иглы до экрана за счет разности потенциалов. Достигнув экрана, они вызывают в этом месте свечение (в точности, как на экране телевизионной трубки).
Фиг. 6.16. Ионный микроскоп.
Электроны, пришедшие в данную точку флуоресцирующей поверхности,— это, в очень хорошем приближении, те самые электроны, которые покинули другой конец радиальной линии поля, потому что электроны движутся вдоль линий поля, соединяющих кончик иглы с поверхностью сферы. Так что на поверхности мы видим своего рода изображение кончика иглы. А точнее, мы видим картину испускателъной способности поверхности иглы, т. е. легкости, с которой электроны могут оставить поверхность металлического острия. Если сила разрешения достаточно высока, то можно рассчитывать разрешить положения отдельных атомов на кончике иглы. Но с электронами такого разрешения достичь нельзя по следующим причинам. Во-первых, возникает квантовомеханическая дифракция электронных волн, и изображение затуманится. Во-вторых, в результате внутреннего движения в металле электроны имеют небольшую поперечную начальную скорость в момент вырывания из иглы и эта случайная поперечная составляющая скорости приведет к размазыванию изображения. В общей сложности эти эффекты ограничивают разрешимость деталей величиной порядка 25А.
Если, однако, мы переменим знак напряжения и впустим в колбу немного гелия, то детали разрешены будут лучше. Когда атом гелия сталкивается с кончиком острия, мощное поле срывает с атома электрон, и атом заряжается положительно.
Фие. 6.17. Изображение, полученное ионным микроскопом.
Затем ион гелия ускоряется вдоль силовой линии, пока не попадет в экран. Поскольку ион гелия несравненно тяжелее электрона, то и квантовомеханические длины волн у него намного меньше. А если к тому же температура не очень высока, то и влияние тепловых скоростей также значительно слабее, чем у электрона. Изображение размазывается меньше и получается куда более резкое изображение кончика иглы. С микроскопом, работающим на принципе ионной эмиссии, удалось добиться увеличения вплоть до 2 000 000 раз, т. е. в десять раз лучше, чем на лучших электронных микроскопах.
На фиг. 6.17 показано, что удалось получить на таком микроскопе, применив вольфрамовую иглу. Центры атомов вольфрама ионизуют атомы гелия чуть иначе, чем промежутки между атомами вольфрама. Расположение пятен на флуоресцирующем экране демонстрирует расстановку отдельных атомов на вольфрамовом острие. Почему пятна имеют вид колец, можно понять, если представить себе большой ящик, набитый шарами, уложенными в прямоугольную сетку и образующими таким образом кубическую решетку. Эти шары — как бы атомы в металле. Если вы из этого ящика вырежете примерно сферическую часть, то увидите картину колец, характерную для атомной структуры. Ионный микроскоп впервые снабдил человечество средством видеть атомы. Замечательное достижение, да еще полученное с таким простым прибором.
*См. статью Мюллера [Е. W. Mueller, The field-ion microscope, Advances in Electronics and Electron Physics, 13, 83 (I960)].
Глава 7
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ (продолжение)
§1.Методы определения электростатического поля
§2.Двумерные поля; функции комплексного переменного
§З.Колебания плазмы
§4.Коллоидные частицы в электролите
§5.Электростатическое поле сетки
§ 1. Методы определения электростатического поля
В этой главе мы продолжим рассмотрение характеристик электрических полей в различных условиях. Сперва мы опишем один из наиболее разработанных методов расчета полей в присутствии проводников. Мы не рассчитываем, конечно, что эти усовершенствованные методы будут вами тотчас усвоены. Но вам должно быть интересно получить какое-то представление о характере задач, которые удается решать при помощи техники, излагаемой в специальных, более глубоких курсах. Затем мы приведем два примера, в которых нет ни заранее фиксированных распределений зарядов, ни растекания зарядов по проводнику, а вместо этого распределение определяют другие физические законы.
Как мы выяснили в гл. 6, задача об электростатическом поле решается очень просто, когда распределение зарядов оговорено заранее; остается только взять интеграл. Когда же имеются проводники, то возникают усложнения, потому что распределение зарядов на проводниках с самого начала неизвестно; заряды вынуждены сами распределять себя по поверхности проводника так, чтобы весь проводник приобрел одинаковый потенциал. Эти задачи так просто не решаются.
Мы рассмотрели обходный путь решения таких задач, при котором сначала отыскивают эквипотенциальные поверхности некоторого заданного распределения зарядов и потом одну из них заменяют проводящей поверхностью. Таким манером можно составить каталог частных решений для проводников любой формы, плоской, сферической и т. п. Использование изображений, описанное в гл. 6, является примером косвенного способа решения. Другой такой способ мы опишем в этой главе.
Если наша задача не относится к тем, для которых годен обходный путь, приходится решать ее в лоб. Математической основой такого способа решения задач является решение уравнения Лапласа
(7.1)
при условии, что потенциал j на некоторой границе (поверхностях проводников) равен условленной константе. Задачи, связанные с решением дифференциального уравнения поля, удовлетворяющего некоторым граничным условиям, называются задачами о граничных значениях. Они явились предметом интенсивного математического изучения. Для сложных проводников общих аналитических методов решения нет. Даже такая простая задача, как поле заряженного металлического цилиндра с запаянными торцами — консервной банки, представляет огромные математические трудности. Ее можно решить лишь приближенно, численным методом. Единственный общий метод решения — численный.
Имеется несколько задач, в которых уравнение (7.1) все же решается. К примеру, задача о заряженном проводнике, имеющем форму эллипсоида вращения, может быть решена с помощью некоторых специальных функций. Решение для тонкого диска тогда можно получить, бесконечно сплющив эллипсоид. А бесконечно вытянув тот же эллипсоид, получим поле заряженной иглы. Но надо подчеркнуть, что единственный прямой способ, применимый всюду и всегда, это путь численных расчетов.
