Divisione per zero

1

Dividere un numero per zero non produce come risultato un numero infinitamente grande. La ragione è che la divisione è definita come inversa della moltiplicazione: se dividi per zero, e quindi moltiplichi per zero, devi riottenere il numero dal quale sei partito. Tuttavia, moltiplicare l’infinito per zero produce solo zero, e nessun altro numero. Non c’è nulla che possa essere moltiplicato per zero per produrre un risultato diverso da zero; quindi, il risultato di una divisione per zero è letteralmente “non definito”.

1a

Renee stava guardando fuori dalla finestra quando la signora Rivas si avvicinò.

“In partenza dopo solo una settimana? Non è neanche un soggiorno. Il Signore sa che io non me andrò prima di molto tempo”.

Renee si sforzò di sorridere cortesemente. “Sono sicura che non ci vorrà molto”. La signora Rivas era una simulatrice sotto custodia; tutti sapevano che i suoi tentativi erano semplicemente gesti dimostrativi, ma gli infermieri la tenevano stancamente d’occhio per timore che ci riuscisse accidentalmente.

“Ah. Vorrebbero che me ne fossi andata. Lei sa che responsabilità si prendono se qualcuno muore quando si trova in questa condizione?”.

“Sì. Lo so”.

“Questa è l’unica cosa che li preoccupa, può ben dirlo. Sempre la loro responsabilità…”.

Renee rimase in silenzio e riportò l’attenzione alla finestra, guardando la scia di un aereo che si arrotolava su sé stessa attraverso il cielo.

“Signora Norwood?”, chiamò un’infermiera. “Suo marito è qui”.

Renee rivolse un altro cortese sorriso alla signora Rivas e uscì.

1b

Carl firmò ancora una volta, e finalmente le infermiere presero i moduli per chiudere la pratica.

Ripensò a quando aveva accompagnato Renee per il ricovero, a tutte le domande della prima intervista. Aveva risposto stoicamente a tutte.

“Sì, è una professoressa di matematica. Può trovarla sul Who’s Who”.

“No, io sono un biologo”.

E:

“Avevo lasciato una scatola di diapositive di cui avevo bisogno”.

“No, non avrebbe potuto saperlo”.

E, come mi aspettavo:

“Sì. È stato circa vent’anni fa, quando ero laureando”.

“No. Cercai di buttarmi di sotto”.

“No. Renee e io non ci conoscevamo”.

E ancora, e ancora.

Ora erano convinti del suo buon senso e delle sue capacità, ed erano pronti a dimettere Renee e a indirizzarla a un programma di cura per pazienti esterni.

Riandando a quanto era successo, Carl era sorpreso, in modo del tutto astratto. Salvo che per un momento, non aveva provato nessuna sensazione di déjà vu durante tutta la vicenda. Per tutto il tempo aveva avuto a che fare con l’ospedale, i medici, le infermiere: l’unica sensazione che aveva provato era di leggero stordimento, di pura e noiosa routine.

2

C’è una ben nota “prova” che dimostra che uno è uguale a due. Comincia con qualche definizione: “Sia a = 1; sia b = 1”. Si conclude con “a = 2a”, vale a dire uno uguale a due. In mezzo, poco appariscente, c’è la divisione per zero, e a quel punto la prova è già uscita dai binari, rendendo nulle e vuote tutte le regole. Ammettere la divisione per zero consente di dimostrare non solo che uno è uguale a due, ma che due numeri qualsiasi - reali o immaginari, razionali o irrazionali - sono uguali tra loro.

2a

Appena lei e Carl arrivarono a casa, Renee andò alla scrivania del suo studio e cominciò a girare tutti i fogli a faccia in giù, raccogliendoli in una pila senza guardarli; sobbalzava tutte le volte che anche solo un angolo si rigirava in sopra. Pensò di bruciare i fogli, ma ormai sarebbe stato un atto puramente simbolico. Evitare di guardarli avrebbe raggiunto lo stesso risultato.

I medici avrebbero probabilmente descritto questo comportamento come ossessivo. Renee aggrottò le ciglia, al ripensare all’umiliazione di essere una paziente di tali sciocchi. Ricordò il suo stato di aspirante suicida, in stretta custodia sotto la presunta osservazione continua degli infermieri. E le domande dei medici, così condiscendenti, così banali. Non era certo una simulatrice come la signora Rivas, ma era veramente facile. Bastava dire “Mi rendo conto di non stare ancora del tutto bene, ma mi sento meglio”, ed eri considerata quasi pronta per essere dimessa.