Задачу о граничных значениях можно также решать на ее физическом аналоге. Уравнение Лапласа возникает во многих физических ситуациях: при изучении установившегося потока тепла, безвихревого течения жидкости, отклонений упругой мембраны. Часто можно соорудить физическую модель, являющуюся аналогом решаемой нами электрической задачи. Измерив в модели величину, аналогичную интересующей нас, можно узнать решение задачи. Примером аналоговой техники является применение электролитической ванны для решения двумерных задач электростатики. Решение удается потому, что дифференциальное уравнение для потенциала в однородной проводящей среде такое же, как и в вакууме.
Имеется много физических задач, в которых физические поля в каком-то одном направлении не изменяются или этим изменением можно пренебречь по сравнению с изменениями в двух других направлениях. Такие задачи называют двумерными; поле зависит только от двух координат. Скажем, если вдоль оси z протянуть длинную заряженную проволоку, то в точках неподалеку от нее электрическое поле зависит от xи y, а не от z; задача двумерная. Так как в двумерных задачах dj/dz=0, то уравнение для j в свободном пространстве имеет вид
(7.2)
Поскольку двумерное уравнение сравнительно простое, то существует широкий класс условий, в которых оно решается аналитически. Действительно, существует могучая математическая техника, связанная с теоремами теории функций комплексного переменного. К изложению ее мы сейчас и перейдем.
§ 2. Двумерные поля; функции комплексного переменного
Комплексная величина з определяется так:
(Не перепутайте з с координатой z; координата z не встретится в дальнейшем, потому что зависимости полей от z не будет.) Тогда каждой точке на плоскости (х, у) отвечает комплексное число з. Мы можем считать з особой (комплексной) переменной величиной и с ее помощью записывать обычные математические функции F(з). Например,
Если дана некоторая определенная функция F(з), то можно подставить з=x+iy; получится функция от х и у с действительной и мнимой частями. Например,
(7.3)
Любую функцию F(з) можно записать в виде суммы чисто действительной и чисто мнимой частей, и каждая из частей будет функцией от х и у:
(7.4)
где U(x, у) и V(x, у) — действительные функции. Значит, из любой комплексной функции F(з) можно произвести две новые функции U (х, у) и V(x,y). К примеру, .F(з) = з2 дает две функции:
(7.5)
и
(7.6)
Мы подошли сейчас к удивительной математической теореме, столь прекрасной, что доказательство ее придется отложить до соответствующего математического курса. (Если мы начнем заранее приоткрывать все тайны математики, она покажется вам потом скучной.) Теорема эта состоит вот в чем. Для любой «нормальной» функции (что это такое, математики вам объяснят лучше) функции U и V автоматически удовлетворяют соотношениям
(7.7)
и
(7.8)
Отсюда немедленно следует, что каждая из функций U и V удовлетворяет уравнению Лапласа:
(7.9)
(7.10)
Сразу видно, что для функций (7.5) и (7.6) эти уравнения выполняются.
Значит, всегда, отправившись от какой угодно обычной функции, можно прийти к двум функциям U (х, у) и V (х, у), которые обе есть решения двумерного уравнения Лапласа. Каждая функция представляет некоторый электростатический потенциал. Любая выбранная нами функция F(з) обязана снабдить нас решением какой-то задачи из электростатики, вернее даже двух задач, потому что решением является как U, так и V. Так можно выписать сколько угодно решений: просто напридумывать множество функций и останется только найти задачи с такими решениями. Такой подход к задачам вполне допустим, хоть он и производится задом наперед.
Для примера посмотрим, к какой физической задаче приведет нас функция Р(з)=з2. Из нее мы получаем две потенциальные функции (7.5) и (7.6). Чтобы увидеть, какую задачу решает функция U, мы найдем эквипотенциальные поверхности, полагая V равным постоянному числу А:
х2-у2 = А.
Это уравнение прямоугольной гиперболы. Перебирая разные значения А, мы получаем семейство гипербол, начерченное на фиг. 7.1. Когда A=0, то гиперболы вырождаются в пару диагоналей, проходящих через начало.
Такое семейство эквипотенциальных поверхностей встречается в нескольких физических задачах. В одной из них оно изображает детали структуры поля возле точки между двумя одинаковыми точечными зарядами.
Фиг. 7.1. Два семейства ортогональных кривых, которые могут представлять собой эквипотенциальные линии двумерного электростатического поля.
В другой оно изображает поле внутри прямого угла, образованного двумя проводящими плоскостями. Если есть два электрода, изогнутых так, как показано на фиг. 7.2, и имеющих разные потенциалы, то поле внутри угла С будет выглядеть в точности так же, как поле около начала координат на фиг. 7.1.
Фиг. 7.2. Поле возле точки С такое же, как на фиг. 7.1.
Фиг. 7.3. Поле квадрупольной линзы.
Сплошные линии — это эквипотенциальные поверхности, а пересекающие их штриховые — это линии поля Е. Вблизи острия или выступа электрическое поле повышается, а возле впадины или отверстия оно слабеет.
Найденное нами решение отвечает также гиперболическому электроду, помещенному около прямого угла, или двум гиперболам при соответствующих потенциалах. Заметьте, что поле фиг. 7.1 имеет интересное свойство. Составляющая х электрического поля Е дается выражением
т. е. электрическое поле пропорционально расстоянию от оси координат. Этот факт был использован, чтобы создать устройство (называемое квадрупольной линзой), необходимое для фокусирования пучков частиц (см. вып. 6, гл. 29, § 9). Фокусирующее поле обычно получают с помощью четырех гиперболических электродов, изображенных на фиг. 7.3. Проводя здесь линии электрического поля, мы просто перечертили с фиг. 7.1 семейство штриховых кривых V=const. Эти линии достались нам совершенно бесплатно! Кривые V=const перпендикулярны к кривым U=const, как это следует из уравнений (7.7) и (7.8). Как только мы выбираем функцию F(з), то получаем из U и V сразу же эквипотенциальные линии и линии поля. Мы давно знаем, что можно решить на выбор любую из двух задач, смотря по тому, какое семейство кривых мы примем за эквипотенциальное.