2b

Carl rimase un momento a guardare Renee dalla porta, prima di passare in soggiorno. Si ricordò del giorno, giusto vent’anni prima, quando lui stesso era stato dimesso. I genitori erano venuti a prenderlo, e sulla strada di casa sua madre aveva fatto qualche vacuo commento su quanto tutti sarebbero stati contenti di vederlo, ed era stato a malapena in grado di trattenersi dallo scrollarsi via il suo braccio dalle spalle.

Si era comportato con Renee come avrebbe voluto ci si comportasse con lui quando era sotto osservazione. Era stato a trovarla tutti i giorni, anche quando all’inizio lei si rifiutava di vederlo, in modo che quando lei avesse voluto lui sarebbe stato presente. Qualche volta parlavano, e qualche volta semplicemente passeggiavano insieme. Non trovava niente di sbagliato nel proprio comportamento, e sapeva che lei lo apprezzava.

E tuttavia, nonostante tutti i suoi sforzi, verso di lei non riusciva a sentire che un senso di dovere.

3

Nei Principia Mathematica, Bertrand Russell e Alfred Whitehead cercarono di dare fondamenti rigorosi alla matematica, utilizzando la logica formale. Cominciarono con quelli che consideravano assiomi, e se ne servirono per dedurre teoremi di crescente complessità. A pagina 362 avevano dedotto abbastanza da poter dimostrare che “1 + 1 = 2”.

3a

Quando aveva sette anni, esplorando la casa di un parente, Renee era rimasta affascinata nello scoprire quadrati perfetti nelle lisce piastrelle di marmo del pavimento. Una singola piastrella, due file di due piastrelle, tre di tre, quattro di quattro: le piastrelle formavano sempre un quadrato. Del tutto naturalmente. Da qualunque parte le guardassi, era sempre la stessa cosa. Non solo: ogni quadrato era più grande del precedente di un numero dispari di piastrelle. Era una rivelazione. La conclusione era necessaria: c’era in essa qualcosa di profondamente giusto, confermato dalla sensazione di liscio e di freddo delle piastrelle. E la precisione con cui le piastrelle si componevano insieme, con quelle meravigliose, incredibili linee in cui si incontravano, la faceva rabbrividire.

Più tardi vennero altre acquisizioni, altri risultati. La stupefacente dissertazione di dottorato, a ventitré anni, la serie di acclamate pubblicazioni; la paragonavano a Von Neumann, le università la corteggiavano. Lei non ci faceva caso più di tanto. Ciò che la interessava era quello stesso senso di rettitudine posseduto da ogni teorema, persistente quanto la fisicità delle piastrelle, e altrettanto preciso.

3b

Carl sentiva che la persona che era adesso era nata dopo il suo tentativo, quando aveva incontrato Laura. Dopo essere stato dimesso dall’ospedale non se la sentiva di vedere nessuno, ma un amico aveva fatto in modo di fargli conoscere Laura. Inizialmente l’aveva respinta, ma lei l’aveva capito più profondamente. L’aveva amato quando lui cercava di ferirla, e l’aveva lasciato quando era guarito. Conoscendola Carl aveva imparato l’empatia, e ne era stato rinnovato.

Laura si era trasferita dopo il master, mentre lui era rimasto all’università per il dottorato in biologia. Andando avanti nella vita, aveva sofferto di varie crisi e delusioni di cuore, ma mai più di disperazione.

Carl, quando ripensava a lei, si chiedeva che tipo di persona fosse. Non le aveva più parlato dai tempi dell’università; come era stata negli anni la sua vita? Si chiedeva chi altri avesse amato. Aveva imparato presto a riconoscere l’amore da ciò che non lo era, e aveva apprezzato immensamente questa conoscenza.

4

All’inizio dell’Ottocento, i matematici avevano cominciato a esplorare geometrie diverse da quella di Euclide; queste geometrie portavano a risultati che sembravano del tutto assurdi, ma che non producevano contraddizioni logiche. Era stato dimostrato più tardi che queste geometrie non-euclidee erano coerenti quanto quella euclidea: erano logicamente coerenti finché si assumeva che la geometria euclidea fosse coerente.

La prova della coerenza della geometria euclidea sfuggiva ai matematici. Alla fine dell’Ottocento il miglior risultato raggiunto era una dimostrazione che la geometria euclidea rimaneva non contraddittoria se lo era anche l’aritmetica.

4a

A quel tempo, quando tutto era cominciato, Renee ci aveva pensato come a poco più di un piccolo fastidio. Aveva traversato l’androne e aveva bussato alla porta aperta dello studio di Peter Fabrisi. “Pete, hai un minuto?”.