Другим примером послужит функция
(7.11)
Если мы напишем
где
и
то
откуда следует
Кривые U (х, у) =А и V (х, у) = В, где U и V взяты из уравнения (7.12), проведены на фиг. 7.4. И здесь тоже можно назвать немало случаев, описываемых этими полями. Один из самых интересных — это поле у края тонкой пластинки. Если линия В=0 направо от оси у изображает тонкую заряженную пластину, то линии поля близ нее даются кривыми с различными А.
Фиг. 7.4. Кривые постоянных U(x, у) и V(x, у) ив уравнения (7.12).
Фиг. 7.5. Электрическое поле возле края тонкой заземленной пластины.
Физическая картина показана на фиг. 7.5. Дальнейшие примеры — это функция
(7.13)
дающая нам поле снаружи прямого угла, функция
(7.14)
дающая поле заряженной нити, и функция
(7.15)
изображающая поле двумерного аналога электрического диполя, т. е. двух параллельных прямых, заряженных противоположным знаком и помещенных вплотную друг к другу.
Больше этим вопросом в нашем курсе мы заниматься не будем; мы должны только подчеркнуть, что, хотя техника комплексных переменных часто оказывается очень мощной, она ограничена все же только двумерными задачами; к тому же это все-таки косвенный метод.
§ 3. Колебания плазмы
Займемся теперь такими физическими задачами, в которых поле создается не закрепленными зарядами и не зарядами на проводящих поверхностях, а сочетанием обоих факторов. Иными словами, полем управляют одновременно две системы уравнений: 1) уравнения электростатики, связывающие электрическое поле с распределением зарядов; 2) уравнения из другой области физики, определяющие положение или движения зарядов в поле.
Сперва мы разберем один динамический пример. В нем движение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей наблюдается в плазме, в ионизованном газе, состоящем из ионов и свободных электронов распределенных в какой-то области пространства. Ионосфера (верхний слой атмосферы) служит примером такой плазмы. Ультрафиолетовые лучи Солнца отрывают от молекул воздуха электроны и создают свободные электроны и ионы. В плазме положительные ионы намного тяжелее электронов, так что можно пренебречь движением в ней ионов но сравнению с движением электронов.
Пусть n0будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии. Такой же должна быть и плотность положительных ионов, потому что в невозмущенном состоянии плазма нейтральна. Теперь допустим, что электроны каким-то образом выведены из равновесия. Что тогда получится? Если плотность электронов в какой-то области возросла, они начнут отталкиваться и стремиться вернуться в прежнее положение равновесия. Двигаясь к своим первоначальным положениям, они наберут кинетическую энергию и вместо того, чтобы замереть в равновесной конфигурации, проскочат мимо. Начнутся колебания. Нечто похожее наблюдается в звуковых волнах, но там возвращающей силой было давление газа. В плазме возвращающая сила — это действующее на электроны электрическое притяжение.
Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным движением электронов — скажем, в направлении x;. Предположим, что электроны, первоначально находившиеся в точке х, к моменту t сместились из положения равновесия на расстояние s (x, t). Раз они сместились, то плотность их, вообще говоря, изменилась. Это изменение подсчитать легко. Если посмотреть на фиг. 7.6, то видно, что электроны, вначале находившиеся между плоскостями а и b, сдвинулись и теперь находятся между плоскостями а' и b'. Количество электронов между а и bпрежде было пропорционально n0Dх; теперь то же их количество находится в промежутке шириной Dx+Ds.
Фиг. 7.6. Движение волны в плазме.
Электроны от плоскости а сдвигаются к а', а от b —к b'.
Плотность
теперь стала
(7.16)
Если изменение плотности мало, то можно написать [заменяя с помощью биномиального разложения (1+e)-1 на (1-e)]
(7.17)
Что касается ионов, то предположим, что они не сдвинулись заметно с места (инерция-то у них куда больше), так что плотность их осталась прежней, n0.Заряд каждого электрона -qe, и средняя плотность заряда в любой точке равна
или
(7.18)
(здесь Ds/Dx записано через дифференциалы).
Далее, уравнения Максвелла связывают с плотностью зарядов электрическое поле. В частности,
(7.19)
Если задача действительно одномерна (и никаких полей, кроме вызываемых смещением электронов, нет), то у электрического поля Е есть одна-единственная составляющая Ех. Уравнение (7.19) вместе с (7.18) приведет к
(7.20)
Интегрируя (7.20), получаем
(7.21)
Постоянная интегрирования К равна нулю, потому что Ех=0 при s=0.
Сила, действующая на смещенный электрон, равна
(7.22)
т. е. возвращающая сила пропорциональна смещению s электрона. Это приведет к гармоническим колебаниям электронов. Уравнение движения смещенного электрона имеет вид
(7.23)
Отсюда следует, что s меняется по гармоническому закону. Во времени s меняется как cos wt или, если использовать экспоненту (см. вып. 3), как
(7.24)
Частота колебаний wропределяется из (7.23):
(7.25)
Это число, характеризующее плазму, называют собственной частотой колебаний плазмы, или плазменной частотой.
Оперируя с электронами, многие предпочитают получать ответы в единицах e2, определяемых как
(7.26)
При этом условии (7.25) превращается в
(7.27)
В таком виде эту формулу можно встретить во многих книгах.
Итак, мы обнаружили, что возмущения плазмы приводят к свободным колебаниям электронов вблизи положения равновесия с собственной частотой wр, пропорциональной корню квадратному из плотности электронов. Плазменные электроны ведут себя как резонансная система, подобная описанным в вып. 2, гл. 23.