Fabrisi spinse indietro la sedia dalla scrivania. “Certo, Renee, di che si tratta?”.

Renee entrò, ben sapendo quale sarebbe stata la sua reazione. Non aveva mai chiesto consiglio a nessuno del dipartimento, prima di allora; era sempre successo il contrario. Poco importava. “Mi stavo chiedendo se mi puoi fare un favore. Ricordi cosa ti ho detto un paio di settimane fa, a proposito della procedura formale che stavo sviluppando?”.

Fabrisi annuì. “Quello con il quale stavi riscrivendo il sistema degli assiomi”.

“Giusto. Be’, l’altro giorno ho cominciato a ottenere conclusioni ridicole, e adesso il mio formalismo sta contraddicendo sé stesso. Gli puoi dare un’occhiata?”.

L’espressione era proprio quella che si era aspettata. “Tu vuoi… certo, ne sarei felice”.

“Fantastico. Il problema si trova nelle prime pagine; il resto è solo per i riferimenti”. Gli porse un sottile fascio di carte. “Ho pensato che se te ne avessi parlato, forse avresti visto le stesse cose che ho visto io”.

“Probabilmente hai ragione”. Diede una scorsa ai primi fogli. “Non so quanto tempo mi ci vorrà”.

“Non c’è fretta. Quando ti è possibile, guarda solo se qualcuno dei miei assunti ti pare dubbio, cose così. Io nel frattempo ci lavoro ancora, così se arrivo a qualcosa te lo dico. Okay?”.

Fabrisi sorrise. “Tornerai questo pomeriggio stesso e mi dirai che hai risolto il problema”.

“Ne dubito: c’è bisogno di un punto di vista nuovo”.

Allargò le braccia. “Gli darò un’occhiata”.

“Grazie”. Non c’era da sperare che Fabrisi afferrasse completamente il suo formalismo, ma lei aveva comunque bisogno che qualcuno controllasse gli aspetti più meccanici.

4b

Carl aveva incontrato Renee a un party organizzato dai colleghi. Era stato colpito dal suo viso. Era un viso aperto, che per la maggior parte del tempo appariva appena un po’ triste; ma durante il party l’aveva vista sorridere due volte, e una volta aggrottarsi. In quei momenti le sue espressioni erano come se non ne avesse mai avute altre. Era rimasto sorpreso: poteva riconoscere un viso che sorrideva spesso, oppure che si aggrottava facilmente, anche se i tratti non erano marcati. Era incuriosito da come potesse aver sviluppato tanta naturalezza in espressioni tanto diverse, pur non rivelandone nessuna per la maggior parte del tempo.

Gli ci era voluto molto tempo per capire Renee, per interpretare le sue espressioni. Ma ne era valsa senz’altro la pena.

Ora Carl era seduto nella poltrona del suo studio, con in grembo una copia dell’ultimo numero di una rivista di biologia marina, e ascoltava Renee che accartocciava fogli dall’altra parte del soggiorno. Era stata a lavorare tutta la sera con una frustrazione crescente chiaramente udibile, per quanto, l’ultima volta che era andato a guardarla, mostrasse sempre la consueta espressione da giocatrice di poker.

Mise da parte la rivista, si alzò dalla poltrona e andò fino alla porta dello studio di Renee. Aveva un libro aperto sulla scrivania; le pagine erano piene dei soliti geroglifici matematici, inframmezzati da commenti in russo.

Renee diede una scorsa a qualche pagina, allontanò il libro con una smorfia appena percepibile e lo richiuse di scatto. Carl la sentì mormorare “del tutto inutile” mentre rimetteva il volume nello scaffale.

“Ti verrà la pressione alta, se vai avanti così”, cercò di scherzare Carl.

“Non fare il paternalista”.

Carl rimase di stucco. “Ma non lo facevo”.

Renee si girò verso di lui con occhi scintillanti. “So perfettamente quando sono in grado di lavorare in modo produttivo e quando non lo sono”.

“Allora non ti darò fastidio”, disse lui, raggelato, mentre batteva in ritirata.

“Grazie”. Si girò di nuovo verso lo scaffale. Carl tornò indietro cercando di interpretare il suo sguardo.

5

Al secondo Congresso internazionale di matematica, nel 1900, David Hilbert elencò quelli che considerava i ventitré più importanti problemi insoluti. La seconda voce della lista era l’auspicio di una dimostrazione della non contraddittorietà dell’aritmetica. Questa dimostrazione avrebbe assicurato la coerenza di gran parte della matematica superiore. Ciò che la prova doveva garantire, in sostanza, è che non si potesse mai dimostrare che uno è uguale a due. Pochi, tra i matematici presenti, ritennero la questione particolarmente importante.