Этот собственный резонанс плазмы приводит к интересным эффектам. Например, при прохождении радиоволн сквозь ионосферу обнаруживается, что они могут пройти только в том случае, если их частота выше плазменной частоты. А иначе они отражаются обратно. Для связи с искусственным спутником мы используем высокие частоты. Если же мы хотим связаться с радиостанцией, расположенной где-то за горизонтом, то необходимы частоты меньшие, чем плазменная частота, иначе сигнал не отразится обратно к Земле.
Другой интересный пример колебаний плазмы наблюдается в металлах. В них содержится плазма из положительных ионов и свободных электронов. Плотность n0там очень высока, значит, велика и wр. Но колебания электронов все же можно обнаружить. Ведь, согласно квантовой механике, гармонический осциллятор с собственной частотой wробладает уровнями энергии, отличающимися друг от друга на величину hwр. Значит, если, скажем, обстреливать электронами алюминиевую фольгу и очень точно измерять их энергию по ту сторону фольги, то можно ожидать, что временами электроны будут из-за колебаний плазмы терять как раз энергию hwp. Так это и происходит. Впервые это явление наблюдалось экспериментально в 1936 г. Электроны с энергиями от нескольких сот до нескольких тысяч электронвольт, рассеиваясь от тонкой металлической фольги или проходя сквозь нее, теряли энергию порциями. Эффект оставался непонятым до 1953 г., пока Бом и Пайнс не показали, что все это можно объяснить квантовым возбуждением плазмы в металле.
§ 4. Коллоидные частицы в электролите
Обратимся к другому явлению, когда местоположение зарядов определяется потенциалом, создаваемым в какой-то степени самими зарядами. Такой эффект существен для поведения коллоидов. Коллоид — это взвесь маленьких заряженных частичек в воде. Хотя эти частички и микроскопические, но по сравнению с атомом они все же очень велики. Если бы коллоидные частицы не были заряжены, они бы стремились коагулировать (слиться) в большие комки; но, будучи заряженными, они отталкиваются друг от друга и остаются во взвешенном состоянии. Если в воде растворена еще соль, то она диссоциирует (расползается) на положительные и отрицательные ионы. (Такой раствор ионов называется электролитом.) Отрицательные ионы притягиваются к коллоидным частицам (будем считать, что их заряды положительны), а положительные — отталкиваются. Нам нужно узнать, как ионы, окружающие каждую частицу коллоида, распределены в пространстве.
Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень большого (по сравнению с атомом!) шара; тогда мы можем малую часть ее поверхности считать плоскостью. (Вообще, пытаясь понять новое явление, лучше разобраться в нем на чрезвычайно упрощенной модели; и только потом, поняв суть проблемы, стоит браться за более точные расчеты.)
Предположим, что распределение ионов создает плотность зарядов р(х) и электрический потенциал j, связанные электростатическим законом С2j =-r/e0, или в одномерном случае законом
(7.28)
Как бы распределились ионы в таком поле, если бы потенциал подчинялся этому уравнению? Узнать это можно при помощи принципов статистической механики. Вопрос в том, как определить j, чтобы вытекающая из статистической механики плотность заряда тоже удовлетворяла бы условию (7.28)?
Согласно статистической механике (см. вып. 4, гл. 40), частицы, пребывая в тепловом равновесии в поле сил, распределяются так, что плотность nчастиц с координатой xдается формулой
(7.29)
где U(x) — потенциальная энергия, k — постоянная Больцмана, а Т — абсолютная температура.
Предположим, что у всех ионов один и тот же электрический заряд, положительный или отрицательный. На расстоянии х от поверхности коллоидной частицы положительный ион будет обладать потенциальной энергией
Плотность положительных ионов тогда равна
а плотность отрицательных
Суммарная плотность заряда
или
(7.30)
Подставляя в (7.28), увидим, что потенциал j должен удовлетворять уравнению
(7.31)
Это уравнение решается в общем виде [помножьте обе его части на 2(dj/dx)и проинтегрируйте по х],но, продолжая упрощать задачу, мы ограничимся здесь только предельным случаем малых потенциалов или высоких температур Т. Малость j отвечает разбавленному раствору. Показатель экспоненты тогда мал, и можно взять
(7.32)
Уравнение (7.31) дает
(7.33)
Заметьте, что теперь в правой части стоит знак плюс (решение не колебательное, а экспоненциальное).
Фиг. 7.7. Изменение потенциала у поверхности коллоидной частицы. D — дебаевская длина.
Общее решение (7.33) имеет вид
(7.34)
где
(7.35)
Постоянные А и В определяются из добавочных условий. В нашем случае В должно быть нулем, иначе потенциал для больших х обратится в бесконечность. Итак,
(7.36)
где А — потенциал при x=0 на поверхности коллоидной частицы.
Потенциал убывает в eраз при удалении на D (фиг. 7.7). Число D называется дебаевской длиной; это мера толщины ионной оболочки, окружающей в электролите каждую большую заряженную частицу. Уравнение (7.36) утверждает, что оболочка становится тоньше по мере увеличения концентрации ионов (n0) или уменьшения температуры.
Постоянную А в (7.36) легко получить, если известен поверхностный заряд а на поверхности заряженной частицы. Мы знаем, что
(7.37)
Но Е это также градиент j
(7.38)
откуда получается
(7.39)
Подставив этот результат в (7.36), мы получим (положив х=0), что потенциал коллоидной частицы равен
(7.40)
Заметьте, что этот потенциал совпадает с разностью потенциалов в конденсаторе с промежутком D и поверхностной плотностью заряда s .
Мы сказали, что коллоидные частицы не слипаются вследствие электрического отталкивания. Но теперь мы видим, что невдалеке от поверхности частицы из-за возникающей вокруг нее ионной оболочки поле спадает. Если бы оболочка стала достаточно тонкой, у частиц появился бы шанс столкнуться друг с другом. Тогда они бы слиплись, коллоид бы осадился и выпал из жидкости. Из нашего анализа ясно, что после добавления в коллоид подходящего количества соли начнется выпадение осадка. Этот процесс называется «высаливанием коллоида».