5a

Renee sapeva cosa Fabrisi avrebbe detto prima ancora che aprisse bocca.

“È il più dannato rompicapo che abbia mai visto. Hai presente quel gioco per bambini in cui devi infilare oggetti di forme diverse nei buchi corrispondenti? Leggere il tuo saggio è come guardare qualcuno che prende gli oggetti e li fa scivolare in ogni singolo buco, ogni volta con assoluta precisione”.

“Così non hai trovato errori?”.

Scosse la testa. “Non io. Ho seguito il tuo stesso solco: posso pensarci solo nello stesso modo”.

Renee era ormai fuori da quel solco: aveva trovato un approccio completamente diverso, che però non faceva che confermare la contraddizione originaria. “Bene, grazie per aver provato”.

“Lo farai vedere a qualcun altro?”.

“Sì, credo che lo manderò a Callahan, alla Berkeley. Siamo restati in contatto fin dal convegno della primavera scorsa”.

Fabrisi annuì. “Il suo ultimo saggio mi ha molto colpito. Fammi sapere se riesce a trovare qualcosa: a questo punto sono curioso”.

Per sé stessa, Renee avrebbe usato una parola un po’ più forte di “curiosa”.

5b

Forse Renee aveva solo incontrato qualche frustrazione nella sua ricerca? Carl sapeva che lei non aveva mai considerato la matematica qualcosa di realmente difficile, solo una sfida intellettuale. Poteva essere che per la prima volta avesse incontrato qualche problema del quale non riusciva a venire a capo? O era proprio la matematica che funzionava così? Carl era un biologo strettamente sperimentale; non aveva un’idea chiara di come Renee conducesse le sue ricerche matematiche. Sembrava sciocco, ma poteva essere che non avesse più idee?

Renee era abbastanza vecchia da non patire la delusione del bambino prodigio che diventa un adulto qualunque. D’altra parte, molti matematici facevano il loro lavoro migliore prima dei trent’anni, e poteva essere diventata ansiosa di rientrare nella media statistica, per quanto di diversi anni in anticipo sulla norma.

Non pareva plausibile. Passò rapidamente in rassegna altre ipotesi. Stava maturando un’avversione verso il mondo accademico? Era scontenta che il proprio lavoro fosse diventato così iperspecializzato? O semplicemente stava cominciando ad annoiarsi?

Carl non credeva che la causa del comportamento di Renee fosse una di queste; poteva immaginare che impressioni aspettarsene, e non corrispondevano a quelle che stava ricevendo. Qualunque cosa stesse preoccupando Renee, non poteva scandagliarla, e ne era turbato.

6

Nel 1931 Kurt Gödel enunciò due teoremi. Il primo dimostra che la matematica contiene asserzioni che potrebbero essere vere, ma che sono intrinsecamente indimostrabili. Persino un sistema formale semplice come l’aritmetica consente proposizioni che sono precise, provviste di senso, che sono certamente vere, e che tuttavia non possono essere dimostrate per via formale.

Il suo secondo teorema dimostra che la pretesa di coerenza dell’aritmetica è proprio un’asserzione di questo tipo; non c’è alcun modo di provarla utilizzando gli assiomi dell’aritmetica. Il che vale a dire che l’aritmetica come sistema formale non può garantire che essa non produca risultati come “1 = 2”; contraddizioni come questa si potranno anche non incontrare mai, ma è impossibile dimostrare che non si possano verificare.

6a

Era entrato ancora una volta nel suo studio. Renee lo guardò dalla scrivania; con decisione, Carl cominciò a dire: “Renee, è ovvio che…”.

Lo interruppe subito. “Vuoi sapere cos’è che mi preoccupa? Okay, te lo dico”. Renee tirò fuori un foglio bianco e lo mise sulla scrivania. “Abbi pazienza; ci vorrà solo un minuto”. Carl aprì di nuovo la bocca, ma Renee lo fissò in silenzio. Inspirò profondamente e cominciò a scrivere.

Tracciò una linea attraverso il centro del foglio, dividendolo in due colonne. In cima alla prima colonna scrisse “1”, e sull’altra “2”. Sotto scarabocchiò rapidamente alcuni simboli e ancora sotto li sviluppò in stringhe. Scrivendo digrignava i denti: sembrava che tracciasse i caratteri con le unghie, su una lavagna.

Circa a due terzi del foglio, Renee cominciò a scrivere righe sempre più corte. E ora il colpo da maestro, pensò. Si accorse di stare premendo troppo sulla carta; allentò la presa sulla matita. Alla riga successiva, le righe sulle due colonne diventarono della stessa lunghezza. Tracciò un grande “=” in cima al foglio, in mezzo.

Gli porse il foglio. Carl la guardò, mostrando che non capiva. “Guarda in cima”. E così fece. “E ora guarda in basso”.

Fece una smorfia. “Non capisco”.

“Ho scoperto una procedura formale che consente a qualunque numero di essere uguale a qualunque altro. Questa pagina dimostra che uno e due sono uguali. Prendi due numeri qualsiasi; posso dimostrare che anche loro sono uguali”.

A Carl parve di ricordare qualcosa. “Si tratta della divisione per zero, giusto?”.

“No. Non ci sono operazioni illecite, non ci sono termini definiti malamente, non ci sono assiomi indipendenti assunti solo implicitamente, niente. La dimostrazione non utilizza nulla di proibito”.

Carl scosse la testa. “Aspetta un attimo. È ovvio che uno e due non sono la stessa cosa”.

“Ma formalmente lo sono: la dimostrazione ce l’hai in mano. Tutto quello che ho utilizzato è all’interno di ciò che viene accettato come assolutamente indiscutibile”.

“Ma hai ottenuto una contraddizione”.

“Infatti. In quanto sistema formale, l’aritmetica è incoerente”.

6b

“Non riesci a trovare l’errore, è questo che vuoi dire?”.

“No, non mi stai ascoltando. Pensi che io semplicemente mi senta frustrata per una cosa così? Non c’è nessun errore nella dimostrazione”.

“Intendi dire che c’è qualcosa di sbagliato in quello che viene accettato come indiscutibile?”.

“Esattamente”.

“Ma ne sei…”. Si bloccò, ma troppo tardi. Lei lo fissava. Certo che ne era sicura. Pensò alle implicazioni.

“Vedi?”, disse Renee. “Ho appena confutato gran parte della matematica: adesso è tutta priva di senso”.

Era agitata, quasi sconvolta; Carl scelse le parole con cura. “Ma come puoi dirlo? La matematica funziona ancora. Il mondo scientifico e quello economico non stanno andando al collasso per questo risultato”.

“È solo perché la matematica che usano è soltanto un trucco. È un artificio mnemonico, come contare sulle nocche per vedere quali mesi hanno trentun giorni”.

“Non è la stessa cosa”.

“E perché no? Adesso la matematica non ha più assolutamente nulla a che fare con la realtà. Butta pure via concetti come immaginario o infinitesimale. Adesso la somma di numeri interi non ha più nulla a che fare con il contare sulle dita. Uno più uno sulle dita sarà sempre due, ma sulla carta ti posso dare un numero infinito di risposte, e sono tutte valide, il che equivale a dire che sono tutte false. Posso scrivere il teorema più elegante che tu abbia mai visto, e non sarà altro che un’equazione senza senso”. Fece una risata amara. “I positivisti dicevano che la matematica è tutta una tautologia. Sbagliavano: è tutta una contraddizione”.

Carl tentò un altro approccio. “Un momento. Hai appena menzionato i numeri immaginari. Che c’è adesso di peggio, di quel che è successo quando sono stati introdotti? I matematici una volta credevano che fossero privi di senso, ma ora vengono accettati come fondamentali. È la stessa situazione”.

“Non è la stessa. La soluzione è stata semplicemente quella di estendere il contesto, e qui invece non servirebbe a niente. I numeri immaginari hanno aggiunto qualcosa di nuovo alla matematica, ma il mio formalismo ridefinisce quello che già c’è”.

“Ma se cambi il contesto, se lo metti sotto una nuova luce…”.

Roteò gli occhi. “No! Si deduce dagli assiomi esattamente come con l’addizione; non c’è modo di girarci intorno. Puoi prendermi in parola”.

7

Nel 1936, Gerhard Gentzen fornì una dimostrazione della coerenza dell’aritmetica, ma per farlo aveva bisogno di utilizzare una tecnica controversa, l’induzione transfinita. Questa tecnica non è tra gli strumenti consueti di dimostrazione, e apparve difficilmente applicabile, per assicurare la coerenza dell’aritmetica. Gentzen non fece altro che dimostrare l’ovvio assumendo l’incerto.

7a

Callahan aveva chiamato da Berkeley, ma non aveva da offrire alcuna via di uscita. Avrebbe continuato a esaminare il suo lavoro, ma gli sembrava che fosse inciampata in qualcosa di fondamentale e inquietante. Voleva sapere se intendesse pubblicarlo, perché se conteneva un errore che nessuno di loro due era stato in grado di trovare, qualche altro matematico della comunità scientifica l’avrebbe senz’altro individuato.