Другой интересный пример — это влияние растворения соли На осаждение белка. Молекула белка — это длинная, сложная и гибкая цепь аминокислот. На ней там и сям имеются заряды, и временами заряд какого-то одного знака, скажем отрицательного, распределяется вдоль всей цепи. В результате взаимного отталкивания отрицательных зарядов белковая цепь распрямляется. Если в растворе имеются еще другие такие же молекулы-цепочки, то они не слипаются между собой вследствие того же отталкивания. Так возникает в жидкости взвесь молекул-цепочек. Но стоит добавить туда соли, как свойства взвеси изменятся. Уменьшится дебаевская длина, молекулы начнут сближаться и свертываться в спирали. А если соли много, то молекулы белка начнут выпадать в осадок. Существует множество других химических явлений, которые можно понять на основе анализа электрических сил.
§ 5. Электростатическое поле сетки
Напоследок мы хотим изложить еще одно интересное свойство электрических полей. Оно используется в электрических приборах, электронных лампах и для других целей. Речь идет о поведении электрического поля близ сетки, составленной из заряженных проволочек. Чтоб упростить задачу, возьмем плоскую систему параллельных проволочек бесконечной длины, промежутки между которыми одинаковы.
Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд распределен на плоскости равномерно. По мере приближения к сетке начнутся отклонения от прежней однородности. Мы хотим оценить, насколько близко от сетки появятся заметные изменения в потенциале.
Фиг. 7.8. Эквипотенциальные поверхности над однородной сеткой из заряженных проволочек.
На фиг. 7.8 показано примерное расположение эквипотенциальных поверхностей на разных расстояниях от сетки. Чем ближе к сетке, тем сильнее колебания. Двигаясь параллельно сетке, мы заметим, что поле изменяется периодически.
Мы уже знаем (см. вып. 4, гл. 50), что любая периодическая величина может быть представлена в виде суммы синусных волн (теорема Фурье). Посмотрим, нельзя ли найти подходящую колебательную функцию, которая удовлетворяет нашим уравнениям поля.
Если проволочки лежат в плоскости ху параллельно оси y, то можно попробовать испытать члены вида
(7.41)
где а — расстояние между нитями, а n — число колебаний. (Мы предположили, что нити эти очень длинные, так что никаких изменений по у не заметно.) Полное решение должно состоять из суммы таких членов при n=1, 2, 3... Чтоб получился правильный потенциал, оно должно в области над сеткой (где зарядов нет) подчиняться уравнению Лапласа, т. е.
Испытывая этим уравнением функцию j из (7.41), мы получаем
(7.42)
т.е. Fn(z) должно удовлетворять условию
(7.43)
Итак, должно быть
(7.44)
(7.45)
Мы обнаружили, что если имеется компонента Фурье n-й гармоники поля, то эта компонента должна убывать по экспоненте с высотой, причем характерным расстоянием является z0=a/2pn. Амплитуда у первой гармоники (n=1) уменьшается в е2pраз (очень резкое падение) каждый раз, когда мы удаляемся от сетки на величину одного промежутка а. Другие гармоники убывают еще быстрее. Мы видим, что уже на расстоянии в несколько а сетка кажется почти однородной, т. е. колебания поля очень малы. Конечно, всегда остается «нулевая гармоника» поля
j0=-E0z.
которая и дает однородное поле при больших z. Для полного решения нужно добавить этот член к сумме членов вида (7.41) с Fnиз (7.44) , причем каждый член надо взять с коэффициентом Аn. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы после дифференцирования получилось поле, согласующееся с плотностью зарядов К на проволочках сетки.
Развитым нами методом можно объяснить, почему электростатическая защита с помощью сетки ничуть не хуже сплошных листов металла. Поле за сеткой равно нулю всюду, за исключением промежутка у самой сетки, не превышающего по размерам нескольких ее ячеек. Мы видим, что медная сетка, которая намного легче и дешевле сплошной медной обшивки, вполне пригодна для защиты чувствительного электрического оборудования от возмущающих внешних полей.
* О новых работах по этому вопросу и библиографию см. в статье С. J.Powell, J.B. Swann, Phys. Rev., 115, 869 (1959).
Глава 8
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
§1.Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
§2.Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
§З.Электростатическая энергия ионного кристалла
§4.Электростатическая энергия ядра
§5.Энергия в электростатическом поле
§6.Энергия точечного заряда
Повторить: гл. 4 (вып. 1) «Сохранение энергии»; гл. 13 и 14 (вып. 1) «Работа и потенциальная энергия»
§ 1. Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
Одно из самых интересных и полезных открытий в механике —это закон сохранения энергии. Зная формулы для кинетической и потенциальной энергий механической системы, мы способны обнаруживать связь между состояниями системы в два разных момента времени, не вникая в подробности того, что происходит между этими моментами. Мы хотим определить теперь энергию электростатических систем. В электричестве сохранение энергии окажется столь же полезным для обнаружения многих любопытных фактов.
Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q1и q2, разделенные промежутком r12. У этой системы есть какая-то энергия, потому что понадобилась какая-то работа, чтобы сблизить заряды. Мы подсчитывали работу, производимую при сближении двух зарядов с большого расстояния; она равна
(8.1)
Мы знаем из принципа наложения, что если зарядов много, то общая сила, действующая на любой из зарядов, равна сумме сил, действующих со стороны всех прочих зарядов. Отсюда следует, что полная энергия системы нескольких зарядов есть сумма членов, выражающих взаимодействие каждой пары зарядов по отдельности. Если qiи qj- — какие-то два из зарядов, а расстояние между ними rij(фиг. 8.1),
Фиг. 8.1. Электростатическая анергия системы частиц есть сумма электростатических энергий каждой пары.
то энергия именно этой пары равна
(8.2)
Полная электростатическая энергия U есть сумма энергий всевозможных пар зарядов:
(8.3)
Если распределение задается плотностью заряда r, то сумму в (8.3) нужно, конечно, заменить интегралом.
Мы расскажем здесь об энергии с двух точек зрения. Первая — применение понятия энергии к электростатическим задачам; вторая — разные способы оценки величины энергии. Порой легче бывает подсчитать выполненную в каком-то случае работу, чем оценить величину суммы в (8.3) или величину соответствующего интеграла. Для образца подсчитаем энергию, необходимую для того, чтобы собрать из зарядов однородно заряженный шар. Энергия здесь есть не что иное, как работа, которая затрачивается на собирание зарядов из бесконечности.
Представьте, что мы сооружаем шар, наслаивая последовательно друг на друга сферические слои бесконечно малой толщины. На каждой стадии процесса мы собираем небольшое количество электричества и размещаем его тонким слоем от rдо r+dr. Мы продолжаем процесс этот до тех пор, пока не доберемся до заданного радиуса а (фиг. 8.2). Если Qr-— это заряд шара в тот момент, когда шар доведен до радиуса r, то работа, требуемая для доставки на шар заряда dQ, равна
(8.4)
Фиг. 8.2. Энергию однородно заряженного шара можно рассчитать, вообразив, что его слепили, последовательно наслаивая друг на друга сферические слои.
Если плотность заряда внутри шара есть r, то заряд Qrравен
Уравнение (8.4) превращается в
(8.5)
Полная энергия, требуемая на то, чтобы накопить полный шар зарядов, равна интегралу по dU от r=0 до r=а, т.е.
(8.6)
а если мы желаем выразить результат через полный заряд Q шара, то
(8.7)
Энергия пропорциональна квадрату полного заряда и обратно пропорциональна радиусу. Можно представить (8.7) и так: среднее значение (1/rij) по всем парам точек внутри шара равно 6/5а.
§ 2. Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
Рассмотрим теперь энергию, требуемую на то, чтоб зарядить конденсатор. Если заряд Q был снят с одной обкладки конденсатора и перенесен на другую, то между обкладками возникает разность потенциалов, равная
(8.8)
где С — емкость конденсатора. Сколько работы затрачено на зарядку конденсатора? Поступая точно так же, как мы поступали с шаром, вообразим, что конденсатор уже заряжен переносом заряда с одной обкладки на другую маленькими порциями dQ. Работа, требуемая для переноса заряда dQ,равна
Взяв V из (8.8), напишем
Или, интегрируя от Q=0 до конечного заряда Q, получаем
(8.9)
Эту энергию можно также записать в виде
(8.10)
Вспоминая, что емкость проводящей сферы (по отношению к бесконечности) равна
мы немедленно получим из уравнения (8.9) энергию заряженной сферы
(8.11)
Это выражение, конечно, относится также и к энергии тонкого сферического слоя с полным зарядом Q; получается 5/6 энергии однородно заряженного шара [уравнение (8.7)].
Посмотрим, как применяется понятие электростатической энергии. Рассмотрим два вопроса. Какова сила, действующая между обкладками конденсатора? Какой вращательный (крутящий) момент вокруг некоторой оси испытывает заряженный проводник в присутствии другого проводника с противоположным зарядом? На такие вопросы легко ответить, пользуясь нашим выражением (8.9) для электростатической энергии конденсатора и принципом виртуальной работы (см. вып. 1, гл. 4, 13 и 14).
Применим этот метод для определения силы, действующей между двумя обкладками плоского конденсатора. Если мы представим, что промежуток между пластинами расширился на небольшую величину Dz, то тогда механическая работа, производимая извне для того, чтобы раздвинуть обкладки, была бы равна
(8.12)
где F — сила, действующая между обкладками. Эта работа обязана быть равной изменению электростатической энергии конденсатора, если только заряд конденсатора не изменился.
Согласно уравнению (8.9), энергия конденсатора первоначально была равна
Изменение в энергии (если мы не допускаем изменения величины заряда) тогда равно
(8.13)
Приравнивая (8.12) и (8.13), получаем
(8.14)
что может также быть записано в виде
(8.15)
Ясно, эта сила здесь возникает от притяжения зарядов на обкладках; мы видим, однако, что заботиться о том, как там они распределены, нам нечего; единственное, что нам нужно, — это учесть емкость С.
Легко понять, как обобщить эту идею на проводники произвольной формы и на прочие составляющие силы. Заменим в уравнении (8.14) F той составляющей, которая нас интересует, а Dz — малым смещением в соответствующем направлении. Или если у нас есть электрод, насаженный на какую-то ось, и мы хотим знать вращательный момент t, то запишем виртуальную работу в виде
DW = tDq,
где Dq — небольшой угловой поворот. Конечно, теперь D(1/C) должно быть изменением 1/С, отвечающим повороту на Dq.
Фиг. 8.3. Чему равен вращательный момент, действующий на переменный конденсатор?
Таким способом мы можем определить вращательный момент, действующий на подвижные пластины переменного конденсатора, показанного на фиг. 8.3.
Вернемся к частному случаю плоского конденсатора; мы можем взять формулу для емкости, выведенную в гл. 6:
(8.16)
где А—площадь каждой обкладки. Если промежуток увеличится на Dz, то
Из (8.14) тогда следует, что сила притяжения между двумя обкладками равна
(8.17)
Взглянем на уравнение (8.17) повнимательнее и подумаем, нельзя ли сказать, как возникает эта сила. Если заряд на одной из обкладок мы запишем в виде
то (8.17) можно будет переписать так:
Или поскольку поле между пластинами равно
то
(8.18)
Можно было сразу догадаться, что сила, действующая на одну из пластин, будет равна заряду Q этой пластины, умноженному на поле, действующее на заряд. Но что удивляет, так это множитель 1/2. Дело в том, что Е0 —это не то поле, которое действует на заряды. Если вообразить, что заряд на поверхности пластины занимает какой-то тонкий слой (фиг. 8.4), то поле будет меняться от нуля на внутренней границе слоя до Е0 в пространстве снаружи пластин. Среднее поле, действующее на поверхностные заряды, равно Е0/2. Вот отчего в (8.18) стоит множитель 1/2.