Renee era stata a malapena capace di sentirlo parlare, e aveva borbottato che gli avrebbe fatto sapere. Ultimamente aveva avuto qualche difficoltà a parlare con gli altri, in particolare dopo la discussione con Carl; gli altri membri del dipartimento avevano cominciato a evitarla. Non riusciva più a concentrarsi, e la notte prima aveva avuto un incubo nel quale scopriva un sistema formale che le permetteva di tradurre qualunque concetto in espressioni matematiche; quindi aveva dimostrato che la vita e la morte sono equivalenti.

Era qualcosa che la spaventava: la possibilità di perdere la ragione. Stava certo per perdere la chiarezza mentale, e questo accadde presto.

Quanto sei ridicola, si rimbrottava. Forse che Gödel si era suicidato dopo aver dimostrato il suo teorema di incompletezza?

Ma era tremendamente bello, uno dei teoremi più eleganti che avesse mai visto.

La propria dimostrazione la provocava, la ridicolizzava. Come un rompicapo in un libro di enigmistica, diceva “te l’ho fatta, non ti sei accorta del trabocchetto!”; stava a guardare se trovavi dov’eri inciampata, solo per dire di nuovo “te l’ho fatta!”.

Immaginava che Callahan ponderasse le implicazioni della sua scoperta. Tanta matematica non aveva applicazioni pratiche; esisteva puramente come teoria formale, studiata per la sua bellezza concettuale. Ma qui era diverso; una teoria contraddittoria era così priva di significato che la maggior parte dei matematici l’avrebbero scrollata via disgustati.

Quello che faceva infuriare Renee era che la propria intuizione l’avesse tradita. Il maledetto teorema aveva senso, sembrava corretto. Lei lo capiva, sapeva che era vero, ci credeva.

7b

Carl sorrise nel ricordare il compleanno di Renee.

“Non ci posso credere! Come hai fatto a capirlo?”. Era corsa giù per le scale tenendo in mano il maglione.

L’estate prima erano stati in vacanza in Scozia, e in un negozio di Edimburgo c’era un maglione che lei era stata a guardare ma che non aveva comprato. Lui l’aveva ordinato, e l’aveva messo nel suo armadio perché lei lo trovasse quella mattina.

“Sei così trasparente”, l’aveva stuzzicata. Entrambi sapevano che non era vero, ma a lui era piaciuto dirglielo.

Questo era due mesi prima. Appena due mesi prima.

Ora la situazione richiedeva qualche cambiamento. Carl entrò nello studio di Renee e la trovò seduta, con lo sguardo fisso oltre la finestra. “Indovina cosa ho preso per noi”.

Lei lo guardò. “Che cosa?”.

“Una prenotazione per il weekend. Una suite al Biltmore. Potremo starcene tranquilli senza fare assolutamente niente…”.

“Per favore, basta così”, disse Renee. “So cosa stai cercando di fare, Carl. Vuoi che facciamo qualcosa di piacevole per distrarmi dal mio sistema formale. Ma non funziona. Tu non sai fino a che punto ha fatto presa su di me”.

“Andiamo, andiamo”. La tirò per le mani per farla alzare, ma lei lo spinse via. Carl rimase un momento lì in piedi e di scatto lei si girò e lo fissò negli occhi.

“Sai che ho avuto la tentazione di prendere i barbiturici? Passo il tempo a desiderare di essere un’idiota, così non avrei da pensarci”.

Fu preso alla sprovvista. Non sapendo come comportarsi, disse: “Perché non vuoi provare perlomeno ad andar via per un po’? Male non ti può fare, e forse ti liberi la mente”.

“Non è qualcosa di cui posso liberarmi. Tu proprio non capisci”.

“E allora spiegami”.

Renee fece un profondo respiro e si girò per riflettere. “È come se tutto quello che vedo mi gridasse la contraddizione”, disse. “Adesso non faccio altro che eguagliare numeri”.

Carl rimase in silenzio. Poi, con un’improvvisa intuizione, rispose: “Come i fisici classici di fronte alla meccanica quantistica. Come se una teoria nella quale hai sempre creduto è stata soppiantata, e quella nuova appare senza senso, ma in qualche modo comunque evidente”.

“No, non è per niente così”. Il suo rigetto era quasi sprezzante. “L’evidenza non c’entra. È tutto a priori”.

“E che differenza c’è? Non si tratta allora dell’evidenza dei tuoi ragionamenti?”.

“Cristo, ma stai scherzando? C’è la differenza tra il calcolare che uno e due hanno lo stesso valore e il mio intuirlo. Non riesco più a concepire quantità diverse; mi sembrano tutte uguali”.