Вы должны обратить внимание на то, что, рассчитывая виртуальную работу, мы предположили, что заряд конденсатора постоянен, что конденсатор не был электрически связан с другими предметами и полный заряд не мог изменяться.
Фиг. 8.4. Поле у поверхности проводника меняется от нуля до E0=s/e0, когда пересечен слой поверхностного заряда. 1 — проводящая пластина; 2 — слой поверхностного заряда.
А теперь пусть мы предположили, что при виртуальных перемещениях конденсатор поддерживается при постоянной разности потенциалов. Тогда мы должны были бы взять
и вместо (8.15) мы бы имели
что приводит к силе, равной по величине той, что была получена в уравнении (8.15) (так как V = Q/C), но с противоположным знаком!
Конечно, сила, действующая между пластинами конденсатора, не меняет свой знак, когда мы отсоединяем конденсатор от источника электричества. Кроме того, мы знаем, что две пластины с разноименными электрическими зарядами должны притягиваться. Принцип виртуальной работы во втором случае был применен неправильно, мы не приняли во внимание виртуальную работу, производимую источником, заряжающим конденсатор. Это значит, что для того, чтобы удержать потенциал при постоянном значении V, когда меняется емкость, источник электричества должен снабдить конденсатор зарядом VDC. Но этот заряд поступает при потенциале V, так что работа, выполняемая электрической системой, удерживающей заряд постоянным, равна V2DC. Механическая работа .FDz плюс эта электрическая работа V2DC вместе приводят к изменению полной энергии конденсатора на 1/2V2DC. Поэтому на механическую работу, как и прежде, приходится FDz=-1/2 V2DC.
§ 3. Электростатическая энергия ионного кристалла
Рассмотрим теперь применение понятия электростатической энергии в атомной физике. Мы не можем запросто измерять силы, действующие между атомами, но часто нас интересует разница в энергиях двух расстановок атомов (к примеру, энергия химических изменений). Так как атомные силы в основе своей — это силы электрические, то и химическая энергия в главной своей части — это просто электростатическая энергия.
Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из положительных и отрицательных ионов, которые можно считать жесткими сферами. Они электрически притягиваются, пока не соприкоснутся; затем вступает в дело сила отталкивания, которая быстро возрастает, если мы попытаемся сблизить их теснее.
Для первоначального приближения вообразим себе совокупность жестких сфер, представляющих атомы в кристалле соли. Строение такой решетки было определено с помощью дифракции рентгеновских лучей. Эта решетка кубическая — что-то вроде трехмерной шахматной доски. Сечение ее изображено на фиг. 8.5. Промежуток между ионами 2,81 Е (или 2,81·10-8 см).
Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько понадобится энергии, чтобы разбросать эти ионы, т. е. полностью разделить кристалл на ионы? Эта энергия должна быть равна теплоте испарения соли плюс энергия, требуемая для диссоциации молекул на ионы. Полная энергия разделения NaCl на ионы, как следует из опыта, равна 7,92 эв на молекулу.
Фиг. 8.5. Поперечный разрез кристалла соли в масштабе нескольких атомов.
В двух перпендикулярных к плоскости рисунка сечениях будет такое же шахматное расположение ионов Na и Сl (см. вып. 1, фиг. 1.7).
Пользуясь коэффициентом перевода
и числом Авогадро (количество молекул в грамм-молекуле)
можно представить энергию испарения в виде
Излюбленная единица энергии, которой пользуются физико-химики,— килокалория, равная 4190 дж; так что 1 эв на молекулу — это все равно что 23 ккал/моль. Химик сказал бы поэтому, что энергия диссоциации NaCl равна
Можем ли мы получить эту химическую энергию теоретически, подсчитывая, сколько работы понадобится для того, чтобы распотрошить кристалл? По нашей теории она равна сумме потенциальных энергий всех пар ионов. Проще всего составить себе представление об этой энергии, выбрав какой-то один ион и подсчитав его потенциальную энергию по отношению ко всем прочим ионам. Это даст удвоенную энергию на один ион, потому что энергия принадлежит парам зарядов. Если нам нужна энергия, связанная с одним каким-то ионом, то мы должны взять полусумму. Но на самом деле нам нужна энергия на молекулу, содержащую два иона, так что вычисляемая нами сумма прямо даст нам энергию на молекулу.
Энергия иона по отношению к его ближайшему соседу равна —e2/a, где e2=q2e/4pe0, а а — промежуток между центрами ионов. (Мы рассматриваем одновалентные ионы.) Эта энергия равна —5,12 эв; мы уже видим, что ответ получается правильного порядка величины. Но нам еще предстоит подсчитать бесконечный ряд членов.
Начнем со сложения энергий всех ионов, лежащих по прямой. Считая ион, отмеченный на фиг. 8.5 значком Na, нашим выделенным ионом, сперва рассмотрим те ионы, которые лежат на одной с ним горизонтали. Там есть два ближайших к нему иона хлора с отрицательными зарядами, на расстоянии я от Na каждый. Затем идут два положительных иона на расстояниях 2а и т. д. Обозначая эту сумму энергий U1, напишем
(8.19)
Ряд сходится медленно, так что численно его оценить трудно,
но известно, что он равен ln2. Значит,
(8.20)
Теперь перейдем к ближайшей линии, примыкающей сверху. Ближайший ион отрицателен и находится на расстоянии а. Затем стоят два положительных на расстоянияхЦ2а. Следующая пара — на расстоянии Ц5а, следующая— наЦ10а и т. д. Для всей линии получается ряд
(8.21)
Таких линий четыре: выше, ниже, спереди и сзади. Затем имеются четыре линии, которые являются ближайшими по диагонали, и т. д. и т. д.