“Ma tu non intendi questo”, disse lui. “Nessuno può veramente provare una cosa del genere; sarebbe come dice Alice, credere a sei cose impossibili prima di colazione”.

“Come puoi sapere quello che provo?”.

“Sto cercando di capire”.

“Non ti disturbare”.

La pazienza di Carl era agli sgoccioli. “E va bene, allora”. Uscì dalla stanza e andò ad annullare la prenotazione.

In seguito parlarono appena, solo quando era necessario. Tre giorni dopo Carl dimenticò la scatola delle diapositive che gli servivano, tornò indietro fino a casa, e trovò il suo messaggio sul tavolo.

Nei momenti che seguirono, Carl provò due sensazioni. La prima mentre correva da una stanza all’altra, chiedendosi se lei avesse portato a casa del cianuro dal dipartimento di chimica; si rese conto che se non riusciva a capire cosa l’avesse portata a questo gesto, allora non era neanche in grado di provare qualcosa per lei.

La seconda quando, gridando, prese a bussare alla porta della camera da letto: una sensazione di déjà vu. Fu l’unico momento in cui la situazione gli sembrò familiare, per quanto grottescamente rovesciata. Si ricordò di essersi trovato dall’altra parte di una porta chiusa, sul tetto di un edificio, ascoltando un amico che batteva alla porta e che gli gridava di non farlo. E mentre stava fuori dalla camera da letto, poteva sentirla singhiozzare sul pavimento, piena di vergogna, esattamente come lui stesso quando si era trovato dall’altra parte della porta.

8

Hilbert una volta disse: “Se il pensiero matematico non è affidabile, dove troveremo allora verità e certezza?”.

8a

Il tentativo di suicidio l’avrebbe segnata per il resto della sua vita? Renee se lo chiedeva. Stava mettendo in ordine i fogli sulla scrivania. D’ora in poi, anche se inconsciamente, sarebbe stata ritenuta inconstante e instabile? Non aveva mai chiesto a Carl se l’avesse pensato, forse perché non gli aveva mai rinfacciato il suo tentativo. Era successo molti anni prima, e chiunque l’avesse visto ora l’avrebbe considerato una persona equilibrata.

Ma Renee non poteva dire lo stesso di sé. Non era più in grado di discutere di matematica in modo chiaro, e non era sicura di poterlo mai fare di nuovo. Se i suoi colleghi l’avessero vista adesso, avrebbero semplicemente detto che aveva perso la bussola. Si alzò dalla scrivania e passò nel soggiorno. Dopo che il suo sistema formale fosse circolato nell’ambiente accademico sarebbe stata necessaria una revisione dei fondamenti della matematica, ma pochi ne sarebbero stati colpiti quanto lei. Per la maggior parte si sarebbero comportati come Fabrisi; avrebbero seguito meccanicamente la dimostrazione e l’avrebbero trovata corretta, e nulla più. Gli unici che si sarebbero avvicinati a provare quello che lei aveva provato sarebbero stati coloro che avrebbero potuto afferrarne la contraddizione, intuirla. Callahan era uno di questi; si chiedeva come riuscisse a gestirla con il passare dei giorni.

Renee tracciò una spirale nella polvere sopra a un tavolinetto. Prima, avrebbe quasi inconsciamente parametrizzato la curva, ne avrebbe esaminato le caratteristiche. Ora non le veniva in mente nulla. La sua capacità di immaginazione era scomparsa.

Come molti altri, aveva sempre creduto che la matematica non potesse derivare il proprio senso dal mondo, e che piuttosto essa applicasse al mondo un po’ di senso. Le entità fisiche non erano più piccole o più grandi, simili o diverse; semplicemente erano, esistevano. La matematica era del tutto autonoma, ma poteva offrire un significato semantico a quelle entità, fornendo categorie e relazioni. Non descriveva alcuna qualità intrinseca, solo una possibile interpretazione.

Ma ora non più. La matematica diventava incoerente, una volta rimossa dalle entità fisiche, e una teoria formale non era nulla, se non era coerente. La matematica era diventata empirica, né più né meno, e non la interessava più.

Di cosa si sarebbe occupata, adesso? Renee aveva conosciuto qualcuno che aveva lasciato il mondo accademico per vendere oggetti in pelle fatti a mano. Avrebbe dovuto prendersi un po’ di tempo, ritrovare i propri comportamenti quotidiani. Proprio quello che Carl aveva provato a farle fare, in tutto quel periodo.