Если вы терпеливо произведете подсчеты для всех линий и затем все сложите, то увидите, что итог таков:
Это число немного больше того, что было получено в (8.20) для первой линии. Учитывая, что е2/а=-5,12 эв, мы получим
Наш ответ приблизительно на 10% больше экспериментально наблюдаемой энергии. Он показывает, что наше представление о том, что вся решетка скрепляется электрическими кулоновскими силами, в основе своей правильно. Мы впервые получили специфическое свойство макроскопического вещества из наших познаний в атомной физике. Со временем мы добьемся гораздо большего. Область науки, пробующая понять поведение больших масс вещества на языке законов атомного поведения, называется физикой твердого тела.
А как же с ошибкой в наших расчетах? Почему они не до конца верны? Мы не учли отталкивание между ионами на близких расстояниях. Это ведь не совершенно жесткие сферы, так что, сблизясь, они немного сплющиваются. Но они не очень мягкие и сплющиваются самую чуточку. Все же какая-то энергия уходит на эту деформацию, и вот, когда ионы разлетаются, эта энергия высвобождается. Энергия, которая на самом деле нужна для того, чтобы развести все ионы врозь, чуть меньше той, которую мы вычислили; отталкивание помогает преодолеть электростатическое притяжение.
А есть ли возможность как-то прикинуть долю этого отталкивания? Да, если мы знаем закон силы отталкивания. Мы еще не умеем пока анализировать детали механизма отталкивания, но некоторое представление о его характеристиках мы можем получить из макроскопических измерений. Измеряя сжимаемость кристалла как целого, можно получить количественное представление о законе отталкивания между ионами, а отсюда — о его вкладе в энергию. Таким путем было обнаружено, что вклад этот должен составлять 1/9,4 часть вклада от электростатического притяжения и иметь, естественно, противоположный знак. Если этот вклад мы вычтем из чисто электростатической энергии, то получим для энергии диссоциации на молекулу число 7,99 эв. Это намного ближе к наблюдаемому результату 7,92 эв, но все еще не находится в совершенном согласии. Есть еще одна вещь, которую мы не учли: мы не сделали никаких допущений о кинетической энергии колебаний кристалла. Если сделать поправку на этот эффект, то сразу возникнет очень хорошее согласие с экспериментальной величиной. Значит, наши представления правильны: главный вклад в энергию кристалла, такого, как NaCl, является электростатическим.
§ 4. Электростатическая энергия ядра
Обратимся теперь к другому примеру электростатической энергии в атомной физике — к электростатической энергии атомного ядра. Прежде чем заняться этим вопросом, мы должны рассмотреть некоторые свойства тех основных сил (называемых ядерными силами), которые скрепляют между собой протоны и нейтроны в ядре. Первое время после открытия ядер — и протонов с нейтронами, которые их составляют,— надеялись, что закон сильной, неэлектрической части силы, действующей, например, между одним протоном и другим, будет иметь какой-нибудь простой вид, подобный, скажем, закону обратных квадратов в электричестве. Если бы удалось определить этот закон сил и, кроме того, сил, действующих между протоном и нейтроном и между нейтроном и нейтроном, то тогда можно было бы теоретически описать все поведение этих частиц в ядрах. Поэтому начала разворачиваться большая программа изучения рассеяния протонов в надежде отыскать закон сил, действующих между ними; но после тридцатилетних усилий ничего простого не возникло. Накопился заметный багаж знаний о силах, действующих между протоном и протоном, но при этом обнаружилось, что эти силы сложны настолько, насколько возможно себе представить.
Под словами «сложны настолько, насколько возможно» мы понимаем, что силы зависят от всех величин, от каких они могли бы зависеть.
Во-первых, сила не простая функция расстояния между протонами. На больших расстояниях существует притяжение, на меньших — отталкивание.
Фиг. 8.6. Сила взаимодействия двух протонов зависит от всех мыслимых параметров.
Зависимость от расстояния — это некоторая сложная функция, все еще не очень хорошо известная. Во-вторых, сила зависит от ориентации спина протонов. У протонов есть спин, а два взаимодействующих протона могут вращаться либо в одном и том же, либо в противоположных направлениях. И сила, когда спины параллельны, отличается от того, что бывает, когда спины антипараллельны (фиг. 8.6, а и б). Разница велика; пренебречь ею нельзя.
В-третьих, сила заметно изменяется, смотря по тому, параллелен или нет промежуток между протонами их спинам (фиг. 8.6, в и г) или же он им перпендикулярен (фиг. 8.6, а и б).
В-четвертых, сила, как и в магнетизме, зависит (и даже значительно сильнее) от скорости протонов. И эта скоростная зависимость силы отнюдь не релятивистский эффект; она велика даже тогда, когда скорости намного меньше скорости света. Более того, эта часть силы зависит, кроме величины скорости, и от других вещей. Скажем, когда протон движется невдалеке от другого протона, сила меняется от того, совпадает ли орбитальное движение по направлению со спиновым вращением (фиг. 8.6, д), или эти два направления противоположны (фиг. 8.6, е). Это то, что называется «спин-орбитальной» частью силы.
Не в меньшей степени сложный характер имеют силы взаимодействия протона с нейтроном и нейтрона с нейтроном. До сего дня мы не знаем механизма, определяющего эти силы, не знаем никакого простого способа их понять.
Впрочем, в одном важном отношении ядерные силы все же проще, чем могли бы быть. Ядерные силы, действующие между двумя нейтронами, совпадают с силами, действующими между протоном и нейтроном, и с силами, действующими между двумя протонами! Если в некоторой системе, в которой имеются ядра, мы заменим нейтрон протоном (и наоборот), то ядерные взаимодействия не изменятся! «Фундаментальная причина» этого равенства нам не известна, но это проявление важного принципа, который может быть расширен на законы взаимодействия других сильно взаимодействующих частиц, таких, как л-мезоны и «странные» частицы.