8b

Tra gli amici di Carl c’erano due donne, molto amiche tra loro, Marlene e Anne. Anni prima, in un momento in cui aveva pensato al suicidio, Marlene aveva chiesto aiuto ad Anne; e Anne si era rivolta a Carl. Lui e Marlene, un paio di volte, erano rimasti seduti tutta la notte, parlando o semplicemente condividendo il silenzio. Carl sapeva che Anne aveva provato un pizzico di invidia per ciò che lui aveva spartito con Marlene, e che si era sempre chiesta che cosa avesse, da consentirgli di esserle così vicino. La risposta era semplice. Era la differenza tra simpatia ed empatia.

Più di una volta, nella sua vita, Carl si era trovato a offrire conforto in situazioni simili. Era stato felice di poter aiutare, certo, ma più di tutto aveva sentito che era giusto mettersi al posto di un altro e interpretarne la parte.

Fino ad allora aveva sempre ritenuto che la compassione fosse un aspetto fondamentale del proprio carattere. Aveva considerato la cosa, e sentito che non sarebbe stato nulla, se non fosse stato empatico. Ma ora si era imbattuto in qualcosa che non aveva mai incontrato prima, che aveva reso le sue sensazioni abituali inutili e vacue.

Se al momento del compleanno di Renee qualcuno gli avesse detto che appena due mesi dopo si sarebbe sentito così, avrebbe istantaneamente rifiutato l’idea. Certo, una cosa simile poteva accadere nel corso degli anni. Ma due mesi?

Dopo sei anni di matrimonio non era più innamorato di lei. Carl si detestava per questi pensieri, ma il fatto era che lei era cambiata, e adesso non la capiva e non sapeva come capirla. La vita intellettuale e quella emotiva di Renee erano inestricabilmente legate, ed erano ormai ambedue oltre la sua comprensione.

Ebbe una reazione di discolpa, dicendosi che non si poteva chiedere a qualcuno di rimanere a disposizione in qualunque crisi. Se tua moglie veniva colpita all’improvviso da un disturbo mentale, lasciarla sarebbe certo stata una colpa, ma una colpa perdonabile. Rimanere avrebbe significato accettare un rapporto completamente diverso, qualcosa per cui non tutti erano tagliati, e Carl non aveva mai disapprovato chi si era trovato in una situazione simile. Ma c’era sempre stata la domanda: “Cosa avrei fatto io?”. E la sua risposta era sempre stata: “Sarei rimasto”.

Ipocrita.

Peggio ancora, lui si era trovato in quello stato. Era stato assorbito dalla propria sofferenza, aveva cercato la pazienza degli altri, e qualcuno si era occupato di lui per tutto il tempo. Lasciare Renee era inevitabile, ma si trattava di una colpa che non avrebbe potuto perdonarsi.

9

Albert Einstein una volta disse: “Finché le proposizioni della matematica descrivono la realtà, esse non sono certe; e finché sono certe, non descrivono la realtà”.

9a = 9b

Carl stava in cucina a sgranare i piselli per la cena, quando entrò Renee. “Ti posso parlare un attimo?”.

“Certo”. Si sedettero al tavolo. Lei guardò fuori dalla finestra, come faceva sempre prima di cominciare una conversazione importante. Lui si ritrovò all’improvviso intimorito da quello che lei stava per dire. Aveva pianificato di dirle che se ne andava solo quando si fosse completamente rimessa, non prima di un paio di mesi. Ora era troppo presto.

“So bene che non è apparso evidente…”.

No, pregò lui, non dirlo. Per favore, non dirlo.

“… ma ti sono veramente grata per averti avuto vicino, qui con me”.

Carl chiuse gli occhi, straziato, ma per fortuna Renee stava di nuovo guardando verso la finestra. Sarebbe stato difficile, così difficile.

Lei parlò ancora: “Le cose che mi sono passate per la mente…”. Fece una pausa. “È qualcosa che non avrei mai immaginato. Se fosse stata una normale depressione, so che tu avresti capito, che avremmo potuto farci fronte”.

Carl annuì.

“Ma quello che è successo, è stato come una prova teologica che Dio non esiste. Non solo temerlo, ma saperlo per certo. Non sembra assurdo?”.

“No”.

“È una sensazione che non posso trasmetterti. C’era qualcosa in cui credevo profondamente, implicitamente, e che non è vera, e io sono quella che l’ha dimostrato”.

Aprì la bocca per dire che sapeva esattamente cosa intendeva, che aveva provato le stesse cose che aveva provato lei. Ma si fermò: perché si trattava di un tipo di empatia che li separava piuttosto che unirli, e questo non poteva dirglielo.